Bekijk hier de complete publicatie - Anneke Hakkenberg

Wiskunde en creativiteit
1

Wiskunde en creativiteit
WISKUNDE EN CREATIVITEIT
het succesvolle bondgenootschap tussen structuur
en verbeeldingskracht
College
ter gelegenheid van het afscheid
als universitair docent van de
Faculteit de Maatschappij en Gedragswetenschappen aan de Universiteit
van Amsterdam
op 15 maart 2000
door
Dr. Anneke Hakkenberg
2

Omslagontwerp: René Staelenberg, Amsterdam
Zetwerk: Beeldvorm, Leidschendam
© Dr. A. Hakkenberg, Amsterdam, 2000
e-mail: info@hakkenberg.eu
Wiskunde en creativiteit
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd
gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch,
mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming
van de uitgever.
Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet
1912 j 0 het Besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, St.b. 471 en
artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de
Stichting Reprorecht (Postbus 882, 1180 AW Amstelveen). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze
uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich
tot de uitgever te wenden.
3

Geachte dames en heren,
Van wiskunde leer je helder denken.
Wiskunde en creativiteit
Helder leren denken, dat wilde ik graag toen ik in 1953 voor een opleiding mocht
kiezen. Bovendien had ik er plezier in om wiskundesommen te maken en om
voor die sommen mooie oplossingen te vinden. Die opgaven maakte ik dus
graag al kon ik het nut ervan niet inzien. In de praktijk van alledag en in discussies
over politiek of godsdienst stond je niet voor vergelijkbare problemen maar ik
wilde die juist doorgronden en in polemieken de verschillende standpunten
kunnen vergelijken. Daarvoor leek het me handig om helder te kunnen denken.
Ik koos dus voor een studie in de wiskunde. Mijn doel was de vaardigheden die
ik daarmee zou opdoen, toe te passen op problemen die mijn eigen belangstelling
hadden.
Na mijn studie in de wis- en natuurkunde vond ik dat ik genoeg geoefend
had en zocht ik een baan waarbij ik mijn kennis in praktijk zou kunnen brengen.
Aanvankelijk werkte ik als onderzoeker in de natuurkunde, maar dat gaf me niet
de voldoening die ik beoogde. In 1967 werd ik wetenschappelijk medewerker aan
de Universiteit van Amsterdam bij het Instituut voor Planologie en Demografie.
Daar heb ik mijn hart kunnen ophalen. In de ruim dertig jaar dat ik er heb
gewerkt, heb ik uiteindelijk bereikt waar ik ooit van droomde. Ik heb geleerd hoe
het wiskundig denken gebruikt kan worden om problemen van alledag helder te
maken. Bovendien kan ik uitleggen hoe dat kan en dat wil ik u nu vertellen.
Wat ik tijdens mijn werk bij de planologen heb geleerd, is dat bij het maken
van keuzen altijd wordt gewerkt met een aantal basisbegrippen uit de
wiskunde of formele logica. Als ik uitleg dat en hoe deze begrippen worden
toegepast, krijg ik geregeld de reactie: dit is geen wiskunde, dit is gewoon
gezond verstand. Dat klopt. Ons gezonde verstand werkt net zo logisch als de
wiskunde. Er is echter een verschil in de vragen die met ons verstand opgelost
worden en de vragen waartoe de wiskunde zich beperkt. Ons verstand werkt
logisch én normatief. Door ons logisch denkvermogen kunnen we orde
en structuur aanbrengen in wat we weten en ervaren. Door ons normatief
vermogen kunnen we onderscheid maken tussen wat goed is en wat niet.
4

