Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTEBūvmehānikas katedraF. BULAVS, I. RADIŅŠSTATISKI NOTEICAMU STIEŅU SISTĒMUBŪVMEHĀNIKARTU izdevniecībaRīga, 2008
Grāmata domāta būvniecības specialitātes studentiem un inţeniertehniskajiem speciālistiem.Tās saturs atbilst mācību programmas priekšmeta BŪVMEHĀNIKA pirmajaidaļai –statiski noteicamu stieņu sistēmu piepūļu un deformāciju analīze un aprēķinistatisku slogojumu gadījumā. Grāmatā izklāstītas analītiskās stieņu sistēmu aprēķinumetodes plakanu struktūru gadījumos un dots priekšstats par statiski noteicamu telpiskukopņu struktūras analīzi un piepūļu noteikšanu stieņos mezglu slodţu gadījumā.Paralēli analītiskām metodēm tiek rekomendētas skaitliskās metodes, iesakot sistēmuun to elementu piepūļu un pārvietojumu noteikšanai izmantot studentiem ērti pieejamogalīgo elementu programmu Analysis 1.9 for Windows. Vielas izklāsts papildināts arkonkrētiem piemēriem. Pamattēmu noslēdzošajā daļā tiek piedāvāts plašs uzdevumuklāsts patstāvīgajam darbam un pielikumā sniegti šo uzdevumu atrisinājumi. Vielasizklāsts bagātīgi ilustrēts.Recenzenti:Dr.sc.ing., prof. A.ČateDr.sc.ing., doc. J.AuzukalnsIespiests saskaņā ar Būvniecības fakultātes būvmehānikas katedras 2008. gada 19. februāralēmumu. Protokols Nr. 01/08.2
SATURS1. IEVADS ...................................................................................................................... 51.1. Būvmehānikas priekšmets un uzdevumi .............................................................. 51.2. Slodzes ................................................................................................................. 91.3. Būves aprēķinu shēma ........................................................................................ 121.4. Balstu konstrukciju kinemātiskā analīze ............................................................ 152. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE ............................. 182.1. Ģeometriski nemainīgas un mainīgas sistēmas .................................................. 192.2. Sistēmas kustības brīvības un mainīguma pakāpe ............................................. 202.3. Acumirklīgi mainīgas sistēmas .......................................................................... 262.4. Ģeometriski nemainīgu sistēmu veidošanas noteikumi ..................................... 283. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI ............................................. 373.1. Daudzlaidumu locīklu siju raksturojums............................................................ 373.2. Locīklu siju statiskā noteicamība un ģeometriskā nemainība ............................ 403.3. Piepūļu noteikšana daudzlaidumu sijā ............................................................... 423.4. Statiski noteicamu rāmju aprēķins ..................................................................... 504. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINI ............................. 634.1. Kopņu aprēķinu shēma ....................................................................................... 644.2. Būves patiesais un teorētiskais darbs ................................................................. 654.3. Vispārīgi jēdzieni ............................................................................................... 674.4. Kopņu klasifikācija ............................................................................................ 684.5. Kopņu ģeometriskā struktūra ............................................................................. 704.6. Kopnes analītiskais aprēķins .............................................................................. 704.7. Kopnes aprēķins starpmezglu slodzes gadījumā ................................................ 874.8. Sijveida kopņu tipu piepūļu salīdzinājums ......................................................... 884.9. Kombinētas kopnes. ........................................................................................... 904.10. Statiski noteicamas plakanas lokveida kopnes ................................................. 934.11. Vanšu kopnes .................................................................................................... 954.12. Iekārtas kopnes ................................................................................................. 964.13. Sijveida, lokveida un iekārto kopņu salīdzinājums .......................................... 985. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMAS ................................................................................ 1005.1. Trīslocīklu loki un rāmji ................................................................................... 1005.2. Trīslocīklu loku balstu reakciju noteikšana ...................................................... 1015.3. Iekšējo piepūļu noteikšana ............................................................................... 1035.4. Aprēķina īpatnības lokiem ar balstiem atšķirīgā līmenī ................................... 1125.5. Trīslocīklu loks ar savilci ................................................................................. 1165.6. Racionāla loka ass forma ................................................................................. 1245.7. Piepūļu diferenciālās sakarības loka šķēlumos ................................................ 1263
5.8. Trīslocīklu rāmji ............................................................................................... 1276. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA .......................................................................... 1336.1. Ietekmes līnijas jēdziens .................................................................................. 1336.2. Ietekmes līniju konstruēšanas statiskā metode ................................................. 1346.3. Daudzlaidumu locīklu siju ietekmes līnijas ..................................................... 1446.4. Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas ..................... 1456.5. Ietekmes līniju konstruēšana mezglu slodzes gadījumā ................................... 1546.6. Ietekmes līniju konstruēšanas kinemātiskā metode ......................................... 1566.7. Iekšējo piepūļu aptvērējepīru konstruēšana ..................................................... 1586.8. Trīslocīklu loka ietekmes līnijas ....................................................................... 1676.9. Sijveida un konsolveida kopņu piepūļu ietekmes līnijas.................................. 1706.10. Kopņu stieņu piepūļu izmaiņa kustīgas slodzes gadījumos ........................... 1977. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS ...................................... 2027.1. Ārējo un iekšējo spēku darbs ........................................................................... 2037.2. Iespējamo pārvietojumu principa pielietojums elastīgām sistēmām ................ 2097.3. Darbu savstarpīguma princips .......................................................................... 2107.4. Potenciālās enerģijas parciālie atvasinājumi .................................................... 2127.5. Stieņu sistēmu pārvietojumu aprēķina vispārīgā forma ................................... 2147.6. Ārējās slodzes izraisīto pārvietojumu noteikšana ............................................ 2167.7. Pārvietojumu izskaitļošanas tehnika ................................................................ 2197.8. Temperatūras izmaiņas izraisītie pārvietojumi ................................................. 2317.9. Balstu pārvietojumu izraisītie statiski noteicamu sistēmu pārvietojumi .......... 2348. TELPISKAS SISTĒMAS ..................................................................................... 2398.1. Telpisku kopņu balsti. Balstu reakciju noteikšana ........................................... 2398.2. Vienkāršas telpiskās sistēmas ........................................................................... 2428.3. Piepūļu noteikšana kopnes stieņos ar mezglu izgriešanas metodi ................... 2448.4. Sistēmas sadalīšana plakanās kopnēs ............................................................... 2468.5. Skaitlisko metoţu pielietojums ........................................................................ 247PIELIKUMI ............................................................................................................... 248P.1. Uzdevumu atrisinājumi un atbildes .................................................................. 248Literatūra ................................................................................................................. 2554
1. IEVADS1.1. Būvmehānikas priekšmets un uzdevumiJebkuru būvi, kura tiek projektēta uz stiprības, stingrības un noturības aprēķinu pamata,sauc par inţenierbūvi.Stiprības aprēķini nodrošina būves pretestību ārējām slodzēm. Noturības aprēķini novērtēbūves spēju saglabāt savu sākotnējo vai līdzsvaroto deformēto stāvokli. Stingrībasaprēķinu uzdevums ir nodrošināt inţenierbūves pret lielām deformācijām un svārstībām,kuras nav pieļaujamas normālas būvju ekspluatācijas apstākļos.Zinātnes nozari, kura izstrādā būvju stiprības, stingrības un noturības aprēķinuprincipus un metodes sauc par būvmehāniku.Atšķirībā no materiālu pretestības, kuras pētījumu objekts ir atsevišķs konstrukcijas elements(parasti viens stienis), būvmehānikas uzdevumi ir orientēti uz būvju aprēķiniemkopumā, ņemot vērā kā atsevišķu elementu (stieņu un siju) tā arī šo elementu savienojumustruktūru un mehāniskās īpašības. Līdz ar to varam secināt, ka būvmehānika pilnāmērā izmanto tos pašus principus un metodes kā materiālu pretestība, piemērojot tos inţenierbūvēm.Būvmehānika savos pētījumos balstās uz matemātikas, fizikas, teorētiskāsmehānikas likumsakarībām, kā arī uz reālo būvju eksperimentālās izpētes rezultātiem.Būvmehānika dod iespēju pareizi izprast inţenierbūvju darbu to izgatavošanas un ekspluatācijasapstākļos, nepieļaujot nepilnības, kuras varētu novest pie kritiskiem būvjustāvokļiem.Kaut arī būvmehānikas kā zinātnes nozares rīcībā ir daudzas drošas, inţenierceltniecībaspraksē pārbaudītas aprēķinu metodes, to skaits nepārtraukti palielinās. Tiek formulēti ganjauni aprēķinu principi, gan pilnveidoti jau agrāk izmantotie, tos pielāgojot jaunajiemkonstrukciju tipu veidiem. Svarīgi ņemt vērā, ka aprēķinu metodēm ir prognozējošs rakstursun līdz ar to aktuāls kļūst jautājums par šo metoţu drošumu. Tādēļ jaunu metoţuieviešanas neatņemama sastāvdaļa ir to eksperimentāla pārbaude izstrādāšanas gaitā uneksperimentāls apstiprinājums jau izstrādātai teorijai uz reālām konstrukcijām.5
1. IEVADSEksperimenta lomu jaunu teoriju izstrādāšanas gaitā nosaka nepieciešamība pētāmajāparādībā noteikt galveno un atdalīt to no otršķirīgā, nebūtiskā, ko var arī neņemt vērā.Šie eksperimenti parasti tiek veikti ar konstrukciju un to elementu modeļiem – speciāliizgatavotiem paraugiem. Šādu paraugu pārbaudei ir virkne priekšrocību. Tie ir vienkāršākipar pašām konstrukcijām, ir viegli izgatavojami un ērti pārbaudāmi laboratorijasapstākļos. Modeļi tiek veidoti tā, lai tie atspoguļotu tikai būtiskākās konstrukcijas īpašības.Tos eksperimenta gaitā var izmainīt un pilnveidot akceptējot to vai citu slogotaskonstrukcijas izturēšanās īpatnību. Visbeidzot modeļus var novest līdz sabrukumam,kas visai svarīgi būves nestspējas noteikšanai.Būves stiprību, noturību un stingrību nosaka pielietotais materiāls un tā īpašības, būveselementu forma un izmēri, iekšējās piepūles (spēki un momenti), kuras rodas un attīstāsbūves elementos tās slogojuma gaitā. Līdz ar to jebkura aprēķina pamatā ir būves elementuiekšējo piepūļu noteikšana. Zinot būves elementu izmērus, pēc iekšējām piepūlēmvaram spriest par katra elementa un līdz ar to arī visas būves kopumā stiprību, noturībuun stingumu. Ja būves elementu izmēri nav zināmi, tad pēc projekta aprēķināiegūtajām iekšējām piepūlēm varam noteikt tos izmērus, kuri nodrošina būves stiprības(nestspējas) nosacījumus.Plakanu stieņveida konstrukciju gadījumā iekšējās piepūles parasti ir stieņa asi liecošsmoments - lieces moments (M), stieņa asij perpendikulārs spēks – šķērsspēks (Q) unspēks stieņa ass virzienā - asspēks (N).Jāņem vērā, ka jebkura būve slodzes iespaidā maina savu formu, t. i., deformējas. Deformācijasun iekšējās piepūles ir savstarpēji saistīti faktori, kuru mijiedarbība balstītauz savstarpēja līdzsvara principiem. Tas nozīmē, ka jebkura domās izgriezta būves daļa,pieliekot tās virsmām iekšējām piepūlēm atbilstošus spēkus un momentus, atradīsieslīdzsvarā. Gadījumos, kad būves materiāls savas fiziskās dabas dēļ nav spējīgs nodrošinātšādu līdzsvaru, deformēšanās process turpinās līdz pat sabrukumam.Precīzas uzdevumu nostādnes gadījumos iekšējās piepūles jānosaka, ņemot vērā slodzesdarbības gaitā būves deformēto stāvokli. Tomēr šāda uzdevuma atrisināšana saistītaar būtiskām grūtībām, jo iekšējās piepūles deformētā stāvoklī ir savstarpēji saistītasar pašām deformācijām.6
1. IEVADSBūvju aprēķinu galamērķis ir prognozēt to stiprību, noturību un stingrību. Eksistē trīsbūvju aprēķinu metodes: pēc pieļaujamiem spriegumiem; pēc pieļaujamām (graujošām) slodzēm; pēc robežstāvokļiem.Senākā no šīm metodēm ir pirmā, t.i., konstrukcijas nestspējas novērtējums pēc pieļaujamiemspriegumiem. Šī metode tiek lietota veicot aprēķinus konstrukcijām, kurām vēlnav sastādīti tehniskie nosacījumi to aprēķināšanai pēc robeţstāvokļiem. Konstrukcijasstiprības un formas noturības novērtējums tiek veikts salīdzinot slodzes radīto maksimālonormālo () un tangenciālo () spriegumu vērtības ar konkrētu materiālu pieļaujamajāmspriegumu vērtībām [] un []. Pieļaujamais spriegums tiek pieņemts kā daļa no sprieguma,kurš uz stiprības un noturības aprēķina pamata tiek uzskatīts par bīstamu.Stiprības (vai noturības) nosacījums šīs metodes gadījumā izsakās ar sakarību / bk ,kur: b – bīstamais spriegums, bet k – drošības koeficients (k >1).Drošības koeficients veido materiāla stiprības rezervi ņemot vērā materiāla īpašību izkliedi,gadījuma novirzes ārējās slodzes lielumā un konstrukcijas elementu izmēros, kāarī nosedz aprēķinu neprecizitātes.Aprēķinu metode pēc pieļaujamām slodzēm izstrādāta galvenokārt betona, akmens undzelzsbetona konstrukciju aprēķiniem. Šai gadījumā konstrukcijas stiprības un noturībasnovērtējums tiek veikts salīdzinot uz konstrukciju darbojošos slodzi (saīsināti apzīmējamar P) ar pieļaujamo slodzi [P]. Pieļaujamā slodze tiek pieņemta kā daļa noslodzes, kura to vai citu apsvērumu rezultātā atzīta par bīstamu.Par bīstamu tiek uzskatīta graujošā slodze, kura tiek noteikta ņemot vērā materiāla īpašībasaiz elastības robeţas vai kritiskā, kura izraisa noturības zudumu. Stiprības (noturības)nosacījums izsakās ar sakarībuPP P / bk .Abu metoţu trūkums ir to vienotais drošības koeficients visiem būves noslodzes gadī-7
1. IEVADSjumiem.Šo trūkumu novērš trešā aprēķinu metode – pēc robežstāvokļiem. Konstrukciju robeţstāvoklisir tāds stāvoklis, pie kura būve zaudē spēju pretoties ārējām iedarbēm vai nonāksituācijā, kas nepieļauj tās tālāku ekspluatāciju. Robežstāvokļi dalās divās grupās.Pirmās grupas robeţstāvokļi saistīti ar nestspējas zudumu, otrās ar neatbilstību normālaiekspluatācijai.Pirmās grupas robežstāvokļi ir: kopējais formas noturības zudums; stāvokļa noturībaszudums; trausls, viskozs, noguruma vai cita veida sabrukums; sabrukums slodzesun vides nelabvēlīgās iedarbes summārajā iespaidā; konfigurāciju kvalitatīva izmaiņa;rezonanses svārstības; stāvokļi, kuros jāpārtrauc konstrukcijas ekspluatācija materiālatecēšanas, savienojumu bīdes, šļūdes vai pārmērīgas plaisu atvēršanās dēļ.Pie otrā veida robežstāvokļiem pieskaitāmi stāvokļi, kuri apgrūtina konstrukcijas vaitās pamatu normālu ekspluatāciju vai samazina to ekspluatācijas ilgumu pārmērīgupārvietojumu, svārstību, plaisu un citu iemeslu dēļ.Būvei pirmām kārtām jāatbilst aprēķiniem pēc pirmā veida robežstāvokļa, betpēc tam, atkarībā no būves veida, arī otrā veida robežstāvoklim.Robeţstāvokļu iestāšanās atkarīga no tādiem raksturlielumiem kā materiāla īpašības unbūves darba nosacījumi. Šo raksturlielumu iespējamo izmaiņu gadījumos jāparedz rezerves.Tādēļ veicot aprēķinus pēc pirmā veida robeţstāvokļa, konstrukciju iekšējāspiepūles tiek noteiktas ne no ārējām slodzēm (normatīvām), kuras darbojas uz būviparastos ekspluatācijas apstākļos, bet gan no aprēķinu slodzēm, kuras iegūst normatīvāsslodzes pareizinot ar koeficientu n (pārslodzes koeficientu), kurš vienmēr ir lielākspar vienu. Pārslodzes koeficients būtībā ir drošības koeficients gadījumiem, kad slodzepārsniedz plānoto. Gadījumos, kuros slodzes pieaugums nav iespējams, piem., pašsvaram,pārslodzes koeficients praktiski ir viens.Katram atsevišķam gadījumam tiek paredzēts individuāls pārslodzes koeficients. Šaiapstāklī arī slēpjas aprēķina slodţu jēga.Aprēķinos pēc robeţstāvokļa par materiāla stiprības īpašību raksturlielumu tiek pieņemtaaprēķina pretestība R, kas ir daļa no eksperimentāli noteiktās normatīvās pretes-8
1. IEVADStības R n . Šo daļu nosaka materiāla drošības koeficients k (k>1). TātadR R / nk . Materiāladrošības koeficients k paredz rezervi materiāla vidējo īpašību izmaiņas gadījumamnegatīvā virzienā. Citu uz stiprības rezervi darbojošos faktoru ievērtēšanai, tieklietots darba nosacījumu koeficients m, kurš var būt kā lielāks tā arī mazāks par vienu.Koeficients m ievērtē: temperatūras, mitruma, agresīvās vides, iedarbes ilglaicīguma,slogojuma cikliskuma u.c. faktorus.Veicot materiāla noguruma aprēķinus mainīgu slodţu gadījumā pēc pirmā robeţstāvokļaun veicot stingrības aprēķinus pēc otrā robeţstāvokļa, konstrukcijas iekšējās piepūlestiek noteiktas pēc normatīvajām slodzēm. Tas parasti atbilst elastīgajam būves deformēšanāsapgabalam. Galvenā robeţstāvokļu aprēķinu pielietošanas jēga slēpjas apstāklī,ka vienīgais drošības koeficients tiek aizstāts ar trim (pārslodzes koeficients, materiāladrošības koeficients, darba nosacījumu koeficients), kuri daţādos ekspluatācijasapstākļos ir visai atšķirīgi un tādā veidā ļauj daudz precīzāk ievērtēt reālos konstrukcijasdarba apstākļus.Būvmehānikā ar terminu „būves aprēķins” parasti saprot iekšējo piepūļu un pārvietojumunoteikšanu. Tātad iekšējo piepūļu un pārvietojumu aprēķina metodes arī saucpar būvju aprēķina metodēm. Šīs metodes var būt gan analītiskas, gan arī skaitliskas.Ja analītiskās metodes dod integrāla rakstura rezultātus, tad skaitlisko metoţu rezultātiemir izteikti diferencēts raksturs – tie piemērojami vienam konkrētam uzdevuma nosacījumosfiksētajam gadījumam. Būtiska analītisko metoţu priekšrocība ir to risinājumuvispārīgais raksturs. Tas paver plašas iespējas vispārināt iegūtos rezultātus uz citiemanaloga veida uzdevumiem un veikt pētāmās problēmas analīzi – novērtēt daţādufaktoru iespaidu uz attiecīgās konstrukcijas darbu.1.2. SlodzesĀrējos aktīvos spēkus, kuri iedarbojas uz būvi, sauc par slodzi. Slodzēm var būt kā nepārtraukts,tā arī koncentrēts raksturs. Ar jēdzienu nepārtraukta slodze saprotam pavirsmu izkliedētu slodzi, kuru raksturo tās intensitāte (kN/m 2 ). Siju gadījumā vienmērīgoslodzi attiecina uz sijas garumu un mēra kN/m. Gadījumos, kad virsmas slodzesadalīta pa mazu laukumu salīdzinot ar konstrukcijas izmēriem, to aizstāj ar kopspēku,9
1. IEVADSko uzskata par koncentrētu slodzi.Pēc slodzes darbības ilguma tās iedala īslaicīgās un ilglaicīgās slodzēs. Ilglaicīgas irslodzes, kuras iedarbojas uz būvi nepārtraukti. Tipiska ilglaicīgā slodze ir pašsvars.Īslaicīgo slodţu iedarbībai ir visai ierobeţots darbības laiks. Īslaicīgās slodzes iedalāskustīgās un nekustīgās slodzēs. Kustīgās slodzes pārvietojas pa būvi (transportlīdzekļi).Nekustīgās slodzes noteiktu laiku nemaina savu stāvokli (ēku iekārtas).Pēc iedarbības rakstura slodzes iedala statiskās un dinamiskās. Statiskām slodzēmraksturīgi, ka tās nemaina savu lielumu, virzienu un stāvokli. Pārējās ir dinamiskās slodzes.Gadījumos, kad mainīgās slodzes lielums izmainās plūstoši, ar mazu izmaiņasgradientu un to izmaiņas dinamika rada inerces spēkus, kuri ir salīdzinoši mazi ar pašāmslodzēm, tad šādas slodzes tuvināti var uzskatīt par statiskām. Vispārīgā būvmehānikaskursā tiek analizētas tikai statisko slodţu iedarbības.Inţenierbūvju aprēķins sākas ar ārējo slodţu noteikšanu un analīzi. Tā rezultātā tiek iegūtainformācija par slodţu darbības raksturu - to lielumu, izvietojumu un darbības ilgumu.Raksturīgākie slodţu veidi ir:1. Lietderīgās slodzes, kuru uzņemšanai arī tiek izveidotas inţenierbūves. Šīs slodzesrada būvē izvietotās iekārtas, būvi noslogojošais transports (vilcieni, automašīnas, kustīgiekrāni un to noslodze), hidrostatiskais spiediens ūdens tilpnes norobeţojošās konstrukcijās,zemes spiediens uz atbalsta sieniņām u.c. Lietderīgās slodzes nosaka projektauzdevums, tehniskie noteikumi un standarti.2. Konstrukcijas pašsvaru veido nesošo konstrukciju svars, pārklājumu svars, palīgkonstrukciju(apmetums, apšuvums, aizsargreţģi, margas) svars. Konstrukcijas svarunosaka summējot visu konstrukcijas elementu svarus. Tos aprēķina izmantojot šo elementuģeometriskos izmērus un pielietojamā materiāla īpatnējo svaru. Palīgkonstrukciju(stalaţu) svars parasti dots vai paredzēts jau pirms projektēšanas uzsākšanas. Plānotākonstrukcijas pašsvara noteikšanai tiek lietotas sekojošas metodes:pašsvara noteikšana, izmantojot praksē pastāvošas konstrukcijas svara analoģijulīdzīgas lietderīgās slodzes gadījumā;pašsvara noteikšana pakāpenisko tuvinājumu veidā.10
1. IEVADSPielietojot pakāpenisko tuvinājumu metodi, pieņem pirmo pašsvara tuvināto vērtību unuz tās pamata nosaka nesošās konstrukcijas elementu izmērus un svaru. Izmantojot tādāveidā iegūto svaru, atkārto aprēķinu un iegūst jaunu svara vērtību. Šādu paņēmienu pielietovisai vienkāršu konstrukciju gadījumos, kuru vairākkārtīgi aprēķini nerada grūtības.Eksistē arī citi nesošo konstrukciju svara noteikšanas paņēmieni.3. Atmosfēras slodzes veido sniega un vēja iedarbība. Sniega slodze tiek normēta atbilstošajiemklimatiskajiem apstākļiem. Parasti tiek analizēti gadījumi, kad sniega slodzenosedz pārsegumu daļēji, pilnīgi vai pusi no tā.Normatīvo sniega slodzi uz pārseguma horizontālās projekcijas laukuma vienību nosakaizmantojot izteiksmi:P sniega cp ,kurp – sniega segas svars uz laukuma vienību;c – pārseguma profilu ievērtējošs koeficients (skat. būvnormatīvus).Latvijas apstākļos tiek izmantota vērtībap 0, 7kPa.Arī vēja slodze tiek normēta. Normatīvo vēja slodzi pieņem perpendikulāru ēkas vaitās daļas virsmai un aprēķina reizinot vēja ātruma intensitāti (kPa) ar aerodinamiskokoeficientu. Vēja ātruma intensitāte ir atkarīga no augstuma virs zemes līmeņa. Latvijasteritorijā ir pieņemts, kaAugstums virs zemes līmeņa 10 m 20 m 100 mVēja ātruma intensitāte (kPa) 0,3 0,4 1jūras piekrastes joslā (100 km platumā gar jūras krastu) pieņemtsAugstums virs zemes līmeņa 10 m 20 m 100 mVēja ātruma intensitāte (kPa) 0,55 0,7 1,5Aerodinamiskā koeficienta vērtība mainās atkarībā no būvju virsmas rakstura (sīkākainformācija būvnormatīvos).11
1. IEVADSNosakot konstrukcijas stiprību, stingrību vai noturību analīzē trīs veida slodzes: pamatslodzes,papildslodzes un īpašās slodzesPamatslodzes darbojas uz būvi regulāri vai arī nepārtraukti. Tādas, piemēram, ir lietderīgāslodze, pašsvars un sniega slodze.Papildslodzes uz būvi darbojas neregulāri. Tādas slodzes ir vēja slodze, paaugstinātasintensitātes lietderīgā slodze, temperatūras izmaiņas un balstu sēšanās dēļ radusies slodzestatiski nenoteicamās sistēmās.Īpašās slodzes rodas tikai izņēmuma gadījumos. Tādas var būt seismiskās slodzes,plūdu izraisītais ūdens spiediens u.c.Veicot būvju aprēķinus, ņem vērā daţādas šo slodţu kombinācijas, katrā no gadījumiemizvēloties atšķirīgus drošības koeficientus un pieļaujamos spriegumus. Tā, piemēram,stieptiem, spiestiem un liektiem metāla stieņiem pamatslodzes gadījumā pieļaujamaisspriegums ir 160 MPa, bet vienlaicīgas pamatslodzes un papildslodzes darbībasgadījumā šis spriegums ir 180 MPa. Ievērtējot arī īpašās slodzes, šī spriegumavērtība palielinās vēl par 25 %.1.3. Būves aprēķinu shēmaVisu būves izmēru un tās elementu formas īpatnību un to sadarbības ievērtēšana būvjuaprēķinos ir kā teorētiski tā praktiski ļoti sareţģīts uzdevums un reāli netiek risināts.Būvmehānikā līdzīgi kā visās zinātnes nozarēs tiek izmantota zinātniska abstrakcija,kuras rezultātā reālās būves tiek aizstātas ar to shēmām.Būves shēma – tā ir vienkāršots būves attēls, kurš nosaka slogotas būves izturēšanos,ievērtējot tikai būtiskākos tās aspektus.Shēmā stieņi tiek aizstāti ar līnijām, kuras savieno stieņu šķēlumu smagumcentrus. Šīslīnijas ir stieņu asis. Reālās balstu ierīces tiek aizstātas ar ideālām balstu saitēm. Slodzeno konstrukcijas elementu virsmas tiek pārnesta uz to asīm.Būvju aprēķini tiek veikti izmantojot aprēķinu shēmas. Gadījumos, ja būves pilnā shēmair pietiekami vienkārša aprēķinu veikšanai, tā arī tiek izmantota par aprēķinu shēmu. Pārējosgadījumos tiek veikta pilnās shēmas vienkāršošana, atmetot mazāk būtiskos fakto-12
1. IEVADSrus. Tātad var teikt, ka aprēķinu shēma ir vienkāršota pilnā būves shēma (att. 1.1).att. 1.1Aprēķinu shēmas izvēle ir sareţģīts un atbildīgs darbs. No tās pirmām kārtām ir atkarīgaaprēķinu kvalitāte. Izmantojot nepareizu aprēķinu shēmu, pat ļoti precīzas aprēķinumetodes dod kļūdainu rezultātu.Tuvinātu aprēķinu veikšanai var izmantot mazāk precīzas aprēķinu shēmas, bet veicotgalīgos aprēķinus, šīs shēmas jāprecizē. Iegūtie rezultāti jāsalīdzina un jānovērtē toprecizitāte.Datoru iespējas bieţi vien pieļauj par aprēķinu shēmu izmantot konstrukcijas pilnoshēmu un tātad ievērtēt mazāk būtiskus inţenierbūves konstruktīvās darbības faktorus.Lielākā inţenierbūvju daļa ir sareţģītas sistēmas konstrukcijas. Tā, piem., (att. 1.2a)attēlotie pārsegumi sastāv no stieņiem, plātnēm, cilindriskām čaulām. Tāda veida inţenierbūvjuaprēķinu metodes ir visai sareţģītas. Līdz ar to viens no grūtākajiem uzde-13
1. IEVADSvumiem ir izvēlēties aprēķinu shēmu. Šī uzdevuma sekmīga veikšana ir atkarīga noinţeniera erudīcijas, no viņa spējas katrā aprēķinu etapā pareizi atmest nebūtiskos faktorusun saglabāt faktorus, kuri būtiski iespaido konstrukcijas darbu.att. 1.2Aprēķinu shēmas izvēli iespaido nepieciešamā aprēķina precizitāte, aprēķinam atvēlētaislaiks un skaitļošanas līdzekļu pieejamība. Bieţi vien pirmajā projektēšanas stadijāaprēķini tiek veikti izmantojot visai tuvinātu aprēķinu shēmu turpmākajā aprēķinu gaitāto aizvien papildinot.att. 1.3Praktiski lielākā daļa inţenierbūvju sastāv no daţādiem konstruktīviem elementiem(stieņiem, sijām, plātnēm, čaulām), kuri, savā starpā savienoti ar saitēm, veido vienotukonstrukciju.Tāpat kā inţenierbūves arī to pilnās un aprēķinu shēmas būvmehānikā tiek klasificētasizmantojot daţādas to pazīmes.Pirmām kārtām tiek veikts inţenierbūvju iedalījums pēc konstrukcijas elementu vei-14
1. IEVADSdiem.att. 1.4No stieņiem veidotās konstrukcijas sauc par stieņusistēmām (att. 1.3a). No plātnēm veidotās konstrukcijassauc par plānsienu prizmatiskām sistēmām(att. 1.3b), bet sistēmas, kuru elementu izmēritrīs savstarpēji perpendikulāros virzienos ir samērojami,sauc par masīvām sistēmām (att. 1.3c).Pēc konstruktīvo elementu izvietojuma īpatnībāmstieņu sistēmas sadala plakanās un telpiskās sistēmās.Par telpiskām uzskata sistēmas, kuru elementuasis vai slodzes neatrodas vienā plaknē (att. 1.4).att. 1.5Plakano sistēmu elementu asis un tām pieliktoārējo slodţu darbības virzieni praktiski atrodas vienā plaknē. Plakanas sistēmas visaireti tiek izmantotas kā patstāvīgi inţenierdarinājumi. Parasti tās veido telpisku inţenierbūvjusastāvdaļas, bet bieţi vien (slodze darbojas plakanās konstrukcijas plaknē)var tikt aprēķinātas kā patstāvīgas konstrukcijas. Tas būtiski vienkāršo aprēķinus. Tā,piemēram, angāra metāliska karkasa (att. 1.5) visi trīs izmēri ir samērojami un konstrukcijajāuzskata par telpisku. Tomēr veicot šāda karkasa projektēšanu visai pamatotsir pieņēmums par tā sadalīšanu plakanās sistēmās: galvenajās kopnēs un tām šķērsāspapildus kopnēs, kuras balstās uz galvenajām un savukārt balsta angāra pārsegumu.1.4. Balstu konstrukciju kinemātiskā analīzeBūvdarinājumi savā būtībā ir uz nekustīgiem balstiem veidotas laikā un telpā ģeometriskinemainīgas konstrukcijas, kuras spēj uzņemt ekspluatācijas slodzes, saglabājotkonstrukcijas nestspēju. Par balstiem sauc konstruktīvus veidojumus, kas savieno būviar nekustīgiem pamatiem un pilnīgi vai daļēji ierobeţo tās kustību. Visi praksē lietojamiebalsti ir telpiskas konstrukcijas. Plakanās sistēmās balsti strādā kā plakanas konstrukcijas,jo ierobeţo sistēmas pārvietojumus plaknē. Būves un balstu saskares vietārodas balstu reakcijas. Attiecībā pret būvi balstu reakcijas ir pasīvi ārējie spēki, kuri15
1. IEVADSnevar mainīt būves stāvokli, bet tikai līdzsvaro ārējo slodzi. Balstu reakcijas ir vektoriālilielumi un tās raksturo pielikšanas punkts, reakcijas virziens un lielums.Par galvenajiem balstu tipiem, kuri tieklietoti konstruktīvu sistēmu saistīšanai arpamatiem, uzskatāmi:Kustīgs locīklas balsts;Nekustīgs locīklas balsts;Iespīlēts nekustīgs balsts;Iespīlēts kustīgs balsts;Elastīgs balsts.Kustīgs locīklas balsts (att.1.6a) sastāv nodivām savstarpēji balansējošām daļām,starp kurām ievietots cilindrveida veltnis.Apakšējā daļa pa atbalsta plakni var pārvietotiesvirzes kustībā, kuru realizē veltņusistēma. Šī veida balstam ir divas kustībasbrīvības pakāpes. Balsts neierobeţo būveshorizontālo pārvietojumu un pagriezienu apcilindriskā veltņa centru, bet ierobeţo tikaiatt. 1.6vertikālo pārvietojumu. Ierobeţotā pārvietojumavirzienā balstā rodas spēks - balsta reakcija V perpendikulāri atbalsta plaknei.Būvju shēmā kustīgo locīklu attēlo stieņa veidā, kura galos ir locīklas (att.1.6a).Nekustīgs locīklas balsts (att. 1.6b) konstruktīvi atšķiras no iepriekšējā veida balsta arto, ka tam nav virzes kustību nodrošinošo gultņu. Līdz ar to šī veida balstam ir tikai vienakustības brīvības pakāpe, t.i. pagrieziens ap veltņa asi. Reakcija šādā balstā ir spēks, kuršiet caur locīklas centru, bet tā virziens var būt patvaļīgs. Šo virzienu nosaka reakcijaskomponenšu (piem., horizontālās un vertikālās) attiecība. Shematiski šādu balstu veiduattēlo ar diviem saejošiem stieņiem, kuru galos ir ideālas locīklas. Stieņu orientāciju varizvēlēties patvaļīgi. Plašāk izmantojamās locīklu shēmas parādītas att. 1.6b.16
1. IEVADSNekustīgs iespīlēts balsts (att. 1.6c) ir balsts kuram nav brīvības pakāpju. Šāda balstareakciju nosaka trīs parametri, piem., kāda spēka caur patvaļīgu punktu vērtība un virziensun moments pret šo punktu. Šādu reakciju var stādīties priekšā arī kā nekustīgaslocīklas reakciju un reaktīvo momentu šai locīklā. Shematiski iespīlējumu var attēlot att.1.6c parādītos veidos. Otrā gadījumā, lai varētu iespīlējumu uzskatīt par absolūti stingu,attālumam 0 jābūt ļoti mazam, vai stienim ar garumu 0 jābūt bezgalīgi stingam.Iespīlēts kustīgs balsts (slīdošs iespīlējums, att. 1.6d) pieļauj mezgla horizontālu pārvietošanos,bet izslēdz tā pagriešanos. Šai gadījumā reakcijas horizontālā komponenteir nulle. Jānosaka balsta vertikālā reakcija un moments iespīlējumā. Shematiski iespīlētskustīgs balsts tiek attēlots ar diviem paralēliem stieņiem.Elastīgiem balstiem (att. 1.6e) atšķirībā no iepriekšējiem balstu veidiem, kuros katrabalsta saite ir stinga, daţas no saitēm pieļauj pārvietojumus šo saišu virzienos. Atbilstošāsreaktīvās piepūles nav konstantas, bet mainās balstiem pārvietojoties. Šāda tipa balstupiemērs ir balsti, kuri var elastīgi pagriezties ap balsta asi. Šādu balstu reaktīvaismoments parasti ir proporcionāls pagrieziena leņķim:M k M .Lineāri saspieţamu balstu gadījumā (att. 1.6e) reaktīvā vertikālā reakcija parasti tiekuzskatīta par proporcionālu balsta pārvietojumam:V k .VŠajās sakarībās parametri k M un k V ir proporcionalitātes koeficienti un raksturo balstupadevīgumu.Proporcionalitātes koeficients, kurš tiek saukts arī par padevīguma koeficientu, irkonkrētai gruntij konstants lielums. Koeficients k V raksturo grunts pretspiedienu, kādsveidojas balstā saspieţot grunti par vienu vienību. Daţādām gruntīm padevīguma koeficientavērtības ir atšķirīgas un var mainīties visai plašā diapazonā. Eksperimentāliepētījumi rāda, ka maza blīvuma gruntīm ( plūstoša smilts, svaigs smilšu uzbērums,slapjš māls), vidēja blīvuma gruntīm (nostāvējusies smilts, šķembas), blīvām gruntīm(blīva nostāvējusies smilts, sauss māls) un cietām gruntīm (kaļķakmens, smilšakmens)padevīguma koeficientu vērtības attiecas kā 1 : 5 : 50 : 200.17
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEEkspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz mainasākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma unizmēru maiņa iespējama tikai sistēmas elementu deformēšanās dēļ, sauc par ģeometriskinemainīgām, bet sistēmas, kurās to elementu savstarpējā pārvietošanās iespējamabez šo elementu deformēšanās, sauc par ģeometriski mainīgām sistēmām.Sistēmas, kuras deformēšanās sākuma momentā ir ģeometriski mainīgas un pēc tamkļūst nemainīgas sauc par acumirklīgi mainīgām sistēmām. Šādām sistēmām raksturīgaslielas iekšējās piepūles un pārvietojumi.Būvpraksē virszemes celtniecībā tiek izmantotas vienīgi ģeometriski nemainīgassistēmas.Pazemes būvju celtniecībā atsevišķos gadījumos var tikt pielietotas ģeometriski mainīgassistēmas. Tādi ir speciāla profila pazemes lokveida vai gredzenveida nostiprinājumi,kuri izveidoti tā, ka sasniedzot noteiktu uz stiprinājumu darbojošās slodzes lielumu,notiek sistēmas elementu slīdēšana un fiksācija.Pirms būves aprēķinu veikšanas, pēc aprēķinu shēmas izvēles, nepieciešams veikt būvesstruktūras analīzi un pārliecināties, ka sistēma ir ģeometriski nemainīga.Jebkura ierīce, kura ierobeţo sistēmas punktu vai elementu savstarpējā stāvokļamaiņu, ir saite. Saišu skaitam un to savstarpējam izvietojumam, pirmkārt, jānodrošinabūves nekustību attiecībā pret nekustīgu pamatu, un, otrkārt, pašas sistēmasģeometrisko nemainīgumu.Saiti, kuru atmetot, ģeometriski nemainīga sistēma kļūst par mainīgu, sauc par nepieciešamu(obligātu). Ja atmetot kādu ģeometriski nemainīgās sistēmas saiti, sistēma paliekģeometrisko nemainīga, tad šādu saiti sauc par lieku (neobligātu).Ierīces, kuras savieno būvi ar tās pamatiem un ierobeţo būves pārvietojumus, sauc parbalstiem. Visi praksē lietojamie balsti ir telpiskas konstrukcijas. Plakanās sistēmās balstistrādā kā plakanas konstrukcijas, jo ierobeţo sistēmas pārvietojumus plaknē.18
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE2.1. Ģeometriski nemainīgas un mainīgas sistēmasViena no galvenajām prasībām, kas tiek izvirzīta jebkurai konstrukcijai, ir prasība, laitā saglabātu savu sākotnējo formu visā ekspluatācijas laikā. Šādai prasībai atbilst tāsaucamās ģeometriski nemainīgās sistēmas.Sistēmas, kas sastāv no trijiem ar locīklām savienotiemstieņiem – locīklu trīsstūra (att. 2.1a)forma nemainīsies ekspluatācijas laikā, jo trīsstūriviennozīmīgi var uzdot uzdodot tā maluatt. 2.1garumus.Tomēr, slogojot ar ārējo slodzi, šā trīsstūraforma nedaudz mainīsies sistēmas elementu deformēšanās rezultātā (att. 2.1b).Par ģeometriski nemainīgu sauc sistēmu, kuras forma var mainīties tikai sistēmaselementu deformēšanās rezultātā.Nemainīgas sistēmas raksturīga īpašība ir tā, ka tās elementi nevar mainīt savu novietojumuvienam attiecībā pret otru un pret zemi bez sistēmas elementu izmēru maiņas.Locīklu trīsstūris ir visvienkāršākā ģeometriski nemainīgā sistēma.Par ģeometriski mainīgu sauc sistēmu, kuras forma var būtiski mainīties tās elementiempārvietojoties vienam attiecībā pret otru vai attiecībā pret zemi bez šo elementudeformēšanās.Mainīgas sistēmas raksturīga īpašībair tā, ka tās formas izmaiņa izsaucsistēmas elementu galīgus pārvietojumusbez to izmēru maiņasatt. 2.2(att. 2.2a).Lai novērstu sistēmas ģeometriskomainību sistēmā jāieved papildus saites, piemēram, viens vai otrs diagonālstienis att.2.2b parādītajai sistēmai.Celtniecībā lieto tikai ģeometriski nemainīgas sistēmas, vai tādas, kas kļūst ģeometriskinemainīgas tās pievienojot ģeometriski nemainīgam pamatam (zemei).19
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE2.2. Sistēmas kustības brīvības un mainīguma pakāpeLai veiktu sistēmas struktūras analīzi jāieved tādi jēdzieni kā disks, sistēmas kustībasbrīvības pakāpe un mainīguma pakāpe.Par disku sauc atsevišķu sistēmas elementu,kas veido plakanu sistēmu (vienkāršsdisks), veselu nemainīgu plakanu sistēmuvai tās nemainīgu daļu (paplašināts disks)vai nemainīgu pamatu.att. 2.3Tātad, piemēram, apskatot kopni, par diskuvar ņemt atsevišķu stieni, visu nemainīgu kopni vai tās nemainīgu daļu, kā arī zemi.Jebkuru disku pieņemts attēlot kā patvaļīgas formas plakanu figūru. No struktūranalīzesviedokļa att. 2.3a,b,c attēlotie gadījumi ir pilnīgi analogi. Visi viņi parāda ģeometriskinemainīgu sistēmu – locīklu trīsstūri. Par cik locīklu trīsstūris ir ģeometriski nemainīgasistēma, mēs to varam ņemt par disku. Tikpat labi par disku var ņemt arī katrusistēmas stieni.Par sistēmas kustības brīvības pakāpi (apzīmē ar W) sauc minimālo ģeometriskoparametru skaitu, kas neatkarīgi viens no otra mainās sistēmai pārvietojoties attiecībāpret zemi.Tātad kustības brīvības pakāpe tiek rēķināta attiecībā pret zemi.Noskaidrosim kāda ir kustības brīvības pakāpe brīvam, pie zemes nepiestiprinātamdiskam (att. 2.4).Pieņemam, ka koordinātu sistēma x, y ir piesaistīta zemei. Uzdiska nofiksējam taisni AB. Diska stāvokli telpā šajā gadījumāviennozīmīgi nosaka trīs parametri: punkta A koordinātes x uny un taisnes AB pagrieziena leņķis pret horizontālo virzienu φ.Šie paši trīs parametri mainās arī diskam pārvietojoties attiecībāpret zemi un tātad brīva, pie zemes nepiestiprināta diskaatt. 2.4kustības brīvības pakāpe ir vienāda ar 3.Sistēmas kustības brīvības pakāpi var ierobeţot ievedot saites. Apskatīsim sistēmu, kas20
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEsastāv no diviem brīviem diskiem (att. 2.5a). Katra diska kustības brīvības pakāpe ir 3un līdz ar to sistēmas kustības brīvības pakāpe ir 6. Lai samazinātu sistēmas kustībasbrīvības pakāpi varam izmantot sekojošas saites:1. pirmā veida saite – stienis ar locīklām galā (att. 2.5b). Šādā saitē var rasties reakcijastieņa ass virzienā un šāda saite ierobeţo divu disku savstarpējo pārvietojumu virzienā,kas sakrīt ar stieņa virzienu. Pirmā veida saite samazina sistēmas kustības brīvībaspakāpi par vienu vienību.Apskatāmās sistēmas kustības brīvības pakāpe šajā gadījumā kļūst vienāda ar 5.2. otrā veida saite – vienkāršacilindriska locīkla(att. 2.5c). Šādā saitē reakcijavispārīgā gadījumā varrasties patvaļīgā virzienā.Šo reakciju vienmēr varamsadalīt vertikālā un horizontālākomponentē V un H.Vienkārša cilindriska locīklaierobeţo divu disku savstarpējopārvietojumu vertikālāatt. 2.5un horizontālā virzienā (neierobeţodisku savstarpējopagriezienu) un samazina sistēmas kustības brīvības pakāpi par divām vienībām.Apskatāmās sistēmas kustības brīvības pakāpe šajā gadījumā kļūst vienāda ar 4. Vienkāršacilindriska locīkla ir ekvivalenta diviem stieņiem ar locīklām galā.3. trešā veida saite – vienkārša stinga saite (att. 2.5d). Šādā saitē var rasties reakcijapatvaļīgā virzienā, kuru varam sadalīt vertikālā un horizontālā komponentē V un H unmoments M. Vienkārša stinga saite neļauj diviem diskiem pārvietoties vienam attiecībāpret otru ne vertikālā ne horizontālā virzienā ne arī pagriezties un samazina sistēmaskustības brīvības pakāpi par trim vienībām.Apskatāmās sistēmas kustības brīvības pakāpe kļūst vienāda ar 3. Šāda kustības brīvī-21
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEbas pakāpe ir brīvam diskam un mēs varam teikt, ka vienkārša stinga saite apvieno divusdiskus vienā paplašinātā diskā. Vienkārša stinga saite ir ekvivalenta trim stieņiemar locīklām galā.Ja locīkla vai stinga saite savieno vairāk par diviem diskiem, tad šādas saites sauc par saliktām.Katra salikta saite, kura savieno m stieņus, ir ekvivalenta m–1 vienkāršai saitei.Lai pierādītu šo izteikumu saliktas locīklas gadījumā,apskatīsim sistēmu, kas sastāv no m diskiem divosstāvokļos: stāvoklī, kad visi diski ir brīvi, un stāvoklī,kad tie ir savienoti ar saliktu locīklu. Kustības brīvībaspakāpes izmaiņa pārejot no viena stāvokļa otrāparādīs, par cik sistēmas kustības brīvības pakāpi irsamazinājusi ievestā saliktā locīkla.att. 2.6Pirmajā stāvoklī, kad visi sistēmas diski ir brīvi, sistēmaskustības brīvības pakāpe ir vienāda ar trīskāršotu disku skaitu 3m (katra brīvadiska kustības brīvības pakāpe ir 3).Lai noteiktu sistēmas kustības brīvības pakāpi otrajā stāvoklī, apskatam att. 2.6. Visusistēmas disku (stieņu) stāvokli nosaka p-ta A koordinātes x un y un katra stieņa pagriezienaleņķis pret horizontālo virzienu φ m , tātad sistēmas kustības brīvības pakāpeotrajā stāvoklī būs vienāda ar m+2. Ievestā saliktā locīkla ir samazinājusi sistēmas kustībasbrīvības pakāpi par lielumu3m – (m+2)=2m – 2= 2(m – 1).Tā kā katra vienkārša locīkla samazina sistēmaskustības brīvības pakāpi par 2 vienībām, tad mēsredzam, ka saliktā locīkla ir ekvivalenta m–1vienkāršai locīklai, ko arī vajadzēja pierādīt.Att. 2.7a parādītā locīkla savieno četrus stieņusatt. 2.7un ir ekvivalenta trim vienkāršām locīklām. Šādulocīklu sauc par trīskāršu. Att. 2.7b un d parādītās locīklas ir divkāršas, bet att. 2.7cparādītā locīkla ir vienkārša.22
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEIegūsim sakarību kustības brīvības pakāpes noteikšanai pie zemes piestiprinātai sistēmai,kas sastāv no lielāka skaita disku (piemēram, att. 2.8 attēlotajai sistēmai). Ievedīsimsekojošus apzīmējumus:D – disku skaits sistēmā (lai atvieglotu aprēķinus, ieteicams pēc iespējas izvēlēties paplašinātusdiskus);L – summārais vienkāršo un uz vienkāršajām reducēto salikto locīklu skaits. Lai iegūtuL, vispirms saskaitām vienkāršās locīklas, tas ir tādas, kas savieno divus diskus un apzīmējamar L 2 . Pēc tam saskaitām divkāršās locīklas, tas ir tādas, kas savieno trīs diskusun apzīmējam ar L 3 . Par cikkatra divkārša locīkla ir ekvivalentadivām vienkāršām locīklām, L 3pareizina ar 2. Pēc tam saskaitāmtrīskāršās locīklas, tas ir tādas, kassavieno četrus diskus un apzīmējamar L 4 . Par cik katra trīskāršaatt. 2.8locīkla ir ekvivalenta trijām vienkāršām locīklām, L 4 pareizinām ar 3. Analogi tiek saskaitītasvisas locīklas. Iegūtos rezultātus apvienojam vienā izteiksmē:L = 1·L 2 +2·L 3 +3·L 4 +4·L 5 +·····; (2.1)Analogu izteiksmi iegūstam arī summārajam vienkāršo un uz vienkāršajām reducētostingo saišu skaitam C:C = 1·C 2 +2·C 3 +3·C 4 +4·C 5 +·····; (2.2)S sist – sistēmas stieņu skaits, tas ir tādu pirmā veida saišu skaits, kas savieno savā starpādiskus (att. 2.8, stieņi 1 un 2);S atb – atbalststieņu skaits, tas ir tādu pirmā veida saišu skaits, kas pievieno sistēmu zemei(att. 2.8, stieņi 3-7).Lai iegūtu sistēmas kustības brīvības pakāpi, sākumā pieņemam, ka visi diski ir brīvi.Šajā gadījumā sistēmas kustības brīvības pakāpe ir vienāda ar 3D.Izveidotās saites samazina sistēmas kustības brīvības pakāpi sekojošā veidā:1. locīklas - par lielumu 2L, jo katra vienkārša locīkla samazina sistēmas23
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEkustības brīvības pakāpi par 2 vienībām;2. stingās saites - par lielumu 3C, jo katra vienkārša stinga saite samazinasistēmas kustības brīvības pakāpi par 3 vienībām;3. sistēmas stieņi - par S sist ;4. atbalststieņi - par S atb .Rezultātā pie zemes piestiprinātas sistēmas kustības brīvības pakāpi W nosakaizteiksme:W = 3D – (2L + 3C + S sist + S atb ). (2.3)Gadījumā ja visus diskus, kas savienoti ar stingām saitēm, apvienojam paplašinātosdiskos, varam iztikt bez stingo saišu uzskaitīšanas un izteiksme sistēmas kustības brīvībaspakāpes W noteikšanai vienkāršojas:W = 3D – (2L + S sist + S atb ). (2.4)Att. 2.8 parādītajai sistēmai diskus 4, 5 un 6 apvienojam vienā paplašinātā diskā. Līdzar to stingās saites var neievērot un kopējais disku skaits sistēmā ir 5. Atrodam summārovienkāršo un uz vienkāršajām reducēto salikto locīklu skaitu (ir viena vienkārša unviena divkārša locīkla):L = 1·L 2 +2·L 3 = 1·1 + 2·1 = 3.Sistēmai ir divi sistēmas stieņi (stieņi 1 un 2) un pieci atbalststieņi (stieņi 3-7). Izmantojotsakarību kustības brīvības pakāpes noteikšanai iegūstamW = 3D – (2L + S sist + S atb ) = 3·5 – (2·3 – 2 – 5 ) = 2.Tātad att. 2.8 attēlotās sistēmas kustības brīvības pakāpe ir 2.Jāatzīmē, ka disku izvēle veicot sistēmas struktūras analīzi ir samērā brīva. Stieni varamapskatīt gan kā stieni, gan kā disku. Aprēķina rezultāts no tā nedrīkst mainīties.Piemēram, att. 2.8 parādītajai sistēmai stieņus 1 un 2 varam uzskatīt par atsevišķiemdiskiem. Tādā gadījumā sistēmā būs 7 diski, aprēķinot L būs jāņem 5 vienkāršas unviena divkārša locīkla, sistēmas stieņu nebūs vispār, bet atbalststieņi tāpat paliek 5:L = 1·5 + 2·1 = 7; W = 3·7 – (2·7 + 0 + 5) = 2.Ja apskatāmā sistēma ir brīva (nav piestiprināta pie zemes) vai zeme ir iekļauta sistēmākā disks, sistēmai aprēķina nevis kustības brīvības pakāpi W, bet mainīguma pakāpi I24
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEatt. 2.9I = 3(6 – 1) – (2·3 + 7) = 2(šajā gadījumā sistēmā nav atbalststieņu):I = 3(D – 1) – (2L + 3C + S sist ) (2.5)vai, ja neievērojam stingās saitesI = 3(D – 1) – (2L + S sist ). (2.6)Ja att. 2.8 parādītajai sistēmai zemipaņemam par disku (att. 2.9), jārēķinasistēmas mainīguma pakāpe.Ņemot diskus 4, 5 un 6 par vienupaplašinātu disku, disku skaits sistēmāir 6, L = 3, S sist = 7 un mainīgumapakāpetāpat kā iepriekš.Tātad neatkarīgi no disku izvēles un tā, vai rēķinam kustības brīvības pakāpi pie zemespiesaistītai sistēmai vai mainīguma pakāpi brīvai sistēmai vai tādai, kurā zeme ir iekļautakā disks, iegūtais rezultāts ir viens un tas pats. Konkrētajā gadījumā 2. Ko nozīmēšis skaitlis?Atkarībā no iegūtās sistēmas kustības brīvības pakāpes vai mainīguma pakāpes vērtībasvaram konstatēt:1. W > 0I > 02. W = 0I = 0Sistēmai nav pietiekošs saišu skaits, lai tā varētu būt ģeometriski nemainīga.Tātad sistēma ir ģeometriski mainīga.Sistēmai ir minimāli nepieciešamais saišu skaits, lai tā varētu būt ģeometriskinemainīga. Lai sistēma būtu ģeometriski nemainīga, nepieciešams,lai ievestās saites būtu izvietotas pareizi. Pie nepareiza saišu izvietojumasistēma var būt ģeometriski mainīga vai acumirklīgi mainīga.Sistēmas, kurām izpildās šis noteikums, ir statiski noteicamas. Balstureakcijas un iekšējās piepūles šādās sistēmās var atrast izmantojot statikasvienādojumus.25
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE3. W < 0I < 0Sistēmā ir tā saucamās liekās saites, tas ir tādas, kas nav nepieciešamassistēmas ģeometriskās nemainības nodrošināšanai. Pie nepareiza saišuizvietojuma arī šāda sistēma var būt ģeometriski mainīga vai acumirklīgimainīga.Sistēmas, kurām izpildās šis noteikums, ir statiski nenoteicamas. Laiatrastu balstu reakcijas un iekšējās piepūles šādās sistēmās bez statikasvienādojumiem nepieciešami papildus vienādojumi, kas ņem vērā sistēmasdeformēšanos.Apvienojot gadījumus 2 un 3 iegūstam sistēmas ģeometriskās nemainības nepieciešamonosacījumuW 0 . (2.7) I 0Lai sistēma būtu ģeometriski nemainīga, šim nosacījumam ir obligāti jāizpildās. Diemţēlšī nosacījuma izpildīšanās nenodrošina sistēmas ģeometrisko nemainību. Lai sistēmabūtu ģeometriski nemainīga, saitēm sistēmā ir jābūt pareizi izvietotām.Piemēram, att. 2.10 parādītajai sijaikustības brīvības pakāpe ir vienāda ar0 un ģeometriskās nemainības nepieciešamaisnosacījums izpildās, tomēratt. 2.10sistēma acīmredzami ir ģeometriski mainīga. Lai sija kļūtu ģeometriski nemainīga,kāds no vertikālajiem balstiem no posma AE jāpārvieto uz posmu EF vai posmu FD.Izrādās, ka ir vesela sistēmu grupa, kurām var izpildīties sistēmas ģeometriskās nemainībasnepieciešamais nosacījums, bet kuras tomēr nelieto celtniecībā. Tās ir tā saucamāsacumirklīgi mainīgās sistēmas.2.3. Acumirklīgi mainīgas sistēmasPar acumirklīgi mainīgām sauc sistēmas, kurām slogojuma sākuma momentā iespējamibezgalīgi mazi sistēmas elementu pārvietojumi bez to deformēšanās ļoti īsā laika26
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEsprīdī, pēc kura sistēma kļūst nemainīga.Att. 2.11a parādītajai sistēmai šāds pārvietojums irpunkta C vertikālais pārvietojums.Celtniecībā acumirklīgi mainīgas sistēmas nelieto,jo:1. reālā konstrukcijā „bezgalīgi mazie” pārvietojumikļūst ievērojami;att. 2.112. šādas sistēmas elementos rodas ļoti lielas iekšējāspiepūles (piemēram, att. 2.11b parādītajai sistēmai aksiālspēks stieņos N∞, jaleņķis α0).Acumirklīgi mainīgas sistēmas var atšķirt pēc sekojošām pazīmēm:1. triju stieņu, kas savieno divus diskus, darbības līnijaskrustojas vienā punktā.Iespējamais „bezgalīgi mazais pārvietojums” ir augšējādiska pagrieziens ap stieņu darbības līniju krustpunktu.2. triju stieņu, kas savieno divus diskus, darbības līnijasir paralēlas.Iespējamais „bezgalīgi mazais pārvietojums” ir augšējādiska pārvietojums horizontālā virzienā attiecībāpret apakšējo disku.3. trīs reālas vai fiktīvas locīklas, kas savieno trīs diskus,atrodas uz vienas taisnes.Ar „fiktīvu locīklu” šeit saprotam divu stieņu, kas savienodivus diskus darbības līniju krustpunktu.Iespējamais „bezgalīgi mazais pārvietojums” ir punktaB vertikālais pārvietojums.Celtniecībā cenšas nelietot arī sistēmas, kuru struktūra ir tuva acumirklīgi mainīgu sistēmustruktūrai.27
