F - TU Delft

ConstructieMechanica 3
7-17 Stabiliteit van het evenwicht
• Inleiding
• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)
• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad
• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)
• Statisch bepaalde op druk belaste staaf
• Algemene aanpak met de D.V.
• Verend ingeklemde buigzame staven
• Gekoppelde systemen
• Knik en de EUROCODE 3
• 2 e orde effecten
• Naknikgedrag
• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor
• Vergrotingsfactor voor buigzame staven
• Bezwijken door instabiliteit
CT2031 COLLEGE 9
Ir J.W. Welleman bladnr 1

SYSTEMEN MET 2 VRIJHEIDSGRADEN
VOORBEELD 10
EVENWICHT ?
h
F F
u1
star star
EI
l
Ir J.W. Welleman bladnr 2
u2
Merk op :
We maken met opzet nog even geen gebruik van het
“natuurlijke” gevoel dat de grootte van de
verplaatsingen vanwege symmetrie gelijk moeten zijn.

VRIJMAKEN EN EVENWICHTSVERGELIJKINGEN OPSTELLEN
θA
A
u1
Vrijgemaakt
MA
F
MA
Ligger A-B vormt een veer :
⎡M A ⎤ EI ⎡4 2⎤
⎡θ A ⎤
⎢
M
⎥ =
B l
⎢
2 4
⎥ ⎢
θ
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ B ⎦
LET OP : 2 delen, dus 2 vergelijkingen
θA
Vrijgemaakt
Ir J.W. Welleman bladnr 3
θB
MB
MB
θB
B
u2
F

STEL MOMENTENEVENWICHT OP VOOR BEIDE DELEN
linker deel:
F.h. θ A = M A
rechter deel:
⇒
⎛ 4EI ⎞ 2EI
⎜ − F.h ⎟θ
A + θB
= 0
⎝ l ⎠ l
2EI ⎛ 4EI
⎞
F.h. θB = M B ⇒ θ A + ⎜ − F.h ⎟θ
B = 0
l ⎝ l ⎠
WAT STELT DIT VOOR ?
Ir J.W. Welleman bladnr 4

EIGENWAARDE PROBLEEM
⎡k
⎢
⎣
xx
k
−
λ
yx
k
kxy
⎤⎡u⎤
− λ
⎥⎢
v
⎥
⎦⎣
⎦
yy
( K − λI
) . u = 0 ⇒ K.
u = . u
= 0 ⇒
λ
• homogeen stelsel vergelijkingen (rechterlid is nul)
• alleen een niet-triviale oplossing indien de determinant van de matrix
nul is.
• Door oplossen van het karakteristiek polynoom worden twee waarden
gevonden voor de nog onbekende waarde λ
• Deze waarden noemen we de eigenwaarden (knikkracht)
• Bij iedere eigenwaarde hoort een eigenvector (uitbuigingsvorm)
• Deze wordt gevonden door de betreffende eigenwaarde in het stelsel
te substitueren
Ir J.W. Welleman bladnr 5

UITWERKEN
stel :
EI
β =
h. l
⎡4β − F
⎢
⎣ 2β 2β
⎤ ⎡θ A ⎤
4β
− F
⎥ ⎢
θ
⎥
⎦ ⎣ B ⎦
4β − F 2β
2 2
det = 12β − 8β F + F = 0
2β 4β
− F
( ) ( )
Ir J.W. Welleman bladnr 6
=
0
F − 2 β . F − 6β = 0 ⇒ F = 2 β ; F = 6β
laagste knikkracht is maatgevend
1 2

BEPALEN VAN DE UITBUIGINGSVORM, KNIKVORM
(bepaal de eigenvectoren)
Substitueer per “mode” de eigenwaarde in het stelsel :
F
1
2βθ + 2βθ = 0
2βθ A + 2βθ B = 0 stel : θ A = µ →
⎛ 1 ⎞
θ B = −µ ⇔ θ = µ ⎜ ⎟
⎝ −1⎠
F = 6β
2
= 2β
A B
− 2βθ + 2βθ = 0
A B
⎛1⎞ 2βθ A − 2βθ B = 0 stel : θ A = λ → θB = λ ⇔ θ = λ ⎜ ⎟
⎝1⎠ Ir J.W. Welleman bladnr 7