Wiskunde en creativiteit
Zo verwerkt en beoordeelt het naast feiten ook gevoelens. Voor het verstand
dat we toepassen op onze keuzen telt naast de vraag of een redenering klopt
en of iets waar is, ook mee wat er waar is en of een keuze tot iets beters leidt.
Ons verstand stelt ons in staat om keuzen te maken in een werkelijkheid
die meer mogelijkheden biedt en meer beperkingen oplegt dan we ons
kunnen voorstellen. We zijn desondanks in staat met vertrouwen onze
keuzen te maken en daarmee in te grijpen in die werkelijkheid. Ons bewust
ingrijpen berust deels op feiten, op wat we weten of denken te weten, en
deels op verwachtingen en veronderstellingen. Voor de keuze als geheel
gebruiken we ons verstand. Om een keuze te kunnen voorbereiden en te
kunnen uitvoeren, is het van belang dat er samenhang is in het beeld dat
we ons van de werkelijkheid, de keuze waar we voor staan, maken. Om een
samenhangend en kloppend beeld, een structuur, te kunnen maken, hebben
we logica nodig. Om een beeld te verkrijgen dat past in de werkelijkheid
hebben we normen voor wat goed en geschikt is en we moeten ons ook een
beeld vormen van wat er kan gebeuren. Daarvoor hebben we naast kennis
van feiten onze verbeeldingskracht, fantasie en creativiteit nodig.
De wiskunde toont - slechts - de mogelijkheden van de logica. Toepassing
van wiskunde, liever gezegd, van formele of mathematische logica op tekst
houdt de beperking in tot de beschrijving van het logische in de tekst.
Hoe iemand zijn inhoudelijke kennis en creativiteit met betrekking tot
een keuze gebruikt en tegelijkertijd een structuur opbouwt, zal ik hierna
toelichten.
Het gebruik van de logica bij onderzoek heb ik verwerkt tot aanwijzingen
bij keuzen die tijdens een onderzoek moeten worden gedaan. Ik heb deze
aanpak opgenomen in een checklist die is opgebouwd uit vier fasen. Zij
betreffen de verkenning, de uitwerking, de uitvoering en de presentatie van een
onderzoek. Het doel is om voorafgaande aan een onderzoek zoveel mogelijk
inzicht te krijgen in de keuzen die tijdens het onderzoek worden gemaakt.
Bij het gebruik van de checklist heeft men de vrijheid alleen die vragen
te beantwoorden die op dat moment zinvol lijken. De checklist is een
geheugensteun en geen dwangbuis. Het werkt zelfs handiger om eerst alle
gemakkelijk te beantwoorden vragen af te werken. Deze antwoorden geven
aanwijzingen voor de mogelijkheden en de grenzen van het onderzoek. De
vragen waarop nog geen antwoorden te geven zijn, kunnen aan bod komen
als men over meer inzicht beschikt.
5

Wiskunde en creativiteit
De beste manier om iemand te overtuigen van de voordelen van mijn
werkwijze is toepassing ervan op zijn eigen probleem. Helaas kan ik u niet
allemaal tegelijk op deze wijze van dienst zijn. Als voorbeeld heb ik gekozen
voor het probleem dat mij jarenlang heeft beziggehouden en waarvan ik hoop
en verwacht, dat het ook u ter harte gaat. Dit is de vraag welk onderwijs in
de wiskunde een geschikte basis biedt voor een opleiding tot wetenschappelijk
onderzoeker. De werkwijze die ik u nu ga voorleggen, is mijn bijdrage aan de
aanpak van dit probleem.
Ik benadruk dat de werkwijze mijn bijdrage is. Mijn opvattingen en normen
over dit onderwerp en de uitspraken die ik erover hanteer, kunt u vervangen
door uw eigen normen en opvattingen. Deze werkwijze geldt voor uw kennis en
uw opvattingen, voor die van anderen en voor de mijne. Probeer de werkwijze
uit op uw eigen keuzen en ga ook door als mijn keuzen u niet bevallen.
De start van de verkennende fase is een korte beschrijving van het
probleem. Voor mijn voorbeeld is die als volgt.
Het universitaire onderwijs heeft de intentie om studenten in een afgebakende
periode wetenschappelijke kennis en vaardigheden bij te brengen. Met
deze kennis en vaardigheden moeten afgestudeerden in staat zijn om
zelfstandig en onafhankelijk van derden wetenschappelijk onderzoek te doen.
Overheid en bedrijfsleven verwachten dat afgestudeerden, behalve voor een
wetenschappelijke loopbaan, geschikt zijn voor functies van vergelijkbaar
niveau. De docenten worden geacht studenten tot dit niveau op te leiden. De
universitaire organisaties hebben tot taak dit mogelijk te maken. De vraag is met
welk onderwijs alle betrokkenen bij dit probleem deze doelen kunnen bereiken.
Bij elk probleem treden verschillende doelen en belangen op. Per doel
en per belang verschillen de uitwerkingen van een onderzoek. Iemand die
wil promoveren op dit onderwerp zal andere keuzen moeten maken dan een
ander die voor de overheid wil onderzoeken naar welk onderwijs de meeste
vraag is. Verder kan een team dat bestaat uit verschillende deskundigen en dat
beschikt over een ruim budget meer ondernemen dan een enkeling met een
krap budget. Bij deze verkennende fasen behoren daarom vragen gesteld te
worden naar de wetenschappelijke, maatschappelijke en persoonlijke doelen en
belangen van de onderzoeker(s). Bij de keuzen die nodig zijn om het probleem
aan te pakken, zal worden afgewogen of met die keuzen de doelen worden
bereikt en de belangen worden gediend.
6

