grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

GRONDSLAGEN VAN DE
QUANTUMMECHANICA
J. HILGEVOORD
INSTITUUT VOOR GESCHIEDENIS EN GRONDSLAGEN
VAN DE
WISKUNDE EN NATUURWETENSCHAPPEN
UNIVERSITEIT UTRECHT
OKTOBER 2001

0
VOORWOORD
Het voor u liggende geschrift dient ter ondersteuning van het college Grondslagen van de Quantummechanica,
dat verzorgd wordt door het Instituut voor Geschiedenis en Grondslagen van de
Natuurwetenschappen van de Universtieit Utrecht. De oorspronkelijke tekst is in 1989 door Jan
Hilgevoord geschreven. Sinds zijn emiritaat in 1992 is het college door andere leden van het instituut
overgenomen, en zijn talloze aanvullingen en wijzigingen in de tekst aangebracht, met name
door Dennis Dieks, F.A. Muller en ondergetekende. Helaas brengen pogingen de tekst te verbeteren
vaak zelf weer nieuwe onvolkomenheden met zich mee, zodat deze revisie een voortdurend proces is.
De huidige versie, (de negende) is ten opzichte van de voorafgaande wederom grondig herzien.
Op- en aanmerkingen blijven zeer welkom.
Jos Uffink
Utrecht, november 2001

INHOUDSOPGAVE
I CONCEPTUELE PROBLEMEN 3
I.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2 Onvolledigheid en Localiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II HET FORMALISME 13
II.1 Eindig-dimensionale Hilbertruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.2 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.3 Eigenwaardenprobleem en spectraalstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.3.1 Aanhangsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.4 functies van operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5 Directe som en direct product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.6 Toegift: Oneindig-dimensionale Hilbertruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.6.1 De vectorruimtestructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.6.2 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III DE POSTULATEN 33
III.1 De postulaten van Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.2 Zuivere en gemengde toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.3 De interpretatie van gemengde toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.4 Samengestelde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.5 Eigenlijke en oneigenlijke mengsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.6 Deeltjes met spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE 61
IV.1 Heisenberg en het onzekerheidsprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV.2 Complementariteit (Bohr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.3 Het debat tussen Einstein en Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.4 Neutron-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV.5 De onzekerheidsrelaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
IV.5.1 Tijd en energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V VERBORGEN VARIABELEN 91
V.1 Verborgen werkelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
V.2 Autonome verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
V.3 De stelling van Kochen & Specker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.4 Contextuele verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2 INHOUDSOPGAVE
VI DE BOHM-MECHANICA 105
VI.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
VI.2 De quantumpotentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
VI.3 Samengestelde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
VI.4 Opmerkingen en problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VI.5 De Hamilton-Jacobi-vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
VIIDE ONGELIJKHEDEN VAN BELL 115
VII.1 Locaal-deterministische verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
VII.2 Locale deterministische contextuele verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . 120
VII.2 Locale deterministische contextuele verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . 120
VII.3 De afleiding van Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VII.4 Zonder verborgen variabelen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
VII.5 Stochastische verborgen variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
VII.6 Zonder ongelijkheden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
VII.7 Varia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
VIIIHET MEETPROBLEEM 135
VIII.1Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
VIII.2Meten volgens de klassieke natuurkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VIII.3Meten volgens de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VIII.4Het meetprobleem in engere zin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
VIII.5 Onverenigbare grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VIII.6 Kritiek op de meettheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN 153
A.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.2 Herleiding tot een reëel 3-dimensionaal probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3 Formulering van het probleem op een boloppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.4 Een Analytisch Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B GERAADPLEEGDE WERKEN 163

I
CONCEPTUELE PROBLEMEN
Wie de quantummechanica niet krankzinnig vindt, heeft er geen snars van begrepen.
— Niels Bohr
We mogen gerust concluderen dat niemand de quantummechanica begrijpt.
— Richard Feynman (The nature of physical law
I.1 INLEIDING
De quantummechanica is aan het begin van de XXste eeuw onstaan uit een poging om de wisselwerking
tussen atomen en straling te begrijpen. De aanwezigheid van discrete lijnen in de emissieen
absorptie-spectra van de chemische elementen wijst erop dat de energie hierbij in discrete quanta
wordt uitgewisseld. Toen hiervoor uiteindelijk in de jaren 1925-1926 een samenhangende theorie
werd ontwikkeld, door de vereende krachten van Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born, Pascual
Jordan, Wolfgang Pauli en Erwin Schrödinger, en de theorie reeds zeven jaar later was geaxiomatiseerd
door John von Neumann (1932), onstond de vraag naar de fysische interpretatie van de wiskundige
symbolen uit de theorie. Het centrale wiskundige begrip in de quantummechanica is ψ (als
golffunctie ψ(q) in de golfmechanica van Schrödinger, of als vector in de Hilbert-ruimte, |ψ〉 ∈ H,
à la Von Neumann). De fysische betekenis die Born hieraan al spoedig gaf, is dat ψ kansen op
meetuitkomsten bepaalt. Een centrale vraag is dan hoe zulke kansen moeten worden geïnterpreteerd.
Aan de hand van vier voorbeelden zullen we een idee geven van de conceptuele problemen die de
quantummechanica oproept.
(i) Beschouw als eerste voorbeeld het uiteenvallen van radioactieve kernen van een bepaalde
soort (Einstein, in Schilpp 1949, blz. 667). We zien de individuele instabiele kernen om de beurt
uiteenvallen, de een na kortere, de ander na langere tijd; het α-deeltje wordt in verschillende richtingen
uitgezonden. De quantummechanica beschrijft deze kernen met een niet-stationaire golffunctie;
daarmee kan de verwachte levensduur van de kernen worden berekend. Een natuurlijke reactie is
aan te nemen dat de kernen van elkaar verschillen, dat dit verschil de oorzaak is van de onderling
verschillende individuele levensduren en de verschillende uitzendrichtingen van het α-deeltje. Deze
quantummechanische verwachtingswaarde is dan te vergelijken met de gemiddelde levensduur in een
bevolking. Dit past echter niet op natuurlijke wijze in de quantummechanische beschrijving. De
quantummechanica beschrijft alle kernen met dezelfde golffunctie. Als deze beschrijving volledig is,
dan is het feit dat de quantummechanica slechts een verwachte levensduur geeft niet te wijten aan een
gebrek aan kennis. Er valt in dat geval over de kernen eenvoudig niet meer te weten dan hun golffunctie
en de daaruit volgende kansen. Aan de andere kant zien we voor onze ogen dat de kernen zich niet
gelijk gedragen: ze vallen op verschillende momenten uiteen en sturen de α-deeltjes in steeds andere
richtingen de ruimte in. Dit suggereert dat er meer over de kernen te weten valt dan de verwachte

4 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
levensduur, net zoals een nader onderzoek van de individuen van een bevolking ons in staat stelt een
veel betere uitspraak over hun individuele levensduur te doen dan de gemiddelde. In deze visie is de
quantummechanische beschrijving niet volledig: er zijn extra, tot op heden ‘verborgen’ variabelen
die iets zeggen over het individuele geval.
Op dit probleem bestaat een standaard ‘Kopenhaags’ antwoord (de ‘Kopenhaagse interpretatie’
duidt de door Bohr en medestanders ontwikkelde visie aan). Dit antwoord zegt dat het idee dat de individuele
kernen een bepaalde levensduur hebben, onafhankelijk van de waarneming daarvan, onjuist
is. Van een individuele levensduur kan slechts gesproken worden binnen de context van een experiment
waarin deze wordt vastgesteld. Een experiment betekent altijd een storing van het systeem. Uit
de gevonden levensduur volgt daarom geen conclusie over het ongestoorde systeem. Het is onjuist te
spreken over de levensduur van een niet waargenomen kern. De statistische spreiding in de gemeten
individuele levensduren hangt samen met het quantumkarakter van de wisselwerking tussen object en
meetapparaat. Wat er in deze wisselwerking gebeurt kan in principe niet nader worden beschreven.
Dit maakt iedere individuele meting tot een unieke gebeurtenis.
Kenmerkend voor de Kopenhaagse interpetatie is verder dat men de beschrijving van het systeem
die mogelijk wordt in de context van een bepaald type experiment niet zonder meer mag combineren
met een beschrijving van het zelfde systeem die verkregen wordt bij een andersoortig experiment. Het
bekendste voorbeeld van dergelijke elkaar uitsluitende experimenten zijn plaats- en impulsmetingen.
Volgens Bohr zijn beschrijvingen van een systeem met begrippen als ‘plaats’ of ‘impuls’ complementair:
ze vullen elkaar aan maar kunnen nooit tot één beeld samengevoegd worden.
Het uitgangspunt achter dit antwoord is het idee van de meetstoring. De quantummechanica onderscheidt
zich volgens deze gedachtengang van de klassieke natuurkunde in het gequantiseerd zijn
van de wisselwerking tussen systeem en meetapparaat. Iedere waarneming impliceert een wisselwerking
met, en dus een storing van, het waargenomen systeem. Deze storing kan niet willekeurig
klein worden gemaakt ( ≠ 0). Men kan het waarnemingsresultaat dus niet identificeren met een
eigenschap die het systeem bezit onafhankelijk van de waarneming. Men kan slechts zinvol praten
over het waarnemingsresultaat, dat pas door de meting geschapen wordt. De quantummechanica, in
tegenstelling tot de klassieke fysica, handelt niet over wat bestaat, maar over wat wordt waargenomen.
Deze op het eerste gezicht plausibele redenering is echter niet zonder problemen. Kunnen we
dezelfde redenering volgen als het waargenomen systeem macroscopisch is? En wat is trouwens
precies een waarneming? Is het essentieel dat iemand bewust van het resultaat van de waarneming
kennis neemt, of is het voldoende dat een apparaat de uitkomst registreert? Deze problemen komen
naar voren in het derde en vierde voorbeeld hieronder.
(ii) Het volgend voorbeeld is afkomstig uit een brief van Einstein aan Born (1949) (zie Born,
1971, blz. 169 e.v.). Beschouw een vrij deeltje beschreven door een golffunctie ψ. Volgens de quantummechanische
beschrijving voldoet ψ aan een onzekerheidsrelatie: de statistische spreiding in de
plaats en impuls zijn niet allebei willekeurig klein te maken. Blijkbaar zijn de uitkomsten van plaatsen
impulsmetingen aan een individueel deeltje niet allebei exact te voorspellen. Wat moet men zich
hierbij voorstellen? Einstein onderscheidt twee opvattingen:
(a) Een individueel deeltje heeft in werkelijkheid een bepaalde plaats en impuls, hoewel
die misschien niet tegelijk aan één en hetzelfde deeltje kunnen worden gemeten. Volgens
deze opvatting geeft ψ een onvolledige beschrijving van de werkelijke situatie. Men zou
dan naar een vollediger beschrijving kunnen zoeken. Maar men treedt dan buiten de

