De kettinglijn - TU Delft

De kettinglijn
Het eigengewicht van een kabel is niet een gelijkmatig verdeelde belasting per horizontaal
gemeten lengte maar een gelijkmatig verdeelde belasting per eenheid van lengte gemeten
langs de kabel. Ten opzichte van de gebruikelijke modellering moet de vergelijking voor het
verticale evenwicht worden aangepast. In de onderstaande figuur wordt dit verder
verduidelijkt.
Voor het verticale evenwicht moet gelden:
dV + qods = 0
met:
ds = dx + dz
2 2 2
⎛dz ⎞
ds = 1+
⎜ ⎟ dx
⎝dx ⎠
Figuur 1 : Eigengewicht van een kabelsegmentje
2
2
Ir J.W. Welleman - 1 -
2
dV
=− qo dx
resteert:
⎛dz ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝dx ⎠
en met: V = H× tanα = H× z'
− Hz '' = q 1+ z '
o
Ten opzichte van de gebruikelijke differentiaal vergelijking voor een kabel is het rechterlid
gewijzigd. Vervelend van deze D.V. is echter dat in het rechterlid nu een afhankelijkheid van
de stand van de kabel is komen te staan. Extra hinderlijk is verder dat deze term ook nog eens
gekwadrateerd en onder een wortelteken zit.
De oplossing van deze D.V. is bekend: (voor een afleiding van deze oplossing zie het katern verderop)
H qx o
z =− cosh( − + C ) + C
q H
o
1 2
Essentieel verschil van deze algemene oplossing met die van de gebruikelijke D.V. voor
kabels is de cosh-vorm. De kabelvorm van de oplossing is nu geen polynoom maar een
cosinus-hyperbolicus en staat bekend als de “kettinglijn”.

Oplossen van de D.V.
Voor het oplossen van deze D.V. is echter een eenvoudige “wiskunde truc” voorhanden, de subsitutie.
Achtereenvolgens wordt eerst een substitutie uitgevoerd, vervolgens worden de variabelen gescheiden en ten slotte
wordt met behulp van bekende primitieven de oplossing gevonden. Deze handmethode is uiteraard volledig
ouderwets en kan eenvoudig worden vervangen door het gebruik van MAPLE maar voor de echte wiskunde-knobbels
is een boekje als “Mathematical Tables and Formulas” van Robert D. Carmichael een must om te hebben.
z'= r
dr
z '' =
dx
Hr ' =− qo 2
1+ r scheiden en
dr
r ' =
dx
dr
2
1+
r
qo
=− dx
H
qx o
arc(sinh( r)) =− + C1
H
qx o r = sinh( − + C1)
H
z'= r dus z = ∫ rdx
H qx o
z =− cosh( − + C ) + C
q H
o
1 2
Eigenschappen van de sinh(x) en de cosh(x) :
Ir J.W. Welleman - 2 -
x − x
e − e
sinh( x)
=
2
x − x
e + e
cosh( x)
=
2
cosh( xdx ) = sinh( x)
∫
∫
∫
sinh( xdx ) = cosh( x)
dx
= arc(sinh( x))
2
x + 1
Mathematical
Tables and
Formulas van
R.D.Carmichael

Voorbeeld : Kettinglijn
Voor het onderstaande kabelprobleem wordt gevraagd de kettinglijn te bepalen en deze te
vergelijken met de oplossing van de gebruikelijke D.V. voor een kabel. De belasting per
eenheid van lengte gemeten langs de kabel is qo. Het assenstelsel is, om de oplossing niet
nodeloos gecompliceerd te maken, gekozen halverwege de overspanning l.
Figuur 2 : Kabel onder eigengewichtbelasting
Voor dit kabelprobleem gelden de volgende randvoorwaarden:
x= 0; z = 0; z'=
0
Invullen van deze voorwaarden in de algemene oplossing levert:
H
0 =− cosh( C ) + C
qo
0 = sinh( C )
Dit levert:
C1
= 0
H
C2
=
q
o
met als oplossing:
1
1 2
H qx o H
z =− cosh( − ) +
q H q
o o
Uiteraard kan deze oplossing worden getransformeerd naar een oplossing voor een andere
gekozen ligging van het assenstelsel, b.v. ter plaatse van het linker steunpunt. Deze
transformatie wordt aan de lezer overgelaten.
In hoeverre lijkt deze oplossing nu op de oplossing van het gebruikelijke kabelprobleem
waarbij de belasting is gegeven per horizontaal gemeten eenheid van lengte ?
Ir J.W. Welleman - 3 -
l
z
x

Om hier een antwoord op te kunnen geven wordt een veel gebruikte techniek uit de wiskunde
toegepast. De oplossing van de kettinglijn wordt m.b.v. een Taylor-reeksontwikkeling
benaderd en deze reeks wordt vergeleken met de “gebruikelijke” polynoom-oplossing.
H qx o H
zx ( ) =− cosh( − ) +
q H q
o o
hulpgereedschap voor Taylor:
z'( x)
=
qx o sinh( − )
H
z''( x)
=
qo qox − cosh( − )
H H
z'''( x)
=
2
qo qox sinh( − )
2
H H
Taylorbenadering rond 0 :
2 3
x qo
x
z(0 + x) ≈ 0 + 0. x+
. − + .0
2 H 3!
2
qx o zx ( ) ≈−
2H
Uiteindelijk blijkt de benadering van de cosinus-hyperbolicus rond de oorsprong van het
assenstelsel de 2 e graads polynoom oplossing van de “gebruikelijke” kabelvergelijking op te
leveren. Voor praktische kabeltoepassingen zal de parabolische oplossing veelal voldoen
echter zeker voor grote kabelconstructies zijn afwijkingen mogelijk en deze zijn volledig te
verklaren uit het feit dat de kettinglijn niet exact samenvalt met de parabolische oplossing van
de “gebruikelijke” kabelvergelijking.
qz o
H
Figuur 3 : Verschil tussen kettinglijn en parabolische oplossing
Ir J.W. Welleman - 4 -
kettinglijn
parabool
qx o
H