Wiskunde en creativiteit
Mijn wetenschappelijk doel met dit voorbeeld is dat ik u laat zien hoe ons
logische en ons creatieve denkvermogen samengaan. Het komt mijns inziens
de wetenschapsbeoefening ten goede als dit duidelijker is. Mijn maatschappelijk
doel is de mogelijkheden en beperkingen van het wetenschappelijk onderzoek te
kunnen aangeven. Het belang hiervan is dat beter kan worden beoordeeld, ook
door leken, wanneer het zinvol is resultaten van wetenschappelijk onderzoek toe
te passen. Mijn persoonlijk doel is mijn werk voort te kunnen zetten en mijn
belang is dat ik door kan gaan met de dingen waarin ik in mijn leven altijd plezier
heb gehad. Al deze doelen en belangen zult u hopelijk in deze rede herkennen.
Tot hier toe is alleen de inhoud van het probleem aan de orde gekomen. De basis
voor de structuur is gelegd, maar de vorm is nog verborgen in de tekst. Het is nu
al wel mogelijk om, zij het nog steeds in taal, van het probleem een beschrijving
te geven waarmee een bewuste keuze voor de structuur wordt gemaakt.
In elk onderzoek zijn er objecten die deel uitmaken van het probleem. Zo gaat
het bij dit probleem om studenten, onderwijs, docenten en andere betrokkenen
bij het onderwijs, organisaties met bevoegdheden op dit gebied, ruimte en tijd.
Voor deze objecten moet worden onderzocht op welke wijze zij een deel van het
probleem en van de oplossing vormen.
De objecten die in een onderzoek een essentiële rol spelen, vat ik op als
objecten die een verzameling vormen volgens de begrippen van de formele
logica. Dit betekent dat de objecten of elementen van de verzameling worden
vastgesteld door ze bij hun naam te noemen of door een of meer kenmerken
ervan te geven, zoals je bij voorbeeld een verzameling of groep mensen kunt
bepalen door ze allemaal bij hun naam te noemen of door aan te geven welke
kenmerken zij hebben (jonger dan 30, onderzoeker en wonend in Amsterdam).
Een combinatie kan ook: je noemt een aantal personen bij hun naam en stelt dat
iedereen met een inkomen hoger of lager dan … en ouder of jonger dan … jaar
ook tot de groep behoort.
Het gaat me bij deze toepassing van het begrip verzameling uitsluitend om
deze afspraken bij de keuze van de voornaamste objecten van een onderzoek. Door
deze keuze wordt het mogelijk om in de formele taal van de logica, desgewenst,
de onderlinge relaties van de objecten te formuleren. Dat maakt het eenvoudiger
om logische eigenschappen weer te geven of te herkennen. Het is niet nodig
om de zo op te bouwen verzamelingen te laten lijken op andere verzamelingen,
hetzij uit de wiskunde, hetzij uit een andere toepassing. Van belang is wel dat de
7