I.1. INLEIDING 5
quantummechanica.
(b) Het deeltje heeft in werkelijkheid geen bepaalde plaats en impuls. De beschrijving
door middel van ψ is een volledige beschrijving. De bepaalde plaats die wordt gevonden
bij een meting van de plaats aan een individueel deeltje, mag niet geïnterpreteerd worden
als de plaats die dat deeltje had onafhankelijk van de meting. Deze bepaalde plaats is een
gevolg van de onvermijdelijke wisselwerking van het deeltje en het meetapparaat. Een
nadere analyse van deze wisselwerking is onmogelijk. Iets soortgelijks geldt voor een
meting van de impuls.
Opvatting (b) wordt door de meerderheid der natuurkundigen onderschreven en, zo geeft Einstein
toe, het is vooralsnog de enige die recht doet aan de voorspellingen van de quantummechanica. Toch
benadrukt hij zijn voorkeur voor opvatting (a).
Zijn argument hiervoor is dat overal elders in de natuurkunde het kenmerkend is dat natuurkundige
begrippen verwijzen naar entiteiten (deeltjes, velden etc.) die onafhankelijk van de waarnemer bestaan,
en in ruimte en tijd gesitueerd zijn. Opvatting (b) maakt deze wijze van beschrijving onmogelijk. Een
tweede argument heeft te maken met samengestelde systemen en zal in paragraaf I.2 besproken worden.
(iii) Het volgende voorbeeld, eveneens afkomstig uit de briefwisseling tussen Einstein en Born
(Born 1971, blz. 188, 208 e.v.), betreft een vrij bewegend macroscopisch voorwerp, zeg een vliegje
of een ster. Voor het zwaartepunt van zo’n lichaam geldt een eenvoudige Schrödinger-vergelijking,
namelijk die van een vrij deeltje. Alle oplossingen van de Schrödinger-vergelijking zijn toelaatbare
golffuncties. Beschouw een golffunctie met twee ver uit elkaar liggende pieken van gelijke grootte.
Bij meting van de plaats (van het zwaartepunt) aan een ensemble van dergelijke lichamen vindt
men dan voor, zeg, de helft van de gevallen een uitkomst in de ene piek en in de andere helft
een uitkomst in de andere piek. Men is dan geneigd te zeggen dat de helft van deze voorwerpen
het zwaartepunt op de ene plaats had, zich op die plaats bevond, en de andere helft op de andere
plaats. Maar volgens de standaard-interpretatie is dat onjuist. Voorafgaand aan de meting mag aan
het zwaartepunt geen plaats worden toegekend. De quantummechanica geldt net zo goed voor het
zwaartepunt van een macroscopisch lichaam als voor een elektron. Het is echter moeilijk om je voor
te stellen hoe een meting de plaats van het zwaartepunt van een ster ‘creëert’ als gevolg van een
storing in de orde van grootte van één quantum ().
Volgens Pauli, één van de vertegenwoordigers van het Kopenhaagse standpunt, is dit een buiten de
natuurwetten staande creatie (loc. cit. blz. 223). De natuurwetten zeggen alleen iets over de statistiek
van de uitkomsten. De quantummechanische kansbeschrijving drukt niet onze onwetendheid uit met
betrekking tot de plaats van het zwaartepunt van het lichaam; de kansbeschrijving correspondeert met
een wezenlijke onbepaaldheid van die plaats. Pauli stelt dat de vraag of de ‘plaats’ van een lichaam
ook zonder de waarneming zou bestaan principiëel onbeantwoordbaar is en daarom zinloos.
In dit voorbeeld treedt het probleem aan de orde van de overgang tussen het microscopische
naar het macroscopische niveau. Voor ons gevoel moet ergens onderweg de quantummechanische
beschrijving overgaan in een beschrijving door middel van een klassiek ensemble, een ensemble
van objecten die eigenschappen hebben. Maar als we tegelijk aannemen dat de quantummechanica
net zo goed van toepassing is op macroscopische lichamen als op microscopische, dan wordt deze
verwachting geloochenstrafd. Deze overgang van het ene soort van ensemble naar het andere is

6 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
een probleem dat steeds weer opduikt in beschouwingen over het zogeheten ‘meetprobleem’ (Zie
hoofstuk VIII).
De voorgaande bespreking volgt tamelijk nauwkeurig de formuleringen van Einstein en Pauli in
de jaren 1948-1954 zoals die te vinden zijn in de briefwisseling tussen Born en Einstein (Born 1970).
Interessant is dat de discussie zich afspeelt over het hoofd van Born heen. Born zag in Einstein
degene die juist zelf in zijn relativiteitstheorie bijvoorbeeld het idee van absolute gelijktijdigheid had
afgeschaft met als argument: het is zinloos te willen spreken over datgene wat je in principe niet kunt
meten. Einstein zegt hierop:
Wat ik in de quantummechanica onvolledigheid van de beschrijving noem, heeft in de relativiteitstheorie
geen analogon. Het is kort gezegd de omstandigheid dat in de beschrijving door ψ
kwaliteiten van het individuele systeem, aan de werkelijkheid waarvan niemand twijfelt, niet
worden uitgedrukt.
Bovendien gelooft Born voortdurend, in weerwil van alles wat Einstein schrijft, dat Einstein bezwaar
maakt tegen het indeterministische karakter van de quantummechanica, d.w.z. het feit dat ze slechts
kansuitspraken levert, in plaats van de vermeende volledigheid van de quantummechanica — totdat
Pauli in de discussie ingrijpt en Einsteins positie aan Born uitlegt.
(iv) Het laatste voorbeeld is de beruchte kat-paradox van Schrödinger (1935b). Een kat zit in een
doos samen met een radioactief atoom en een mechanisme zodanig dat wanneer het atoom uiteenvalt,
een giftig gas ontsnapt dat de kat doodt. Beschouw een ensemble van zulke dozen. De quantummechanica
beschrijft het ensemble van radioactieve atomen op de in het eerste voorbeeld beschreven
manier. Deze beschrijving wordt overgedragen op de katten en leidt tot een analoge beschrijving van
het ensemble van katten. Maar dat betekent dat men ook aan de katten geen bepaalde levensduur mag
toekennen zolang men ze niet heeft waargenomen. Bijgevolg mag men van een individuele kat na
verloop van tijd niet meer zeggen dat zij levend of dood is totdat de doos wordt opengemaakt. (De
vraag is wat de katten hier zelf van vinden.)
In dit voorbeeld treedt een aantal problemen gecombineerd naar voren. In de eerste plaats is er
hier weer het verschil tussen klassieke toestand en quantum-toestand (of ensemble). Als de standaardinterpretatie
hier consequent wordt doorgetrokken mogen de katten, zolang er geen waarneming aan
wordt gedaan, niet beschouwd worden als dood of levend. Of dit consequent doorvoeren van de
standaardvisie toegestaan is, hangt samen met de vraag of en in hoeverre de quantummechanische
beschrijving kan worden overgedragen van het microscopische naar het macroscopische niveau. Vervolgens
is er weer de vraag wat een waarneming is. Zijn de katten waarnemers van hun eigen toestand?
En indien bewustzijn essentieel is voor een waarneming, hebben katten daarvoor dan het juiste
soort van bewustzijn?
Uit het bovenstaande kunnen we de volgende trefbegrippen afzonderen:
1. de werkelijke toestand van een systeem onafhankelijk van de meting;
2. onvolledigheid;
3. meetstoring;
4. complementariteit;
5. de overgang van micro-naar macroscopie, en
6. bewustzijn.

