116 Statistiek - Quickprinter

116
1ste bach TEW (HIR)
Statistiek I
Goos - Kessels
Q uickprinter
Koningstraat 13
2000 Antwerpen
www.quickprinter.be
4.25 EUR

QUICKPRINTER
Copy & Printshop
Koningstraat 13 - 2000 Antwerpen
Tel. : 03 233 22 11
Kopies - Kleurenkopies - Thesis - Studentencursussen - Inbinden
www.quickprinter.be
NIEUW !!!
Verkooppunt 2de hands boeken!
Biedt je oude boeken via ons te koop aan!
OPENINGSUREN :
Maandag tot en met donderdag
van 9.00u tot 18.00u
Vrijdag van 9.00u tot 17.00u

Statistiek met (bedrijfs)economische toepassingen 1
SAMENVATTING
Bewijzen van in het boek
Bewijzen die we zelf moesten vinden (“het is een goede oefening om…”)
Gebruik gemaakt van slides tijdens hoorcollege
Voorbeeldoefeningen die de definities etc. verduidelijken
Definities, eigenschappen, opmerkingen enz. van uit het boek
…
Vergeet niet het 2 e boek (‘Kansen en Verwachtingen-Vraagstukken over
kansrekening en statistiek’) ook te doornemen!
Veel succes!!

Hoofdstuk 1: Wat is statistiek?
Statistiek
Definitie: Statistiek
De studie van de variabiliteit.
Een geheel van methodologieën voor het verzamelen, voorstellen, analyseren en interpreteren van data of
gegevens.
verwijst altijd naar numerieke informatie
belangrijke hulpwetenschap
gegevens zijn tegenwoordig massaal aanwezig dankzij de informatisering
Studie-object van de statistiek
Populaties van objecten: Belgische bevolking, klanten van een grootwarenhuis,
verzekeringsnemers, . . .
Processen die objecten genereren: Industriële en chemische productieprocessen
Variabelen (gegevens): Geregistreerde eigenschappen of karakteristieken
Steekproef: Slechts een deel van de objecten wordt bestudeerd
GIGO (Garbage In, Garbage Out): Het feit dat de meest geavanceerde statistische
methoden weinig tot geen betrouwbare informatie
kunnen halen uit gegevens van slechte kwaliteit.
Takken van de statistiek
1) Beschrijvende-/Descriptieve statistiek
a. beschrijven van steekproefgegevens
b. overzichtelijk voorstellen
c. berekenen van een aantal kenmerkende waarden (gemiddelde, variantie, . . . )
2) Verklarende-/Inferentiële statistiek
a. analyseren en interpreteren van steekproefgegevens
b. antwoorden vinden op vragen of hypothesen
c. nagaan wat de waarde is van een model
d. inferentie
= veralgemenen naar de ganse populatie of het ganse proces
Probleem:
Op basis van een steekproef kunnen nooit met zekerheid uitspraken over een
populatie of een proces gemaakt worden.
oplossing: we kunnen wel iets zeggen over de betrouwbaarheid van de uitspraken:
* Betrouwbaarheid, uitgedrukt in: kans(rekening)
* Onbetrouwbaarheid, uitgedrukt in: foutenmarge
Definitie: Kansrekening
Kansrekenen bestudeert processen of experimenten waarvan de uitkomst onzeker is.
Voorbeelden:
gooien van een dobbelsteen, prijs van een aandeel over 1 jaar, vraag naar Dell computers gedurende een
maand, percentage defecte producten op een productielijn gedurende een shift…