Wiskunde en creativiteit
objecten niet tot elkaars verzameling kunnen behoren. Tegen overeenkomstige
eigenschappen is geen bezwaar, maar het moet niet kunnen voorkomen dat
objecten uit verschillende verzamelingen allemaal dezelfde eigenschappen
bezitten. Ze moeten duidelijk van elkaar te onderscheiden zijn.
In het algemeen is het de bedoeling met de keuze van de objecten die als
verzameling worden gebruikt, het probleem weer te geven en in een kader te
plaatsen. Met welke objecten het kader het best kan worden opgebouwd, is niet
bij voorbaat vast te stellen. Het kan bij latere keuzen blijken dat het probleem met
andere objecten als verzameling beter wordt beschreven. Het spreekt vanzelf dat
bij de voortzetting van de voorbereiding tot het onderzoek deze andere objecten
worden gekozen.
De objecten van de verzamelingen bij toepassingen zijn objecten die in de
werkelijkheid bestaan. Het gaat om levende mensen, bestaande organisaties,
onderwijs dat nu in verschillende plaatsen aangeboden en gevolgd wordt. Namen
zijn te noemen, maar dat zijn er veel en zij geven weinig informatie. Kenmerken
zijn er in overvloed, maar slechts een beperkt deel is relevant. Het gaat dan ook
om een geschikte selectie hieruit.
Van de kenmerken die de objecten kunnen bezitten, is het van belang slechts
die te kiezen die met ten minste één van de overige objecten van het probleem
in verband te brengen zijn. Voor deze keuze worden daarom de invloeden die de
objecten op elkaar kunnen hebben, geformuleerd. Dit gebeurt in een relatiematrix.
Elk hokje wordt gevuld. Deze invloeden zijn namelijk niet automatisch dezelfde.
Zo is de invloed van studenten op het onderwijs wezenlijk anders dan de invloed
van het onderwijs op studenten. Ook de relaties voor objecten die tot eenzelfde
verzameling behoren, worden geformuleerd. Studenten hebben ook invloed op
elkaar, evenals personen, organisaties, locaties en tijd. Of er allemaal zinvolle
relaties in de matrix komen te staan, is afhankelijk van de kennis en de creativiteit
van degenen die de relaties formuleren. Er wordt dus wel geprobeerd voor alle
combinaties een relatie te formuleren, maar al die pogingen behoeven geen
zinvolle resultaten te geven. Dat blijkt pas achteraf.
Met deze werkwijze wordt op een andere manier omgegaan met wat als
veranderlijken in een probleem wordt opgevat dan, gebruikelijk is. Meestal
worden getallen gezien als de objectieve gegevens van een probleem. Deze
beperking is overbodig. Van de objecten die een verzameling vormen, zijn
eveneens gegevens te vinden die objectief vast te stellen en logisch te verwerken
zijn. Met deze gegevens of eigenschappen kan de structuur van het probleem
8

Wiskunde en creativiteit
worden opgebouwd. Wanneer aantallen een belangrijk deel van het probleem
uitmaken, zijn deze te verkrijgen door de meetbare kenmerken te gebruiken.
De getallen krijgen dan op een natuurlijke wijze een plaats in het probleem en
kunnen op een voor iedereen begrijpelijke wijze worden verwerkt.
Ter verduidelijking vindt u hierna een voorbeeld van zo’n relatiematrix (p.10).
De formulering van de relaties is een creatief proces. Ook hier is het niet
nodig om met het bovenste hokje van de matrix te beginnen en de matrix in
keurige volgorde af te werken. Dat kan, maar hoeft niet. Iemand kan starten met
de relatie die hij het meest relevant vindt, vervolgen met een andere en in eigen
volgorde de matrix vullen. Van belang is dat er een plaats is voor alle relaties.
Het probleem wordt op deze wijze als het ware uit elkaar getrokken. Per
relatie kan een onderzoeker, of een team van onderzoekers, beoordelen wat die
relatie voor het onderzoek betekent. De omvang wordt ook duidelijker. Het is
vrijwel onmogelijk alle vragen te beantwoorden die opgeroepen worden bij de
beschouwing van een ingevulde matrix. Het resultaat is in de regel dan ook dat
een onderzoeker voor het vervolg van zijn onderzoek een keuze maakt uit de
objecten en uit de relaties. Dat kan een enkele relatie zijn, maar ook een aantal.
De keuze kan dan op basis van argumenten geschieden.
Bij mijn persoonlijke inspanning om voor planologiestudenten zinvol
onderwijs in de wiskunde te maken, waren vooral de relaties met studenten en
onderwijskundigen van belang.
De studenten waren en zijn een voortdurende bron van inspiratie voor me.
Zij willen de grenzen van hun kennis verleggen en hebben daarbij behoefte aan
steun op het gebied van de logica. Deze behoeften reiken verder dan te weten
of en hoe je een correct gebruik maakt van de wiskunde. Ik vond het zelf ook
bevredigender als ik ze verder kon helpen met hun scriptie dan als ik ze moest
vertellen dat een aangetroffen toepassing correct noch zinvol was.
Om mijn onderwijs te kunnen aanpassen aan de behoeften van
planologiestudenten heb ik contact gezocht met onderwijskundigen. Van hen
heb ik geleerd hoe je onderzoek kunt maken van je onderwijs door de vragen
en reacties van studenten te verwerken tot instructies. Dit bleek een vruchtbare
methode te zijn. Dit heeft mij gestimuleerd tot het maken van instructies die laten
zien wat je aan de basisbegrippen van de logica hebt als je een keuze moet maken.
9