I.2. ONVOLLEDIGHEID EN LOCALITEIT 7
Opmerking. De rol van het bewustzijn wordt als essentieel gezien door wis- en natuurkundigen
als Von Neumann, F. London, W. Heitler en E.P. Wigner. Deze in de fysica hoogst ongebruikelijke
stap illustreert hoe ernstig de situatie is.
I.2 ONVOLLEDIGHEID EN LOCALITEIT
Het voorgaande diende alleen maar om in de juiste stemming te komen! In 1935 kwamen Einstein,
Boris Podolsky en Nathan Rosen (1935; vanaf nu afgekort door EPR) met een voorbeeld dat de zaken
aanzienlijk scherper stelde. Zij betoogden met een strenge redenering dat de quantummechanica een
onvolledige theorie is. We bekijken als inleiding daarop echter eerst een eenvoudiger argument dat
Einstein in hetzelfde jaar in een brief aan Schrödinger formuleerde (zoals geparafraseerd door Fine
1986, blz. 37).
Beschouw een toestand van twee deeltjes die met elkaar in wisselwerking zijn geweest en die nu
zo ver van elkaar verwijderd zijn dat ze niet langer onderling wisselwerken. Stel dat ze in een toestand
|ψ〉 zijn die een eigentoestand is van de totale impuls P 1 + P 2 met eigenwaarde 0, maar niet van P 1
of P 2 afzonderlijk:
(P 1 + P 2 )|ψ〉 = 0 en P 1 |ψ〉 ̸= 0 ≠ P 2 |ψ〉 . (I.1)
Uit een meting van de impuls van deeltje 1 kunnen we dan met zekerheid voorspellen wat het resultaat
zal zijn van een meting van de impuls van deeltje 2. De meting aan deeltje 1 heeft bovendien
geen enkele fysische invloed op deeltje 2. Maar als het mogelijk is de impuls van deeltje 2 met zekerheid
te voorspellen zonder met dat deeltje op enigerlei wijze te wisselwerken, dan moet deeltje 2
de gevonden impuls al hebben voor de meting daarvan, en dat moet zelfs al het geval zijn voor de
meting aan deeltje 1 omdat deze immers geen enkele verstoring van deeltje 2 met zich meebrengt.
Aan de quantummechanische beschrijving met de toestand |ψ〉 is de waarde van deze eigenschap van
deeltje 2 echter niet af te lezen. Derhalve is de quantummechanica onvolledig.
We zien hoe Einstein er hier in slaagt, dankzij de strikte correlatie tussen de deeltjes die de quantummechanica
mogelijk maakt, en dankzij de ruimtelijke scheiding van de deeltjes, het argument
van de meetstoring als een fysisch proces te ontkrachten. In de eerdere voorbeelden konden we ons
voorstellen dat de meting de gevonden uitkomst creëert (hoewel dit met Einstein’s voorbeeld van een
macroscopisch lichaam al een weinig overtuigende uitweg leek), en dat deze uitkomst er dus niet
was voor de meting vanwege een met de meting gepaard gaande verstoring van een deeltje. We zien
nu dat we ons deze meetstoring niet kunnen voorstellen als een ruimtelijk begrensd, ‘locaal’ proces.
Einstein sprak van “een spookachtige werking op afstand” en van “telepatie”.
Het argument tegen de volledigheid van de quantummechanica heeft met dit voorbeeld aan kracht
gewonnen, al zijn er wel tegenwerpingen te geven. (Einstein zou zich later vermaken over het feit
dat iedereen wist dat de redenering niet deugde maar dat iedereen een andere reden daarvoor had.)
De redenering gebruikt het feit dat er in de quantummechanica eigentoestanden van P 1 + P 2 zijn
waarin de impuls van de deeltjes afzonderlijk onbepaald is. Men zou dan kunnen tegenwerpen dat
zulke toestanden wellicht niet fysisch realiseerbaar zijn; uitsluitend eigentoestanden van P 1 + P 2 die
tevens eigentoestanden van P 1 en P 2 zijn zouden realiseerbaar zijn. We zouden de toestand |ψ〉 dus

8 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
moeten vervangen door een mengsel van dergelijke eigentoestanden. In dat geval gaat de redenering
niet langer op.
Het EPR-artikel zelf geeft een genuanceerdere redenering die deze tekortkoming niet kent. Het
artikel wijkt op twee punten van het bovenstaande af. In de eerste plaats wordt niet alleen de impuls,
maar ook de plaats van de twee deeltjes in de beschouwing betrokken. Verder formuleren EPR een
precieze voldoende voorwaarde voor ‘onvolledigheid’. Dat gaat via de introductie van het begrip
‘element van de fysische werkelijkheid’. In de woorden van EPR:
EPR: “Als we, zonder een fysisch systeem op enigerlei wijze te storen, de waarde van
een fysische grootheid met zekerheid kunnen voorspellen, dan is er een element in de
fysische werkelijkheid dat met deze grootheid correspondeert.”
Hoe anders te verklaren dat we meetuitkomsten met zekerheid kunnen voorspellen? Een nodige (en
zeker een voldoende, zo zou men kunnen toevoegen) voorwaarde voor volledige fysische theorie is
nu dat elk element van de fysische werkelijkheid een tegenhanger in de theorie heeft.
VOL(T): Als een fysische theorie T volledig is, dan correspondeert er met ieder element
in de fysische werkelijkheid een element in de theorie T .
Het is mogelijk voor |ψ〉 een toestand te kiezen die zowel een eigentoestand is van P 1 + P 2 als
van Q 1 − Q 2 . (Merk op dat deze operatoren met elkaar commuteren.) Een dergelijke toestand is in
Dirac-notatie in de ‘p-taal’ en in de ‘q-taal’:
∫
∫
|ψ〉 = |p 1 = p〉 ⊗ |p 2 = −p〉e −ilp/ dp = |q 1 = q〉 ⊗ |q 2 = q − l〉 dq , (I.2)
R
waarin de l de eigenwaarde is van de onderlinge afstand Q 1 − Q 2 en willekeurig groot gekozen kan
worden. (We beschouwen hier slechts één ruimtelijke dimensie; de eerste factor in het direct product
slaat op deeltje 1, de tweede op deeltje 2.) De ‘p-taal’ en de ‘q-taal’ zijn in elkaar te ‘vertalen’
middels een Fourier-transformatie. 1 Er geldt voor deze toestand |ψ〉 dat ze een eigenstoestand is,
met eigenwaarden 0 respectievelijk l, van de totale impuls P 1 + P 2 van de twee twee deeltjes en hun
onderlinge afstand Q 1 − Q 2 :
(P 1 + P 2 )|ψ〉 = 0|ψ〉 en (Q 1 − Q 2 )|ψ〉 = l|ψ〉 . (I.5)
Toch is |ψ〉 geen eigentoestand van een der 1-deeltjesoperatoren P 1 , Q 1 , P 2 en Q 2 (eigenlijk P 1 ⊗ 11,
etc.). Met de uitkomst van een meting van P 1 , zeg a, kunnen we echter wel met zekerheid voorspellen
welk resultaat een meting van P 2 zou opleveren, namelijk −a. Net zo volgt uit een meting van Q 1 ,
x zeg, met zekerheid het resultaat van een meting van Q 2 , te weten x − l. (Kanttekening: hoewel
de vectoren |p〉, |q〉, e.d. wiskundig problematisch zijn in de Hilbert-ruimte, heeft David Bohm in
1 Zonder Dirac-notatie maar wel in termen van Dirac’s delta-‘functies’ ziet de golffunctie er in de ‘p-taal’ en de ‘q-taal’
resp. als volgt uit:
ψ(p 1 , p 2 ) = e −ilp 1/ δ(p 1 + p 2 ) en (I.3)
˜ψ(q 1, q 2) = δ(q 1 − q 2 + l) . (I.4)
R

I.2. ONVOLLEDIGHEID EN LOCALITEIT 9
1951 een versie gegeven met spin, die zich netjes binnen de Hilbert-ruimte afspeelt. We besteden hier
verder in de Inleiding geen aandacht aan.)
De redenering gaat nu als volgt. Als we aan deeltje 1 de impuls P 1 zouden meten, dan konden
we de waarde van P 2 met zekerheid voorspellen, zonder deeltje 2 te verstoren. Volgens het bovengenoemd
criterium moet de impuls van deeltje 2 dan corresponderen met een element van de fysische
werkelijkheid. Anderszijds, als we de plaats Q 1 van deeltje 1 zouden meten, dan konden we de
waarde van Q 2 met zekerheid voorspellen, opnieuw zonder deeltje 2 te verstoren. In dat geval moet
er dus een element van de fysische werkelijkheid zijn dat met Q 2 correspondeert.
We kunnen derhalve, afhankelijk van welke meting we aan deeltje 1 uitvoeren, een ander element
van de fysische werkelijkheid aan deeltje 2 toekennen. Maar vanwege de afwezigheid van fysische
wisselwerking tussen de deeltjes kan er geen werkelijke verandering in deeltje 2 optreden ten gevolge
van wat men met deeltje 1 doet. Bijgevolg moet aan deeltje 2 beide elementen van de fysische werkelijkheid
toekomen. Maar zo’n gelijktijdige toekenning van een precieze plaats en impuls heeft geen
tegenhanger in het quantummechanische formalisme; er zijn immers geen golffuncties die tegelijk
een eigenfunctie van plaats en impuls zijn. De conclusie is onafwendbaar: het antwoord op de vraag
in de titel van hun artikel, ‘Can quantum-mechanical description of physical reality be considered
complete?’, luidt ontkennend.
Merk op dat het niet nodig is de meting van P 1 of Q 1 tegelijk uit te voeren; het gaat alleen om
de keuzemogelijkheid naar wens de plaats of de impuls aan deeltje 2 met zekerheid te voorspellen.
Wegens het ontbreken van wisselwerking tussen 1 en 2 maakt het voor deeltje 2 niets uit welke keus
voor deeltje 1 gemaakt wordt. Dit deel van het betoog berust op de onderstelling dat de elementen
van de fysische werkelijkheid een locaal karakter hebben. Deze vooronderstelde, alleszins redelijke
localiteitspremisse luidt als volgt.
LOC(EPR): Het verrichten van metingen aan een fysisch systeem S heeft geen ogenblikkelijke
invloed op elementen in de fysische werkelijkheid die zich op afstand van S
bevinden.
Schematisch kunnen we de redenering van EPR als volgt samenvatten: de quantummechanica
(QM) impliceert, tezamen met zowel EPR als LOC(EPR), dat de quantummechanica onvolledig is
(niet VOL(QM )):
QM ∧ EPR ∧ LOC(EPR) → ¬VOL(QM) . (I.6)
De versterking van dit argument ten opzichte van het voorafgaande is in de eerste plaats natuurlijk
de grotere precisie waarmee de redenering is opgezet: er is een conclusie die logisch volgt uit een
aantal expliciet gegeven premissen en voorwaarden. Bovendien zien we hier dat we aan deeltje 2
zowel een plaats als een impuls kunnen toeschrijven zonder ermee in wisselwerking te treden. Dit
houdt in dat we de redenering niet kunnen ontwijken door aan te nemen dat voor de juiste quantummechanische
beschrijving de gegeven golffunctie ψ door een mengsel van eigentoestanden moet
worden vervangen. Zulke eigentoestanden van plaats en impuls zijn eenvoudig niet voorhanden in de
quantummechanica. Bovendien wordt door de mogelijkheid waarden voor P 2 en Q 2 toe te kennen
het complementariteitsidee in het hart aangevallen.
EPR liepen vooruit op de tegenwerping dat alleen datgene werkelijk is, wat is gemeten:
Inderdaad, men zou niet tot onze conclusie geraken als men erop staat dat men twee of meer fysische
grootheden gelijktijdig als elementen in de fysische werkelijkheid kan beschouwen slechts