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE2.4. Ģeometriski nemainīgu sistēmu veidošanas noteikumiPirms sākt izvēlētās konstrukcijas aprēķinu ir jābūt pārliecībai, ka tā ir ģeometriskinemainīga. Lai izveidotā sistēma būtu ģeometriski nemainīga un varētu tikt izmantotaceltniecībā, jāievēro noteikti ģeometriski nemainīgu sistēmu veidošanas noteikumi:1. mezgls un disks veido ģeometriski nemainīgu sistēmu, ja mezgls pievienots diskamar diviem stieņiem, kuru asis neatrodas uz vienas taisnes.Pareizs savienojumsNepareizs savienojumsacumirklīgi mainīga sistēmaŠādus divus stieņus sauc pardiādi. Diādei piemīt divasīpašības, kuras ļoti ērti izmantot,lai no sistēmas izdalītuģeometriski nemainīgas daļas– diskus:a) Ja ģeometriski nemainīgai sistēmai pievieno jaunu mezglu ar diādes palīdzību, tadiegūtā sistēma arī ir ģeometriski nemainīga;b) Ja no kādas sistēmas atmetot diādi iegūtāsistēma ir ģeometriski nemainīga, tad arīsākotnējā sistēma ir bijusi ģeometriski nemainīga.Piemērs 2.1. Veikt attēlā 2.12a parādītāskopnes struktūras analīzi.Atrisinājums. Sākot sistēmas struktūrasanalīzi ieteicams izvēlēties paplašinātusatt. 2.12diskus, tas ir, no sistēmas izdalīt ģeometriskinemainīgas daļas un turpmāk apskatīt to kā tās savstarpēji savienotas.Šoreiz mācību nolūkā rīkosimies savādāk. Par diskiem izvēlēsimies visus kopnes stieņusun aprēķināsim brīvas sistēmas mainīguma pakāpi I:I=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(37-1)-(254-0)=0, kur:D – disku skaits sistēmā ir vienāds ar 37 (stieņu skaits);28
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEL=1L 2 +2L 3 +3L 4 +4L 5 +.... summārais vienkāršo un uz vienkāršām reducēto locīkluskaits ir vienāds ar 54, jo sistēma satur L 2 =4 vienkāršas, L 3 =0 divkāršas, L 4 =14 trīskāršasun L 5 =2 četrkāršas locīklas (att. 2.12b);S sist. – sistēmas stieņu skaits ir 0, jo visi stieņi ir pieņemti par diskiem.Sistēmas mainīguma pakāpe 0 nozīmē, ka sistēmai ir minimālais saišu skaits, lai tā varētubūt ģeometriski nemainīga un tātad jāveic sistēmas struktūras analīze. Šoreiz izdevīgiizmantot diādes īpašības.Ja izmantojam pirmo īpašību, tad sākumā atrodam sistēmā kādu tās ģeometriski nemainīgudaļu, piemēram locīklu trīsstūri 4-10-17 att. 2.12, un pārbaudām, cik sistēmasmezgli var tai tikt pievienoti ar diādu palīdzību. Ja varam pievienot visus mezglus, kātas ir šoreiz (ejot pa kreisi mezgli 3, 16, 9, 2, 15, 8, 1, 14, simetriskai sistēmai labo pusivaram neapskatīt), tad sistēma ir ģeometriski nemainīga. Ja varam pievienot daļu mezglu,tad esam izdalījuši ģeometriski nemainīgu sistēmas daļu, kuru varam pieņemt parpaplašinātu disku.Izmantojot otro diādu īpašību, atmetam no sistēmas diādes (no kreisās puses apgrieztāsecībā kā iepriekšējā gadījumā) un skatāmies kāda sistēma paliks beigās: ja ģeometriskinemainīga, tad arī sākotnējā sistēma ir ģeometriski nemainīga.Piemērs 2.2. Noteikt sistēmas (att.2.13b) kustības brīvības pakāpi.Izveidot statiski noteicamu sistēmuatmetot liekās saites.Atrisinājums. 1. Pamatojoties uzsakarību W = 3D – 2L – S b nosakāmsistēmas lieko saišu skaitu.att.2.13Tas ir W = 3·25 – 2·(6 + 3·11) - 3 = - 6. Tātad sistēma satur sešas liekas saites (gan att.2.13a parādītā konstrukcijas shēma, gan att. 2.13b parādītā aprēķina shēma).Analizējamajā sistēma nesatur liekus balstu stieņus. Līklīnijas formas stieni ar zemisaista trīs pareizi izvietotas saites un zeme kopā ar stieni veido paplašinātu disku. Laiatrastu liekās saites, tas ir tādas, kas nav nepieciešamas sistēmas ģeometriskās nemai-29
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEnības nodrošināšanai, lokveida sijai ar diādi pievienojam mezglu 1, tad mezglu 2, mezglu3 pievienojot nav nepieciešams stienis A-3, mezglu 4 – stienis 4-7, mezglu 5 – stienis5-8, mezglu 6 – stieņi A-6 un 6-9, mezglus 7 un 8 arī pievienojam ar diādēm, pievienojotmezglu 9 paliek lieks stienis A-9. Tādā veidā konstatējam, ka sešas saites irliekas. Šis, protams, nav vienīgais veids kā atmest liekās saites. Lasītājam iesakām izveidotcitu iespējamu struktūru, piemēram, izslēdzot simetriski izvietotus stieņus.Viens no paņēmieniem, kā pārveidot statiski nenoteicamu sistēmu par statiski noteicamu,ir atbrīvoties no iekšējām saitēm. Šāda paņēmiena piemērs ir attēlots att. 2.13d, kurnepārtrauktā liektā sija tiek aizstāta ar vairākiem liektiem stieņiem, kuri savā starpāsavienoti ar locīklām. Tādā veidā atbrīvojamies no sešām piepūlēm – sešiem liecesmomentiem sešos šķēlumos.2. divi diski veido ģeometriski nemainīgu sistēmu, ja tie savā starpā savienoti:a) ar trim stieņiem, kuru asis nekrustojas vienā punktā un nav paralēlas;Pareizs savienojumsNepareizs savienojumsPiemērs 2.3 Veikt attēlā 2.14a parādītās kopnes struktūras analīzi.Atrisinājums. Izmantojot diādes īpašības no kopnes izdalām diskus 1 un 2 (att. 2.14b).Sistēmas kustības brīvības pakāpeW=3D-(2L+S sist. +S atb. )=32 - (20+2+4)=0.Tātad izpildās sistēmas ģeometriskās nemainības nepieciešamais nosacījums un sistēmavar būt ģeometriski nemainīga.Lai būtu ērtāk veikt sistēmas struktūras analīzi, zemi ņemam par trešo disku (att. 2.14c).Pirmais disks piestiprināts zemei ar trim pareizi izvietotiem stieņiem (tādiem, kurudarbības līnijas nekrustojas vienā punktā un nav paralēlas), tātad kopā ar zemi veido30
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEvienu paplašinātu disku (parādīts ar raustītu līniju).att. 2.14Otrais disks pievienots paplašinātajam diskam arī ar trim pareizi izvietotiem stieņiem,tātad visa sistēma sastāv no viena diska un līdz ar to ir ģeometriski nemainīga.Pareizs savienojums Nepareizs savienojums b) ar locīklu un stieni, kuraass neiet caur locīklas centru;acumirklīgi mainīga sistēmaPiemērs 2.4. Veikt attēlā 2.15aparādītās kopnes struktūrasanalīzi.Atrisinājums. Izmantojot diādes īpašības no kopnes izdalām paplašinātus diskus -ģeometriski nemainīgas sistēmas daļas. Att. 2.15a parādītajai kopnei sākam ar locīklutrīsstūri A-1-4, kuram pēc kārtas ar diādēm pievienojam mezglus 5, 6, 2. Iegūstam paplašinātudisku 1 (att. 2.15b). Kopnes labajāpusē simetriski izvietots disks 2 . Att. 2.15b parādītajaisistēmai atrodam sistēmas kustības brīvībaspakāpiW=3D-(2L+S sist. +S atb. )=32 - (21+1+4)=-1.att. 2.15Tātad sistēmā ir viena lieka saite, izpildās sistēmasģeometriskās nemainības nepieciešamaisnosacījums un sistēma var būt ģeometriski nemainīga.Turpinot sistēmas (att. 2.15b) struktūrasanalīzi redzam, ka diski 1 un 2 savā starpā savienotiar pareizi izvietotu locīklu un stieni (stieņaass neiet caur locīklas centru) un veido ģeomet-31
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEriski nemainīgu sistēmu, kuru varam pieņemt par paplašinātu disku 3 (att. 2.15c).Atliek pārbaudīt, kā disks 3 pievienots zemei. Ja zemi pieņemam par disku, tad diska 3un zemes savienošanai pietiek ar trim pareizi izvietotiem stieņiem. Mums ir četri. Tātadviens stienis varētu būt lieks, tāds, kas nav nepieciešams, lai nodrošinātu sistēmasģeometrisko nemainību. Lieks varētu būt viens no horizontālajiem stieņiem, jo atmetotkādu no tiem sistēma joprojām paliek ģeometriski nemainīga.Tātad šī kopne ir ģeometriski nemainīga ar vienu lieku saiti (vienreiz statiski nenoteicama).c) ar vienu stingu saiti.Pareizs savienojumsNepareizs savienojumsacumirklīgi mainīga sistēma3. trīs diski veido ģeometriskinemainīgu sistēmu, ja tiesavā starpā savienoti ar trimreālām vai fiktīvām locīklām,kuras neatrodas uz vienastaisnes.Piemērs 2.5 Veikt attēlā 2.16a parādītās kopnes struktūras analīzi.Atrisinājums. Rāmja(att. 2.16a) kreisajā pusēstieņi BL 1 un AE savienotiar stingu saiti, tātadveido ģeometriski nemainīgusistēmu – paplašinātudisku 1 (att.att. 2.162.16b). Simetriski diskam1 labajā pusē novietots disks 2. Veicot struktūras analīzi šoreiz izdevīgi arī zemiņemt kā disku 3. Esam ieguvuši sistēmu, kas sastāv no trīs diskiem. Šie diski savā starpāsavienoti ar reālu locīklu L 1 (att. 2.16b) un divām fiktīvām locīklām L 2 (kura atrodasstieņu A un B darbības līniju krustpunktā) un L 3 (kura atrodas stieņu C un D darbības32
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZElīniju krustpunktā). Locīklas L 1 , L 2 un L 3 neatrodas uz vienas taisnes, tātad veido ģeometriskinemainīgu sistēmu. Šādu sistēmu varam pieņemt par disku (brīvu, jo zeme iriekļauta sistēmā kā disks) un šāda diska mainīguma pakāpei būtu jābūt vienādai ar nulli.Lai par to pārliecinātos att. 2.16b parādītajai sistēmai atrodam mainīguma pakāpiI=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(3-1)-(2·1+4)=0.Šeit disku skaits D ir 3, ir viena reāla vienkārša locīkla, kas savieno divus diskus L 1 unčetri sistēmas stieņi A, B, C un D, kuri savieno diskus.Analogu rezultātu varam iegūt stieņus A, B, C un D aizstājot ar fiktīvajām locīklām L 2un L 3 :I=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(3-1)-(2·3+0)=0.Rezultāts saskan ar iepriekš iegūto.Rēķinot sistēmas kustības brīvības pakāpi vai mainīgumapakāpi daţādus struktūras elementus bieţivaram ņemt vērā daţādos veidos, piemēram, stienivar apskatīt gan kā stieni, gan kā disku, divus atbalststieņusgan kā stieņus, gan kā fiktīvu locīklu.att. 2.17Veicot sistēmas struktūras analīzi vienmēr jāpārliecināsvai sistēma vai kāda tās daļa nav acumirklīgimainīga. Ja acumirklīgi mainīga ir kāda sistēmasdaļa, par acumirklīgi mainīgu jāuzskatavisa sistēma.Daţi acumirklīgi mainīgu sistēmu gadījumi apskatīti piemēros 2.6 līdz 2.9.Piemērs 2.6. Veikt att. 2.17a dotās sistēmas struktūras analīzi.Atrisinājums. Izmantojot diādes īpašības izveidojam paplašinātu disku 1. Zemi pieņemampar otru disku. Diski 1 un 2 savienoti ar trim stieņiem AD, BE un FC.Aprēķinam sistēmas mainīguma pakāpiI=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(2-1)-(2·0+3)=0.33
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZESistēmas ģeometriskās nemainības nepieciešamais nosacījums izpildās un sistēma varētubūt ģeometriski nemainīga.Diemţēl, tā kā stieņu AD, BE un FC darbības līnijaskrustojas vienā punktā, sistēma ir acumirklīgimainīga atbilstoši acumirklīgi mainīgu sistēmupirmajai pazīmei.Piemērs 2.7. Veikt att. 2.18a dotās sistēmas struktūrasanalīzi.att. 2.18Atrisinājums. „Jumtu” ņemam par disku 1, zemipar disku 2. Divi diski savienoti ar trim stieņiemAD, BE un CF.Aprēķinam sistēmas mainīguma pakāpiI=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(2-1)-(2·0+3)=0.Sistēmas ģeometriskās nemainības nepieciešamaisnosacījums izpildās un sistēma varētu būt ģeometriskinemainīga.att. 2.19Tā kā stieņi AD, BE un CF ir paralēli, tad apskatāmāsistēma ir acumirklīgi mainīga atbilstoši acumirklīgi mainīgu sistēmu otrajaipazīmei.Piemērs 2.8. Veikt att. 2.19a dotās sistēmas struktūras analīzi.Atrisinājums. Izmantojot diādes īpašības izveidojam paplašinātus diskus 1 un 2. Zemipieņemam par trešo disku. Trīs diski ir savienoti ar trim reālām locīklām C, D un E.Aprēķinam sistēmas mainīguma pakāpiI=3(D-1)-(2L-S sist. )=3(3-1)-(2·3+0)=0.Tā kā locīklas C, D un E atrodas uz vienas taisnes apskatāmā sistēma ir acumirklīgimainīga atbilstoši acumirklīgi mainīgu sistēmu trešajai pazīmei.34
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEPiemērs 2.9. Veikt att. 2. 20a dotās sistēmas struktūras analīzi.Atrisinājums. Par diskiem izvēlamies (att. 2.20a) locīklu trīsstūri 3-4-5, stieni 2-6 unstieni 1-7. Iegūstam sistēmu, kas sastāv no 3 diskiem, kuri savā starpā savienoti ar 6stieņiem un kura zemei pievienota ar 3 stieņiem.Aprēķinam kustības brīvības pakāpiW=3D-(2L+S sist. +S atb. )=3·3-(2·0+6+3)=0.Uzdevums 2.2. 1. Noteikt minimāli nepieciešamo saišu skaitu, lai ģeometriski neatt.2.20Sistēmas ģeometriskās nemainībasnepieciešamais nosacījumsizpildās un sistēma varētubūt ģeometriski nemainīga.Pārbaudām vai diski 1,2 un 3 irpareizi savienoti savā starpā.Stieņi 8-5 un 3-9 veido fiktīvulocīklu L 1 , stieņi 1-2 un 6-7fiktīvu locīklu L 2 un stieņi 2-3 un 5-6 fiktīvu locīklu L 3 . Tā kā fiktīvās locīklas L 1 , L 2un L 3 atrodas uz vienas taisnes sistēma ir acumirklīgi mainīga atbilstoši acumirklīgimainīgu sistēmu trešajai pazīmei.Uzdevums 2.1. Veikt att. 2.21a,b redzamo sistēmu struktūranalīzi. Ar ko no struktūranalīzesviedokļa atšķiras att. 2.21 redzamās sistēmas?att. 2.21att. 2.2235
2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZEmainīgi piestiprinātu zemei sistēmu, kas sastāv no n diskiem un n locīklām, kā tasredzams att. 2.22.2. Noskaidrot, vai visas saites var būt vērstas uz sistēmas centru.3. Kā pareizi jāizvieto minimāli nepieciešamās saites, lai sistēma būtu ģeometriski nemainīga?Uzdevums 2.3. Kā jāizmaina att. 2.23 redzamā sistēma, lai tā kļūtu ģeometriski nemainīga?att. 2.23att. 2.24Uzdevums 2.4. Veikt att. 2.24 redzamās sistēmas struktūranalīzi.Uzdevums 2.5. Vai šādu sistēmu (att. 2.25) var lietot būvniecībā (atbildi pamatot)?att. 2.25att. 2.26Uzdevums 2.6. Veikt att. 2.26 redzamās sistēmas struktūranalīzi.36
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI3.1. Daudzlaidumu locīklu siju raksturojumsVairākus laidumus var pārsegt ar vienlaiduma brīvi balstītām sijām (att. 3.1a), ar statiskinenoteicamu nepārtrauktu siju (att. 3.1b), vai ar statiski noteicamu daudzlaidumulocīklu siju.att. 3.1Par daudzlaidumu locīklu sijām saucstatiski noteicamas, ģeometriski nemainīgassistēmas, kas sastāv no noteiktā secībāizvietotām savā starpā ar locīklām savienotāmvienlaiduma sijām (ar konsolēmvai bez tām).Salīdzinot ar vienlaiduma brīvi balstītām un nepārtrauktām sijām daudzlaidumu locīklusijām ir virkne priekšrocību:1. Slodzes, kas darbojas uz daudzlaidumu sijas sastāvā ietilpstošo siju konsolēm, samazinamaksimālās lieces momentu vērtības salīdzinot ar vienlaiduma brīvi balstītām sijām(att. 3.2; piemērs 2.1). Līdz ar to,veicot sijas dimensionēšanu, var tiktizmantoti stieņi ar mazākiem šķērsgriezumaizmēriem un ietaupīts materiāls(pieļaujamas sijas ar mazākiemšķērsgriezuma izmēriem).Lietojot nepārtrauktas (statiski nenoteicamas)sijas arī var panākt mazākasatt. 3.2maksimālās lieces momentu vērtībassalīdzinot ar atsevišķo divbalstu siju maksimālajām lieces momentu vērtībām.Tomēr locīklu sijām ir virkne priekšrocību salīdzinot ar nepārtrauktām sijām. Tās irrelatīvi īsas un ērtas rūpnieciskai izgatavošanai un mehanizētai montāţai. Piepūles ir37
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIstatiski noteicamas un nav atkarīgas no balstu sēšanās.Tas ir par iemeslu tam, ka daudzlaidumu locīklu sijas ir plaši izplatītas daudzlaidumupārsegumos.2. Nevienmērīgs temperatūras sadalījums pa sijas augstumu kā arī balstu sēšanāsdaudzlaidumu locīklu sijās neizraisa papildus iekšējās piepūles un līdz ar to arī spriegumus,atšķirībā no nepārtrauktām sijām, kurās šie spriegumi var izrādīties diezganievērojami (att. 3.3a,b).Līdzās minētajām priekšrocībām jāatzīmēarī daudzlaidumu locīklu sijutrūkumi, kas zināmā mērā ierobeţoto izmantošanu:1. Locīklas, kas savieno atsevišķossijas stieņus, sareţģī sijas izgatavošanuun montāţu, kā arī šo locīkluvietās var rasties sijas elastīgās līnijaslūzumi (att. 3.3c), kas kustīgasatt. 3.3slodzes gadījumā var izsaukt triecienveida iedarbību (piemēram, transportam pārvietojotiespa tiltu);2. Kāda sijas laiduma sabrukums var izsaukt vairāku citu laidumu vai pat visas sijassabrukumu.Par to, ka daudzlaidumu locīklu sija ir racionālāka par vairākām neatkarīgām vienlaidumasijām pārliecināsimies apskatot sekojošu piemēru.Piemērs 3.1. Jāpārsedz divi 10 m gari laidumi. Vienmērīgi izkliedētas slodzes intensitāteir q=20kN/m. Salīdzināt maksimālās lieces momentu vērtības, ja šie laidumi irpārsegti ar brīvi balstītām sijām vai ar daudzlaidumu locīklu siju, kā tas ir parādītsatt. 3.4b.Atrisinājums. Pielietojot divas neatkarīgas divbalstu sijas (att. 3.4a) ar laidumiem38
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIl 10m , iegūstam maksimālo lieces momentu vērtību2M ql 8 250kNm.maxIzveidojot divlaidumu locīklu siju (att. 3.4b), tās daļa DC ir patstāvīga sija, kura varpatstāvīgi uzņemt slodzi. Sijas daļa AD ir balstīta uz blakus esošo siju DC un ir ekspluatējamatikai sadarbībā ar šo siju. No sijas AD kā divbalstu sijas aplēses iegūstam, kamaksimālais lieces moments šajā sijā ir2max M AD 2088 160kNm, bet uz balstu(locīklu) D sija AD spieţ ar spēkuP 208/2 80kN. Tātad divbalstu sija DCir slogota pa visu garumu ar izkliedētu slodzi q un koncentrētu spēku P=80 kN sijasgalā D. Tā rezultātā balstā B rodas moments2M B 802 202 / 2 200kNm,bet laiduma BC vidū lieces moments ir2M 20 10/8 200 / 2 150kNm.Maksimālais lieces moments laidumamBC ir šķēlumā, kurā šķērsspēksQ ir nulle. Lai noteiktu šī šķēlumaattālumu x 0 no balsta C, sastādāmvienādojumuQ V qx 0x C,no kura iegūstamx V / 0 Cq .att. 3.4Mūsu gadījumāVc 80 kNun tātadx 0 =4m, bet maksimālā lieces momentavērtība (pie x = 4m) irmax M BC 804 2042 160kNm.Esam konstatējuši, ka divlaidumu locīklu sijā maksimālā lieces momenta vērtība (200kNm) ir mazāka par maksimālā lieces momenta vērtību divās atsevišķās vienāda garumavienlaiduma sijās (250 kNm).39
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI3.2. Locīklu siju statiskā noteicamība un ģeometriskā nemainībaPēc definīcijas locīklu sijai jābūt statiski noteicamai un ģeometriski nemainīgai. Lailocīklu sija būtu statiski noteicama sistēmas kustības brīvības pakāpei ir jābūt vienādaiar nulli (W=0). Tātad2L 3C Ssist. Satb. 0W 3D .Lai noteiktu nepieciešamo locīklu skaitu, kas nodrošina sijas statisko noteicamību, varamapskatīt nepārtrauktu siju (att. 3.5), kuru pārveidojam par locīklu siju ievedot locīklas.Par diskiem pieņemam visus siju veidojošosstieņus, līdz ar to D 1, ja nav ievestaneviena locīkla, D 2 , ja ievesta vienalocīkla, D 3, ja ievestas divas locīklas, D L 1, ja ievestas L locīklas. Stingosaišu un sistēmas stieņu nav, tātad C 0 un S 0 . Izmantojot šos nosacījumus nosakarībasiegūstamL1 2L 30 0 S 03.L 3,S atbatbsist.kur L – nepieciešamais locīklu skaits sijas laidumos (arī papildus statikas vienādojumuskaits, jo pret katru locīklu var sastādīt vienu neatkarīgu statikas vienādojumu);Satb- atbalststieņu skaits, iespīlējumu skaitot par trim stieņiem (arī nezināmo balstu reakcijuskaits); 3 - neatkarīgo statikas vienādojumu skaits, ko var sastādīt visai sistēmai.Lai nodrošinātu daudzlaidumu locīklu sijas ģeometrisko nemainību, varam izveidotsiju un pēc tam veikt tās struktūras analīzi atbilstoši otrajā nodaļā aprakstītajiem nosacījumiem.Tomēr ērtāk izmantot jau izstrādātus ģeometriski nemainīgu locīklu siju veidošanasnosacījumus:att. 3.540
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI1. Katrā sijas laidumā, izņemot jebkuru vienu,izvietojam pa vienai locīklai;Atbilstoši šim nosacījumam izveidota att. 3.6aattēlotā sija. Diskus varam izvēlēties atbilstošiatt. 3.6b. Pirmais disks pievienots zemei ar trimpareizi izvietotām saitēm (tādām, kas nekrustojasvienā punktā un nav paralēlas) un veidokopā ar zemi paplašinātu disku. Otrais disksatt. 3.6pievienots paplašinātajam diskam ar locīklu unstieni, kura ass neiet caur locīklas centru, tātad ģeometriski nemainīgi. Analogi pievienotstrešais disks. Tātad visa sistēma kopumā ir ģeometriski nemainīga.2. Sijas laidumos izvietojam pa divāmlocīklām. Katram laidumam ar divāmlocīklām jāatrodas starp laidumiem bezlocīklām;att. 3.7Atbilstoši šim nosacījumam izveidota att.3.7a attēlotā sija. Šīs sijas ģeometriskonemainību viegli pierādīt par diskiem pieņemot zemi ( kā vienu disku) un stieņus, kasar divām saitēm piestiprināti zemei. Tādā gadījumā visi diski savstarpēji savienoti artrim pareizi izvietotām saitēm.3. Jaukta veida sija – daļa no tāsveidota pēc pirmā, daļa pēc otrānosacījuma. Katram laidumamar divām locīklām vai nu jāatrodasstarp laidumiem bez locīklām,vai, ja uz kādu pusi no lai-att. 3.8duma ar divām locīklām seko laidumi ar vienu locīklu, tad aiz pēdējā no tiem jābūtlaidumam bez locīklām.Šāda sija parādīta att. 3.8. Nav grūti pierādīt, ka tā ir ģeometriski nemainīga.41
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI3.3. Piepūļu noteikšana daudzlaidumu sijāIekšējās piepūles daudzlaidumu locīklu sijā varam noteikt pēc parastās, jau materiālupretestības kursā izstrādātās shēmas: nosakām balstu reakcijas (parasti izmantojot momentulīdzsvara vienādojumus pret locīklām uz vienu pusi no tām), izvēlamies šķēlumusun izmantojot šķēlumu metodi nosakām iekšējās piepūles. Šādā veidā risinātspiemērs 3.1.Sijām ar lielu laidumu skaitu šī metode ir neērta, jo nosakot iekšējās piepūles sijas vidējoslaidumos ir jāņem vērā visas slodzes un balstu reakcijas, kas darbojas uz vienuvai otru pusi no apskatāmā šķēluma. Izteiksmes piepūļu noteikšanai ir garas un nepārskatāmasun ir liela iespēja kļūdīties veicot aprēķinus.Ērtāk iekšējās piepūles daudzlaidumu locīklu sijā varam noteikt izmantojot tā saucamoaprēķina secības (mijiedarbības) shēmu, kas atļauj lielas sareţģītas konstrukcijas aprēķinunovest uz vienkāršu, jau no materiālu pretestības kursa pazīstamu vienlaidumasiju aprēķinu.Aprēķinu secības shēma tiek veidota ņemot vērā siju spēju nesaistītā stāvoklī uzņemtslodzi. Vispirms atrodam pamatsijas, Tās ir sijas, kuras spēj patstāvīgi uzņemt tām pieliktoslodzi. Šādas sijas ir uz zemes balstītas divbalstu un iespīlētas sijas. Katrā ģeometriskinemainīgā locīklu sijā jābūt vismaz vienai pamatsijai.Daļa no sijām nav spējīga uzņemt slodzi bez blakus esošo siju līdzdalības. Tās ir iekārtassijas. Iekārtas sijas ar locīklām piestiprinātas blakus sijām un nav tieši saistītas arzemi (nav neviena balsta). Trešā veida sijas ir pusiekārtas, kurām ir viens balsts un kurasvienā vai abos galos ar locīklām pievienotas blakus sijām.Pēc pirmā ģeometriski nemainīgu siju veidošanas nosacījuma veidotai sijai aprēķinasecības shēma parādīta att. 3.6c. Pamatsiju (var būt tikai viena), kura ar diviem balstiempiestiprināta zemei, attēlojam viszemāk. Divas pusiekārtas sijas vienā galā arbalstu piestiprinātas zemei, bet otrā galā balstās uz iepriekšējo siju. Aprēķināt daudzlaidumusiju jāsāk ar posmu, uz kuru darbojas tikai ārējā slodze, tātad ar augstāko sijuaprēķina secības shēmā. Uz visām pārējām sijām bez ārējās slodzes darbosies arī balstureakcijas no aprēķina secības shēmā augstāk esošām sijām. Caur šīm balstu reakcijām42
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJItiek ņemts vērā pārējo sijas posmu iespaids uz apskatāmo siju.Svarīgi atcerēties, ka, pārejot no augstāka posma uz zemāku, balsta reakcijai jāmainavirziens, tas ir, augstākajam posmam atrasto balsta reakciju pieliekam zemākajamposmam sijas galā kā koncentrētu spēku, mainot reakcijas virzienu uz pretēju.Pēc otrā ģeometriski nemainīgu siju veidošanas nosacījuma veidotai sijai aprēķina secībasshēma parādīta att. 3.7b. Šādai sijai būs divas vai vairākas (šoreiz 3) pamatsijas,kuras visas varam attēlot vienā līmenī. Uz pamatsijām balstās iekārtas sijas. Aprēķinsatkal jāsāk ar sijām uz kurām darbojas tikai ārējā slodze, tātad ar iekārtajām sijām. Pamatsijuvar aprēķināt tikai tad , kad ir aprēķinātas tai blakus esošās iekārtās sijas un irzināmas šo siju balstu reakcijas. Tātad varam izdarīt secinājumu, ka pamatsijās varveidoties iekšējās piepūles arī tajos gadījumos, kad pašas pamatsijas pat nav slogotas.Šīs iekšējās piepūles rodas blakus posmu slogojuma rezultātā.Jaukta veida sijas aprēķina secības shēmaparādīta att. 3.8b. Šajā gadījumā bez pamatsijām,kas var atrasties daţādos līmeņos,ir gan iekārtas, gan pusiekārtas sijas.Šajā gadījumā, veidojot aprēķina secībasshēmu, jābūt skaidrībai par to kā sijas mijiedarbojasviena ar otru. Siju aprēķina se-att. 3.9cībai iespējami varianti. galvenais ir ievērot, ka zemāk novietotu siju var aprēķināt tikaitad kad ir aprēķināti blakus esošie augstāk novietotie posmi.Kā jau tika atzīmēts, pamatsijas var būt arī iespīlētas sijas. Šādas sijas piemērs parādītsatt. 3.9.Piemērs 3.2. Uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras att. 3.10 a dotajai sijai.Atrisinājums. Izveidojam aprēķina secības shēmu. Sija veidota atbilstoši ģeometriskinemainīgu locīklu siju veidošanas otrajam gadījumam un sastāv no divām pamatsijām,kuras izvietojam vienā līmenī un vienas iekārtas sijas (att. 3. 10b).43
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJISijas aprēķinu sākam no augstākā posmauz kuru darbojas tikai ārējā slodze(posms CE). Jāatrod šim posmam (att.3.11a) balstu reakcijas, jāizvēlas šķēlumiun jākonstruē iekšējo piepūļu epīras.Tā kā sijai CE slodze ir pielikta simetriski,tad abas reakcijas būs vienādas arpusi no spēka P 1 , tas ir 25kN.Sijai CE jāapskata divi posmi (katraposma robeţās iekšējām piepūlēm jāmaināspēc viena nemainīga likuma).Pirmo posmu izdevīgi skatīt no kreisās,otro no labās puses (no tās, kur darbojasmazāk „spēku”).Konstruējam šķērsspēka Q epīru atbilstošisekojošam likumam:Šķērsspēks Q apskatāmajā šķēlumāskaitliski vienāds ar visu spēku, kasatt. 3.10darbojas uz vienu pusi no šķēluma, projekcijuuz asi, perpendikulāru stieņa asij, algebrisku summu. Tā spēka projekciju, kascenšas pagriezt apskatāmo stieņa daļu pulksteņa rādītāja virzienā pret šķēluma smagumacentru, ņemam ar plus zīmi, ja pretī pulksteņa rādītāja virzienam – ar mīnus zīmi.Atbilstoši šim likumam:Q1 1 VA 25kN, ja 0 x 12 ;Q2 2 VB 25kN, ja 0 x 22 .Šķērsspēka Q epīras (att. 3.11a) pozitīvās vērtības tiek atliktas uz augšu, negatīvās uzleju.Konstruējam lieces momenta M epīru atbilstoši sekojošam likumam:44
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJILieces moments M apskatāmajā šķēlumā skaitliski vienāds ar visu spēku un spēkpāru,kas darbojas uz vienu pusi no šķēluma, momentu pret šķēluma smaguma centru algebriskusummu. To momentu, kas cenšas stiept apskatāmās stieņa daļas apakšējo pusi,ņemam ar plus zīmi, ja augšējo pusi – ar mīnus zīmi.Atbilstoši šim likumam:M 1 1V Ax1, ja 0 x 12 ;M 2 2V Bx2, ja 0 x 22 .Lieces momenta M epīrā (att. 3.11a) celtniekiem ir pieņemts pozitīvās vērtības atlikt uzleju, negatīvās uz augšu, lai lieces momentu epīra tiktu attēlota sijas stieptajā pusē.a) b) c)att. 3.11Uz siju AC (att. 3.11b) bez ārējās slodzes caur balsta reakciju V C iedarbojas arī slodze,kas ir pielikta iekārtajai sijai CE. Šīs slodzes iespaids tiek ņemts vērā posmam ACpunktā C pieliekot iepriekš atrasto balsta reakciju V C kā koncentrētu spēku, nomainotbalsta reakcijas V C virzienu uz pretēju (posmam CE reakcija bija vērsta uz augšu, posmamAC to pieliekam kā spēku, kas vērsts uz leju).Balstu reakcijas atrodam sastādot momentu līdzsvara vienādojumus pret balstu punktiem,bet pārbaudām izmantojot projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi:45
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIMA q 105VC10VB8 0 , V B 93, 75KN;M q 4 q 21V 2 V8 0 , V A 31, 25KN;BY V8C AVV q 10 0A B C.Konstruējot iekšējo piepūļu epīras sijai AC jāapskata divi posmi.Šķērsspēka Q epīra (att. 3.11b) konstruēta izmantojot sakarības:Q1 1 VA q x1, 0 x 18 ;Q2 2 VC q x2, 0 x 22 .Lai atrastu pie kādas x 1 vērtības lieces momentam ir ekstremāla vērtība (punktā, kur Qepīra pirmajā posmā iet caur nulli), izteiksmi šķērsspēka atrašanai pielīdzinām nullei:Q VA q x 0 , no kurienes x 103, 13m.111Lieces momenta M epīra (att. 3.11b) konstruēta izmantojot sakarības:2x1M1 1 VA x1 q , 0182 x ;2x2M2 2 VC x2 q , 0222 x .Ekstrēma punktā momenta vērtību 48,8kNm iegūstam pirmajā izteiksmē ievietojotx 103, 13m .Posmu EI (att. 3.11c) aprēķinam analogi kā pirmos divus.Galīgās iekšējo piepūļu epīras (att. 3.10d,e) iegūstam apvienojot atsevišķajiem sijasposmiem iegūtās epīras.Piemērs 3.3. Att. 3.12 attēlotajai sijai uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras.Atrisinājums. Att. 3.12 parādītā sija atbilst trešajam ģeometriski nemainīgu locīklusiju veidošanas gadījumam. Pie kam viena no pamatsijām ir iespīlēta sija.46
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIatt. 3.12Sijas aprēķina secības shēma parādīta att. 3.12b. Aprēķins jāsāk ar augstāk novietotoiekārto siju CD uz kuru darbojas tikai ārējā slodze un jāturpina secībā, kas parādīta att.3.12b. Atsevišķās vienlaiduma sijas uz kurām tiek novests daudzlaidumu locīklu sijasaprēķins parādītas att. 3.12 c. Zemāk novietotās sijas slogotas ar ārējo slodzi un pretējāvirzienā vērstām balstu reakcijām no augstāk novietotajiem posmiem. Galīgās šķērsspēkuQ un lieces momentu M epīras locīklu sijai parādītas att. 3.12d un e. Ieteicamspatstāvīgi veikt sijas epīru konstruēšanu un rezultātus salīdzināt ar att.3.12d,e dotajiem.Aprēķina gaitā jāveic iespējamās pārbaudes:1. Pirms epīru konstruēšanas katram locīklu sijas posmam pārbauda atrastās balstu reakcijas;47
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI2. Pārbauda atbilstību starp M un Q epīrām un ārējo slodzi:a) posmiem ar lejupejošu (no kreisās uz labo pusi) momentu epīras raksturu atbilstposmi ar pozitīvām šķērsspēka Q vērtībām, bet posmiem ar augšupejošu M epīrasraksturu – posmi ar negatīvu Q;b) šķēlumos, kur šķērsspēka epīra iet caur nulles vērtību, lieces momenta epīrā irjābūt ekstremālai lieces momenta vērtībai;c) posmos, kur nedarbojas izkliedēta slodze, lieces momentu epīrai ir lineārs raksturs,bet šķērsspēks ir konstants;d) posmos ar izkliedētu slodzi lieces momentu epīrai ir līknes raksturs (vienmērīgiizkliedētas slodzes gadījumā – kvadrātiska parabola), bet šķērsspēku epīras līkneskārta ir par vienu mazāka kā momentu epīrai (vienmērīgi izkliedētas slodzes gadījumāQ epīra ierobeţota ar slīpu taisni);e) koncentrēta spēka pielikšanas vietā lieces momenta M epīrā ir jābūt lūzumam,bet šķērsspēka epīrā lēcienam par pieliktā spēka vērtību;f) spēkpāra (koncentrēta momenta) pielikšanas vietā lieces momenta M epīrā ir jābūtlēcienam par pieliktā spēkpāra vērtību, bet šķērsspēka epīrā nekas nemainās;Veidojot daudzlaidumu locīklu sijas, aktuāls irjautājums par to racionālu struktūru, t.i. struktūru,kurai atbilst zemākās maksimālo lieces momentuvērtības pie uzdotas ārējās slodzes, pietam lietderīgi, lai piepūles sijā sadalītos pēc iespējasvienmērīgāk. Šai nolūkā var tikt izmantotakonsoļu atslogojošā iedarbība. Slodzes, kasir pieliktas uz siju konsolēm, atslogo siju laidumus.Tā, piemēram, divbalstu brīvi balstītai sijai (att.3.13a) no visā tās garumā pieliktās vienmērīgiatt. 3.13izkliedētās slodzes laiduma vidū maksimālālieces momenta M vērtība ir lielāka nekā analoga laiduma sijai ar konsolēm (att.48
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI3.13b), kuras arī noslogotas ar izkliedētu slodzi q. Sijai ar konsolēm kopējā slodze irpar 2qa (a – konsoles garums) lielāka kā sijai bez konsolēm, bet maksimālā lieces momentavērtība sijas vidū par lielumu qa 2 /2 mazāka. Konsoļu garumu a racionāli izvēlētiesvienādu ar 2 4 daļām no sijas laiduma. Tādā gadījumā lieces momenti uz balstiemun sijas vidū būs vienādi un to vērtību nosaka izteiksme M = ql 2 /16.Līdzīgā veidā slodze uz konsolēmiespaido maksimālās momentu vērtībasarī locīklu siju gadījumā. Att.3.14 parādīta lieces momentu epīratrīs laidumu locīklu sijai, kas slogotaar izkliedētu slodzi visā sijas garumā.Šajā gadījumā konsoļu garumsjāņem mazāks kā vienlaiduma sijai iepriekšējā piemērā, jo atslogojošu iespaiduuz lieces momentiem pirmajā un trešajā (pamatsiju) laidumā atstāj ne tikai slodze, kasdarbojas uz konsolēm, bet arī slodze, kas pielikta iekārtajai sijai.Daţreiz, sevišķi aprēķinot statiski nenoteicamas sistēmas, var rasties nepieciešamībaatrast lieces momenta vai šķērsspēka vērtību kāda sijas posma patvaļīgā šķēlumā, jazināms, kādas ārējās slodzes darbojas šī posma robeţās un kādas ir lieces momentavērtības posma galos. Apskatīsim att. 3.15a parādīto sijas (vai jebkuras citas konstrukcijas)posmu ab uz kuru darbojas ārējā slodze un kura galos lieces momentam ir vērtībasM kr un M lab .Apskatīsim šo sijas posmu kā brīvi balstītu siju (att. 3.15b) uz kuru darbojas ārējā slodzeun kuras galos ir pielikti momenti M kr un M lab . Pielietosim spēku darbības neatkarības(superpozīcijas) principu – spēku sistēmas darbības rezultāts ir vienāds ar sistēmasatsevišķo spēku darbības rezultātu summu un aprēķināsim iekšējās piepūles patvaļīgajāšķēlumā neatkarīgi no ārējās slodzes (att. 3.15c), lieces momenta posma kreisajāgalā (att. 3.15d) un lieces momenta posma labajā galā (att. 3.15e). Iegūtos rezultātuspēc tam summēsim.att. 3.14Lieces momentam patvaļīgajā šķēlumā M x :no ārējās slodzes49
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIM ,' 0xM xno lieces momentiem M kr un M labM''x MkrMlkrx ,M'''xMllabxun summējotMx M0x MkrMlab Mlkrx .Šķērsspēkam patvaļīgajā šķēlumā Q x :no ārējās slodzesQ ,' 0xQ xno lieces momenta M kr un M labQ''x Mlkr,Q'''xMllabun summējotQxlab krM M Q0 x.latt. 3.15lieces momenta atrašanai, atbilstoši no materiālupretestības kursa zināmajai diferenciālajai sakarībaiJāatzīmē, ka pēdējo izteiksmi šķērsspēka noteikšanaivaram iegūt arī atvasinot izteiksmidMQ .dx3.4. Statiski noteicamu rāmju aprēķinsPar rāmjiem sauc stieņu sistēmas, kas sastāv no taisniem vai atsevišķos gadījumos līkiemstieņiem, kuri savā starpā savienoti ar stingiem mezgliem vai locīklām (att. 3.16).50
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIAtšķirībā no sijām, kurām vertikālas slodzesgadījumā šķēlumos rodas tikai divas iekšējāspiepūles – lieces moments M un šķērsspēks Q,rāmja šķēlumos rodas arī aksiālspēks N.Šķērsspēku Q rāmim nosakām tieši tāpat kāatt. 3.16sijai (skat. 21. lpp.). Lieces momenta aprēķinsatšķiras ar to, ka netiek fiksēts zīmju likums summējot spēku momentus un spēkpārusuz vienu pusi no šķēluma. Vienīgais nosacījums ir, ka lieces momentu epīra ir jāzīmērāmja stieņu stieptajā pusē. Aksiālspēku N atrodam pēc sekojoša likuma:Aksiālspēks N apskatāmajā šķēlumā skaitliski vienāds ar visu spēku, kas darbojas uzvienu pusi no šķēluma, projekciju uz asi, kas sakrīt ar stieņa asi, algebrisku summu. Tāspēka projekciju, kas cenšas stiept apskatāmo stieņa daļu, ņemam ar plus zīmi, jaspiest – ar mīnus zīmi.Parasti iekšējo piepūļu noteikšana statiski noteicamam rāmim tiek veikta sekojošāsecībā:1. Veicam sistēmas struktūras analīzi un pārliecināmies,ka rāmis ir ģeometriski nemainīgsun statiski noteicams;2. Nosakām balstu reakcijas un veicam to pārbaudi;3. Izvēlamies šķēlumus, sastādām izteiksmesiekšējo piepūļu noteikšanai un konstruējamepīras;4. Veicam pārbaudes uz iekšējo piepūļu unārējo slodţu atbilstību.att. 3.17Sareţģītu daudzlaidumu rāmju gadījumā, ja irvēlēšanās, rāmja aprēķinam var veidot aprēķina secības shēmu, kas sareţģīta rāmjaaprēķinu noved uz virknes vienkāršu rāmju aprēķinu, līdzīgi kā locīklu sijas gadījumā51
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJI(att. 3.17b). Tomēr jāņem vērā, ka sadalot rāmi sastāvdaļās, palielinās nosakāmo balstureakciju skaits, kas ne vienmēr ir izdevīgi. Piemēram, att. 3.17a parādītajam rāmimjāatrod 4 balstu reakcijas, bet sadalītajam rāmim att. 3.17b par divām reakcijām vairāk(V D un H D ). „Liekās” atrastās reakcijas tiek pieliktas nākošajam posmam kā ārējās slodzes,mainot to virzienu uz pretējo.Piemērs 3.4. Uzkonstruēt rāmja (att. 3.18a) iekšējo piepūļu M, Q un N epīras.Atrisinājums. 1. Nosakām balstu reakcijas. Tās ir divi vertikāli (V A , V B ) un viens horizontāls(H A ) spēks. No spēku līdzsvara vienādojuma uz horizontālu asi konstatējam,kaH A P (reakcijas virziens atbilst att. 3.18a norādītajam). Sastādot momentu līdzsvaravienādojumus pret locīklām A un B, iegūstamMM22A Ph0 ql 2 qa 2 VBl 0 ,2l a 2 Ph h B q /0 HAhVAl 0 .No šiem vienādojumiem nosakām balstu reakciju vērtības V A un V B . Tās ir222 ql a/ 2 Ph l V B Ph ql 2 qa 2 l .V A 00att. 3.182. Konstruējot lieces momentu epīru izmantojam šķēlumu metodi. Stata posmā A–1lieces momenta vērtība jebkurā šķēlumā nosakāma atbilstoši sakarībaiM1 HAx Px 1 1 1, kur1x – attālums no balsta A pirmā rāmja posma robeţās varmainīties no 0 līdz h 0 . Šajā stata posmā stiepta ir stata labā puse un lieces momentu52
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIepīra arī jākonstruē labajā pusē. Posmā 1–2 lieces momentu nosaka sakarībax2 h0Px20MA22 HPh. Tātad šai posmā lieces moments ir konstants lielumsvisā x2maiņas diapazonā no 0 līdz h-h 0 . Rīģeļa konsoldaļas šķēlumā 3-3 lieces2momentu nosaka sakarība M3 3 qx32 un tātad konsoles galā momenta vērtība ir 0,bet mezglā 2 tā ir qa 2 /2. Stiepta ir posma augšpuse, kur arī tiek attēlota epīra. Posmā B-22 lieces moments nosakāms pēc sakarības M4 4 VBx4 qx4/ 2 (summējot momentuspa labi no šķēluma 4-4), kur koordināte x4mainās no 0 balstā B līdz vērtībai lmezglā 2. Līdz ar to lieces momenta vērtība balstā B ir 0 (neslogotā locīklveida balstā22lieces moments vienmēr ir nulle), bet mezglā 2 tā ir l ql / 2 Ph qa / 2 .Posma sākumā (balstā B) stiepto pusi nosaka balstu reakcijasV BVBvirziens. Pieņemot, kareakcija ir vērsta uz augšu, stiepta ir stieņa apakšpuse. Izkliedētā slodze stiepj stieņaaugšpusi un ja pie lielākām x4vērtībām lieces moments, kas aprēķināts pēc M44izteiksmes maina zīmi, tad stiepta kļūst stieņa augšpuse un arī lieces momentu epīra2jāattēlo stieņa augšpusē. Ja mezglā 2 izpildās sakarība Ph0 qa / 2 tad ir stiepta2stieņa apakšpuse, ja Ph0 qa / 2 , tad ir stiepta stieņa augšpuse. Tātad, ja spēka Piespaids ir lielāks kā izkliedētās slodzes q iespaids, tad ir stiepta stieņa apakšpuse. Šādsgadījums parādīts att. 3.18b redzamajā lieces momentu epīrā.3. Zinot balstu reakcijas un ņemot vērā pielikto ārējo slodzi, šķērsspēku epīru konstruējamnosakot šķērsspēku vērtības vairākos tipiskos šķēlumos. Jebkurā rāmja posmaA-1 šķēlumā šķērsspēks ir pozitīvs un skaitliski vienāds ar horizontālo balsta reakcijuH A . To nosaka izteiksmeQ H11 A, jo vienīgais spēks, kas darbojas perpendikulāristieņa asij uz leju no šķēluma 1-1 ir horizontālā reakcija. Posmā 1-2 šķērsspēks arī irkonstants un skaitliski vienāds ar Q H 2 2 AP . Tā kā H A .ir vienāds ar P, tad posmā1-2 šķērspēks ir nulle. Konsoldaļā šķērsspēks mainās lineāri no vērtības 0 konsolesgalā līdz vērtībai -qa mezglā 2 atbilstoši sakarībai Q3 3 qx3, kur x3. mainās no 0līdz a. Saskaņā ar šķērsspēka zīmju likumu šai posmā šķērsspēks ir negatīvs. Rīģeļaposmā 2–B šķērsspēku ērtāk aprēķināt summējot spēku projekcijas uz vertikālu asi pa053
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIlabi no šķēluma 4-4 atbilstoši sakarībai Q 4 4V Bqx4,kur x4mainās no 0 līdz l.Balstā B šķērsspēka vērtība sakrīt ar balsta reakciju V B , ņemtu ar mīnus zīmi. Virzienāuz mezglu 2 šī vērtība palielinās par vērtību qx4, kur x4koordināte mainās no 0 balstāB līdz vērtībai l mezglā 2. Iegūtā šķērsspēku epīra attēlota att. 3.18c.3. Šķeļot statu A–2 patvaļīgā vietā un summējot spēku projekcijas uz stieņa asi konstatējam,ka asspēks statā ir N = - V A . Atkarībā no rāmja ģeometrisko un noslodzes parametrusavstarpējām attiecībām asspēka vērtība var būt kā pozitīva, tā arī negatīva. Tātadstats var tikt stiepts vai spiests. Viegli pārliecināties, ka rāmja rīģelī ass spēki nerodas.Attiecīgā epīra redzama att. 3.18d.Svarīgi pārbaudīt, vai lieces momentuepīra mezglā 2 ir līdzsvarā. Izgrieţotšo mezglu (att. 3.18e) un pieliekotatbilstošos lieces momentus (to virziensvienmēr vērsts no epīras pusescauri stieņa asij), konstatējam, ka liecesmomentu, kuri darbojas uz stingomezglu, summa ir vienāda ar nulli.Piemērs 3.5. Uzkonstruēt piepūļuepīras att. 3.19a dotajam rāmim.att. 3.19un līdz ar to esam noteikuši balsta A reakcijuAtrisinājums. 1. Balstu reakciju noteikšana.Sastādot momenta līdzsvara vienādojumupret locīklu C rāmja kreisajaidaļai iegūstamH A hh P2 054
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIPH A .2Izmantojot spēku līdzsvara nosacījumu uz horizontālo asi X 0 , konstatējam, kaPH B .2Tā kā vertikālās ass virzienā vērsts tikai viens spēks, t.i. balsta reakcija V B , tad tā vērtība,atbilstoši līdzsvara vienādojumam Y 0 , ir vienāda ar nulli.Balsta momenta M B vērtību nosakām sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pretbalstu B. Tā rezultātā iegūstam sakarību hM P 02 B, no kuras seko, kaPhM B . Svarīgi vērst uzmanību uz to, ka balstā B darbojas lieces moments un tā-2tad arī rāmja labais stats būs liekts.2. Izmantojot šķēlumu metodi, konstruējam lieces momenta epīru. Rāmja kreisajamstatam epīru izdevīgi konstruēt izmantojot posmam A-1 sakarību M 1 1H Ax1, kurattāluma stieņa ass virzienā no posma sākuma līdz apskatāmajam šķēlumam x1(spēkaH A pleca) vērtība mainās diapazonā 0 x1 h 2 , bet posmam 1-C sakarību h M HA x Px 2 2 22 2, kur2x mainās diapazonā 0 x2 h/ 2 un tiek atskaitītsno posma 1-C sākuma. Stienim A-1 stiepta labā puse. To nosaka balsta reakcija H A .Tātad arī lieces momentu epīra jāattēlo stieņa labajā pusē.Rāmja labajam statam lieces momentu nosaka analītiska sakarībaM, kur x4tiek atskaitīts no punkta B un mainās robeţās no 0 līdz4 4 MB HB x4h. Stiepto pusi (kreiso) nosaka moments iespīlējumā, jo pie balsta B M B vērtība ir Ph/2,bet moments, ko dod horizontālā reakcija ir nulle.Jāatzīmē, ka rīģelis C-2 netiek liekts un lieces momenti tajā nerodas. Summējot spēkuhmomentus pa kreisi no šķēluma 3-3 posmā C-2, iegūsim M33 HAh P 0 ne-255
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIatkarīgi no šķēluma atrašanās vietas. Tātad visos šī posma šķēlumos lieces moments irnulle. Iegūtā lieces momenta epīra redzama att. 3.19c.3. Arī šķērsspēka epīru konstruējam izmantojot šķēlumu metodi. Posmā A-1 uz lejuno šķēluma 1-1 vienīgais spēks kas darbojas perpendikulāri stieņa asij ir balsta reakcijaH A . Tā kā šī reakcija pret šķēlumu 1-1 darbojas pulksteņa rādītāja kustības virzienā, tadrēķinot šķērsspēku tā jāņem ar plus zīmi. Līdz ar to šķērsspēks posmā 1-1 aprēķināmsatbilstoši sakarībaiQ H11 A.Tā kā koordināte1x iegūtajā izteiksmē neparādās,šķērsspēks visā pirmajā posmā ir konstants. Rēķinot šķērsspēku otrajā posmā uz lejuno šķēluma 2-2 perpendikulāri stieņa asij darbojas divi spēki: pulksteņa rādītāja virzienābalsta reakcija H A un pretī pulksteņa rādītāja virzienam slodze P. Līdz ar to šķērsspēkaatrašanai otrajā posmā iegūstam sakarībuQ H 2 2 AP . Arī otrajā posmāšķērsspēks ir konstants. Šķērsspēks trešajā posmā ir vienāds ar nulli, jo pa kreisi nošķēluma 3-3 (arī pa labi) nav neviena spēka kas darbotos perpendikulāri trešajam posmam.Ceturtajā posmā šķērsspēks ir vienāds ar balstu reakciju H B un ir pozitīvs (reakcijaH B statu pret šķēlumu 4-4 grieţ pulksteņa rādītāja gaitas virzienā). Visā labajā statāšķērsspēks ir konstants, pozitīvs un skaitliski vienāds ar P/2. Šķērsspēka epīra rāmimredzama att. 3.19d.4. Asspēka N noteikšanai rāmja stieņos arī izmantojam šķēlumu metodi. Pirmajā, otrajāun ceturtajā posmā uz leju no šķēlumiem 1-1, 2-2 un 4-4 nav neviena spēka, kas darbotospa stieņa asi, tātad šie asspēki ir vienādi ar nulli. Trešajā posmā pa kreisi no šķēluma3-3 pa stieņa asi darbojas spēks P un reakcija H A . Aksiālspēka lielumu nosakasakarība N HA P / 2 , tātad šis posms ir spiests. Attiecīgā asspēka epīra33Pparādīta att. 3.19e. Šķērsspēku un ass spēku pārbaudei varam izmantot mezglu izgriešanasmetodi. Izgrieztajam mezglam pieliekam ass spēkus pareizos virzienos, tas ir nomezgla, ja stienis ir stiepts un uz mezglu, ja tas ir spiests. Šķērsspēkus pieliekam perpendikulāriatbilstošajiem stieņiem pulksteņa rādītāja kustības virzienā pret mezglu,ja šķērsspēks ir pozitīvs un pretī pulksteņa rādītāja virzienam, ja tas ir negatīvs.Pārbaudām projekciju līdzsvara vienādojumu izpildīšanos uz vertikālu un horizontāluasi (att. 3.19f).56
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIPiemērs 3.6. Uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras att. 3.20a parādītajam rāmim.att. 3.20Atrisinājums. Pārliecināmies, ka rāmis ir statiski noteicams un ģeometriski nemainīgsun nosakām balstu reakcijas:palabiM P H 6 0 , H B 3, 33kN;C2BX P H B H A 0, H A 13, 33kN;M P3 P 10 q 21V8 0 , V B 15, 25kN;ABY q P V BV 0 V A 2, 75kN.2APārbaudei izvēlamies punktu O pret kuru izkliedētā slodze q un viens no spēkiem Pnedod momentu, bet toties momentu dod visas iepriekš atrastās balstu reakcijas:MO P 11HA3HB3VA1VB9 0 , 0 0 .57
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIIzvēlamies šķēlumus un konstruējam iekšējo piepūļu epīras. Šķēlumus 1-1, 2-2, 3-3 un4-4 apskatam no kreisās puses, šķēlumus 5-5 un 6-6 izdevīgāk skatīt no labās puses.Lieces momentu M epīru (att. 3.20b) konstruējam stieņu stieptajā pusē atbilstoši sakarībām:M 1 1H Ax1, ja 0 x 13 ;(stiepta stieņa AD labā puse, stiepto pusi nosakām novērtējot kā atbilstošā spēka momentscenšas izliekt apskatāmo stieņa daļu attiecībā pret šķēlumu)x2 P2M2 2 HA 3 x , 0 x 23 ;(stiepta stieņa AD labā puse)2x3M3 3 q , ja 0382 x (stiepta stieņa augšpuse)M HA6 VA x4 P3q2x41 , ja 0 x 48 ;44(stiepta stieņa DC apakšpuse)M5 5 P x5, ja 0 x 52 ;(stiepta stieņa augšpuse)M 6 6H Bx6, ja 0 x 66 .(stiepta stieņa BC kreisā puse)Sastādot šīs sakarības ar plus zīmi ir ņemti to spēku momenti, kuri stiepj rāmja iekšpusiun ar mīnus – to spēku momenti, kuri stiepj ārpusi. Tā kā lieces momentu zīmju likumaizvēle ir brīva, tad katram rāmja posmam varētu arī izvēlēties savu likumu. Svarīgi tikaiievērot, lai lieces momenta epīra tiktu konstruēta stieņu stieptajā pusē.Šķērsspēku Q epīru (att. 3.20c) konstruējam atbilstoši sakarībām:Q1 1 H A, ja 0 13 Q2 2 H AP , ja 0 23 Q3 3 q x3, ja 0 32 Q44 VA q 2 , ja 0 48 Q5 5 P , ja 0 52 58
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIQ6 6 H B, ja 0 x 66 .Konstruējot šķērsspēku epīru horizontālajiem stieņiem pozitīvās vērtības atliekam uzaugšu, negatīvās uz leju. Vertikālajiem stieņiem varam patvaļīgi izvēlēties, kurā pusēatlikt pozitīvās un kurā negatīvās šķērsspēku vērtības. Tomēr būtu lietderīgi visiemstieņiem pieturēties pie viena likuma. Šķērsspēku epīrā atšķirībā no momentu epīrasnoteikti jānorāda šķērsspēka zīme.Asspēku N epīru (att. 3.20d) konstruējam atbilstoši sakarībām:N1 1 V A, ja 0 13 N2 2 V A, ja 0 23 N 0, ja 0 32 33N4 4 H AP , ja 0 48 N 0 , ja 0 52 55N6 6 V B, ja 0 x 66 .Aksiālspēku vērtības pieņemts atlikt simetriski uz abām pusēm no stieņa ass, parādotarī asspēku zīmes.<strong>Visa</strong>s epīras jāiesvītro perpendikulāri tā stieņa asij uz kuru tās attiecas.Piemērs 3.7. Uzkonstruēt rāmja (att. 3.21) piepūļu epīras izmantojot aprēķina secībasshēmu.Atrisinājums. 1. Ar šķēlumu locīklā D sadalām rāmi divās daļās. Labā no tām veidopamatdaļu (līdzīgi kā locīklu sijās), bet kreisā papilddaļu (att. 3.21b).kr.No līdzsvara vienādojuma M 0 nosakām balsta A vertikālo reakciju. Līdzsvaravienādojums izvērstā veidā ir:2042 V 2 0 un, tātad, V A = 80 kN.ANo projekciju vienādojumiem uz X un Y asīm iegūstamDX 204 HD 0 un Y VAVD 0 .Līdz ar to H D = 80 kN un V D = 80 kN.59
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIatt. 3.21Iegūtās reakciju H D un V D vērtības pieliekam rāmja labajai, tātad pamatdaļai kā slodzes,mainot to virzienus uz pretējiem, (sk. att. 3.21b). No līdzsvara vienādojumiemnosakām balstu reakcijas:2q 6MB HD 4 VD P2 VC 6 0 , V c = 6,67 kN;2X H D H B 206 0 , H B = - 40kN;Y V V P V 0 , V B = - 46,67 kN.BDCAprēķini rāda, ka balstu reakciju V B un H B virzieni nesakrīt ar pieņemtajiem un tie jānomainauz pretējiem.2. Konstruējam iekšējo piepūļu epīras. Liekto stieņu lieces momentu ordinātu vērtības60
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJItiek atliktas stieptās šķiedras pusē un līdz ar to nav nepieciešams šīm vērtībām pievienotzīmi. Šķērsspēkiem un asspēkiem zīmes nepieciešamas.Asspēku pieņemts uzskatīt par pozitīvu, ja stienis konkrētajā šķēlumā tiek stiepts.Divos rāmja posmos – kreisajā un labajā statā – lieces momentu ordinātu noteikšanai2izmantojam sakarību M x qx / 2 . Šais posmos epīrai ir kvadrātiskas parabolas raksturs.Pārejos rāmja posmos M epīrai ir lineārs raksturs un tā tiek konstruēta izmantojotmomenta vērtības posmu galos.Piepūļu M, Q un N epīras redzamas att. 3.21c,d,e.Pēc tam, kad ir iegūtas piepūļu epīras, ir nepieciešams veikt to statisko pārbaudi. Šai nolūkāir jāizgrieţ attiecīgie mezgli, šķēlumos jāpieliek iekšējās piepūles un jānovērtē mezglu līdzsvars.Tā, piemēram, izgrieţot mezglu 2, kurā saiet trīs stieņi lieces momentu līdzsvarapārbaudei iegūstam att. 3.21f parādīto piepūļu sistēmu. Tā ir līdzsvarā. Att. 3.21g parādītajammezglam ir pielikti šķērsspēki un asspēki un var tikt pārbaudīts to līdzsvars.Veicot piepūļu M un Q epīru konstruēšanu vizuāli jākontrolē to saderība. Tā posmos,kur nedarbojas izkliedēta slodze, M epīrai ir lineārs raksturs, bet šķērsspēka epīra irkonstanta. Vienmērīgi izkliedētas slodzes posmos lieces moments mainās pēc kvadrātiskiparaboliska likuma, bet šķērsspēka epīras ordinātas ierobeţo slīpa taisne, krustojotstieņa asi punktā, kurš atbilst ekstremālai lieces momenta vērtībai. Šķēlumos, kur pieliktikoncentrēti spēki, M epīrai – lūzums spēku darbības virzienā, Q epīrai – lēcienspar spēka lielumu (ja spēks perpendikulārs stieņa asij).Uzdevums 3.1. Pamatotatt. 3.22a parādītā rāmjamomentu epīru (att. 3.22b)uzdotās slodzes gadījumā.Noteikt balstu reakcijas unuzkonstruēt šķērsspēku unatt. 3.22asspēku epīras. UzkonstruētM, Q un N epīras slodţu gadījumam, kurš parādīts att. 3.22c.61
3. DAUDZLAIDUMU LOCĪKLU SIJAS UN RĀMJIatt. 3.23 att. 3.24Uzdevums 3.2. Pamatot att. 3.23a parādītorāmja momentu epīru (att. 3.23b)uzdotās sl odzes gadījumā. Noteiktbalstu reakcijas un uzkonstruēt šķērsspēkuun asspēku epīras.Uzdevums 3.3. Pamatot att. 3.24a parādītorāmja momentu epīru (att. 3.24b)att. 3.25uzdotās slodzes gadījumā. Noteikt balstureakcijas un uzkonstruēt šķērsspēku un ass spēku epīras .Uzdevums 3.4. Uzkonstruēt M, Q un N epīras att. 3.25 dotajam rāmim.Uzdevums 3.5. Uzkonstruētiekšējo piepūļuepīras att. 3.26redzamajai sijai.att. 3.2662