Wiskunde en creativiteit
Studenten Personen Onderwijs Organisaties Locaties Tijd
Studenten studenten ↔ studenten
Studenten vormen de nieuwe
generatie intellectuelen.
Ze kiezen individueel en
groepsgewijs een positie ten
opzichte van elkaar
Personen personen ↔ studenten
Personen dragen bij tot de
ontwikkeling van studenten.
Voor sommige studenten
gelukt het beter dan voor
anderen.
Onderwijs onderwijs ↔ studenten
Het onderwijs behoort
studenten op to leiden tot
zelfstandige onderzoekers.
Organisaties organisaties ↔ studenten
De organisaties dragen de
verantwoordelijkheid voor de
opleiding van de Studenten
Lokaties locaties ↔ studenten
De inrichting van locaties
is van invloed op het
activiteitenpatroon van
studenten.
Tijd tijd ↔studenten
De kijk op de toekomst van
studenten is (mede) van invloed
op hun voorbereiding op de
toekomst.
studenten ↔ personen
Studenten verlangen van
personen dat deze hun
kennis en vaardigheden leren
die van belang zijn voor hun
loopbaan.
personen ↔ personen
De kwaliteit van de
samenwerking van personen
is van invloed op hun
gezamenlijke kwaliteit.
onderwijs ↔ personen
de verzorging van onderwijs
vraagt van docenten dat zij
zich blijven ontwikkelen op
het gebied van onderwijs en
onderzoek.
organisaties ↔ personen
De organisaties zijn
verantwoordelijk voor
de werkzaamheden en
ontplooiing van personen.
locaties ↔ personen
Hier is geen specifieke
invloed te noemen
tijd ↔ personen
Het verleden van personen
is (mede) van invloed op
hun verwachtingen over de
toekomst en daarmee op
hun prestaties
studenten ↔ onderwijs
De vraag van studenten naar de
aard en de omvang van onderwijs
is van invloed op de aard en de
omvang van het aanbod van
onderwijs
personen ↔ onderwijs
Behalve van kennis zijn de
opvattingen van personen
over onderwijs, onderzoek en
studenten van invloed op de
kwaliteit van onderwijs.
onderwijs ↔ onderwijs
de afzonderlijke studieonderdelen
van een opleiding moeten
tezamen leiden tot een geheel
organisaties ↔ onderwijs
De organisaties zijn
verantwoordelijk voor her
onderwijsaanbod.
locaties ↔ onderwijs
De inrichting van locaties kan
van invloed zijn op het gebruik
van het onderwijsaanbod
tijd ↔ onderwijs
Ervaringen uit het verleden met
onderwijs leiden tot nieuwe
keuzen voor de toekomst.
10
studenten ↔ organisaties
Studenten verlangen van
organisaties dat deze zich inzetten
voor hun belangen
personen ↔ organisaties
Personen verlangen van
organisaties dat deze zich inzetten
voor hun belangen.
onderwijs ↔ organisaties
Het belang van goed onderwijs
vraagt van organisaties dat zij de
goede keuzen maken en passende
maatregelen treffen.
organisaties ↔ organisaties
De overheid, werkgevers- en
werknemersorganisaties
en studentenvakbonden
onderhandelen over het
universitaire onderwijs.
locaties ↔ organisaties
Hier is geen specifieke invloed te
noemen.
tijd ↔ organisaties
De tijdsbesteding van organisaties
is van invloed op de kwaliteit van
hun keuzen.
studenten ↔ locaties
Activiteiten van studenten
vragen om daartoe
geschikte locaties.
personen ↔ locaties
Hier is geen specifieke
invloed te noemen.
onderwijs ↔ locaties
Concentraties van
opleidingen vragen om
daarop ingerichte locaties
organisaties ↔ locaties
Organisaties gebruiken
ruimte om onderwijs en
onderzoek te kunnen
verzorgen. Daarmee
oefenen ze invloed uit op
de inrichting van locaties.
locaties ↔ locaties
Bij spreiding van
onderwijsvoorzieningen
is goede onderlinge
bereikbaarheid van belang.
tijd ↔ personen
De tijd die personen ter
beschikking staat, is van
invloed op hun prestaties.
studenten ↔ tijd
De studenten zijn de intelligentsia
van de toekomst. Het niveau dat zij
nu bereiken, is van invloed op het
niveau van de intellectuelen van de
toekomst.
personen ↔ tijd
De kwaliteit van de huidige
personen is de basis voor de
kwaliteit van de personen van de
toekomst.
onderwijs ↔ tijd
Het onderwijs van nu is van
invloed op bet aanbod aan
goedopgeleiden in de toekomst.
organisaties ↔ tijd
De verwachtingen van de
organisaties over wat er in de
toekomst zal gebeuren, is van
invloed op hun beleid.
locaties ↔ tijd
Hier is geen specifieke invloed te
noemen.
tijd ↔ tijd
De tijd die voor onderwijs ter
beschikking wordt gesteld, is van
invloed op de kwaliteit van het
onderwijs in de toekomst.

