6. VIRKNES Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ...

6. VIRKNESTemata aprakstsSkolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedisUzdevumu piemēriStundas piemērsM_10_UP_06_P1 Iracionāla skaitļa π aptuvenās vērtības noteikšana Skolēna darba lapaM_10_LD_06 Virknes Skolēna darba lapa1.variants2.variantsVērtēšanas kritērijiLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

V I R K N E SVIRKNEST E M A T A A P R A K S T S82Skolēniem virknes, aritmētiskās un ģeometriskās progresijas jēdziens ir zināmsno pamatskolas. Vidusskolā iespējams parādīt skolēniem, ka temats, kurš nosacīti irsavrups, būtībā ir cieši saistīts ar citiem matemātikas jautājumiem.Virknes ir lielumu maiņu veidu kvantitatīvi raksturotāji (tai skaitā aritmētiskāsun ģeometriskās progresijas raksturo divus ļoti izplatītus lielumu maiņu veidus – japrocess rit vienmērīgi vai ir process, kurā pieaugums pats kļūst par jauna pieaugumaavotu).Virknes var interpretēt kā naturāla argumenta funkcijas, kuras atspoguļo lielumumaiņas likumus. Jāakcentē virkņu uzdošanas veidu dažādība, būtiska ir simbolikaslietošanas prasmju pilnveidošana, iespējams nostiprināt prasmi izteikt lielumus noformulas.Tematā iespējams pievērsties hipotēžu izvirzīšanai, saskatot likumsakarības (parvirknes nākamo locekli, virknes locekļu summu), veicināt izpratni par pierādījumanepieciešamību, pilnveidot prasmi pierādīšanai lietot matemātiskās indukcijasprincipu.Izpratne par virknēm ir ieguldījums turpmākajā izglītībā (kad būs nepieciešamsapgūt robežas, rindas), radot priekšstatu par bezgalīgas virknes summas aprēķināšanasiespēju.Izmantojot bezgalīgi dilstošas ģeometriskas progresijas summas formulu, varpāriet no skaitļa pieraksta bezgalīgas periodiskas decimāldaļas formas uz parastodaļu. Virkņu saistību ar citiem matemātikas un ne tikai matemātikas jautājumiemvar akcentēt, demonstrējot Zelta griezumu un Fibonači virkni.Temata apguvē ir būtiskas skolēnu iepriekšējās zināšanas, pieredze, intuīcija. Akcentējotprasmi saskatīt likumsakarības, jānorāda, ka dažu virknes pirmo locekļuapskatīšana neļauj neko apgalvot par virknes veidošanas vispārīgo likumu, tā būstikai hipotēze.

V I R K N E SMATEMĀTIKA 10. klaseC E Ļ V E D I SGalvenie skolēnam sasniedzamie rezultātiSTANDARTĀIzprot funkcijas un ar to saistītos jēdzienus; lietodažādus funkcijas uzdošanas veidus; pazīstlineāru funkciju, kvadrātfunkciju, pakāpesfunkciju ar veselu kāpinātāju, eksponentfunkciju,logaritmisko funkciju, trigonometriskāsfunkcijas, virkni kā naturāla argumenta funkciju.Lieto dažādus spriedumu iegūšanasveidus (empīrisko, induktīvo, deduktīvo);vispārina, klasificē, saskata analoģijas,novērtē procesu tendences.Izprot pierādījuma nepieciešamību,būtību un struktūru, lieto dažāduspierādījumu veidus.Izprot matemātikas kā zinātnesattīstības tendences un novērtēmatemātikas svarīgāko sasniegumunozīmi sabiedrības attīstībā,nosaucot piemērus.PROGRAMMĀ• Izprot skaitļu virknes jēdzienu, virknesuzdošanas veidus (aprakstoši, ar vispārīgālocekļa formulu, rekurenti), lieto atbilstošosimboliku.• Uzraksta virknes locekļus, ja dota virknesvispārīgā locekļa formula, virkne uzdotarekurenti vai aprakstoši.• Saskata likumsakarības un izsakahipotēzi par virknes nākamo locekli, parvirknes uzdošanu rekurenti vai virknesvispārīgā locekļa formulu, par virkneslocekļu summu.• Pierāda virknes n-tā locekļaformulu un pirmo n locekļusummas formulu, izmantojotmatemātisko indukciju.• Analizē virkņu saistību ar citiemmatemātikas jautājumiem(Fibonači virkne un Zelta griezums,virkne a n = 1+ 1 nun skaitlis e).n83STUNDĀVizualizēšana. Darbs ar tekstu.SP. Virknes jēdziens.KD. Virknes pieraksts.Izpēte.LD. Virknes.KD. Formulas pierādīšana.VM. Zelta griezumsVM. Fibonači virkne.VM. Koha sniegpārsliņa.