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶININo monolītu siju aprēķiniem lieces gadījumā normālspriegumus nosaka sakarība yMW. Šī sakarība liecina par to, ka liektas sijas gadījumā tikai neliela daļa no darinājumauzņem projektētās piepūles. Tiešām, spriegums mainās proporcionāli liecesmomentam, bet tas kā zināms, ir mainīgs lielums un maksimālās vērtības sasniedz tikaiatsevišķos šķēlumos. Savukārt arī šķēlumā ekstremālās sprieguma vērtības tiek sasniegtastikai sijas malējās šķiedrās. Līdz ar to nonākam pie secinājuma, ka lielākā sijasmateriāla daļa tiek noslogota daļēji.Citāda aina ir daţādu konstrukciju stieņos, kuri tiek stiepti vai spiesti ar konstantu assspēku. Šai gadījumā spriegumus nosaka sakarība P A un to lielums ir konstantsgan visā stieņa šķēlumā, gan arī visos šķēlumos. Tātad šie spriegumi vienlaicīgi varsasniegt savas robeţvērtības visos stieņa punktos vienlaicīgi.Acīmredzot, no materiāla maksimālas izmantošanas viedokļa racionālas ir nesošaskonstrukcijas, kurās to elementi pakļauti stiepei vai spiedei.Kā lieces iespaida samazināšanas piemēru var minēt kuģu mastu nostiprinājumu ar trosēmdaţādos mastu augstumos. Tas samazina izlieces un novērš lieces momentu koncentrācijuvienā šķēlumā. Liela laiduma liektu elementu (piem., tiltu) atslogošanai izmantoslīpi orientētus atgāţņus.Loģiska ir vēlme radīt konstrukcijas, kurās pilnībā izslēgta liece. Lai to realizētu, jānodrošinasekojoši nosacījumi:- atsevišķu stieņu galu savienojumam jābūt locīklveida ar brīvu kustību ap locīklascentru, stieņu asīm jāiet caur locīklu centru;- ārējiem spēkiem jābūt pieliktiem tikai stieņu savienojumu vietās (locīklās);- stieņiem jābūt taisniem.No pirmā nosacījuma seko, ka stieņu piepūles iet caur locīklu centriem.No otrā nosacījuma seko, ka uz katru stieni tā galos darbojas tikai divi spēki. Lai šie63
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIspēki būtu līdzsvarā, tiem jābūt vienāda lieluma un pretēji vērstiem. Šādi spēki varstieni tikai stiept vai spiest.Ģeometriski nemainīgu taisnu stieņu sistēmu, kuras elementi galos savā starpā savienotiar locīklām, sauc par kopni. Kopņu pielietojuma diapazons ir visai plašs un daudzveidīgs.Rūpniecības ēku pārsegumi, liela laiduma angāri (120–150 m, tilti, ceļamkrāniar 40 un vairāk tonnu celtspēju, ekskavatoru strēles, elektropārvadu un trošu ceļu balsti,torņi un masti (~200m) ir tikai daļa no plašā kopņu pielietojuma klāsta.4.1. Kopņu aprēķinu shēmaKopņu aprēķina pirmais etaps ir mezglu slodţu noteikšana. Pēc tam nosakām piepūleskopnes stieņos. Piepūļu noteikšanai tiek izmantotas analītiskās vai skaitliskās metodes.Analītiskā aprēķina gadījumā tiek lietotas mezglu izgriešanas, šķēluma u.c, kā arī ietekmeslīniju slogošanas metodes. Veicot kopnes aprēķinu ieteicams noteikt piepūlesstieņos no katra slodzes veida atsevišķi. Tādā veidā noteiktās piepūles stieņos var tiktizmantotas neizdevīgākā slodzes stāvokļa prognozēšanai. Tā, piemēram, atsevišķi tieknoteiktas piepūles šādu slodţu gadījumos:pastāvīga slodze (lietderīgā slodze, pašsvars, kopnes balstāmo konstrukciju slodze);sniega slodze; daţreiz sniega slodze darbojas tikai uz vienu kopnes pusi un var atsevišķosstieņos izraisīt lielākas piepūles nekā pilnas sniega noslodzes kopnē;vēja slodze atsevišķi no kustīgā un nekustīgā locīklu balsta puses, pie kam aprēķinostiek ņemta vērā neizdevīgākā slodze.Pēc tam, kad ir noteikta atbilstoši iepriekš izklāstītajam neizdevīgākā slodţu kombinācija,tiek veikta kopnes stieņu racionālo šķērsgriezumu izvēle. Šķērsgriezumu izvēletiek veikta atbilstoši materiālu pretestības metodēm. Šeit atzīmēsim tikai daţus apsvērumuspar spiestu stieņu aprēķina garumu veicot to pārbaudi pie garenlieces.Ja kopņu mezgli būtu ideālas locīklas, tad stieņu aprēķinu garums būtu vienāds ar attālumustarp mezglu centriem. Patiesībā kopnes stieņu gali savā starpā savienoti armezglveida ieliktņiem un mezglu pagriezieniem būtisku pretestību rada mezglā saejo-64
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIšie stieņi, tādā veidā aizkavējot spiesto stieņu brīvu izlieci. Sakarā ar to, nosakot spiestāstieņa aprēķina garumu, tas ir jāsaīsina (jāņem mazāks) salīdzinot ar stieņa ģeometriskogarumu, ņemot vērā abiem stieņu galiem piegulošo stieņu skaitu un relatīvo stingrību.Spiestās joslas stienim šādu korekciju var neveikt, jo tam pieguļ ne vairāk kā viensstiepts atgāznis katrā tā galā, pie tam stieptā atgāţņa relatīvā stingrība ir būtiski mazākakā joslas stieņu relatīvā stingrība. Līdz ar to spiestās joslas stieņu aprēķina garums tiekpieņemts vienāds ar šī stieņa ģeometrisko garumu. Toties kopnes plaknē reţģa (atgāţņi,stati) spiesto stieņu aprēķina garums tiek pieņemts 0,8 no to ģeometriskā garuma.Pārbaudot spiestos stieņus uz garenlieci plaknē, kura perpendikulāra kopnes plakneigan spiestās joslas, gan arī reţģa stieņiem, aprēķina garums tiek pieņemts vienāds arģeometrisko stieņu garumu.Ja uz kopnes stieni darbojas vietējā slodze, t.i. tāda, kura darbojas starp mezgliem, tadaprēķinā tiek ievērtēts kā šī stieņa ass spēks, tā arī lieces moments.4.2. Būves patiesais un teorētiskais darbsReālā būve aprēķinu gaitā tiek aizstāta ar tās aprēķinu shēmu, kura tiek veidota ievedotvirkni papildus hipotēţu par būves struktūras elementiem, to savstarpējo novietojumuun sastiprinājumiem, deformēšanās raksturu. Tā, piemēram, telpiskās sistēmas, kādaspatiesībā ir visas būves, tiek sadalītas plakanās konstrukcijās; kopnes tiek uzskatītaspar stieņu sistēmām, kuru elementi savā starpā savienoti ar ideālām locīklām, tādā veidānodrošinot iespēju stienim vienam pret otru brīvi pagriezties; rāmjos gluţi pretējitiek pieņemts, ka mezgla konstrukcija pilnībā nodrošina tā stingrību un slogojuma gaitātie nemainās.Kaut arī šāda veida pieņēmumi ir nepieciešami, lai vienkāršotu aprēķinus, lasītājamtomēr jāatceras, ka būves faktiskais darbs lielā mērā atšķiras no teorētiskā darba, kurapamatā ir tā vai cita aprēķina shēma.Pievērsīsimies daţiem reālās kopnes darba aspektiem.Pieņēmums par ideālām kopnes locīklām nosaka, ka visi kopņu stieņi uzņem tikai assspēkus – stiepi vai spiedi. Patiesība kopnes mezgli tiek izveidoti ar kniedētu vai meti-65
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINInātu uzliku palīdzību kā rezultātā leņķi starp atsevišķiem stieņiem nevar brīvi mainīties.Kopējās kopnes deformācijas dēļ, tās atsevišķie stieņi tiek ne tikai stiepti vaispiesti, bet arī liekti. Lieces dēļ stieņos rodas papildus spriegumi, kurus sauc par spriegumiemno mezglu stinguma. Jo mazākas kopnes izlieces un gludāka izlieču līkne, jovairāk reālie spriegumi stieņos sakrīt ar teorētiskajiem un mazāki ir papildus spriegumino mezglu stinguma. Tādēļ vienkāršu reţģu gadījumos – atgāţņveida, trīsstūrveida bezstatiem un pusatgāţņu, spriegumi no mezglu stingrības ir mazāki kā kopnēs ar statiemun šprengeļiem.Papildus spriegumi ir atkarīgi arī no stieņu padevīguma: jo padevīgāki stieņi, jo kopnesdarbs mazāk atšķiras no locīklveida sistēmas darba un papildus spriegumi ir mazāki.Tādēļ tiek rekomendēts ierobeţot stieņu šķērsgriezuma lineāros izmērus (ne vairāk kā1/10 no aprēķina garuma). Būtiskus papildus spriegumus rada neprecīzi centrēti mezgli.Gadījumos, kad stieņu asis nekrustojas mezglu centros, šajos mezglos rodas liecesmomenti un tiem atbilstošie papildus spriegumi. Tie sevišķi bīstami spiestiem stieņiem.Nepareiza stieņu centrēšana samazina kopnes stingrību un stiprību. Veicot kopņu aprēķinus,parasti netiek ievērtēti vairāki faktori, kuriem daţreiz ir būtiska nozīme. Tā,piem., stieņu šķērsgriezuma straujas formas izmaiņas vietās vai arī vājinājumu vietās,ko veido caurumi (kniedēm, bultām u.t.t. veidojas lokāli spriegumi (to koncentrācija).Parasti veicot aprēķinus tiek pieņemts, ka uz konstrukciju darbojas vienreiz pieliktaslodze, kaut gan bieţi vien ir vērojama atkārtota konstrukcijas noslodze, kas izraisamateriāla nogurumu.Aprēķinos netiek ņemts vērā slodzes ilglaicības faktors. Šim faktoram ir būtiska nozīmekonstrukcijās, kuras veidotas no materiāliem ar izteiktām šļūdes īpašībām. Tādi irbetons, koks, metāls pie paaugstinātām temperatūrām u.c. Šie materiāli pat pastāvīgasprieguma gadījumā iegūst laikā pieaugošas deformācijas, t.i. tek. Gadījumā, ja materiāladeformācijas konstruktīvā ceļā tiek ierobeţotas, notiek spriegumu samazināšanāslaikā atbilstoši noteiktam likumam. Šo parādību sauc par spriegumu relaksāciju.Minētie faktori rada papildus – blakus spriegumus, kuri sadarbībā ar pamatspriegumiemvar pārsniegt elastības robeţu.66
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIAugstāk minēto faktoru klātbūtnes un iespaida novērtēšanai uz darinājuma patieso darbunepieciešami eksperimentāli pētījumi kā laboratorijas, tā arī dabīgos apstākļos. Sistemātiskieksperimentāli un teorētiski pētījumi ļauj iegūt aizvien precīzākus datus parto vai citu faktoru iespaidu un šī iespaida ievērtēšanu konstrukcijas aprēķinā.Jaunu materiālu un konstrukciju elementu veidu ieviešana būvpraksē izvirza arvienjaunas problēmas konstrukciju deformatīvo un stiprības īpašību prognozēšanai.4.3. Vispārīgi jēdzieniPar kopni sauc sistēmu, kas sastāv no taisniem, galos savienotiem stieņiem.Savienojuma vietas sauc par mezgliem. Mezgli parasti ir stingi – metināti vai kniedēti.Kopņu uzdevums ir tāds pats kā sijām – pārsegt vērā ņemamus laidumus pietam dodot iespēju taupīt materiālu, tā kā sijās tas tiek izmantots neracionāli. Kopnesvienmēr ir vieglākas par atbilstošām sijām pie uzdotas slodzes un laiduma (attālumastarp balstiem).Mezglus, kas pārnes slodzi uz balstiem, sauc par balsta mezgliem, pārējos — parstarpmezgliem. Katrs kopnes stienis savieno divus mezglus. Stieņi, kuri ierobeţokopnes kontūru no augšas, veido kopnes augšējo joslu, bet stieņi, kuri ierobeţokopnes kontūru no apakšas, apakšējo joslu. Stieņus, kas atrodas starp augšējo unapakšējo joslu, sauc par režģi. Reţģa stieņi saista abas joslas. Reţģa vertikālosstieņus sauc par statiem, bet slīpos — par atgāžņiem. Atgāţņus iedala uz centrukrītošos un uz centru augošos.Attālumu starp kopnes balstu locīklu centriem sauc par laidumu. Attālumu starp joslasblakus mezgliem sauc par paneļa garumu. Vislielāko attālumu starp kopnes augšējoun apakšējo joslu sauc par kopnes augstumu. Laidumu apzīmē ar burtu l, paneļa garumu— ar d, kopnes augstumu — ar h (att. 4.1).Izšķir telpiskas un plakanas kopnes. Plakanās kopnes kā atsevišķa konstrukcija praksēsastopamas reti. Telpisku sistēmu izveido, savienojot plakanas kopnes ar saitēm. Aprēķinottelpisku sistēmu, kas sastāv no plakanām kopnēm, parasti pieņem, ka katra kopnedarbojas atsevišķi. Šeit aplūkosim tikai plakanas kopnes.67
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINI4.4. Kopņu klasifikācijaDaudzveidīgās kopņu sistēmas iedala atsevišķos tipos pēc daţādām pazīmēm.Pēc balstu reakciju virziena vertikālas slodzes gadījumā izšķir kopnes bez balstbīdesjeb siju kopnes (att. 4.2a) un kopnes ar balstbīdi jeb loku kopnes (att. 4.2b). Pie balstbīdeskopnēm pieder arī iekārtās kopnes.Pēc joslu veida izšķir paralēlo joslu (att. 4.3a,b,c), trīsstūrveida (att. 4.3d), trapec-68Nosakot piepūles kopnes stieņos tiek izmantotas sekojošas izejas hipotēzes:1. stieņi galos savā starpā savienoti ar ideālām locīklām. Pētījumi rāda, ka papildusspriegumi, kurus rada stingie savienojumi pietiekami slaidiem stieņiemnav būtiski, jo sastāda tikai daţus procentus no spriegumiem locīklveida kopnēs.2. visa slodze pielikta tikai kopnes mezglos (arī pašsvars). Pamatojoties uz šoun iepriekšējo pieņēmumu visos kopnes stieņos ir iespējama tikai ass stiepe vaispiede (vienīgā iespējamā iekšējā piepūle ir aksiālspēks N).3. kopnei deformējoties locīklu pārvietojumi ir tik mazi, ka tos var neņemtvērā attiecībā uz kopnes formas maiņu. Tas dod iespēju pielietot kopnēmspēku darbības neatkarības principu.Sijās normālie spriegumi sadalās nevienmērīgipa tās augstumu, tāpēc arī siju nestspējatiek izmantota nepilnīgi. Turpretīkopnēs centriski spiesto vai stiepto stieņuatt. 4.1spriegumi visā šķēlumā un visos vienastieņa šķēlumos ir vienādi, līdz ar to stieņu materiālu var izmantot maksimāli ekonomiski.Tādēļ ari kopnes ir vieglākas par sijām, it sevišķi pie lieliem laidumiem.Kopnes var balstīties uz diviem vai vairāk balstiem. Vairumam kopņu ir divi balsti, nokuriem viens ir nekustīgs locīklu balsts, otrs — kustīgs locīklu balsts.Kopnes izmanto ēku jumtos, stāvu pārsegumos, karkasos, tiltos, celtņos, torņos un citāskonstrukcijās. Visbieţāk tās izgatavo no tērauda vai dzelzsbetona.
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIveida (att. 4.3e) un daudzstūrveida kopnes.Ja daudzstūrveida kopnei vienas joslas vai abu joslu mezgli atrodas uz parabolas (att.4.3f), to sauc arī par parabolisko kopni.att. 4.2Paralēlo joslu kopnes tiek lietotastiltiem, estakādēm, tiltaceltņu sijām. Trīsstūrveida untrapecveida kopnes galvenokārtizmanto ēku jumtos. Lielalaiduma tiltos un ēku jumtoslieto daudzstūrveida kopnes.Pēc reţģa veida izšķir kopnes ar vienkāršu režģi un kopnes ar saliktu režģi. Pie vienkāršareţģa kopnēm pieder kopnes ar trīsstūra reţģi, kurām viena virziena atgāţņi maināsar cita virziena atgāţņiem (att. 4.3d), kopnes ar trīsstūra reţģi un papildstatiem (att. 4.3f),kopnes ar atgāţņu reţģi, kurām atgāţņi novietoti pārmaiņus ar statiem, pie tam atgāţņivar būt uz vidu krītoši (att. 4.3e) vai uz vidu kāpjoši (att. 4.1) un kopnes ar pusatgāţņureţģi (K veida reţģi), kurām panelī viena atgāţņa vietā ir divi īsāki atgāţņi (att. 2.13).Saliktu reţģi iegūst, kombinējot divus vai vairākus vienkāršus reţģus. Rombisko kopni(att. 4.3a) iegūst no diviem trīsstūra reţģiem, krusta kopni (att. 4.3b) iegūst no diviematgāţņu reţģiem.Ja trijstūra reţģa vai atgāţņu reţģakopni papildina ar īsiem atgāţņiemun statiem (šprengeļiem), kas slogotāsjoslas pusē paneli sadala divās vaivairākās dalās, tad kopni sauc paršprengeļu kopni (att. 4.3c). Šprengeļi,tāpat kā papildstati kopnēs ar trīs-att. 4.3stūra reţģi, uzņem tikai vietējo slodzi,kas pielikta tā paneļa robeţās, kurā šie papildu elementi atrodas.Bez minētajiem iespējami arī citi, mazāk tipiski reţģu veidi.69
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINI4.5. Kopņu ģeometriskā struktūraLai kopni varētu lietot celtniecības konstrukcijās, tai jābūt ģeometriski nemainīgai. Parto jāpārliecinās pirms uzsākt piepūļu aprēķinus. Kopnēm var iegūt speciālas formulassistēmas kustības brīvības pakāpes vai mainīguma pakāpes aprēķināšanai pieņemot, kakatrs kopnes stienis ir disks.Apzīmēsim disku (stieņu) skaitu kopnē ar S, mezglu skaitu — ar M, atbalsta stieņuskaitu — ar S atb . Tā kā katrs stienis savieno divas locīklas, tad kopējais locīklu skaits(ievērojot, ka tās ir saliktas) ir 2S-M.Pēc formulas W = 3D – 2L - S atb , kura nosaka ar zemi saistītas sistēmas kustības brīvībaspakāpi, ņemot vērā, ka D = S un L = 2S – M iegūstam kustības brīvības pakāpi arzemi saistītai kopneiW = 3S - 2(2S - M) – Sb = 2M – S - S atb ,bet kopnei, kura nav saistīta ar zemi mainīguma pakāpeI = 2M – S - 3.Tomēr ģeometriskā nemainīguma pārbaudi labāk izdarīt izmantojot plakanu stieņu sistēmustruktūranalīzē izklāstīto metodiku, tas ir, izdalot no kopnes ģeometriski nemainīgasdaļas un ņemot tās par paplašinātiem diskiem. Šajā gadījumā disku skaits būsdaudz mazāks un struktūranalīzi veikt būs daudz vieglāk.4.6. Kopnes analītiskais aprēķinsBalstu reakcijas un iekšējās piepūles visos kopnes stieņos nosaka no statikas līdzsvaravienādojumiem, kurus var uzrakstīt gan projekciju, gan momentu vienādojumu veidā.Balstu reakciju aprēķins.Siju kopnēm nekustīgā balsta reakcijas horizontālo komponenti aprēķina no vienādojuma X 0 , bet balstu reakciju vertikālās komponentes aprēķina tāpat kā divbalstusijām, t. i., no vienādojumiem M A 0 un M B 0 un pārbauda ar vienādojumuY 0 .70
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIKā piemēru balstu reakciju aprēķināšanaiapskatīsim kopni (att. 4.4), uzkuru darbojas vertikāla un horizontālaslodze.No nosacījuma X 0 balsta APārbaudei varam ņemt spēku projekciju summu uz vertikālu asi, vai, ja gribam pārbaudēietvert arī horizontālo reakciju varam izmantot momentu vienādojumu pret kāduizdevīgu punktu.Ja uz kopni darbojas slīpi vērsti spēki, tad tos vispirms aizstāj ar to vertikālajām unhorizontālajām komponentēm.Stieņu piepūļu noteikšanas analītiskās metodesLai aprēķinātu piepūles kopnes stieņos izmanto šķēlumu metodi - atšķeļ kādu kopnesdaļu (vai atsevišķu mezglu) un apskata šīs daļas līdzsvaru ārējo spēku un iekšējo piepū-71att. 4.4reakcijas horizontālā komponenteH AP 3. Reakcija ir pozitīva, tātadtā darbojas pieņemtajā virzienā.Lai atrastu vertikālās reakcijas sastādām momentu vienādojumus pret balstiem A un B:Mno kurienesMno kurienesA P1 2d P2 d 2d 3d 4d 5d P18d P3 h VB6d 0 ,P d P d 2d 3d 4d 5dP 8d P h d V B612213 P ,5P P h 6d;122 3B P1 2d P2 d 2d 3d 4d 5d P18d P3 h VA6d 0 ,P d P d 2d 3d 4d 5dP 8d P h d V A612213 P ,5P P h 6d.122 3
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIļu darbības rezultātā. Piepūles, kuras darbojas šķēlumā, aizstāj atmestās kopnes daļasiedarbību uz apskatāmo daļu.Momentpunktu metode. Metode izmantojama gadījumos, ja ir iespējams pāršķeltkopni tā, ka tiek šķelti tikai trīs stieņi no kuriem divi pa pāriem krustojas vienā punktā.Kopni ar šķēlumu sadala divās daļās un vienu daļu atmet (parasti to, kurā vairāk ārējospēku). Atlikušās daļas līdzsvaru jānodrošina ārējām slodzēm, balstu reakcijām un pagaidāmnezināmajām piepūlēm pārgrieztajos stieņos (iekšējās piepūles var noteikt tikaipārgrieztajos stieņos). Apskatāmajai kopnes daļai pārgriezto stieņu asu virzienos pieliektrīs nezināmas piepūles, attēlojot tās kā stiepes spēkus (virziens no mezgliem). Šiespēki aizstāj atmestās kopnes daļas iedarbību uz atstāto daļu. Trīs nezināmos iekšējosspēkus aprēķina no momentu līdzsvara vienādojumiem.Līdzsvara vienādojumi jāsastāda tā, lai katrā vienādojumā būtu tikai viena nezināmaiekšējā piepūle. Tādēļ lai noteiktu kādu no nezināmajām piepūlēm, momentu vienādojumsjāsastāda pret punktu, kurā krustojas pārējo divu piepūļu darbības līnijas. Šo pun-72att. 4.5Piepūles attēlo vērstas prom no mezgla, t.i., pieņem, ka visi stieņi ir stiepti. Ja aprēķinotiegūst pozitīvu piepūles vērtību, tadstienis ir stiepts, bet, ja iegūst negatīvuvērtību, tad piepūles faktiskais virziens irpretējs pieņemtajam un stienis ir spiests.Šķēlumi, projekciju asis un momentpunkti pēc iespējas jāizvēlas tā, lai katrs līdzsvaravienādojums saturētu tikai vienu nezināmu piepūli un nebūtu jārisina vienādojumu sistēmaar vairākiem nezināmajiem.Šķēlumus var izvēlēties tādus, lai sadalītu kopni divās daļās, pēc iespējas pārgrieţot nevairāk kā trīs stieņus (šķēlumi 1-1 un 2-2 att. 4.5) vai lai atdalītu kādu mezglu (šķēlumi3-3 un 4-4 att. 4.5).Atkarībā no izvēlētā šķēluma veida un pielietotajiem līdzsvara vienādojumiem iegūstamdaţādas iekšējo piepūļu noteikšanas metodes kopnes stieņos.
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIktu sauc par momentpunktu, jeb Ritera punktu. Bieţi vien momentpunktu metodisauc arī par Ritera metodi bijušā RTU profesora un celtniecības fakultātes dekānaJAKOBA RITERA (strādāja Rīgā no1873. līdz 1882. gadam) vārdā.Daţreiz var šķelt arī vairāk nekā trīs stieņus, kuros piepūles nav zināmas. Tādā gadījumāaprēķināt piepūli vienā no tiem var tikai tad, ja visi pārējie stieņi krustojas vienāpunktā. Momentu vienādojums jāsastāda attiecībā pret šo pārējo stieņu krustpunktu.Piemērs 4.1. Noteikt iekšējās piepūles att. 4.6a parādītās kopnes stieņos, kuri šķelti aršķēlumu 1-1.Atrisinājums. Atmetam pāršķeltās kopnes kreiso daļu un sastādām momentu līdzsvaravienādojumus tās labajai daļai. Nezināmās pāršķelto stieņu piepūles kopnes labajā daļāattēlojam ar pozitīvā virzienā (no mezgliem) vērstām bultām, tādā veidā pieņemot, kašie stieņi ir stiepti.att. 4.6Gan stieņus, gan piepūles atbilstošajos stieņos augšējās joslas stieņiem ir pieņemts apzīmētar burtu O, apakšējās joslas stieņiem ar U, statiem ar V, atgāţņiem ar D. Otrsstieņu un piepūļu apzīmēšanas variants ir izmantojot mezglu numerāciju. Piemēram,piepūli O 3 varam apzīmēt arī kā N 2-3 .73
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINILai noteiktu piepūles vērtību apakšējās joslas stienī 4-5, par momentpunktu jāizvēlaspunkts, kurā krustojas divu pārējo pāršķelto stieņu (2-3 un 2-5) darbības līnijas, tas ir,mezgls 2.Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret šo punktu iegūstam sakarībuNo šīs sakarības seko:kur:M VB d / 2 P d N 0 .233 4 5r20V3d/ P3 d r2M2r2NB4 5 2,0M2ir lieces moments ekvivalentās sijas (sija ar tādu pašu laidumu un slodzēmkā apskatāmajai kopnei) šķēlumā, kas atbilst momentpunktam 2;r2- piepūles N 4-5 plecs attiecībā pret momentpunktu 2.Tiešām, ja doto kopni aizvieto ar analoga laiduma divbalstu siju (att. 4.6b), tad liecesmoments sijas šķēlumā ar to pašu abscisas vērtību, kāda ir momentpunktam 2, ir vienādsar jebkurai atšķeltās kopnes daļai pielikto spēku izraisīto momentu pret šo punktu(ņemot vērā , ka balstu reakcijas kopnei un ekvivalentajai sijai pie vertikālas slodzes irvienādas).Līdz ar to kopnes apakšējās joslas stieņa piepūle N 4-5 ir vienāda ar sijas lieces momentaatbilstošajā šķēlumā dalījumu ar piepūles plecu pret momentpunktu.Tā kā lieces moments sijā jebkuras vertikāli uz leju vērstas slodzes gadījumā ir pozitīvs,tad arī piepūle N 4-5 vienmēr ir pozitīva, t.i. stienis 4-5 ir stiepts. Pie analogas slodzesarī visi pārējie apakšējās joslas stieņi ir stiepti.Nosakot piepūles vērtību augšējās joslas stienī 2-3 par momentpunktu jāizvēlas mezgls5. Šajā gadījumā līdzsvara vienādojums irM P d 2 VB d N 0 ,5 3/2 3r5kur r 5 – piepūles plecs pret mezglu 5 (minimālais attālums no spēka darbības līnijaslīdz punktam, pret kuru tiek noteikts moments).No šī vienādojuma izsakot N 2-3 , iegūstam:74
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINI0V d P3 d / r5 M5r5NB2 3 2.Daļas skaitītājs nosaka lieces momentu divbalstu sijas šķēlumā, kas atbilst mezglam 5.Tā kā sijas moments0M5dotās slodzes gadījumā vienmēr ir pozitīvs, bet attiecībasM priekšā ir mīnus zīme, tad piepūle N 2-3 ir negatīva un stienis 2-3 spiests.05r5Līdzīgi var pierādīt, ka arī visi pārējie augšējās joslas stieņi ir spiesti.Nosakot piepūli atgāznī 2-5 jāizmanto momentpunkts, kurš atrodas ārpus kopnes robeţām.Tas ir punkts k.Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret šo punktu, iegūstam sakarībuunNM P a d / 2) V a N r 0.k3(B 2 5 k2 5 P3(a d / 2)VB a rk.Atgāţņi var būt gan stiepti gan spiesti.No iegūtajām piepūļu aprēķina sakarībām varam secināt, ka lietojot momentpunktumetodi piepūles vērtība stienī nosakāma ar sekojošas formas izteiksmiN = ārējo spēku moments / piepūles plecs = M/rĀrējo spēku moments M ir atšķelto kopnes daļu slogojošo spēku izraisīto momentusumma attiecībā pret momentpunktu, bet r - nosakāmās piepūles plecs pret atbilstošomomentpunktu.Pielietojot šķēlumu metodi, tika uzstādītsnoteikums, ka šķelti tiek tikaitrīs kopnes stieņi. Tomēr šī prasībane vienmēr ir obligāta. Tā, piemēram,nosakot piepūles att. 4.7a parādītāskopnes augšējās vai apakšējāsatt. 4.7joslas stieņos, varam izmantot šķēlumu -. Sastādot momentu līdzsvara vienādojumuatšķeltajai kreisajai kopnes daļai (att.4.7b) attiecībā pret momentpunktiem 2 un 14, va-75
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIram noteikt piepūles stieņos 2-3 un 14-15. No līdzsvara vienādojumiem iegūstam izteiksmes:N V 2 3 Ad h , N V 15 Ad h14.Arī att. 4.8 parādītajai kopnei joslu stieņu piepūles var tikt noteiktas izmantojot momentpunktumetodi. Izdarot vertikālus šķēlumus,piemēram, - vai -, iegūstamkreiso atšķelto kopnes daļu ar vairākāmvienā punktā (mezglā 13) saejošāmpiepūlēm. Punkts 13 arī ir momentpunktsabu šķēlumu gadījumā.att. 4.8Att. 4.9 parādītā tīklveida kopne interesantaar to, ka tai nav iespējamsizdarīt šķēlumu tā, lai tas šķeltu trīs vai vairāk stieņus, kuri, izņemot vienu, krustotosvienā punktā. Svarīgi atzīmēt, ka kopne ir ģeometriski nemainīga un statiski noteicama.Kopne sastāv no diviem pamattrīsstūriem 1-2-B un A-3-4, kuri savā starpā savienoti artrim stieņiem, kas nekrustojas vienā punktā. Kopne sastāv no 9 stieņiem, kuri savienoti6 mezglos. Tātad nosacījums 9 = 2 · 6 – 3 izpildās.att. 4.9Šīs kopnes stieņu piepūļu noteikšanai izmantojam tādu noslēgta tipa šķēlumu, lai tasšķērsotu stieņus A-1, 2-3 un 4-B vienu reizi, bet stieņus A-3 un A-4 divas reizes (att.4.9a). Šķēlumā ieslēgtajā kopnes daļā divkārši šķelto stieņu daļas līdzsvarojas ar to galospieliktajām piepūlēm un līdz ar to paliek trīs nezināmas piepūles – N A-1 , N 2-3 un N 4-B .76
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINILai noteiktu piepūli N A-1 izmantojam momentpunktu, kurš rodas krustojoties taisnēmstieņu 2-3 un 4-B virzienos. Tas ir punkts k1 (att. 4.9b). Sastādot līdzsvara vienādojumupret šo punktu iegūstam izteiksmi piepūles N A-1 noteikšanaiN VBb1 P p r1A 1 k.Piepūles N 2-3 noteikšanai izmantojam momentpunktu, kurš veidojas krustojoties taisnēmstieņu A-1 un 4-B virzienos, Tas ir punkts k2 (att. 4.9c). Piepūles N 4-B noteikšanaiizmantojam momentpunktu k3.Tādā veidā tiek noteiktas trīs piepūles no trim neatkarīgiem līdzsvara vienādojumiem,kuri katrs satur pa vienam nezināmajam.Piepūles pārējos stieņos var tikt noteiktas ar šķēlumiem, kuros nezināmo piepūļu skaitsnav lielāks par trim.Balstoties uz iepriekšējos piemēros iegūtajiem rezultātiem, varam izdarīt secinājumus:Momentpunktu metodi ērti lietot gadījumos, ja var izdarīt šķēlumu, kurš šķērsopatvaļīgu stieņu skaitu, kuri visi izņemot vienu, krustojas vienā punktā. Šispunkts nedrīkst atrasties uz tā stieņa ass, kurā nosakām piepūli.Momentpunktu metode ērta arī gadījumos, kad tiek šķelti vairāk kā trīs stieņi,bet nezināmas piepūles ir tikai trijos stieņos.Momentpunktu metode ērti lietojama arī tādu kopņu gadījumos, kad šķēlumuvar veikt tikai šķeļot vairāk kā trīs stieņus, bet tādā gadījumā ir jābūt iespējaikatru papildus stieni šķelt divas reizes.Par momentpunktu metodes priekšrocību jāuzskata iespēja noteikt katru piepūli no neatkarīgalīdzsvara vienādojuma, kurš satur tikai vienu nezināmo. Līdz ar to piepūlesnoteikšana katrā stienī notiek neatkarīgi no piepūļu vērtībām citos stieņos un nenes sevlīdzi iespējamās aprēķinu kļūdas.Projekciju metode. Lietojot projekciju metodi, kopni ar šķēlumu sadala divās daļās unapskatāmajai kopnes daļai pielieto projekciju līdzsvara vienādojumus uz vienu vai divāmasīm. Projekciju metodi ir lietderīgi lietot, piemēram, ja kādā kopnes stienī piepūli77
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINInevar noteikt ar momentpunktu metodi, kā tas ir kopnes ar paralēlām joslām gadījumā.Piemērs 4.2. Attēlā 4.10 parādītajaikopnei atrast piepūlesstatā 2-6 un atgāznī 2-7.att. 4.10Atrisinājums. Kopnei ar paralēlāmjoslām piepūles reţģastieņos lietderīgi noteikt izmantojotprojekciju metodi.Atradīsim piepūli statā N 2-6 unatgāznī N 2-7 .Lai noteiktu piepūli statā N 2-6 šķeļam kopni ar šķēlumu - un apskatam kopnes kreisāspuses līdzsvaru. Sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi(att. 4.10a)no kurienesNY V0 P / 2 N26 QII N26 0A,0263P2 Q I I .Q šeit ir šķērsspēks ekvivalentajai sijai šķēlumā - no slodzēm, kas pieliktas kopnei0I Ipa kreisi no šī šķēluma. Tā kā šķērsspēks šķēlumā - ir pozitīvs, tad stienis 2-6 irspiests.Lai noteiktu piepūli atgāznī N 2-7 , šķeļam kopni ar šķēlumu - un sastādām spēkuprojekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi (att. 4.10b)no kurienesNY V0 P / 2 P N27sin QIIII N27sin 0A,27Q II II0 P 2sin sin .78
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIQ ir šķērsspēks ekvivalentajai sijai šķēlumā - no slodzēm, kas pieliktas kopnei0II IIpa kreisi no šī šķēluma. Stienis 2-7 ir stiepts. Nosakot N 2-7 vērtību, līdzsvara vienādojumātika ņemta N 2-7 vertikālā komponente N 2-7 sin.Mezglu izgriešanas metode. Mezglu izgriešanas metode ir projekciju metodes apakšgadījums,kad šķēlumu izvēlas tā, lai no kopnes atdalītu atsevišķu mezglu. Mezglu izgriešanasmetodi var lietot, ja apskatāmajā mezglā saejošajos stieņos ir ne vairāk kādivas nezināmas piepūles, jo mezglam var sastādīt tikai divus neatkarīgus projekcijulīdzsvara vienādojumus.Šīs metodes trūkums ir tas, ka kļūda,kas pielaista aprēķinot piepūli kādāstienī, iespaido visu pārējo stieņu piepūļuaprēķinu. Tāpēc labāk iekšējopiepūļu noteikšanai lietot momentpunktuun projekciju metodes, betatt. 4.11mezglu izgriešanas metodi atstāt pārbauţuveikšanai, izņemot atsevišķus mezglus, kuros šīs metodes pielietošana ir lietderīga.Piemērs 4.3. Noteikt piepūles stieņos N A-1 un N A-4 att. 4.11a parādītajai kopnei.Atrisinājums. Piepūļu noteikšanai stieņos N A-1 un N A-4 att. 4.11a parādītajai kopneiizmantosim mezglu izgriešanas metodi.Lai aprēķinātu piepūli stienī A-1 sastādām projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikāluasi:no kura iegūstamY P / 2 2P1 sin 0 ,1 3P/ 2sinN AN A .Tātad, stienis A-1 ir spiests un pareizais piepūles N A-1 virziens ir pretējs (tas ir uz mezglu).79
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINILai aprēķinātu piepūli stienī A-4 sastādām projekciju līdzsvara vienādojumu uz horizontāluasi:X Nno kura iegūstamN A 4 3Pctg / 2.4 NA1cos NA4 3Pctg / 2 0A,Stienis A-4 ir stiepts.Turpinot att. 4.11 parādītās kopnes aprēķinu ar mezglu izgriešanas metodi kā nākošovarētu ņemt mezglu 4, pēc tam mezglu 1, mezglu 2, mezglu 5, un tā tālāk, kamēr piepūlesvisos stieņos būtu noteiktas. Diemţēl kļūda, kas radusies nosakot piepūles kādamezgla stieņos, radīs kļūdu arī visos pārējos pēc tam apskatāmajos mezglos.Piepūļu noteikšanas speciālgadījumi. Kopnes aprēķinu parasti sāk pārliecinoties, vaikādos kopnes mezglos neizpildās turpmāk apskatāmie piepūļu noteikšanas speciālgadījumi.Ja šādi mezgli kopnē ir, tad ievērojami samazinās aprēķinu apjoms nosakot iekšējāspiepūles kopnes stieņos.Daļā kopnes stieņu iekšējās piepūles var noteikt bez speciāliem aprēķiniem atbilstošisekojošām pazīmēm:1. Ja neslogotā mezglā saietdivi stieņi, tad piepūles šajosstieņos ir vienādas ar nulli.Šī izteikuma pareizību var pierādītpielietojot mezglu izgriešanasmetodi att. 4.13a parādī-att. 4.12tajam mezglam. Ņemot projekcijusummu uz y asi Y N 2 cos 0 iegūstam N 20 un ņemot projekcijusummu uz x asi X N 2sin N1 0 iegūstam N 10 .Šim nosacījumam atbilst mezgli 1 un 7 att. 4.12:80
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶININ N N N 0 .A1 1267B7att. 4.132. Ja mezglā saiet divi stieņi un spēks, kas vērsts viena stieņa virzienā, tad piepūle šajāstienī ir vienāda ar spēku pēc moduļa un tam pretēji vērsta (attiecībā pret mezglu), betpiepūle otrā stienī ir vienāda ar nulli.Izteikuma pareizību pārbaudām pielietojot mezglu izgriešanas metodi att. 4.13b parādītajammezglam. Ņemot projekciju summu uz x asi X N 4 cos 0 iegūstamN 0 un ņemot projekciju summu uz y asi 4 Y N4 cos N3 P 0 iegūstamN3 P , ko arī vajadzēja pierādīt.Šim nosacījumam atbilst mezgli A un B att.4.14: NA 1 NB5 2Pun ir spiesti, jopiepūlei attiecībā pret mezglu ir jābūt pretējivērstai spēkam, tas ir uz mezglu,N N 0 .A6 8B3. Ja neslogotā mezglā saiet trīs stieņi, nokuriem divi atrodas uz vienas taisnes, tadpiepūles šajos divos stieņos ir vienādas pēc moduļa un pretēji vērstas (attiecībā pretmezglu), bet piepūle trešajā stienī ir vienāda ar nulli.Apskatām mezgla att. 4.13c līdzsvaru. Ņemot projekciju summu uz x asiatt. 4.14iegūstam N5 N7.X N5 cos N7cos 081
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIProjekciju summa uz y asiY N5sin N7sin N6 0dod N 60 , kas atbilst apskatāmajam gadījumam.Nosacījumam 3 atbilst mezgli 3 un 5 att. 4.12:N23 N34,45 N56N , N N 0.395114. Ja mezglā saiet trīs stieņi, no kuriem divi atrodas uz vienas taisnes un spēks, kasvērsts trešā stieņa virzienā, tad piepūle trešajā stienī ir vienāda ar spēku pēc moduļaun tam pretēji vērsta, bet piepūles pirmajos divos stieņos ir vienādas pēc moduļa unpretēji vērstas.Šī izteikuma pareizību viegli var pierādīt apskatot mezgla att. 4.13d līdzsvaru.Nosacījumam 4 atbilst mezgli 8, 10 un 12 att. 4.12:N , N 11 12 N 12 B, N28 N410 N612 PN A 8 N89,910 N1011(stiepti stieņi), kā arī mezgls 3 att. 4.14.Nullstieņi. Aprēķinot kopnes, sastopami gadījumi, kad daţos stieņos dotās slodzes ietekmēiekšējās piepūles nerodas. Tādus stieņus sauc par nullstieņiem. Kopnes aprēķinadaţādām slodzēm (lietderīgai slodzei, pašsvaram, sniega vai vēja spiedienam). Elementos,kas ir nullstieņi attiecībā uz vienu slodzi, citas slodzes gadījumā var rasties piepūles.Sastopami arī tādi stieņi, kuros piepūles nerada nekāda slodze. Šādiem stieņiem irkonstruktīva nozīme un tos lieto citu stieņu, it īpaši garu spiesto stieņu brīvā garumasamazināšanai.Izmantojot iepriekš minētās nullstieņu noteikšanas pazīmes, bieţi vien iespējams būtiskisamazināt kopņu aprēķinu apjomu. Šāda iespēja demonstrēta sekojošos piemēros.Piemērs 4.4. Dota vertikāla trīsstūrveida kopne, kura slogota ar vienu horizontālu spēkuP (att. 4.15a). Noteikt kopnes nullstieņus.Atrisinājums. Divstieņu mezgls 4 nav noslogots. Tātad stieņi 3-4 un 4-5 ir nulstieņi.Par trim mezglā 3 saejošiem stieņiem jau zināms, ka viens (stienis 3-4) ir nullstienis.82
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINILīdz ar to varam secināt , ka stieņi 2 - 3 un 3 - 5 arī ir nullstieņi. Līdzīgu spriedumuveidā konstatējam, ka mezglā 5 saejošie stieņi 5 - 6 un 2 – 5 arī ir nullstieņi. Analizējotmezglos 2 un 6 saejošos stieņus, konstatējam, ka nullstieņi ir arī stieņi 1–2, 2–6, 1–6 un6–7. Pievēršoties mezglam 1, konstatējam, ka stienis 1–A ir nullstienis, bet tā kā stieņa1-7 virziens sakrīt ar pieliktās slodzes virzienu tad tas nav nullstienis. Arī pārējie divistieņi 7 – A un 7 – B nav nullstieņi.att. 4.15 att. 4.16Tātad dotās kopnes stieņu piepūļu aprēķins reducējas uz trīs piepūļu noteikšanu.Attiecīgie stieņi att. 4.15b parādīti ar nepārtrauktām līnijām, bet nullstieņi ar raustītāmlīnijām.Piemērs 4.5. Dota horizontāla trīsstūrveida kopne, kura slogota ar vienu vertikālu spēkuP laiduma vidū (att.4.16a). Noteikt kopnes nullstieņus.Atrisinājums. Trīsstieņu nenoslogotā mezglā 4 stienis 1–4 ir nullstienis ( trešā pazīme).Līdz ar to mezglu 1 var uzskatīt par trīsstieņu krustpunktu, no kuriem divi stieņiatrodas uz vienas taisnes. Tātad pēc trešās pazīmes stienis 1–5 ir nullstieis. Analogāveidā varam konstatēt, ka stieņi 3–6 un 3–5 arī ir nullstieņi. Stieņi, kuros jānosaka piepūlesdotajā slogojuma gadījumā ir parādīti att. 4.16b ar nepārtrauktām līnijām.Piemērs 4.6. Dota paralēljoslu kopne, kura slogota ar vienu vertikālu spēku P augšējās83
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIjoslas laiduma vidū (att. 4.17a). Noteikt kopnes nullstieņus.Atrisinājums. Balsta A reakcija vērsta stieņa 1–A virzienā. Tādā gadījumā pēc trešāspazīmes stienis A-6 ir nullstienis. Līdz ar to mezglu 6 var uzskatīt par nenoslogotu divustieņu krustpunktu un pēc pirmās pazīmes stieņi 2–6 un 6–7 ir nullstieņi. Mezgls 2 ir uzskatāmspar neslogotu trīsstieņu krustpunktu ar diviem stieņiem uz vienas taisnes. Tādāgadījumā pēc trešās pazīmes stienis 2–8 ir nullstienis. Analogu spriedumu rezultātā konstatējam,ka gan stienis 4–8 gan stienis 4–9 ir nullstieņi. Attiecinot iegūtos rezultātus arīuz kopnes labo daļu, nonākam pie secinājuma, ka veicot kopnes aprēķinu piepūles nepieciešamsnoteikt tikai att. 4.17b ar nepārtrauktām līnijām attēlotajos stieņos.att. 4.17att. 4.18Uzdevums 4.1. Pierādīt, ka att.4.18 ar pārtrauktām līnijām iezīmētie stieņi ir nullstieņi!Piemērs 4.7. Aprēķināt piepūles att. 4.19 dotās kopnes stieņos. Kopne slogota pa augšējojoslu ar vienmērīgi izkliedētu slodzi q=10kN/m. Kopnes laidums l 6d18m.Atrisinājums. Pirms sākt kopnes aprēķinu izkliedētā slodze jāpārveido par koncentrē-84
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINItiem spēkiem, kas pielikti kopnes mezglos. Ja izkliedētā slodze izvietota uz abām pusēmno mezgla, koncentrētā spēka lielums ir qd=30kN, ja uz vienu pusi – qd/2 = 15kN(att. 4.19b). Nosakot balstu reakcijas iegūsim, ka abas reakcijas ir vienādas ar 90kN. Tākā gan kopne, gan slodze ir simetriskas, pietiek noteikt piepūles pusei kopnes, piemēram,kreisajai. Labajā pusē simetriski novietotos stieņos piepūles būs analogas.Aprēķinu ir lietderīgi sākt pārbaudot, vai kādā mezglā neizpildās piepūļu noteikšanasspeciālgadījumu noteikumi. Atbilstoši piepūļu noteikšanas speciālgadījumu trešajampunktam (neslogotā mezglā saiet trīs stieņi):N 1-6 =N 3-8 =0; N A-6 =N 6-7 ; N 7-8 =N 8-9 .att. 4.19Pārējo piepūļu noteikšanai varam izmantotdaţādas metodes. Piepūles stieņosA-1 un A-6 varam noteikt ar šķēlumu1-1 izgrieţot mezglu A un sastādottam spēku projekciju vienādojumusuz vertikālu un horizontālu asi. Sākotnējipieņemam, ka stieņi ir stiepti, t.i.piepūles vērstas no mezgla A.Projekciju summas līdzsvara nosacījumsuz vertikālu asi dod vienādojumuN A-1 noteikšanai (att. 4.20)no kura iegūstamY 15 90 N A 1sin 45 0,15 90/sin 45 106, kNN A1 1 .Tātad, stienis N A-1 ir spiests un pareizais piepūles N A-1 virziens ir pretējs (tas ir uz mezglu).Lai aprēķinātu piepūli stienī N A-6 sastādām projekciju līdzsvara vienādojumu uz horizontāluasi:X N A 6 NA1cos 45 0 ,85
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIno kura iegūstamNA 6 NA1cos 45 75kN.Stienis N A--6 ir stiepts.Lai noteiktu piepūles N 1-2 un N 1-7 izvēlamiesšķēlumu 2-2. Piepūli N 1-2 nosa-att. 4.20att. 4.21 kām par momentpunktu izmantojot punktu,kurā krustojas divi pārējie pārgrieztie stieņi, tas ir punktu 7 (att. 4.21), pret kurusastādām momentu līdzsvara vienādojumu:M7 N12 r12VA6 303156 0 .Ņemot vērā, ka r 1-2 =3,79 m no šī vienādojuma iegūstam piepūles vērtību:N 89, 44kN1 2 .Tā kā rezultāts ir negatīvs, tad stienis 1-2 ir spiests.Piepūles N 1-7 noteikšanai momentpunkts k atrodas ārpus kopnes robeţām. Sastādotmomentu summu pret punktu k iegūstam:M N1 7 r17156 309VA a 0k,no kurienesN1 7 7kN , ņemot vērā, ka r 1-7 =8,49 m.Piepūļu N 2-3 un N 2-7 noteikšanai ar šķēlumu 3-3 izgrieţammezglu 2. Zināmo piepūli N 1-2 pieliekam pareizā virzienā, tas iruz mezglu, jo stienis 1-2 ir spiests.att. 4.22Mezglam 2 (att. 4.22) sastādām projekciju vienādojumus uzvertikālu un horizontālu asi:Y N 2 7 30 N12cos71,57 0 ;X N 2 3 N12sin 71,57 0 .No šiem vienādojumiem iegūstam:N2 7 10kN un N2 3 80kN.86
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIPiepūļu N 3-7 un N 7-8 noteikšanai izmantojam šķēlumu 4-4 (att. 4.23). Tā kā trešajā panelīaugšējā un apakšējā kopnes josla ir paralēlas, piepūles N 3-7 noteikšanai lietderīgiizmantot projekciju summu uz vertikālu asi:Y Nsin56,31 V15 30 30 0 ,no kuras iegūstam:3 7AN 18kN3 7 .Tātad apskatāmais stienis ir spiests.att. 4.23Piepūli N 7-8 varam iegūt par momentpunktu izmantojotmezglu 3 (att. 4.23):No šī vienādojuma iegūstam:N 90kN7 8 .M N 4,5 303 306159V90 .3 7 8AEsam izrēķinājuši piepūles kopnes kreisās puses stieņos. Simetriskos stieņos kopneslabajā pusē piepūles ir tādas pašas.4.7. Kopnes aprēķins starpmezglu slodzes gadījumāPraksē sastopami gadījumi, kad slodze pielikta starp mezgliem un darbojas tieši uzkopnes stieņiem. Aprēķinot kopni, uz kuru darbojas starpmezglu slodze, šo slodzi aizstājar divām komponentēm, kuras pieliek mezgliem slogotā paneļa galos. Pēc tam nosakaasspēkus visos kopnes stieņos, tai skaitā arī ar starpmezglu slodzi slogotajos. Stieņos,kuriem pielikta starpmezglu slodze, darbojas ne tikai asspēki, bet arī lieces momenti,un stieņi tiek stiepti (spiesti) un liekti. Lai aprēķinātu lieces momentu jebkurāapskatāmā stieņa šķēlumā, stieni uzskata par brīvi balstītu divbalstu siju, uz kuru darbojasstarpmezglu slodze.Pilnu spriegumu stienī, kas slogots ar starpmezglu slodzi, aprēķina kā summu, kuru sastādakopnes stieņa asspēkam atbilstošais spriegums un liektas sijas normālspriegums:87
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶININ M ,F WkurN - ass spēks stienī;F - stieņa šķērsgriezuma laukums;M - lieces moments;W - stieņa šķērsgriezuma pretestības .moments.Lai kopnes stieņi netiktu liekti, starpmezglu slodzi parasti cenšas pārnest uz kopnesmezgliem ar konstruktīviem paņēmieniem.4.8. Sijveida kopņu tipu piepūļu salīdzinājumsSalīdzinot daţāda tipa kopnes, var konstatēt, ka ekonomiski izdevīgākas ir tādas kopnes,kurām mazāks svars, mazāks mezglu skaits un vienkāršāks mezglu izveidojums.Kopnes svars atkarīgs ne vien no stieņu šķērsgriezuma, bet arī no stieņu garuma. Salīdzināsimtrīs simetrisku siju kopņu tipus — paralēlo joslu, trīsstūrveida un parabolveidakopni, kam laidums, augstums un paneļu skaits vienāds, pieņemot, ka uz tām darbojasvienāda lieluma simetriska lejupvērsta mezglu slodze pielikta pa augšējo joslu. Šādāskopnēs augšējā josla ir spiesta, apakšējā josla — stiepta, bet statos un atgāţņos asspēkuzīmes ir pretējas. Piepūles joslu stieņos pieaug, ja kopnes augstums samazinās.att. 4.24Aksiālspēku epīras katram kopņu veidam (puskopnei) parādītas att. 4.24a,b,c. Epīrāskatra iesvītrotā laukuma platums noteiktā mērogā attēlo arī attiecīgā kopnes stieņa teorētiskošķērsgriezuma laukumu.Apskatīsim katru kopnes tipu.Paralēlo joslu kopnes. Šīm kopnēm (att. 4.24a) spēki joslās vidējos paneļos ir lielāki88
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINInekā malējos, bet spēki reţģa stieņos — vidējos paneļos mazāki nekā malējos. Uz vidukāpjošie atgāţņi ir spiesti, bet uz vidu krītošie atgāţņi — stiepti. Asspēkiem statos unatgāţņos zīmes ir pretējas. Tērauda kopnēm ieteicamāks ir reţģis, kurā garākie stieņi(atgāţņi) ir stiepti, bet īsākie stieņi (stati) — spiesti, jo īsākiem stieņiem mazāk jāpalielinašķērsgriezums noturības zuduma dēļ.Paralēlo joslu kopnēm stieņu kopējais garums ir lielāks, bet piepūles stieņos un stieņušķērsgriezumi - mazāki nekā tāda paša laiduma trīsstūrveida kopnē. To pašsvars ir mazāksnekā trīsstūrveida kopnēm.Ja joslu stieņu garums atbilst paneļa garumam, tad katrā mezglā jāizveido salaide, ja joslustieņus ņem vairāku paneļu garumā, tad šo stieņu materiāls malējos paneļos tiek nepilnīgiizmantots, toties salaiţu skaits samazinās. Šo kopņu elementus var standartizēt.Paralēlo joslu kopnes lieto tilta celtņu sijām, ēku karkasos, jumta kopņu balstīšanai,tiltu būvniecībā tiltiem ar laidumu līdz 50 m.Trīsstūrveida kopnes. Šīm kopnēm (att. 4.24b) spēki joslās vidējos paneļos ir mazākinekā malējos, bet spēki reţģa stieņos — vidējos paneļos lielāki nekā malējos. Uz vidukāpjošie atgāţņi ir stiepti, bet uz vidu krītošie atgāţņi — spiesti. Tā kā piepūles un līdzar to ari stieņu šķērsgriezumi katrā panelī ir citādi, tad katrā mezglā jāizveido salaide.Balstu mezglu konstrukcija ir sareţģīta, jo malējos joslu stieņos ir vislielākās piepūlesun leņķis starp joslām ir šaurs.Salīdzinājumā ar citiem kopņu tipiem trīsstūrveida kopnēm stieņu kopējais garums ganir mazāks, bet joslu stieņu šķērsgriezumi ir vislielākie un tās ir vissmagākās.Trīsstūrveida kopnes lieto divslīpu jumtiem, ja nepieciešams samērā stāvs jumts.Parabolveida kopnes. Šīm kopnēm (att. 4.24c) augšējās joslas mezgli atrodas uz parabolas.Piepūles visos augšējās joslas stieņos ir vienādas, tāpat arī visos apakšējās joslasstieņos, bet reţģa stieņos piepūles nerodas. Ja simetriska slodze pielikta arī apakšējosmezglos, tad visos statos rodas nelielas, vienādas piepūles, bet atgāţņos piepūles nerodas.Šī kopne darbojas līdzīgi lokam ar savilci. Visu augšējās joslas stieņu šķērsgriezumi,tāpat arī visu apakšējās joslas stieņu šķērsgriezumi ir vienādi, reţģa stieņu šķērsgriezumiir nelieli. Paraboliskām kopnēm izliece ir lielāka nekā pārējiem kopņu tipiem.89
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIKatrā augšējās joslas mezglā jāizveido salaide.Ja konstruē kopni, kurā tikai katrs otraisaugšējās joslas mezgls atrodas uz parabolas,iegūst pusparabolisku kopni. Salīdzinājumāar parabolisko kopni piepūles stieņosšajā kopnē izmainās nedaudz, bet salaiţuskaits augšējā joslā ir divas reizesmazāks.Parabolisko kopņu svars ir mazāks nekāpārējiem kopņu tipiem. Tās lieto tiltu būvniecībātiltiem ar laidumu līdz 150 m, kāarī liela laiduma jumtu konstrukcijām.Rūpniecības ēku jumtiem lieto arī metālatrapecveida kopnes ar trijstūra reţģi, jotām ir vienkāršāks mezglu izveidojums unspēki joslās mazāki nekā trīsstūrveidakopņu joslās.4.9. Kombinētas kopnes.Kopnes, kuru atsevišķi stieņi aizstāti arstieņu sistēmām (kopnītēm), sauc paratt. 4.25kombinētām kopnēm. Att. 4.25a redzamakopne, kuras apakšējās joslas stieņi aizstāti ar saliktiem elementiem. Aizstājot šos saliktoselementus ar vienu stieni, iegūstam sākotnējo kopni (att. 4.25b), kuru sauc parpamatkopni. Pamatkopnes mezglus sauc par galvenajiem mezgliem, bet mezglus, kuriizvietoti starp galvenajiem, par papildus mezgliem. Iespējami divi slodzes pielikšanasgadījumi kombinētai kopnei:kopnes papildmezglos slodze nav pielikta;slodze pielikta arī kādā no papildkopnes mezgliem (papildmezglā).90
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIPirmajā gadījumā (att. 4.25f) ar šķēlumiem galvenajos mezglos izgrieţam atsevišķupapildkopnīti. Šīs papildus kopnes galos (balstos) darbojas spēki, kuru virziens sakrītar galvenos mezglus savienojošas taisnes virzienu. Šos spēkus nosaka no pamatkopnesaprēķina.Gadījumā, ja kādam no papildkopnes mezgliem pielikta slodze P (att. 4.25e), šīs kopnesstieņos radīsies piepūles, kuras nosakāmas ar vispārzināmām kpoņu aprēķina metodēm.Izgrieţot ar vertikāliem šķēlumiem papildkopni (att. 4.25e), iegūstam atsevišķukopni, kuras katrā balstā darbojas divi spēki. Tā balstā 4 darbojas spēka P izraisītā vertikālābalsta reakcijas komponente V 4 un horizontāls spēks N 4-5 . Līdzīgi arī balstā 5darbojas divi spēki – vertikāla reakcija V 5 un horizontāls spēks N 4-5 . Balstu 4 un 5 vertikāloreakciju noteikšanai no lokālas slodzes P, izmantojam momentu līdzsvara nosacījumupret papildkopnes balstiem. Tādā veidā iegūstam sakarībasV Pcd4un V Pd c d5.Un tās ir vienādas ar papildkopnes laidumam atbilstošas divbalstu sijas balstu reakcijāmpie analogas slodzes. Lai noteiktu papildkopnes horizontālās reakcijas, izmantojampamatkopnes šķēlumu – un sastādām kopnes kreisās atšķeltās daļas līdzsvara vienādojumupret momentpunktu 2.Sastādot šo līdzsvara vienādojumu, jāņem vērā, ka mezglos 4 un 5 pamatkopne ir slogotaar papildkopnes vertikālajām balstu reakcijām V 4 un V 5 .Tādā gadījumā attiecīgais līdzsvara vienādojums izvērstā veidā irV A d 2 V d 2 N h 0 .34 4 5No šī vienādojuma iegūstam, kaKurN03VVd h M h4 5A 422,0M2– kreisās daļas vertikālo spēku moments pret punktu 2.Noteiktā piepūle N45arī ir horizontālā reakcija, kura darbojas uz papildkopni.Tā kā horizontālais spēks, kurš darbojas uz papildkopni N 4-5 ir zināms, tad varam no-91
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIteikt piepūles jebkurā papildkopnes stienī. Tā, piemēram, piepūle papildkopnes apakšējāsjoslas trešā paneļa stienī nosakāma ar sakarību2h V 3d/ h N / 2N V4 3d0/ h0 N45 h0/0 4 0 0 45.Izteiksmes pirmais saskaitāmais izsaka to piepūles daļu stienī, kuru izraisa lokālā slodzeP. Apzīmēsim to ar N lok . Otrais saskaitāmais attiecināms uz spēka N 4-5 izraisītopiepūles daļu tai pašā stienī. Apzīmējam šo daļu ar N ass . Iegūstam sekojošu vispārīguizteiksmi jebkura papildkopnes stieņa piepūles noteikšanai:N N lok N .. ass.Piepūle no lokālās slodzes rodas tikai tais gadījumos,kad ir noslogota attiecīgā papildkopne.Piepūle no ass spēka var būt vienāda ar assspēku gadījumos, kad papildkopnes apakšējājosla sakrīt ar stieni 4-5.att. 4.26Ja ir nepieciešams pielikt slodzi kādam kopnesstienim, tad lai izslēgtu šī stieņa lieci, to varaizstāt ar papildkopni (att. 4.26a). Veicot šādaskopnes aprēķinu ērti rēķināt atsevišķi pamatkopniun papildkopni un abu kopņu kopējosstieņos piepūles iegūt kā abu aprēķinu rezultātusummu (att. 4.26b).Pievērsīsimies tādam kombinētas kopnes speciālam gadījumam, kad papildkopnes joslaslīnija sakrīt ar pamatkopnes stieņa līniju (att. 4.26b). Šādā gadījumā papildkopnisauc par šprengeli. Piepūle šprengelī nosakāma kā divu piepūļu summa, kuras rodas nolokālās slodzes šprengelī un globālās slodzes pamatkopnē. Kā jau tika konstatēts iepriekš,att. 4.26b parādītā šprengeļa gadījumā, ass spēku N a-b uzņem šprengeļa apakšējājosla un šī piepūle ir vienāda ar asspēku. Piepūles stieņos a–3, 3–4, 4–5, 5–b, 3–1,1–4, 4–2 un 2–5 no asspēka N a-b nerodas. Piepūles šais stieņos veidojas tikai no lokālāsslodzes papildkopnē. Tātad att. 4.26a dotās kopnes stieņi iedalāmi trīs kategorijās:92
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINI pirmās kategorijas stieņi ir tie, kuros piepūles rodas tikai no ass spēka N a-b (6–7, 6–8, 6–5 un 6–3); otrās kategorijas stieņi ir šprengeļa stieņi, kuros piepūles rodas tikai no lokālāsvertikālās slodzes (3–1, 3–4, 4–5, 1–4, 4–2 un 2–5); trešās kategorijas stieņi ir tie, kuri ietilpst kā pamatkopnē, tā arī šprengelī (a–1,1–2, 2–b, a–3 un b–5) un to piepūles veidojas kā piepūļu summa no ass spēkaN a-b un lokālās slodzes P.Atsevišķos gadījumos (mainās slodzes pārvietošanāsraksturs) iespējami arī speciālas kategorijasstieņi.4.10. Statiski noteicamas plakanaslokveida kopnesTrīslocīklu lokveida kopne sastāv no divāmkopnēm, kuru balsti ir divas nekustīgas cilindriskaslocīklas un savā starpā tās arī savienotasar cilindrisku locīklu.Trīslocīklu lokveida kopnes tiek lietotas kā ēkupārsegšanai (att. 4.27a), tā arī tiltveida konstrukcijāsar brauktuvi pa apakšu (att. 4.27b),pa augšu (att. 4.27c,d) vai daļēji pa augšu, daļējipa apakšu (att. 4.27e).Locīklas parasti tiek izveidotas maksimāli tuvupēdai un lokveida konstrukcijas augstākajāatt. 4.27punktā. Šāda locīklu izvietojuma gadījumā tiekizmantots pilnais loka augstums un tiek iegūtamazāka balstbīde. Locīkla loka virsotnē var tikt izvietota kā uz kopnes vienas vai otrasjoslas (att. 4.27b,d,e), tā arī uz loka ass (att. 4.27a,c), t.i. tās vidū. No locīklas novietojumair atkarīga kopņu stieņu noslogotība: vairāk noslogoti tās joslas stieņi, kuri izvie-93