10 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
indien ze gelijktijdig gemeten of voorspeld kunnen worden. Vanuit dit gezichtspunt zijn P en
Q niet gelijktijdig werkelijk omdat men hetzij de één hetzij de ander, maar nooit beide, kan
voorspellen. Dit zorgt ervoor dat de werkelijkheid van P en Q afhangt van de meting die aan
het eerste systeem wordt uitgevoerd, die het tweede systeem op geen enkele wijze stoort. Geen
enkele redelijke definitie van werkelijkheid zou dit mogen toestaan.
Ze besluiten vervolgens hun artikel met de volgende alinea:
Ofschoon we aangetoond hebben dat de golffunctie geen volledige beschrijving van de fysische
werkelijkheid geeft, hebben we de vraag open gelaten of een volledige beschrijving bestaat. Wij
geloven echter dat een dergelijke theorie mogelijk is.
Het probleem of een volledige theorie mogelijk is, noemt men wel het verborgen-variabelenprobleem.
Zogeheten ‘verborgen-variabelen-theorieën’ zijn pogingen dit probleem op te lossen.
Wat was de reactie van Bohr op deze redenering van EPR? Bohr’s (1935a) kritiek richt zich op de
vraag in hoeverre de voorwaarde voor een element van de fysische werkelijkheid (EPR) vervuld is in
het voorbeeld van EPR. Het volgende citaat is uit Bohr (1935b):
Ik wil erop wijzen dat het genoemde criterium een wezenlijke dubbelzinnigheid bevat als het
wordt toegepast op de problemen van de quantummechanica. Het is waar dat in de beschouwde
meting iedere directe mechanische wisselwerking van het systeem en het meetapparaat is uitgesloten,
maar een nauwkeuriger beschouwing laat zien dat de meetprocedure een essentiële invloed
heeft op de voorwaarden waarop de definitie van de betreffende fysische grootheden berust. Omdat
deze voorwaarden beschouwd moeten worden als een inherent element van ieder fenomeen
waarop de term ‘fysische werkelijkheid’ ondubbelzinnig kan worden toegepast, lijkt de conclusie
van de bovengenoemde auteurs (EPR) niet gerechtvaardigd.
Het is niet eenvoudig volkomen door te dringen in wat Bohr hier zegt. Blijkbaar ziet hij af van het
oorspronkelijke idee dat de meetstoring het meetresultaat creëert, of althans dat zo’n creatie als een
fysisch proces begrepen kan worden. Daarvoor komt nu in de plaats het idee dat de toepasbaarheid
van fysische begrippen afhangt van de meetcontext. De uitvoering van een meting op het ene deeltje
wordt immers gezien als bepalend voor de toepasbaarheid van begrippen op het andere deeltje. Bohr
zegt dat de meetstoring geen mechanische storing is — blijkbaar blijft Loc(epr) voor hem gelden
wanneer we met ‘invloed’ een mechanische wisselwerking bedoelen, maar niet wanneer we met ‘invloed’
de ‘definiërende werking’ bedoelen van de meetcontext. De experimentele omstandigheden
definiëren dat wat je de fysische werkelijkheid kunt noemen. De fysische werkelijkheid wordt niet
bepaald door experimenten die je zou kunnen doen, zoals volgens EPR, maar uitsluitend door het
experiment dat je in feite doet. Deze ‘definiërende werking’ van de experimentele opstelling strekt
zich onder omstandigheden als bij het EPR-experiment ook uit tot delen van het systeem waarmee het
meetapparaat geen fysische wisselwerking heeft.
Kortom, Bohr lijkt zowel beide premissen EPR en LOC(EPR) als de nodige volledigheidsvoorwaarde
voor de quantummechanica (LOC(QM)) te verwerpen.
Een duidelijk verschil tussen Einstein en Bohr is dat Einstein zich een beeld van de werkelijkheid
wil vormen dat onafhankelijk is van het waarnemen, terwijl Bohr tevreden is met complementaire
beelden waarvan de toepasbaarheid steeds afhankelijk blijft van de gekozen meetopstelling. Einstein
zegt in 1955 (geciteerd in Fine 1986, blz. 95):

I.2. ONVOLLEDIGHEID EN LOCALITEIT 11
Het is elementair voor de natuurkunde dat men een werkelijkheid onderstelt die onafhankelijk
bestaat van onze waarnemingsactiviteiten. Maar dit weten we niet. We nemen het als programmatisch
uitgangspunt in onze wetenschappelijke onderzoekingen.
En met betrekking tot de EPR-situatie zegt hij (Schilpp 1949, blz. 85):
Maar één onderstelling moeten we absoluut vasthouden: de werkelijke, feitelijke situatie (of toestand)
van fysisch systeem S 1 hangt niet af van wat men doet met het systeem S 2 , dat ruimtelijk
gescheiden is van S 1 .
Bohr’s opvattingen aangaande de fysische werkelijkheid zijn veel moeilijker te karakteriseren.
Volgens hem is er geen vooraf gegeven, onafhankelijke werkelijkheid waarvan de fysische theorie
een een-eenduidige afspiegeling zou dienen te geven. Hij schrijft (Bohr 1949, blz. 40):
. . . vragen naar de fysische werkelijkheidsgehalt van twee zulke attributen [i.e. plaats en impuls]
van het object kan men uitsluiten beantwoorden met een verwijzing naar de voorwaarden voor het
ondubbelzinnige gebruik van ruimte-tijd-begrippen enerzijds, en de dynamische behoudswetten
anderzijds.
Een uitputtende beschrijving van de werkelijkheid moet altijd begrippen gebruiken die zelf afhankelijk
van elkaar uitsluitende contexten blijven. Bohr zegt:
Het woord ‘werkelijkheid’ is slechts een woord dat we correct moeten leren gebruiken.
Hij legt steeds de nadruk op de beperkte toepasbaarheid van onze fysische begrippen, die het verband
tussen beschrijving en de werkelijkheid zeer gecompliceerd maakt. Petersen vermeldt (1963, blz. 12):
Wanneer men hem vroeg of het algorithme van de quantummechanica beschouwd kan worden
als op één of andere manier een onderliggende quantum-wereld weerspiegelend, dan antwoordde
Bohr: ‘Er is geen quantum-wereld. Er is slechts een abstract quantum-fysische beschrijving. Het
is verkeerd te denken dat het de taak van de natuurkunde is om uit te vinden hoe de natuur is. De
natuurkunde gaat alleen over wij kunnen zeggen over de natuur.
De opvattingen van Einstein zijn eenvoudiger dan die van Bohr en sluiten aan bij de intuïties van
de meeste natuurkundigen. Nadat het overwicht van de Kopenhaagse school was verminderd, nam de
aandacht voor Einstein’s redenering en visie weer toe. Zo heeft John Bell een reconstructie gegeven
van het EPR-experiment die voldoet aan Einsteins eis dat ”de werkelijke, feitelijke situatie van fysisch
systeem S 1 onafhankelijk is van wat men doet met het systeem S 2 , dat ruimtelijk is gescheiden van
S 1 .”Hij construeerde een zeer algemeen model dat aan deze eis voldoet en kwam tot de verrassende
ontdekking dat zulke modellen de quantummechanische voorspellingen niet volledig kunnen reproduceren.
Als je het eenmaal weet, is de afleiding zeer eenvoudig. Opmerkelijk zijn vooral (i) de grote
algemeenheid van de afleiding en (ii) het feit dat de verschillen met de quantummechanica groot
genoeg zijn om te kunnen worden gemeten. Hiermee kwam, sensationeel genoeg, een ‘filosofisch’
geschilpunt binnen het bereik van de experimentele natuurkunde. Abner Shimony heeft in dit verband
van experimentele metafysica gesproken.
Het werk van Bell dateert van 1964; het is een poging het volledigheidsprobleem op te lossen.
Daarna kwamen pogingen op gang om het EPR-experiment, dat alleen maar een gedachtenexperiment
was, werkelijk uit te voeren. Het eerste experiment is gedaan in 1972 door Freedman en Clauser.
Daarna zijn diverse andere experimenten gedaan, met als hoogtepunt die van Alain Aspect en zijn
groep uit 1983 te Parijs, dat enige jaren geleden is overtroffen door de experimenten van Anton