V I R K N E SU Z D E V U M U P I E M Ē R ISasniedzamais rezultāts I II IIIIzprot skaitļu virknesjēdzienu, virknesuzdošanas veidus(aprakstoši, ar vispārīgālocekļa formulu,rekurenti), lietoatbilstošo simboliku.1. Ar kuru no formulām ir definēta virkne?a) an=2n–5, n∈Rb) an=2n–5, n∈Nc) an=2n–5, n∈Z2. Kuras no kopām var būt virknes definīcijasapgabals?a) Zb) Nc)d)R{1;2;3;4;5}1. Virkni a n veido visi skaitļa 3 dalāmie augošāsecībā. Nosaki virknes pirmos trīs locekļus!Definē šo virkni rekurenti! Uzraksti virknesvispārīgā locekļa formulu!2. Izveido četras dažādas virknes, kurām pirmiedivi locekļi ir skaitļi 1 un 4! Apraksti ar vārdiemlikumsakarības, pēc kurām veidoji šīs virknes!1;4;…1;4;…1;4;…1;4;…1. Izveido divas tādas skaitļu virknes, lai todefinīcijas apgabali sakristu, bet vērtībuapgabali nesakristu, pie tam, vienas virknesvērtību apgabals būtu otras virknes vērtībuapgabala apakškopa!2. Dota virkne 2; 4; 6; 8;… . Vai virkne ir definētaviennozīmīgi? Atbildi pamato!843. Kā katrā no gadījumiem ir definēta virkne(aprakstoši, ar vispārīgā locekļa formulu,rekurenti)?a) a n =2n+3, n∈Nb) Virkni veido visi pirmskaitļi, sakārtotiaugošā secībā.c) a 1 =2, a n+1 = a n +4, n∈NUzraksta virkneslocekļus, ja dota virknesvispārīgā locekļaformula, virkne uzdotarekurenti vai aprakstoši.1. Pabeidz teikumu!a) Virkne uzdota ar vispārīgā locekļaformulu. Lai aprēķinātu virknes trešolocekli, vispārīgā locekļa formulā………………………………………… .b) Virkne ( a n ) uzdota rekurentia 1 =2, a n+1 =a n +3, n∈N. Laiaprēķinātu šīs virknes divdesmitseptīto locekli, ir jāzina šīs virknes1. Augošas virknes (a n ) locekļi ir visi tie naturālieskaitļi, kurus dalot ar 5, atlikumā iegūst 3.Uzraksti pirmos četrus šīs virknes locekļus,trīspadsmito un divdesmit pirmo šīs virkneslocekli!2. Uzraksti pirmos četrus dotās virknes locekļus!a) a 1 =2, a n+1 =a n +5, n∈Nb) a 1 =1, a 2 =–4, a n+2 =2a n+1 +a n , n∈NVirknes (a n ) un (b n ) definētas visiemnaturālajiem skaitļiem. Virkne (a n ) uzdotarekurenti, bet virkne (b n ) ar vispārīgā locekļaformulu. Izvērtē šo virkņu divdesmitā locekļaskaitliskās vērtības aprēķināšanas gaitu!………………………………………… .2. Uzraksti virkņu (a n ) un (x n ) pirmos 3 locekļus!a) a n = 2nn+1 , n∈Nb) x n =4, n∈N

V I R K N E SMATEMĀTIKA 10. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIIAtšķir augošas, dilstošas,maiņzīmju, nemainīgas,galīgas, bezgalīgasvirknes.1. Uzraksti galīgas dilstošas virknes piemēru!2. Pabeidz iesāktos teikumus!Aritmētiskā progresija ir augoša, ja tāsdiference ir ……Ģeometriskā progresija ir dilstoša, ja tāskvocients ir ……Aritmētiskā progresija ir nemainīga virkne, jatās diference ir ……Raksturo dotās virknes, lietojot jēdzienusaugoša vai dilstoša, maiņzīmju, galīga vaibezgalīga, nemainīga!a) b n = 1 n , n∈Nb) Visu trīsciparu skaitļu virkne, kuras locekļisakārtoti augošā secībā.c) an=n 0 , n∈Nd) x n =(–1) n , n∈NDota virkne a n = n+2n+5 , n∈N.a) Izsaki hipotēzi par to, vai virkne ir augošavai dilstoša!b) Formulē faktu, kas būtu jāpierāda, laipamatotu, ka virkne a n = n+2 , n∈N iraugoša!n+5Lieto virknes grafiku.Dots virknes grafiks. Nosaki:šīs virknes devīto locekli,kārtas numuru virknes loceklim, kura skaitliskāvērtība ir 9!161412108641. Virknes (a n ) visi locekļi ar nepāra kārtasnumuriem ir –1, bet locekļi ar pāra kārtasnumuriem ir 0. Attēlo šo virkni grafiski, atliekotpirmos sešus locekļus!2. Ģeometriskās progresijas pirmais loceklis ir8, bet kvocients 1 . Attēlo to grafiski, atliekot2vismaz piecus punktus!1. Nekonstruējot grafikus, raksturo virknesa n =n 2 –5 un funkcijas y=x 2 –5 grafikus!2. Nosaki virknes a n =n 2 –20n+120 mazākolocekli! Atbildi pamato!3. Ģeometriskās progresijas pirmais loceklis ir8, bet kvocients 1 . Attēlo to grafiski, atliekot2vismaz piecus punktus! Uzraksti formulueksponentfunkcijai, kuras grafikam pieder visišīs progresijas punkti!85200 2 4 6 8 10 12Pāriet no skaitļapieraksta bezgalīgasperiodiskasdecimāldaļas formāuz parasto daļu,izmantojot bezgalīgidilstošas ģeometriskasprogresijas summasformulu.Dota virkne 0,4; 0,04; 0,004,…, kuras katrsnākamais loceklis ir 10 reižu mazāks nekāiepriekšējais.a) Pamato, ka dotā virkne ir bezgalīgi dilstošaģeometriskā progresija!b) Skaitli 0,(4) uzraksti kā summu, kurassaskaitāmie ir dotās virknes locekļi!c) Ar bezgalīgi dilstošas ģeometriskāsprogresijas summas formulu aprēķini dotāsvirknes visu locekļu summu!Pārveido skaitli 0,(62) par parasto daļu,izmantojot bezgalīgi dilstošas ģeometriskāsprogresijas summas formulu!Pārveido skaitli 2,(6) par parasto daļu:izmantojot bezgalīgi dilstošas ģeometriskāsprogresijas summas formulu;apzīmējot doto skaitli ar x un apskatot tādecimālos daudzkārtņus 10x, 100x, …Novērtē, kurš no paņēmieniem tev šķietracionālāks!d)Uzraksti skaitli 0,(4) kā parasto daļu!