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINItoti tuvāk locīklām.Lokveida kopnes veido gan ar lauzta rakstura joslām (att. 4.27a), taisnu augšējo joslu(att. 4.27d), paralēlām joslām (att. 4.27c) vai arī neparalēlām joslām (att. 4.27b).Trīslocīklu lokos visbieţāk tiek lietoti divi reţģojuma tipi – parasts atgāţņveida (att.4.27b,c,d,e) un parasts trīsstūrveida (att. 4.27a).Veicot aprēķinu uz nekustīgu slodzi vispirms nosaka balstu reakcijas. Šis aprēķins ne arko neatšķiras no trīslocīklu loka ar nepārtrauktu struktūru balstu reakciju aprēķina.Piepūļu noteikšanai lokveida kopnes stieņos tiek lietotas tās pašas metodes kā sijveida kopnēs,t.i. momentpunktu, projekciju vai mezglu izgriešanas metodes. Būtiska atšķirība ir tā,ka lokveida kopņu stieņu piepūles balstbīdes dēļ ir izteikti mazākas kā sijveida kopnēs.Noteiksim piepūli N 2-3 apakšējās joslas stienī lokveida kopnei, kas parādīta att. 4.28.Izdarot šķēlumu – un sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu 7, iegūstamsakarību kopnes kreisajai daļaiMN23 r7 H y7ār.0 ,kur Mār.- visu kopnes kreisajaidaļai pielikto ārējo spēku, arī kreisābalsta vertikālās reakcijas V momentusumma attiecībā pret punktu 7;att. 4.28r7– piepūles N plecs pret punktu 7;y7– balstbīdes plecs pret punktu 7.Saskaņā ar šo vienādojumu piepūles N 2-3 vērtību nosaka sakarība94N ār2 3M.r7 H y7r7.Tā kā pirmais saskaitāmais M ār ./ r7nosaka stieņa 2-3 piepūli analogai sijveidakopnei, tad secinām, ka piepūle lokveida kopnē ir mazāka par piepūli atbilstošā sijveidakopnē. Apzīmējot šo vērtību ar0N23, varam iegūt koeficientu k l , kas raksturo piepūļuvērtību attiecību lokveida un sijveida kopnēs:
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIki0Hy7MCy 1 100N r M f23777,kur0M 0 C,M7lieces momentu vērtības locīklu kopnei atbilstošā divbalstu sijā.Veiktie aprēķini un iegūtie rezultātiattiecas uz vienu konkrētu stieni(stieni 2-3), bet šiem rezultātiem irvispārīgs raksturs un tie var tikt vispārinātiarī uz pārējiem lokveidakopnes stieņiem un citas struktūraskopnēm.4.11. Vanšu kopnesnes, kuru visi elementi slodzes iedarbībāir stiepti.att. 4.29Par vanšu kopnēm sauc iekārtas kop-Tā kā neviens konstrukcijas elements nav spiests, tātad atkrīt jautājums par šo elementunoturības zudumu. Tas dod iespēju vanšu kopnes veidot no lokanām trosēmvai kabeļiem ar augstu stiepes stiprību. Tādā veidā iespējams būtiski samazinātkonstrukcijas pašsvaru.Vertikāli slogotu vanšu kopņu shēmu pamatā plaši izplatīts ir daudzjoslu auklveidadaudzstūru princips. Savienojot šo daudzstūru virsotnes savā starpā ar statiem, tiek iegūtasģeometriski nemainīgas sistēmas. Att. 4.29a parādīta tādas sistēmas shēma. Kopnesastāv no divām puskopnēm. Kreisā puskopne tiek noslogota, ja tiek slogota laidumakreisā puse un otrādi – slogojot labo laiduma daļu, piepūles rodas labajā puskopnē.Veicot katras puskopnes ģeometriskā nemainīguma analīzi, konstatēts sekojošs nosacījums:daudzstūra joslu skaitam jāsakrīt ar tā paneļu skaitu.Sapludinot auklveida daudzjoslu daudzstūru joslas vairākos paneļos, var iegūt daudzveidīgasvanšu kopņu shēmas. Att. 4.29b un c parādītas divas Francijā un tās kolonijās95
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINIplaši pielietotās Ţisklāna sistēmas vanšu kopnes.Par vanšu kopņu trūkumu uzskatāma to nelielā stingrība, kas stipri ierobeţo to pielietojamību.Toties tās uzskatāmas par vieglām un nesošām konstrukcijām.Konstruējot vanšu kopnes no padevīgām trosēm, kuras nevar uzņemt spiedes spēkus,stingri jāņem vērā pastāvīgās un laikā mainīgās slodzes attiecības. Pastāvīgās slodzesizraisītiem stiepes spēkiem jebkurā gadījumā jāpārsniedz spiedes spēki, ko var izraisītlaikā mainīgas slodzes.4.12. Iekārtas kopnesPar iekārtām kopnēm uzskata trīslocīklu sistēmas ar līklīniju vai lauzītām joslām, kuruizliekums vērsts slodzes darbības virzienā.att. 4.30Iekārtām sistēmām raksturīgie tipi ir:- trose, kas mazu laidumu gadījumā savienota ar siju, bet lielu laidumu gadījumā arkopni (att.4.30).- trīslocīklu lokveida kopne ar izliekumu slodzes darbības virzienā (att. 4.31)Īpatnība, ka atšķirībā no lokveida sistēmām, iekārto sistēmu balstbīde vērsta virzie-96
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINInā no centra.Balstbīdi uzņem piloni. Tādēļ to noslodzes samazināšanai tiek izmantotas atsaites.Iekārtās sistēmās nesošās konstrukcijas elementi galvenokārt strādā uz stiepi. Par iekārtosistēmu priekšrocību jāuzskata tas apstāklis, ka lielākā daļa to elementu nevar zaudētnoturību. Tas ļauj racionālāk izmantot materiālu (samazināt elementa šķērsgriezumu)un projektēt sistēmas ar lieliem laidumiem. Tiek ekspluatēta iekārta tilta konstrukcija ar1277 m laidumu. Iekārtās sistēmas ir relatīvi vieglas, tehnoloģiski ērtas un viegli renovējamas(att. 4.31).Aprēķinu veiksim att. 4.30aattēlotajai troses tipa iekārtaisistēmai. Pāršķeļam trosi punktosA 1 un B 1 – balstu A un Batt. 4.31projekcijās un atmestās daļasiedarbību aizstājam ar vertikālām komponentēm V ’ A un V ’ B un horizontālām H. Sastādotmomentu līdzsvara vienādojumus attiecībā pret punktiem A 1 un B 1 , iegūstamPbV lV l 0 V lV l Pa 0(4.1)Aun līdz ar toAV V AAliPbiiiBBiiPai iV BVB(4.2)lTātad vertikālo reakciju summa abos balstos ir vienāda ar analogas divbalstu sijas balstureakcijām.Izdarot šķēlumu caur locīklu C un troses punktu bezgalīgi tuvu punktam C 1 un sastādotmomentu līdzsvara vienādojumu pret punktu C, iegūstamV AlVAlH h H f h Pici 02 2kur c i – spēku pielikšanas punkta attālums no locīklas C.TātadH V VAAl2 fPcii.97
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶINITā kā daļas skaitītājs izsaka lieces momentu atbilstošās divbalstu sijas punktā C, tadnonākam līdzīgi kā trīslocīklu lokiem pie sakarības0McH .fSvarīgi ievērot parametra f ģeometrisko nozīmi. (Tas ir attālums no troses zemākā punktalīdz taisnei, kas savieno troses šķēlumus balstu A un B projekcijas punktos A 1 un B 1 ).Zinot H vērtību, nosakām komponenšuV AHV B tg, tg ,HV Aun V Bvērtības, izmantojot sakarībaskur - troses malējo elementu slīpuma leņķis pret horizontu.No sakarībām (4.1) un (4.2) iegūstamV APbi i Htg l V B Pai i HtgPiepūli jebkurā troses elementā nosaka sakarībaSiHcosikur I – elementa slīpuma leņķis pret horizontu.l4.13. Sijveida, lokveida un iekārto kopņu salīdzinājumsLokveida kopnes ir vieglākas par sijveida kopnēm, jo balstbīde samazina piepūles stieņos.Diemţēl samazinoties piepūlēm stieņos, balstbīde izraisa prasību par balstu pastiprināšanu.Sevišķi būtiski tas attiecas uz tiltu konstrukcijām vājās gruntīs. Tā rezultātāun ņemot vērā, ka sijveida kopņu montāţa ir vienkāršāka, vājās gruntīs un augstu balstugadījumos, priekšroka tiek dota sijveida kopnēm.Lokveida kopnes ir racionālas telpu pārsegšanai gadījumos, kad nepieciešams liels laidumsun telpas augstums (halles, paviljoni, staciju zāles u.c.), kā arī daudzlaidumu tiltos.Trīslocīklu lokveida kopnes tiltu konstrukcijās tiek izmantotas visai reti. Galvenokārttās izmanto tikai lēzenās lokveida konstrukcijās, kādi parasti ir pilsētu tilti un autopārvadi.Dzelzceļa tiltos tās praktiski netiek lietotas pazeminātās stingrības un izliečulīnijas pārliekuma augšējā locīklā dēļ.98
4. PLAKANU STATISKI NOTEICAMU KOPŅU APRĒĶININo materiāla patēriņa viedokļa trīslocīklu un divlocīklu lokveida kopnes ir līdzvērtīgas,bet piepūles pirmajā gadījumā joslās un atgāţņos sadalās visai nevienmērīgi. Tas sareţģīkopnes konstrukciju.Trīslocīklu kopņu priekšrocības (līdzīgi kā visās statiski noteicamajās sistēmās): nerodaspapildus spriegumi no temperatūras izmaiņas vai balstu sēšanās, atvieglināti montāţasdarbi augšējās locīklas dēļ – maz nozīmīgas lokveida kopnēs ar lielu pacēlumu.Šai gadījumā temperatūras iespaids uz piepūlēm divlocīklu kopnēs nebūtisks. kas attiecasuz divlocīklu kopņu montāţu, tad tā var tikt vienkāršota, izveidojot uz montāţaslaiku papildus locīklu, kuru montāţas beigās likvidē.Iekārtās konstrukcijas ir vieglākas par lokveida konstrukcijām un līdz ar to tās racionālākaslielu laidumu pārsegšanai.Iekārto konstrukciju nelielā stingrība salīdzinot ar lokveida konstrukcijām un nepieciešamībaizveidot augstus, masīvus pilonus kopumā samazina šo konstrukciju kopējoekonomiskumu un uzskatāma par trūkumu.Iekārtās sistēmas galvenokārt tiek izmantotas tiltu konstrukcijās. ēku pārsegumos tāslieto izņēmuma kārtā. Pretenzijas rada šāda veida pārseguma harmoniska iekļaušanāskopējā celtņu arhitektonikā un sareţģījumi seguma blīvuma un ūdens necaurlaidībasnodrošinājumā.Ar sevišķu vieglumu izceļas vanšu kopnes, jo visi to elementi ir stiepti. Šādās konstrukcijāsiespējama līdz 30 – 50 % metāla ekonomija salīdzinot ar sijveida kopnēm.Tomēr to vieglums, ērta transportējamība un vienkāršā mezglu izveidošanasiespēja nav pietiekoši nosacījumi izgatavojot intensīvi noslogotas konstrukcijas,kādi ir dzelzceļa tilti.99
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMAS5.1. Trīslocīklu loki un rāmjiTrīslocīklu loks ir viens no trīslocīklu sistēmu veidiem.No struktūras analīzes viedokļa trīslocīklu sistēma sastāvno trim ar locīklām, kas neatrodas uz vienas taisnes,savienotiem diskiem (att. 5.1) no kuriem viens ir zeme.Ja diski 1 un 2 ir stieņi ar liektu asi, tad šādu sistēmuatt. 5.1sauc par trīslocīklu loku (att. 5.2 a,e,g), ja tie ir taisni vailauzti stieņi, tad apskatāmo sistēmu uzskata par trīslocīklurāmi (att. 5.2 c,d), bet, ja šie diski ir kopnes, tad konstrukcija ir trīslocīklu lokveidakopne (att. 5.2f).Svarīga trīslocīklu sistēmu īpašībair tā, ka šo sistēmu balstos novertikālas slodzes rodas slīpasbalstu reakcijas. Šādu reakcijuhorizontālo komponenti sauc parbalstbīdi. Balstbīde būtiski iespaidoiekšējās piepūles loka šķēlumosun izvirza balstu konstrukcijaispeciālus nosacījumus. Pozitīvsir apstāklis, ka balstbīdes dēļloku veidojošajos stieņos samazināslieces momentu un šķērsspēkuatt. 5.2vērtības, salīdzinot ar analogas formas un izmēru taisnām un liektām sijām. Par negatīvufaktoru jāuzskata apstāklis, ka, lai uzņemtu balstbīdi, balsti jāveido ar atbilstoši paaugstinātustiprību un stingrību horizontālā virzienā. Masīvu balstu veidošanu var novērstizmantojot savilces balstu vai arī kādā citā līmenī (att. 5.2e).Att. 5.2a parādīts visvienkāršākais trīslocīklu loka gadījums, bet att. 5.2b parādīta liek-100
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASta sija. Attālumu l starp loka balstiem sauc par loka laidumu, bet vertikālo attālumu fno loka ass augstākā punkta līdz līnijai, kas savieno balstu centrus, sauc par loka augstumuvai pacēlumu. Attiecība f/l raksturo loka stāvumu un tās vērtība ļauj sadalīt lokusstāvos un lēzenos.Loka galu plaknes sauc par pēdām, bet loka augstāko punktu – par virsotni. Loka izliektomalu sauc par ārējo ribu, bet ieliekto malu – par iekšējo ribu. Ja abas ribas savienotas arsieniņu, tad tas ir pilnsienu loks, bet ja ribas ir savienotas ar stieņiem – reţģots loks.Loka formu nosaka loka ass vienādojums. Loka asi var veidot atbilstoši riņķa līnijai(1), kvadrātiskai (2) vai kubiskai (3) parabolai, elipsei (4), sinusoīdai (5) vai kādai citailīknei. Kubiskas parabolas gadījumā loka ass vienādojums apraksta loka formu līdzviduspunktam. Loka labā puse tiek ņemta simetriski kreisajai.Loka ass vienādojums:1.y R22l2 x R f/ ,kur R l2 4 f2 /8 f2. 2y 4 fx l x / l3. 3y f x /2 l4.y 2 f xl x / l5. x y f sin l 1 – riņķa līnija;2 – kvadrātiska parabola;3 – kubiska parabola;4 – elipse;4 – sinusoīda.No loka ass formas ir atkarīgas darinājuma iekšējās piepūles un loka ekonomiskums.Racionāla loka forma ir atkarīga no slodzēm, kas darbojas uz loku (skat. nodaļu 5.6).5.2. Trīslocīklu loku balstu reakciju noteikšanaLokam pieliktās ārējās slodzes rezultātā balstos veidojas reakcijas, kuru virzieni ir slīpipret pamata plakni. Katru no šīm reakcijām var aizstāt ar divām tās komponentēm vertikālajāun horizontālajā virzienā. Līdz ar to varam uzskatīt, ka trīslocīklu lokam ir101
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASčetras neatkarīgas balstu reakcijas V A ,V B , H A , H B To noteikšanai izmantojam statikaslīdzsvara vienādojumus. Uzskatām, ka uz loku darbojas tikai vertikālas slodzes. Lainoteiktu att. 5.3a parādītā loka vertikālās balstu reakcijas, sastādām momentu līdzsvaravienādojumus pret balstu punktiem A un B:MMB Pb1 1 P2b2 P3b3 P4b4VAl 0 ,A Pa1 1 P2a2 P3a3 P4a4VBl 0 ,No šiem vienādojumiem iegūstam:VVABPb P b1 P b P bP a P a P a P a /l Pa / l111222233334444/ l iiPb / liiii,. (5.1)Ja uz loku darbojas izkliedēta slodze, tāvar tikt aizstāta ar kopspēku. Iegūtaisspēkpāris tiek pieskaitīts koncentrētospēku spēkpāriem ņemot to ar atbilstošuzīmi. Salīdzinot iegūtās balstu reakcijasar balstu reakcijām lokam ekvivalentajaisijai (sija ar tādu pašu laidumu un slodzēmkā apskatāmajam lokam, sk att.5.3b.), konstatējam, ka tās ir vienādas:0VA V Aun0VB V B.Vertikālo balstu reakciju pārbaudei izmantojamvisu spēku, kas darbojas uz sistēmu,projekciju summu uz vertikālu asiY 0 .att. 5.3Balstu horizontālo reakciju H A un H Bnoteikšanai ērti izmantot nosacījumu, kaattiecībā pret loka virsotni (locīklu C)lieces momentu summas gan no kreisās102
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASgan arī no labās puses ir vienādas ar nulli. Šīs sakarības ir universālas visiem slogojumugadījumiem. Mūsu gadījumā, kad uz loku darbojas tikai vertikāla slodze, izdevīgiizmantot spēku līdzsvara vienādojumu uz horizontālu asi Tā rezultātā iegūstamnosacījumuno kura seko, kaX H A H B 0 ,HA H H .BTātad vertikālās slodzes gadījumā kreisā un labā balsta horizontālās reakcijas pēc skaitliskāsvērtības ir vienādas, bet pretēji vērstas, kā tas ir parādīts att. 5.3a.Sastādot momentu summu pa kreisi no locīklas C, iegūstam vienādojumu:MkrC Vno kura, ņemot vērā ka0Al Pl2 a P l/ 2 a Hf 01/1 220VA V A, nosakām loka balstbīdi:l/ 2 a P l/ 2 a VAl / 2 P11 22MCH , (5.2)ff0 0kur M V l / 2 P l/ 2 a P l/ 2 a CA112 ir lieces moments loka ekvivalentāssijas viduspunktā C. Pārbaudei varam izmantot momentu summu pret kādu izdevīgupunktu (tiks pārbaudītas arī vertikālās reakcijas). No sakarības (5.2) varam secināt,ka jo mazāks ir loka augstums f, jo lielāka ir balstbīde. Loka augstumam f tiecoties uznulli, sistēma kļūst acumirklīgi mainīga un piepūles tajā tiecas uz bezgalību.205.3. Iekšējo piepūļu noteikšanaTrīslocīklu loka gadījumā piepūļu noteikšanai šķēlumos tiek izmantota šķēluma metode:loks ar šķēlumu tiek sadalīts divās daļās, tiek atmesta viena no daļām, bet otra daļatiek nolīdzsvarota ar iekšējām piepūlēm - lieces momentu M, šķērsspēku Q un assspēkuN (att. 5.4). Iekšējās piepūles pieliktas pozitīvos virzienos: lieces moments M stiepjloka apakšējo daļu, šķērsspēks Q darbojas pulksteņa rādītāja virzienā pret šķēluma ksmaguma centru, aksiālspēks izsauc apskatāmās loka daļas spiedi (loks šajā ziņā atšķi-103
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASras no citām konstrukcijām). Patvaļīga šķēluma k smaguma centra koordinātes apzīmējamar x k , y k , bet pieskares slīpuma leņķi pret x asi šķēlumā k ar k . Nosakāmiekšējās piepūles:Lieces moments loka šķēlumā skaitliski vienāds arārējo spēku momentu pret šķēluma smaguma centrualgebrisku summu uz vienu pusi (šoreiz kreiso) nošķēluma. Ārējā spēka momentu uzskata par pozitīvu,ja tas stiepj apskatāmās loka daļas apakšējo joslu.Pretējā gadījumā to uzskata par negatīvu.att. 5.4x no kreisā balsta smaguma centru. Tā rezultātā iegūstamizteiksmiSastādām lieces momentu līdzsvara vienādojumuloka kreisajai daļai (att. 5.4) pret šķēluma k attālumāMxx a P x a Hy VA x P1 2 21.Ņemot vērā, ka izteiksmeVApie nosacījuma0x a P x a M x P,1 1 2 2 x0VA V A, nosaka lieces momenta vērtību attālumā x no kreisā balstalokam atbilstošā divbalstu sijā, iegūstam izteiksmi lieces momenta aprēķināšanaiMx M0x Hy . (5.3)No sakarības (5.3) redzams, ka lieces moments patvaļīgā loka šķēlumā ir mazāks parlieces momentu atbilstošā divbalstu sijā. Šis apstāklis arī nosaka loka priekšrocībassalīdzinot ar divbalstu siju. Ņemot vērā, ka loka balstbīdi (5.2) nosaka lieces momentavērtība atbilstošās divbalstu sijas vidū un loka augstums f, iegūstam sakarību:Mx0 y 0 Mx Mc. fTātad lieces momentu patvaļīgā loka šķēlumā var noteikt aprēķinot divas lieces momentuvērtības divbalstu sijā. Attiecība y/f ir loka formu un šķēluma koordināti raksturojošsparametrs.104
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASŠķērsspēks patvaļīgā loka šķēlumā ir vienāds ar visu ārējo spēku, kuri atrodas vienāpusē no šķēluma, projekciju summu uz asi perpendikulāru loka asij apskatāmajā šķēlumā.Spēka projekciju uzskatīsim par pozitīvu, ja tā cenšas pagriezt loka atšķelto daļupulksteņa rādītāja kustības virzienā pret apskatāmā šķēluma smaguma centru. Summējotvisu spēku, kuri darbojas pa kreisi no patvaļīga šķēluma k, projekcijas uz asi t (att.5.4), iegūstamQIzteiksme x V PV P P cos H sinV AAAt11t P22t Ht VAcos P cos P12cos H sin. P 1 P 2raksturo šķērsspēku lokam atbilstošajā divbalstu sijā šķēlumā,kurš atrodas attālumā x no tās kreisā balsta. Apzīmējot šo šķērsspēku ar0Qx, iegūstamizteiksmi šķērsspēka noteikšanai patvaļīgā loka šķēlumā:Qx0 Q cos H sin(5.4)xTātad arī šķērsspēks jebkurā loka šķēlumā vienmēr ir mazāks par šķērsspēku lokamatbilstošajā divbalstu sijā. Lai noteiktu trigonometrisko funkciju vērtības daţādas formaslokiem lietderīgi izmantot nosacījumu, kacos 1, sin 1y' 21y'y' 2tgdydx. Tas dod iespēju noteikt, ka, kur y’ ir loka ass vienādojuma atvasinājumavērtība pie izvēlētajam šķēlumam atbilstošās koordinātes x fiksētas vērtības. Jāņemvērā, ka loka labajā pusē sin vērtības ir negatīvas.Aksiālspēks patvaļīgā loka šķēlumā ir vienāds ar visu ārējo spēku, kuri atrodas vienāpusē no šķēluma, projekciju summu uz pieskari loka asij apskatāmajā šķēlumā. Aksiālspēkazīmi nosaka deformāciju, kuras izraisa aksiālspēks, raksturs. Loka gadījumā assspēks tiek uzskatīts par pozitīvu, ja tas rada spiedi, un par negatīvu, ja tas rada stiepi.Veicot loka kreisajā daļā darbojošos ārējo spēku (att. 5.4) projekciju summēšanu uz asin attiecīgajā šķēlumā, iegūstam:Nx V PV P P sin H cosAAn11n2 P2n Hn VAsin P sin P12sin H cos105
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASŅemot vērā, ka iekavās ieslēgtā izteiksme nosaka šķērsspēku lokam atbilstošajā divbalstusijā, loka asspēku vertikālas slodzes gadījumā nosaka sakarībaNx0 Q sin H cos(5.5)xSakarības (5.4) un (5.5) iegūtas šķēlumiem loka kreisajāpusē. Lietojot šīs sakarības šķēlumiem pa labi no locīklasC, jāņem vērā leņķim att. 5.5 parādītais zīmju likums.Tātad loka kreisajā pusē leņķis ir pozitīvs, betatt. 5.5labajā negatīvs. Veicot aprēķinus svarīgi atcerēties, ka sin ir nepāra funkcija un tātadsin(-) = - sin(), bet cos ir pāra funkcija un . cos(-) = cos().Piemērs 5.1. Konstruēt iekšējo piepūļu epīras parabolveida trīslocīklu lokam (att. 5.6a)ar nepārtrauktu šķērsgriezumu vertikālas slodzes gadījumā.Atrisinājums.1. Izveidojam lokam atbilstošas ekvivalentās divbalstu sijas slogojuma shēmu (att.5.6b)2. Nosakām divbalstu sijas balstu reakcijas M A 0;26V B P3 8 P2 6 P13 q 0 ;28P3 6P2 3P118qV B 90kN; M B 0;2 210 4V A P1 7 P2 4 P3 2 q q 0 ;2 2q 2 27P1 4P2 2P3 10 4V2A 100kN.Tātad loka vertikālās balstu reakcijas ir V A = 100 kN un V B = 90 kN.106
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMAS3. Konstruējam lokam atbilstošās divbalstusijas šķērsspēku0Qxun0Mxepīras(att. 5.6c,d). Epīru vērtības jānosaka šķēlumosar vienādu soli un šķēlumos, kurospielikta koncentrēta ārējā slodze (šajosšķēlumos jārēķina divas vērtības – palabi un pa kreisi no šķēluma). Dotajāpiemērā izmantojam aprēķinu soli vienāduar 1m, t.i., sijas laidumu l = 10m sadalāmdesmit vienādās daļās.4. Nosakām loka balstbīdi:H0Mc 295 73,75kN.f 45. Nosakām loka šķēluma ordinātas izmantojotloka ass vienādojumuy 4 f 2x x.Izmantojot konkrētā loka parametrus f=4m un l =10m, iegūstamy2 1,6x 0,16x.Atvasinot šo vienādojumu pēc koordinātesx iegūstamy' 1,6 0, 32x .att. 5.6Izmantojot šo sakarību varam noteiktloka šķēluma pieskares slīpuma leņķi,ņemot vērā, ka tg=y’. Iegūtie rezultātiapkopoti tabulā 4.1.6. Konstruējam loka piepūļu epīras izmantojot sakarības107
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASMQNxxx M0x Hy ;0 Q cos H sin ;x0 Q sin H cos .xŠo epīru vērtības sakopotas tab. 5.1, bet epīras attēlotas att. 5.6e,f,g.Tabula 5.1Trīslocīklu loka piepūļu aprēķinsNr. x, m y, m φ sin φ cos φM 0 x , M x , Q 0 x , Q x ,kNm kNm kN kNN x , kN0 0 0 57 0 0,839 0,545 0 0 100 7,24 123,951 1 1,44 52 0 0,788 0,616 95 -11 90 2,64 116,252 2 2,56 43 0 48’ 0,692 0,721 180 -8,5 80 6,65 108,83 3 3,36 32 0 40’ 0,540 0,842 255 1070 9,15 99,7530 -24,5 78,244 4 3,84 18 0 0,309 0,952 280 -3 20 -3.71 76,415 5 4,0 0 0 0 1,0 295 0 10 10 73,756 6 3,84 -18 0 -0,309 0,952 300 170 22,75 70,25-60 -34,45 88,757 7 3,36 -32 0 40’ -0,540 0,842 240 -8,5 -60 -10,85 94,58 8 2,56 -43 0 48’ -0.692 0,721 180 -8,5-60 7,65 94,75-90 -13,9 115,69 9 1,44 -52 0 -0,788 0,616 90 -16,6 -90 2,65 116,2510 10 0 -57 0 -0,839 0,545 0 0 -90 12,7 115,67. Nosakām ekstremālo lieces momenta vērtību intervālā starp spēka P 3 pielikšanaspunktu un balstu B. Šai posmā lieces momentu nosaka sakarība Mkoordināte x tiek atskaitīta no punkta B.Tā kā y = 1,6x – 0,16x 2 ; V B = 90 kN, H = 73,75 kN, iegūstamM x22 x 0,16x 28x11,8 90x 73,75 1,6x .x V x Hy , kurB108
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASAtvasinot šo izteiksmi un pielīdzinot nullei, iegūstamdM x 28 23,6x 0 .dxTātad x = 28/23,6 = 1,186m (no balsta B).Momenta vērtība atbilstošajā šķēlumā irM ex21,186 16,6kNm; 281,18611,8.Tā kā y ' 1,6 0,32x1,6 0,32101,186 1,22, tad1,221sin 0,713; cos 0, 6382211,2211,22un900,713 73,750,638 70 46 kNN ex 116 .(N ex – ass spēka vērtība šķēlumā, kurā ir ekstremāla loka lieces momenta vērtība).Piemērs 5.2. Salīdzināt normālspriegumus, kas rodas att. 5.7 parādītajā liektajā sijā unlokā no vienmērīgi izkliedētas slodzes q.Atrisinājums. Jau tika minēts, ka lokveidasistēma ir ekonomiski izdevīgāka salīdzinotar liektu siju. Apskatīsim taisnstūrašķēluma liektu siju ar platumu b un augstumuh, kura balstīta ar vienu nekustīgulocīklas balstu un otru kustīgu balstu un irslogota ar vienmērīgi izkliedētu slodzi q(att. 5.7a) un loku (att. 5.7b).a) Lieces momentu M k jebkurā šķēlumā kliektā sijā (ar koordinātēm x un y) nosakasakarībaatt. 5.7Mk2qx VAx ,2109
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASkurq2qx2V A un tātad xM k.Lai noteiktu šķēlumā k ass spēku N k , visus spēkus pa kreisi no šķēluma k projicējam uzpieskares virzienu punktā k. Tā rezultātā iegūstam izteiksmi:NkAkk0VA qxsink Qksink V sin qxsin,kur0Qk- šķērsspēks šķēlumā k sijai ar taisnu horizontālu asi.Tātad sijai ar liektu asi šķēlumā k ribās (malējās šķiedrās) rodas normālspriegumiN Mk k ,F Wkur F – sijas šķērsgriezuma laukums b∙h, bet W – pretestības moments bh 2 /6.(Spiedes ass spēku uzskatām par pozitīvu).Ievietojot ass spēka N k, lieces momenta M k , kā arī F un W vērtības, iegūstam:Q 0ksinbhk3qx x2bhb) Noskaidrosim kā mainās normālspriegumi šķēlumā k loka gadījumā, kad balstam Apielikta balstbīde H (att. 5.7b). Lieces moments šai gadījumā samazinās par lielumu Hy(y - punkta k ordināta) un irM kqx ,2l xHybet ass spēka N k skaitliskā vērtība palielinās par lielumu Hcos k . Tātad ass spēkavērtība irNk Q sin H cos 0kkkLīdz ar to normālspriegumi šķēlumā izmainās. Tie samazinās lieces momenta samazināšanāsdēļ un vienlaicīgi palielinās ass spēka pieauguma dēļ. Lai novērtētu normālspriegumusummāro izmaiņu, salīdzinām attiecību starp lielumiem par cik normālie6Hy spriegumi samazinās lieces momenta samazināšanās dēļ2 un par cik tie pieaugbh110
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASpieaugot ass spēkam:H cosk. Šo lielumu attiecībabh6HybhH cosk: 2bh6yhcoskir būtiski lielāka par vienu (sevišķi visvairāk nospriegotajos posmos sijas vidusdaļā).Tātad varam secināt, ka balstbīde H būtiski uzlabo loka darbu salīdzinot ar siju ar liektu asi.Piemērs 5.3. Noteikt kādu daļu no divbalstusijas lieces momenta sastāda parabolveidaloka lieces moments šķēlumā, kurāpielikts koncentrēts spēks (att. 5.8).Atrisinājums. No sakarības (5.3) to izdalotar0Mxun ņemot vērā kaH0C M f iegūstam izteiksmiMMy M . (5.6)f Mx10xSijas lieces momentu vērtības nosaka sakarības x MPx0 c VB P 2 2 2M0x VA0c0x x x P 1 x Loka ass parabolveida formu apraksta izteiksme4 f x y 1 x. att. 5.8Ievietojot iegūtās sakarības izteiksmē (5.6), loka lieces momentu attiecība pret sijaslieces momentu attiecīgajā šķēlumā raksturojas ar sakarību111
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASMMx 10x2xvaiMx 2x 01 Mx(5.7)Tā kā izteiksmei 2x1 ir dilstošs lineārs raksturs, tad varam secināt, ka loka un sijas lieces momentu attiecība virzienā uz loka centru lineāri samazinās. tātad loka centrālajādaļā ir lielākās atšķirības starp loka lieces momentu un atbilstošās divbalstu sijaslieces momentu attiecīgajā šķēlumā.Izmantojot sijas lieces momenta0Mxizmaiņas sakarību, iegūstam lieces momenta izmaiņasraksturu šķēlumā, kurā pielikts koncentrēts spēks tam pārvietojoties pa loku x 2xM x P1 x 1 (5.8) Loka lieces momenta epīra konstruējama izmantojot sakarību (5.3), saskaņā ar kuru šīepīra sastāv no divu epīru summas. Pirmā no tām ir lokam atbilstošās divbalstu sijaslieces momentu epīra dotās slodzes gadījumā (att. 5.8b), bet otrā – loka ass līkne, kurasordinātas pareizinātas ar konstanti „H” (att. 5.8c). Loka lieces momentu epīra parādītaatt. 5.8d. No epīras redzams, ka lieces momenti lokā būtiski mazāki par lieces momentiemdivbalstu sijā. Loka lieces momentu epīru var konstruēt kā uz liektas ass (att.5.8e), tā arī uz taisnas ass (att. 5.8d), ko veido liektās ass projekcijas uz horizontālo asi.Lēzeniem lokiem ērtāk ir izmantot taisnu asi, stāviem lokiem uzskatāmākas ir epīras,kuras konstruētas uz līklīnijas ass.5.4. Aprēķina īpatnības lokiem ar balstiem atšķirīgā līmenīReljefa nelīdzenums ir par pamatu tam, lai veidotu lokveida konstrukcijas ar balstiem,kuri neatrodas horizontālā plaknē. Tā kā loka abi balsti ir nekustīgas locīklas, tad kopējaisbalstu reakciju skaits ir četri. Lai tās noteiktu, nepieciešami četri neatkarīgi vienādojumi.Tādi varētu būt trīs sistēmas līdzsvara vienādojumi (att. 5.9)112
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASM A 0 , M B 0 ,att. 5.9vērstas pa balstus savienojošu taisni. X 0un viens līdzsvara vienādojums lokakreisajai daļai attiecībā pret virsotneslocīklu Ckr.M 0C .Balstu reakcijas izvēlamies sekojošāveidā: divas vertikālas reakcijas V A * unV B * un divas reakcijas T A un T B , kurasPieņemam, ka uz loku darbojas divi koncentrēti spēki, no kuriem viens P 1 ir vērsts vertikālāvirzienā, bet otrs P 2 horizontālā virzienā. Sastādot momentu līdzsvara vienādojumupret balstu B, iegūstam*1l p P p 0V Al P.1Loka kreisā balsta vertikālo reakciju nosaka sakarība*PV P l p P p / l M l ,kurA2 11222BPM – loku slogojošo spēku momentu summa pret loka labo balstu B.BSastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret loka kreiso balstu A, iegūstam sakarību*V Bl P p P l tg p ,112 0no kuras nosakām loka labā balsta vertikālo reakciju*PV P p P l tg p / l M l ,kurB 11222PM – loku slogojošo spēku momentu summa pret loka kreiso balstu A.AIzmantojot trešo loka līdzsvara vienādojumu ( X 0 )TAcos Tcos P 0,B2 iegūstam sakarību starp abām balstu reakciju komponentēm, kuras vērstas balstus savienojošastaisnes virzienāT T cos .BAP 2No šīs sakarības varam izdarīt secinājumu, ka tikai vertikāla loka slogojuma gadījumāA113
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASbalstu reakcijas TAun TBir pretēji vērstas un skaitliski vienādas.No ceturtā līdzsvara vienādojumaV*Al1 Piegūstam izteiksmikurTA1l p Tf 011*0Vl P l p f M f ,A111A1C0MC– visu kreisās loka daļas spēku (izņemot T A ) momentu summa pret locīklu C.Noteiktās balstu reakcijasTAun TBvaram sadalīt divās komponentēs – vertikālajā unhorizontālajā. Tā rezultātā iegūstam, ka horizontālā plaknē balstbīde ir vienāda arHA T Acos ,HB T Bcos ,bet papildus vertikālās reakciju komponentesirTV T sin ,VATBA Tsin .BTātad pilnās vertikālās balstu reakcijasnosaka sakarības:VVAB* V Tsin ,AA* V Tsin .BUzdevums par piepūļu noteikšanu trīslocīklulokā ar balstiem atšķirīgā līmenīvertikālas slodzes gadījumā var tikt reducētsuz uzdevumu par piepūļu noteikšanu simetriskā viena līmeņa balstu lokā, aizvietojotvertikālo slodzi ar tās divām komponentēm balstus savienojošās taisnes un taiperpendikulārā virzienā. Att. 5.10a dotā loka ārējo spēku P aizstājam ar diviem spēkiemsteņrādītāja kustības virzienam (leņķis starp loka balstus savienojošo taisni un horizonatt.5.10P v Pcos un P h Psintai pašā loka šķēlumā. Uzdevums transformējasuz koordinātu sistēmu, kura pagriezta pret pamatsistēmu xy par leņķi α pretēji pulk-B114
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMAStu). Šo virzienu pieņemam par pozitīvu. Tātad jāveic piepūļu aprēķins simetriskā trīslocīklulokā att. 5.10b parādītā slogojuma gadījumā. Šī loka laidumu nosaka sakarībal l / cos , bet jebkura punkta koordinātes sakarībasxy xcos ysin, xsin ycos .Sastādot atbilstošus līdzsvara vienādojumus, iegūstam:MMBA V l P l x P y 0A V kh k; Vl P x P y 0B V kh k;X H P H 0 ;MlabcA VhlB/ 2 H f 0B B.No šiem vienādojumiem nosakām balstu reakcijas. Tās irVV x y l; kkA Pv1 PhMB Pl ( )/lx y l ;kkB Pv Ph MA(P)/llHHMf PCA h; Vl2 fMf CB B.Šajās sakarībās izmantoti sekojoši apzīmējumi:MA(P)unB(P)M - ārējās slodzes loka balstos A un B izraisītie momenti;MClieces moments loka kores locīklā C.Svarīgi ņemt vērā, ka dotajā slogojuma gadījumā (ir arī horizontālā slodze P h ), momentsM C nesakrīt ar lokam atbilstošās divbalstu sijas lieces momentu šīs sijas vidū.Momenta vērtību nosaka sakarībaMCMA(P) PVxk Phyk/2 .2115
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASEsam noteikuši loka balstu A un B reakcijas koordinātu sistēmāx , y. Lai iegūtuatbilstošās balstu reakcijas sākotnējā koordinātu sistēmā x,y izmantojam sakarības:VA V cos H sin;AAVBHA V cos H sin;BB H cos Vsin;AAHB H cos Vsin.BBŠīs ir piepūles, kuras jāuzņem atšķirīgā līmenī balstītu loku balstiem. Tās nosaka nepieciešamobalstu stiprību (nestspēju).Iekšējās piepūles M, Q un N patvaļīgā loka šķēlumā nosakāmas analogi iepriekš izklāstītam.Aprēķini var tikt veikti kā koordinātu sistēmā x,y, tās arī sistēmā x , y atkarībā no tā, kurā koordinātu sistēmā uzdots loka formas vienādojums y f x vaix y g . Protams, var tikt izmantotas arī koordinātu sistēmas transformācijas sakarības. 5.5. Trīslocīklu loks ar savilciSpeciāls trīslocīklu loka gadījums ir loks ar savilci, t.i. papildus stieni, kurš sasaistaabus konstrukcijas puslokus. Savilci lieto kā balstu līmenī, tā arī augstāk par tiem. Savilcesgadījumā loka balsti tiek izgatavoti analogi divbalstu sijas balstiem - viens notiem ir nekustīgs, bet otrs kustīgs locīklas balsts. Trīslocīklu loks ar savilci ir sijveidasistēma. Vertikālas slodzes gadījumā balstos veidojas tikai vertikālas reakcijas.Lai noteiktu piepūli savilcē, loks ar šķēlumu pa vidējo locīklu tiek sadalīts divās daļās.No lieces momentu līdzsvara nosacījuma attiecībā pret locīklu C, iegūstam piepūlesvērtību savilcē S M0Cf . Šī sakarība ir analoga balstbīdes aprēķinam lokiem bezsavilces. Zinot piepūli savilcē, lieces momenti, šķērsspēki un ass spēki loka daļā virssavilces nosakāmi izmantojot tās pašas sakarības (5.3 – 5.5) kā trīslocīklu lokam bezsavilces.Balstbīdes dēļ trīslocīklu sistēmām balsti jāveido kā visai masīvas konstrukcijas, toties116
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASlokiem ar savilci tas nav nepieciešams, jo balstbīde tiek uzņemta ar savilci un balstiemjāuzņem tikai vertikālā piepūle. Tādēļ loki ar savilci var tikt lietoti augstu sienu vaikolonnu pārsegšanai, neradot to izļodzīšanos.Piemērs 5.4. Uzkonstruēt šķērsspēku,lieces momentu un assspēku epīras riņķveida trīslocīklulokam ar savilci balstu līmenī(att. 5.11a)Atrisinājums. 1. No trīsstūraAO 1 O nosakām loka formu aprakstošāsriņķa līnijas rādiusu.Tā kā AO 1 = l/2, AO = r, betO 1 O = r - f, tad222 l r r f , 2 vai2f lr 2 8 fKonkrētā loka gadījumā25 16r 8, 9m2 852. Lai noteiktu loka ģeometriskosparametrus, izvēlamies koordinātusistēmu ar sākumpunktuloka kreisajā balstā A unatt. 5.11pozitīviem asu vērsumiem palabi un uz augšu no šī punkta. Tādā gadījumā pieskares leņķis k jebkurā brīvi izvēlētāpunktā k nosakāms no sakarības:'KKsin k l2 x r ,OK117
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASbet loka pacēlums punktā Kykr f 8,9cos 3, 9' ' O1 K OK OO1 r cos kk .Tabula 5.2Loka ar savilci balstu līmenī aprēķinsx k ,ml/2 – x,mMS f0csinφ kVAcosφ kLoka ģeometrisko parametru vērtības 13loka punktos sakopotas tab. 5.2.3. Nosakām balstu reakcijas:PārbaudeM V 16 20 812 0 ,BA20 812V A 120kN ;16M -V16 2084 0 ,AB20 84V B 40kN .16qlY VAVB 2 120 40 20 8 04. Nosakām piepūli savilcē:l l l q 2 2 4 120 8 20 84 64kNf55. Nosakām šķērsspēku Q izvēlētājos loka 13 punktos atbilstoši sakarībaiy k ,mA 0 8 0,900 0,434 01 1 7 0,786 0,618 1,602 2 6 0,670 0,742 2,703 3 5 0,562 0,827 3,454 4 4 0,447 0,894 4,075 5 3 0,337 0,942 4,506 6 2 0,224 0,974 4,767 7 1 0,112 0,994 4,94C 8 0 0 1,00 5.008 10 -2 0,224 0,974 4,769 12 -4 -0,447 0,894 4,0710 14 -6 -0,670 0,742 2,70B 16 -8 -0,900 0,434 0Qk Q cos S sin0kkkTā, piem., balstā A iegūstamQ A 1200,434 640,9 5,6kN ,bet locīklā C120 2081640 kNQ C 40 .Šķērsspēku vērtības pārējos punktos sakopotas tab.5.3.118
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASTabula 5.3Iekšējās piepūles lokam ar savilcibalstu līmenīQ k , kN M k , kNm N k , kNA -5,6 0 1361 11,3 7,62 16,5 27,0 1013 13,8 49,24 7,1 60,0 75,15 -2,76 62,06 -14,3 55,0 62,37 27 34C -40,0 0 648 -24,7 -65,2 71,39 -7,15 -100,0 75,310 13,2 -93,0 74,3B 40,1 0 63,8Par šķērsspēka izmaiņas raksturu pa loka asidotās slodzes gadījuma varam spriest noatbilstošās epīras (att. 5.11b). No epīras redzam,ka trijos šķēlumos šķērsspēka vērtībasir nulle. Lai noteiktu šo šķēlumu koordinātes,varam izmantot interpolācijas principu.Lineāras interpolācijas gadījumā iegūstamsakarībuziQk1xk xk1ziQk(z i – attālums no šķēluma pa kreisi x k-1 , skat.att. 5.11).Šķēlumam O 1 atbilstošā z 1 vērtība ir nosakāmano sakarībasz11 z15,611,3;Tā ir z 1 = 0,33 m.Tātad šķēluma E 1 koordināte irx ext z 0, 33m.1 1Šķēluma E 2 koordinātiz21 z27,12,76extx 2 nosakām izmantojot sakarībuIegūstamx ext x z 4 0,72 4, 72m2 4 2Šķēluma E 3 koordinātiextx 3ir x ext3 x9 z3, kur z 3 nosaka no sakarībaz32 z37,1513,2Iegūstamx ext 12 0,34 12, 34m3Šķērsspēka nullpunktiem atbilstošo šķēlumu ģeometriskie parametri ir doti tab. 5.4.119
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASTabula 5.4Nullpunktu ģeometriskie parametriextx sin exti0,334,7212,340,3630,368- 0,488iexty cos exti0,64,383,850,5050,930,872i6. Nosakām lieces momentus fiksētosloka šķēlumos, izmantojot sakarībuMk M0k S yTrijos šķēlumos – balstos A un B, unlocīklā C lieces momentu nav (to vērtībair nulle). Lieces momentu vērtības13 šķēlumos sakopotas tab. 5.3.Lieces momentu ekstremālās vērtībasknosakām analogi vērtībām pārejos šķēlumos. Tā šķēlumā E 12 20 0,33 1 1200,33 64 0,6 0,48kNm,2M extŠķēlumā E 22 20 4,72 2 1204,72 64 4,3 65kNm,2M extBet šķēlumā E 3M ext3 403,66 643,85 101kNm.Lieces momentu epīra parādīta att. 5,11c.7. Nosakām ass spēkus fiksētos loka šķēlumos k. Šim nolūkam izmantojam sakarībuNk Q sin S cos -0kkkTā, piemēram, iegūstam, ka ass spēka vērtība balstos irN A 1200,9 640,434136kN,bet locīklā C120 2080 641 kNN C64Tāda aprēķina rezultātā iegūtās vērtības sakopotas tab. 5.3, bet šīm vērtībām atbilstošāass spēka N epīra parādīta att. 5.11d. Svarīgi atcerēties, ka iegūtās N vērtības (pozitīvas)loka gadījumā raksturo spiedi.120
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASPiemērs 5.5. Parabolformas trīslocīklulokam ar paaugstinātusavilci (att. 5.12a) noteikt balstureakcijas, piepūli savilcē un uzkonstruētpiepūļu Q, M un Nepīras. Loka ass vienādojums ir4 fx l xy .2l2. Piepūles savilcē noteikšana.Izdarām šķēlumu - caur locīk-att. 5.12lu C un savilci.No līdzsvara vienādojumaMC VAl l l q S d 02 2 4iegūstam0MC 100 6 20 6 3S 120kN.d 2Atrisinājums. 1. Balstu reakcijunoteikšana:M Pb 0 Vl 3l q l 2 4B A,V A 20 69 40 3 100kNM P lA VB b 0 20 6V B 60kNl ll q 2 4 ,3 40 912 ;12 .121
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASPēdējā sakarība rāda, ka jo mazāks attālums starp savilci un loka vidējo locīklu C, jolielāka piepūle rodas savilcē. Tātad trīslocīklu lokā ar savilci no dotās slodzes mazākāpiepūle savilcē būs gadījumā, ja savilce savieno balstus A un B.3. Loka ģeometrisko parametru noteikšana.Šos parametrus nosakām 11 izvēlētos šķēlumos. Vispirms nosakām tgφ k katrā no šķēlumiem.Šim nolūkam sastādām loka ass vienādojuma pirmo atvasinājumu:Tātad4 f 2xtgk y xx 1 l l xk x kAtbilstoši šai sakarībai iegūtās vērtības sakopotas tab. 5.5.Funkciju sinφ un cosφ noteikšanai izmantojam sakarībassin tg,21tg cos1.21 tg y tg.A1234C5678BTab. 5.5Loka ar savilci ģeometriskie parametrix k , m y k , m tgφ k sinφ k cosφ k011,7434,567,5910,2611,01201,22233,7543,75321,2201,3331,1110,9470,6660.3330-0,333-0,666-0,947-1,111-1,3330,7500,7430,6870,5540,3160-0,316-0,554-0,687-0,743-0,7500,6620,6690,7260,8320,94910,9490,8320,7260,6690,662Aprēķinu rezultāti ievietoti tab. 5.5.4. Piepūļu Q, M un N aprēķins. Nosakotpiepūles izvēlētajos 11 šķēlumosizmantojam sakarībasQkMNkk Q0k M Q0kcos S sin;0kk S y ;ksin S cos .Piezīme. Loka daļām A2 un B7, kurasatrodas zem savilces līmeņa, sakarībuotrie saskaitāmie netiek ņemti vērā. Tā,piem., šķēlumā 1 iegūstamkkk100 201 0,669 53,5 ;Q1 kNM1 10012010,5 90kNm;100 200,74359, kNN 5 ,1122
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASbet šķēlumā 4:100 204,5 0,9491200,316 28,4;Q4 kN100 4,5 20 4,5 2,25 1201,75 38 ;M4kNm100 204,5 0.3161200,949kNN 117 .4Šķēlumos 2,7 un šķēlumā 6 ir divas šķērsspēka Q un asspēka N vērtības – šo spēkuvērtības pa kreisi un pa labi no savilces vai spēka.Tā, piem., šķēlumā 2 šķērsspēks un asspēks jānosaka divreiz – neievērojot un ievērojotasspēku savilcē.Tabula 5.6Iekšējās piepūles lokam ar savilciQ k ,kNM k ,kNmN k ,kNA 66,2 0 751 53,5 90 59,5247,5(kr),-35 (lab)142,948,8(kr),136 (lab)3 -33,2 90 1224 -28,4 38 117C -20 0 1205 18,92 0 -107,66749,9(kr),25,6(lab)38,8(kr),-43,6(lab)60104110,9(kr),133 (lab)128(kr),41,2(lab)8 -40,1 60 44,6B -39,7 0 45Q kr100 201,74 0,726 47,5 ;2kNN krQ lab2 100 20 1,74 0,726 120 0,687 35kN;100 201,74 0,687 48,8 ;2kNQ lab 2 100 20 1,74 0,687 120 0,726 136kNAprēķinu rezultāti sakopoti tab. 5.6, bet atbilstošāsepīras parādītas att. 5.12b,c,d.No iegūtajām vērtībām varam secināt, katrijos loka šķēlumos ir ekstremālas liecesmomentu vērtības. Lasītāja uzdevums irpatstāvīgi (izmantojot iepriekšējā piemērāizklāstīto metodiku) noteikt ekstremālo liecesmomentu vērtību šķēlumā O 2 un šķēlumakoordināti x.Rezumējot aprēķina metodiku trīslocīklulokam ar paaugstinātu savilci, varam secināt, ka nosakot piepūles Q, M, N aprēķinszem savilces līmeņa un virs šī līmeņa veicams izmantojot vienas un tās pašas sakarības.Atšķirība ir nosacījumā, ka loka daļās zem savilces līmeņa piepūle savilcē neiespaido123
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASpiepūles lokā, t.i. pielietojot sakarībās (5.3 - 5.5) pieņemam S(H)=0.Trīslocīklu loka gadījumā ar lauztu savilci (att. 5.13) līdzīgi kā iepriekšējos gadījumos,balstu vertikālās reakcijas V A un V B nosaka no līdzsvara nosacījumiemunTā iegūstam, kaatt. 5.13Y N DE N DAsin 0 .M A 0 un M B 0 .Piepūli taisnajā savilces daļā nosaka analogikā taisnas savilces gadījumā, t.i. no sakarībasHf0Mc .fPiepūļu noteikšanai stieņos AD un DE (vaiFB un FG) izmanto spēku līdzsvara nosacījumusuz x un y asīm, kurus iegūst izgrieţotmezglus D (vai F). Mezglā D ir spēkāHfNDA , bet NDE NDAsin Hftg.cosX H f N DAcos 0Piepūles savilces elementos AD, DE, FB un FG iespaido piepūles M, Q, N trīslocīklulokā. Šī iespaida ievērtēšanai reducējam doto loku ar lauztu savilci uz gludu trīslocīkluloku, kuram papildus dotajai slodzei mezglos A, B, E un G pielikti vertikāli spēkiH ftg , bet balstos A un B darbojas balstbīde H f .5.6. Racionāla loka ass formaPar racionālu saucam tādu loka ass formu, kuras gadījumā lokam ir vismazākie šķērsgriezumalaukuma izmēri. Šķērsgriezuma laukuma izmēru samazināšana iespējamasamazinot lieces momentus lokā. Mazākie izmēri atbilst situācijai, kad lieces momentivisos loka šķēlumos ir vienādi ar nulli.Tā kā trīslocīklu lokam jebkurā šķēlumā lieces momentu nosaka sakarība124
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASMx M0xnonākam pie sakarības0 Hy , tad no nosacījuma, ka visos loka šķēlumos M M Hy 0x x,0Mxy (5.11)HVaram secināt, ka ar vertikālu slodzi slogota trīslocīklu loka ass būs racionāla, ja lokavisu punktu ordinātas būs proporcionālas lokam atbilstošās sijas lieces momentu vērtībām.Locīklas C stāvokli var izvēlēties patvaļīgi. Tas iespaido tikai balstbīdes H lielumu,bet ne epīras0Mxraksturu. Balstbīdei racionālās loka ass formas izvēlē ir proporcionalitāteskoeficienta loma starp loka ordinātām un sijas lieces momentu epīru. Daţipiemēri loka racionālas formas noteikšanai doti att. 5.14. Sīkāk analizēts loks slogots arvienmērīgi izkliedētu slodzi.att. 5.14Vienmērīgi izkliedētas slodzes gadījumā divbalstu sijas lieces momentu epīrai ir parabolveidaraksturs. Līdz ar to arī vienmērīgi slogota loka racionālai asij ir parabolveidaforma. Att. 5.14c parādītā loka gadījumā vertikālās balstu reakcijas irVAB2 V ql / 2 , bet balstbīde H ql / 8 f . Lieces momenta vērtība patvaļīgā attālumāx no kreisā loka balsta nosakāma ar sakarību125
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASM xql qxx 2 22ql8 f2 yPie nosacījuma M x = 0, iegūstam2l xx/y 4 f ltas ir kvadrātiskas parabolas vienādojumu. Tātad vienmērīgi izkliedētas vertikālas slodzesgadījumā trīslocīklu loka racionāla ass forma ir kvadrātiska parabola.Gadījumos, kad lokam jāuzņem divu vai vairāku veidu slodzes, piem., vienmērīgi izkliedētaun koncentrēta, pie kam katra no slodzēm var parādīties neatkarīgi no pārējām,uzdevums par loka racionālās ass formas noteikšanu kļūst visai sareţģīts. Tāda veidauzdevumu risināšana ir jaunas būvmehānikas nodaļas – optimālās projektēšanas -pamatā.Uzdevums 5.1. Noteikt trīslocīklu sistēmas racionālo formu gadījumos, ja tā slogota ardiviem vienāda lieluma koncentrētiem spēkiem P simetriski pret vidējo locīklu unvienmērīgi izkliedētu slodzi ar intensitāti q starp šiem spēkiem.5.7. Piepūļu diferenciālās sakarības loka šķēlumosApskatīsim gadījumu, kad loks slogots ar izkliedētu slodzi (att. 5.15). Šo slodzi varsadalīt divās komponentēs: - radiālā – ar intensitāti q r un tangenciālā – ar intensitāti q t .Izdalām no loka ar diviem radiāliem šķēlumiem bezgala mazu elementu dS, kam pieliktasslodzes q r ds un q t ds. Pielīdzinot nullei lieces momentu summu attiecībā pret pieskarukrustpunktu A, iegūstamM A M M dM QdS / 2 Q dQdS/ 2 0No šī vienādojuma atmetot otrās kārtas bezgalīgi mazus lielumus, iegūstam sakarībudMdS1 dM Q , (5.12)R dkur R ir loka ass liekuma rādiuss apskatāmajā punktā.126
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASatt. 5.15Tātad momenta atvasinājums pēc loka garuma ir vienādsar šķērsspēku.Lai noteiktu sakarību starp ass un šķērsspēkiem ievedamDekarta koordinātu sistēmu xy ar sākumpunktukreisā šķēluma smagumcentrā, bet ass x vērstu pieskaresvirzienā loka asij dotajā punktā.Pielīdzinot nullei visu uz elementu darbojošos spēkuprojekciju summu uz x asi, iegūstamN dNcosdQ dQsindq dS cosd 0X Nt.Izmantojot nosacījumus cosd 1un d dsin (tas ir praktiski spēkā gadījumos,ja d ir mazs) un atmetot augstākas kārtas bezgalīgi mazus lielumus, iegūstamdNdSQ q t. (5.13)RTātad ass spēka atvasinājums pēc loka garuma ir tieši proporcionāls šķērsspēkam, kasdalīts ar ass liekuma rādiusu dotā punktā.Trešo sakarību iegūstam no līdzsvara nosacījuma Y 0 . Šai gadījumāQ dQcosdN dNsindq dS cos d/ 2 0Q run pēc atbilstošiem pārveidojumiem, iegūstamdQdSN q r(5.14)RTātad šķērsspēka atvasinājums pēc loka garuma ir tieši proporcionāls ass spēkam dalītamar ass liekuma rādiusu dotā punktā. Sakarības (5.12), (5.13) un (5.14) sauc parKirhofa vienādojumiem.5.8. Trīslocīklu rāmjiPar trīslocīklu loka speciālu gadījumu var uzskatīt trīslocīklu rāmjus un lokveida kopnes.Trīslocīklu rāmja gadījumā diski, kas veido trīslocīklu sistēmu (att. 5.1) ir lauztasformas stieņi ar nepārtrauktu sieniņu, ja diskiem ir reţģota struktūra, sistēmu sauc par127
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMAStrīslocīklu kopni.Vertikālas slodzes gadījumā balstu reakciju noteikšanas metodika un piepūļu Q, M unN epīru konstruēšana trīslocīklu rāmjiem ir analoga trīslocīklu loku metodikai un tiekveikta izmantojot sakarības 5.1 – 5.5. Tā kā trīslocīklu rāmja visi posmi ir taisni, trīslocīklurāmim ir vienkāršāk nekā lokam noteikt tādus ģeometriskos parametrus kā ordinātasy un leņķa vērtības apskatāmajos šķēlumos.Ja pieliktā slodze ir slīpa vai horizontāla, gan lokam, gan trīslocīklu rāmim sakarības5.1–5.5 nav pielietojamas un loka un trīslocīklu rāmja aprēķinā jāizmanto parastās iekšējopiepūļu aprēķina metodes.Piemērs 5.7. Uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras trīslocīklu rāmim (att. 5.16).att. 5.16Atrisinājums. 1. Nosakām balstu reakcijas. Tā kā balsti A un B ir vienā līmenī, tadvertikālās balstu reakcijas ir tādas pašas kā divbalstu sijai pie dotās slodzes:V A 162/12 2, 67kN128
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASV B 1610/1213,33kNBalstbīde H A = H B , jo slodze ir vertikāla. Sastādot rāmja kreisās daļas momentu līdzsvaruattiecībā pret centrālo locīklu C, iegūstamH A 2,676/ 6 2,67kN.2. Nosakot lieces momentu epīru jāņem vērā, ka trīs neslogotajos rāmja posmos epīra irlineāra. Šķēlumos 1 un 2M M HA 4 2,67 4 10, 66kNm1 2Šķēlumā 3 no mezgla līdzsvara seko, kaM M 10, 66kNm3 12Jebkurā konsolveida posma šķēlumā M x qx / 2 . Pie vērtības x = 2m, lieces momentsM = - 4kNm. Šķēlumā 4, pamatojoties uz lieces momentu līdzsvaru rāmja labajāmezglā, M 4 = 10,66 + 4 = 14,66 kNm (att. 5.16b). Rīģelī C-4 lieces momentu epīruvaram noteikt kā divu epīru summu, kura veidojas slogojot divos punktos (C un 4) balstītustieni ar izkliedētu slodzi un mezglā 4 ar konstantu momentu M 4 . Tādā gadījumāmomenta vērtība rīģeļa vidū ir22/ 2 /8 M / 2 26/8 14,66/2 1, kNmM q675 4Iegūtā lieces momentu epīra parādīta att. 5.16b.3. Šķērsspēka epīras konstruēšanai izmantojam sakarībuQx0 M Q cosxl Mkr,kur0Qx- šķērsspēks divbalstu sijā, kura slogota ar slodzi analogu rāmja slodzei. Sijaslaidums vienāds ar apskatāmā posma garumu gadījumā, ja slodze perpendikulāra stieņaasij. Pretējā gadījumā sijas laidums ir vienāds ar rāmja posma garuma projekciju uzslodzei perpendikulāro virzienu; - stieņa slīpuma leņķis pret sijas virzienu.Šādā veidā konstruējam šķērsspēka epīru posmā C-4, nosakot Q vērtības locīklā C un129
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASmezglā 4:qMl Mkr 2 6 14,66QC cos 0,95 3, 39kN 2 6/ 0,95Q2C4qMl M coskr4 5,7 2,31 2C48,01kNKonsolveida posmā 2 – 5 labajā galā šķērsspēka nav, bet kreisajā galāQ qcos 22cos 3, 8kN2 4 5Šķērsspēka epīra parādīta att. 5.16c.4. Asspēka noteikšana. Asspēka epīras ordinātas nosakāmas no šķērsspēku epīras, izgrieţotmezglus un sastādot to līdzsvara vienādojumus uz divām asīm X = 0, Y =0.Mūsu piemērā statiem asspēks jau faktiski ir noteikts. Tas ir vienāds ar balstu vertikālajāmreakcijām V A un V B.Asspēks kreisajā slīpajā rīģelī ir konstants. Tā vērtību nosakām no mezgla 1 līdzsvaranosacījuma (att. 5.17a) X = 0. Ievietojot atbilstošās piepūļu vērtības, iegūstam2,671,69sin N1cos 0un līdz ar to2,671,690,316/ 0,95 3, kNN 371Šķērsspēks tiek pielikts tā, ka pozitīvās tā vērtībasgrieţ mezglu pulksteņa rādītāja virzienā.att. 5.17N 22sin 1,24kN .Asspēks labā rīģeļa garumā mainās pēc lineāralikuma. Konsoles brīvajā galā asspēks ir nulle,bet kreisajā konsoles galā tas irTādā veidā asspēka vērtības labajā rīģeļa galā N 2 nosakām no sakarības130
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASN2 2,67cos 13,33sin1,24 0; N2 5,51kN,bet kreisajā galā N C no sakarībasNC 12sin 5,51 0; Nc 1,72kN.Mezgla C līdzsvars (att. 5.17d) (X = 0, Y =0) liecina par aprēķina pareizību. Asspēkuepīra parādīta att. 5.16d.Uzdevums 5.2. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu izmantojot sakarības 5.3-5.5 (tas ir,izmantojot ekvivalento siju, kurai trīslocīklu rāmja konsoles iespaidu aizstājam ar momentuun vertikālu spēku).Uzdevums 5.3. Uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras att. 5.18 parādītajam trīslocīklu rāmimar savilci balstu līmenī. Novērtēt, kā mainās iekšējās piepūles, ja nekustīgs ir kreisaisbalsts.Piemērs 5.8. Noteikt balstu reakcijas un uzkonstruēt lieces momentu epīru att. 5.19dotajam trīslocīklu rāmim.Atrisinājums. 1. Gan rāmja kreisajā , gan arī labajā daļā ir pa divām nezināmām balstureakcijām. Balsti ir daţādos līmeņos. Vienādojumi M A = 0 un M B = 0 nedod ie-131att. 5. 18Gadījumos, kad trīslocīklu rāmja balsti atrodasdaţādos līmeņos, reakciju horizontālo un vertikālokomponenšu noteikšanai nepieciešami četrilīdzsvara vienādojumi. Aprēķina īpatnība ir taiapstāklī, ka balstu vertikālās reakciju komponentesnav nosakāmas no neatkarīgiem vienādojumiemkā sijas gadījumā. Divus no vienādojumiemjārisina sistēmā.