12 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
Zeilinger en zijn groep te Innsbrück. De uitkomsten van deze experimenten zijn in goede tot zeer
goede overeenstemming met de quantummechanica, en dus in strijd met modellen die aan de eisen
van Einstein voldoen. Dit laatste geldt ongeacht de geldigheid van de quantummechanica. Dit resultaat
heeft zeer veel reacties teweeg gebracht en het is een van de voornaamste oorzaken van de herleefde
belangstelling voor de interpretatieproblemen van de quantummechanica. De discussie spitst
zich toe op de vraag wat precies de onderstellingen zijn die leiden tot het resultaat van Bell en of zijn
model wel het meest algemene model is dat voldoet aan de eisen van Einstein (zie Hoofdstuk VII).
Verder is nog niet iedereen overtuigd door de huidige experimentele resultaten. De consequenties van
het resultaat van Bell lijken aanzienlijk te zijn. Ze betekenen dat aan objecten die eens in wisselwerking
waren geen onafhankelijk bestaan kan worden toegekend ook al zijn ze nog zover van elkaar
verwijderd; dit is zelfs geheel onafhankelijk van de afstand. Dit suggereert dat de werkelijkheid niet
gereduceerd kan worden tot de ‘som’ van zijn delen en dat een meer ‘holistische’ benadering geboden
is. Dat zou ons beeld van de natuur veel gecompliceerder maken.
Door de bespreking van de EPR-redenering worden nog enkele trefbegrippen aan ons lijstje toegevoegd:
7. element van de fysische werkelijkheid;
8. scheidbaarheid van fysische systemen;
9. localiteit (het idee dat fysische systemen in ruimtelijk gescheiden gebieden elkaar niet ogenblikkelijk
kunnen beïnvloeden); en
10. holisme.
Deze tien begrippen spelen een voorname rol in het grondslagen-onderzoek van de quantummechanica.

II
HET FORMALISME
De gebruikelijke wiskundige formulering van de quantummechanika is ontwikkeld door
John von Neumann (1932): als operatorrekening op een Hilbertruimte. We zullen niet
alle bijzonderheden hiervan nodig hebben en daarom slechts een beperkte uiteenzetting
geven. Voor onze doeleinden kunnen we ons meestal beperken tot een eindig-dimensionale
Hilbertruimte; dat is een complexe vectorruimte met een inwendig product. We
geven in de volgende paragrafen een recapitulatie van de elementaire begrippen hiervan.
Paragraaf II.6 geeft een beknopt overzicht van het oneindig-dimensionale geval. Voor
een uitgebreide exacte behandeling van de Hilbertruimte verwijzen we naar de eerste
hoofdstukken van E. Prugovecki’s Quantum Mechanics in Hilbert Space (1981).
II.1
EINDIG-DIMENSIONALE HILBERTRUIMTEN
We beginnen met een verzameling H waarvan we de elementen vectoren noemen. Deze vectoren
geven we aan met |α〉, |β〉, |γ〉, |φ〉, |ψ〉, |χ〉, . . . volgens de ket-notatie van Dirac; complexe getallen
met de beginletters van het alfabet: a, b, c ∈ C. Vectoren kunnen bij elkaar worden opgeteld en met
een complex getal (ook wel scalar genoemd) vermenigvuldigd worden; men blijft dan in H:
als a ∈ C , |φ〉, |ψ〉 ∈ H dan a|φ〉 ∈ H, en |φ〉 + |ψ〉 ∈ H . (II.1)
Een andere manier om dit te zeggen is dat H gesloten is onder lineair combinaties. De optelling is
commutatief and associatief :
|φ〉 + |ψ〉 = |ψ〉 + |φ〉 ,
|φ〉 + ( |ψ〉 + |χ〉 ) = ( |φ〉 + |ψ〉 ) + |χ〉 .
We eisen het bestaan van een nulvector 0 ∈ H met de eigenschap dat voor alle |φ〉 ∈ H:
(II.2)
0 + |φ〉 = |φ〉 , (II.3)
die bewijsbaar uniek is; en dat iedere vector een optel-inverse heeft, d.w.z. voor iedere |φ〉 ∈ H is er
een vector |φ ′ 〉 ∈ H (eveneens bewijsbaar uniek) zo dat |φ〉 + |φ ′ 〉 = 0 .
De scalaire vermenigvuldiging is distributief ,
en associatief
(a + b) ( |φ〉 + |ψ〉 ) = a|φ〉 + a|ψ〉 + b|φ〉 + b|ψ〉 , (II.4)
a ( b|φ〉 ) = (ab)|φ〉 ;
(II.5)
voorts eist men dat
1|ψ〉 = |ψ〉 .
(II.6)

14 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
We schrijven overigens ook wel
a|ψ〉 ≡ |aψ〉 ≡ |ψ〉a .
(II.7)
OPGAVE 0. Bewijs dat (a) 0|φ〉 = 0 , en dat (b) de optel-inverse van |φ〉 gelijk is aan −1|φ〉.
Een inproduct op een vectorruimte is een afbeelding van H × H naar C (we noteren 〈φ|ψ〉 voor
het beeld in C van (|φ〉, |ψ〉) ∈ H × H) met de volgende eigenschappen:
(i) 〈φ |aψ + bχ〉 = a〈φ|ψ〉 + b〈φ|χ〉 ,
(ii) 〈φ |ψ〉 = 〈ψ|φ〉 ∗ ,
(iii) 〈φ |φ〉 0 ,
(iv) 〈φ |φ〉 = 0 dan en slechts dan als |φ〉 = 0 .
(II.8)
De waarde
‖ψ‖ := √ 〈ψ|ψ〉
(II.9)
heet de norm van |ψ〉 en voldoet aan de gebruikelijke eisen voor een norm: zijn waarde is positief,
behalve voor de nulvector (die krijgt 0 toegewezen), homogeniteit (in de zin dat ‖aψ‖ = |a| ‖ψ‖), en
eerbiediging van de driehoeksongelijkheid: ‖ψ+φ‖ ≤ ‖ψ‖+‖φ‖. Een vector heet een eenheidsvector
als de norm gelijk is aan 1.
Een belangrijke ongelijkheid is de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid:
|〈φ|ψ〉| 2 〈φ|φ〉 〈ψ|ψ〉 . (II.10)
OPGAVE 1. Bewijs (a) de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (II.10), en (b) dat de norm-definitie aan
de gestelde eisen voor een norm voldoet.
De n vectoren |α 1 〉, . . . , |α n 〉 heten (lineair) onafhankelijk als uit
n∑
c i |α i 〉 = 0
i=1
(II.11)
volgt dat alle coëfficiënten c i gelijk aan nul zijn; anders heten de vectoren afhankelijk. Een verzameling
vectoren |α 1 〉, . . . , |α N 〉 in H is volledig 1 als iedere vector |ψ〉 ∈ H geschreven kan worden
als lineaire combinatie ervan:
|ψ〉 =
N∑
c i |α i 〉 ,
i=1
Een volledige, onafhankelijke verzameling vectoren heet een basis.
OPGAVE 2. Bewijs dat onderling orthogonale vectoren lineair onafhankelijk zijn.
(II.12)
1 Het gebruik van de term ‘volledig’ voor een stelsel van vectoren dient uiteraard niet verward te worden met de gelijknamige
aanduiding in de context van de quantummechanica — als eigenschap van een fysische theorie.