Die basisbegrippen zijn:
Wiskunde en creativiteit
* Waarheid. Bij elke keuze speelt waarheid een rol. Daarbij is er een verschil
in toepassing van de logica ten aanzien van de objectiviteit van feiten
en de subjectiviteit van oordelen. Dit geldt voor de wetenschap, de
politiek en de rechtspraak. Feiten en meningen of oordelen zijn echter
aan elkaar gekoppeld: we hebben een mening over feiten en met feiten
onderbouwen we onze meningen.
* Gelijkheid. Doordat er dingen feitelijk hetzelfde zijn en doordat we dingen
hetzelfde vinden, kunnen we onderscheid maken in overeenkomsten en
verschillen en dit maakt ordening mogelijk. Dit passen we zowel op
feiten als op meningen toe. Ook voor gelijkheid is er verschil in wat
objectief en subjectief als hetzelfde geldt.
* Groter en kleiner en alle andere woorden voor vergelijkingen in de zin van
meer en minder. We kiezen omdat we oordelen dat het een beter is dan
het ander. Ook feitelijk zijn er dan zaken die meer of minder zijn. De
logische regels die voor feiten en getallen gelden, gaan echter niet altijd
op voor alle oordelen. Honderd studenten is meer dan vijfentwintig
studenten en vijfentwintig studenten is meer dan vijf studenten, maar
per geval wordt beoordeeld of dit te grote, of te kleine aantallen
zijn of dat deze aantallen vallen binnen de marges die aan een doel
beantwoorden.
* Verzamelingen. Ook al werkt men niet met dergelijke benoemde objecten
om het kader te geven van een tekst of onderzoek, er zijn altijd objecten
van dit type te vinden Met het voorbeeld heb ik dit hopelijk duidelijk
gemaakt.
* Kwantoren. Een kwantor is een symbool dat je kunt toevoegen aan de
objecten die in een uitspraak voorkomen. Die toevoegingen maken
duidelijker voor welke objecten uitspraken wel gelden en voor welke
niet. De bepaling dat uitzonderingen van belang zijn, is een oordeel.
11

Wiskunde en creativiteit
Als ervaren gebruiker van deze begrippen ben ik de eerste om aan te raden
deze begrippen toe te passen in combinatie met het vermogen om te bepalen
welke keuze geschikter is dan de andere. Dat vermogen maakt dat er een moment
komt dat we kunnen stoppen.
Twijfelt u, bent u het oneens met de keuzen die u worden voorgelegd, zit
u vast of denkt u niet verder te kunnen, probeer het dan eens op de manier
die ik u hier heb voorgelegd. U kunt de begrippen gebruiken zoals u het beste
uitkomt. De ene keer brengt het onderscheid tussen feiten en meningen u op een
nieuw idee. Een andere keer helpt het om waar dat maar kan, gebruik te maken
van kwantoren. Het maken van een relatieschema is in vrijwel alle gevallen een
probaat middel om orde aan te brengen in de informatie die u wilt verwerken.
Ik dank u voor uw aandacht.
Het laatste woord vertrouw ik met genoegen toe aan de studenten.
12