5. TRĪSLOCĪKLU SISTĒMASspēju noteikt balstu reakcijas V A un V B neizmantojot papildus vienādojumus. Šai nolūkāizmantojam divus lieces momentu līdzsvara vienādojumus pret locīklu C – kreisajairāmja daļai un labajai daļai. Tādā veidā iegūstam vienādojumus:unMMkrclabc P 4 HA 4 0 H V 4 0B2Bvērtībasatt. 5.19Pievienojot tiem vienādojumusMMAB P V 4 H 2 08B B P H 2 V 4 06A Anosakām nepieciešamās balstu reakcijuV A =2 kN; H A = -2kN; V B = 2kN; H B =4kNMīnus zīme norāda uz to, ka reakcijas H A virziens izvēlēts nepareizi un to jāmaina uzpretējo.Momentu epīra parādīta att . 5.19b.132
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA6.1. Ietekmes līnijas jēdziensVeicot daţādu konstrukciju aprēķinu, bieţi jāņem vērā mainīga vai arī kustīga, parastivertikāla slodze. Kustīgas slodzes gadījumā gan balstu reakcijas gan iekšējās piepūlesir atkarīgas no kustīgās slodzes atrašanās vietas.att. 6.1Piemēram, attēlā 6.1 parādītajai sijai slodzeiP pārvietojoties no kreisās uz labo pusi, balstareakcija V A samazinās, balsta reakcija V Bpalielinās, bet iekšējās piepūles šķēlumā Cmainās. Lai novērtētu sijas stiprību šķēlumāC, jāatrod kustīgās slodzes stāvoklis, pie kura šķēlumā C rodas maksimālas iekšējās piepūles.Šāds uzdevums un daţi citi tiek risināts izmantojot tā saucamās ietekmes līnijas.Par kāda faktora (balsta reakcijas, lieces momenta, šķērsspēka, piepūles kopnes stienī,šķēluma pārvietojuma) ietekmes līniju sauc grafiku, kas parāda šī faktora maiņas likumuatkarībā no kustīgas vienības slodzes P 1 atrašanās vietas uz darinājuma.Ietekmes līniju un epīru salīdzinājumsTabula 6.1Grafika veidsnovieto-ŠķēlumajumsSalīdzināmais lielumsSlodzes novietojumsSlodzes raksturojumsIetekmes līnija Nemainīgs Mainīgs Slodze P 1Epīra Mainīgs NemainīgsJebkura slodţu kombinācijaSvarīgi ievērot būtiskas atšķirības starp ietekmes līnijām un epīrām. Ietekmes līnija tiekkonstruēta vienam fiksētam stieņa šķēlumam vai balstam (vai kopnes stienim) kustīgasvienības slodzes gadījumā, bet epīra tiek konstruēta visam stienim vienas konkrētasstatiskas slodţu kombinācijas gadījumā. Konstruējot ietekmes līniju, šķēlums paliek133
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAnemainīgs, bet vienības slodze P 1 pārvietojas pa darinājumu. Konstruējot epīrumainās šķēluma novietojums, bet slodze paliek nekustīga. Ietekmes līniju un epīru salīdzinājumsdots tabulā 6.1.6.2. Ietekmes līniju konstruēšanas statiskā metodeIzmantojot ietekmes līniju konstruēšanai statisko metodi, slogojam apskatāmo konstrukcijuar vienības slodzi un meklējam analītiskas sakarības, kas raksturo apskatāmāfaktora maiņu atkarībā no vienības slodzes atrašanās vietas (koordinātes x att. 6.2).Vispirms konstruēsim ietekmes līnijas vienlaiduma sijām:a) brīvi balstīta sija;Balstu reakciju ietekmes līnijasKonstruējam balsta reakcijas V A ietekmes līniju brīvi balstītai sijai.Attēlā 6.2a parādīto siju slogojam ar vienībasslodzi P 1 attālumā x no kreisāatt. 6.2balsta. Lai uzkonstruētu V A ietekmes līniju,nepieciešama sakarība, kas parāda V Amaiņas likumu atkarībā no vienības slodzesatrašanās vietas, t.i. koordinātes x.Sastādām momentu līdzsvara vienādojumupret balstu B:M 1( l x)Vl 0B A,no kura iegūstam sakarību balsta reakcijas aprēķinam atkarībā no koordinātes x, tas ir,vienības slodzes atrašanās vietas uz sijasV A ( l x) / l 1x / l . (6.1)Šī ir izteiksme V A ietekmes līnijas konstruēšanai (att. 6.2b). Ievietojot x=0, kreisajābalstā iegūstam ietekmes līnijas ordināti 1, ievietojot x=l, labajā balstā ordinātas vērtībair 0. Tā kā ietekmes līnijas izteiksme ir lineāra funkcija, savienojam iegūtos divus134
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJApunktus ar taisni.V B ietekmes līnijas konstruēšanai sastādām momentu līdzsvara vienādojumu pretbalstu A:Mno kura iegūstam V l1x 0A B,V B x / l . (6.2)Ievietojot izteiksmē (6.2) x vērtības 0 un l un savienojot iegūtos punktus ar taisni, iegūstamattēlā 6.2.c parādīto V B ietekmes līniju.Balstu reakciju ietekmes līniju ordinātas ir bezdimensionāli lielumi.Katra balsta reakcijas ietekmes līnijas V A (vai V B ) ordināte izsaka balsta reakcijas V A(vai V B ) lielumu gadījumā, kad vienības slodze P 1 atrodas virs šīs ordinātas.Lai uzkonstruētu balstu reakciju ietekmeslīnijas grafiski, balstā, kuram konstruējamietekmes līniju, atliekam ordinātu vienāduar 1 uz augšu, otrā balstā atliekam ordinātu0 un savienojam šos punktus ar taisni.Šķērsspēka ietekmes līnija šķēlumā CKonstruējot šķērsspēka ietekmes līniju brīvibalstītas sijas šķēlumam C (att. 6.3a),jāapskata divi gadījumi:a) vienības slodze P 1 atrodas pa kreisino šķēluma C ( 0 x a ). Tas nozīmē, ka tiek konstruēts ietekmes līnijas kreisaiszars (iegūtā izteiksme ir derīga pa kreisi no šķēluma C). Šķērsspēka atrašanai ērtāksummēt spēku projekcijas uz vertikālu asi pa labi no šķēluma C. Iegūstam sakarībuQatt. 6.3 V xl .C B/Tātad pie koordinātes vērtības x 0 šķērsspēka vērtība šķēlumā C ir 0, pie x = l135
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAšķērsspēka vērtība ir 1, bet pie vērtībasx a šķērsspēka vērtība ir Q C a/ l .b) vienības slodze P 1 atrodas pa labi no šķēluma C ( a x l), tātad tiek konstruētsietekmes līnijas labais zars (iegūtā izteiksme ir derīga pa labi no šķēluma C).Šķērsspēka atrašanai summējam spēku projekcijas uz vertikālu asi pa kreisi no šķēluma.Šķērsspēka noteikšanai iegūstam sakarību:Q V 1 x l ,C A/no kuras pie x 0 iegūstam Q 1, pie x a iegūstam Q C ( l a) / l b / lpieC, betCx l Q 0. Atliekot noteiktās šķērsspēka Q C ietekmes līnijas vērtības un savienojotattiecīgos punktus ar taisnēm iegūstam Q C ietekmes līniju (att. 6.3b). ŠķēlumaC atrašanās vietā abus ietekmes līnijas zarus savieno vertikāla pārejas taisne.Šķērsspēku ietekmes līniju ordinātas ir bezdimensionāli lielumi.Katra šķērsspēka Q C ietekmes līnijas ordināte izsaka šķērsspēka Q lielumu šķēlumā Cgadījumā, kad vienības slodze P 1 atrodas virs šīs ordinātas.Lai uzkonstruētu šķērsspēka ietekmes līniju šķēlumam C grafiski, kreisajā balstā atliekamordinātu vienādu ar 1 uz augšu, labajā balstā atliekam ordinātu 1 uz leju, savienojamiegūtos punktus ar balstu punktiem ar divām paralēlām taisnēm un šķēlumam Catbilstošajā vietā velkam vertikālu pārejas taisni, kas savieno ietekmes līnijas kreiso unlabo zaru.Lieces momenta ietekmes līnija šķēlumā CKonstruējot lieces momenta ietekmes līniju brīvi balstītas sijas šķēlumam C (att. 6.3a),analizējam divus neatkarīgus gadījumus:a) vienības slodze P 1 atrodas pa kreisi no šķēluma C ( 0 x a );Tiek konstruēts ietekmes līnijas kreisais zars (iegūtā izteiksme ir derīga pa kreisi nošķēluma C). Lieces momenta atrašanai šķēlumā C summējam spēku momentus pa labino šķēluma. No iegūtās sakarībasM V b xb l ,C B/136
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAredzam, ka pie x 0 M 0 , pie x a M C ab / l , bet pie x lCM C b .Atbilstoši iegūtajām vērtībām tiek konstruēts M C ietekmes līnijas kreisais zars, kurš irpielietojams posmā pa kreisi no šķēluma C.b) vienības slodze P 1 atrodas pa labi no šķēluma C ( a x l), tātad tiek konstruētsietekmes līnijas labais zars (iegūtā izteiksme ir derīga pa labi no šķēluma C). Liecesmomenta atrašanai ērtāk apskatīt sijas kreisās puses līdzsvaru. Iegūsim sakarību:MC V a al x l ,Ano kuras seko, ka pie x 0 M C a , pie x a M C a( l a) / l ab / lx l M 0 .C, bet pieIegūtā M C ietekmes līnija parādīta att. 6.3c. Ietekmes līnijas kreisā un labā zara krustpunktamjāatrodas zem šķēluma C.Lieces momentu ietekmes līniju ordinātu dimensija ir garuma dimensija, parasti m.Katra lieces momenta M C ietekmes līnijas ordināte izsaka lieces momenta M lielumušķēlumā C gadījumā, kad vienības slodze P 1 atrodas virs šīs ordinātas.Lai uzkonstruētu lieces momenta ietekmes līniju šķēlumam C grafiski, kreisajā balstāatliekam ordinātu vienādu ar a uz leju, labajā balstā atliekam ordinātu b uz leju, savienojamiegūtos punktus ar balstu punktiem ar divām krustiskām taisnēm, kuru ierobeţotaislaukums arī atbilst lieces momenta ietekmes līnijai šķēlumam C.b) sija ar konsolēm;Balstu reakciju ietekmes līnijasKonstruējam balstu reakcijas V A ietekmes līniju att. 6.4a parādītajai sijai ar konsolēm.Jāapskata trīs gadījumi sijas slogošanai ar vienības slodzi P 1: slodze starp balstiem,slodze uz kreisās konsoles un slodze uz labās konsoles. Ja vienības slodze atrodasstarp balstiem, ietekmes līnijas konstruēšana ne ar ko neatšķiras no iepriekš apskatītāgadījuma brīvi balstītai sijai. Apskatām gadījumu, kad vienības slodze atrodas uz krei-137
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAsās konsoles. Sastādām momentu līdzsvara vienādojumu pret balstu B:att. 6.4MB P no kura seko, kal xVl 0AV A 1 xl . Ievērojot,ka uz kreisās konsoles x vērtības irnegatīvas, ietekmes līnijas ordinātu vērtībasuz kreisās konsoles atrodas uz tāspašas taisnes, ko nosaka izteiksme gadījumam,kad spēks P 1 atrodas starpbalstiem,V A 1 x / l . To pašu vieglipierādīt attiecībā uz labo konsoli. Tātad visā sijas garumā ietekmes līnijas V A konstruēšanaivar izmantot taisni, kuru nosaka izteiksmeV A 1 x / l . Atbilstoši šai izteiksmeikonstruētā ietekmes līnija parādīta att. 6.4b.Nav grūti pierādīt, ka V B ietekmes līnijas konstruēšanai visā sijas garumā izmantojamaizteiksme V B x l . V B ietekmes līnija parādīta att. 6.4c. Tomēr daudz ērtāk balstureakciju ietekmes līnijas sijai ar konsolēm konstruēt grafiskā veidā atbilstoši jau iepriekšdotajam likumam.Lai uzkonstruētu balstu reakciju ietekmes līnijas grafiski, balstā, kuram konstruējamietekmes līniju, atliekam ordinātu vienādu ar 1 uz augšu, otrā balstā atliekam ordinātu0 un velkam caur šiem punktiem taisni visā sijas garumā.Šķērsspēku ietekmes līnijasSijai ar konsolēm jāapskata trīs šķērsspēku ietekmes līniju konstruēšanas gadījumi:šķēlums atrodas starp balstiem, uz kreisās konsoles, uz labās konsoles:1. Lai uzkonstruētu šķērsspēka Q C ietekmes līniju sijai ar konsolēm šķēlumam C atrodotiesstarp balstiem (att. 6.5a), jāapskata trīs gadījumi:a) slodzei P 1 atrodoties starp balstiem šķērsspēka ietekmes līnija tiek konstruētatāpat kā brīvi balstītai sijai;138
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAb) slodzei P 1 atrodoties uz kreisāskonsoles šķērsspēka lielumu izdevīginoteikt summējot spēku projekcijas palabi no šķēluma C. No iegūtās sakarībasQ V xl ,C B/seko, ka uz kreisās konsolespie x 0 Q 0 ;Cpiex dQ C d / l .att. 6.5līnijas starp balstiem kreisā zara turpinājums;Tātad uz kreisās konsoles šķērsspēkaietekmes līnija ir šķērsspēka ietekmesc) slodzei P 1 atrodoties uz labās konsoles šķērsspēka lielumu izdevīgi noteiktsummējot spēku projekcijas pa kreisi no šķēluma CQC V 1 x / l l x l ,Ano kurienes uz labās konsoles iegūstam, ka piex l Q 0 , pie x l cCQ C ( l lc)/l c/ l.Tātad uz labās konsoles šķērsspēka ietekmes līnija ir šķērsspēka ietekmes līnijas starpbalstiem labā zara turpinājums.Iegūtā šķērsspēka Q C ietekmes līnija sijai ar konsolēm šķēlumam starp balstiem parādītaatt. 6.5b.Lai uzkonstruētu šķērsspēka ietekmes līniju šķēlumam C grafiski, kreisajā balstā atliekamordinātu vienādu ar 1 uz augšu, labajā balstā atliekam ordinātu 1 uz leju, cauriegūtajiem punktiem un balstu punktiem velkam divas paralēlas taisnes visā sijas garumāun šķēlumam C atbilstošajā vietā velkam vertikālu pārejas taisni, kas savienoietekmes līnijas kreiso un labo zaru.2. Lai uzkonstruētu šķērsspēka Q C1 ietekmes līniju sijai ar konsolēm šķēlumam C 1 uz139
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAkreisās konsoles (att. 6.5a), jāapskata divi gadījumi:a) vienības slodze P 1 atrodas pa kreisi no šķēluma C 1 ;Summējot spēku projekcijas pa kreisi no šķēluma C 1 ietekmes līnijas kreisajam zaramiegūstam Q 1, tātad visā šajā posmā šķērsspēks ir konstants un vienāds ar -1.C1 b) vienības slodze P 1 atrodas vienalga kur pa labi no šķēluma C 1 .Summējot spēku projekcijas pa kreisi no šķēluma C 1 ietekmes līnijas labajam zaram (jovienības slodze ir pa labi no šķēluma) iegūstam Q C10 , tātad visā šajā posmā šķērsspēksir konstants un vienāds ar nulli.Šķērsspēka Q C1 ietekmes līnija sijai ar konsolēm šķēlumam uz kreisās konsoles parādītaatt. 6.5c.3. Q C2 ietekmes līnija šķērsspēkam šķēlumam uz labās konsoles tiek konstruēta līdzīgikā uz kreisās konsoles. Iegūtais rezultāts parādīts att. 6.5d.Lieces momentu ietekmes līnijasSijai ar konsolēm jāapskata trīs lieces momentu ietekmes līniju konstruēšanas gadījumi:šķēlums atrodas starp balstiem, uz kreisās konsoles, uz labās konsoles:140att. 6.61. Lai uzkonstruētu lieces momentaM C ietekmes līniju sijai ar konsolēmšķēlumam C starp balstiem (att.6.6a), jāapskata trīs gadījumi:a) slodzei P 1 atrodoties starp balstiemlieces momenta ietekmes līnijatiek konstruēta tāpat kā brīvi balstītaisijai;devīgi noteikt summējot spēku momentuspa labi no šķēluma C. Atbilstoši iegūtajai sakarībaib) slodzei P 1 atrodoties uz kreisāskonsoles lieces momenta lielumu iz-
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAMC VBb x b/ luz kreisās konsoles pie x 0 M 0 , pie x dM C bd/ l .CTātad uz kreisās konsoles lieces momenta ietekmes līnija ir lieces momenta ietekmeslīnijas starp balstiem kreisā zara turpinājums;c) slodzei P 1 atrodoties uz labās konsoles lieces momenta lielumu izdevīgi noteiktsummējot spēku momentus pa kreisi no šķēluma CMCl xal V a ,Ano kurienes piex l M 0 , pie x l c M C ( l l c)a / l ca/ l .CTātad uz labās konsoles lieces momenta ietekmes līnija ir lieces momenta ietekmeslīnijas starp balstiem labā zara turpinājums.Iegūtā lieces momenta M C ietekmes līnija sijai ar konsolēm šķēlumam, kurš atrodasstarp balstiem parādīta att. 6.6b.Lai uzkonstruētu lieces momenta M C ietekmes līniju šķēlumam C grafiski, kreisajā balstāatliekam ordinātu vienādu ar a uz leju, labajā balstā atliekam ordinātu b uz leju,caur iegūtajiem punktiem un balstu punktiem novelkam divas krusteniskas taisnes visāsijas garumā, kuru ierobežotais laukums arī atbilst lieces momenta ietekmes līnijai šķēlumamC.2. Lai uzkonstruētu lieces momenta M C1 ietekmes līniju sijai ar konsolēm šķēlumamC 1 uz kreisās konsoles (att. 6.6a), jāapskata divi gadījumi:a) vienības slodze P 1 atrodas pa kreisi no šķēluma C 1 ;Summējot spēku momentus pa kreisi no šķēluma C 1 ietekmes līnijas kreisajam zaramiegūstam (pieņemot x pozitīvo virzienu pa kreisi)M C 1 1x d s ,no kurienes piex d s M 0 , pie x d sC1 M C 1.b) vienības slodze P 1 atrodas vienalga kur pa labi no šķēluma C 1 .Summējot spēku momentus pa kreisi no šķēluma C 1 ietekmes līnijas labajam zaram (jo141
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAvienības slodze ir pa labi no šķēluma) iegūstam M C10 , tātad visā šajā posmā liecesmoments ir konstants un vienāds ar nulli.Šķērsspēka Q C1 ietekmes līnija sijai ar konsolēm šķēlumam uz kreisās konsoles parādītaatt. 6.6c.3. M C2 ietekmes līnija lieces momentam šķēlumam uz labās konsoles tiek konstruētalīdzīgi kā uz kreisās konsoles. Iegūtais rezultāts parādīts att. 6.6d.c) iespīlēta sijaBalstu reakciju ietekmes līnijas1. Konstruējam iespīlētai sijai ietekmes līniju momentam iespīlējumā M A .Attēlā 6.7a parādīto siju slogojam ar vienības slodziatt. 6.7P 1 attālumā x no kreisā balsta. Lai uzkonstruētuM A ietekmes līniju, nepieciešama izteiksme, kasparāda M A maiņas likumu atkarībā no vienības slodzesatrašanās vietas, t.i. koordinātes x. Sastādāmmomentu līdzsvara vienādojumu pret iespīlējumavietu A:M x M 0 ,A1Ano kura iegūstam sakarību, kas raksturo momentaiespīlējumā maiņas likumu atkarībā no vienības slodzesatrašanās vietas uz sijasM A 1 x .Atbilstošā ietekmes līnija parādīta att. 6.7b.2. Konstruējam balsta reakcijas V A ietekmes līniju iespīlētai sijai. Sastādām projekcijusummu uz vertikālu asi:no kurienesY 1 0 ,V A142
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAV 1.AAtbilstošā ietekmes līnija parādīta att. 6.7c.Iekšējo piepūļu ietekmes līnijasKonstruējam iekšējo piepūļu ietekmes līnijas att. 6.8a parādītajai sijai:1. Lai uzkonstruētu Q C ietekmes līniju jāapskatadivi gadījumi: vienības slodze pa labi un pa kreisino šķēluma C:a) ja vienības slodze atrodas pa labi no šķēluma C(labais zars) summējot spēku projekcijas uz vertikāluasi pa labi no šķēluma iegūstam:Q 1.Catt. 6.8b) ja vienības slodze atrodas pa kreisi no šķēluma C(kreisais zars) summējot spēku projekcijas uz vertikāluasi pa labi no šķēluma iegūstam:Q 0 .CAtbilstošā ietekmes līnija parādīta att. 6.8b.2. Lai uzkonstruētu M C ietekmes līniju jāapskata divi gadījumi: vienības slodze palabi un pa kreisi no šķēluma C:a) ja vienības slodze atrodas pa labi no šķēluma C (labais zars) summējot spēku momentuspa labi no šķēluma iegūstam:M Cno kurienes pie 1 x a ,x a M 0 , pie x a b b.Cb) ja vienības slodze atrodas pa kreisi no šķēluma C (kreisais zars) summējot spēkumomentus pa labi no šķēluma iegūstam:M 0 .CAtbilstošā ietekmes līnija parādīta att. 6.8c.M C143
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA6.3. Daudzlaidumu locīklu siju ietekmes līnijasLai uzkonstruētu ietekmes līnijas daudzlaidumu locīklu sijai varam izmantot statiskometodi – slogot siju ar vienības slodzi un noteikt kā mainās balstu reakcijas vai iekšējāspiepūles atkarībā no vienības slodzes atrašanās vietas uz sijas. Tomēr šī metode locīklusijai ir samērā sareţģīta un darbietilpīga.Lai konstruētu ietekmes līniju locīklu sijai:1. izveidojam sijas aprēķina secības shēmu;2. konstruējam ietekmes līniju locīklu sijas posmam, kurā atrodas apskatāmais balstsvai šķēlums;3. turpinām ietekmes līniju pārējos locīklu sijas posmos izmantojot sekojošas ietekmeslīniju īpašības:ietekmes līnija turpinās, ja aprēķina secības shēmā, ejot no apskatāmā šķēlumavai balsta, slodzes vieninieks pārvietojas uz augšu un beidzas (tālāk visas ietekmeslīnijas ordinātas ir vienādas ar nulli), ja tas pārvietojas uz leju;balstu vietās ietekmes līnijas ordinātas ir vienādas ar nulli, izņemot balsta reakcijasietekmes līniju, kurai apskatāmā balsta vietā ordināte ir vienāda ar 1.locīklu vietās ietekmes līnijām ir lūzumi (ietekmes līnijas maina virzienu);statiski noteicamām sistēmām ietekmes līnijas visos posmos ir ierobeţotas artaisnēm.Piemērs 6.1. Uzkonstruēt ietekmes līnijas att. 6.9a parādītajai sijai balstu reakcijai V D ,lieces momentam šķēlumā - un šķērsspēkam šķēlumā -.Atrisinājums. Izveidojam aprēķina secības shēmu (att. 6.9b).Konstruējot balsta reakcijas V D ietekmes līniju vispirms to konstruējam sijai CF, kuratrodas balsts V D kā sijai ar konsolēm. Balstā D atliekam vieninieku uz augšu, balstā Enulli un caur šiem punktiem novelkam taisni visā sijas CF garumā. Pa labi ietekmeslīnija ir uzkonstruēta līdz sijas galam un atliek noskaidrot, cik tālu tā ies pa kreisi. Slodzesvieniniekam pārvietojoties aprēķina secības shēmā pa kreisi no balsta D, punktā C144
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAtas pārvietojas uz augšu, tātad ietekmes līnija turpinās, punktā B slodzes vieniniekspārvietojas uz leju un ietekmes līnija beidzas (tas nozīmē, ka pa kreisi no punkta Bietekmes līnijas ordinātas ir nulle, kas savukārt nozīmē to, ka slodzes, kas pieliktaspa kreisi no punkta B neiespaido balsta reakciju V D ). Ņemot vērā, ka locīklās B unC ietekmes līnijai jābūt lūzumiem, iegūstam att. 6.9c parādīto balsta reakcijas V Dietekmes līniju.M - ietekmes līnijas konstrukcijaarī jāsāk ar siju CF, kur atrodasšķēlums -. Šķēlums - atrodassijai ar konsolēm CF starp balstiemun ietekmes līnijas konstrukcijusākam atliekot balstā Duz leju attālumu no balsta D līdzšķēlumam - a un balstā E attālumuno šī balsta līdz šķēlumam- b. Novelkam divas krustiskasatt. 6.9taisnes izveidojot ietekmes līnijulieces momentam M - posmā CF. Tālāk turpinām ietekmes līniju tāpat kā balsta reakcijasV D gadījumā. Lieces momenta M - ietekmes līnija parādīta att. 6.9d.Šķēlums - atrodas posmā AB, tātad šķērsspēka Q - ietekmes līnija jāsāk konstruētkā iespīlētai sijai AB. Slodzes vieniniekam pārvietojoties no šķēluma - pa labi, redzam,ka punktā B ietekmes līnija turpinās, bet punktā C beidzas. Ietekmes līnija šķērsspēkamšķēlumā - parādīta att. 6.9e.6.4. Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijasIetekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā,kuram tās ir uzkonstruētas, no jebkurām slodzēm (šo pasākumu sauc par ietekmes līnijuslogošanu). Balstu reakciju un iekšējo piepūļu aprēķinā tiek izmantotas sekojošasietekmes līniju īpašības:145
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA1. Ja zināma kāda faktora ietekmes līnija un slodzes P novietojums uz darinājuma, tadšis faktors skaitliski vienāds ar slodzes P reizinājumu ar ietekmes līnijas ordinātu zemšīs slodzes.Tā kā jebkura ietekmes līnijas ordināte raksturo apskatāmā faktora lielumu, kad virs šīsordinātas darinājumam pielikta vienības slodze, tad gadījumā, kad slodze nav vienības,apskatāmā faktora S lielumu varam atrast kāS P y , (6.3)kur y - ietekmes līnijas ordināte zem spēkaP. Ietekmes līnijas ordinātas zīme nosakaaprēķināmā faktora zīmi.att. 6.102. Ja zināma kāda faktora ietekmes līnija unkoncentrētu spēku sistēmas P 1 , P 2 , ... P n novietojumsuz darinājuma, tad šis faktorsskaitliski vienāds ar spēku un tiem atbilstošoietekmes līnijas ordinātu reizinājumu algebriskusummu.TātadnS P1 y1 P2y2 ... Pnyn Piyi. (6.4)i1Ietekmes līnijas ordinātas jāņem ievērojot to zīmes.Pielietojot šo sakarību att. 6.10b dotajai lieces momenta M C ietekmes līnijai tiktu atrastalieces momenta vērtība šķēlumā C no dotās koncentrēto spēku sistēmas.Piemērs 6.2. Aprēķināt momentu iespīlējumā, kas rodas att. 6.11a parādītajai iespīlētajaisijai no ratiņiem ar 10kN lielu kravu, kas atrodas sijas galā (maksimālais moments)izmantojot M A ietekmes līniju.Atrisinājums. M A ietekmes līnija parādīta att. 6.11b. Slodzi 10kN varam aizstāt ar diviempēc lieluma vienādiem spēkiem P 1 = P 2 =5kN. Slogojot ietekmes līniju iegūstam146
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAnMA Piyi P1y1 P2y2 50,7 51,2 9, 5kNm.i1Analogu rezultātu varam iegūt arī no līdzsvara vienādojumaMA M P 1 ,7 P 1,2 0A02no kura seko, kaM A P ,7 P 1,29, 5kNm.102att. 6.113. Koncentrētu spēku sistēmu vai izkliedētu slodzivirs ietekmes līnijas taisna posma var aizstāt arkopspēku un apskatāmā faktora skaitlisko vērtībuatrast kā kopspēka reizinājumu ar tam atbilstošoietekmes līnijas ordinātu.Tātad ir spēkā sakarībaS Ry R, (6.5)kur R ir kopspēks unyRir tam atbilstošā ietekmes līnijas ordināte.Pārbaudām trešās īpašības izpildīšanos att. 6.12 parādītajai trīs koncentrētu spēku P 1 ,P 2 un P 3 , kuri atrodas virs ietekmes līnijas taisna posma ab, sistēmai.Pieņemam, ka spēks R ir šo spēku sistēmas kopspēks.Tātad kopspēka R iedarbībai ir jābūt ekvivalentaiar spēku sistēmas iedarbību un sastādot momentusummu pret punktu o ir jābūt spēkā vienādībaiPa1 P2a2 P3a3 Ra R1.aR yRatt. 6.12ctgŅemot vērā, kaa 1 y 1ctg, a 2 y 2ctg, a y 3 ctg3,no iepriekšējās izteiksmes iegūstam147
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAP y P2y2 P3y3 Ry R1 1.Tā kā šīs izteiksmes kreisā puse izsaka faktora S lielumu, kas iegūts slogojot ietekmeslīniju, tad labā puse izsaka to pašu un ir spēkā izteiksmeS R ,y Rko arī vajadzēja pierādīt.kums zem izkliedētās slodzes. Ar summāro ietekmes līnijas laukumu šeit jāsaprot atseatt.6. 13tiem mēs varam atrast kopspēkuTagad varam vēlreiz atrisināt piemēru 6.2, spēkusP1un P2aizstājot ar kopspēkuR 10kN(att.6.13). Nav grūti noteikt, ka kopspēkam atbilstošāietekmes līnijas ordināte y 0, 95 un momentuiespīlējumāRMAtātad varam atrast no sakarībasS R yR 100,95 9, 5kNm.Iegūtais rezultāts sakrīt ar iepriekš noteikto.Ja ietekmes līnijai ir n taisni posmi un katrā noRi, kuram atbilst ietekmes līnijas ordināteYRi, tad,izmantojot spēku darbības neatkarības principu, faktora S lielumu mēs varam atrastizmantojot izteiksmiSni1R i y Ri. (6.6)4. Ja zināma kāda faktora ietekmes līnija un vienmērīgi izkliedētas slodzes novietojumsuz darinājuma, tad šis faktors skaitliski vienāds ar izkliedētās slodzes intensitātes qreizinājumu ar summāro ietekmes līnijas laukumu zem izkliedētās slodzes.Tātad, atbilstoši šai īpašībai, faktora S skaitliskā lieluma noteikšanai varam izmantotizteiksmiS q , (6.7)kur q - vienmērīgi izkliedētās slodzes intensitāte, - summārais ietekmes līnijas lau-148
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAvišķo laukumu algebriska summa, tas ir summēšana jāveic ņemot vērā atsevišķo laukumuietekmes līnijas ordinātu zīmes.Lai pārbaudītu ceturtās īpašības pareizībuvaram izmantot trešo īpašību. Apskatāmatt. 6. 14 parādīto ietekmes līnijasslogojuma gadījumu. Izmantojot trešoietekmes līniju īpašību, virs katra ietekmeslīnijas taisna posma izkliedēto slodzivaram aizstāt ar kopspēku. Šajā gadījumātie ir divi - R1 q l1un R2 q l2.Kopspēki ir pielikti katra izkliedētās slodzesposma vidū un tiem atbilst ietekmes līnijas ordinātas yR1un yR2. Atrodam faktoraS lielumu izmantojot sakarībunS Ri y R y q q q R y q q l y q l yRi 1 R12 R21 R12 R2i1 .1att. 6.14212Šeit 1 l1 yR1un 2 l2 yR2ir trapeču laukumi zem izkliedētās slodzes ietekmeslīnijas pirmajā un otrajā posmā, kuri summā dod kopējo ietekmes līnijas laukumu zemizkliedētās slodzes .Piemērs 6.3. Att. 6.15 parādītajai sijai aprēķināt balstu reakciju V A un piepūles sijaslaiduma vidējā šķēlumā izmantojot ietekmes līnijas. Iegūtos rezultātus salīdzināt arepīrām.Atrisinājums. Lai noteiktu balstu reakcijas V A lielumu slogojam V A ietekmes līniju(att. 6.15b)V A1 l q q ql .2 2Iegūtā balstu reakcijas vērtība sakrīt ar vērtību, ko varam iegūt no statikas līdzsvara149
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAvienādojumiem (piemēram, Mepīrā balstā A.Bl ql VAl 0 ), kā arī ar lēcienu šķērsspēku26.15f).att. 6.15Lai aprēķinātu lieces momenta lielumu sijas viduspunktāM 1-1 slogojam M 1-1 ietekmes līniju (att. 6.15c)2l 1 qlM11 q q l .4 2 8Iegūta vispārzināma sakarība maksimālā lieces momentanoteikšanai brīvi balstītai sijai, kas slogota ar vienmērīgiizkliedētu slodzi ar intensitāti q (att. 6.15e).Slogojot šķērsspēka Q 1-1 ietekmes līniju (att. 6.15d) redzam,ka ietekmes līnijas laukums zem izkliedētās slodzessastāv no divām daļām 1 un 2 , pie kam šie abilaukumi ir vienādi pēc lieluma un ar pretējām zīmēm.Līdz ar to 0Q ,11 q 23kas sakrīt ar šķērsspēka vērtību sijas viduspunktā (att.Ietekmes līnijas piepūļu aprēķinā sevišķi izdevīgi izmantot, ja viena un tā pati konstrukcijajārēķina uz daţādiem slogojuma variantiem.5. Ja zināma kāda faktora ietekmes līnija un spēkpāra (momenta) M novietojums uzdarinājuma virs ietekmes līnijas taisna posma, tad šis faktors skaitliski vienāds arspēkpāra M reizinājumu ar tangensu no leņķa, ko ietekmes līnijas posms veido ar horizontāli.Atbilstoši šai īpašībaiS M tg. (6.8)Lai pārliecinātos par šīs izteiksmes pareizību, apskatam att. 6.16a parādīto sijas posmuuz kuru darbojas spēkpāris M. Spēkpāris pēc definīcijas ir divi pretēji vērsti pēc modu-150
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAļa vienādi spēki, kas pielikti attālumā a viens no otra (att. 6.16b). Spēkpāra moments irvienāds ar spēka P reizinājumu ar plecu a.Aizstājot spēkpāri M ar diviem pretēji vērstiem spēkiemmeklējamais faktors S skaitliski vienāds ar1 P y2 P y2 y1S P y. (6.9)Saskaitāmais P y1ņemts ar mīnus zīmi, jo spēks P ,kurš atbilst ordinātai y1ir vērsts uz augšu, tas ir pretējivienības spēka virzienam no kura ir konstruētaietekmes līnija.Pa. Spēkpāra pleatt.6.16No sakarības (att. 6.16c)y y 2 1 tg seko y y a tg 2 1 .aIzmantojot iegūto sakarību un sakarībuS Pa tg M tg.M Pa no (6.9) sekoAtrastā lieluma S zīme atkarīga no momenta M virziena, no tā vai ietekmes līnijai pozitīvāsvērtības ir virs vai zem ass un no tā vai ietekmes līnijai ir augošs vai dilstošsraksturs, tāpēc vienkāršāk ir virs ietekmes līnijas taisna posma spēkpāri aizstāt ar pretējivērstiem vienādiem spēkiem un aprēķinu veikt tiem. Pārliecināsimies, ka tā tiešāmvaram rīkoties.Piemērs 6.4. Ar spēkpāri M slogotai brīvi balstītai sijai aprēķināt lieces momenta vērtībasšķēlumā C, ja spēkpāris pielikts pa kreisi (att. 6.17a) un pa labi (att. 6.17b) no šķēlumaC un salīdzināt ar atbilstošajām lieces momenta vērtībām lieces momenta epīrā.Atrisinājums. Uzdevuma risinājumā izmantojam lieces momenta ietekmes līniju šķēlumamC (att. 6.17a1,b1).Vispirms analizējam gadījumu, kad spēkpāris pielikts pa kreisi no šķēluma C. Spēkpāriaizstājam ar diviem pēc moduļa vienādiem pretēji vērstiem spēkiem151
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAcu izvēlamies vienādu ar ietekmes līnijas taisnā posma AC garumu a, lai pretī vienamno spēkpāra spēkiem ietekmes līnijas ordināte būtu vienāda ar nulli. Slogojam M C ietekmeslīniju ar spēkpāri aizstājošajiem spēkiem un iegūstam lieces momenta vērtībušķēlumā CMCab M ab Mb Pa 0 Pa ,l a l lkas sakrīt ar lieces momenta vērtību šķēlumā C gadījumā, ja spēkpāris pielikts pa kreisino šķēluma C.att. 6.17Analizējam gadījumu, kad spēkpāris pielikts pa labi no šķēluma C. Spēkpāri aizstājamar diviem pēc moduļa vienādiem pretēji vērstiem spēkiemPb. Spēkpāra plecu izvēlamiesvienādu ar ietekmes līnijas taisnā posma CB garumu b, lai pretī vienam no spēkpāraspēkiem ietekmes līnijas ordināte būtu vienāda ar nulli. Slogojam M C ietekmeslīniju ar spēkpāri aizstājošajiem spēkiem un iegūstam lieces momenta vērtību šķēlumā CMCab M ab Ma Pb Pa 0 ,lb l lkas sakrīt ar lieces momenta vērtību šķēlumā C gadījumā, ja spēkpāris pielikts pa labino šķēluma C.152
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAPiemērs 6.5. Izmantojot ietekmes līnijas atrast liecesmomenta un šķērsspēka vērtības šķēlumā 1-1 att.6.18 dotajai sijai.Atrisinājums. Lieces momentu M 1-1 atrodam slogojotM 1-1 ietekmes līniju (att. 6.18b) ar koncentrētuspēku P, vienmērīgi izkliedētu slodzi q un spēkpāriM, to aizstājot ar spēkiem (M/plecs)MM11 P y1M q M y28Matt. 6.1881,610 30 1,620 1,6 78kNm.2 8Škērsspēku Q 1-1 atrodam slogojot šķērsspēka ietekmes līniju (att. 6.18c)M80,8 10Q1 1 P y1Q q Q y2Q 30 0,2 20 0,8 69kN.82 8Piemērs 6.6. Novērtēt, kā izmainās lieces moments sijas viduspunktā, ja visu vienmērīgiizkliedēto slodzi ar intensitāti q (att. 6.19a) pārvieto sijas vidējā trešdaļā (att.6.19b) un sijas malējā trešdaļā (att. 6.19c).Atrisinājums. Uzdevumu risinām slogojot M 1-1 ietekmes līniju (att. 6.19d). Apskatamtrīs gadījumus:a) slogota visa sijaM a12ql 1 (skatīt iepriekšējo piemēru);8b) visa slodze sijas vidējā trešdaļāM b11 3q2 l l l l 1 5ql1 2 3q ; 3 6 3 12 2 24c) visa slodze sijas malējā trešdaļā153
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAM c12l l 1 ql1 3q 3 3q .3 6 2 12Šī gan nav maksimālā lieces momenta vērtība sijas laidumāpie dotās slodzes.Salīdzinām iegūtās lieces momentu vērtības sijas viduspunktā:MMb11a115ql2428ql2 1,67 ;MMc11a112ql128ql2 0,67 ;MMb11c115ql242122ql 2,5 .att. 6.19Kā redzam, lieces moments gadījumā, kad visa slodzeizvietota sijas vidējā trešdaļā, ir 2,5 reizes lielāks nekātad, ja slodze izvietota malējā trešdaļā. Tātad, slogojotbrīvi balstītas sijas, lielākās slodzes ieteicams izvietottuvāk sijas galiem.6.5. Ietekmes līniju konstruēšana mezglu slodzes gadījumāLīdz šim ietekmes līnijas konstruējām pieņemot, ka vienības slodze P 1 ir pieliktatieši apskatāmajai sijai. Tomēr bieţi slodze galvenajai sijai tiek pielikta noteiktos punktos,kurus sauc par mezgliem, izmantojot šķērssijas un palīgsijas vai klājumu, piemēram,tiltiem (att. 6.20a,b).Šāds slodzes pielikšanas veids maina sijas slogojuma apstākļus un arī ietekmes līnijuizskatu. Attālumu starp mezglu slodzes pielikšanas punktiem d sauksim par paneļa garumu(att. 6.20c).Vienības slodzei P 1 atrodoties kāda paneļa robeţās šīs slodzes iespaids uz pārdalāsuz diviem blakus esošajiem mezgliem. Apskatot doto paneli kā brīvi balstītu siju (att.154
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA6.21a) varam noteikt, kā mainās spēki, kuri darbojas uz galveno siju mezglu punktosV 1 un V 2 :z zV1 1un V d d2.att. 6.21att. 6.20Ar šiem spēkiem mezglu punktos slogojamgalveno siju, nomainot spēku virzienus uzpretējiem (att. 6.21b). Apskatot faktora S ietekmeslīniju spēkam V 1 atbilst ordināte y 1 unspēkam V 2 ordināte y 2 . Varam aprēķināt faktoraS lielumu (patiesībā tiek konstruēta faktoraS ietekmes līnija apskatāmā paneļa robeţāsmezglu (netiešā) slogojuma gadījumā ar statiskopaņēmienu): z z zS 1 y1 y2 y1 y2 y1 . d d dNo iegūtās sakarības seko, ka:S y 1, ja z 0 un S y2, ja z d.Tātad paneļa galos ietekmes līnijas ordinātas tiešā un netiešā slogojuma gadījumā sakrīt.Kā redzam no iegūtās izteiksmes, paneļa robeţās ietekmes līnijas ordinātas maināspēc lineāra likuma (z pirmajā pakāpē) no vērtības y1līdz vērtībai y2. Tātad ietekmes155
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAlīnijas taisna posma robeţās netiešais slogojums neatstās nekādu iespaidu uz ietekmeslīnijas ordinātu vērtībām. Ja kāda paneļa robeţās ietekmes līnijai ir lūzums (virsotne),tad šī virsotne tiek „nogriezta” savienojot ar pārejas taisni ordinātas y1un y2(att.6.21b).Piemērs 6.7. Uzkonstruēt ietekmes līniju mezgluslodzes gadījumā att. 6.22 dotajai sijai.att. 6.22Atrisinājums. Sākumā ietekmes līnijas tiek uzkonstruētastiešā slogojuma gadījumam, pēc tamtiem paneļiem, kuri neatrodas virs ietekmes līnijastaisniem posmiem (otrais panelis), tiek veidotaspārejas taisnes. Att. 6.22 parādītas iegūtās ietekmeslīnijas mezglu slodzes gadījumā lieces momentamun šķērsspēkam brīvi balstītai sijai.Piemērs 6.8. Uzkonstruēt M 1-1 ietekmes līniju mezglu slodzes gadījumā att. 6.23 dotajailocīklu sijai.Atrisinājums. Tiešā slogojuma gadījumā M 1-1 ietekmes līnija parādīta att. 6.23a. Apskatītidivi mezglu slodzes gadījumi: ar lielāku un mazāku paneļa garumu. Paneļos,kuri pilnībā neatrodas virs ietekmes līnijas taisniem posmiem, izveidotas pārejas taisnes.Att. 6.23c parādītajā netiešā slogojuma gadījumā (ar gariem paneļiem) ietekmeslīnija sastāv tikai no pārejas taisnēm.6.6. Ietekmes līniju konstruēšanas kinemātiskā metodeKinemātisko metodi ietekmes līniju konstruēšanā lieto galvenokārt, lai iegūtu priekšstatupar tās vai citas piepūles ietekmes līnijas raksturu, vai arī lai pārbaudītu ar kāducitu metodi uzkonstruētu ietekmes līniju, jo, izmantojot šo metodi, ir zināmas grūtībasnosakot ietekmes līniju ordinātu skaitliskās vērtības.156
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAKinemātiskās metodes pamatā ir iespējamo pārvietojumu principa pielietošana, saskaņāar kuru, nosakot, piemēram, piepūli S, dotajā sistēmā atmet iekšējo vai ārējo saiti,kurā rodas šī piepūle S. Sistēma kļūst vienu reizi ģeometriski mainīga, pārvēršoties parmehānismu.att. 6.23att. 6.24Konstruējot balsta reakcijas ietekmes līniju tiek atmests balsts, konstruējot momentaietekmes līniju atbilstošajā šķēlumā tiek ievietota locīkla, konstruējot šķērsspēka ietekmeslīniju stienis apskatāmajā šķēlumā tiek pārgriezts.Iegūtajai vienu reizi mainīgajai sistēmai atmestās saites vietā un virzienā piedod šaisistēmai iespējamo pārvietojumu.Izmantojot virtuālā (iespējamā) darba principu var pierādīt, ka piepūles S ietekmes līnijasforma sakrīt ar grafiku, kas attēlo sistēmā radušos pārvietojumus.Daţi ietekmes līniju konstruēšanas gadījumi ar kinemātisko metodi locīklu sijai parādītiatt. 6.24.Konstruējot V B ietekmes līniju atmetam balstu B un šīm balstam atbilstošajam šķēlumampiešķiram pārvietojumu B(att. 6.24b).157
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAKonstruējot lieces momenta M 1-1 ietekmes līniju šķēlumā 1-1 ievedam locīklu un pagrieţamšķēlumus abās pusēs locīklai par kādu leņķi M(att. 6.24c).Konstruējot šķērsspēka Q 1-1 ietekmes līniju šķēlumā 1-1 pārgrieţam stieni šķēlumā 1-1un radušos brīvos stieņa galus pārvietojam attālumā Q(att. 6.24d).6.7. Iekšējo piepūļu aptvērējepīru konstruēšanaPar kustīgas slodzes neizdevīgāko novietojumu sauc tādu, pie kura mūs interesējošajaibalsta reakcijai vai piepūlei konkrētā šķēlumā (vai kādam citam lielumam) būs vislielākāabsolūtā vērtība (absolūtais maksimums vai minimums).Kustīgo slodţu daudzveidība un ietekmes līniju formu lielā daţādība nedod iespējuformulēt vienotu kustīgo slodţu neizdevīgākā novietojuma noteikšanas metodiku. Tādēļneizdevīgākā kustīgās slodzes novietojuma noteikšanu aplūkosim atsevišķiempraksē visbieţāk sastopamajiem slodţu gadījumiem.Koncentrēts spēksVisvienkāršākajā gadījumā konstrukcijai pielikts viens koncentrēts spēks. Tā kā apskatāmāfaktora skaitlisko vērtību viena spēka gadījumā nosaka izteiksme S Py , tadslodzes neizdevīgākais novietojums atbilst ordinātas y ekstremālām vērtībām.Koncentrētu spēku ar nemainīgu savstarpējo atstatumu sistēmaPieņemsim, ka pārvietojoties pa darinājumu(tā ietekmes līniju) spēku savstarpējieattālumi nemainās (att. 6.25), pie kam ietekmeslīnijas ordinātas ir ar vienu (piemēram,pozitīvu) zīmi).att. 6.25Katra no n ietekmes līnijas taisniem posmiemrobeţās atsevišķos koncentrētosspēkus aizvietojam ar šo spēku kopspēkiem(R 1 , R 2 , ... R n ).158
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJASaskaņā ar izteiksmi (6.6) S R1 yR1 R2yR2 ... RnyRnRiyRi.i1Pārvietojot spēku sistēmu, piemēram, pa labi, par bezgalīgi mazu lielumu dx, lielums Sizmainīsies parindS ini1R dyiRiini1R tg dx ,iikur:n – ietekmes līnijas taisno posmu skaits,dyi tgdx ,iundSdxin i1R itg . (6.10)iLai apskatāmajam faktoram S kādā šķēlumā būtu ekstremāla vērtība, atvasinājumam(6.10) šajā šķēlumā jāmaina zīme.No izteiksmes (6.10) secinām, ka, slodzei pārvietojoties pa konstrukciju,dS dx varmainīties tikai tad, ja mainās kāds no kopspēkiem R i (tgα i ietekmes līnijas taisna posmarobeţās ir konstants), bet kopspēks savukārt var mainīties tikai tad, ja atbilstošā ietekmeslīnijas taisnā posma robeţās parādās vai pazūd kāds spēks, tas ir, kāds no spēkiempāriet pār ietekmes līnijas virsotni uz citu posmu, ietekmes līnijas robeţās parādāsjauns spēks vai kāds no esošajiem vairs neatrodas virs ietekmes līnijas.No teiktā secinām, ka faktoram S ekstremālā vērtība būs tikai tad, ja kāds no spēkiematradīsies virs kādas no ietekmes līnijas virsotnēm. Taču šis noteikums nav pilnīgs, jonenorāda, kuram spēkam un uz kuras ietekmes līnijas virsotnes jāatrodas (ja atbilstošajāslodzes stāvoklī ir ekstrēms, nav skaidrs ar kādu ekstrēmu – lokālo vai absolūto irdarīšana).Faktoram S var būt vairāki maksimumi vai minimumi, tādēļ uzdevuma atrisinājumamnepieciešami vairāki mēģinājumi. Maksimālais mēģinājumu skaits ir vienāds ar spēku159
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA„n” un ietekmes līnijas virsotņu „m” reizinājumu „nm”.No sacītā izriet šāda uzdevuma risinājuma gaita:1. Vienu no koncentrētiem spēkiem, piemēram, P k novieto virs kādas ietekmes līnijasvirsotnes un pārbauda, kas notiek ardSdxi ni1R itg , ja spēks P k ir pa kreisi un palabi no virsotnes. Ja S atvasinājums maina zīmi, ir atrasts kustīgās slodzes stāvoklis piekura lielumam S ir ekstremāla vērtība;2. Pēc tam, kad atrasti visi slodzes stāvokļi pie kuriem iespējams lieluma S maksimums(atvasinājumsdS dx maina zīmi no plus uz mīnus (pie nosacījuma, ka pozitīvās Svērtības tiek atliktas uz augšu, ka S ietekmes līnijai pozitīvās vērtības ir virs ass un slodzepārvietojas no kreisās uz labo pusi un ne otrādi)) vai minimums (atvasinājumsdS dx maina zīmi no mīnus uz plus), aprēķina lieluma S skaitliskās vērtības un atrodabsolūto maksimumu un minimumu.Mēģinājumu skaitu var samazināt, ja ievēro (pierādīts matemātiski), ka vienzīmīgas(piemēram ar „+” zīmi) ietekmes līnijas gadījumā lielākā S absolūtā vērtība iespējamatikai tad, ja spēks P k atrodas virs izvirzītas ietekmes līnijas virsotnes (neizvirzīta ietekmeslīnijas virsotne iespējama daţiem retiem kopnes stieņiem).iKustīgā slodze vienmērīgi izkliedētas slodzesveidā (piemēram pūļa slodze)att. 6.26Šāda slodze uz darinājuma var izvietoties pilnīgipatvaļīgi, t.i., tai var būt patvaļīgs skaits pārtraukumuar patvaļīgiem garumiem (att. 6.26).Ja ietekmes līnija sastāv no posmiem ar daţādām zīmēm, tad max S nosaka kustīgoslodzi p novietojot virs visiem ietekmes līnijas pozitīviem posmiem (att. 6.27a) bet nosakotmin S – virs visiem ietekmes līnijas negatīviem posmiem (att. 6.27b).Ja vienmērīgi izkliedētā kustīgā slodze nepārtraukta, bet tās garums a mazāks par ietekmeslīnijas vienas zīmes posma garumu l (att. 6.28), tad lielums S patvaļīga slodzesnovietojuma gadījumā (vispārīgā gadījumā statiski nenoteicamām sistēmām ietekmes160