II.2. OPERATOREN 15
Een basis heet orthonormaal als:
〈α i |α j 〉 = δ ij , (II.13)
waarin δ ij de Kronecker-delta is. Men bewijst dat iedere orthonormale basis van H hetzelfde aantal
elementen bevat; dit aantal is per definitie de dimensie van H, en noteren we als dim H. (De dimensie
van een Hilbertruimte is dus oneindig wanneer iedere eindige verzameling orthonormale vectoren
onvolledig is.)
Als |α 1 〉, . . . , |α N 〉 zo’n orthonormale basis is, met N = dim H, dan volgt uit vgl. (II.13) voor
de coëfficiënten in (II.12):
c i = 〈α i |ψ〉 .
(II.14)
De vectoren kunnen in zo’n basis dus voorgesteld worden als kolommen van N complexe getallen.
Een N-dimensionale Hilbertruimte wordt daarom ook wel als C N geschreven.
Ten slotte merken we op dat wegens (II.12) en (II.14) een orthonormale basis gekarakteriseerd
wordt door de relatie
N∑
N∑
〈α i |ψ〉 |α i 〉 = |α i 〉 〈α i |ψ〉 = |ψ〉 . (II.15)
i=1
i=1
De definitie van een (complexe) eindig-dimensionale Hilbertruimte is nu ten einde: het is een
eindig-dimensionale complexe vectorruimte met een inproduct dat zich via betrekking (II.9) tot de
norm verhoudt. Een reële eindig-dimensionale Hilbertruimte krijgt men door C overal door R te
vervangen, d.w.z. R wordt de verzameling scalairen en het inproduct is altijd reëel. We zullen in §II.6
zien dat voor het oneindig-dimensionale geval de definitie versterkt moet worden met twee eisen
(‘separabiliteit’ en ‘volledigheid’), die we in het eindig-dimensionale geval kunnen bewijzen.
II.2
OPERATOREN
Een operator A op Hilbertruimte H is een lineaire afbeelding van H naar zichzelf, dat wil zeggen:
A : H → H, |ψ〉 ↦→ A|ψ〉, met A ( a|ψ〉 + b|φ〉 ) = aA|ψ〉 + bA|φ〉 . (II.16)
Aan vgl. (II.14) zagen we dat in een gegeven orthonormale basis |α 1 〉, . . . |α N 〉 de vectoren |ψ〉 ∈
H eenduidig gerepresenteerd worden door rijtjes van N complexe getallen c i = 〈α i |ψ〉. Hiermee
correspondeert de voorstelling van een operator A als een N × N matrix A:
operator A correspondeert in een basis {|α i 〉} met matrix: A ij := 〈α i |A|α j 〉
(II.17)
en de coëfficiënten van de vector A|ψ〉 in deze basis zijn dan
N∑
N∑
〈α i |A|ψ〉 = 〈α i |A|α j 〉〈α j | ψ〉 = A ij c j .
j=1
i=1
Men kan operatoren A en B bij elkaar optellen en vermenigvuldigen:
(II.18)
(A + B)|ψ〉 := A|ψ〉 + B|ψ〉 en (AB)|ψ〉 := A ( B|ψ〉 ) , (II.19)

16 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
De geadjungeerde A † van een operator A is gedefinieerd door de volgende vergelijking:
〈ψ|A † |φ〉 = 〈φ|A|ψ〉 ∗ voor alle |φ〉, |ψ〉 ∈ H. (II.20)
OPGAVE 3. Laat zien dat voor de matrixvoorstelling in een orthonormale basis geldt: (A † ) ij =
A ∗ ji .
Iedere operator op een eindig-dimensionale vectorruimte heeft een unieke geadjungeerde, Er geldt
verder dat
(cA) † = c ∗ A † en (AB) † = B † A † (II.21)
(A + B) † = A † + B † en (A † ) † = A . (II.22)
Een operator B heet een inverse van A als
AB = BA = 11 ;
(II.23)
waarin 11 de eenheidsoperator is, d.w.z. de identieke afbeelding op H: 11|ψ〉 := |ψ〉 voor alle |ψ〉 ∈
H. We noteren voor B in dat geval A −1 , omdat de inverse, als hij bestaat, uniek is. Maar niet iedere
operator bezit een inverse. Voorbeeld (in de Hilbertruimte C 2 ):
( ) 0 1
. (II.24)
0 0
Het spoor van een operator A (Eng.: trace) is gedefinieerd als volgt:
TrA :=
N∑
〈γ i |A|γ i 〉 (II.25)
i=1
waarin |γ 1 〉, . . . , |γ N 〉 een willekeurige orthonormale basis is en N := dim H.
OPGAVE 4. Laat zien dat TrA onafhankelijk is van de keus van de orthonormale basis.
Het spoor heeft de volgende eigenschappen:
TrA † = (TrA) ∗ , en dus: A = A † =⇒ TrA ∈ R ,
Tr(bA + cB) = b Tr A + c Tr B .
Tr AB = Tr BA .
(II.26)
OPGAVE 5. Bewijs de drie beweringen in (II.26).
We zetten de voornaamste soorten operatoren op een rijtje. Een operator A heet normaal als hij
commuteert met zijn geadjungeerde:
[A, A † ] := AA † − A † A = 0
(II.27)
(waarin 0 eigenlijk de ‘nul-operator’ is: die beeldt alle vectoren af op de nulvector 0 ). Een operator
heet zelf-geadjungeerd (of Hermitisch) als hij identiek is aan zijn geadjungeerde:
A † = A .
(II.28)

II.2. OPERATOREN 17
Zelf-geadjungeerde operatoren zijn normaal, maar niet alle normale operatoren zijn zelf-geadjungeerd
(neem bijvoorbeeld een unitaire operator, zie onder).
Een operator U heet unitair als
U † = U −1
(II.29)
OPGAVE 6. Bewijs dat een unitaire operator U het inproduct behoudt, d.w.z. voor alle |φ〉, |ψ〉 ∈
H geldt: als |φ ′ 〉 = U|φ〉 en |ψ ′ 〉 = U|ψ〉 dan is 〈ψ ′ |φ ′ 〉 = 〈ψ|φ〉.
Een operator A heet positief als
〈ψ|A|ψ〉 0 voor alle |ψ〉 ∈ H. Notatie: A 0. (II.30)
Een operator P heet een projectie-operator, of kortweg een projector als hij zelf-geadjungeerd is en
idempotent:
P = P † en P 2 = P. (II.31)
Een voorbeeld van projector (naast de voor de hand liggende voorbeelden van de nul-operator 0 en
de eenheidsoperator 11) is de afbeelding
P φ : |ψ〉 ↦→ 〈φ|ψ〉|φ〉 = |φ〉〈φ | ψ〉 (II.32)
die projecteert op een gegeven eenheidsvector |φ〉. In de notatie van Dirac schrijven we dit als
P φ = |φ〉〈φ|
(II.33)
⎛ ⎞
c 1
c 2 Als |ψ〉 = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ de voorstelling van |ψ〉 in een gegeven basis is, dan is 〈ψ| = (c∗ 1 , c∗ 2 , . . . , c∗ n)
c n
en de matrixvoorstelling van |ψ〉〈ψ| is dan:
⎛
c ∗ 1 c 1 c ∗ 2 c 1 . . . c ∗ ⎞
nc 1
c ∗ 1
|ψ〉〈ψ| = ⎜
c 2 c ∗ 2 c 2 . . . c ∗ nc 2
⎝
.
. . ..
⎟
(II.34)
. ⎠
c ∗ 1 c n c ∗ 2 c n . . . c ∗ nc n
OPGAVE 7. L
aat zien dat (a.) Iedere projector is positief. (b.) Als P een projector is, dan is 11 − P dat ook.
Projectoren zijn de werkpaarden van de Hilbertruimte. Vrijwel al onze verdere beschouwingen
over de quantummechanica kunnen in termen van projectoren geformuleerd worden. We gaan daarom
iets dieper op hun eigenschappen in. We noteren de verzameling van alle projectoren op een Hilbertruimte
H als P(H). Iedere projector P kan gekarakteriseerd worden door middel van zijn bereik,
d.w.z. de verzameling
H P := {P |ψ〉 : |ψ〉 ∈ H}
(II.35)

18 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
. Deze verzameling is gesloten onder lineaire combinaties en vormt dus zelf een deel-Hilbertruimte
(kortweg deelruimte genaamd) van H. Omgekeerd correspondeert iedere deelruimte van H eenduidig
met een projector. (In oneindig-dimensionale Hilbertruimten is dit alleen waar voor gesloten deelruimtes.)
We noemen de deelruimte die correspondeert met een projector ook wel zijn eigenruimte,
en zeggen dat een projector n-dimensionaal is, al naar gelang de dimensie van zijn eigenruimte.
Twee projectoren P 1 en P 2 heten onderling orthogonaal (notatie P 1 ⊥ P 2 ) als
P 1 P 2 = 0
(II.36)
In dat geval zijn hun beider eigenruimtes ook orthogonaal:
P 1 ⊥ P 2 d.e.s.d.a. ∀|ψ〉 ∈ H P1 , |φ〉 ∈ H P2 : 〈φ|ψ〉 = 0 . (II.37)
OPGAVE 8. Ga na dat voor projectoren geldt: P 1 P 2 = 0 =⇒ P 2 P 1 = 0.
Voor twee orthogonale projectoren P 1 ⊥ P 2 is de som P 1 + P 2 ook een projector, want die som is
zelf-geadjungeerd (wegens Vgl. (II.22)) en idempotent omdat:
(P 1 + P 2 ) 2 = P 2 1 + P 1 P 2 + P 2 P 1 + P 2 2 = P 2 1 + P 2 2 = P 1 + P 2 . (II.38)
De eigenruimte van de projector P 1 + P 2 is de lineaire ruimte opgespannen door de vectoren in H P1
en in H P2 .
Meer algemeen heet een stelsel projectoren P 1 , . . . P n onderling orthogonaal als
P i P j = δ ij P i voor i, j = 1, . . . , n . (II.39)
We noemen een stelsel onderling orthogonale projectoren volledig als
n∑
P i = 11
i=1
(II.40)
In het bijzonder geldt voor een orthonormale basis |α i 〉, . . . , |α N 〉 dat de bijbehorende eendimensionale
projectoren een volledig stelsel vormen:
N∑
|α i 〉〈α i | = 11 , (II.41)
i=1
II.3
EIGENWAARDENPROBLEEM EN SPECTRAALSTELLING
Is {|β 1 〉 . . . , |β N 〉} een willekeurige orthonormale basis, dan wordt de operator A hierin gerepresenteerd
als een een willekeurige N × N-matrix:
A ij = 〈β i |A|β j 〉 .
(II.42)