RESULTAAT
star
F1
u u
EI
Laagste kniklast = maatgevend
F k
Zie ook dictaat blz 104 voorbeeld 2.
=
2EI
h.
l
F1
star
Merk op :
F2
u u
star star
Ir J.W. Welleman bladnr 8
F2
EI
De uitbuigingsvorm is wel bekend, de uitbuiging
zelf is onbekend !

l
x
EI
BUIGZAME STAVEN
F
oneindig veel
vrijheidsgraden
w(x) ?
x, w
• Statisch bepaalde buigzame drukstaaf
• Statisch onbepaalde buigzame drukstaaf
• Verend ingeklemde buigzame drukstaaf
Ir J.W. Welleman bladnr 9

l
STATISCH BEPAALDE BUIGZAME DRUKSTAAF
x
EI
EULER
F
k
F
=
oneindig veel
vrijheidsgraden
w(x) ?
π
x, w
2
l
EI
2
k
kniklengte
kniklengte
kniklengte
kniklast → knikvorm → kniklengte
buigpunt
Ir J.W. Welleman bladnr 10

VOORBEELD 11
Tuien (7,5 m) :
EA=2500 kNm
4,5 m
4,5 m
Gevraagd : De knikkracht en de knikvorm
F
EI=2500 kNm 2
6,0 m
Ir J.W. Welleman bladnr 11

KNIK EN DE VOORSCHRIFTEN (EUROCODE 3)
• TOETS DE DRUKKRACHT IN DE UITERSTE
GRENSTOESTAND (BEZWIJKEN !!!)
• KNIK IS EEN (GEVAARLIJK=VEILIGHEID=BEZWIJKEN)
FENOMEEN DAT GETOETST MOET WORDEN IN DE
UITERSTE GRENSTOESTAND
• HOE KOMEN WE VAN EULER (KNIKKRACHT) OP
WERKELIJK TOETSBARE DRUKKRACHTEN ?
Ir J.W. Welleman bladnr 12

KNIKSPANNING
Euler
Spanning
F
σ
Euler 2
Lcr
b
=
2
π EI
=
F
Euler
A
2
b 2
cr
( buckling )
I I
Knikspanning σ = π E met: i = ( traagheidstraal)
L A A
i π E L
Knikspanning σ π E met: λ ( slankheid)
2 2
b =
2
= 2
Lcr 2
λ
=
cr
i
Ir J.W. Welleman bladnr 13

VERLOOP VAN DE “KNIKSPANNING”
σ
b y
2
π E
≤ f 2 y
λ
GRENSWAARDE:
λ
1
≤
=
f
2
π E
f
y
STAAL E=2.1×10 5 N/mm 2
Onderzoek verschillende staalsoorten
S355 vloeigrens fy= 355 N/mm 2 λ1=76,4
S235 vloeigrens fy = 235 N/mm 2 λ1=93,9
Ir J.W. Welleman bladnr 14

SPANNING ALS KNIKCURVE
σ [N/mm 2 ]
355
235
S355
S235
λ1 =76.4
Werkelijkheid
λ1 =93.9
σ
2
π E
λ
b 2
Ir J.W. Welleman bladnr 15
=
Euler
λ

σ
χ = b
KNIKCURVE EN DE NORM
assen dimensieloos maken door:
1,0
Stap 2 :
Bepaal
knikreductie-factor
(formules)
fy
1,0
1
λ
2
Stap 1 : bepaal relatieve slankheid
⎧ σ k
⎪y
− as χ =
⎪
f y
⎨
⎪ λ
x − as λ =
⎪
⎩
λ 1
Stap 3 : bepaal draagvermogen
σ = χ ⋅
b y
Ir J.W. Welleman bladnr 16
λ =
λ
N
b,Rd
=
f
χ ⋅ A⋅ f
γ
M1
draagvermogen van de op
knik belaste staaf
λ
1
y

EUROCODE 3
Knikcurve is afhankelijk van het type doorsnede
rekenwaarde van de
normaalkracht (belasting)
χ a0
Euler
a0
a
b
d
c
d
NEd <
Nb,Rd
rekenwaarde van het
draagvermogen (sterkte)
Ir J.W. Welleman bladnr 17
λ