V I R K N E SSasniedzamais rezultāts I II IIILieto jēdzienus –virknes n–tais loceklis,pirmo n locekļusumma, aritmētiskā unģeometriskā progresija,diference, kvocients, –formulējot reālus,sadzīviskus faktus,procesus matemātiskāvalodā.Virkni veido augošā secībā sakārtoti skaitļa 5dalāmie. Raksturo virkni, lietojot jēdzienus:pirmais loceklis, n – tais loceklis, progresija,augoša, dilstoša, galīga, bezgalīga, diference!Amfiteātrī ir 10 rindas, katrā nākamajā rindāir par 20 vietām vairāk nekā iepriekšējā rindā.Pēdējā rindā ir 280 vietu. Apraksti šo situāciju,lietojot ar virknēm saistītus matemātiskusjēdzienus!2000. gadā firmas peļņa bija Ls 50 000. Laikāno 2000. gada līdz 2006. gadam firmas peļņakatru gadu pieauga par 10 %, salīdzinājumā ariepriekšējo gadu. Apraksti šo situāciju, lietojot arvirknēm saistītus matemātiskus jēdzienus!86Raksturo grafiskosattēlos ietvertoinformāciju ar skaitļuvirknēm (piemēram,zīmējumā attēloto figūruperimetru vai laukumuskaitliskās vērtības veidovirkni).Figūras tiek veidotas, ievērojot noteiktulikumsakarību. Izsaki hipotēzi par nākamo figūruun uzzīmē to! “Ķieģelīšu” skaitu figūrās raksturoar skaitliskas virknes palīdzību!a)b)Dots kvadrāts. Tas tiek sagriezts četros vienādoskvadrātos, viens no iegūtajiem kvadrātiem atkaltiek sagriezts četros vienādos kvadrātos, viensno iegūtajiem kvadrātiem atkal tiek sagrieztsčetros vienādos kvadrātos utt. (zīm.). Raksturokvadrātu skaitu kā skaitlisku virkni! Definē šovirkni rekurenti un ar vispārīgā locekļa formulu!1. Dots kvadrāts, kura malas garums ir 1 vienība.Pirmajā solī ar nogriezni savieno divu pretējomalu viduspunktus un iekrāso pusi nolaukuma. Nākamajā solī ar nogriezni savienoneiekrāsotās daļas pretējo malu viduspunktusun iekrāso pusi no vēl neiekrāsotā laukuma,utt. Katrā solī iekrāsoto laukumu pierakstikā skaitli! Aprēķini, kāds laukums ir iekrāsotspēc pieciem soļiem, un kāds –pēc astoņiemsoļiem! Ko tu vari secināt, ja krāsošanaturpinās bezgalīgi?c)2. Kvadrātā, kura malas garums 12 cm,ievilkta riņķa līnija, riņķa līnijā ievilktskvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt. Šisprocess tiek turpināts bezgalīgi. Saskati trīsģeometriskās progresijas, ar kuru palīdzību varskaitliski raksturot šo procesu! Divām no šīmvirknēm aprēķini pirmos trīs locekļus!

V I R K N E SMATEMĀTIKA 10. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIISaskata likumsakarībasun izsaka hipotēzi parvirknes nākamo locekli,par virknes uzdošanurekurenti vai virknesvispārīgā locekļaformulu, par virkneslocekļu summu.Saskati likumsakarību, pēc kuras veidota dotā Doti virknes pirmie trīs locekļi 2; 6; 18; …virkne! Izsaki hipotēzi par virknes nākamo Saskati vismaz divas likumsakarības, pēc kurāmlocekli un n–to locekli!varētu būt veidota dotā virkne! Apraksti šīslikumsakarības, saskaņā ar katru no tām uzrakstia) 1; 4; 9; 16; 25;…nākamo virknes locekli un izsaki hipotēzi par1b) 1;2 ; 1 3 ; 1 4 ;…n –to locekli vai definē aprakstīto likumsakarīburekurenti!1c) ; 2 3 5 ; 4 7 ; 8 9 ;…1. Izsaki hipotēzi par virknes 0; 1 3 ; 1 2 ; 3 5 ; 2 3 ;…vispārīgā locekļa formulu!2. Dota virkne (a n ), kas definēta rekurenti:a 1 =3, a n+1 =2a n . Izsaki hipotēzi par šīs virknesvispārīgā locekļa formulu! Pierādi to armatemātisko indukciju!Pierāda virknesn–tā locekļa formulu unpirmo n locekļu summasformulu, izmantojotmatemātisko indukciju.Dots, ka (a n ) ir aritmētiskā progresija ar diferencid. Izmantojot matemātiskās indukcijas principu,pierādi, ka visiem, n∈N ir spēkā formulaa n =a 1 +(n–1)⋅d!Izmantojot matemātiskās indukcijas principu,pierādi ģeometriskās progresijas:a) n –tā locekļa formulu;b) pirmo n locekļu summas formulu!Dota nepāra skaitļu virkne. Izsaki hipotēzi paršīs virknes pirmo n locekļu summas formulu!Pierādi to ar matemātisko indukciju!Izmanto IT, aprēķinotvirknes locekļus, pirmon locekļu summu.Virkne (a n ) uzdota ar vispārīgā locekļa formulua n =ln(n), n∈N. Nosaki pirmos 10 locekļus,un uzzīmē šīs virknes grafiku, izmantojotlietojumprogrammu Excel!Stāsta, ka Indijas karalis ļāvis šaha spēlesizgudrotājam pieprasīt no karaļa jebkuruatalgojumu. Spēles izgudrotāja lūgums bijavisai dīvains: uz šaha galdiņa pirmā lauciņanovietot 1 kviešu graudu, uz otrā divreiz vairākjeb 2 graudus, uz trešā – atkal 2 reizes vairāknekā uz otrā jeb 4 graudus, utt. līdz pēdējam64. lauciņam. Protams, par tādu “nieka” lūgumukaralis tikai pasmaidījis, bet, kad viņa kalpisākuši lūgumu izpildīt, atklājies, ka tik daudzkviešu graudu nav pat visā Indijā. Aprēķinipieprasīto graudu skaitu!Izlasi doto tekstu (M_10_UP_06_P1)! Atrodinepieciešamo rindas locekļu skaitu, lai iegūtuskaitļa π vērtību, ar precizitāti līdz tūkstošdaļām,ar Leibnica rindas palīdzību un ar 1995. gadāatklātā algoritma palīdzību!87