Hoofdstuk 2: Data en hun voorstelling
Begrippen
Discrete variabele: Eindig of oneindig aftelbaar aantal verschillende waarden aannemen
Voorbeeld: aantal kinderen/gezin, aantal passagiers/vlucht…
Continue variabele: Een continuüm van waarden kan aannemen
Voorbeeld: lengte, duurtijd, BMI, gewicht…
Data/gegevens: Informatie omtrent 1 of meerdere variabelen van een (beperkt) aantal
elementen van een populatie of gegenereerd door een proces.
Meetschalen
1) Kwalitatieve of categorische variabelen: dicreet
a. nominale meetschaal
b. ordinale meetschaal
2) Kwantitatieve variabelen: dicreet & continu
a. Intervalschaal
b. ratio meetschaal
1) Kwalitatieve of categorische variabelen:
a. Nominale variabelen
Elementen van steekproef/populatie worden in een klasse of categorie geplaatst
Voorbeelden:
geslacht (man/vrouw), nationaliteit (Belg/Nederlander/. . . ),
godsdienst (katholiek/protestants/. . . ), gemeente…
Cijfercodes:
man = 0, vrouw = 1, postnummers van gemeenten
cijfercodes impliceren geen volgorde:
rekenkundige bewerkingen zijn zinloos (behalve percentages)!!
b. Ordinale variabelen
Nominale variabelen waarbij er een ordening is tussen de klassen of categorieën
Voorbeelden:
aantalMichelinsterren van een restaurant, antwoorden op enquêtes: “1: helemaal eens”,
“2: eerder eens”, “3: noch eens, noch oneens”, “4: eerder oneens” of “5: helemaal oneens”
geen vaste meeteenheid
rekenkundige bewerkingen zijn zinloos (behalve percentages)!!
2) Kwantitatieve variabelen
worden uitgedrukt in een aantal vaste meeteenheden
Voorbeelden:
lengte, gewicht, aantal verkochte auto’s, temperatuur, duurtijd, aantal Kb per tijdseenheid…
bijna alle rekenkundige bewerkingen zinvol
a. Intervalschaal:
Geen natuurlijk nulpunt; geen natuurlijke ondergrens
Voorbeeld:
temperatuur (Celsius of Fahrenheit), tijd afgelezen op een klok
verschil tussen 2 en 4 uur = verschil tussen 21 en 23 uur
verhoudingen houden geen steek: 4 uur is niet dubbel zo laat als 2 uur
b. Ratioschaal:
Wel absoluut nulpunt; wel natuurlijke ondergrens
Voorbeeld:
lengte, gewicht, temperatuur (Kelvin). . .
verhoudingen zijn wel zinvol: 2 meter is dubbel zo lang als 1m

Hiërarchie van de meetschalen
I. Variabelen gemeten op ratioschaal zijn meest informatief
II. Intervalschaal
III. Ordinale schaal
IV. Variabelen gemeten op nominale schaal zijn het minst informatief
gegevens gemeten op een hogere schaal kunnen omgezet worden in gegevens op een lagere schaal,
maar niet omgekeerd!
statistische methoden voor lagere meetschalen kunnen gebruikt worden voor hogere meetschalen,
maar niet omgekeerd!
Datamatrix of gegevensmatrix
= Gegevens worden voorgesteld in een matrix:
Rijen: Elementen van een steekproef
Kolommen: Verschillende gemeten variabelen
Observatievector: Een rij in een datamatrix
Voorbeeld:
kolom
rij
Voorstellingen
1) Univariate voorstelling:
Voorstelling die betrekking heeft op 1 variabele
2) Bivariate voorstelling:
Voorstelling die betrekking heeft op 2 variabelen
3) Multivariate voorstelling:
Voorstelling die betrekking heeft op meerdere variabelen
Voorstellen van univariate kwalitatieve variabelen
1) Absolute frequenties en relatieve frequenties:
a. Absolute- van een klasse:
Het aantal elementen van de steekproef die tot de klasse behoren
b. Relatieve- van een klasse:
Verhouding van de klassenfrequentie tot het aantal waarnemingen
of observaties in de steekproef
2) Staafdiagram
3) Paretodiagram:
Diagram waarbij klassen volgens dalende frequentie worden herschikt en daarna cumulatief
worden opgeteld:
a. Vital few: Klassen met de hoogste frequentie
b. Trivial many: Klassen met de laagste frequentie
4) Cirkel-, sector- of taartdiagram

1) Frequenties en staafdiagram
Absolute frequenties en relatieve frequenties:
Absolute frequentie
Staafdiagram van de frequenties:
2) Staafdiagram
3) Paretodiagram
Cumulatieve, relatieve
frequentie
4) Cirkel-, sector- of taartdiagram

Voorstellen van univariate kwantitatieve variabelen
1) Stam- en bladdiagram
aantal stammen = √(aantal waarnemingen)
2) Naalddiagram
absolute- en relatieve frequentie
3) Histogram
aantal klassen = √(aantal waarnemingen)
som van de oppervlakten = 1
Interval onderverdeeld in een aantal klassen/deelintervallen
rechthoeken
4) (Frequentie) polygoon
Interval onderverdeeld in een aantal klassen/deelintervallen
toppen van de rechthoeken zijn met elkaar verbonden adhv een lijnstuk
5) Empirische cumulatieve verdelingsfunctie
1) Stam- en bladdiagram 2) Naalddiagram voor discrete variabelen
3) Histogram voor continue variabelen 4) Frequentiepolygoon voor continue variabelen
5) Empirische cumulatieve verdelingsfunctie

Voorstellen van bivariate variabelen
1) Kruistabel
= meervoudig staafdiagram
tabelvorm
2 verschillende voorstellingen:
2demensionaal:
o Staven naast elkaar
o Staven op elkaar (relatieve frequentie)
3demensionaal:
o Staven naast elkaar
o Staven op elkaar (relatieve frequentie)
2) Puntenwolk/scatter plot
= elke waarneming van de steekproef wordt door een punt voorgesteld
puntenconfiguratie
3) Tijdreeks
1) Kruistabel
2) Puntenwolk 3) Tijdreeks