Wiskunde en creativiteit
EEN CHECKLIST VOOR DE VOORBEREIDING, UITWERKING, UITVOERING
EN PRESENTATIE VAN ONDERZOEK 1
DE VOORBEREIDING
Je moet eerst het probleem doorhebben en weten wat je wilt:
• Wetenschappelijk
• Maatschappelijk
• Persoonlijk.
Je moet een structuur opbouwen.
INZICHT IN HET PROBLEEM
• Wat is het onderwerp en wat is het probleem? Is er een samenvatting in weinig
woorden?
• Wat zijn de wetenschappelijke, de maatschappelijke en de persoonlijke doelen?
• Wat zijn de wetenschappelijke, de maatschappelijke en de persoonlijke belangen?
• Wat is de vraag?
• Is deze vraag gericht op een beschrijvend antwoord (en niet slechts te beantwoorden
met ja of neen)?
• Is deze vraag juist afgebakend; is de vraag te ruim noch te precies geformuleerd?
• Is de vraag in duidelijke woorden uitgedrukt (en niet in ingewikkelde normatieve
termen)?
• Van welke objecten maak je verzamelingen?
• Kun je een (voorlopige) afbakening geven van de verzameling die door de objecten
wordt gevormd?
• Hoe spelen deze objecten mee bij de doelen en de belangen en (hoe) komen ze
voor in de vraag?
• Welke onderlinge relaties kun je formuleren voor deze objecten?
• Zijn deze onderlinge relaties als invloeden op elkaar en dus ook als afhankelijkheden
van elkaar voor deze objecten beschreven?
1 Voor een uitgebreide toelichting zie Hakkenberg, A. Keuzen en logica in onderzoek en beleid.
Van Gorcum n.v. Assen, 1992, 172 p.
13

Wiskunde en creativiteit
• Komen in de formulering van de relaties andere belangrijke objecten of begrippen
voor?
• Wordt de vraag als richtsnoer gebruikt bij de beschrijving van de relaties?
• Leiden de relaties afzonderlijk tot een analyse van de vraag?
• Leiden de relaties gezamenlijk tot de structuur van de vraag?
• Komen in de relaties (nog andere) objecten voor waarmee je een verzameling zou
kunnen vormen?
• Heb je gekozen hoe je verder zult gaan?
• Vind je het spannend om verder te gaan?
De uitwerking
Werk je opzet uit.
Inzicht in de uitwerking van de opzet
• Wat zou je idealiter van de relaties willen weten?
• Met welke reële informatie kan die ideale informatie worden benaderd?
• Wat weet je daarvan al en wat weet je (nog) niet?
• Over welke feiten beschik je, aan welke twijfel je en welke wil je onderzoeken?
• Welke opvattingen zijn er en waarmee ben je het eens en waarmee niet?
• Welke orde-relaties of vergelijkingen in de zin van meer en minder komen voor en
welke keuzemogelijkheden kunnen ermee worden aangegeven?
• Wat beschouw je als hetzelfde en wat zijn voor jou relevante verschillen? (Denk
hiervoor aan je objecten maar ook aan wat je kunt gebruiken van andere
onderzoeksresultaten, publicaties, theorieën of situaties.)
• Welke relaties zijn in het algemeen, voor alle objecten, geldig en welke alleen
voor sommige objecten? Heb je in dit laatste geval voorbeelden van beide
mogelijkheden?
• Wat zijn je conclusies over de resultaten tot nu toe?
• Ga je enthousiast naar de volgende fase?
De uitvoering
Bedenk en gebruik de bronnen, verwerf en verwerk de verkregen informatie.
Mogelijkheden en beperkingen van de uitvoering
• Welke gegevens zijn (wellicht) te verkrijgen (kunnen bestaan)?
• Welke van deze informatie is reeds beschikbaar?
• Welke bronnen zijn er of zijn denkbaar?
14