V I R K N E SSasniedzamais rezultāts I II III88Izmanto zināšanaspar virknēm, atrisinotpraktiskus uzdevumus.1. Izvēloties mobilā telefona programmu“Sazvanīsimies”, abonentam pirmajā mēnesīnav jāmaksā par 5 sarunas minūtēm, bet katrānākamajā mēnesī bezmaksas sarunu laiks tiekpalielināts par 30 sekundēm. Cik bezmaksassarunu minūšu abonentam būs pēc gada?2. Sienas pulkstenis pusstundās sit tikai vienureizi, bet pilnās stundās sit pilnu stundu skaitu.Cik reizes diennaktī sit sienas pulkstenis?Zīmējumā attēlota metāla konstrukcija. Aprēķiniotra īsākā vertikālā balsta garumu!48 m30°1. No fizikas kursa zināms, ka vienmērīgipaātrinātā kustībā (formula s= at2 ) ir spēkā2šāds fakts: viens otram sekojošos vienādoslaika intervālos veikto attālumu attiecība ir1:3:5:7: … Pamato to!2. Izlasi tekstu!Ņūtons ir formulējis atdzišanas likumu. Ja t o irobjekta temperatūra pie vides temperatūras R,tad objekta temperatūra t n pēc n minūtēm, iraprēķināma no rekurenti definētas vienādības.t n –t n–1 =k(t n–1 –R), kur k – proporcionalitāteskoeficients.Izmantojot šo likumu, atrisini uzdevumu!Krūzīti ar kafiju, kuras temperatūra ir 98 °C,ienesa istabā, kuras temperatūra 18 °C, unpēc vienas minūtes kafija atdzisa līdz 94 °C.Aprēķini proporcionalitātes koeficientu unkafijas temperatūru pēc 5 minūtēm!Analizē virkņu saistībuar citiem matemātikasjautājumiem (Fibonačivirkne un Zeltagriezums, virknea n = 1+ 1 nun skaitlis e).nDotas skaitliskas izteiksmes: sin30°, sin45°, 1.sin60°, sin90°. Pārveido doto izteiksmjunvērtības formā , kur n,m∈N!mRegulāriem n–stūriem ir spēkā formulaa n =2R⋅sin π n , kur a n ir n–stūra malas garumsun R ir ap n– stūri apvilktās riņķa līnijasrādiuss. Šo formulu var uzskatīt par kādasvirknes vispārīgā locekļa formulu.a)b)c)d)Apraksti, kas veido šo virkni!Nosaki šīs virknes definīcijas apgabalu!Aprēķini šīs virknes pirmos trīs locekļus!Raksturo šīs virknes īpašības!Matemātikā īpašu vietu ieņem Fibonači virkne.Tā tiek definēta šādi: virknes pirmie divi locekļi ir1 un katrs nākamais virknes loceklis tiek iegūts,saskaitot divus iepriekšējos. Animācijā(M_10_UP_06_VM1) tiek demonstrēts Fibonačivirknes “ģeometriskais modelis”.Noteiktā veidā definētām Fibonači virkneslocekļu attiecībām ir saistība ar Zelta griezumu(ja nepieciešams, noskaidro šī jēdziena saturu).Vēro animāciju, veic aprēķinus un izvirzi hipotēzipar to, kāda ir šī saistība!2. Virkne (a n ) uzdota ar vispārīgā locekļaformulu a n = 1+ 1 n. Aprēķini šīs virknesnpirmos astoņus, piecdesmito un simto locekli,izmantojot IT! Izvērtē iegūtos rezultātus unprognozē, kādam skaitlim tuvosies virkneslocekļu vērtības, palielinot n!

V I R K N E SMATEMĀTIKA 10. klaseS T U N D A S P I E M Ē R SVIRKNES JĒDZIENSMērķisPilnveidot izpratni par skaitļu virkni, iegūstot un atbilstoši uzdevumam izmantojottekstā atrodamo informāciju.Skolēnam sasniedzamais rezultāts• Ir sistematizējis iepriekšējās zināšanas par virknēm, zina virknes definīciju unīpašības.• Iegūst un salīdzina informāciju par virknēm dažādos avotos.Nepieciešamie resursiDivi dažādi informācijas avoti – kāda no mācību grāmatām vai rokasgrāmatām,kurā ir pamatinformācija par virknēm, vai sagatavota teksta lapa katram skolēnam.Kā vienu no avotiem var izmantot grāmatu J.Buls “Virknes” tekstu 23.-27.lpp (TautsaimniecībasPētniecības institūts, Rīga: 1994.- 54 lpp.).Mācību metodesVizualizēšana, darbs ar tekstu.Mācību organizācijas formasFrontāls darbs, individuāls darbs, pāru darbs.VērtēšanaSkolēni novērtē atrastās informācijas pareizību un precizitāti, apspriežoties pāros,skolēniem tiek dota iespēja salīdzināt stundā apgūto ar iepriekš zināto; skolotājsnovērtē skolēnu izpratni, klausoties jēdzienu skaidrojumus, kā arī pēc neskaidrojautājumu daudzuma un būtības, skolotājs nepieciešamības gadījumā var iepazītiesar skolēna veidoto jēdzienu sarakstu un tabulu.Skolotāja pašnovērtējumsSecina par stundas mērķa sasniegšanu, izmantotās metodes lietderību un efektivitāti,par to, kas izdevās un kādiem jautājumiem būtu jāpievērš lielāka uzmanība.89Stundas gaitaSkolotāja darbībaAicina skolēnus veidot tādu vārdu (vārdu savienojumu) sarakstu, kas viņam asociējas arjēdzienu virkne; uzdevums veicams individuāli, rakstot vārdus stabiņā vienu zem otra.Piedāvā veidot uz tāfeles (vai uz lielformāta lapas, kas tiks izmantota visu temataapguves laiku) domu karti, pierakstot skolēnu nosauktos jēdzienus.Pieraksta, ja nepieciešams, virza, precizē, pārjautā.Piedāvā turpmāko temata apguves secību, pamatojoties uz izveidoto shēmu (varbūtto jau nedaudz papildinot), šajā stundā dodot uzdevumu precizēt virknes jēdzienu unnoskaidrot svarīgākās virkņu īpašības.Vizualizēšana (10 minūtes)Skolēnu darbībaIndividuāli veido vārdu sarakstu, kas asociējas ar virknes jēdzienu.Sauc jēdzienus, piedāvā jēdzienu sistematizēšanas variantus, cenšas grupēt, katraigrupai nosakot vienojošo jēdzienu, pamato savu viedokli, papildina.Novērtē savas priekšzināšanas par tematu, shēmā norādot vietas, kur būtu nepieciešamapapildinformācija, precizēšana, ko būtu interesanti noskaidrot.