II.3. EIGENWAARDENPROBLEEM EN SPECTRAALSTELLING 19
Een krachtig hulpmiddel bij de studie van dergelijke matrices wordt verkregen als ze ‘op diagonaalvorm’
gebracht kunnen worden; dat wil zeggen, als men een orthonormale basis |α 1 〉, . . . |α N 〉
kan vinden waarin de matrixvoorstelling van A de vorm
⎛
⎞
a 1 0 . . . 0
.
A =
0 a .. 2 .
⎜
⎝
.
. .. . ..
⎟
(II.43)
0 ⎠
0 . . . 0 a N
aanneemt, ofwel
A ij = a j δ ij .
(II.44)
Voor zo’n basis geldt dus:
A|α i 〉 = a i |α i 〉
(II.45)
De vergelijking (II.45)) noemt men de eigenwaardenvergelijking van de operator A, de waarden a i
de eigenwaarden van A, de verzameling van eigenwaarden heet het spectrum (notatie: Spec A) van
A, de vectoren |α i 〉 heten de eigenvectoren van A, en het stelsel |α 1 〉, . . . , |α N 〉 een eigenbasis. De
eigenwaardenvergelijking heeft echter niet altijd een oplossing. Zie bijvoorbeeld operator (II.24). De
voorwaarden waaronder de vergelijking wel opgelost kan worden worden geleverd door de volgende
belangrijke stelling die we zonder bewijs vermelden:
SPECTRAALSTELLING: Iedere normale operator A bezit een orthonormale basis van
eigenvectoren |α 1 〉, . . . , |α N 〉 en bijbehorende eigenwaarden a 1 , . . . , a N (niet noodzakelijk
verschillend) die voldoen aan (II.45).
Voor een zelf-geadjungeerde operator geldt dat de eigenwaarden allemaal reëel zijn; en de eigenwaarden
zijn niet negatief indien de operator positief is. Voor een unitaire operator U liggen alle
eigenwaarden u i ∈ C op de complexe eenheidscirkel: |u i | = 1; voor een projector zijn de eigenwaarden
0 of 1.
De spectraalstelling geeft ons dus (voor normale operatoren) de mogelijkheid om ze op diagonaalvorm
te brengen. Dit kan in de Diracnotatie eleganter formuleerd worden, waarbij we onderscheid
moeten maken tussen het geval dat alle eigenwaarden verschillend zijn, en het geval dat sommige
eigenwaarden gelijk zijn. In het eerste geval heet de operator maximaal, in het laatste geval
noemen we de operator A ontaard.
(i) Stel de operator A is maximaal, dus alle eigenwaarden a i verschillen van elkaar: a i ≠ a j
als i ≠ j. We gebruiken in dat geval vaak de eigenwaarden als label voor de eigenvectoren en
schrijven |a i 〉 in plaats van |α i 〉. Deze notatie is eenduidig omdat er hier bij iedere eigenvector precies
één eigenwaarde is. De spectraalstelling zegt dan: er bestaat een orthonormale basis |a 1 〉, . . . , |a n 〉
zodanig dat
A =
N∑
a i |a i 〉〈a i |
i=1
(II.46)

20 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Immers, voor alle |ψ〉 ∈ H geldt :
A|ψ〉 = A11|ψ〉 = A
N∑
|a i 〉〈a i | ψ〉 =
i=1
N∑
a i |a i 〉〈a i | ψ〉
i=1
(II.47)
zodat de operatoren in het linker- en rechterlid gelijk moeten zijn.
(ii) Als de operator ontaard is, dan zijn er slechts m < N verschillende eigenwaarden a 1 , . . . , a m .
Voor iedere eigenwaarde a i , bestaat er dan een aantal, zeg n i , onderling orthonomale eigenvectoren,
met ∑ m
i=1 n i = N. Deze eigenwaarde heet dan n i -voudig ontaard. De bijbehorende eigenvectoren
spannen dan een n i -dimensionale deelruimte op van eigenvectoren bij de waarde a i . Kies hierin een
orthonormale basis |α i , j〉, j = 1, . . . , n i . Dan wordt de eigenwaardevergelijking (II.45):
A|a i , j〉 = a i |a i , j〉 j = 1, . . . , n i . (II.48)
We vinden dan analoog aan (II.46):
m∑ ∑n i
A = |a i , j〉〈a i , j| , (II.49)
a i
i=1 j=1
wat ook geschreven kan worden als
m∑
A = a i P ai
i=1
(II.50)
in termen van de n i -dimensionale eigenprojectoren:
∑n i
P ai = |a i , j〉〈a i , j|) (II.51)
j=1
OPGAVE 9. Laat zien dat P ai in (II.51) onafhankelijk is van de keus van de orthonormale basis
|a i , 1〉, . . . , |a i , n i 〉.
We vatten de bovenstaande twee gevallen samen in de volgende (equivalente) formulering van de
spectraalstelling:
SPECTRAALSTELLING (PROJECTOR-FORMULERING): Voor iedere normale operator
bestaat er een uniek stelsel van onderling verschillende eigenwaarden a 1 , . . . a m , (m ≤
N), en een bijbehorend uniek volledig stelsel van onderling orthogonale projectoren
P a1 , . . . , P am , zodanig dat
A =
11 =
m∑
a i P ai ,
i=1
m∑
i=1
P i
(II.52)
(II.53)
Als de operator niet-ontaard is, zijn al deze projectoren eendimensionaal; als hij wel
ontaard is, geeft dim P i de ontaardingsgraad van eigenwaarde a i .
We noemen (II.52) de spectrale ontbinding van A, en (II.53) een ontbinding van de eenheid.

II.4. FUNCTIES VAN OPERATOREN 21
II.3.1
AANHANGSEL
Een formulering van de spectraalstelling die equivalent is aan het bovenstaande, maar die zich beter
leent voor generalisaties kan verkregen worden als we de correspondentie tussen de eigenwaarden
en de bijbehorende eigenprojectoren invoeren als een afbeelding A van alle deelverzamelingen van
Spec A ⊂ C naar de verzameling P(H) van projectoren op H.
We construeren die afbeelding door te stellen
{a i } ↦→ P ai (II.54)
en uitbreiden met de regel
{a 1 , a 2 } ↦→ P {a1 ,a 2 } := P a1 + P a2 (II.55)
of algemener: als ∆ een willekeurige verzameling eigenwaarden voorstelt, dan definieren we
∆ ↦→ P ∆ = ∑ a∈∆
P a (II.56)
Definitie: een afbeelding B(C) → P(H) heet een projector-waardige maat als
(i) P ∅ = 0
(ii) P Spec A
= 11
(iii) P (∪ i ∆ i ) = ∑ i P ∆ i
als alle ∆ i onderling disjunct
(II.57)
OPGAVE 10. Ga na dat ook geldt:
P (∆ c ) = 11 − P )∆)
(II.58)
waar ∆ c = Spec A \ ∆ het complement van ∆ is.
De spectraalstelling zegt dan: iedere normale operator correspondeert eenduidig met een projector-waardige
maat.
II.4
FUNCTIES VAN OPERATOREN
De spectraalstelling maakt het ook mogelijk om eenvoudig over functies van (normale) operatoren te
spreken. Als f een willekeurige (reële of complexe) functie is, en A een operator is met de spectrale
ontbinding
m∑
A = a i P ai
i=1
dan is de functie f(A) van A gedefinieerd als
(II.59)
f(A) :=
m∑
f(a i )P ai .
i=1
(II.60)

22 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Dat wil zeggen, f(A) heeft altijd dezelfde eigenvectoren en eigenprojecties als A, en verschilt alleen
van A in de toekenning van de eigenwaarden, namelijk f(a i ) in plaats van a i . Beschouw als voorbeeld
de karakteristieke functie χ a van a ∈ C:
{ 1 als x = a
χ a : C → {0, 1} , x ↦→ χ a (x) :=
0 elders
. (II.61)
Dan is
χ ak (A) :=
m∑
χ ak (a i )P ai = P ak .
i=1
(II.62)
De projectoren uit de spectrale ontbinding van A (II.52) zijn dus functies van A. We gebruiken de
spectrale ontbindingen in het bewijs van de volgende stelling.
STELLING: Als zelf-geadjungeerde operatoren A en B commuteren, dan is er een maximale,
zelf-geadjungeerde operator C waar A en B beide een functie van zijn.
Bewijs. We formuleren eerst een nuttig
LEMMA: Als [A, B] = 0, dan is er een basis |γ i 〉 waarop A en B tegelijk diagonaal zijn.
Bewijs.
Laat {|a i , j〉} een orthonormale eigenbasis van operator A zijn, waarbij j = 1, . . . , n i de ontaardingsgraad
van eigenwaarde a i aangeeft. We hebben dus:
〈a p , q|a i , j〉 = δ pi δ qj . (II.63)
Laat analoog {|b k , l〉} een orthonormale basis voor grootheid B zijn. Uit [A, B] = 0 volgt
A ( B|a i , j〉 ) = BA|a i , j〉 = a i B|a i , j〉 ,
(II.64)
zodat B|a i , j〉 blijkbaar een eigenvector van A is bij de eigenwaarde a i . D.w.z. B|a i , j〉 ligt in de
eigenruimte opgespannen door |a i , 1〉, . . . , |a i , n i 〉. Ofwel:
∑n i
B|a i , j〉 = Λ [i]
j,k |a i, k〉 ,
k=1
(II.65)
voor zekere getallen Λ [i]
j,k ∈ C. Omdat B zelf-geadjungeerd is, moet de matrix Λ[i] hermitisch
zijn; immers:
dus
〈a k , l|B |a i , j〉 = Λ [i]
l,j δ ki ,
〈a k , l|B |a i , j〉 ∗ = 〈a i , j|B † |a k , l〉 = Λ [i]
i,k δ il ,
( ) ∗
Λ [i]
[i]
k,i = Λ
i,k .
(II.66)
(II.67)
(II.68)