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAlīnijai var būt arī līknes raksturs):S p .xaJa visiem izkliedētās slodzes posmiem intensitāatt.6.27 att. 6.28Tā kā lielums S ir nepārtraukta funkcija, tās maksimumam atbilst noteikumsdSdxd q 0dxdun tā kā q 0, 0 .dxPārvietojot slodzi par dx, piemēram, pa labino kurienesy y dx 0d ,labkrylab y kr. (6.11)Tātad šajā gadījumā vienmērīgi izkliedētās kustīgās slodzes posma neizdevīgākais novietojumsbūs tāds, pie kura ietekmes līnijas ordinātas zem kustīgās slodzes posmakreisā un labā gala būs attiecīgi vienādas.Ja kustīgā slodze sastāv no vairākiem daţādas intensitātes vienmērīgi izkliedētas slodzeszināma garuma posmiem (att. 6.29)lab krdS p d p y y dx 0 ,iiiatt. 6.29no kurieneslab iy ip p y . (6.12)ikri161
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAte vienāda, (6.12) izteiksme pieņem šādu veidu:lab iy y(6.13)kriTātad ekstremāla S vērtība būs tad, ja kreiso ordinātu summa ir vienāda ar labo ordinātusummu.Pēc tam, kad noteikts kustīgās slodzes neizdevīgākais novietojums, max S un min Slielumus no kustīgās slodzes atbilstoši tās neizdevīgākajam novietojumam nosaka:1. koncentrētu spēku sistēmas gadījumāinmax minSpPiyi, (6.14)i1kurmax S p - lielākā lieluma S pozitīvā vērtība no kustīgās slodzes;min S p - pēc absolūtās vērtības lielākā lieluma S negatīvā vērtība no kustīgāsslodzes;P i , y i – kustīgās slodzes koncentrēto spēku un tiem atbilstošo ietekmes līnijuordinātu vērtības atbilstoši kustīgās slodzes neizdevīgākajam novietojumam.2. vienmērīgi izkliedētas kustīgās slodzes gadījumāmax Smin Spp p p(6.15)kur p – vienmērīgi izkliedētas kustīgās slodzes intensitāte; un - S ietekmes līnijas attiecīgi pozitīvo un negatīvo laukumusumma.Ja daţādos dotās sistēmas (darinājuma) šķēlumos noteiktas piepūļu vērtības no pastāvīgāsslodzes (S q ), kustīgās slodzes neizdevīgākie novietojumi un tiem atbilstošās piepūļuekstremālās vērtības (max S p , min S p ), šajos šķēlumos var noteikt pēc absolūtālieluma iespējamo lielākās piepūļu vērtības no vienlaicīgas pastāvīgās un kustīgās(mainīgās) slodzes iedarbes:162
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAmax Smin Sqpqp S Sqq max S min Spp(6.16)kur S q – piepūles S lielums dotajā šķēlumā no pastāvīgās slodzes;max S p un min S p – iespējami lielākās piepūles S vērtības šajā šķēlumā no kustīgās slodzes.Piepūļu epīras, kas uzkonstruētas pēc max S q+p un min S q+p vērtībām, sauc par šo piepūļuaptvērējepīrām, kur max S q+p un min S q+p ir šo aptvērējepīru ordinātas.Tātad, lai uzkonstruētu kādas piepūles (M, Q vai N) aptvērējepīru, nepieciešams:1) izvēlēties šķēlumus, kuros jānosaka aptvērējepīras ordinātas;2) izvēlētajos šķēlumos no pastāvīgās slodzes noteikt attiecīgo piepūļu lielumusvai uzzīmēt to epīras S q ;3) izvēlētajiem šķēlumiem uzkonstruēt attiecīgo piepūļu (M,Q vai N) ietekmes līnijas;4) slogojot uzkonstruētās ietekmes līnijas ar kustīgo slodzi, katram izvēlētajamšķēlumam (tā ietekmes līnijai) noteikt kustīgās slodzes neizdevīgāko novietojumu;5) atbilstoši kustīgās slodzes neizdevīgākajam novietojumam noteikt absolūti lielākāspozitīvās un negatīvās piepūļu max S p un min S p vērtības no kustīgāsslodzes;6) saskaņā ar (6.16) izteiksmēm noteikt aptvērējepīru ordinātas max S q+p un minS q+p , un uzkonstruēt attiecīgo piepūļu aptvērējepīras.Piemērs 6.9. Uzkonstruēt att. 3.10 parādītajai sijai piepūļu epīru aptvērējepīras novienmērīgi izkliedētas patvaļīgi izvietotas slodzes ar intensitāti p=5kN/m.Atrisinājums. Epīras no patstāvīgās slodzes apskatāmajai sijai uzkonstruētas piem.3.2. un parādītas att. 3.10d,e.Konstruējot aptvērējepīras šķēlumi obligāti jāizvēlas tādos raksturīgos punktos kā bal-163
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAsti un koncentrētu spēku pielikšanas vietas. Pēc tam, lai paaugstinātu aptvērējepīrukonstruēšanas precizitāti, varam izvēlēties arī vēl citus šķēlumus. Katrs izvēlēts šķēlumsun uzkonstruēta ietekmes līnija dod vienu punktu aptvērējepīras konstruēšanai.Dotajai sijai papildus izvēlamies šķēlumus posma AB viduspunktā un lieces momentaekstrēma vietā.Izvēlētajos šķēlumos konstruējam šķērsspēku (att. 6.30a) un lieces momentu (att.6.30b) ietekmes līnijas. Ietekmes līniju konstrukciju sākam ar posmu, kurā atrodas šķēlumsun pēc tam turpinām pārējā sijas daļā izmantojot ietekmes līniju īpašības.Slogojam ietekmes līnijas ar patvaļīgi izvietotu vienmērīgi izkliedētu slodzi ar intensitātip. Aptvērējepīru ordinātas šķērsspēkam Q un lieces momentam M iegūsim izmantojotizteiksmesmax Q Qpatst. p,min Q Q p ,patst.max M Mpatst. p,min M Mpatst. p,Q un Mpatst.ir piepūļu lielumi atbilstošos šķēlumos no patstāvīgās slodzes,kurpatst. un - atbilstošo ietekmes līniju summārie pozitīvie un negatīvie laukumi.Šķērsspēka aptvērējepīru konstruēšanā izmantoto lielumu skaitliskās vērtības apkopotastabulā 6.2, bet iegūtās aptvērējepīras redzamas att. 6. 31b.Lieces momenta M aptvērējepīru konstruēšana izrādās vieglāka, jo šķēlumos abās pusēsno balstiem ietekmes līnijas sakrīt (atšķirībā no šķērsspēka ietekmes līnijām, kuraspa kreisi no balsta un pa labi no balsta būtiski atšķiras), kā arī šķēlumiem sijas galos unlocīklās C un D visas ietekmes līniju ordinātas ir vienādas ar nulli (lieces momentamlocīklā jābūt vienādam ar nulli arī no mainīgas slodzes).Lieces momenta aptvērējepīru konstruēšanā izmantoto lielumu skaitliskās vērtības apkopotastabulā 6.3, bet iegūtās aptvērējepīras redzamas att. 6. 31c.164
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAatt. 6.30Jāatzīmē, ka no mainīgās (kustīgās) slodzes aptvērējepīras var parādīties arī posmos,kur no patstāvīgās slodzes iekšējās piepūles ir vienādas ar nulli.165
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJATabula 6.2Šķērsspēka aptvērējepīru ordinātu aprēķinsA 1-1 2-2Bkr.Blab.C3-3kr.3-3lab.DEkr.Elab.4-4kr.4-4lab.5-5kr.5-5lab.FQkN31,25 0 -8,75 -48,75 45 25 25 -25 -25 -25 29,37 29,37 9,37 9,37 -20,63 -20,63 + 4 1,49 1 0 4 2 0,5 0,5 0 0 4,75 2,65 2,65 1,14 1,14 0,75 - 0,75 1,36 1,75 4,75 0 0 0,5 0,5 2 4 0 0,39 0,39 1,90 1,90 4p + 20 7,45 5 0 20 10 2,5 2,5 0 0 23,75 13,25 13,25 5,7 5,7 3,75p - -3,75 -6,8 -8,75 -23,75 0 0 -2,5 -2,5 -10 -20 0 -1,95 -1,95 -9,5 -9,5 -20Qmax 51,25 7,45 -3,75 -48,75 65 35 27,5 -22,5 -25 -25 53,12 42,62 22,62 15,07 -14,93 -16,88Qmin 27,5 -6,8 -17,5 -72,5 45 25 22,5 -27,5 -35 -45 29,37 27,42 7,42 -0,13 -30,13 -40,63Tabula 6.3Lieces momenta aptvērējepīru ordinātu aprēķinsA 1-1 2-2Bkr.Blab.C3-3kr.3-3lab.DEkr.Elab.4-4kr.4-4lab.5-5kr.5-5lab.FMkN0 48,80 45 -70 -70 0 50 50 0 -50 -50 23,43 23,43 51,58 51,58 0 + 0 7,64 8 0 0 0 2 1 0 0 0 6,88 6,88 6,88 6,88 0 - 0 2,34 3 6 6 0 0 0 0 6 6 4,14 4,14 1,86 1,86 0p + 0 38,20 40 0 0 0 10 5 0 0 0 34,4 34,4 34,4 34,4 0p - 0 -11,7 -15 -30 -30 0 0 0 0 -30 -30 -20,7 -20,7 -9,3 -9,3 0Mmax 0 87,00 85 -70 -70 0 60 55 0 -50 -50 57,83 57,83 85,98 85,98 0Mmin 0 37,1 30 -100 -100 0 50 50 0 -80 -80 2,73 2,73 42,28 42,28 0166
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAAttēlā 6.31b,c iesvītrotas parādītasepīras no patstāvīgāsslodzes. Ja bez patstāvīgāsslodzes darbojas arī patvaļīgiizvietota vienmērīgi izkliedētaslodze ar intensitāti p, iekšējopiepūļu skaitliskās vērtības varmainīties robeţās, ko nosakaar raustītām līnijām parādītāsaptvērējepīras.Ja, izvēloties sijas stieņu izmērus,ņemam vērā mainīgo slodzi,lieces momenta vērtība irpieaugusi no 70kNm (ja darbojastikai patstāvīgā slodze) līdzatt. 6.31100kNm (bez patstāvīgās slodzespielikta arī mainīgā slodzešķēlumam B visneizdevīgākajā stāvoklī). Konkrētajā gadījumā lieces moments ir palielinājiespar 100 42,8 % . Lieces momenta izmaiņa no 70kNm līdz100 7070100kNm nozīmē to, ka izmantojot, piemēram, dubultT tērauda profilu, būs jāņem profilsar lielāku vertikālo izmēru (orientējoši profils N33 un N45).Šķērsspēka Q vērtības ievērojot mainīgo slodzi arī ir ievērojami palielinājušās.Šai sijai ekstremālās lieces momenta un šķērsspēka vērtības ņemot vērā mainīgo slodziir tajos pašos šķēlumos, kur bez tās. Vispārīgā gadījumā bīstamo šķēlumu novietojumsvarētu arī mainīties.6.8. Trīslocīklu loka ietekmes līnijasTrīslocīklu loka vertikālās balstu reakcijas ir analogas atbilstošās divbalstu sijas balstu reakcijām.Tātad arī šo balstu reakciju ietekmes līnijas ir analogas un tās var attēlot ar slīpu167
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAtaisni, kurai virs viena balsta ordinātas vērtība ir 1, bet virs otra balsta 0 (sk.att.6.2).Balstbīdes H = M 0 C /f ietekmes līnijasraksturs ir analogs ekvivalentās sijaslieces momenta viduspunktā M 0 C ietekmeslīnijas raksturam un to ordinātuvērtības atšķiras tikai par konstantu reizinātāju1/f. Gadījumā, ja locīkla C atrodasloka vidū, t.i. x c l / 2 , tadmaksimālā ietekmes līnijas vērtība (locīklāC) ir l/(4f). Šāda balstbīdes ietekmeslīnija parādīta att. 6.32b. Ietekmeslīnijas ordinātu vērtības atkarīgas kā noloka laiduma, tā arī no tā pacēluma, betnav atkarīgas no loka formas.līnijas divbalstu sijai atbilstošajā punktā k un loka balstbīdes ietekmes līnijas, kura paatt.6.32Lieces momenta M k , šķērsspēka Q k unass spēka N k ietekmes līniju konstruēšanupatvaļīgā šķēlumā k ar koordinātēmx k un y k (slīpuma leņķi φ k ) veicamizmantojot šo piepūļu noteikšanas sakarībastrīslocīklu lokamMQNkkk M0k0k Hy ; Q cos H sin;0kk Q sin H cos .kkkkKonstruēšanu reducējam uz jau zināmo ietekmes līniju izmantošanu.Trīslocīklu loka lieces momenta ietekmes līnija veidojas kā lieces momenta ietekmes168
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAreizināta ar konstantu skaitli y k , starpība. Savietojot abas ietekmes līnijas kā parādītsatt. 6.32c, iegūstam meklēto ietekmes līniju M k . Att. 6.32d M k ietekmes līnijas ordinātasatliktas uz horizontālas ass.Līdzīgā veidā iegūstam šķērsspēka Q k ietekmes līniju kā divu jau zināmu ietekmes līniju0Qkun H, kuras pareizinātas ar koeficientiemcos kun ksin starpību. Atbilstošākonstrukcija parādīta att. 6.33e, betatbilstošā līnija att. 6.32f.att. 6.33Ass spēka N k ietekmes līnija tiek iegūtasummējot ietekmes līnijasQ0ksinkun H cos . Grafiskišāda procedūra attēlota att. 6.32g, betiegūtais rezultāts att. 6.32h.katt. 6.34Iegūtās ietekmes līnijas ļauj spriestpar trīslocīklu loku tipiskām atšķirībāmno divbalstu sijas. Varam konstatēt,ka M k ietekmes līnijas ordinātasir būtiski mazākas par0Mkietekmeslīnijas ordinātām; šai ietekmeslīnijai ir pozitīvas un negatīvasordinātu vērtības; starp balstiem irnullpunkts. Arī Q k ietekmes līnijai irnullpunkts un tās ordinātas ir būtiskimazākas par divbalstu sijas šķērsspēkaietekmes līnijas ordinātām.Asspēka N k ordinātas visā loka garumā ir pozitīvas (spiede) un lielā loka daļā vērā ņemamas.Parasti kustīga slodze pārvietojas ne pa pašu loku, bet pa virsloka konstrukciju (att.6.33a), kura kopā ar loku veido daudzkārt statiski nenoteicamu konstrukciju. Tā kā lo-169
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAka daļas lieces stingums parasti ir daudzkārt lielāks par virsloka stieņu konstrukcijaslieces stingumu, tad bieţi vien, veicot loka aprēķinus, virsloka konstrukcijas liecesstingumu neņem vērā. Līdz ar to konstrukcijas aprēķinu shēma tiek pieņemta att. 6.33bparādītajā veidā. Slodzes pārvietošanās līmenis var būt arī zemāk par loku, piem., savilceslīmenī. Tas neiespaido loka stiprības aprēķinu.Lokiem ar virsloka konstrukciju piepūļu M k , Q k un N k ietekmes līniju raksturs ir līdzīgstīra loka ar viena līmeņa balstiem attiecīgajām ietekmes līnijām. Virsloka konstrukcijasradītais mezglveida slogojums nolīdzina ietekmes līnijas virsotnes. Tā rezultātāiegūstam att. 6.34 parādītās ietekmes līnijas punktveida līniju veidā. M k , un Q kietekmes līnijām ir divzīmju raksturs, bet ass spēka N k ietekmes līnija ir vienzīmīga.Tātad ass spēks N k maksimālo vērtību šķēlumā k iegūst noslogojot visu laidumu, turpretimmaksimālo lieces momenta M k vērtību iegūstam noslogojot tikai daļu no laiduma.6.9. Sijveida un konsolveida kopņu piepūļu ietekmes līnijasKustīgu slodţu gadījumā, kopnes stieņos piepūles ir mainīgas un to lielums ir atkarīgsno kustīgās slodzes atrašanās vietas. Iespējamo maksimālo piepūļu prognozēšana konkrētākopnes stienī uzdotu kustīgo slodţu gadījumiem ir svarīgs kopņu dimensionēšanaspriekšnosacījums. Šis uzdevums ir risināms ar ietekmes līniju palīdzību.att. 6.35Šai nodaļā pievērsīsimies kopņu stieņu piepūļuietekmes līniju, tas ir grafiku, kuri atspoguļo piepūlesmaiņu konkrētā stienī, vienības slodzeiP 1 pārvietojoties pa kopni, konstruēšanai.Šeit svarīgi ņemt vērā, ka slodze var pārvietotieskā pa augšējo kopnes joslu, tā arī pa apakšējojoslu, bet atsevišķos gadījumos arī pa vidu (att.6.35). Ja pirmais slogojuma veids attiecināmspārsvarā uz kopņu izmantošanu pārsegumu balstīšanai,tad otrais veids plaši pielietojams tiltu170
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAkonstrukcijās. Var tikt veidotas kopnes, kurās slodzi nesošā daļa izvietota noteiktāaugstumā no kopnes apakšējās joslas.Turpmākajā izklāstā tiks izmantota ietekmes līniju statiskā konstruēšanas metode. Šaigadījumā fiksētam vienības slodzes P 1 stāvoklim tiek meklēta uz statikas līdzsvaravienādojuma pamata sastādīta izteiksme, kura dod iespēju noteikt attiecīgo piepūli.Statiski noteicamu kopņu gadījumā stieņu piepūļu noteikšanai iegūstam izteiksmes,kuras fiksētā slodzes stāvokļa koordināti satur pirmajā pakāpē. Tātad ietekmes līnijuveido pirmās kārtas līknes, t.i. taisnes.Pirmām kārtām pievērsīsimies tipiskākajiem kopnes stieņu ass spēku ietekmes līnijukonstruēšanas veidiem statiski noteicamās kopnēs. Veiksim ietekmes līnijas konstruēšanukopnes (att. 6.36) otrā un trešā paneļa stieņiem, slodzei pārvietojoties pa kopnesaugšējo joslu.Jāatzīmē, ka kopnes balstu reakciju ietekmes līnijas neatšķiras no vienkāršas divbalstusijas balstu reakciju ietekmes līnijām. Apzīmējot kustīgās vienības slodzes atrašanāsvietu ar koordināti x, kuras atskaites sākumpunkts ir kopnes kreisais balsts, iegūstamsakarības balstu reakciju V A un V B noteikšanai vertikālai slodzei pārvietojoties pa kopnino kreisās uz labo pusi (no balsta A līdz balstam B). TātadVAx x 1 ; VB . Šīm sakarībām atbilstošās ietekmes līnijas ir analogas divbalstu siju balstu reakcijuietekmes līnijām un to grafiskais attēls parādīts att. 6.2.Daţāda tipa kopņu stieņu asspēku ietekmes līnijām ir visai atšķirīgs raksturs. Atkarībāno kopņu struktūras un slodzes pārvietošanās ceļa iespējamas visai atšķirīgas konfigurācijasietekmes līnijas. Tādēļ pievērsīsimies vairākiem tipiskiem statiski noteicamukopņu stieņu asspēku ietekmes līniju konstruēšanas gadījumiem.Ar kopņu stieņu piepūļu ietekmes līniju konstruēšanas pamatprincipiem iepazīsimies,veicot ietekmes līniju konstruēšanu att. 6.36 redzamās kopnes otrā un trešā paneļa stieņiemgadījumā, ja slodze pārvietojas pa kopnes augšējo joslu.Piepūles N 2-9 ietekmes līnija. Lai noteiktu piepūles N 2-9 izmaiņu vienības slodzei pār-171
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAvietojoties pa augšējo joslu, izmantojam šķēluma metodi. Izdarām šķēlumu –, tā iegūstotdivas kopnes daļas, katrai no kurām jābūt līdzsvarā. Šo līdzsvaru nodrošina asspēkiN pāršķeltajos stieņos 2-3, 2-9 un 8-9. Analizējam divus neatkarīgus gadījumus.Pirmajā gadījumā pieņemam, kavienības slodze P 1 pārvietojaskopnes daļā pa labi no šķēluma(tādā veidā tiks konstruētsietekmes līnijas labais zars) unsastādām līdzsvara vienādojumukreisajai kopnes daļai (att.6.36b). Izmantojot momentpunktumetodi attiecībā pret punktuO iegūstam vienādojumuM O x 1 a N 2 9r0 0. No šī vienādojuma iegūstamizteiksmia x N9 1 r 2,0saskaņā ar kuru piepūles N 2-9izmaiņai (ietekmes līnijas labajamzaram) ir lineārs raksturs arvērtībāmatt. 6.36aN2 9|x0 un N29|x 0r0pie x=0 un x=l. No ietekmes līnijas labā zara ir izmantojama tā daļa, virs kuras sastādotlīdzsvara vienādojumu atrodas vienības slodze. Tātad N 2-9 maiņas likumu attēlo taisnes(att. 6.36c) posms 3-7 (bija izdarīts pieņēmums, ka slodze pārvietojas pa labo pāršķeltāskopnes daļu, t.i. no 3 līdz 7).172
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJALīdzīgā veidā konstruējot kreiso ietekmes līnijas zaru sastādām līdzsvara vienādojumu∑M 0 =0 pret punktu O labajai kopnes daļai, izmantojot nosacījumu, ka slodze P 1pārvietojas pa kopnes kreiso daļu, t.i. starp punktiem 1 un 2. Tādā gadījumā no vienādojumaM Oxa N r 0290iegūstam izteiksmiNa x r 2 9.0Atbilstoši šai sakarībai iegūstam vērtībasN 0 un29|x0N2 9|xa . Piepūles N 2-9 maiņas likumu kreisajā kopnesr0daļā grafiski attēlo taisne 1–2 (att. 6.36c). Starp punktiem 2 un 3 izveidojies pārrāvums,kuru novēršam savienojot šos punktus ar pārejas taisni. Ir iegūta piepūles N 2-9ietekmes līnija, kura sastāv no kreisā zara, pārejas taisnes un labā zara. Ietekmes līnijaspozitīvās ordinātas atbilst stieņa stiepei, negatīvās - spiedei. Pozitīvās ietekmes līnijasordinātas tiek atliktas uz augšu, bet negatīvās uz leju. No uzkonstruētās ietekmes līnijassecinām, ka gadījumos, kad slodzes izvietotas pa labi no šķēluma -, atgāznis 2–9 tiekstiepts, bet slogojot kopni mezglā 2 atgāznis 2–9 tiek spiests. Piepūles N 2-9 lielumu nosakāmslodzes P i pareizinot ar tām atbilstošajām ietekmes līnijas ordinātām y i .Piepūles N 2-3 ietekmes līnija. Piepūles N 2-3 noteikšanai par momentpunktu izmantojammezglu 9. Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā sastādām divus līdzsvara vienādojumus– kreisajai kopnes daļai, ja slodze pārvietojas pa kopnes labo daļu un labajai kopnesdaļai, ja slodze pārvietojas pa kopnes kreiso daļu.Tā rezultātā iegūstam vienādojumus x M9 1 2d N23 r9 0 (ietekmes līnijas labajam zaram)un173
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAxM d N r 0 (ietekmes līnijas kreisajam zaram)94239Tātad piepūles N 2-3 maiņas likumu, slodzei pārvietojoties kopnes daļā pa labi no šķēlumanosaka sakarība2d x N3 1 r l 2,9bet slodzei pārvietojoties pa kreiso kopnes daļu sakarībaN4d rx2 3.9Piepūles N 2-3 ietekmes līnija attēlota att. 6.36d.Pārejas taisne sakrīt ar ietekmes līnijas kreiso zaru un līdz ar to ietekmes līnijai lūzumsneveidojas. <strong>Visa</strong>s ietekmes līnijas ordinātas ir negatīvas. Tātad piepūle N 2-3 jebkurāslogojuma gadījumā ar vertikālu uz leju vērstu slodzi ir negatīva (stienis ir spiests).Piepūles N 8-9 ietekmes līnija. Veicot iepriekšējiem analogus aprēķinus par momentpunktuizvēloties punktu 2 iegūstam vienādojumus x M2 1 d N89r2 0(labajam zaram), l xM2 5d N89r2 0(kreisajam zaram),lno kuriem nosakām piepūles N 8-9 izmaiņas likumus kopnes labajā un kreisajā no šķēlumadaļā. Tie ird x N8 9 1 (ietekmes līnijas labais zars)r 2unN895d r2x. (ietekmes līnijas kreisais zars)N 8-9 ietekmes līnija parādīta att. 6.36e. Nogrieznis r 2 izsakāms ar kopnes augstuma parametriemh 1 un h 2 .174
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAAnalogā veidā iegūstamas ietekmeslīnijas arī citu paneļu stieņos. Tā,piemēram, trešā paneļa stieņu 3-4, 3-10 un 9-10 ietekmes līnijas iegūstamasizdarot šķēlumu - (att. 6.37).Tā rezultātā kopne tiek sadalīta divāsārējo slodţu un iekšējo piepūļu darbībasrezultātā līdzsvarotās daļās.att. 6.37Piepūļu N 3-4 un N 9-10 ietekmes līnijukonstruēšanai līdzīgi kā iepriekšējosgadījumos mērķtiecīgi pielietot momentpunktumetodi, sastādot kreisāsun labās atšķeltās kopnes daļas momentulīdzsvara vienādojumus attiecībāpret atbilstošajiem punktiem (tiemkuros krustojas divu no trim pārgrieztajiemstieņiem darbības līnijas).Piepūles N 3-4 ietekmes līnija. Sastādot līdzsvara vienādojumu kopnes kreisajai daļaipret punktu 10 pie nosacījuma, ka slodze P 1 pārvietojas pa kopnes labo daļu, iegūstampiepūles N 3-4 izmaiņas likumu:N x 3d x h h h 13 41. (ietekmes līnijas labais zars) 21 2Šī sakarība apraksta taisni, kuru ērti konstruēt izmantojot nosacījumus, kaN3 4 x 3d h un N34 0. Bet svarīgi ņemt vērā, ka no šīs taisnes piepūles0xN 3-4 izmaiņas raksturošanai izmantojama tikai tā daļa, kura atbilst labās atšķeltās kopnesdaļas x vērtībām, t.i. vērtībām l 2 x .Sastādot kopnes labās puses (att. 6.37a) līdzsvara vienādojumu pie nosacījuma, ka slodzeP 1 pārvietojas pa kopnes kreiso pusi, iegūstam sakarību175
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJANx34 21 23dxh h h l.(ietekmes līnijas kreisais zars)Šai sakarībai atbilstošā taisne redzama att. 6.37b, no kuras piepūles N 3-4 izmaiņu attēloposms A-9. Starp punktiem 9 un 10 izveidojies pārejas posms, kurā savienojot šospunktus ar taisnes nogriezni, iegūstam nepārtrauktu piepūles N 3-4 ietekmes līniju. Šajāgadījumā pārejas taisnes virziens sakrīt ar ietekmes līnijas kreisā zara virzienu un līdzar to piepūles N 3-4 .ietekmes līnija ierobeţo trīsstūrveida laukumu. Visā kopnes garumāšīs ietekmes līnijas ordinātas ir negatīvas. Tātad visos slogojuma gadījumos ar vertikāliuz leju vērstu slodzi stienis 3-4 tiek spiests.Piepūles N 9-10 ietekmes līnija. Analogā veidā konstruējama piepūles N 9-10 ietekmeslīnija. Šai gadījumā momentpunkts ir punkts 3 un ietekmes līniju aprakstošās izteiksmesirun2d x N9 10 1 (labais zars)h h 124dxN9 10(kreisais zars)h h 1Attiecīgā ietekmes līnija N 9-10 parādīta att. 6.37c.2Piepūles N 3-10 ietekmes līnija. Piepūles N 3-10 ietekmes līnijas konstruēšanai nevaramizmantot momentpunktu metodi, tā kā šis momentpunkts ir bezgalīgi tālu no šķēluma-. Tādēļ atšķeltajām kopnes daļām izmantojam projekciju līdzsvara vienādojumusuz vertikālu asi. Gadījumā, ja slodze pārvietojas pa kopnes labo daļu, no nosacījumaY 0 kopnes kreisajai daļai, iegūstam sakarību x Y 1 N310cos 0 , bet, ja slodze pārvietojas pa kopnes kreiso daļu, kopnes labajai daļai ir spēkā sakarībaxY N310cos 0.Tātad N 3-10 ietekmes līnijas labo zaru apraksta izteiksme176
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA1 x N310 1 cos bet kreiso zaru izteiksmeN1 xcos 3 10 .Attiecīgā ietekmes līnija redzama att. 6.37d. Starp punktiem 9 un 10 ietekmes līnijuveido pārejas taisne.Piepūļu noteikšanai kopnes stieņos projekciju vienādojumus var aizstāt ar vispārīgākusakarību (skat. nod. 4.6)0Q Ncos 0 , (6.17)3 10kur Q 0 ir šķērsspēka vērtība attiecīgajā šķēlumā divbalstu sijā, kuras laidums vienāds arkopnes laidumu un kura slogota ar tādām pat slodzēm kā kopne (ekvivalentajā sijā).No nosacījuma (6.17) sekoN3100Q . Tā kā ietekmes līniju konstruēšanai varcoslietot visas tās pašas metodes un sakarības kā piepūļu noteikšanai, tad arī ietekmes līnijāmir spēkā0Q iet . lin.N3 10iet. lin. . Līdz ar to piepūles N 3-10 izmaiņa atgāznī 3-cos10 ir analoga šķērsspēka izmaiņai un tas nozīmē, ka N 3-10 ietekmes līnijas ordinātas variegūt izdalot atbilstošās šķērsspēka ietekmes līnijas ordinātas ekvivalentajai sijai arkoeficientu cosα.Piepūles N 4-10 ietekmes līnija. Piepūli N 4-10 nosakām ar mezglu izgriešanas metodi,tādēļ ar šķēlumu - (att. 6.37) izgrieţam mezglu 4. Piepūle stienī 4–10 radīsies tikaitai gadījumā, kad slodze būs pielikta augšējās joslas mezglam 4. Ja slodze pielikta pakreisi vai pa labi no šī mezgla, piepūle N 4-10 būs nulle. Līdz ar to N 4-10 ietekmes līnijasordinātas mezglā 3 un visos mezglos pa kreisi no tā, kā arī mezglā 5 un visos mezglospa labi no tā ir nulle. Tātad piepūles N 4-10 ietekmes līniju, slodzei pārvietojoties pakopnes augšējo joslu, veido pārejas taisnes starp mezgliem 3 un 4 un starp mezgliem 4un 5. Attiecīgā ietekmes līnija redzama att. 6.37e. Ietekmes līnijas ordinātas vērtībamezglā 4 ir viens. Slodzei pārvietojoties pa kopnes apakšējo joslu, visas ietekmes līnijasordinātas ir vienādas ar nulli.177
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAPiemērs 6.10 Uzkonstruēt att. 6.38 dotās kopnes stieņa 2-8 piepūles ietekmes līniju unnoteikt N 2-8 skaitlisko vērtību kopnes pašsvara rezultātā. Kopne veidota no IPE240 profilastieņiem un tās apakšējās joslas segums rada vienmērīgi izkliedētu slodzi ar intensitātiq = 10 kN/m.Atrisinājums. Izdarām šķēlumu -. Slodzei P 1 pārvietojoties pa labi no šī šķēluma,momentu līdzsvara vienādojums pret momentpunktu O kopnes kreisajai daļai ir:M V a N r 0 .OAtbilstoši šim vienādojumamA2 8 OV Aaa xN 2 81 . (ietekmes līnijas labais zars)r r l OOLai noteiktu nogrieţņa a garumu,izmantojam nogrieţņa2-3 slīpuma leņķi pret horizontāloasi. Tā kā stata 2-7augstums irtadh 232/ 9m,h h2tg d.4 32 / 9 0,14183No trīsstūra O-2-7 iegūstam:att. 6.38a 2dh2tgunh232a 2d 2 3 18m.tg 9 0,1418178
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAPiepūles N 2-8 plecu pret momentpunktu O nosaka sakarībar Oa 3d .sin Tā kā no trīsstūra 8-2-3 iegūstamun32 tgtg 1,185 , tad sin 0, 764 , jo sin 29 31tg18 90,764 20, mr O 6 .Ievietojot iegūtās parametru a un r O skaitliskās vērtības piepūles N 2-8 izteiksmē, iegūstamsakarību18 x x N28 1 0,8741 ,20,6 18 18 kura apraksta ietekmes līnijas labo zaru. Tā ir taisne, kura krusto horizontālo asi punktāB un kuras ordināta virs kreisā balsta A ( t.i. pie x = 0) ir 0,874.Ietekmes līnijas kreiso zaru konstruējam izmantojot nosacījumu, ka abi ietekmes līnijaszari krustojas uz vertikāles, kura vilkta caur momentpunktu O. Iegūtā piepūles N 2-8 ietekmeslīnija parādīta att. 6.38b. Jāņem vērā, ka starp mezgliem 7 un 8 veidojas ietekmeslīnijas pārejas taisne.Lai noteiktu kopnes pašsvaru, nepieciešams zināt kopnes stieņu kopējo garumu. Kopnesastāv no 19 stieņiem, kuru kopējais garums irL=2(3·3+2,22+3,56+3,73+3,28+3,03+3,73+4,66)+4= 70,4m.Tā kā IPE240 profila stieņu tekošā metra svars ir 307 N, tad kopnes kopējais svars ir21,6kN. Sadalot šo slodzi vienmērīgi pa kopnes apakšējo joslu, iegūstam izkliedētuslodzi ar intensitāti q sv = 1,2 kN/m. Slodţu shēma no pašsvara parādīta att. 6.38c, betanaloga slodţu shēma no kopnei pieliktās (seguma) slodzes att. 6.38d.Slogojot piepūles N 2-8 ietekmes līniju ar attiecīgām slodzēm, t.i., sareizinot mezgliemA, 6, 7, 8, 9, 10 un B pieliktās slodzes ar tām atbilstošajām ietekmes līnijas ordinātām179
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAun iegūtos rezultātus sasummējot iegūstam meklēto piepūles N 2-8 vērtību. Ordinātu vērtībassakopotas tabulā 6.4.Tabula 6.4Ietekmes līnijas slogošanay A y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y B Kopāy 0 - 0,291 -0,583 0,437 0,291 0,146 0 0y· P sv 0 - 1,048 - 2,099 1,573 1,048 0,526 0 0y· P sl 0 - 8,73 - 17,49 13,11 8,73 4,38 0 0vienmērīgi izkliedētas slodzes piepūles stienī 2-8 nerodas.To algebriskā summair nulle un arī šo ordinātureizinājumu aratbilstošajām slodţuvērtībām summa irnulle. Tātad varamsecināt, ka gan nopašsvara gan arī noLasītājam rekomendējam patstāvīgi, lietojot izklāstīto metodiku noteikt piepūli stienī 1-7.att. 6.39Uzdevums 6.1. (patstāvīgam darbam)Uzkonstruēt otrā paneļa stieņu un stieņa3-8 piepūļu ietekmes līnijas poligonālaikopnei, kura attēlota att. 6.39.att. 6.40Uzdevums 6.2. (patstāvīgam darbam)Uzkonstruēt otrā un trešā paneļa stieņupiepūļu ietekmes līnijas kopnei, kuraparādīta att. 6.40.Iepriekš apskatītajām kopnēm konstruētās asspēku ietekmes līnijas nav atkarīgas no slodzespārvietošanās ceļa. Kopnes var tikt slogotas kā pa apakšējo tā arī pa augšējo joslu. Att.6.41 dotās kopnes gadījumā gadījumā atgāţņu ietekmes līnijām slodzei pārvietojotiespa augšējo vai pa apakšējo joslu ir atšķirīgs raksturs. Ietekmes līniju formas maiņa saistītaar to, ka šāda veida kopnei pārejas taisnes slodzei pārvietojoties pa augšējo joslu180
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAvai pa apakšējo joslu savieno atšķirīgusmezglus.Lai uzkonstruētu atgāţņa 2-5 piepūlesN 2-5 ietekmes līnijas, izdarāmšķēlumu -. Tādā gadījumā momentpunktsir punkts O un no kopneskreisās daļas līdzsvara vienādojumapret šo punktuMONiegūstam izteiksmiN2 5 rOVAaV aA2 5.rO(ietekmes līnijas labais zars)0Šī sakarība nosaka piepūles N 2-5ietekmes līnijas labo zaru, t.i., ietekmeslīniju posmā no mezgla 2līdz balstam B slodzei pārvietojotiespa kopnes augšējo joslu, vai posmāno mezgla 6 līdz balstam B slodzeipārvietojoties pa kopnes apakšējojoslu.Sastādot kopnes labās atšķeltās daļasmomentu līdzsvara vienādojumupret punktu O, iegūstama 4 0MdO N2 5rOVB .N 2-5 ietekmes līnijas kreisā zara analīatt.6.41No šī vienādojuma iegūstam piepūles181
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAtisko izteiksmiNx a 4d 4dr O2 5.Šī sakarība ir spēkā kopnes posmam no balsta A līdz mezglam 1 slodzei pārvietojotiespa augšējo kopnes joslu un no balsta A līdz mezglam 5 slodzei pārvietojoties pa apakšējokopnes joslu.N 2-5 ietekmes līnijas slodzei pārvietojoties pa apakšējo joslu (att. 6.41b) un pa augšējojoslu (att. 6.41c) atšķiras ar pārejas taisnes atrašanās vietu. Pirmajā gadījumā pārejastaisne ir starp mezgliem 5 un 6, otrajā starp mezgliem 1 un 2.Lai uzkonstruētu piepūles N 3-6 ietekmes līnijas, izmantojam šķēlumu -. Tā kā stienis2-3 ir paralēls stienim 6-7, momentpunktu metode nav izmantojama. Tādēļ pielietojotprojekciju metodi (projicējam visus spēkus uz vertikālo Y asi) kopnes kreisās daļaslīdzsvara vienādojums gadījumam, kad slodz P 1 pārvietojas pa kopnes labo daļu irY Nsin V0 .3 6ANo šī vienādojuma iegūstamV AN3 6 . (ietekmes līnijas labais zars)sin Analogā veidā, sastādot kopnes labās daļas spēku līdzsvara vienādojumu gadījumam,kad slodze pārvietojas pa kopnes kreiso daļu, iegūstamV BN3 6 . (ietekmes līnijas kreisais zars)sin Tātad piepūles N 3-6 ietekmes līnijas abus zarus veido divas slīpas paralēlas taisnes (att.6.41h,i). Atkarībā no slodzes ceļa (pa apakšējo vai augšējo joslu) pārejas taisnes veidojasstarp mezgliem 6 un 7(att. 6.41h) vai 2 un 3 (att. 6.41i).No ietekmes līniju formas varam secināt, ka piepūļu lielums slogojot kopni pa augšējovai pa apakšējo joslu ir visai atšķirīgs.Tā, piemēram, izkliedētas slodzes gadījumā, kura izvietota uz kopnes augšējās joslas,stienī 3-6 radīsies stiepes spēks, bet slogojot kopnes apakšējo joslu stienī 3-6 piepūle182
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAnerodas.Tā kā piepūļu N 1-2 un N 5-6 ietekmes līniju ierobeţotie laukumi slogojot kopni pa augšuun pa apakšu ir atšķirīgi, tad arī šo piepūļu vērtības atkarībā no tā, vai slodze izvietotauz augšējās joslas vai uz apakšējās joslas, būs atšķirīgas. No piepūles N 2-5 ietekmeslīnijām varam secināt, ka analogas slodzes izraisa atšķirīgas piepūles stienī 2-5 atkarībāno tā, vai slodze darbojas uz augšējo vai apakšējo kopnes joslu.Piepūļu N 1-2 un N 5-6 ietekmes līniju ordinātas ir ar vienu zīmi, tas ir visas ordinātas irvai nu pozitīvas vai negatīvas. Tomēr, kā redzams no att. 6.41d-g pārejas taisnēm slogojumospa apakšējo vai augšējo kopnes joslu ir atšķirīgs raksturs.Paralēljoslu kopnesIetekmes līniju konstruēšanas gaita un pamatsakarības paralēljoslu kopnēm ir līdzīgaspoligonālveida kopņu gadījumiem ar to atšķirību, ka abu joslu stieņu pleci attiecībāpret to momentpunktiem ir vienādi un šo plecu garums sakrīt ar kopnes augstumu h.Tātad jebkura joslas stieņa piepūles ietekmes līnijai ir trīsstūrveida forma ar trīsstūrapamatu kopnes laiduma garumā un virsotni zem atbilstošā momentpunkta. Att. 6.42adotās kopnes otrā un trešā paneļa joslu stieņu piepūļu N 8-9 , N 9-10 , N 2-3 un N 3-4 ietekmeslīnijas parādītas att. 6.42b,c,d,e.<strong>Visa</strong>s šīs ietekmes līnijas var tikt iegūtas arī uzkonstruējot lieces momenta ietekmeslīniju ekvivalentajai sijai šķēlumam, kas atbilst momentpunktam, un dalot tās ordinātasar plecu h.Konstruējot paralēljoslu kopņu reţģa stieņu piepūļu ietekmes līnijas, līdzīgi kā iepriekšējāparagrāfā, atšķeltajai kopnes daļai jāizmanto projekciju līdzsvara vienādojumi uzvertikālu asi. Visu atgāţņu slīpums pret horizontālajām kopnes joslām ir konstants. Tonosaka slīpuma leņķis α = arctg(h/d). Izdarot šķēlumu -, līdzsvara vienādojums ir:Y x 1 N29sin 0 ,ja P 1 pārvietojas pa labi no šķēluma - un183
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAYx N29sin0 ,ja P 1 pārvietojas pa kreisi nošī šķēluma.No šiem vienādojumiem iegūstamdivas izteiksmes piepūles N 2-9ietekmes līnijas noteikšanai. Tās ir1 x N29 1 ,sin ja slodze atrodas pa labi no šķēluma– unN1 xsin 2 9 ,ja slodze atrodas pa kreisi no šķēluma–.Atbilstoši šīm izteiksmēm konstruētieietekmes līnijas zari parādītiatt. 6.42f. Šos zarus savienopārejas taisne starp mezgliem 8 un9 (vai 2 un 3 ja slogota augšējājosla), kura krusto x asi punktā O.att. 6.42Šim punktam atbilst ordinātas vērtībay = 0 un piepūles vērtība N 2-9= 0. Šāds slodzes stāvoklis varrealizēties, piemēram, netiešā(mezglu) slogojuma gadījumā(skat. nod. 6.5).Analogā veidā konstruējam piepūles N 3-10 ietekmes līniju. Šim nolūkam izmantojamtās pašas izteiksmes. Vienīgā atšķirība starp piepūļu N 2-9 un N 3-10 ietekmes līnijām ir tā,184
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAka to pārejas taisnes atrodas daţādās vietās. Tas arī saprotams, jo šķēlums – atšķirībāno šķēluma – šķeļ trešo kopnes paneli. Piepūles N 3-10 ietekmes līnija parādīta att. 6.42g.Lai uzkonstruētu stata 3-9 piepūles N 3-9 ietekmes līniju, jāizdara slīps šķēlums –.Šāda šķēluma īpatnība ir tā, ka tas šķeļ kopnes augšējo un apakšējo joslu daţādos paneļos.Līdz ar to pārejas posms slodzei pārvietojoties pa apakšējo vai augšējo joslu būsatšķirīgās vietās. Tātad jāizšķir divi neatkarīgi slogojuma gadījumi: slodze pārvietojaspa kopnes apakšējo joslu vai slodze pārvietojas pa kopnes augšējo joslu.Vispirms pievērsīsimies gadījumam, kad slodze pārvietojas pa kopnes apakšējo joslu.Gadījumā, ja:a) slodze P 1 pārvietojas pa labi no šķēluma –, no līdzsvara vienādojumaY x x 1 N 3 9 0 , seko, ka N9 1 3;b) slodze P 1 pārvietojas pa kreisi no šķēluma –, iegūstamYx N390 , unNx3 9.No iegūtajām sakarībām secinām, ka slodzei pārvietojoties pa labi no šķēluma (t.i. nomezgla 10 līdz B), piepūles N 3-9 ietekmes līnijas ordinātas mainās pēc balstu reakcijasV A maiņas likuma ar mīnus zīmi, bet slodzei pārvietojoties pa kreisi no mezgla 9 – pēcbalstu reakcijas V B maiņas likuma. Atbilstoši iegūtajām sakarībām konstruētā N 3-9 ietekmeslīnija parādīta att. 6.42h. Tā kā slodze pārvietojas pa apakšējo kopnes joslu, tadpārejas taisne veidojas posmā starp 9 un 10 mezglu.Gadījumā, ja slodze P 1 pārvietojas pa kopnes augšējo joslu, piepūles N 3-9 izmaiņaslikumu raksturo tās pašas izteiksmes. Vienīgā atšķirība ir tā, ka šķēlums – sadalakopnes augšējo joslu starp mezgliem 2 un 3. Līdz ar to ietekmes līnijas pārejas posmsarī ir starp šiem mezgliem.Piepūles N 3-9 ietekmes līnija slodzei pārvietojoties pa augšējo joslu parādīta att. 6.42i.Lai konstruētu piepūles N 4-10 ietekmes līniju, izgrieţam mezglu 4. Analizējam divus185
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAslogojuma variantus: slodze pārvietojas pa augšējo kopnes joslu, slodze pārvietojas paapakšējo kopnes joslu. Pirmajā gadījumā, kad slodze pārvietojas pa augšējo joslu, statā4-10 piepūle ir vienāda ar slodzi P = 1 tikai gadījumā, ja šī slodze pielikta mezglam 4,Pārējo augšējās joslas mezglu noslodzes gadījumos piepūle stienī 4 – 10 nerodas. Tātadposmos no 1 līdz 3 un no 5 līdz 7 piepūles N 4-10 ietekmes līnijas zaru ordinātas ir nulle.Savienojot mezgliem 3, 4 un 5 atbilstošos ietekmes līniju ordinātu galapunktus ar pārejastaisnēm, iegūstam Ietekmes līniju, kura parādīta att. 6.42j. Gadījumā, ja slodzepārvietojas pa apakšējo joslu stienis 4–10 ir nulles stienis pie jebkura slodzes novietojumaun tātad piepūles N 4-10 ietekmes līnija ir taisne, kas sakrīt ar abscisu asi. (att.6.42k)Piemērs 6.11. Uzkonstruēt piepūļu N 2-3 , N 8-9 , N 3-8 , N 3-9 , N 3-4 ietekmes līnijas att. 6.43dotajai kopnei.Atrisinājums. Izdarot šķēlumu -, iegūstam divas sašķeltās kopnes daļas: kreiso unlabo. Sastādām līdzsvara vienādojumus katrai no tām atsevišķi. Kreisās daļas līdzsvaravienādojums pret mezglu 8 dod iespēju noteikt piepūles N 2-3 izmaiņas likumu slodzeipārvietojoties pa atšķeltās kopnes labo daļu. Tā rezultātā iegūstam izteiksmid x N3 1 h 2.(ietekmes līnijas labais zars)No labās kopnes daļas momentu līdzsvara vienādojuma pret punktu 8, iegūstam4dxN2 3 (ietekmes līnijas kreisais zars).h Līdzīgi, sastādot līdzsvara vienādojumus kreisajai un labajai kopnes daļai pret punktu3, iegūstam divas izteiksmes piepūles N 8-9 ietekmes līnijas konstruēšanai:1,5d x N8 9 1 ; (ietekmes līnijas labais zars)h 186
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAN3,5dx h 8 9.(ietekmes līnijas kreisais zars)Svarīgi ņemt vērā, ka šķēlums -augšējo kopnes joslu šķeļ starpmezgliem 2 un 3, bet apakšējokopnes joslu starp mezgliem 8 un9. Šo mezglu attālumi no kopnesbalsta ir atšķirīgi. Tātad svarīgiievērot, pa kuru kopnes joslu pārvietojasvienības slodze P 1.Ietekmes līnijas pārejas taisnesnovietojums gadījumam, kad slodzepārvietojas pa augšējo vai paapakšējo joslu, būs atšķirīgs. Attiecīgāsietekmes līnijas parādītas att.6.43b,c un 6.43d,e.Praktiskai ietekmes līnijas konstruēšanaiizmantojot momentpunktametodi varam izpildīt sekojošasdarbības:att. 6.43(šai balstā N 2-3 =N 8-9 =0) novelkam taisni;1) virs kreisā balsta atliekam stieņapiepūles vērtību, kura atbilst nosacījumamx=0. Piepūles N 2-3 gadījumātā irtā ir1,5d;hd , bet piepūlei N 8-9h2) caur iegūto punktu un balstu B187
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA3) analogā veidā konstruējam otru taisni, kura krusto x asi balstā A, bet virs balsta B tāiet caur punktu4dN2 3 vai Nh3,5dh8 9 ;4) iegūtajām taisnēm jākrustojas vienā punktā, kuru iegūstam pielīdzinot piepūles N 2-3(N 8-9 ) abas izteiksmes (labajam un kreisajam zaram). Tā iegūstam vienādojumud x 4 d x 1 ,h h no kura nosakām vērtību x c = 0,2l. Tā ir abu ietekmes līnijas zaru krustpunkta koordināteuz abscisu ass un varam pārliecināties, ka šis krustpunkts atrodas zem momentpunktapiepūles N 2-3 noteikšanai.Analogi piepūles N 8-9 ietekmes līnijas konstruēšanai iegūstam vienādojumu1,5 d x 3, 5 d x1 ,h h kuru atrisinot attiecībā pret x, iegūstam x c =0,3l;5) projicējam pāršķeltā paneļa ierobeţojošos punktus uz iegūtajām krustiskajām taisnēm.Te jāapskata divi gadījumi: augšējā kopnes josla un apakšējā kopnes josla. Vispārīgāgadījumā (arī mūsu konkrētajai kopnei) šķēlumu ierobeţojošo mezglu izvietojumsaugšējā un apakšējā joslā var neatrasties vienā pret kopnes laidumu perpendikulārāplaknē. Tātad ietekmes līnijas pārejas taisnes slodzei pārvietojoties pa augšējo josluun pa apakšējo joslu, atšķiras. Tā, piem., piepūles N 2-3 ietekmes līnija, slogojot kopnipa augšu, pārejas punkti atrodas zem mezgliem 2 un 3, bet slogojot kopni pa apakšu,šie punkti atrodas zem mezgliem 8 un 9;6) N 2-3 ietekmes līnijas ordinātas vērtību ietekmes līnijas zaru krustpunktā nosakāmizmantojot atrasto x c = 0,2l vērtību. Tā rezultātā iegūstam y c = 1,2.Līdzīgā veidā N 8-9 ietekmes līnijai pie nosacījuma x=x c =0,3l, iegūstam y c =1,575.Tāpat tiek iegūtas arī ordinātu vērtības pārejos punktos.Piepūles N 3-8 ietekmes līnijas konstruēšanai izmantojam šķēlumu - un projekcijulīdzsvara vienādojumus uz vertikālu asi. Tā rezultātā iegūstam divas izteiksmes188