Aprēķinu veikšana, iegūto rezultātu reģistrēšanaPirms tabulas aizpildīšanas skolotājs ar skolēniem vienojas par skaitļa π pierakstaformu; šajā gadījumā nav vēlams to aizstāt ar kādu tuvinājumu.Spirāli veidojošo loku rādiusi, loku garumi un spirāles garums dažādam lokuskaitamRezultātu analīze, izvērtējums, secinājumiPēc hipotēzes pierādīšanas skolēni tiek aicināti uzdot jautājumus gan par pierādījumu,gan par darbu kopumā. Skolotājs skolēnu uzdotos jautājumus var izmantotrefleksijas fāzei. Ja skolēni paši neuzdod jautājumus, skolotājs aicina viņus atbildētuz jautājumiem:Loka kārtasnumursLoka rādiuss (cm) Loka garums (cm)Spirāles garums, ja dotaisloks ir pēdējais (cm)12 12π6 6π 18π3 3π 21π1,5 1,5π 22,5π0,75 0,75π 23,25π0,375 0,375π 23,625π0,1875 0,1875π 23,8125π0,09375π 23,90625π0,046875π 23,953125π0,0234375π 23,9765625π1. Vai līdz šim matemātikā esi sastapies ar jēdzieniem: “bezgalība, tiecas” vaisituācijām: “tiecas, bet nepārsniedz; pievienojot summai bezgalīgi daudzsaskaitāmos, summas skaitliskā vērtība nekļūst bezgalīgi liela”?2. Vai ir palikušas neskaidrības par izvirzīto hipotēzi, pierādījuma nepieciešamību,pašu pierādījumu?Loku garumi veido ģeometrisko progresiju, kuras pirmais loceklis ir 12π unkvocients 0,5.HipotēzeSpirāles garuma skaitliskā vērtība (centimetros) tiecas uz 24π.Hipotēzes pierādījumsPierādījumu skolēni veic ar skolotāja palīdzību. Skolēniem nav jālieto simboliskaispieraksts, pietiek, ja situāciju raksturo ar vārdiem “kļūst, tiecas, gandrīz” un tml.Loku rādiusi un līdz ar to loku garumi veido dilstošu ģeometrisku progresiju,kuras q=0,5. Ģeometriskās progresijas pirmo n locekļu summas formula:S n= a 1(1–q n ). Ja n→∞ (ir ļoti liels) un q– konstants, pie tam |q|

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_10_UP_06_P1IRACIONĀLA SKAITĻA π APTUVENĀS VĒRTĪBASNOTEIKŠANAUzdevumsIzlasi doto tekstu! Atrodi nepieciešamo rindas locekļu skaitu, lai iegūtu skaitļa π vērtību ar precizitāti līdz tūkstošdaļāmar Leibnica rindas palīdzību un ar 1995.gadā atklātā algoritma palīdzību!Matemātikā dažādu lielumu apzīmēšanai lieto burtus. Grieķu alfabēta burtu π matemātikā lieto kā skaitļa apzīmējumu.Kā zināms, ģeometrijā skaitli π definē kā riņķa līnijas garuma un diametra attiecību. Taču skaitli π plašiizmanto arī citās matemātikas nozarēs. Skaitlis π ir iracionāls.Arhimēds skaitli π aptuveni novērtēja ar 2 355, senie ķīniešu matemātiķi ar7 113 .Iespējams, ka Arhimēds bija pirmais zinātnieks, kas ierosināja aprēķināt skaitli π, izmantojot matemātiskas metodes.Šai nolūkā viņš ievilka riņķa līnijā un apvilka ap riņķa līniju regulārus daudzstūrus.Viņš pieņēma, ka riņķa līnijas diametrs ir 1 (viena vienība). Tāpēc ievilktā daudzstūra perimetrs ir riņķa līnijasgaruma jeb skaitļa π novērtējums ar iztrūkumu, bet apvilktā daudzstūra perimetrs ir skaitļa π novērtējums ar uzviju.Piemēram, ja ievelk riņķa līnijā un apvelk ap riņķa līniju regulāru sešstūri un aprēķina to perimetrus, tad iegūst šādunovērtējumu: 3

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_10_LD_06Vārds uzvārds klase datumsVIRKNESSituācijas aprakstsUzmanīgi vērojot apkārtni, varam saskatīt dažādus objektus, kuriem irspirālveida forma, piemēram, gliemežnīca (skt. attēlu).Mūsu izpētes objekts ir spirāle, kas sastāv no pusriņķa līniju lokiem. Pirmā(lielākā) pusloka rādiuss ir 12 cm. Katram nākamajam puslokam rādiuss ir divasreizes mazāks. Zīmējumā ir redzami spirāles pirmie 6 loki. Teorētiski spirāles lokuskaits nav ierobežots (ir bezgalīgi liels).Nepieciešams praktiski izveidot – izlocīt no stieples, šādu spirāli ar ļoti lieluloku skaitu (pieņemsim, ka tas ir iespējams). Stieplei nevajadzētu būt ne par garu,ne par īsu.Pētāmā problēmaCik gara stieple nepieciešama, lai varētu izlocīt šādu spirāli?Darba gaita1. Aprēķini zīmējumā redzamo sešu loku un nākamā (vēl neuzzīmētā) loka rādiusus un loku garumus!Rezultātus ieraksti tabulā!2. Nosaki spirāles garumu, ja to veido pirmie divi, pirmie trīs, ..., pirmie septiņi loki, un rezultātus ieraksti tabulā!3. Izpēti virkni, ko veido loku garumi, un ieraksti tabulā 8., 9. un 10. loka garumu!4. Aprēķini spirāles garumu, ja to veidotu pirmie astoņi, pirmie deviņi un pirmie desmit loki!5. Nosaki veidu virknei, ko veido loku garumi, šīs virknes raksturojošos lielumus!6. Izvirzi pieņēmumu/hipotēzi par spirāles garumu, ja loku skaits neierobežoti pieaug!Aprēķinu veikšana, iegūto rezultātu reģistrēšanaVieta aprēķiniem12

