83-3 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

In het tijdschrift Pythagoras stond in het nummer van januari 2005 de volgende opgave:
De rij van Fibonacci, waarvan de elementen genoteerd worden met F i , wordt als volgt
geconstrueerd: F 0 = 0, F 1 = 1, en verder geldt: F i = F i – 1 + F i – 2 . Bewijs dat er voor elk
positief geheel getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud
zijn van n.
Hoe pak je zo’n opgave aan? Je kunt beginnen met de rij van Fibonacci een eind op te schrijven,
om vervolgens te onderzoeken of je voor verschillende getallen n een element van de rij kunt
vinden dat deelbaar is door n.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Al doende kun je dan op de volgende
observatie komen:
Als n een priemgetal ongelijk aan 5 is, dan is
F n – 1 of F n + 1 deelbaar door n.
Je ziet dat bijvoorbeeld F 8 deelbaar is door
7 en F 10 door 11. Ook zie je dat bijvoorbeeld
10 niet een deler is van F 9 of F 11 . De
omgekeerde bewering schijnt dus ook waar:
een samengesteld getal n is niet een deler van
F n – 1 of F n + 1 . Met behulp van de grafische
rekenmachine verifieerde ik beide uitspraken
tot aan n = 200 en vond steeds dat ze
klopten… Zijn we hier op het spoor van
een priemtest gekomen, een test om te
onderzoeken of een gegeven getal al of niet
een priemgetal is? Valt dit te bewijzen?
Ik schreef over dit probleem aan Hendrik
Lenstra, hoogleraar aan de Universiteit
Leiden, met het verzoek of het mogelijk zou
zijn om bij hem als ‘Leraar In Onderzoek’
dit probleem uit te diepen. Zijn antwoord
kwam snel: De ene kant op is te eenvoudig
voor twee jaar onderzoek, de andere kant
op is niet waar. Niks priemtest. Op puur
theoretische gronden had hij al een tegenvoorbeeld
van 15 cijfers geconstrueerd.
Toch ging ik bij hem aan de slag, met een
aan Fibonacci-rijen gerelateerd onderwerp.
Bij wijze van voorbereiding zijn we echter
begonnen met het onderzoeken van mijn
oorspronkelijke vraag. Van enkele resultaten
hiervan wil ik in dit artikel verslag
doen.
Voor de geïnteresseerden wil ik, in het kort,
nog even terugkomen op de oorspronkelijke
opgave uit het tijdschrift Pythagoras.
Als je, bij gegeven n, kijkt naar de resten
die je krijgt wanneer je de getallen van de
rij van Fibonacci deelt door n, dan blijken
deze resten een periodieke rij te vormen.
Neem bij wijze van voorbeeld n = 8. Dan
krijg je de rij:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, …
Het ziet er naar uit dat de rij na 12 stappen
repeteert. Valt dat te bewijzen en gebeurt
dat voor iedere n?
Neem een willekeurige n. Er zijn na
deling door n dan n verschillende resten
mogelijk (0 tot en met n – 1) en voor een
tweetal opeenvolgende resten zijn er dus
n 2 mogelijkheden. Als je de resten neemt
van de eerste n 2 + 2 getallen van de rij van
Fibonacci levert dat n 2 + 1 opeenvolgende
paren op. Minstens twee van deze paren
moeten dan identiek zijn. Ieder van deze