Wiskunde en creativiteit
• Welke van deze bronnen zijn toegankelijk (binnen de gestelde tijd)?
• Welke daarvan ga je gebruiken?
• Welke informatie of kennis ontbreekt nog?
• Tot welke relaties ga je het onderzoek (nu) beperken?
• Wat betekent dit voor het onderzoek en de probleemstelling?
• Op welke wijze ga je de ontbrekende informatie aanvullen?
• Hoe ga je deze verwerken; welke methoden en welke technieken ga je toepassen?
• Wat zijn van dit alles de resultaten en hoe verwerk je dit tot een geheel?
• Ga je met plezier je resultaten presenteren?
De presentatie
Presenteer je werk op een voor anderen duidelijke manier en draag er zorg voor dat zij
jouw keuzen kunnen volgen en eventueel controleren.
De resultaten duidelijk aan derden gepresenteerd
• Is er een titel en is deze titel een vlag die de lading dekt?
• Is er een voorwoord waaruit de positie van de maker(s) van het werkstuk blijkt?
• Is er een inhoudsopgave waaruit de inhoud duidelijk blijkt?
• Zijn de verschillende doelen en belangen van het werkstuk behandeld?
• Is een doelgroep gekozen (met belang bij de resultaten)?
• Is er een toelichting op de probleemstelling? Is niet alleen de aanvankelijke, maar
ook de uiteindelijke probleemstelling gegeven?
• Zijn de objecten uitgewerkt die als verzamelingen in de vraag of de probleemstelling
voorkomen?
• Zijn de begrippen gedefinieerd die in het probleem een fundamentele rol spelen
en als gegeven worden beschouwd?
• Is een beschouwing gewijd aan de informatie die idealiter nodig is om de
onderzochte relaties mee te beschrijven?
• Is een keuze gemaakt voor de informatie waarmee de onderzochte relaties worden
benaderd en is deze keuze verantwoord?
• Is een keuze gemaakt en verantwoord voor de methoden waarmee ontbrekende
informatie is gezocht?
• Is een beschrijving gewijd aan de voor- en nadelen van de gebruikte methoden?
• Zijn kwalitatieve en kwantitatieve normen voorzien van bijbehorende criteria?
(Woorden als ‘goed’, ‘redelijk’, ‘vrij goed’, ‘vrij nauwkeurig’, ‘redelijk tevreden’ en
‘voldoende’ zijn subjectief en daardoor voor een lezer onduidelijk.)
15

Wiskunde en creativiteit
• Is volgens de gangbare aanwijzingen verwezen naar de gebruikte bronnen?
• Zijn conclusies getrokken over de resultaten van het werk (inclusief de
bruikbaarheid van de uitgewerkte methode)?
• Is jargon vermeden, zijn de zinnen kort en helder?
• Ben je tevreden over je werk?
16

Nawoord
Wiskunde en creativiteit
Het afgelopen jaar heeft Anneke Hakkenberg ons begeleid bij bet schrijven van een
kleine scriptie. Hoewel wij los van elkaar de scriptie hebben geschreven, hebben wij een
gemeenschappelijk beeld van haar methode en persoon.
Annekes methode begint bij het gezonde verstand. Je wordt geprikkeld door iets en
je besluit hier onderzoek naar re doen. Voordat je op zoek gaat naar informatie maak je
keuzes in de afbakening van je onderzoeksobject. Het relatieschema brengt hier structuur
in aan. Met behulp van deze structuur ben je in staat gericht informatie te zoeken en deze
helder te presenteren. Zo wordt het onderzoek inzichtelijk zowel voor de onderzoeker
zelf als voor de lezer. Door de methode die Anneke ons heeft geleerd, zijn we in staat om
eigen onderzoek te structureren. Daarnaast biedt de methode je handvatten om literatuur
te doorgronden en op structuur te beoordelen.
Anneke zorgt ervoor dat je trots kunt zijn op je werk. Ze laat je zelf je weg ontdekken
tijdens het onderzoek. Op momenten dat je vastloopt, weet zij je te motiveren door
te gaan, laat zij je zien dat je verder bent dan je denkt of laat ze je een nieuwe ingang
ontdekken waardoor je verder kunt.
Wij hebben Anneke leren kennen als een enthousiast en oprecht geïnteresseerd persoon.
Tjakko Dijk
Joram Grünfeld
Walter Loumnan
Maartje Swüste
17