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_10_LD_06Spirāli veidojošo loku rādiusi, loku garumi un spirāles garums dažādam loku skaitamLoka kārtasnumursLoka rādiuss (cm)Loka garums (cm)Spirāles garums, ja dotais loks irpēdējais (cm)Virkne, ko veido loku garumi ir ...HipotēzeHipotēzes pierādījumsRezultātu analīze, izvērtējums, secinājumi13

V I R K N E SSkolotāja darbībaAicina izlasīt tekstu par virknēm. Katrs skolēns no pāra lasa savu tekstu. Uzdod tekstāatrast virknes definīciju un virkņu īpašības. Lūdz aizpildīt tabulu.Var piedāvāt citu teksta strukturēšanas veidu, piemēram, tabulu ar citām ailēm: “Jau zināju,lasot uzzināju, palika neskaidrs”.Darbs ar tekstu (22 minūtes)Skolēnu darbībaIndividuāli lasa tekstu, aizpilda tabulu ar tekstā atrastajiem skaidrojumiem un saviemkomentāriem vai jautājumiem, ja kaut kas palicis neskaidrs vai par ko tekstā nav minēts.DefinīcijaĪpašībasTekstā atrastaisJautājumi, komentāri90Uzaicina aizpildītās tabulas salīdzināt pāros, censties precizēt to, kas katram bija palicisneskaidrs.Aicina uzdot jautājumus, kas pēc apspriešanās pāros palikuši neskaidri.Lūdz skolēnus, kuri to sapratuši, izskaidrot pārējiem. Ja kāds jēdziens ir neskaidrslielākajai skolēnu daļai, tad to izskaidro pats.Pārī izrunā, kas jau bija zināms, ko uzzināja no jauna, kādi jautājumi palika neskaidri,salīdzina skaidrojumus abos avotos.Uzdod jautājumus. Saņem atbildes uz neskaidrajiem jautājumiem. Sniedz komentārus,skaidrojumus.Mudina pārdomāt un noformulēt atbildes jautājumiem: “Kas ir virkne, kādas ir virkņu Patstāvīgi pārdomā atbildi.būtiskākās īpašības?”Pēc brīža pats sniedz korektu atbildi, demonstrējot iepriekš sagatavotu materiālu. Salīdzina savu atbildi ar skolotāja doto. Jautā, precizē, argumentē.Vizualizēšana (8 minūtes)Aicina atgriezties pie stundas pirmajā daļā izveidotās shēmas. Papildina, ja nepieciešams,koriģē.Aicina katru skolēnu papildināt savu stundas sākumā izveidoto sarakstu ar jēdzieniem.Ja pietrūkst laika, to lūdz izdarīt mājās.Uzdod mājas darbu – izlasīt otru tekstu, lai varētu izteikt viedokli par abiem tekstiem,izvērtējot to lietderību virknes jēdziena apgūšanai, intereses radīšanai u.c.Salīdzina iepriekšējās zināšanas ar jauniegūtajām, meklē jauno faktu, jēdzienu vietushēmā.Papildina jēdzienu sarakstu.Atzīmē mājas darbam uzdoto.

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_KD_06_01Vārds uzvārds klase datumsVIRKNES PIERAKSTS1. uzdevums (2 punkti)Dota virkne x 1=2, x n+1=3⋅x n+1, kur n∈N. Uzraksti šīs virknes otro un trešo locekli!2. uzdevums (2 punkti)Dota virkne y n= n+3 , kur n∈N. Uzraksti šīs virknes pirmos trīs locekļus!n3. uzdevums (2 punkti)Doti virknes pirmie pieci locekļi 2; 7; 12; 17; 22; ... . Uzraksti, kāda varētu būt virknes rekurentā formula!4. uzdevums (2 punkti)Virknes locekļi ir visi tie naturālie skaitļi, kurus dalot ar 4, atlikumā iegūst 3. Uzraksti pirmos četrus virkneslocekļus! Uzraksti, kāda varētu būt šīs virknes vispārīgā locekļa formula!15

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_KD_06_02Vārds uzvārds klase datumsFORMULAS PIERĀDĪŠANA1. uzdevums (3 punkti)Dota virkne a n=2n+3, kur n∈N. Uzraksti virknes locekļus a 1, a k, a k+1!2. uzdevums (3 punkti)Dots, ka virknes (a n) vispārīgā locekļa formula ir a n=3n–1, kur n∈N. Pamato, ka a k+1=a k+3!3. uzdevums (4 punkti)Aritmētiskās progresijas pirmais loceklis ir 4, bet diference 3. Pierādi ar matemātisko indukciju, ka šīs virknesvispārīgā locekļa formula ir a n=3n+1, kur n∈N!16

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_ND_06_SN_1vVārds uzvārds klase datumsVIRKNES1. variants1. uzdevums (3 punkti)Virkne (a n) ir uzdota ar vispārīgā locekļa formulu a n=3n–1, n∈N.a) Aprēķini šīs virknes desmito locekli!b)Nosaki, vai skaitlis 170 pieder šai virknei!2. uzdevums (5 punkti)a) Izveido dilstošu aritmētisko progresiju, kuras diference ir –2 un uzraksti tās pirmos četrus locekļus!b)Izveido augošu ģeometrisko progresiju, kuras trešais loceklis ir 10 un uzraksti tās pirmos četrus locekļus!Norādi kvocientu!Izveido virkni, kura nav ne aritmētiskā progresija, ne ģeometriskā progresija! Definē šo virkni vai nu aprak-stoši, vai ar n-tā locekļa formulu, vai rekurenti!c)3. uzdevums (3 punkti)Virkne (x n) ir uzdota rekurenti x 1=2, x 2=3, x n+2=x n⋅ x . n+1a) Aprēķini virknes ( x n) ceturto locekli!b) Nosaki visus iespējamos ciparus, ar kuriem var beigties virknes ( x n) locekļi (apgalvojums nav jāpierāda)!48

