Scheepsgolven

Scheepsgolven
Oscar van den Bosch (#3118185)
Tom van Koppen (#3144070)
Golven & Optica (NS-104B)
6 juli 2007
Samenvatting
Een varend voorwerp op het water veroorzaakt een golfverschijnsel
genaamd “scheepsgolven”. Deze golven vormen achter het voorwerp een
V-vorm. De hoek waaronder die golven ontstaan is interessant om te
bekijken.
Het blijkt dat het verschil tussen fasesnelheid en groepssnelheid erg van
belang is. Bij ondiep water blijkt de groepssnelheid afhankelijk te zijn van
de diepte van het water. Uit de dispersierelatie volgt dat bij diep water de
groepssnelheid de helft is van de fasesnelheid, en met deze benadering is
te bewijzen dat de hoek waaronder de golven zich ontwikkelen, bij relatief
diep water, altijd gelijk is aan arcsin( 1 3 ), benaderd 38,94◦ .
1

1 Inleiding
Op het water doen zich veel golfverschijnselen voor. De zwaartekracht heeft veel
invloed op het water, bijvoorbeeld door getijdewerking. Nog interessanter wordt
het als we zelf het water beïnvloeden, een goed voorbeeld hiervan is met behulp
van scheepvaart. Een schip veroorzaakt een bepaald golfpatroon vanwege de
verstoring van de oppervlakte van water, dat transport van energie tot gevolg
heeft.
Al begin 19 e eeuw realiseerde men zich dat dit patroon heel regelmatig was.
Lord Kelvin deed hier uitgebreid onderzoek naar, ook al zijn deze resultaten
nooit gepubliceerd. In diep water vertoonde zich altijd een soort “V” met een
karakteristieke hoek. Deze hoek bleek ongeveer hetzelfde te zijn, of het nou een
zwaar schip op zee betrof of een eend in een vijver.
Figuur 1: Een eend veroorzaakt ook “scheepsgolven”
Het is belangrijk in te zien dat deze golven zich anders gedragen dan geluidsgolven.
Een groot verschil is dat bij scheepsgolven de golfsnelheid afhankelijk is
van de golflengte. Dit heeft onder andere tot gevolg dat de de groepssnelheid
anders dan de fasesnelheid.
2 Snelheid van de golf
Bij eenvoudigere golven zijn golfgetal en hoekfrequentie onafhankelijk van elkaar.
Men kan dus ook stellen dat de (fase)snelheid van een eenvoudige golf gegeven
wordt door:
v f = ω k
(1)
Als de golfsnelheid afhankelijk is van de golflengte echter, wordt het ingewikkelder.
Het is belangrijk te onthouden dat deze fasesnelheid nog steeds bestaat, ook
bij afhankelijkheid tussen golfsnelheid en golflengte. Het betreft dan enkel de
fasesnelheid van één enkel deeltje dat deelneemt aan de golf.
2

Echter, wanneer we wat willen zeggen over de golf als geheel, dus hoe de
golf van vorm verandert in de tijd, maken we gebruik van de groepssnelheid,
gegeven door:
v g ≡ ∂ω
∂k
(2)
3 Diepte van het water
Voor situaties waar de diepte h eindig is geldt de volgende dispersierelatie 1 :
ω = √ gk tanh(kh) (3)
Met ω de hoeksnelheid, g de zwaarteversnelling en k het golfgetal. Als we
dan kijken naar de fasesnelheid, dan wordt deze:
De groepssnelheid wordt dan:
v f = ω √ g
k = tanh(kh) (4)
k
v g = dω
dk = 0.5v 2kh
f(1 +
sinh(2kh) ) (5)
Te zien is dat de fasesnelheid en de groepssnelheid allebei van diepte h afhankelijk
zijn. We kunnen nu de naar de situaties kijken voor diep en ondiep
water door randvoorwaarden daarvoor te stellen.
4 In ondiep water
Voor deze situatie geldt: h>>λ, dus kh>>1.
Uit de dispersierelatie volgt nu:
ω = k √ gh (6)
dus de fasesnelheid respectievelijk de groepssnelheid wordt nu:
v f,ondiep = √ gh (7)
v g,ondiep = v f,ondiep (8)
Te zien is dat voor ondiep water de fasesnelheid en de groepssnelheid alleen
afhankelijk zijn van diepte h.
5 In diep water
Voor deze situatie geldt: h>>λ, dus kh>>1. Uit deze randvoorwaarden volgt
voor de dispersierelatie in diep water:
1 L. Ellerbroek, In het kielzog van Kelvin, UvA, 2006
ω = √ gk (9)
3

In diep water hangt de voortplantingssnelheid dus af van de golflengte. Voor
de fase- en groepssnelheid geldt nu:
√ g
v f,diep =
k
(10)
v g,diep = 1 2 v f,diep (11)
We kunnen nu kijken naar de hoek van de kielzog veroorzaakt door een boot
varende op diep water. Nu kunnen we een kwalitatieve tekening maken van de
situatie.
Figuur 2: Boot met kielzog, geometrische schets
Op punt Q zal de golf veroorzaakt door de boot zich voortplanten met een
snelheid v g = 1 2 v f. Na een tijd t = t 0 zal de boot zich op het punt O bevinden.
De hoek tussen de verplaatsingsrichting van het schip en de rand van het golffront
veroorzaakt bij punt Q noemen we θ. Te zien in de bovenstaande figuur
is dat:
sin(θ) = 1 3
(12)
Ofwel,
arcsin(1/3) = θ ≈ 19.47 ◦ (13)
De booghoek achter een schip zal dus altijd 38.94 graden zijn, onafhankelijk
van de snelheid van de boot.
4

6 Conclusie
Het blijkt dat de groepssnelheid dus een cruciale rol speelt in de vorming van
scheepsgolven. Als men aanneemt dat de diepte van het water veel groter is dan
de golflengte die door het schip geproduceerd wordt, blijkt dat de groepssnelheid
de helft is van de fasesnelheid. In zo’n geval is op geometrische gronden te
bepalen dat de hoek waaronder de scheepsgolven ontstaan altijd gelijk is aan
arcsin 1 3 , benaderd 38,56◦ .
Een eend produceert een kleinere golflengte dan een schip, en hoeft daarom
in minder diep water te zwemmen. Hierdoor zal die hoek dus niet tot nauwelijks
afwijken van de hoek van een groot schip, iets wat je intuïtief misschien niet had
verwacht.
5