Voorstellen van multivariate variabelen
1) Gestratificeerde puntenwolk
= verschillende symbolen worden voor verschillende categorieën gebruikt
2) Bubble plot
= puntenwolk waarbij elk symbool een verschillende grootte bezit
1) Gestratificeerde puntenwolk
3 variabelen: 2 kwantitatieve- en 1 kwalitatieve variabele(n)
2) Bubble plot
3 variabelen: 3 kwantitatieve variabelen

Hoofdstuk 3: Beschrijvende statistieken van steekproefgegevens
Wat?
1. Kengetallen of statistieken
samenvatting van steekproefgegevens
ligging/locatie, spreiding en scheefheid
aangeduid m.b.v. Romeinse letters
niet alle kengetallen kunnen voor alle meetschalen gebruikt worden
2. Parameters
kengetallen worden berekend voor een volledige populatie of een gans proces
aangeduid m.b.v. Griekse letters
Kengetallen en statistieken

Kengetallen van centrale ligging of locatie
= waarden die het best de centrale ligging van de gegevens beschrijven
indicatie van hoe groot of hoe klein de gegevens zijn
1) De MODUS
Definitie: Modus voor gegroepeerde gegevens
M0 van een verzameling gegroepeerde waarnemingen is het klassencentrum van de modale klasse,
waarbij de modale klasse de klasse is met de grootste frequentie.
Modus ≠ uniek:
Unimodaal histogram: 1 top
Bimodaal histogram: 2 toppen
Multimodaal histogram: > 1 top
voor elk type van gegevens
2) De MEDIAAN
Definitie: Mediaan van een verzameling waarnemingen
Me is het middelste element van geordende data:
* aantal elementen n oneven: ((n+1)/2)de element
* aantal elementen n even: gemiddelde van het (n/2)de en het (n/2+1)de element
voor ordinale gegevens en kwantitatieve gegevens
Voorbeeld:
16, 13, 14, 17, 14, 16, 17, 16, 15, 13
n = 10 n/2 = 5 en n/2+1 = 6
geordend: 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17
Me = (15+16)/2 = 15.5
Eigenschappen: de Mediaan (Me)
Ongeveer 50% van de waarnemingen ligt onder of boven de mediaan
De mediaan wordt niet beïnvloed door een klein aantal extreme waarnemingen
!! De som van de absolute afwijkingen van de waarnemingen xi t.o.v. een constante c,
, is minimaal indien c = Me
De mediaan is het gemiddelde van een afgeknotte dataset waarin alleen de middenste (de 2
middenste) waarneming(en) behouden blijft (blijven).
3) Het REKENKUNDIG GEMIDDELDE
Definitie: Rekenkundig gemiddelde van waarnemingen
Het rekenkundig gemiddelde van de waarnemingen x1,…,xn is
Voorbeeld:
= (16+13+14+17+14+16+17+16+15+13)= 15.1
Unimodaal
histogram

Definitie: Rekenkundig gemiddelde bij gegroepeerde gegevens
Rekenkundig gemiddelde bij gegroepeerde gegevens:
waarbij xi het klassencentrum van de i-de klasse is, fi de frequentie van de i-de klasse, n de aantal
waarnemingen en k de aantal klassen.
Voorbeeld:
= (11×0+38×1+32×2+9×3+6×4+3×5+1×6) = 1.74
Eigenschappen: Het steekproefgemiddelde
De som van alle waarnemingen is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde vermenigvuldigd
met de steekproefgrootte n :
De som van de afwijkingen van de waarnemingen t.o.v. het gemiddelde is nul:
De som van de gekwadrateerde afwijkingen van de waarnemingen t.o.v. een constante c,
, is minimaal indien c =
Het rekenkundig gemiddelde van een aantal constanten a,…,a is gelijk aan die constante
zelf:
Het rekenkundig gemiddelde van een aantal gegevens x1,…xn, waarop eenzelfde lineaire
transformatie wordt toegepast zodat de getransformeerde dataset ax1 + b,…, axn + b wordt
bekomen, is niets anders dan dezelfde lineaire combinatie van het gemiddelde van de
oorspronkelijke dataset: a
Voor- en nadelen van het rekenkundig gemiddelde
VD: gebruikt alle waarnemingen
ND: gevoelig voor extreme waarden (in tegenstelling tot mediaan)
uitbijters, uitschieters of outliers
Voorbeeld:
(16+13+14+17+14+16+17+16+15+13) = 15.1
(16+13+14+17+14+16+17+16+15+130) = 26.8
in sommige toepassingen is het geometrisch/meetkundig gemiddelde meer aangewezen
(vb.gemiddelde intrestvoeten)
Definitie: Meetkundig gemiddelde van een verzameling waarnemingen
Het meetkundig gemiddelde G van een verzameling waarnemingen x1, … , xn is
enkel zinvol voor positieve waarnemingen!

