III. ERDVĖS ANALIZINĖ GEOMETRIJA

1
Taigi, ši lygčių sistema reiškia
tiesę AB, duotą dviejų plokštumų
susikirtimu (39 pav.). Jei norime
sužinoti šios tiesės kanoninį pavidalą,
turime surasti bent vieną šios tiesės
r
s = l,
m , n .
tašką ir linkmės vektorių { }
Tiesės AB nors vieno taško
koordinates rasime, jei vieną iš šių
koordinačių (kurią nors) pasirinksime
laisvai, o kitas dvi apskaičiuosime iš
sistemos (1).
Sakykime, kad anksčiau jau suradome bent vieną tiesės tašką ( x , y , z )
kanoninė lygtis yra
arba
n1 r
x − x
r r
1
=
y − y
r r
( n1
× n2
) ( n n ) ( n n ) x 1 × 2 y 1 × 2 z
2
2
2
© A.Laurutis, D.Šiaučiūnas Analizinė geometrija 44
1
2
2
=
z − z
r r
x − x1
B1
C1
y − y1
=
C1
A1
=
z − z1
A1
B
B C C A A B
2
1
1
2
M , todėl tiesės
Jeigu lygčių sistemos (1) pirmąją lygtį padauginsime iš koeficiento k 1 , ir sudėsime su antrąja
lygtimi, padauginta iš koeficiento k 2 , gausime naują lygtį
( k + k A ) x + ( B k + k B ) y + ( C k + k C ) z + ( D k + k D ) = 0
1
1
2
2
Q 2
r r
n × n
1
2
A , (5)
1
1
B
2
2
Q 1
Liko rasti tiesės linkmės
vektorių. Kadangi plokštumos Q 1
normalinis vektorius n1 r yra statmenas kiekvienai tiesei, gulinčiai plokštumoje Q, 1 tai jis yra
statmenas ir pačiai tiesei AB. Tas pats pasakytina ir apie vektorių n2 r , šis yra taip pat statmenas tiesei
AB. Tai reiškia, kad ši tiesė AB yra statmena abiems vektoriams n1 r ir n2 r A
n2 , todėl jos linkmės
vektorius turi būti apskaičiuojamas vektorinės sandaugos pagalba
r r r
s = n × n . (2)
r
r
s
39 pav.
40 pav.
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
(3)
(4)
kuri taip pat yra plokštuma.
Kadangi lygtis (5) yra gauta iš
sistemos (1) lygčių, tai ją turi
tenkinti sistemos (1) sprendinys, t.y.
tiesė (3) arba (4) priklauso ir
plokštumai (5). Taigi, plokštuma (5)
taip pat eina per susikirtimo tiesę
(1). Jei keisime koeficientus k 1 ir
k 2 , gausime vis naujas plokštumas,
einančias per tą pačią susikirtimo
tiesę (40 pav.). Šios plokštumos
sudaro plokštumų, einančių per tą
pačią susikirtimo tiesę, pluoštą.