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJA1 x N38 1 ; (ietekmes līnijas labais zars)sin 1 xN3 8 . (ietekmes līnijas kreisais zars)sin Atbilstoši šīm izteiksmēm konstruējam divas taisnes. Tās ir paralēlas un atrodas attālumā1/sinα viena no otras. Gadījumā, ja slodze pārvietojas pa kopnes apakšējo joslu,pārejas taisne veidojas starp punktiem 8 un 9. att. 6.43f. Gadījumā, ja slodze pārvietojaspa augšējo joslu, pārejas taisne ir starp punktiem 2 un 3. att. 6.43g. Tā kā pārejastaisne krusto x asi, tad izveidojas nullpunkts, kurā novietojot slodzi uz kopnes, attiecīgajākopnes stienī piepūles nerodas (mezglu slogojuma gadījumā). Nullpunktu koordinātesnoteikšanai izmantojam nosacījumu par līdzīgiem trīsstūriem, kurus veido pārejastaisne, x ass un ietekmes līnijas ordinātas pārejas punktos. Piepūles N 3-8 ietekmes līnijai,ja slodze pārvietojas pa augšējo joslu, ir spēkā sakarībay2 y31d No šīs sakarības iegūstam izteiksmiy21 d .y y231.Tātad nullpunkta abscisa ir x0 d 1.2Gadījumā, ja slodze pārvietojas pa kopnes apakšējo joslu, iegūstam izteiksmiy82 d ,y y89bet nullpunkta abscisa šajā gadījumā ir x0 d 2.Izmantojot šķēlumu -, piepūles N 3-9 ietekmes līnijas konstruēšanā izmantojamlīdzsvara vienādojumus:Y VA N sin0,39gadījumam, ja slodze ir pa labi no šķēluma unY VB N sin0 ,39189
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAja slodze ir pa kreisi no šķēluma.No šiem vienādojumiem iegūstam sakarībasN1sin1sin3 9 V A, N3 9 VB.Līdzīgi kā piepūles N 3-8 gadījumā, iegūtās sakarības apraksta divas slīpas paralēlastaisnes, kuras viena pret otru nobīdītas ordinātu ass virzienā par lielumu 1/sinα. Atšķirībāno iepriekšējā, šo taišņu vērsums ir pretējā virzienā, tām ir krītošs raksturs. Veicotanalogas konstrukcijas kā piepūles N 3-8 gadījumā, iegūstam divas piepūles N 3-9 ietekmeslīnijas (att. 6.43h,i).Piepūles N 3-4 ietekmes līniju nosakām izmantojot momentpunktu 9. Nepieciešamosaprēķinus lasītājam rekomendējam veikt patstāvīgi un iegūtos rezultātus salīdzināt aratt. 6.43j,k redzamajiem.Trīsstūrveida kopnes stieņu ietekmes līnijasPiemērs 6.12. Uzkonstruēt att. 6.44dotās trīsstūrveida kopnes stieņu 2-3, 2-8, 3-8 piepūļu ietekmes līnijas.Atrisinājums. Piepūles N 2-3 ietekmeslīnija. Izdarām kopnes šķēlumu - patās trešo paneli un sastādām kopneskreisās daļas līdzsvara vienādojumuattiecībā pret mezglu 8, pie nosacījuma,ka slodze P 1atrodas kopnes labajādaļā. Iegūstam vienādojumuM VA d N r 0 .83238No šī vienādojuma seko, kaatt. 6.443d x N3 1 r 2.8190
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAAtbilstoši šai izteiksmei konstruējam taisni, kura iet caur punktiem y 0x lun3dy x 0 r8. Šī taisne ir N 2-3 ietekmes līnijas labais zars.Analogā veidā varam konstruēt arī otru taisni, kuru nosakām no kopnes labās puseslīdzsvara nosacījuma, bet tā kā ir zināms, ka abas šīs taisnes krustosies zem momentpunkta8, tad varam rīkoties arī savādāk - projicēt punktu 8 uz ietekmes līniju veidojošotaisni un iegūto punktu savienot ar kopnes kreisajam balstam atbilstošo punktu.Iegūstam trīsstūrveida ietekmes līniju ar virsotni zem momentpunkta 8. <strong>Visa</strong>s ietekmeslīnijas ordinātas ir negatīvas, tātad jebkuras vertikālas uz leju vērstas slodzes gadījumāstienis 2-3 tiek spiests. Piepūles N 2-3 lielums nav atkarīgs no tā, vai kopne tiek slogotapa augšējo vai pa apakšējo joslu. Attiecīgā ietekmes līnija redzama att. 6.44b.Piepūles N 2-8 ietekmes līnija. Sastādot kopnes kreisās daļas momentu līdzsvara vienādojumuattiecībā pret momentpunktu A ( P 1 pārvietojas pa kopnes labo daļu) iegūstamsakarību:M N r 0.A2 8 ATātad esam ieguvuši, ka N 2-8 =0 gadījumā, ja slodze pārvietojas pa kopnes labo daļu.Tas nozīmē, ka ietekmes līnijas labais zars sakrīt ar abscisu asi. Lai noteiktu kreiso ietekmeslīnijas zaru, sastādām kopnes labās daļas momentu līdzsvara vienādojumu pretpunktu A pie nosacījuma, ka slodze P 1 pārvietojas pa atšķelto kreiso daļu. Tā rezultātāiegūstam vienādojumu M V N r 0, no kura nosakāmAB2 8 Apiepūles N 2-8 izmaiņas likumu:N x r 2 8.AŠai sakarībai atbilstošā taisne redzama att. 6.44c. Šī taisne apraksta N 2-8 ietekmes līnijuposmā starp mezgliem A un 7. Posmā 7-8 tiek vilkta pārejas taisne, savienojot ietekmeslīnijas kreiso zaru ar tās labo zaru. Tātad arī šai gadījumā stienis 2-8 tiek spiests piejebkuras vertikālas uz leju vērstas slodzes, kura darbojas kopnes kreisajā daļā. Jau ie-191
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJApriekš konstatējām, ka slogojot kopnes labo daļu stienis 2-8 netiek noslogots. PiepūlesN 2-8 vērtība nav atkarīga no tā vai kopne tiek slogota pa augšu vai pa apakšu.Piepūles N 3-8 ietekmes līnija. Izgrieţam mezglu 3 (att.6.44d) un projicējam visus spēkus,kuri darbojas šai mezglā uz horizontālu asi. No spēku līdzsvara nosacījuma iegūstamvienādojumu:X N23cos N34cosNo tā seko, ka N34 N23.Projicējot mezglā 3 darbojošos spēkus uz vertikālu asi, iegūstam vienādojumu:Y N3 8 2N23sinN N sin .382230.0, no kura seko, kaAttiecinot šo sakarību uz piepūļu N3 8, N23ietekmes līnijām, iegūstam, kaN3 8iet. lin. 2sin N23iet. lin.Tātad piepūles N 3-8 ietekmes līnija ir vienāda ar piepūles N 2-3 ietekmes līniju, kurasordinātas pareizinātas ar koeficientu 2sin. Iegūtā piepūles N 3-8 ietekmes līnijaparādīta att. 6.44e. Svarīgi ņemt vērā, ka šī ietekmes līnija attiecas uz slogojuma pakopnes apakšējo joslu. Ietekmes līnija, slodzei pārvietojoties pa kopnes augšējo joslu,redzama att. 6.44f.Mezglā 3 pieliktā vienības slodze kompensē piepūļu N 2-3 un N 3-4 darbību un piepūlestienī 3-8 iznāk vienāda ar nulli.Piemērs 6.13. Noteikt piepūļu izmaiņas kopnes (att. 6.45a) stieņos slodzei pārvietojotiespa augšējo vai apakšējo joslu.Atrisinājums. Konstruējam atsevišķu stieņu piepūļu ietekmes līnijas. Izdarot šķēlumu-, sastādām momentu līdzsvara vienādojumu pret mezglu 2. Iegūstam vienādojumuspiepūles N 4-5 ietekmes līnijas konstruēšanai:192
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAN h VA 2d0 ;45( P 1 pa labi no šķēluma -) N h VB 2d0 .45( P 1 pa kreisi no šķēluma -)Tā kāV A 1 xl, betxV B ,ltad iegūstam divus taisnes vienādojumusun2d x N45 1 h l (ietekmes līnijas labais zars)d xN 245h l.(ietekmes līnijas kreisais zars)Šīm sakarībām atbilstošās ietekmeslīnijas parādītas att. 6.45b,c. Svarīgi ņemt vērā, ka piepūlesN 4-5 ietekmes līnijas slogojumampa augšējo un pa apakšējojoslu atšķiras.Sastādot līdzsvara vienādojumusatšķeltajām kopnes daļām pretpunktu 4, iegūstam vienādojumus:att. 6.45N r VA d 0 ;12 4( P 1 pa labi no šķēluma -)N r VB 3d0 . ( P 1 pa kreisi no šķēluma -)12 4Tātad piepūles N 12 ietekmes līniju veido taisnes193
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJANd x 1 r 4d12un4N123dx .r d4Atbilstošās ietekmes līnijas slogojumam pa augšu un apakšu parādītas att. 6.45d,e.Abas ietekmes līnijas slogojot kopni gan pa augšu, gan pa apakšu sakrīt, lai gan pārejastaisnes ir daţādās vietās.Sastādot kopnes atšķeltajām daļām momentu līdzsvara vienādojumus pret punktu A,iegūstam:N24 rA 0 , ( P 1pa labi no šķēluma -) NrA VB4d0. ( P 1pa kreisi no šķēluma -)24Tātad, ja slodze pārvietojas pa labo pāršķeltās kopnes daļu, tad N 24 =0, bet, ja slodze irpa kreisi no šķēluma, tadN4dxx24.rA 4dr AŠī taisne un attiecīgās ietekmes līnijas slodzei pārvietojoties pa augšējo vai apakšējokopnes joslu parādītas att. 6.45f,g.Piemērs 6.14. Konstruēt kopnes (att.6.46) stieņu 2-9 un 2-8 piepūļu ietekmeslīnijas.Atrisinājums. Izdarām šķēlumu – unsastādām momenta līdzsvara vienādojumukreisajai kopnes daļai pret punktuO. Tā kā slodze šai gadījumā pārvietojaspa labo kopnes daļu, tad iegūstamsakarību:V l 0 N rA 2900un līdz ar to piepūles N 2-9 ietekmes līniatt.6.46194
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAjas labo zaru nosaka izteiksmeN2 Vl / r 9 A 0 0.šī izteiksme apraksta taisni (balsta reakcijas V A ietekmes līniju), kuras ordinātas vērtībabalsta A plaknē ir l 0 /r 0 .No momentu līdzsvara vienādojuma labajai kopnes daļaiV Biegūstam sakarību l l N 0NBr0 290ll002 9 V / r ,kura apraksta piepūles N 2-9 ietekmes līnijas kreiso zaru. Tā ir taisne atbilstoša balstureakcijas V B ietekmes līnijai, kuras ordinātas reizinātas ar koeficientu l l 0 / r . 0Starp mezgliem 2 un 3 velkama pārejas taisne. Tā rezultātā iegūtā piepūles N 2-9 ietekmeslīnija redzama att. 6.46b.Parametrus l 0 un r 0 nosakām no trīsstūru attiecībām. Stieņa 8-9 slīpumu attiecībā prethorizontālu asi, nosaka sakarība tg h / d .No trīsstūra 2-0-8 nosakām nogrieţņa 2-0 garumu. Tas ir hh ctg2l2 0 122-0-8 arī ir ) un līdz ar to iegūstam, ka d hh ctgl0 12(leņķis . No trīsstūra 2-0-0’nogrieznis r 0 izsakās ar sakarībuh h ctg sin r vai ņemot vērā, ka01 2h1tg undtgh2d, iegūstaml d2 h h , r 1 h h 0 1/2dh101/2 .2 2d h1Izmantojot šķēlumu 2–2 un sastādot momentu līdzsvara vienādojums pret momentpunktu0 labajai un kreisajai kopnes daļai, iegūstam sakarības piepūles N 2-8 ietekmes līnijaskreisajam un labajam zaram:Nll l 02 8 V A,2 8B.l0 dl0 dNPieņemot, ka slodze pārvietojas pa kopnes augšējo joslu, pārejas posms ir starp mez-195V
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAgliem 1 un 2. Iegūtā piepūles N 2-9 ietekmes līnija redzama att. 6.46c.Konsolveida kopņu stieņu piepūļu ietekmes līnijasKonsolveida kopņu stieņu piepūļu ietekmes līniju kopēja īpatnība ir tā, ka posmā starpbalstu un kopnes šķēlumu ietekmes līniju ordinātas ir nulle. Līdz ar to, slodzei P 1pārvietojoties pa kopnes balstīto daļu (starp balstu un nosacīto šķēlumu), piepūle attiecīgajāstienī nerodas.att. 6.48att. 6.47att. 6.49Att. 6.47 dota paralēljoslu konsolveida kopne un attēlotas vairāku tās stieņu piepūļuietekmes līnijas, kuras iegūtas izmantojot iepriekš izklāstīto ietekmes līniju konstruēšanasmetodiku. Lasītāja uzdevums ir pārbaudīt šo ietekmes līniju pareizību, patstāvīgiveicot to konstruēšanu vai arī noslogojot dotās ietekmes līnijas ar patvaļīgi izvēlētu196
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAstatisku slodzi un salīdzināt iegūtās piepūļu vērtības ar analītiski noteiktām.Att. 6.48 un att. 6.49 sakopoti vairāku stieņu piepūļu ietekmes līnijas divu veidu kopnēm arkonsolēm. Lasītāja uzdevums ir veikt doto kopņu stieņu piepūļu ietekmes līniju pārbaudi.6.10. Kopņu stieņu piepūļu izmaiņa kustīgas slodzes gadījumosPiepūļu izmaiņu kopnes stieņos, izmainoties uzdotas slodţu sistēmas stāvoklim uzkopnes, nosaka izmantojot piepūles ietekmes līnijas. Būtiski ir noteikt maksimālo stiepesvai spiedes piepūles vērtību konkrētā stienī, kuru izraisa uzdotā slodţu sistēma.Šāda sistēma var būt atsevišķu koncentrētu spēku kopums fiksētā attālumā viens nootra vai vienmērīgi izkliedētā slodze ar fiksētu garumu.Ekstremālas piepūļu vērtības stieņos ar maiņzīmju ietekmes līnijām tiek sasniegtas gadījumos,kas visa slodze atrodas tikai virs pozitīvās vai negatīvās ietekmes līnijas daļas.Koncentrētu spēku sistēmas izraisīto piepūli nosaka sakarībaN P iy , (6.18)ikur P i koncentrētie spēki, y i – attiecīgās piepūles ietekmes līnijas ordinātas zemšiem spēkiem.Ekstremālo piepūļu vērtību aprēķināšanai ir nepieciešams noteikt kritisko koncentrētospēku sistēmas novietojumu. Pārvietojoties pa kopni saistītu spēku sistēmai, piepūlesstienī mainās, jo mainās ietekmes līnijas ordinātas. Bīstamākais slodzes novietojumsvirs lauztas formas ietekmes līnijas iestājas tad, kad viens no koncentrētiem spēkiem(saukts kritiskais) atrodas virs ietekmes līnijas virsotnes.Kritiskais spēks tiek noteikts piemeklēšanas veidā, veicot vairākkārtīgu slodzes izvietojumamaiņu un analizējot summuPitg i, (6.19)kur i – ietekmes līnijas posmu slīpuma leņķi pret horizontālo virzienu.Gadījumā, kad, pārvietojoties spēku sistēmai virs ietekmes līnijas, spēkam, kurš pieņemtspar kritisko, šķērsojot ietekmes līnijas virsotni, mainās summas Pitgizīme,slodţu stāvoklis atbilst ekstremālai (maksimālai vai minimālai) piepūles vērtībai.197
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJATrīsstūrveida ietekmes līnijas gadījumā (tā sastāv no divām taisnēm ar atšķirīgiem slīpumaleņķiem) kritiskā slodzes stāvokļa noteikšana reducējas uz divām nevienādībāmkurkreisPPakreisakreis PkrPblab(6.20)Plab Pkr (6.21)bP , P - spēku summas pa kreisi un pa labi no ietekmes līnijas virsotnes;labP kr – kritiskais spēks; a, b – ietekmes līnijas kreisā un labā zara projekcija uz horizontālāsass.Piemērs 6.15. Uzkonstruēt attēlā6.50b dotās kopnes stieņu piepūļuN 2-3 , N 3-8 un N 8-9 ietekmes līnijasgadījumam, kad slodze pārvietojaspa apakšējo joslu. Noteikt piepūlesšajos stieņos no kopnes pašsvara,kurš pielikts apakšējās joslas mezglosspēku P = 60 kN veidā. Noteiktkritiskos spēkus (slodzes) dotajai(att.6.50a) automašīnu kolonnasshēmai, kura pārvietojas pa kopnesapakšējo joslu virzienā no labās uzkreiso pusi un noteikt ekstremālāspiepūļu vērtības attiecīgajos stieņosno kustīgās slodzes. Izveidot piepūļutabulu un noteikt aprēķinu slodzidotajos trijos stieņos.Atrisinājums. 1. Pielietojot iepriekšatt. 6.50izklāstīto statisko ietekmes līnijukonstruēšanas metodi nosakām piepūļu N 2-3 , N 3-8 un N 8-9 ietekmes līnijas kopnes slogo-198
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAjuma gadījumam pa apakšējo joslu. Iegūtās ietekmes līnijas parādītas att. 6.50c, d, e.2. Piepūles trijos izvēlētajos stieņos no pastāvīgās slodzes P = 60 kN nosakām izmantojotsakarību (6.18).Aprēķinu rezultātā iegūstamN P yi 60(0,411,230,87 0,53 0,18) 192, 6kN23N 60(0,22 0,66 0,310,19 0,06) 19, 2kN380,3 0,9 1,07 0,6 0,2 kNN 6018089Iegūtās vērtības ievietotas tab.6.5Tabula 6.5Piepūļu aprēķins no kustīgas slodzesPiepūleN 2-3N 3-8N 8-9Piepūle no pastāvīgāsslodzes, kN-192,619,2180Piepūle no kustīgāsslodzes, kNAprēķinu piepūles,kNmax min max min078,7206,9-239,0-42,70-19297386,9-431,6-23,5180,03. Kustīgo slodţu kritisko stāvokli piepūlei N 2-3 . nosakām, veicot sakarību (6.20) un(6.21) novērtējumu daţādiem slodţu stāvokļiem.Par kritisko spēku pieņemam slodzi P kr = 95 kNm uz noslogotās automašīnas pakaļējāsass un novietojam to virs ietekmes līnijas virsotnes.Pārbaudām nevienādības (6.20) un (6.21).Tā kā a = 9 m, b = 2m, bet P kreis = 35 kN, P lab = 200 kN, tad iegūstam sakarības130 200 35 295 un .0 21 9 21Nevienādības pie izvēlētā slodţu izvietojuma ir spēkā. Tātad slodze P = 95 kN tiešām199
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAir kritiskais spēks.Izvietojot slodzes atbilstoši noteiktajai shēmaivirs N 2-3 ietekmes līnijas (att. 6.51a), nosakāmpiepūles N 2-3 ekstremālo vērtību. Tā irN23 P iyi (350,69 951,24 301,0 700,77 300,3 700,06 239kN.Analizējot piepūles no kustīgās slodzes gadījumos,kad attiecīgās ietekmes līnijas satur kāpozitīvo tā negatīvo daļu, tiek novērtētas divāsneatkarīgas situācijas - viena, kad slodze atrodasvirs pozitīvās ietekmes līnijas daļas un otra,kad tā atrodas virs negatīvās ietekmes līnijasdaļas.Tā, piemēram, piepūles N 3-8 lielākā pozitīvā vērtībarodas diviem automobīļiem pārvietojoties nokreisās uz labo pusi. Kritiskais spēks līdzīgi kāiepriekšējā gadījumā ir P kr = 95 kN, bet saskaņāar att.6.51b parādīto shēmu, iegūstamN3 8 700,07 300,37 950,66 78,7kN.Kritiskais slodzes stāvoklis, kurā piepūle N 3-1att. 6.51sasniedz lielāko negatīvo vērtību, parādītsatt.6.51c. Šim stāvoklim atbilst vērtība.N3 8 350,31950,23 300,15 700,07 42,7kN.Piepūlei N 8-9 bīstamāko slodzes izvietojumu atrodam, veicot izteiksmes (6.19) vērtībasnovērtējumu, virzot automašīnu kolonnu no labās uz kreiso pusi. Līdz brīdim, kamērpirmais spēks nav šķērsojis posmu c un b robeţu (sk. att. 6.51d), piepūle N 8-9 pieaug.Pieņemam, ka leņķis 1 pozitīvs. Tādā gadījumā leņķi 2 un 3 ir negatīvi. Līdz ar to200
6. IETEKMES LĪNIJU TEORIJAslodzes pārvietošanās sākumposmā summa Pitg ipieaug un ir pozitīva, bet pārejotkritisko stāvokli, tā kļūst mazāka. Tātad slodze jāpārvieto no labās uz kreiso pusitikmēr, iekams summas (6.19) zīme mainās no pozitīvās uz negatīvo. Bīstamais slodzesizvietojums parādīts att. 6.51d. Stāvoklī, kad spēks P = 95 kN nedaudz nobīdīts pakreisi no ietekmes līnijas virsotnes, izteiksmes (6.19) vērtība irP 95tg 30tg 70 30 itgi 353 270 tg1,kurā ievietojot atbilstošās tg i vērtībasiegūstamtg /15; tg 1/ 60 un tg 0, 31112Pitgi 2,17 0Pārvietojoties autokolonnai pa labi, izteiksme (6.19) kļūst pozitīva:Ptg95 30 70 30 70i i 0,135 5,8 060 15Nosakām piepūles N 8-9 maksimālo vērtību. Tā irN89 Piyi 350,5 950,9 30 0,96 70 0,86 30 0,33 70 0,07 206,9kN4. <strong>Visa</strong>s iegūtās piepūļu vērtības ir ievietotas tab. 6.5 un to summēšanas rezultātā nosakāmaprēķina piepūles stieņos.201
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSBūvmehānikā, veicot būvju aprēķinus tiek izmantotas attiecīgo konstrukciju aprēķinushēmas. Šīm shēmām ir jāatspoguļo tās būtiskās konstrukciju īpatnības, kuras ļauj pietiekamiprecīzi atbilstoši izvirzītajam aprēķinu uzdevumam noteikt tos vai citus būvesstiprību, stingrību vai noturību raksturojošos parametrus. Stieņu sistēmu elementi shematiskitiek attēloti ar līniju, kura tiek veidota savienojot stieņu asij perpendikulārošķēlumu smagumcentrus. Ārējo faktoru iespaidā būves deformējas un rodas to formasizmaiņas. Būvniecībā galvenie ārējie faktori ir slodze, temperatūra, balstu sēšanās.<strong>Visa</strong>s būves deformēšanās vai formas maiņas cēlonis ir tās atsevišķo stieņu bezgalamazu elementu deformēšanās rezultāts - izmainās šo mazo elementu forma un izmēri.Deformēšanās rezultātā praktiski katrs būves punkts ieņem jaunu stāvokli. Punkta stāvokļamaiņu būves deformēšanās procesā sauc par pārvietojumu. Punkta pārvietošanosnosaka tā koordinātu maiņa. Izšķir divu veidu pārvietojumus - lineāros un lenķiskos.Ja pirmie ir būves punkta koordinātu izmaiņa deformēšanās rezultātā, tad otrie raksturostieņa šķēluma plaknes pagriezienu.Pārvietojumu aprēķini praktiski nepieciešami, lai :noteiktu būves stingrību;salīdzinātu teorētiskos un praktiskos pārvietojumus, veicot būvju apsekošanupēc to ekspluatācijas uzsākšanas un ilglaicīgas ekspluatācijas;veiktu statiski nenoteicamu sistēmu aprēķinu.Jebkurus pārvietojumus turpmāk apzīmēsim ar (vai ), pielietojot indeksus, piem., km . Pirmais indekss k norāda pārvietojuma vietu un virzienu, bet otrais indekss m –cēloni, kas izsaucis pārvietojumu. Tātad kP apzīmē k –tā spēka (vienības) pielikšanaspunkta pārvietojumu šī spēka (vienības) virzienā no ārējās slodzes (ja ar P apzīmējamvisu sistēmai pielikto ārējo slodzi). Pārvietojumus, kurus izraisījis vienības spēks, saucpar vienības pārvietojumiem un apzīmē ar . Piemēram, km apzīmē k –tā spēka (vienības)pielikšanas punkta pārvietojumu šī spēka (vienības) virzienā, ko izraisījis vienībasspēks m. Ja zināms pārvietojums, ko spēka k pielikšanas vietā un virzienā ir izraisījiskāds spēks P m , tad atbilstošo vienības pārvietojumu varam noteikt izmantojot sakarību202
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSkmkm .PmGadījumā ja meklējamā pārvietojuma un pieliktās slodzes vieta un virziens sakrīt, vienībaspārvietojuma noteikšanai varam izmantot sakarībukkkk .PkKlasiskās būvmehānikas ietvaros visi aprēķini tiek veikti tikai ideāli elastīgām sistēmām.Tādas sistēmas deformējas lineāri un tām ir pielietojams spēku darbības neatkarības princips(spēku sistēmas darbības rezultāts ir vienāds ar atsevišķo spēku darbības rezultātusummu). Saskaņā ar šo principu jebkurš pārvietojums uzdotā punktā un virzienā no vairākiem(m) spēkiem ir atsevišķo spēku izraisīto pārvietojumu algebriska summakP k1 k 2 ... kk ... km. (7.1) P P ... P ... Pk11k 22kkkLineārais likums, kuru izsaka sakarība (7.1) tiek saukts par vispārināto Huka likumu.kmm7.1. Ārējo un iekšējo spēku darbsLineāri deformējamu sistēmu pārvietojumu aprēķinu vispārīgās metodes balstās uz ārējoun starp sistēmas materiālām daļiņām darbojošos iekšējo spēku darbu analīzi. Ārējie spēkiveic darbu to pielikšanas punktu pārvietošanai, bet iekšējie - sistēmas deformēšanai.Darbu sauc par patieso, ja to būves deformēšanās procesā veic dotie spēki šo spēkuizraisīto pārvietojumu un deformāciju rezultātā.Darbu sauc par iespējamo, ja to veic dotie spēki citu ārējo spēku vai ierosinātāju radītopārvietojumu vai deformāciju rezultātā. Iespējamais ir tas darbs, ko veic spēki, kuri navizraisījuši konkrētos pārvietojumus, bet tos ir izraisījuši citi spēki.Vispārinātie spēki un pārvietojumiViens no elastīgu ķermeņu mehānisko īpašību raksturotājlielumiem ir spēka darbs.Konstanta, noteiktā virzienā vērsta spēka mehāniskais darbs ir šī spēka reizinājums arspēka pielikšanas punkta trajektorijas projekciju uz spēka darbības virzienu. Tātad ār-203
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSējie spēki veicot ķermeņa deformēšanu padara darbu. Vairāku spēku darbs ir atsevišķospēku veikto darbu summa. Būvmehānikā bieţi tiek izmantotas spēku grupas. Vienkāršākāno tām ir spēku pāris. Šī pāra lielums tiek mērīts ar tā momentu. Cits spēku grupaspiemērs ir vienmērīgi izkliedēta slodze. To raksturo tās intensitāte, t.i. spēka lielums uzgaruma vai laukuma vienību. Šādas spēku grupas ir ērti aizstāt ar vienu tā saucamovispārināto spēku P*. Analogi tiek ievests vispārinātā pārvietojuma * jēdziens.Līdz ar to vairāku konstantu spēku veikto darbuērti raksturot ar divu iedomātu lielumu, vispārinātāspēka un vispārinātā pārvietojuma, reizinājumu.Iepriekš teikto atspoguļo sakarība:P P* *k k.Daţi piemēri:Divi spēki P, kuri darbojas punktos a un b, pārvietojušiesuz punktiem a 1 un b 1 (att. 7.1a).att. 7.1Šo spēku darbu izsaka sakarība* * PP .1 P2 P1 2Tātad spēku P var pieņemt par vispārināto spēku P*, bet punktu a un b attālināšanosspēku P virzienā, ko nosaka izteiksme ( 1 + 2 ) par vispārināto pārvietojumu *.Spēku pāris, kurš pielikts nogrieţņa galiem (att. 7.1b),pagrieţ šo nogriezni, veicot darbu h P Ph P .att. 7.2Šai gadījumā par vispārināto spēku pieņem momentuM=Ph, bet par vispārināto pārvietojumu pagriezienaleņķi .Sijas posms ir slogots ar att. 7.2 parādīto spēku grupu.Ja katra spēka virzienā sija pārvietojas par lielumiem 1 , 2 , 3 , tad spēku grupas veiktodarbu nosaka sakarība204
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS* * 2 PP 2 .1 P2 3P3 P1 23Tātad vispārinātais spēks P* ir spēks P, bet vispārināto pārvietojumu nosaka sakarība:* 1 22 33.3Statiski pieliktas ārējās slodzes darbs. Klapeirona teorēmaPar statisku slogojumu saucam pakāpenisku, vienmērīgu slodzes palielināšanas (pazemināšanas)procesu, kura rezultātā ķermenis deformējas bez jūtama paātrinājuma. Citiemvārdiem - statisks būs process, kurā deformācijas notiek pietiekami lēni. Praktiskiprocesu var uzskatīt par statisku, ja deformējamās masas inerces spēki ir bezgalīgi mazisalīdzinot ar citiem spēkiem. Šai gadījumā varam ignorēt inerces spēkus un uzskatīt,ka jebkurā laika momentā ārējos spēkus līdzsvaro iekšējie elastīgie spēki. Uz šī pieņēmumapamata un pieņēmuma, ka starp spēkiem un pārvietojumiem pastāv lineāra sakarība,nonākam pie secinājuma, ka laika sprīdī, kurā notiek ķermeņa deformācija, ārējāslodze nevar būt konstanta. Deformācijas pieaugums liecina par spēka pieaugumu.Sākuma momentā darinājumam tiek pielikta bezgalīgimaza slodzes daļa, kura slogojuma gaitāpieaug. Proporcionāli tai pieaug arī deformācija.Tad, kad visa slodze ir pielikta, tās pieaugums izbeidzasun izbeidzas arī deformēšanās. Iestājasmiera stāvoklis. No iepriekš teiktā seko - ja uzķermeni, kuram nav sākumspriegumu, darbojasstatisks vispārināts spēks P un tā rezultātā ķermenisiegūst vispārinātā pārvietojuma vērtību , taddarbs, kas veikts ķermeņa deformēšanai nebūs P, bet gan mazāks lielums. Apzīmējam mainīgo ārējo slodzi ar X, bet attiecīgo mainīgāpārvietojuma vērtību ar . Pieaugot pārvietojumam par bezgalīgi mazu lielumu d, tiksveikts darbsatt. 7.3dW Xd .205
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSTā kā esam pieņēmuši, ka materiāls deformējas lineāri, tad šāda materiāla deformēšanāslikumu raksturo slīpa taisne (att. 7.3), bet summāro darbu, ko statiskā slogojumagadījumā veic spēks P, raksturo iesvītrotais figūras laukums. Šī laukuma lielums irP / 2.Izmantojot sakarību P , kur ir vienības slodzes izraisītais pārvietojums, spēkaP veikto darbu statiskā slogojuma gadījumā nosaka Klapeirona teorēma (Clapeyron(1799 – 1864) – franču inţenieris):W P21 2P22 2 .Veicot pārvietojumu aprēķinus bieţi nākasnoteikt elastīga ķermeņa deformēšanās darbuvairāku vienlaicīgi darbojošos vispārinātospēku P 1 , P 2 … P n statiskas iedarbībasatt. 7.4rezultātā. Tāds, piemēram, ir gadījums, kadsija vienlaicīgi slogota ar vairākiem daţādos šķēlumos pieliktiem spēkiem (att. 7.4).Spēkus P 1 , P 2 , P 3 , P 4 var uzskatīt par vispārinātiem spēkiem, bet pārvietojumus 1 , 2 , 3 , 4 par šo spēku izraisītiem summāriem pārvietojumiem ( 4 ir šķēluma B pagriezienaleņķis). Pieņemot, ka sijas noslogošanas procesā darbojas mainīgi spēki kP 1 , kP 2 ,kP 3 , kP 4 , kur k ir šo spēku izmaiņu raksturojošs parametrs, kas mainās robeţās no 0līdz 1, var pierādīt, ka1W P i 2i.Svarīgi ņemt vērā, ka elastīgu sistēmu summārais darbs nav atkarīgs no ārējās slodzespielikšanas secības.Plakanu stieņu sistēmu iekšējo piepūļu darbsSlogojot konstrukciju ar ārējo slodzi tiek veikts ne tikai ārējo spēku darbs, bet arī iekšējopiepūļu (asspēka N, šķērsspēka Q un lieces momenta M), kuras rodas jebkurā deformējamāelementā, darbs. Visi turpmākie rezultāti ir pielietojami plakanām stieņu206
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSsistēmām, pie kam tādām, kuras sastāv no taisniem, lauztiem vai vāji izliektiem stieņiem.Par iekšējām piepūlēm uzskatām ārējai slodzei pretēji vērstas piepūles, kuras uzspēku darbības un pretdarbības likuma pamata rodas jebkurā elementa šķēlumā. Šīspiepūles vienmēr pretojas deformācijai. Bezgala īsa stieņa elementam ar garumu ds,iekšējās piepūles attiecībā uz šo elementu ir piepūles, kuras aizvieto pārējo stieņa daļuiedarbību uz šo elementu. Ja šāds elements ir stiepts, tad iekšējie spēki vērsti uz tāiekšpusi, ja spiests, tad pretēji. Pamatojoties uz to, varam secināt, ka slogotam ķermenimiekšējo piepūļu darbs vienmēr ir negatīvs. Šis secinājums, protams, ir spēkā, jaslogotajam ķermenim nav sākumspriegumu, kuru cēloņi varētu būt daţādi - tehnoloģiskas,strukturālas vai fizikālas dabas. Katras piepūles darbu nosaka neatkarīgi, betiegūtos rezultātus sasummē. Šī summēšana ir pamatota, ja izpildās iepriekš izvirzītienosacījumi par stieņu formu. Ja stieņa ass ir līka ar lielu liekumu, tad vienas iekšējāspiepūles izraisītos pārvietojumus nevar uzskatīt par neatkarīgiem no pārējām piepūlēmun superpozīcijas princips neizpildās. Asspēka N elementāro darbu, ņemot vērā Hukalikumu ( NdsEA2N dsW N .2EA), nosaka izteiksmeAnalogi lieces momenta M elementāro darbu nosaka izteiksme2M dsW M .2EIVar parādīt, ka šķērsspēka Q elementārā darba izteiksme ir2Q dsW Q .2GAReizinātājs ievērtē bīdes spriegumu sadalījuma nevienmērību pa stieņa profila augstumuun ir atkarīgs no stieņa šķērsgriezuma formas. Tā vērtības ir: taisnstūrim =1,2,aplim =1,185, apaļa šķērsgriezuma plānsienu caurulei =2, bet taisnstūra veidašķērsgriezuma plānsienu caurulei vai dubult T profilam A/A s , kur A ir visašķērsgriezuma laukums, bet A s - vertikālās sieniņas laukums (šī vērtība parasti mainās207
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSintervālā no 2 līdz 5).Summējot šos trīs elementāros darbus visos sistēmas elementos, iegūstam iekšējo piepūļudarba izteiksmi:W222 M ds N ds Qds . 2EI2EA2GAIekšējo piepūļu summāro darbu ar pretēju zīmi sauc par elastīga ķermeņa iekšējo piepūļupotenciālo enerģiju. Saskaņā ar šo definīciju varam apgalvot, ka potenciālā enerģijair iekšējo piepūļu darbs, kas tiek veikts atslogojot elastīgu ķermeni.Plakanas stieņu sistēmas gadījumā potenciālo enerģiju nosaka izteiksme:U2M ds2EI2N ds2EA2Qds2GA.Summēšana notiek pa sistēmas posmiem, bet integrēšana katra posma robeţās pa posmagarumu. Tātad tie ir noteiktie integrāļi, kuru integrēšanas robeţas analizēsim turpmākajāizklāstā.Ņemot vērā to, ka zemintegrāļu izteiksmēs ir piepūļu M, N, Q kvadrāti, varam secināt,ka potenciālās enerģijas vērtība vienmēr ir pozitīva.Telpisku stieņu sistēmu gadījumā jāņem vērā, ka potenciālās enerģijas izteiksme saturtrīs momentus (divus lieces un vienu vērpes), divus šķērsspēkus un asspēku.Svarīgi atzīmēt, ka darbs nav proporcionāls slodzei. Līdz ar to ķermeni deformējošuspēku darbs nepakļaujas spēku darbības neatkarības principam un vairāku vienlaicīgipieliktu slodţu summārais darbs nav vienāds ar atsevišķu slodţu veikto darbusummu.Tā, piemēram, stieņa stiepes gadījumā ar spēku P 1 veiktais darbs iršo spēku palielina par lielumu P 2 , tad veiktais darbs ir2P1W1 , bet ja 2 EAW122 2 2( P1 P2) P1 P2 P1P2 .2EA2EA2EAEA208
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSŠai izteiksmē pirmie divi saskaitāmie atbilst atsevišķu spēku P 1 un P 2 veiktajiem darbiem,bet trešais saskaitāmais ņem vērā spēku P 1 un P 2 mijiedarbību. To var izskaidrotšādi. Uz stieni iedarbojas spēks P 1 un veic darbu W 1 . Pēc tam, kad ir iestājies līdzsvarastāvoklis, stienim pieliek spēku P 2 . Tas izraisa stieņa papildus pagarinājumu par lielumu 2 =P 2 /EF un tiek veikts darbs W 2 = P 2 2 /2EF. Šī papildus pagarinājuma dēļ, spēkaP 1 pielikšanas punkts tiek pārvietots par lielumu 2 , pie kam šis jau stieņa uzņemtaisspēks P 1 palicis nemainīgs. Tātad spēks P 1 veic papildus darbu, kura lielums irW papP P P 2121.EASvarīgi ņemt vērā, ka šī papildus darba vērtība atšķiras no statiskos slogojumos veiktodarbu vērtībām ar koeficientu 2.Tātad katra jauna slodze veic iepriekšējo slodţu pielikšanas punktu pārvietojumus unlīdz ar to liek iepriekšējām slodzēm veikt papildus darbu.7.2. Iespējamo pārvietojumu principa pielietojums elastīgām sistēmāmPieņemam, ka elastīga sistēma atrodas līdzsvara stāvoklī un šo stāvokli uzskatām parsākumstāvokli neatkarīgi no tā, kādas slodzes uz sistēmu iepriekš ir darbojušās. Iedomājamiesšīs sistēmas punktu iespējamus (virtuālus) bezgala mazus pārvietojumus,kuru cēlonis var būt patvaļīgu bezgala mazu piepūļu, temperatūras vai balstu sēšanāsiedarbība. Nebūt nav nepieciešams, lai šie iespējamie pārvietojumi būtu sākumstāvokļaslodţu rezultāts. Pieņemam, ka laikā, kurā sistēmā realizējas iespējamie pārvietojumi,sistēmas sākumstāvokli raksturojošās ārējās un iekšējās piepūles gan pēc lieluma, ganpēc virziena saglabājas nemainīgas. Tas ir pieņēmums par to, ka visas iekšējās un ārējāspiepūles saglabājas tādas, kādas tās bija sistēmas sākumstāvoklī, jo zināms, ka sistēmaipārejot jaunā deformētā stāvoklī, notiek tās piepūļu pārdalīšanās. Svarīgi ņemtvērā šo būtisko atšķirību starp sistēmas patieso deformēšanās procesu un nosacīto deformēšanāsprocesu, kurš ņemts par pamatu izmantojot iespējamo pārvietojumu principu.Ārējo un iekšējo spēku darbu, kurš atbilst sistēmas iespējamiem (virtuāliem) pārvieto-209
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSjumiem, sauc par iespējamo vai virtuālo darbu.Jāatceras, ka virtuālā darba gadījumā, tā vērtība aprēķināma ar attiecīgā spēka un pārvietojumareizinājumu (nevis 0,5 no šī reizinājuma).Iespējamo pārvietojumu principu jebkurai deformējamai sistēmai var formulēt sekojoši:ja sistēma pieliktās ārējās slodzes rezultātā atrodas līdzsvarā, tad jebkurā sistēmaspunktā iespējamā bezgalīgi mazā pārvietojuma gadījumā, šīs sistēmas iekšējo un ārējospēku summārais darbs vienāds ar nulli.Šo principu var lietot jebkurai līdzsvarotai sistēmai neatkarīgi no materiāla veida, kurš varbūt absolūti ciets, plastisks, viskozs u.c. Elastīgas sistēmas atšķiras no pārējām ar to, katajās nav veicamā darba zudumu berzes pārvarēšanai, siltuma radīšanai un izdalīšanai,elektromagnētiskās vai ķīmiskās enerģijas izdalīšanai, kā tas ir iespējams neelastīgās vidēs.Šis nosacījums ir pamatā sekojošam secinājumam: elastīgām, tai skaitā lineāri deformējamāmsistēmām summārais iekšējo spēku darbs iespējamo pārvietojumu gadījumāir atkarīgs tikai no sākuma un beigu stāvokļiem. Tas nav atkarīgs no tā, kādā veidā unkādā secībā pielikta slodze, kādi bijuši starpstāvokļi starp sākuma un beigu stāvokļiem.Ja beigu stāvoklis sakrīt ar sākumstāvokli, tad neatkarīgi no tā kādi bijuši elastīgās sistēmasstarpstāvokļi, iekšējo spēku summārais darbs vienmēr būs nulle.Izmantojot virtuālo (iespējamo) pārvietojumu principu, var pierādīt teorēmu: elastīgaisistēmai ārējās slodzes rezultātā pārejot no nedeformēta stāvokļa līdzsvarotā deformētāstāvoklī, summārais darbs, ko veic ārējās un iekšējās piepūles ir vienāds ar nulli.Tādā gadījumā ārējās slodzes patiesais darbs pēc vērtības vienāds, bet pretēji vērstsiekšējo piepūļu patiesajam darbam. Ārējo slodţu patieso darbu ar pretējo zīmi saucampar elastīgas sistēmas deformēšanas potenciālo enerģiju. Šī enerģija raksturo deformētāssistēmas darba resursu, kuru var iegūt sistēmu atslogojot. Tādēļ saka, ka ārējo spēkuveiktais darbs elastīgā sistēmā uzkrājas atgriezeniskā formā. Šis darbs nezūd un neizkliedējas.7.3. Darbu savstarpīguma principsAnalizējam divus daţādus elastīgas lineāri deformējamas sistēmas stāvokļus, kuri at-210
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSbilst divām daţādām slodzēm. Uzskatām, kas abos stāvokļos sistēma ir līdzsvarā, t.i.iekšējās piepūles līdzsvaro ārējo slodzi.Pirmais stāvoklis. Sistēmu pakāpeniski sākam slogot ar pirmā veida slodzi. Tā rezultātāsistēma deformējas un slodze ir veikusi darbu W 11 . Kad šis process beidzies, pakāpeniskisistēmu slogojam ar otrā veida slodzi, kura izraisa papildus deformācijas. Šīsslodzes darbu apzīmējam ar W 22 . Jāņem vērā, ka otrā veida slodze izraisot sistēmasdeformācijas veic darbu ne tikai pati, bet arī pārvieto pirmās slodzes pielikšanas punktus,tādā veidā izraisot pirmās slodzes papildus darbu. Šo papildus darbu apzīmējamar W 12 . Līdz ar to summārais darbs, kurš tiek veikts deformējot sistēmu secīgā slogojumāar pirmā veida slodzi un pēc tam ar otrā veida slodzi, ir algebriska summaW 11 +W 22 +W 12 . Pirmie indeksi norāda, kuri spēki veic darbu, bet otrie - kuru spēku iespaidārodas attiecīgie pārvietojumi.Otrais stāvoklis. Sistēma tiek slogota apgrieztā kārtībā - vispirms tiek pielikta otrāveida slodze, bet pēc tam pirmā veida slodze. Rezultātā tiek veikts darbs, ko nosakaizteiksme W 22 +W 11 +W 21 . Šeit W 21 - otrā veida ārējās slodzes darbs, ko izraisa pirmāveida slodze.Katrā no šiem gadījumiem summārais ārējās slodzes darbs pēc absolūtās vērtības irvienāds ar iekšējo piepūļu darbu summu jeb potenciālo enerģiju. Kā zināms, šī enerģijaelastīgu sistēmu gadījumā nav atkarīga no slodţu pielikšanas kārtības, bet ir atkarīgatikai no sistēmas sākuma un beigu stāvokļa. Šie stāvokļi abos gadījumos ir vienādi.TātadWun līdz ar to11 W22W12 W22W11W21W12 W 21.Šis arī ir pierādījums darbu savstarpīguma teorēmai: lineāri deformējamā ķermenīpirmā slogojuma stāvokļa ārējā vai iekšējo spēku virtuālais darbs pārvietojoties otrāslogojuma stāvokļa rezultātā ir vienāds ar otrā slogojuma stāvokļa virtuālo darbu, jaattiecīgos pārvietojumus izraisa pirmais slogojuma stāvoklis.Šī teorēma literatūrā pazīstama kā Bettī teorēma. Enrico Betti (1823-1892) - itāļu zinātnieks,kurš pirmais šo teorēmu publicējis.211
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSTeorēma par darbu savstarpīgumu ir viena no svarīgākajām visā lineāri deformējamusistēmu teorijā. Tā ir vienkārša no formulējuma viedokļa, dziļa pēc satura un plaša pēcpielietojuma iespējām.Uz Bettī teorēmas pamata pierādāma otra lineāri deformējamu sistēmu teorijā plašiizmantojama teorēma. Tā ir pārvietojumu savstarpīguma, jeb Maksvela teorēma.Teorēma ir sekojoša: pirmā vienības spēka pielikšanas punkta pārvietojums šī spēkavirzienā, kuru ierosina otrais vienības spēks, ir vienāds ar otrā vienības spēka pielikšanaspunkta pārvietojumu šī spēka virzienā, kuru ierosina pirmais vienības spēks.Tātad (pirmais indekss norāda pārvietojuma vietu un virzienu, otrais cēloni,ijjino kura radies šis pārvietojums).Šie pārvietojumi ir relatīvi lielumi, jo tie attiecas uz vispārinātā spēka vienību. Tātadšādu pārvietojumu dimensiju nosaka sakarība:visparinatais parvietojums12.visparinatais darbsSkaitītājam ir pārvietojuma dimensija (lineāra vai leņķiska), bet saucējam koncentrētaspēka (N) vai momenta (Nm) dimensija.Uz darbu savstarpīgumu teorēmas pamata pierādāma teorēma par reakciju savstarpīgumu. To 1873.g. pierādīja Relejs un tā formulējama sekojoši:Reakcija pirmajā saitē no otrās saites vienības pārvietojuma šīs saites virzienā ir vienādaar reakciju otrajā saitē no pirmās saites vienības pārvietojuma tās virzienā.Šī teorēma ir spēkā neatkarīgi no reakciju dimensijām, jo skaitliski abas reakcijas irvienādas.7.4. Potenciālās enerģijas parciālie atvasinājumiSaskaņa ar Klapeirona vienādojumu ar ārējiem spēkiem slogota elastīga ķermeņa potenciāloenerģiju nosaka sakarībaU1 P.....211 P22 P nn ,212
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSkur i ir spēka P i pielikšanas punkta summārais pārvietojums spēka darbības virzienā.Summāro pārvietojumu nosaka vispārinātais Huka likums P .... P .i1 i1 P2i2Ievietojot šīs sakarības potenciālās enerģijas izteiksmē, iegūstamninU12nn n2iiPii1 k1 i1 PP.ikikIr zināms, ka potenciālā enerģija vienmēr ir pozitīva. Pieņemam, ka visi spēki P 1 , P 2…. P n ir neatkarīgi mainīgie. Aprēķinot potenciālās enerģijas parciālo atvasinājumu pēckāda no mainīgajiem, piem.P 1 , iegūstam:U1 1P12 11 12 P1P PP PP..... PP . P P P ...P 1121112232113Iegūtā sakarība ļauj formulēt teorēmu:Potenciālās enerģijas parciālais atvasinājums pēc kāda no spēkiem ir vienāds ar spēkapielikšanas punkta pārvietojumu spēka darbības virzienā.Šo teorēmu pierādīja jau minētais itāļu inţenieris Kastiljano.Tās būtība - ja ir zināma slogotas elastīgas sistēmas potenciālās enerģijas funkcija noārējiem spēkiem (to varētu, piemēram, noteikt, kā sistēmas iekšējo piepūļu integrāli),tad diferencēšanas rezultātā iespējams noteikt sistēmas pārvietojumu jebkuras tai pieliktāsārējās piepūles virzienā.Tātad Kastiljano teorēma dod vienu no iespējamiem pārvietojumu noteikšanas paņēmieniem.Elastīgas sistēmas potenciālo enerģiju var izteikt arī kā funkciju no spēku pielikšanaspunktu pārvietojumiem. Tādā gadījumā pielietojot iepriekšējai analogu procedūru, iegūstamLagranţa teorēmu: potenciālās enerģijas atvasinājums pēc spēka pielikšanaspunkta pārvietojuma ir vienāds ar pielikto spēku.31n1n31121n1n1213
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS7.5. Stieņu sistēmu pārvietojumu aprēķina vispārīgā formaElastīgas sistēmas jebkura punkta pārvietojums atkarīgs no sistēmas deformācijas, t.i.no jebkura stieņa relatīvā pagarinājuma vai saīsinājuma, tā izlieces u.c. Bet šīs deformācijassavukārt ir atkarīgas no lieces un vērpes momentiem, asspēkiem un šķērsspē-214att. 7.5Piemērs 7.1 Noteikt att. 1.5 parādītās divbalstusijas pārvietojumus balstā un vidū, jatā slogota galos ar momentiem M 1 un M 2 ,bet vidū ar koncentrētu spēku P.Atrisinājums.Ja Px x x , tad M M1 M ,22 x2 P x x M1 M .2 2 ja , tad M= xx2Tādā gadījumā potenciālo enerģiju nosaka izteiksme: 2M dx 22 2 2 16M16M P 16M M 6MP 6MP.U121 2 122EI96E0Tātad, lai noteiktu, piemēram, pagriezienu 1 , iegūtā potenciālās enerģijas izteiksmejāatvasina pēc M 1 , bet lai iegūtu izlieci 3 , tā jāatvasina pēc P, u.t.t.Tā rezultātā iegūstam:13UMUP1196EI96EI216M116M2 6P M3EI3 222P 2P 6M1 6M2 M1 M248EI1 M6EI16EI22 P16EI.16EIGadījumā, ja koncentrēts spēks uz siju nedarbojas, bet izlieci sijas vidū tomēr jānosaka,tad iepriekš iegūtie rezultāti paliek spēkā, tikai pārvietojuma 3 izteiksmē jāievieto vērtībaP=0.