Maatstaven van relatieve ligging
geeft de positie van een waarneming weer in vergelijking met de waarden van de andere waarnemingen
1) Ordestatistiek: minimum en maximum
2) Percentiel of kwantiel
3) Deciel: wanneer (100 x p) een veelvoud is van 10
4) Kwartiel
5) Mediaan: 5 e deciel = 50 ste percentiel = kwartiel c0.5
1) Ordestatistiek of -kengetal
Definitie: Ordestatistiek of -kengetal
i-de ordestatistiek of -kengetal x(i) in een steekproef van een waarneming is de i-de waarneming nadat de
gegevens gerangschikt zijn van klein naar groot.
x(i) is het i-de kleinste getal
Voorbeeld:
geordend: 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17
x(1) = 13 (minimum), x(4) = 14, x(10) = 17 (maximum)
2) Percentielen of kwantielen
Definitie: Percentielen of kwantielen
(100×p) ste percentiel of kwantiel cp, met 0 < p

Spreiding
A. De elementaire spreidingsmaten:
kunnen gebruikt worden voor ordinale en kwantitatieve gegevens
1. Spreidingsbreedte = Range, R:
2. Interkwartielbreedte, Q:
Definitie: Spreidingsbreedte
De spreidingsbreedte of range, R, van een verzameling is het verschil tussen de waarde van de grootste en
kleinste waarneming, of
gevoelig voor uitschieters!
Definitie: Interkwartielbreedte
De interkwartielbreedte, Q, is gedefinieerd als het verschil tussen het 3 e en het 1 e kwartiel:
.
ongevoelig voor uitschieters!
Boxplot
= grafische voorstelling van univariate, ordinale of kwantitatieve gegevens.
Extreme waarden:
1. Mogelijk extreem:
2. Extreem:
B. Andere maten van spreiding
enkel voor kwantitatieve gegevens
1. Gemiddelde Absolute Afwijking, MAD:
2. Steekproefvariantie, s 2 :
of
Snorharen = whiskers
Definitie: Gemiddelde absolute afwijking = Mean Absolute Deviation, MAD:
De Gemiddelde absolute afwijking of Mean Absolute Deviation, MAD, is het gemiddelde van alle afwijkingen
van het rekenkundig gemiddelde in absolute waarde:

Definitie: Steekproefvariantie, s 2 , van een verzameling waarnemingen
De steekproefvariantie, s 2 , van een verzameling waarnemingen x1,…,xn is het gemiddelde van
gekwadrateerde afwijkingen t.o.v. het rekenkundig gemiddelde, , waarbij gedeeld wordt door n-1 i.p.v. n:
of
BEWIJS: Steekproefvariantie-formules (p41):
=
Gebruik van het feit dat:
Definitie: Steekproefvariantie, s 2 , bij gegroepeerde gegevens
De steekproefvariantie, s 2 , bij gegroepeerde gegevens:
waarbij het klassencentrum van de i-de klasse, i de frequentie van de i-de klasse, n het aantal
waarnemingen en k het aantal klassen.
vrijheidsgraden: de noemer = (n-1)
Opmerkingen:
Variantie
Positief
enkel nul wanneer waarden idem zijn
uitgedrukt in een eenheid die het kwadraat is van de originele meeteenheid

Voorbeeld:
BEWIJS:
De variantie van een lineaire transformatie y1 = ax1 + b,…, yn = axn + b van de waarnemingen x1,…,xn
waarbij a en b constanten zijn, is gelijk aan de variantie van de oorspronkelijke gegevens vermenigvuldigd
met a 2 .

C. Nog andere maten van spreiding
enkel voor kwantitatieve gegevens
1. Steekproefstandaarddeviatie, s:
2. Variatiecoëfficiënt, VC:
Definitie: Steekproefstandaarddeviatie, s
De steekproefstandaarddeviatie of de -afwijking is de (positieve) √ van de steekproefvariantie:
uitgedrukt in dezelfde eenheid als de oorspronkelijke eenheid
BEWIJS:
Wanneer we slechts over 2 waarnemingen beschikken, dan leveren de steekproefstandaarddeviatie
( ) en de spreidingsbreedte ( ) identiek dezelfde informatie:
(zie bewijs: Steekproefvariantie-formules)