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_ND_06_SN_1V4. uzdevums (3 punkti)Pēc noteikta principa no sērkociņiem tiek veidotas figūras. Katrā nākamajāfigūrā kvadrātu skaits tiek palielināts par vienu (sk. zīm.).a) Nosaki, cik sērkociņu nepieciešams astotās figūras izveidošanai!Pierakstot katras figūras veidošanai nepieciešamo sērkociņu skaitu pie-augošā secībā, iegūst virkni. Definē šo virkni rekurenti un ar n-tā locekļaformulu!b)5. uzdevums (3 punkti)Bišu mātēm no apaugļotajām olšūnām attīstās jaunas bišu mātes vai darba bites (darba bitēm nav pēcnācēju), noneapaugļotajām olšūnām attīstās trani. Tas nozīmē, ka traniem ir tikai viens no vecākiem – māte, bet bišu mātei irabi vecāki – trans un māte.a) Uzzīmē trana ciltskoku līdz piektajai paaudzei!b) Definē rekurenti virkni, kuras pirmais loceklis ir trana senču skaits pirmajā paaudzē, otrais loceklis – tranasenču skaits otrajā paaudzē utt., n-tais loceklis ir trana senču skaits n-tajā paaudzē!6. uzdevums (5 punkti)Dota virkne 4; 5; 7; 11; 18;..., kuras pirmais loceklis ir 4, bet katru nākamo virknes locekli iegūst, iepriekšējo reizinotar 2 un no reizinājuma atņemot 3.a) Andris izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ir a n=n+3, kur n∈N. Pamato, ka Andrimnav taisnība!b)Kārlis izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ira n=2 n–1 +3, kur n∈N. Pierādi to, izmantojot matemātisko indukciju!49

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_ND_06_SN_2VVārds uzvārds klase datumsVIRKNES2. variants1. uzdevums (3 punkti)Virkne (a n) ir uzdota ar vispārīgā locekļa formulu a n=2n+3, n∈N.a) Aprēķini šīs virknes devīto locekli!b)Nosaki, vai skaitlis 165 pieder šai virknei!2. uzdevums (5 punkti)a) Izveido augošu aritmētisko progresiju, kuras diference ir 7 un uzraksti tās pirmos četrus locekļus!b)Izveido dilstošu ģeometrisko progresiju, kuras trešais loceklis ir 4 un uzraksti tās pirmos četrus locekļus!Norādi kvocientu!Izveido virkni, kura nav ne aritmētiskā progresija, ne ģeometriskā progresija! Definē šo virkni vai nu aprak-stoši, vai ar n-tā locekļa formulu, vai rekurenti!c)3. uzdevums (3 punkti)Virkne (x n) ir uzdota rekurenti x 1=3, x 2=2, x n+2=x n⋅ x . n+1a) Aprēķini virknes ( x n) ceturto locekli!b) Nosaki visus iespējamos ciparus, ar kuriem var beigties virknes ( x n) locekļi (apgalvojums nav jāpierāda)!50

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_10_ND_06_SN_2V4. uzdevums (3 punkti)Pēc noteikta principa no sērkociņiem tiek veidotas figūras. Katrā nākamajāfigūrā kvadrātu skaits tiek palielināts par vienu (sk. zīm.).a) Nosaki, cik sērkociņu nepieciešams desmitās figūras izveidošanai!Pierakstot katras figūras veidošanai nepieciešamo sērkociņu skaitu pie-augošā secībā, iegūst virkni. Definē šo virkni rekurenti un ar n-tā locekļaformulu!b)5. uzdevums (3 punkti)Bišu mātēm no apaugļotajām olšūnām attīstās jaunas bišu mātes vai darba bites (darba bitēm nav pēcnācēju), noneapaugļotajām olšūnām attīstās trani. Tas nozīmē, ka traniem ir tikai viens no vecākiem – māte, bet bišu mātei irabi vecāki – trans un māte.a) Uzzīmē trana ciltskoku līdz piektajai paaudzei!b) Definē rekurenti virkni, kuras pirmais loceklis ir trana senču skaits pirmajā paaudzē, otrais loceklis – tranasenču skaits otrajā paaudzē utt., n-tais loceklis ir trana senču skaits n-tajā paaudzē!6. uzdevums (5 punkti)Dota virkne 5; 6; 8; 12; 20, kuras pirmais loceklis ir 5, bet katru nākamo virknes locekli iegūst, iepriekšējo reizinotar 2 un no reizinājuma atņemot 4.a) Andris izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ir a n=n+4, kur n∈N. Pierādi, ka Andrimnav taisnība!b)Kārlis izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ira n=2 n–1 +4, kur n∈N. Pierādi to, izmantojot matemātisko indukciju!51

MATEMĀTIKA 10. klaseVIRKNES1. variants1. uzdevums (3 punkti)Virkne (a n ) ir uzdota ar vispārīgā locekļa formulu a n =3n–1, n∈N.a) Aprēķini šīs virknes desmito locekli!b) Nosaki, vai skaitlis 170 pieder šai virknei!2. uzdevums (5 punkti)a) Izveido dilstošu aritmētisko progresiju, kuras diference ir –2 un uzraksti tāspirmos četrus locekļus!b) Izveido augošu ģeometrisko progresiju, kuras trešais loceklis ir 10 un uz-raksti tās pirmos četrus locekļus! Norādi kvocientu!c) Izveido virkni, kura nav ne aritmētiskā progresija, ne ģeometriskā prog-resija! Definē šo virkni vai nu aprakstoši, vai ar n-tā locekļa formulu, vairekurenti!3. uzdevums (3 punkti)Virkne (x n ) ir uzdota rekurenti x 1 =2, x 2 =3, x n+2 =x n ⋅ x n+1 .a) Aprēķini virknes ( x n ) ceturto locekli!b) Nosaki visus iespējamos ciparus, ar kuriem var beigties virknes ( x n ) locekļi(apgalvojums nav jāpierāda)!5. uzdevums (3 punkti)Bišu mātēm no apaugļotajām olšūnām attīstās jaunas bišu mātes vai darbabites (darba bitēm nav pēcnācēju), no neapaugļotajām olšūnām attīstās trani. Tasnozīmē, ka traniem ir tikai viens no vecākiem – māte, bet bišu mātei ir abi vecāki –trans un māte.a) Uzzīmē trana ciltskoku līdz piektajai paaudzei!b) Definē rekurenti virkni, kuras pirmais loceklis ir trana senču skaits pirmajāpaaudzē, otrais loceklis – trana senču skaits otrajā paaudzē utt., n-tais loceklisir trana senču skaits n-tajā paaudzē!6. uzdevums (5 punkti)Dota virkne 4; 5; 7; 11; 18;..., kuras pirmais loceklis ir 4, bet katru nākamo virkneslocekli iegūst, iepriekšējo reizinot ar 2 un no reizinājuma atņemot 3.a) Andris izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ir a n =n+3,kur n∈N. Pamato, ka Andrim nav taisnība!b) Kārlis izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ira n =2 n–1 +3, kur n∈N. Pierādi to, izmantojot matemātisko indukciju!4. uzdevums (3 punkti)Pēc noteikta principa no sērkociņiem tiekveidotas figūras. Katrā nākamajā figūrā kvadrātuskaits tiek palielināts par vienu (sk. zīm.).a) Nosaki, cik sērkociņu nepieciešams astotāsfigūras izveidošanai!b) Pierakstot katras figūras veidošanai nepie-ciešamo sērkociņu skaitu pieaugošā secībā,iegūst virkni. Definē šo virkni rekurenti unar n-tā locekļa formulu!39