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSkiem stieņu šķēlumos. Tātad, lai noteiktu sistēmas deformācijas un pārvietojumus, vispirmsjānosaka piepūles jebkurā stieņa šķēlumā. Ja aprobeţojamies ar plakanām stieņusistēmām, tad šādas piepūles ir trīs - asspēks, šķērsspēks un lieces moments.Turpmāk tiks analizēti trīs pārvietojumu rašanās cēloņi - ārējo spēku, temperatūras unbalstu nobīdes iedarbe.Lai iegūtu sakarību, kura piemērojama visa veida plakanām sistēmām - sijām, rāmjiem,kopnēm, lokiem, izmantojam virtuālo pārvietojumu principu. Tas apgalvo: līdzsvaragadījumā ārējo un iekšējo spēku virtuālo darbu summa katram virtuālam pārvietojumamir vienāda ar nulli.Apskatām divus sistēmas stāvokļus - doto un virtuālo stāvokli.Saskaņā ar virtuālo pārvietojuma principu ārējo un iekšējo spēku darbu summa ir vienādaar nulli:A W 0,kur A ir vienības ārējā spēka darbs un to nosaka sakarībaA 1 ip.Iekšējo piepūļu darbs izsakās kā bezgalīgi mazu darbu, kuri tiek veikti katra stieņabezgala īsos (ds) elementos, summa:W s0sM d N d Q d,i0is0ikur d, d un d ir elementa pagrieziena leņķis, pagarinājums un šķēlumu nobīde. Šoselementāros pārvietojumus nosaka materiālu pretestības sakarības:dMpdsNpdsQpds; d ; d.EIEAGAIevietojot šīs sakarības W izteiksmē un ņemot vērā virtuālo pārvietojumu principu, iegūstamsakarību:ips0M MiEIpds s0N NiEApsQiQpds ds . (7.2)GA0215
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSŠo izteiksmi, kura dod iespēju aprēķināt pārvietojuma lielumu jebkurā patvaļīgā sistēmasšķēlumā bieţi sauc par Mora integrāli.Jāatceras, ka šī sakarība ir spēkā pie nosacījuma, ka deformācijas ir pietiekami mazas,jo tikai tādā gadījumā ir pielietojams spēku darbības neatkarības princips, kurš izmantotssakarības (7.2) izvedumā.Kā tika atzīmēts iepriekš, ka stieņi var būt arī līki, bet ar nelielu liekumu. Ja stieņu liekumsir liels, tad stieņa elementu pagarinājumu izraisa ne tikai ass spēks N p , bet arīlieces moments M p , tā rezultātā izteiksmes (7.2) labajai pusei jāpievieno vēl divi saskaitāmie,kuri satur stieņa liekuma rādiusuAnalizējot ar izteiksmi (7.2) noteiktos pārvietojumus, varam konstatēt, ka siju un rāmjusistēmām, kurām stieņu garumi ievērojami pārsniedz to šķērsgriezumu augstumus, asspēkaun šķērsspēka iespaids uz pārvietojumiem ir visai niecīgs. Tātad minētajos gadījumosstieņu sistēmu pārvietojumu aprēķinam no ārējās slodzes, var izmantot vienkāršotusakarībuM iM pip ds . (7.3)EI0Aprēķina piemēros tiks ilustrēta kļūda, kura rodas šī pieņēmuma rezultātā. Praktiski patneizdevīgākajos gadījumos pieņēmuma izraisītās pārvietojumu vērtību atšķirības nepārsniedzdaţus procentus un tātad iekļaujas izkliedes robeţās.Ja kopni uzskatām par stieņu sistēmu, kuras elementi savā starpā savienoti ar locīklām,tad šajos stieņos nerodas ne lieces momenti, ne šķērsspēki, bet asspēki ir konstanti katrāstienī visā tā garumā un sistēmas pārvietojumus nosaka sakarībaipnj1NiNEAp . (7.4)Summētas tiek attiecīgās izteiksmes visiem kopnes stieņiem.7.6. Ārējās slodzes izraisīto pārvietojumu noteikšanaLai aprēķinātu pārvietojumu no ārējās slodzes kādā apskatāmās sistēmas stieņa šķēlu-216
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSmā k, izmantojam Mora integrālikPnMkMEI EA GAi1liiPds nNkNPi1liinQkQPds ds . (7.5)i1liiŠajā formulā summēšana notiek pa sistēmas n posmiem ar posmu saprotot kādu sistēmasdaļu, kurā iekšējās piepūles (gan no vienības spēka, gan ārējās slodzes) mainās pēcviena nemainīga likuma. Katra šāda posma robeţās jāveic integrēšana pa posma garumuli. Vispārīgā gadījumā, rēķinot pārvietojumus no daţādām piepūlēm, posmi varnesakrist.Izteiksmē (7.5) ar E apzīmēts stieņa materiāla elastības modulis, G – bīdes modulis, I –stieņa šķērsgriezuma inerces moments, A - stieņa šķērsgriezuma laukums.Izmantojot pārvietojuma noteikšanai sakarību (7.5), ir jāanalizē divi neatkarīgi sistēmasstāvokļi:1. patiesais, jeb slodzes stāvoklis;Šajā stāvoklī sistēma ir slogota arārējo slodzi. Jāiegūst iekšējo piepūļuMP,NPunQPizmaiņas likumsatkarībā no šķēluma koordinātes katramsistēmas posmam analītisku sakarībuvai vēl labāk iekšējo piepūļuepīru veidā.2. fiktīvais, jeb vienības stāvoklis.att. 7.6atkarīgs no nosakāmā pārvietojuma veida:Ārējā slodze tiek atmesta un sistēmatiek slogota ar „vienības spēku” (vai‘’vienības momentu’’) nosakāmāpārvietojuma vietā un virzienā.Jēdziena „vienības spēks” saturs ira) nosakot kāda sistēmas šķēluma lineāru pārvietojumu šajā šķēlumā meklējamā217
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSpārvietojuma vietā un virzienā pieliekam vienības spēku (att. 7.6b – šķēluma C vertikālaispārvietojums, att. 7.6c – šķēluma B horizontālais pārvietojums);b) nosakot divu šķēlumu savstarpējo pārvietojumu, šajos šķēlumos pieliekam divuspretēji vērstus vienības spēkus, kuri darbojas pa taisni, kura savieno šos šķēlumus (att.7.6f,h - šķēlumu C un D savstarpējais pārvietojums pa taisni, kas savieno šos šķēlumus,att. 7.7b – divu kopnes mezglu savstarpējais pārvietojums);c) nosakot šķēluma pagrieziena leņķi šajā šķēlumā pieliekam vienības momentu (att.7.6d – šķēluma pa kreisi no balsta B pagrieziena leņķis);Gadījumā, ja jānosaka kāda kopnes stieņa pagrieziens, piemēram, att. 7.7c parādītāskopnes stieņa CE pagrieziens, momentu aizstājamar spēkpāri, kura spēki ir pielikti stieņa galosperpendikulāri stieņa asij (spēkpāra plecs ir vienādsar attiecīgā stieņa garumu).att. 7.7d) nosakot divu šķēlumu savstarpējo pagriezienaleņķi šajos šķēlumos pieliekam divus pretējivērstus vienības momentus (att. 7.6e – šķēlumuC un D savstarpējais pagrieziena leņķis, att.7.6i – šķēlumu abās pusēs locīklai C savstarpējaispagrieziena leņķis).Vienības stāvoklī nosakām iekšējo piepūļuM k ,N k unQkizmaiņas likumsakarības visos stieņos analītiskā vai epīru veidāSistēmas slodzes un vienības stāvokļos noteiktās iekšējo piepūļuN k , unMP,NP,QP,M k ,Qkizmaiņas likumsakarības ievietojam Mora integrālī un nosakām attiecīgospārvietojumus. Iegūtā pārvietojuma vērtība var būt kā pozitīva, tā arī negatīva. Pārvietojumazīme norāda uz pārvietojuma virzienu, Gadījumā, ja atbilstoši sakarībai (7.5)noteiktais pārvietojums ir pozitīvs, tad pārvietojuma virziens sakrīt ar pieliktā vienībasspēka virzienu. Negatīva pārvietojuma vērtība norāda uz to, ka pārvietojums vērsts pretējipieliktā vienības spēka virzienam.218
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS7.7. Pārvietojumu izskaitļošanas tehnikaTurpmāk apskatāmās pārvietojumu aprēķina metodes ar Mora formulu atšķiras ar to,kādā veidā tiek aprēķināts integrālis l iatt. 7.8MkMPdx , pieņemot, ka pārvietojumi tiek rēķinātitikai no lieces momentiem, kātas ir pieņemts sijām un rāmjiem.Parasti lieto vienu no trim iespējamiemvariantiem - tiešo integrēšanu,Vereščagina paņēmienu vai Simpsonaformulu.Izmantojot tiešo integrēšanu jāveicmomentu funkciju reizinājuma integrēšana.Praktiskos aprēķinos tas bieţirada neērtības gan zemintegrāļu funkcijuanalītisko izteiksmju noteikšanā,gan to integrēšanā. Tādēļ ir saprotama tendence Mora integrāļu izskaitļošanu vienkāršot.Pazīstamākie paņēmieni ir Vereščagina paņēmiens un Simpsona formulas izmantošana.Aprēķinot pārvietojumu ar tiešās integrēšanas paņēmienu katram sistēmas posmamnepieciešams zināt iekšējo piepūļu izmaiņas likumu analītiskā veidā kā funkciju nokoordinātes x (attāluma no posma sākuma). Apskatīsim piemēru.Piemērs 7.2. Noteikt šķēluma C horizontālo pārvietojumu att. 7.8 parādītajam rāmim.Atrisinājums. Pārvietojuma aprēķinā summēšana jāveic diviem posmiem. Katra posmarobeţās jāatrod integrālis pa posma garumu. Katram posmam nepieciešamas izteiksmes,kas raksturo lieces momenta maiņas likumu divos sistēmas stāvokļos – slodzesun vienības. Slodzes stāvoklī lieces momenta lielumu rāmja posmos nosaka izteiksmes112M P qx122222; ql 2 qx / 2 .M PPar pozitīviem pieņemti momenti, kas stiepj rāmja ārpusi. Nosakot lieces momentusvienības stāvoklī jāizmanto šis pats zīmju likums.2192
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSVienības stāvoklī lieces momenta vērtības rāmja posmos atrodam izmantojot sakarības1122M 1 0 ; M 1 1x2.Ievietojam atrastās momentu izteiksmes Mora formulā un integrējot atrodam pārvietojumu:1Pqx ql 2l 22l 2 22 2l11ql EI 02 2EI2 4EI0012 0 dx 1x2dx2 0 x2dx22l2 244q 3 ql x2q x23ql x dx4EI 2 2 .4EI2 4EI4 2EI02l0Rezultāts iegūts ar mīnus zīmi, tātad pārvietojuma virziens ir pretējs pieliktā vienībasspēka virzienam sistēmas vienības stāvoklī.qx2l0Piemērs 7.3. Novērtēt lieces momenta un šķērsspēkaiespaidu uz nemainīga šķēluma viena materiālakonsolsijas brīvā gala vertikālo pārvietojumu vienmērīgiizkliedēta slogojuma gadījumā (att. 7.9a).Atrisinājums. Pārvietojumu punktā K nosaka sakarība(asspēki apskatāmajā piemērā neveidojas):kP kP( M) ( Q),kPkurkPMkMP( M ) dx;EIQkQPkP( Q) dx .GASummēšana pārvietojumu kP (M) un kP (Q) aprēķināveicama posmiem ar atšķirīgām momentu unatt. 7.9šķērsspēku aprēķina analītiskajām izteiksmēm. Dotajāgadījumā tādi posmi ir divi: neslogots sijas posms KB robeţās no x=0 līdz x=a unar izkliedētu slodzi slogots posms BC robeţās no x=a līdz x=l=a+b. Attiecīgo funkcijureizinājumi (M p M k un Q p Q k ) tiek integrēti konkrēto posmu robeţās.220
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSPosmā KB ir spēkā sekojošas izteiksmes iekšējo piepūļu noteikšanai:slodzes stāvoklī (att. 7.9a)M 0 ; Q 0;( 0 x a )Pvienības stāvoklī (att. 7.9b)PM k x ; Q 1. ( 0 x a )Posmā BC iekšējās piepūles nosaka sakarības:slodzes stāvoklī (att. 7.9a)kM P2q(x a) ; Q P qx a;( a x l )2vienības stāvoklī (att. 7.9b)M k x ; Q 1. ( a x l )kTā kā tika izdarīts pieņēmums, ka visa sija izgatavota no viena materiāla un tās šķērsgriezumsvisas sijas garumā nemainās, tad attiecīgos pārvietojumus nosaka sakarības:al21 q(x a)( M ) 0 xdx xdx,EI 20ak al1 ( Q) 0 1dx q(x a dx.GA 0a k)Izpildot integrēšanu, iegūstamkk3qb( M ) (4a 3b),24EI.2qb( Q) .2GATātad slodzes izraisīto vertikālo pārvietojumu punktā K nosaka sakarība22qb 4ab 3bkp ( ) .2 12EIGALai novērtētu šķērsspēka lomu pārvietojuma kp aprēķinā, sastādām attiecību221
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSk( Q)kp1.4a 3bGA1b12 EIŠī attiecība nav atkarīga no pieliktās slodzes intensitātes, bet gan no tās izvietojuma unno darinājuma šķērsgriezuma raksturotājiem un materiāla elastīgajām īpašībām.Tabulā 7.2 sniegti izskaitļojumu rezultāti vairāku viena garuma, bet daţāda materiālaun profila stieņiem. Saskaņā ar šiem rezultātiem lielākā šķērsspēka izraisītā izliece novērojamakoka sijai.Tabula 7.2Šķērsspēka iespaida novērtējums uz sijas pārvietojumiemStieņu veidia,mb,mA, J,cm 2 cm 4E,10 11 PaG,10 11 Pa k (Q),10 -5 m k (Q)/ kp , %T profila metālasija Nr10T profila metālasija Nr242 2 14,2 244 3,67 2 0,81 0,96 0,662 2 34,8 3460 2,82 2 0,81 0,068 2,9Egļu koka sija 2 2 40 333 1,2 0,1 0,055 14 0,63T profila metālasija Nr101 3 14,2 244 3.67 2 0,81 3 0,13Egļu koka sija 1 3 40 333 1,2 0,1 0,055 44 0,056Mora integrāļa aprēķinu var ievērojami vienkāršot izmantojot Vereščagina paņēmienu:ja viena no sareizināmajām epīrām ir ierobežota ar taisni, bet otrai ir patvaļīgaforma, tad integrāļa lM k MPdxvērtību var atrast kā patvaļīgās formas epīras laukuma() reizinājumu ar ordināti (y) pretī šī laukuma smaguma centram, kas ņemta noepīras, kas ierobežota ar taisni.222
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSIzteiksme MlkMsekojošas īpašības:Pdx yvar tikt izmantota Mora integrāļa aprēķinā, ņemot vērāTabula 7.3Epīru laukumi un smagumacentru ordinātasEpīra x 1 x 21. Reizinājums yir pozitīvs, ja laukums un ordināte y atrodas vienāpusē no stieņa ass un negatīvs, ja daţādās;kvadrātiska parabolakubiska parabolakvadrātiska parabolakvadrātiska parabolalh l/2 l/2lh/2 l/3 2l/3lh/3 l/4 3l/4lh/4 l/5 4l/52lh/3 l/2 l/22lh/3 3l/8 5l/82. Epīrai, no kuras ņemam laukumu,var būt jebkura forma, epīrai, no kurasņemam ordināti, obligāti jābūtierobeţotai ar taisni;3. Ja kādai no epīrām ir sareţģītaforma, to ieteicams sadalīt vienkāršāsfigūrās, kurām ir zināmas sakarībaslaukuma noteikšanai un smagumacentra novietojums (daţi laukumitab. 7.3) un izmantot sakarībuy y y ...y 1 1 2 2n n,kur - sareţģītās formas epīras laukums;y - šī laukuma smaguma centramatbilstošā ordināte no epīras, kasierobeţota ar taisni; , , 2... 1 n-vienkāršo figūru laukumi; y ,, y 1 2... y n- šo laukumu smagumu centriematbilstošās ordinātas.Tātad, pārvietojuma aprēķinam izmantojot Vereščagina paņēmienu, pielietojama sakarībakpni EI i1 yii.223
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSAnalogi algoritmi pielietojami arī šķērsspēkuQ pQkun asspēku NpNkgadījumos.224att. 7.10Pielietojot Vereščagina paņēmienu, epīru konstruēšanas gaitā jāseko, no kādiem laukumiemsastāv iegūtās epīras. Attēlā 7.10 parādīts rāmis divos slodzes stāvokļos (a unb) un tiem atbilstošās lieces momentu epīras. Neiedziļinoties epīru konstruēšanas procesā,šķiet, ka rēķinot punkta C vertikālo pārvietojumu, abos gadījumos posmam ABvar tikt izmantotas tab. 7.3 pēdejā ailē dotās sakarības. Pārbaudei salīdzināsim rezultātus,kas iegūti posmam AB, izmantojot tabulas 7.3 sakarības un sadalot epīru elementārlaukumos:1. gadījumam (divi elementārlaukumi – no balsta reakcijas un izkliedētās slodzes (att.7.10d));2 5 1 1 1 4 32 4 4 32 4 4 323 8 3 4 2EIEI EI213,3(3) 213,3(3)EI EI? 4
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS2. gadījumam (trīs elementārlaukumi – no balsta reakcijas, izkliedētās slodzes un spēkaP (att. 7.10e));2 5 1 1 1 1 1 4 52 4 4 32 4 4 52 4 4 20 3 8 3 4 2 2 3EIEI EI EI346,6(6) 320EI EI? Redzam, ka tabulas 7.3 pēdējās rindas sakarības nedod pareizu rezultātu, ja bez izkliedētāsslodzes darbojas vēl kāda cita slodze un epīra sastāv no vairāk kā diviem elementārlaukmiem(taisnstūra un kvadrātiskas parabolas).4Piemērs 7.4. Veikt piemērā 7.2 dotā rāmja brīvā gala horizontālā pārvietojuma aprēķinu,izmantojot Vereščagina paņēmienu.Atrisinājums. Lai izmantotu Vereščaginapaņēmienu nepietiek ar analītiskām izteiksmēm,kas raksturo iekšējo piepūļuizmaiņu katra posma robeţās. Ir jākonstruēlieces momentu epīras att. 7.8 parādītajiemsistēmas slodzes un vienības stāvokļiem,pie kam, konstruējot epīras irieteicams tikt skaidrībā no kādiem elementāriemlaukumiem sastāv epīras tosareţģītākajos posmos. Atbilstošās slodzesun vienības epīras parādītas att. 7.10.Nav grūti konstatēt, ka posmā AB slodzesepīra (att. 7.11c) sastāv no diviem elementāriemlaukumiem – taisnstūra, kuršatt. 7.11rodas no vertikālās izkliedētās slodzes unkvadrātiskas parabolas, kura rodas no horizontālāsizkliedētās slodzes. Summēšana jāveic pa diviem posmiem, katrā no kuriem225
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSir atšķirīgas stinguma EI vērtības. Posmā AB slodzes epīru sadalām divos laukumos.Pārvietojuma aprēķinam iegūsim sekojošu izteiksmi21 11 1 ql1P 1y12 2 3 30EI 2EIEI 3 2y y l 241 ql 12 3 3ql 2ll 2l2qll2EI 2 3 2 . 2EIIegūtā pārvietojuma vērtība sakrīt ar piemērā 7.2 iegūto.Piemērs 7.5. Noteikt att.7.12a dotajam rāmim balsta B horizontālo pārvietojumuAtrisinājums. Pieņemam, ka viss rāmis izgatavots no viena materiāla ar elastības moduliE. Statu inerces momenti ir bet rīģelim tas ir divas reizes lielāks.Rāmja patiesajam stāvoklim atbilstošā lieces momenta epīra (slodzes izraisītā) attēlotaatt. 7.12b, bet vienības stāvoklim, kad rāmim balstā B pielikta horizontāla vienībasslodze, lieces momenta epīra attēlota att. 7.12c.Izmantojot epīru sareizināšanai Vereščagina paņēmienu, meklējamo balsta B horizontālopārvietojumu nosakām sekojošā veidā:1 1 2 1 Ph h h EI 2 3 2EI1 PhPh l h 2 EI h l 3 4 21P .pretējā, t.i. pa labi.att. 7.12Pārvietojums iegūts armīnus zīmi tādēļ, ka sareizināmāsepīras atrodasdaţādās rāmja elementupusēs un tas nozīmē,ka balsts B pārvietojasnevis vienībasslodzes virzienā, bet tai226
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSPiemērs 7.6. Noteikt sijai slodzes P pielikšanas punktā vertikālo pārvietojumu (att.7.13). Sijas kreiso galu balsta nekustīga locīkla, bet labo notur sijai ar locīklu piestiprinātsstienis, kura stiepes stingrība ir EF. Sijas šķērsgriezuma lieces stingums ir EI. Novērtētasspēku iespaidu.Atrisinājums. Dotajā gadījumā viens no sistēmas elementiem strādā uz lieci (sija), betotrs uz stiepi (vertikālais stienis). Nosakot slodzes pielikšanas punkta pārvietojumu,sijai pietiktu ņemt vērā tikai lieces momentus, bet iekarā (vertikālais stienis) rodas stiepespiepūle un tādēļ, lai ievērtētu tās iespaidu uz sijas izlieci, vispārīgajā Mora integrāļaizteiksmē jāievērtē arī saskaitāmais, kurš satur asspēkus, t.i. jāizmanto sakarība:M1MPN1NP1 P dx dx .i EIli EAliSareizināmās epīras attēlotas att. 7.13. Saskaņāar Vereščagina paņēmienu pirmaissaskaitāmais nosakāms sekojošā veidā31 1 Pl l 2 l Pl1M 2 .EI 2 4 2 3 4 48EIAnalogi, sareizinot asspēku epīras, iegūstam:1 P 1 Pa1N a .EA 2 2 4EAiatt.7.13Tātad nosakāmais pārvietojums slodzes Ppielikšanas punktā ir:3Pl Pa1P 1M 1N .48EI4EAIegūtās sakarības dod iespēju veikt attiecīgo lieces momentu un asspēku iespaida uzmeklējamā pārvietojuma vērtību izvērtējumu un analizēt stieņu sistēmas un atsevišķustieņu ģeometrijas iespaidu uz pārvietojumu.Piemēram, pieņemot, ka stieņu garumi l=a=6m un šķērsgriezums ir kvadrāts ar malu227
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSh=0,2m (I=h 4 /12), aprēķinam pārvietojumu attiecību1M1Nlh22 900 .Tātad pārvietojums, ko iraisa lieces moments ir 900 reizes lielāks, par pārvietojumu, koizraisa aksiālspēks.Veicot Mora integrāļa skaitlisko aprēķinu plaši tiek izmantota Simpsona formula:bab a b a b a f ( x)dx f a 4 f a 2 f a 2 ... f b n .3 n n Gadījumos, kad zemintegrāļa izteiksmi (mūsu gadījumāMkEIMp) iespējams aproksimētar 2. kārtas līkni, uz Simpsona formulas pamata iegūstam vienkāršotu sakarību:baMk( x)Mp( x)b a Mk( a)Mp( a)Mk( c)Mp( c)Mk( b)Mp( b)dx 4 ,EI x6 EIaEIcEIb kur c ir intervāla (a,b) viduspunkts (att. 7.14).Gadījumos, kad stieņa lieces stingums EI integrēšanasintervālā ir konstants, Mora integrāļavērtība nosakāma izmantojot tikai trīs liecesmomentu vērtības – momentu vērtības abos intervālagalos un intervāla viduspunktā. Šī sakarībapraktiski tiek lietota gadījumos, kad vienaatt. 7.14vai parabolveida. Tātad Mora integrāļa izskaitļošanaiespējama izmantojot sakarību:momenta epīra ( M ) ir lineāra, bet otra lineārakPl i1 Mk( x)MP( x)dx EI 0ii228
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSli 6EIiiMk(0) Mp(0) 4Mk li M 2 p li M 2 kliMpl i. (7.6)Pieaugot zemintegrāļa funkcijas kārtai, formulas precizitāte krītas Tomēr arī šādos gadījumosvar tikt pielietota izteiksme (7.6), aizstājot integrēšanas posma garumu ar vairākiemīsākiem posmiem.Piemērs 7.7. Veikt piemērā 7.2 dotā rāmja brīvā gala horizontālā pārvietojuma aprēķinu,izmantojot Simpsona formulu.Atrisinājums. Slodzes un vienības epīras redzamas att. 7.11. Lai pielietotu Simpsonaformulu jāzin lieces momenta vērtības katra posma sākumā, vidū un beigās. Meklējamopārvietojumu aprēķinām atbilstoši sakarībai22l ql ql 0 4 0 0 061PEI 2 8 2l ql6 2EI 22 0 4 ql25qll224 3ql 2l 2EIPirmo saskaitāmo varējām arī nerakstīt, jo posmā BC vienības epīrai visas ordinātas irvienādas ar nulli.att. 7.15Piemērs 7.8. Noteikt, par cik ārējās slodzes iespaidā izmainās attālums starp att. 7.15adotā rāmja punktiem k 1 un k 2 . Statiem lieces stingums ir EI = const, bet rīģelim četras229
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSreizes lielāks - 4 EI.Atrisinājums. Slodzes izraisītā lieces momentu epīra un vienības stāvokļa lieces momentaepīra, kura iegūta pieliekot vienības spēkus abos punktos k 1 un k 2 šos punktussavienojušās taisnes virzienā, attēlotas att. 7.15b,d.Epīru M p un M k sareizināšanai izmantojam Simpsona formulu (7.6). Tādā gadījumāsaskaņā ar Mora integrāli nosakāmā pārvietojuma kP vērtība ir:6kP 18q32 4 4,5q1,52 0 0 6EI6 18q32 4 0 1,52 18q 06 4EI1 1 94,5 2 54 2q27 2q54 2q q;EI 4 EIPiemērs 7.9. Noteikt att. 7.16a dotās kopnes augšējās joslas viduspunkta (mezgls 6)vertikālo pārvietojumu. Kopnes joslu stieņu stingrība EF= const, bet atgāţņu stingrībadivas reizes mazāka, t.i. 0,5EF.att. 7.16Kopnes patiesais stāvoklis attēlots att. 7.16a, bet vienības stāvoklis att. 7.16b. Jānosakapiepūles visos kopnes stieņos divos slogojuma gadījumos – ar ārējo slodzi un ar vienībasslodzi. Meklējamo pārvietojumu ver 6 saskaņā ar Mora integrāli nosaka sakarībaNPiN EAveri6 i.i iAprēķina rezultāti sakopoti tab. 7.4.230
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSTab. 7.4Kopnes piepūļu aprēķina rezultātiStieņanumursPiepūles stieņosno slodzes, N piPiepūles stieņos novienības slodzes N iSaskaitāmieN pi N i iNpiEANiiiStieņa garums d, stingums EF1 – 2 1,5P 0,25 0,375Pd 0,3752 – 3 2,5P 0,75 1,875Pd 1,8753 – 4 P 0,25 0,25Pd 0,255 – 6 -3P - 0,5 1,5Pd 1,56 – 7 -2P -0,5 Pd 1Stieņa garums 1,118d, stingums 0,5EF1 – 5 -3,356P -0,559 2,097Pd 4,1945 – 2 3,356P 0,559 2,097Pd 4,1942 – 6 1,118P -0,559 -0,699Pd -1,3976 - 3 -1,118P -0,559 0,699Pd 1,3973 - 7 2,237P 0,559 1,398Pd 2,7967 - 4 -2,237P -0,559 1,398Pd 2,796Kopā 13,980vert6 13,98PdEAIevietojot Pd/EA vērtību, iegūstam konkrētu pārvietojumaver6vērtību .7.8. Temperatūras izmaiņas izraisītie pārvietojumiIzmainoties temperatūrai, mainās sistēmas stāvoklis, jo sistēmas sastāvdaļas (stieņi)pagarinās (saīsinās) un izliecas (šķēlumi brīvi pagrieţas). Ja sistēma ir statiski noteicama,stieņi deformējas, bet piepūles tajos nerodas. Viendabīga temperatūras izmaiņaizraisa stieņu pagarinājumu vai saīsinājumu, bet neviendabīgas temperatūras izmaiņasrezultātā stieņi izliecas maksimālās pozitīvās temperatūras izmaiņas virzienā un otrādi.231
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSMora formulu (7.2) varam uzrakstīt arī sekojošā veidā: N Q ,kmMk mkxmdxkur m M m- elementa dx gala plakņu savstarpējā pagrieziena leņķis, kuršEIveidojies pieliktās ārējās slodzes dēļ;dx xm N m- gala plakņu pārvietojums stieņa ass virzienā;EAdx ymQ m gala plakņu savstarpējā nobīdīšanās stieņa asij perpendikulārāvirzienā.GAŠādā formā Mora formula izmantojama ne tikai gadījumā, ja pārvietojumus , , m xm ymizraisījusi ārējā slodze, bet arī gadījumā, ja tos izraisījusi temperatūra.Att. 7.16 attēlots gadījums, kad stieņa elementa ar garumu dx augšējās kārtas temperatūraizmainās par t 0 1 C, bet apakšējā par t 0 2 C. Pieņemam, ka temperatūras sadalījumspa elementa augstumu h ir lineārs. Tādā gadījumā, elementa šķēlumu savstarpējo pagriezienunosaka sakarība: tt 1 th2kymdx,kur - materiāla lineārās izplešanās koeficients.Elementa garuma izmaiņu stieņa ass virzienā nosakaizteiksmet xtGadījumos, kad elementa šķēlums nav simetrisks attiecībāpret stieņa asi, kas ir šķēluma smagumcentrussavienojoša taisne, stieņa ass garuma izmaiņu raksturoatt. 7.17izteiksme t1 t2xt t2 h0dx, h t21 2dx232
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSkur h 0 - attālums no elementa apakšējās malas līdz stieņa asij.Lineārās termiskās izplešanās koeficientu vērtības tādiem materiāliem kā tērauds, betons,dzelzsbetons var uzskatīt par praktiski vienādiem un pieņemt, ka =1210 -6 1/K. <strong>Visa</strong>iplašs lineārās termiskās izplešanās koeficientu vērtību spektrs ir plastmasām un to izstrādājumiem,kā arī kompozītiem materiāliem uz organisko saistvielu bāzes. Jāatzīmē, kapēdējiem materiāliem parametrs var būt mainīgs atkarībā no temperatūru diapazona.Temperatūras izmaiņas nerada bīdes deformācijas un tātad yt 0 .Ievietojot temperatūru izmaiņu radīto pārvietojumu izteiksmes Mora formulā, iegūstamformulu temperatūras pārvietojuma noteikšanai:ktt1 t2t1 t2 Midx Nidx(7.7)h2hIntegrēšana veicama tikai to posmu robeţās, kuros ir izmainījusies temperatūra. Integrāļuvērtības ir vienības momenta vai asspēka epīru ierobeţotie laukumi.Izteiksmesitsaskaitāmo zīmes nosaka saskaņā ar sekojošu metodiku: ja elementadeformācijas temperatūras dēļ ir analogas deformācijām no vienību slodzes, tad attiecīgāsaskaitāmā zīme ir pozitīva un otrādi.Svarīgi ievērot, ka temperatūruradīto pārvietojumugadījumā nedrīkst neņemtvērā ass spēkus.Piemērs 7.10 Noteikt rāmjaatt. 7.18(att. 7.18) punkta K vertikālopārvietojumu, ja iekšējā temperatūra palielinās par 10 0 C, bet ārējā temperatūra nemainās.Stieņa šķērsgriezuma augstums ir h.Atrisinājums. Attiecīgo epīru laukumi ir: 1 a a ;N233
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀS a 0,5ll a 0, 5M.Aprēķinam nepieciešamie temperatūru koeficienti irt1 t220 10 5;2t1 t2 0 10 10 .Temperatūru starpība tiek ievērtēta pēc absolūtās vērtības. Temperatūras pieaugums rāmjaiekšpusē izraisa stieņa iekšējās šķiedras pagarināšanos, bet vienības slodze pretēji - tāssaīsināšanos. Līdz ar to aprēķināmā pārvietojuma vērtība atbilstoši izteiksmei ir negatīva:ct10 a 0,5 5a.dTātad rīģeļa brīvais gals temperatūras izmaiņas rezultātā pārvietojas vertikālā virzienāuz augšu.7.9. Balstu pārvietojumu izraisītie statiski noteicamu sistēmu pārvietojumiPārvietojot statiski noteicamu sistēmu balstus to saišu virzienos, atšķirībā no statiskinenoteicamām sistēmām, šo sistēmu elementos piepūles nerodas.Pieņemam, ka att. 7.19 attēlotā rāmja balsts Bpārvietojies par lielumu vertikālā virzienā.att. 7. 19Jānosaka punkta K pārvietojums virzienā i-i,t.i, pārvietojums i . Izveidojam dotās sistēmasvienības stāvokli, pieliekot punktā Kvienības slodzi X i =1 virzienā i-i. Pieliktāsvienības slodzes rezultātā balstā B rodas vertikālareakcija V B .Izmantojot darbu savstarpīguma teorēmu abiem (vienības un patiesajam) stāvokļiem,var sastādīt vienādojumu:X V 0 ,iiBt.i.1 V .iB234
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSTātad pārvietojums patvaļīgā sistēmas šķēlumā i-i fiksētā virzienā (šoreiz tas ir i-i) irvienāds ar balsta pārvietojuma (sākuma nosacījumos uzdots lielums) un balstreakcijas,kura rodas vienības slodzes rezultātā, reizinājumu. Šis reizinājums ir pozitīvs, ja balstareakcija V B vērsta pretējā virzienā balsta pārvietojumam un otrādi.Tātad, lai noteiktu statiski noteicamas sistēmas kāda punkta pārvietojumu balstu pārvietojumadēļ, veicami sekojoši aprēķina etapi:jāizvēlas būves vienības stāvoklis, uzskatot pārvietoto balstu par nekustīgu izejasstāvoklī;jānoslogo būve vienības stāvoklī ar vienības piepūli meklējamā pārvietojumavirzienā;jānosaka vienības stāvokļa balstu reakcijas pārvietotajos balstos;jāsastāda vienības stāvokļa piepūļu darba izteiksmi;pielīdzinot šo izteiksmi nullei, jānosaka meklējamo pārvietojumu.Piemērs 7.11. Noteikt locīklu sijas (zīm.7.20) punkta C vertikālo pārvietojumu, ja tāsiespīlētais kreisais balsts tiek pagriezts par leņķi .att. 7.20Atrisinājums. Nosakām balsta A pagrieziena reakciju m A vienības stāvoklī. Tā irm 0,5.A1Uz darbu savstarpīguma principa pamata sastādām vienādojumuver1 0,cmAvervai 0,51 0cunverc 0,51.Mīnus zīme norāda, ka punkts C pārvietojas pretēji vienības slodzes X c =1 virzienam.Tātad punkta C pārvietojums notiek virzienā uz augšu.Studentam ieteicams patstāvīgi noteikt pārvietojumus (lineāros, leņķiskos), kuri ro-235
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSdas pārvietojoties balstam vienlaicīgi vertikālā un horizontālā virzienā vai vienlaicīgivairākiem balstiem.Piemērs 7.12. Noteikt slogota trīslocīklu rāmja vidējās locīklas (att. 7.21a) pārvietojumubalsta sēšanās rezultātā. Pieņemam, ka slodzes q dēļ rāmja balsts vertikāli pārvietojaspar lielumu v k , kur k A A A elastīgā padevīguma koeficients, bet v A ql 2.Atrisinājums. Pielietojot Mora teorēmu vienības stāvokļa iekšējiem un ārējiem spēkiem(ārējo spēku iespējamais darbs uz pārvietojumiem to virzienos ir vienāds ar iekšējopiepūļu M p , N p ,Q p iespējamo darbu uz tiem atbilstošiem pārvietojumiem tai pašāsistēmā) pieņemot par iespējamiem pārvietojumus patiesajā stāvoklī, iegūstamMcMp1 c 2vA dx .EITātadcatt. 7.21McMpMcMp dx 2vA dx ,jo vAEIEŠādi tika noteikts pārvietojums balstu sēšanās gadījumā, izmantojot vienības stāvokļaiekšējo piepūļu iespējamo darbu.Iegūtā sakarība rāda, ka meklētais punkta C pārvietojums ir divu pārvietojumu summa, nokuriem pirmais rodas ārējās slodzes izraisītās lieces dēļ, bet otrais ir balstu pārvietojums.1.2236
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSPiemērs 7.13. Trīslocīklu loka (att. 7.22) abi balsti iegūst horizontālu pārvietojumu H ,bet kreisais balsts arī vertikālu pārvietojumu A . Jānosaka locīklas C horizontālais unvertikālais pārvietojums.att. 7.22Atrisinājums. Tātad jāapskata divi vienības stāvokļi: vertikālam un horizontālam vienībasspēka gadījumam, kas parādīti att. 7.22b,c.Sastādot vienības stāvokļa visu ārējo spēku darbu summu un pielīdzinot to nullei, iegūstam:Tātadver1 v H H 0 .verccAA v 2 H .AAHHHRedzam, ka loka vidējās locīklas vertikālais pārvietojums balstu sēšanās gadījumā irlineāra balstu pārvietojumu funkcija.Ievietojot attiecīgās balstu reakcijas, iegūstamverc1 2 AfH .Lai noteiktu otru locīklas C pārvietojumu c hor , izmantojam otru vienības stāvokli. PielietojotMora teorēmu, iegūstamTātadhor1 v ' H' H' 0.horccAAHf v' AA A.H237
7. PĀRVIETOJUMI PLAKANĀS STIEŅU SISTĒMĀSSvarīgi atzīmēt, ka viena trīslocīklu loka balsta vertikāla sēšanās rada centrālās locīklashorizontālo pārvietojumu.Rezumējot varam secināt, ka stieņu sistēmu pārvietojumu noteikšanas centrālais jautājumsir slodzes un vienības stāvokļu epīru noteikšana konkrētajiem darinājumiem.Mora integrāļa izskaitļošana praktiski ir analoga visos gadījumos un principiālas problēmasnerada. Vēl svarīgi atcerēties, ka viss iepriekš izklāstītais attiecas uz statiskinoteicamām stieņu sistēmām. Statiski nenoteicamu stieņu sistēmu pārvietojumu noteikšanatiks veikta atsevišķi.Uzdevums 7.1. Noteikt punkta C (att. 7.23) horizontālo, punkta D vertikālo pārvietojumuun balsta A pagriezienu. Kāds ir dotās shēmas konstruktīvais trūkums? Atbildipamatot!att. 7.23att. 7.24Uzdevums 7. 2. Noteikt šķēlumu savstarpējo pagrieziena lenķi locīklā D (att. 7.24). EI= const.att. 7.25Uzdevums 7.3. Noteikt locīklas C (att.7.25) vertikālo pārvietojumu dubult T profīlaNr. 27a sijai (E= 2,1 MPa, G = 0,6MPa, η = F/F s (208. lpp.)). Novērtēt liecesmomentu, šķērsspēku un asspēku iespaiduuz aprēķināto pārvietojumu.238
8. TELPISKAS SISTĒMASIepriekš tika analizētas plakanu kopņu aprēķinu metodes. Tātad tika izmantoti nosacījumi,ka visu kopni veidojošo stieņu asis atrodas vienā plaknē, pie kam ārējā slodze un arībalstu reakcijas darbojas kopnes plaknē. Diemţēl šāda aprēķinu shēma reālos būvdarinājumossastāda tikai daļu no kopējās nesošās konstrukcijas. Būvju stingrības un noturībasnodrošināšanai nākas apvienot vairākas plakanas kopnes, tās savā starpā savienojot arpapildus saitēm. Tiltu konstrukcijās parasti tiek apvienotas tikai divas paralēli izvietotasplakanas kopnes, bet kupolveida vai angārveida pārsegumos to skaits ir daudz lielāks.Savā starpā savienotas paralēlas plakanas kopnes strādā kā telpiskas sistēmas. Tomērvertikālas slodzes gadījumā tās tiek rēķinātas kā neatkarīgas plakanas sistēmas (bezsavstarpējās sasaistes ievērtējuma). Šādas aprēķinu metodikas rezultātā tiek iegūta nelielastiprības rezerve, tomēr tā ir visai niecīga un vērā ņemamu materiāla pārtēriņunerada. Plakanu kopņu sistēmas, kurās tās veidojošo stieņu asis neatrodas vienā plaknē,tiek risinātas kā telpiskas sistēmas. Tādas sistēmas ir jau minētie kupolveida pārsegumi,torņveida kopnes vai lauzītas liellaiduma ēku pārsegumu konstrukcijas ar speciālukopņveida pārseguma struktūru (att. 8.6).8.1. Telpisku kopņu balsti. Balstu reakciju noteikšanaTelpisku kopņu balstiem ir trīs veidi. Šo trīs veidu balstu konstruktīvās un stieņveidashēmas kā arī balstu reakciju nezināmo komponenšu skaits dots tabulā 8.1Pirmā veida balsts – plakaniski kustīgs lodveida balsts. Šāda veida balsts pieļaujpagriezienu ap jebkuru caur lodveida locīklu ejošu asi un virzes kustību paralēliatbalsta plaknei.Otrā veida balsts – lineāri kustīgs lodveida balsts. Šāds balsts pieļauj pagriezienu apjebkuru caur lodveida locīklu ejošu asi un virzes kustību paralēli garengultņu kustībasvirzienam.Trešā veida balsts – nekustīgs lodveida balsts. Šī tipa balsti pieļauj tikai griezes kustībuap jebkuru caur lodveida locīklas centru ejošu asi.239
8. TELPISKAS SISTĒMASTabula 8.1Telpisku kopņu balstu veidiBalsta veidsKonstruktīvāshēmaStieņu shēmaNezināmieplakaniski kustīgslodveidaAtbalsta virsmai perpendikulāra,caur lodveida locīklas centru ejošabalsta reakcijalineāri kustīgslodveidanekustīgslodveidaDivas balsta reakcijas komponentes,kas iet caur lodveida locīklascentru un atrodas veltņu pārvietošanāsvirzienam perpendikulārāplaknē (parasti balsta reakciju sadalavertikālā un horizontālā komponentē)Trīs balsta reakcijas komponentes,kas iet caur lodveida locīklas centruun neatrodas vienā plaknē (reakcijuvirzieni var būt patvaļīgi, parastiņem vertikālo un divus savstarpējiperpendikulārus virzienus horizontālāplaknē)Ģeometriski nemainīgas telpiskas konstrukcijas nekustīgai nostiprināšanai pie pamatiemir nepieciešami ne mazāk par sešiem balstu stieņiem, kuri izvietoti tā, lai tiktu nodrošinātskonstrukcijas nekustīgums. Atbalsta punktu skaitam jābūt ne mazākam partrim un tie nedrīkst atrasties uz vienas taisnes. Varētu būt sekojošs balstu sakopojums:viens nekustīgs lodveida balsts, viens lineāri kustīgs lodveida balsts un viens plakaniskikustīgs lodveida balsts.Piepūles sešos balsta stieņos var tikt noteiktas izmantojot sešus statikas līdzsvara nosacījumus: 0;Y 0; Z 0; Mx 0; My 0; MzX 0 .Lai vienkāršotu piepūļu aprēķinu atsevišķos atbalsta stieņos, sastāda momentu līdzsvaravienādojumus attiecībā pret asīm, kuras krusto pēc iespējas vairāk atlikušo balstu240
8. TELPISKAS SISTĒMASstieņu darbības līnijas. Šādā gadījumā caur asi ejošo vai tai paralēlo stieņu balstu reakcijumomenti vienādi ar nulli.Piemērs 8.1. Noteikt piepūles balstu stieņos att. 8.1 parādītajai ģeometriski nemainīgajaitelpiskajai kopnei, kādas rodas no pieliktās slodzes P.Atrisinājums. Šķeļam kopni ar virsmu tā, lai tā pāršķeltu visus sešus atbalsta stieņus.Piepūles atbalsta stieņos apzīmējam ar S 1 ... S 6 un nosacīti pieņemam, ka atbalsta stieņiir stiepti.Sastādot momentu līdzsvara nosacījumus pret x asi, iegūstam sakarību:S4 a Pa 0un līdz ar to S 4 = - P.Mīnus zīme norāda uz to, ka ceturtaisbalststienis ir spiests.att. 8.1Pielīdzinot nullei visu balstu piepūļu momentusummu pret y asi, iegūstam:S5b Pb 0unS 5 = -P.Arī balststienis 5 ir spiests.No spēku projekciju līdzsvara vienādojuma uz z asi: S S S P 0 ,3 4 5izmantojot iepriekš noteiktās balstu reakcijas S 4 un S 5 vērtības, iegūstam: S3 P P P 0vai S 3 = P.Tātad stienis 3 tiešām ir stiepts (kā bija pieņemts).No projekciju līdzsvara vienādojuma uz y asi, iegūstam S 2 = 0.241
8. TELPISKAS SISTĒMASNo spēku radīto momentu līdzsvara nosacījuma pret asi z, iegūstam S 6 =0.Pielīdzinot nulli spēku projekciju summu uz x asi, iegūstam S S 0 vai S 1 = 0.1 6Aprēķinu shēmasTelpiskas kopnes līdzīgi kā plakanas kopnes tiek uzskatītas par stieņu sistēmām, kuruelementi savā starpā savienoti ar ideālām lodveida locīklām, kuras pieļauj ideālus stieņupagriezienus ap mezglu centriem.Praktiski kopņu mezgli tāpat kā plakanu kopņu gadījumā tiek realizēti izmantojot kniedes,uzmavas vai pat metinājumus. Idealizētā aprēķinu shēma praktiskajos kopņu aprēķinosir guvusi plašu pielietojumu un pamatojumu. Iegūtie rezultāti pietiekami precīziatbilst rezultātiem, kuri iegūstami neizmantojot nosacījumu par locīklveida mezgliemstieņu galos. Arī telpisko kopņu gadījumos izmanto pieņēmumu par ārējās slodzes koncentrācijutikai kopnes mezglos. Tas, protams, izslēdz iespēju noteikt lokālo stieņu lieci,bet toties būtiski vienkāršo aprēķinus.8.2. Vienkāršas telpiskās sistēmasTelpisku sistēmu ģeometrisko nemainību iespējams realizēt sekojošā veidā. Sākotnējamtrīsstūrim (att. 8.2) pakāpeniski tiek pievienotimezgli ar trim stieņiem, kuru asis neatrodas vienāplaknē. Tādā veidā konstruētas kopnes sauc parvienkāršākajām telpiskām kopnēm. Tādas kopnespiemērs dots att. 8.2. Izejas trīsstūris ir iesvītrots,bet pievienojamo mezglu secība sanumurēta.att. 8.2Par šo kopņu ģeometrisko nemainīgumu var pārliecinātiespakāpeniski atmetot vienu mezglu pievienojošus trīs stieņus. Šādas pakāpeniskasstieņu atmešanas rezultātā jāiegūst locīklu trīsstūris. Konstruējot kopnipirmajiem trim mezgliem nepieciešami 3 stieņi. Pārējo (M-3) mezglu pievienošanainepieciešami 3(M-3) stieņi (M – mezglu skaits kopnē). Tātad kopā nepieciešami242
8. TELPISKAS SISTĒMAS 33 3M63 M stieņi. Līdz ar to brīvas (pie pamatiem nepiestiprinātas) telpiskaskopnes gadījumā tās ģeometriskās nemainības nosacījums irsistēmu īpatnība un arī priekšrocība ir to struktūra bez iekšējām saitēm. Tas ļauj makatt.8.3N k 3M 6 , (8.1)kur N k – kopējais kopnes stieņu skaits, M – mezglu skaits.Ņemot vērā, ka telpiskas kopnes nekustīgai nostiprināšanai nepieciešamivēl 6 stieņi, telpiskas pie pamatiem piestiprinātas kopnesģeometriskā nemainīguma nosacījums irN 3M , (8.2)kur N – kopējais stieņu skaits, ieskaitot balstu stieņus. Iegūtienosacījumi (8.1) un (8.2) ir nepieciešami, lai iegūtu ģeometriskinemainīgu kopni ar minimālu stieņu skaitu, bet ne pietiekami. Vēlnepieciešams, līdzīgi kā plakanu kopņu gadījumā veikt stieņu izvietojuma analīzi, t.i.veikt sistēmas ģeometriskās struktūras analīzi.Lai noteiktu statiskās noteicamības nosacījumus, tiek izgriezti kopnes mezgli un izgrieztāsdaļas iedarbība aizstāta ar piepūlēm pārgriezto stieņu virzienos. Katra izgrieztāmezgla līdzsvaru apraksta 3 statikas vienādojumi. Tā kā kopējais mezglu skaits ir M,tad iegūstam 3M vienādojumus. No šiem vienādojumiem jānosaka piepūles visos kopnesstieņos. Tā kā kopnes ģeometriskās nemainības nosacījums (8.2) nosaka stieņu nepieciešamoskaitu un tas sakrīt ar līdzsvara vienādojumu skaitu, tad varam secināt, kaģeometriski nemainīga sistēma, kurai izpildās nosacījums (8.2) ir arī statiski noteicama.Vairāku vienkāršāko kopņu apvienojums vienā kopnē veido jaunu kopni. Ja apvienojumstiek realizēts savienojot divu telpisku kopņu virsotnes ar sešiem pareizi izvietotiemstieņiem, iegūstam kopni, kura arī ir ģeometriski nemainīga un statiski noteicama(att. 8.3).Telpisku kopni var modificēt arī atmetot kādu no stieņiem (att. 8.4a) un to aizvietojotar citu kopnes (att. 8.4b) vai balsta stieni (att. 8,4c).Plašu pielietojumu guvušas tā saucamās tīklveida kopnes – daudzskaldņi ar trīsstūrveidavirsmām ar kopējām virsotnēm visiem blakus esošiem trīsstūriem (att. 8.5). Šādu243
8. TELPISKAS SISTĒMASsimāli izmantot tīklveida kopnes ierobeţoto tilpumu.att. 8.4att. 8.5Savdabīgs kopnes tips ir hiperboloīdisks tornis, kurš izveidots no divām taisnu stieņusistēmām, kuras noklāj hiperboloīdisku virsmu. Stieņi savā starpā pa torņa augstumutiek savienoti ar vairākiem horizontāliem gredzeniem. Šāda tipa tīklveida kopne veidodivkārša liekuma čaulu, kura ir daudzkārt statiski nenoteicama sistēma. Torņa konstrukcijaspriekšrocība ir tās vieglums. Tomēr jāatzīst, ka tās izgatavošana ir visai darbietilpīgaun ekspluatācijā tai piemītliels „buras” efekts. Kopnes konstrukcijasizstrādāšana veikta inţenieraV. Šuhova vadībā un tādēļ to bieţivien literatūrā dēvē par Šuhova kopni.Racionāls rūpniecības ēku pārsegumaatt. 8.6tips ar zāģveida struktūru (att. 8.6)ļauj ērti realizēt telpu virsgaismu. Att.8.6 parādītā konstrukcija dod iespēju pārsegt lielus laukumus bez papildbalstiem. Telpiskākopne sastāv no vairākām vertikālām plakanām kopnēm, kuras savā starpā saistītasar slīpām plakanām kopnēm un daţiem atsevišķiem stieņiem. Katras slīpās kopnesjoslas ir vienas vertikālās kopnes augšējā josla un blakus esošās vertikālās kopnesapakšējā josla.8.3. Piepūļu noteikšana kopnes stieņos ar mezglu izgriešanas metodiMezgli tiek izgriezti pakāpeniski, sākot ar mezglu, kurā saiet trīs daţādas plaknēs iz-244
8. TELPISKAS SISTĒMASvietoti stieņi. Piepūles šajos stieņos tiek noteiktas izmantojot statikas līdzsvara vienādojumusvienā punktā saejošiem spēkiem. Turpinot mezglu izgriešanas procesu vadāmiesno nosacījuma, ka mezglā var būt arī vairāk par 3 saejošiem stieņiem, tomēr nepieciešamsievērot, lai tikai 3 no tiem būtu daţādās plaknēs izvietoti stieņi ar nezināmāmpiepūlēm. Risinājums būtiski vienkāršojas, ja kopne satur nullstieņus, t.i. stieņus,kuros pie dotās slodzes nerodas piepūles.Nulles stieņus nosaka sekojoši nosacījumi:1. Ja mezglam, kurā saiet trīs stieņi, nav pielikta slodze un stieņi neatrodas vienāplaknē, tad visi šie stieņi ir nullstieņi. Tiešām, aizstājot piepūles divos stieņosar kopspēku, iegūstam sistēmu, kura sastāv no šī kopspēka un trešā stieņa zemleņķa vērstas piepūles. Šāda spēku sistēma var būt līdzsvarā tikai gadījumā, jaabi spēki vienādi ar nulli.2. Ja neslogotā mezglā saiet vairāk kā 3 stieņi, no kuriem visi, izņemot vienu, atrodasvienā plaknē, tad šis vienīgais stienis ir nullstienis. Par to viegli pārliecināties,projektējot visu stieņu piepūles uz asi, kura perpendikulāra plaknei.Piemērs 8.2. Noteikt piepūles telpiskas kopnesstieņos (att. 8.7) dotās slodzes P iespaidā.Atrisinājums. Apskatāmā sistēma ir ģeometriskinemainīga. Tā veidota no ģeometriskinemainīgas un nekustīgas tīklveida sistēmas,kurā 5 augšējās skaldnes diagonāles, 5 diagonālesun 8 apakšējās skaldnes malas aizvietotasar 18 papildus balststieņiem.att. 8.7Pirmām kārtām izslēdzam no tālākās analīzesnullstieņus. Četrstieņu mezgls 1 nav noslogotsun līdz ar to atsevišķais stienis 1-8 irnullstienis. Līdzīgi arī stieņi 2-1, 3-2, 4-3, 5-4, 6-5 un 7-6 ir nullstieņi, jo arī tie ir atsevišķiestieņi attiecīgajos mezglos. Atmetot šos245
8. TELPISKAS SISTĒMASstieņus, mezgli 1, 2, 3, 4, 5, 6 kļūst par divstieņu neslogotiem mezgliem un līdz ar totajos saejošie stieņi 1-9, 1-10, 2-10, 2-11, 3-11, 3-12, 4-12, 4-13, 5-13, 6-14, 6-15 irnullstieņi.Analogu apsvērumu rezultātā nonākam pie secinājuma, ka att. 8.8 ar plānām līnijāmattēlotie stieņi visi ir nullstieņi. Atmetot šos stieņus, iegūstam kopni, kura attēlota arsabiezinātām līnijām. Šī kopne mezglā 8 slogota ar spēku P. Izgrieţot šo mezglu unsadalot spēku P trīs komponentēs, nosakām piepūles trijos mezglā 8 saejošos stieņos 8-8, 8-9 un 8-16.Piepūles pārējos stieņos nosaka pakāpeniski izgrieţot mezglus to numerācijas kārtībā.Katrā no tiem ir vai nu trīs piepūles daţādās plaknēs, vai arī divas piepūles vienā plaknē.Balstu reakcijas nosakām izmantojot balstu mezglus – katrā no tiem ir trīs nezināmasbalstu reakcijas.Gadījumos, kad kopnei pielikti vairāki spēki, ieteicams noteikt piepūles stieņos no katraspēka atsevišķi un iegūtos rezultātus sasummēt. Protams, šāda aprēķina metodikadaudzstieņu konstrukcijai ir visai darbietilpīga un praktiskos aprēķinos neracionāla,tomēr tā dod iespēju veikt telpisku stieņu struktūras noslodzes analīzi un struktūrasracionāluma novērtējumu konkrētām slodzēm.8.4. Sistēmas sadalīšana plakanās kopnēsŠis paņēmiens lietojams gadījumos, kad telpiskās sistēmassastāvā ietilpst plakanas kopnes, kuras ar šķēlumu palīdzībunodalot kā atsevišķas konstrukcijas, tās savās plaknēs irģeometriski nemainīgas un nekustīgas.Slodze, kura pielikta iegūtajai plakanajai kopnei tās mezglosun darbojas kopnes plaknē, tiek pilnībā uzņemta ar plakanāskopnes stieņiem un pārējās telpiskās kopnes stieņos piepūlesno šīs slodzes nerodas.att. 8.8Aprēķins tiek veikts sekojošā veidā – katra no dotajām slodzēmtiek sadalīta komponentēs, tā lai to virzieni sakristu arplakano kopņu plaknēm. Tā, piem., att. 8.8 parādītās telpiskās kopnes gadījumā spēks P246
8. TELPISKAS SISTĒMAStiek sadalīts trīs komponentēs P 1 , P 2 , P 3 . Spēku P 1 pilnībā uzņem plakanā kopneABCD, spēku P 2 kopne CDEF, bet spēks P 3 izraisa spiedi stienī CD.Līdzīgi tiek sadalītas komponentēs arī slodzes, kuras darbojas kopnes citos mezglos, jatādas ir pieliktas.8.5. Skaitlisko metožu pielietojumsSkaitlisko risinājumu pamatā, it īpaši pēdējos gados, noteicošā loma ir galīgo elementumetode (GEM). Iegūtie elementi apvienojas vienotā sistēmā pamatojoties uz līdzsvaraprincipiem un garantējot atsevišķu elementu deformāciju un pārvietojumu vienādību tosaskares punktos (mezglos). Tādā veidā, galīgo elementu metodes gadījumā, nepārtrauktasistēma nosacīti tiek aizstāta ar patvaļīga skaita elementu sistēmu, kuras elementuapvienojumu mezglos reglamentē GEM nosacījumi un pieņēmumi. Šādu sistēmuaprēķins reducējas uz algebrisku vienādojumu sistēmu aprēķināšanu.Stieņu sistēmā galīgie elementi var būt atsevišķi stieņi vai to daļas. Galīgo elementuskaita palielināšana ļauj precīzāk ievērtēt tās vai citas īpašības un deformēšanās īpatnības.Tomēr pārlieku sadrumstalotu sistēmu gadījumos pieaug aprēķinu kļūdas. Tādēļgalīgo elementu skaita un sadalījuma topogrāfijas izvēlē svarīgi ņemt vērā reālo konstrukcijasdeformēšanās raksturu. GEM pielietošana iespējama jebkurai sistēmai, tātadarī stieņu sistēmām, bet tomēr tās galvenā nozīme ir plātņu, čaulu un masīvu ķermeņu,kā arī no tiem veidotu sistēmu aprēķinos. Ar GEM, kaut arī tuvināti, izdodas atrisinātuzdevumus, kuriem analītiski risinājumi neeksistē. Metodes precizitāti nosaka tas, cikpilnīgi un precīzi ir noformulēti galīgo elementu saskares nosacījumi.Studentiem tiek piedāvāts iepazīties ar stieņu sistēmu aprēķiniem paredzētu programmuAnalysis for Windows 1.9. Kā viena no šīs programmas priekšrocībām uzskatāmatās vienkāršība ekspluatācijā. Programma paredzēta divu un trīs dimensiju metāla taisnustieņu sistēmu aprēķiniem. Programmā ir iekļauti Eirostandartiem atbilstošu metālastieņu šķērsgriezuma raksturlielumi un fizikālo īpašību parametri. Liela aprēķinu daļaveicama dialoga reţīmā vienlaicīgi vizuāli kontrolējot iegūtos rezultātus. Jebkuras izdarītāsizmaiņas konstrukcijas struktūrā nekavējoties parādās uz ekrāna un var tikt vizuālikontrolētas.Programma paredzēta piepūļu un pārvietojumu aprēķiniem stieņu sistēmām, uz kurāmiedarbojas ārēja slodze koncentrētu spēku, momentu un izkliedētas slodzes (mainīgasvai trapecveida) veidā, temperatūras izmaiņas un balstu pārvietošanās.247
PIELIKUMIP.1. Uzdevumu atrisinājumi un atbildesUzd. 2.1Attēlā P1.1a redzamajai kopnei viegli varam izdalītpaplašinātus diskus 1 un 2 , kuri savā starpāsavienoti ar pareizi izvietotiem locīklu un stieni,tātad veido paplašinātu disku. Šis disks piestiprinātszemei ar četriem stieņiem, kaut gan pietiktuar trijiem pareizi izvietotiem stieņiem. Tātad sistēmair ģeometriski nemainīga ar vienu lieku sai-att. P1.1ti. Viens stienis ir lieks un sistēmas kustības brīvībaspakāpe W=-1 (vienu reizi statiski nenoteicama sistēma).Attēlā P1.1b redzamajai kopnei par paplašinātiem diskiem varam ņemt divus locīklutrīsstūrus. Pieņemot par diskiem arī visus atlikušos stieņus, kustības brīvības pakāpeW=3·11-(2·13+4)=3. Kustības brīvības pakāpe ir lielāka par nulli un sistēma ir ģeometriskimainīga.Uzd. 2.2.att. P1.21. No vienādojuma W=3·n –(2n+S atb )=0, seko, ka saišu skaitam S atb. . jābūt vienādam ar n.2. Nevar, jo visas saites krustojas vienā punktā un sistēma ir acumirklīgi mainīga(att. P1.2b).3. Vismaz viena no saitēm nedrīkst būt vērsta uz centru (att. P1.2c) un daudzi citi248
PIELIKUMIvarianti.att. P1.3Uzd. 2.3. Tā kā no struktūranalīzes viedokļa diski un stieņi ir līdzvērtīgi un var tiktsavstarpēji aizstāti, doto sistēmu var novest uz att. P1.3b redzamo. Šī sistēma ir acumirklīgimainīga, jo divi diski savienoti ar trim stieņiem, kuru asis krustojas vienā punktā.Lai sistēma kļūtu ģeometriski nemainīga varam mainīt, piemēram, vidējā balstadarbības virzienu.Uzd. 2.4. Skatīt iepriekšējo uzdevumu.Uzd. 2.5. Mezgli 1 un 2 att. P1.4 pievienoti zemei ar diādēm un kopā ar to veido ģeometriskinemainīgu sistēmu - paplašinātu disku. Šī diska gali savienoti ar saiti, kas navnepieciešama ģeometriskās nemainības nodrošināšanai – lieku saiti. Tātad att. P1.4redzamā sistēma ir ģeometriski nemainīga, vienreiz statiski nenoteicama un var tiktizmantota būvniecībā.Uzd. 2.6. Izvēlamies diskus kā redzams att.P1.5a. Atrodam sistēmas kustības brīvībaspakāpiW=3·3-(3·0+2·1+3+8)=-4.att. P1.4Tātad sistēmā ir četras liekas saites. Att.P1.5b ļauj izsekot struktūras analīzes gaitai vienlaicīgi atmetot liekās saites:1. Lai disku 1 pievienotu zemei pietiek ar trijiem pareizi izvietotiem stieņiem, tātadvienu no horizontālajiem stieņiem varam atmest. Zemi un disku 1 kopā varam pieņemtpar paplašinātu disku, kuram tiek pievienoti pārējie.2. disks 2 arī pievienots paplašinātajam ar 4 stieņiem, vienu no vertikālajiem varamatmest;249
PIELIKUMI3. disks 3 pievienots ar pareizi izvietotiem locīklu un stieni un nekustīgais locīklasbalsts diska 3 kreisajā galā ir lieks.Tātad analizējamā sistēma ir ģeometriski nemainīga ar 4 liekām saitēm.Uzd. 3.1.att. P1.5Uzd. 3.2.250
PIELIKUMIUzd. 3.3.Uzd. 3.4.Uzd. 3.5.251
PIELIKUMIUzd. 4.1.vertikālu asi.att. P1.6Nosakot piepūles att. P1.6a redzamāskopnes statos un atgāţņos ar momentpunktumetodi par momentpunktu jāņembalsts A. Tā kā pret punktu A momentunedod ne augšējās ne apakšējās joslasstieņu piepūles, ne balsta A reakcija, noatbilstošajiem momentu līdzsvara vienādojumiemseko, ka piepūles statos un atgāţņos1-8, 1-9, 2-9, 2-10, 3-10, 3-11, kāarī simetriski novietotajos stieņos kopneslabajā pusē ir vienādas ar nulli. To, kapiepūle stienī 4-11 arī ir vienāda ar nulli,viegli pierādīt izgrieţot mezglu 11 (att.P1.6d) un summējot spēku projekcijas uzAtt. P1.6b redzamajai kopnei ir spēkā visi iepriekšējie apsvērumi, izņemot stieni 4-11,kurā piepūle vairs nav vienāda ar nulli. Piepūli stienī 4-11 var noteikt izgrieţot mezglu11 (att. P1.6e).Att. P1.6c redzamajai kopnei piepūles stieņos 2-10, 3-10 un 3-11 ir vienādas ar nullitikai gadījumā, ja augšējās un apakšējās joslas stieņu turpinājumi krustojas uz balstareakcijas balstā A darbības līnijas (punkts k), kā tas ir apskatāmajā gadījumā. Izgrieţotmezglu 9 un sastādot tam projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi varam pārliecināties,ka piepūle stienī 2-10 nav vienāda ar nulli.Uzd. 5.1.252
PIELIKUMIUzd. 5.2. Skatīt att. 5.16.Uzd. 5.3.Uzd. 6.1.253
PIELIKUMIUzd 7.1. Δ C = 0,0318Pl 3 / EI (pa labi); Δ D = 0,0347Pl 3 / EI ( uz leju );Δ A = 0,132Pl 2 / EI (pulksteņa rādītāja virzienā).Par konstruktīvu trūkumu uzskatāma sistēmas paaugstināta deformativitāte. Salīdzinotar analoga laiduma siju, viduspunkta pārvietojums un balsta A pagrieziens ir lielāki.Uzd 7.2. Δ D = 1,333Pa 2 /EI (locīkla pārvietojas uz augšu );Uzd 7.3. Slodzes un vienības epīras ir:Lieces momentu radītais punkta C vertikālais pārvietojums ir Δ C (M) = 2q / EI un tassastāda tikai 6,53 % no kopējā pārvietojuma.Asspēku radītais punkta C vertikālais pārvietojums ir Δ C (N) = 28,33q / EI un tas sastāda92,68 % no kopējā pārvietojuma.Šķērsspēka radītais punkta C vertikālais pārvietojums ir Δ C (Q) = 0,24q / EI un tas sastāda0,79 % no kopējā pārvietojuma.Tātad pilnā punkta C vertikālais pārvietojums vērtība ir Δ C = 30,57q / EI (uz leju).Šī piemēra rezultāti rāda, ka ne visos pārvietojumu aprēķina gadījumos var aprobeţotiestikai ar lieces momentu izraisīto pērvietojumu daļu. Tā, piemēram, kombinēto sistēmugadījumos,, kāda ir arī šai uzdevumā piedāvātā, pārvietojumus lielā mērā nosakatieši asspēki.254
PIELIKUMILiteratūra1. F. Bulavs, I. Radiņš. Būvmehānikas ievadkurss, RTU izdevniecība, Rīga,2006, 205 lpp.2. F. Bulavs, I. Radiņš. Būvmehānika, statiski noteicamas sistēmas, RTU izdevniecība,Rīga, 2004, 167 lpp.3. I. Melderis, G. Teters. Būvmehānika. Zvaigzne, Rīga, 1977, 560 lpp.4. I. Melderis, V. Juriksons. Būvmehānikas uzdevumi ar atrisinājumiem. Zvaigzne,Rīga, 1970, 368 lpp.5. А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. Стоительная механика. Высшая школа,Москва, 1986, 606 стр.6. В. А. Киселев. Стоительная механика. Стройздат, Москва, 1986, 520 стр.7. Н. В. Мухин. Статика сооружений в примерах. Высшая школа, Москва,1979, 303 стр.255
Change language