VIRKNES2. variants1. uzdevums (3 punkti)Virkne (a n ) ir uzdota ar vispārīgā locekļa formulu a n =2n+3, n∈N.a) Aprēķini šīs virknes devīto locekli!b) Nosaki, vai skaitlis 165 pieder šai virknei!2. uzdevums (5 punkti)a) Izveido augošu aritmētisko progresiju, kuras diference ir 7 un uzraksti tāspirmos četrus locekļus!b) Izveido dilstošu ģeometrisko progresiju, kuras trešais loceklis ir 4 un uzraks-ti tās pirmos četrus locekļus! Norādi kvocientu!c) Izveido virkni, kura nav ne aritmētiskā progresija, ne ģeometriskā prog-resija! Definē šo virkni vai nu aprakstoši, vai ar n-tā locekļa formulu, vairekurenti!3. uzdevums (3 punkti)Virkne (x n ) ir uzdota rekurenti x 1 =3, x 2 =2, x n+2 =x n ⋅ x n+1 .a) Aprēķini virknes ( x n ) ceturto locekli!b) Nosaki visus iespējamos ciparus, ar kuriem var beigties virknes ( x n ) locekļi(apgalvojums nav jāpierāda)!5. uzdevums (3 punkti)Bišu mātēm no apaugļotajām olšūnām attīstās jaunas bišu mātes vai darbabites (darba bitēm nav pēcnācēju), no neapaugļotajām olšūnām attīstās trani. Tasnozīmē, ka traniem ir tikai viens no vecākiem – māte, bet bišu mātei ir abi vecāki –trans un māte.a) Uzzīmē trana ciltskoku līdz piektajai paaudzei!b) Definē rekurenti virkni, kuras pirmais loceklis ir trana senču skaits pirmajāpaaudzē, otrais loceklis – trana senču skaits otrajā paaudzē utt., n-tais loceklisir trana senču skaits n-tajā paaudzē!6. uzdevums (5 punkti)Dota virkne 5; 6; 8; 12; 20, kuras pirmais loceklis ir 5, bet katru nākamo virkneslocekli iegūst, iepriekšējo reizinot ar 2 un no reizinājuma atņemot 4.a) Andris izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ir a n =n+4,kur n∈N. Pierādi, ka Andrim nav taisnība!b) Kārlis izvirzīja hipotēzi, ka šīs virknes vispārīgā locekļa formula ira n =2 n–1 +4, kur n∈N. Pierādi to, izmantojot matemātisko indukciju!4. uzdevums (3 punkti)Pēc noteikta principa no sērkociņiem tiekveidotas figūras. Katrā nākamajā figūrā kvadrātuskaits tiek palielināts par vienu (sk. zīm.).a) Nosaki, cik sērkociņu nepieciešams desmi-tās figūras izveidošanai!b) Pierakstot katras figūras veidošanai nepie-ciešamo sērkociņu skaitu pieaugošā secībā,iegūst virkni. Definē šo virkni rekurenti unar n-tā locekļa formulu!40

MATEMĀTIKA 10. klaseVIRKNESVērtēšanas kritērijiUzdevums1.2.3.4.5.6.KritērijiAprēķina prasīto virknes locekli – 1 punktsPunktiSastāda vienādojumu – 1 punkts3Aprēķina kārtas numuru – 1 punktsUzraksta aritmētiskās progresijas pirmos četrus locekļus – 1 punktsUzraksta ģeometriskās progresijas pirmos četrus locekļus – 1 punktsNosaka kvocientu – 1 punkts5Uzraksta virkni, kura nav progresija – 1 punktsDefinē uzrakstīto virkni – 1 punktsAprēķina rekurenti uzdotās virknes ceturto locekli – 1 punktsApskata atsevišķus piemērus par virknes locekļu pēdējiem cipariem –31 punktsNosaka visus iespējamos virknes locekļu pēdējos ciparus – 1 punktsNosaka sērkociņu skaitu astotajā (desmitajā) figūrā – 1 punktsDefinē sērkociņu skaita virkni rekurenti – 1 punkts3Definē sērkociņu skaita virkni ar n – tā locekļa formulu – 1 punktsUzzīmē trana ciltskoku līdz piektajai paaudzei – 1 punktsNosaka virknes locekļus – 1 punkts3Definē virkni rekurenti – 1 punktsAr pretpiemēru pamato, ka formula a n =n+3 (a n =n+4) nav dotāsvirknes n – tā locekļa formula – 1 punktsPamato indukcijas bāzi – 1 punkts5Formulē induktīvajā pārejā pierādāmo apgalvojumu – 1 punktsIzprot, kā no a k tiek iegūts a k+1 – 1 punktsPierāda induktīvo pāreju – 1 punktsKopā 2241