II.4. FUNCTIES VAN OPERATOREN 23
Omdat Λ [i] zelf-geadjungeerd is, kan hij op diagonaalvorm gebracht worden door een unitaire matrix
S [i] . Dit correspondeert met een orthonormale basistransformatie binnen de n i -dimensionale
deelruimte met eigenwaarde a i . Voer deze transformatie in ieder van de deelruimten uit en noem
de getransformeerde eigenvectoren van A:
∑n i
|a i , m ′ 〉 = S [i]
j,m |a i, j〉 .
′
j=1
(II.69)
In de nieuwe basis |a i , m ′ 〉 is Λ [i] gediagonaliseerd, dus:
B|a i , m ′ 〉 = Λ ′ [i]
m ′ ,m ′ δm′ n ′ |a i , n ′ 〉 , waarin Λ ′ [i] := S [i]−1 Λ [i] S [i] . (II.70)
De vectoren |a i , m ′ 〉 zijn dus niet alleen eigenvectoren van A maar ook van B en vormen (per
constructie) een basis. □
Merk op dat het niet in tegenspraak is met dit Lemma dat niet-commuterende operatoren sommige
eigenvectoren gemeenschappelijk hebben.
Nu het bewijs van de stelling. Laat
A = ∑ i
a i P |γi 〉 en B = ∑ i
b i P |γi 〉 .
(II.71)
De eigenwaarden a i en b i mogen ontaard zijn. Definieer nu een maximale operator:
C := ∑ i
c i P |γi 〉 met alle c i ∈ C verschillend . (II.72)
Dan is
P |γi 〉 = χ ci (C) ,
(II.73)
met χ ci (·) gedefinieerd analoog aan def. (II.61).
Hiermee vinden we
A = ∑ i
a i χ ci (C) = f(C) met f(x) = ∑ i
a i χ ci (x)
(II.74)
en
B = ∑ i
b i χ ci (C) = g(C) met g(x) = ∑ i
b i χ ci (x) .
(II.75)
De operatoren A en B commuteren beide met C.
Uit de constructie van C zien we dat de keus van C niet uniek is. Stel dat we hebben
A = f(C 1 ) = g(C 2 )
(II.76)
waarin C 1 en C 2 beide maximaal zijn. In het algemeen hoeven C 1 en C 2 niet te commuteren. Dit
is wel het geval als A zelf ook maximaal is. Dan kan f geïnverteerd worden: C 1 = f −1 (A) =
f −1 (g(C 2 )), waaruit volgt dat [C 1 , C 2 ] = 0. □

24 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
II.5
DIRECTE SOM EN DIRECT PRODUCT
Er zijn twee manieren om uit twee gegeven Hilbertruimtes H 1 en H 2 een nieuwe Hilbertruimte H te
construeren, of omgekeerd, een gegeven Hilbertruimte H in kleinere ruimten te ontbinden.
DE DIRECTE SOM
Laat H 1 en H 2 twee Hilbertruimten zijn. We noemen de ruimte H := H 1 ⊕ H 2 per definitie de
directe somruimte van H 1 en H 2 als het volgende geldt:
(i) H 1 ⊕ H 2 bevat als elementen alle geordende paren van vectoren, (genoteerd als |φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 )
met |φ〉 1 ∈ H 1 en |ψ〉 2 ∈ H 2 .
(ii) Er is een optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd op H 1 ⊕ H 2 , die voldoen aan
a(|φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 ) + b(|χ〉 1 ⊕ |ξ〉 2 ) = (a|φ〉 1 + b|χ〉 1 ) ⊕ (a|ψ〉 2 + b|ξ〉 2 ) ,
(II.77)
(iii) Het inproduct gedraagt zich additief:
( 1 〈φ| ⊕ 2 〈φ |)(ψ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 ) = 1 〈φ|ψ〉 1 + 2 〈φ|ψ〉 2 . (II.78)
(iv) H 1 ⊕ H 2 is de kleinste Hilbertruimte opgespannen door de elementen van de vorm |φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2
en hun lineaire combinaties.
Merk op dat relatie (II.77) als gevolg heeft dat alle elementen in H 1 ⊕H 2 van de vorm |φ〉 1 ⊕|ψ〉 2
zijn, voor zekere |φ〉 1 ∈ H 1 en |ψ〉 2 ∈ H 2 . Immers, een willekeurige lineaire combinatie van
elementen in H 1 ⊕ H 2 is wegens (II.77) van de vorm
( ) ( )
∑
∑ ∑
a i |φ i 〉 1 ⊕ |ψ i 〉 2 = a i |φ i 〉 1 ⊕ a i |ψ i 〉 2 . (II.79)
i
i
i
Dit betekent dat de eisen (i) en (ii) hierboven automatisch meebrengen dat H 1 ⊕ H 2 gesloten is onder
lineaire combinaties.
De deelruimte van H 1 ⊕ H 2 die bestaat uit alle vectoren van de gedaante 0 1 ⊕ |φ〉 2 , met 0 1 de
nulvector in H 1 en |φ〉 2 ∈ H 2 willekeurig, is isomorf met H 2 , en net zo voor |φ〉 1 ⊕ 0 2 en H 1 .
Bovendien zijn deze twee deelruimten van H 1 ⊕ H 2 onderling orthogonaal, want
1〈φ| ⊕ 0 2 | 0 1 ⊕ |ψ〉 2 = 1 〈φ | 0 〉 1 + 2 〈0 | φ〉 2 = 0
(II.80)
Iedere vector |φ〉 ∈ H 1 ⊕ H 2 kan dus uniek geschreven kan worden als de directe som van twee
orthogonale termen:
|φ〉 = |φ 1 〉 ⊕ |φ 2 〉 = |φ〉 1 ⊕ 0 2 + 0 1 ⊕ |φ〉 2 .
(II.81)
Stel, omgekeerd, dat H een willekeurige gegeven Hilbertruimte is en dat H 1 een deelruimte van
H is. Laat nu H 2 = H1
⊥ het orthocomplement van H 1 zijn. Dat wil zeggen, H 2 bevat alle vectoren
die loodrecht staan op alle vectoren uit H 1 . Er geldt dan H = H 1 ⊕ H 2 , met de identificatie
|φ〉 1 ⊕ 0 2 ←→ |φ〉 ∈ H 1
(II.82)
0 1 ⊕ |ψ〉 2 ←→ |ψ〉 ∈ H 2 (II.83)

II.5. DIRECTE SOM EN DIRECT PRODUCT 25
en
|φ〉 ⊕ |ψ〉 = |φ〉 + |ψ〉
(II.84)
de directe som ⊕ is nu niets anders dan de optelling in H, waarover we in dit geval reeds beschikten.
Iedere Hilbertruimte is dus te schrijven is als een directe som van een willekeurige deelruimte en diens
orthocomplement. Aan dit geval zien we ook iets wat algemeen geldt: de dimensie van H 1 ⊕ H 2 is
de som van de dimensies van H 1 en H 2 :
dim(H 1 ⊕ H 2 ) = dim H 1 + dim H 2 .
(II.85)
DIRECT PRODUCT
Zij H 1 en H 2 twee willekeurige Hilbertruimten. We noemen de ruimte H := H 1 ⊗ H 2 per definitie
het directe product als aan de volgende eisen is voldaan.
(i) H 1 ⊗ H 2 bevat als ingredienten tenminste alle geordende paren (|φ〉 1 , |ψ〉 2 ), met |φ〉 1 ∈ H 1 ,
|ψ〉 2 ∈ H 2 , die we nu als |φ〉 1 ⊗ |ψ〉 2 noteren.
(ii) De optelling en scalaire vermenigvuldiging op H 1 ⊗ H 2 voldoen aan
)
a
(|φ〉 1 ⊗ |ψ〉 2
= |aφ〉 1 ⊗ |ψ〉 2 = |φ〉 1 ⊗ |aψ〉 2 (II.86)
|φ〉 1 ⊗ |ψ〉 2 + |φ〉 1 ⊗ |χ〉 2 = |φ〉 1 ⊗ (|ψ〉 2 + |χ〉 2 ) . (II.87)
(iii) Het inproduct gedraagt zich multiplicatief:
1〈φ 1 | ⊗ 2 〈χ| | |ψ〉 1 ⊗ |ξ〉 2 = 1 〈φ||ψ〉 1 2 〈χ 2 |ξ 2 〉 ; (II.88)
(iv) H 1 ⊗H 2 is de kleinste Hilbertruimte opgespannnen door de vectoren van de vorm |φ〉 1 ⊗|φ〉 2 ∈
H en hun lineaire combinaties.
Als |α 1 〉 1 , . . . , |α N1 〉 1 een orthonormale basis is in H 1 , en |β 1 〉 2 , . . . |β N2 〉 2 in H 2 , met N 1 = dim H 1 ,
N 2 = dim H 2 , dan vormen hun directe producten, wegens (II.88), een orthonormale verzameling
vectoren in H 1 ⊗ H 2 :
1〈α j | ⊗ 2 〈β k mbox|α m 〉 1 ⊗ |β n 〉 2 = δ jk δ mn . (II.89)
Orthonormale vectoren zijn onafhankelijk, dus kan de dimensie van H 1 ⊗ H 2 zeker niet kleiner zijn
dan het product van de afzonderlinge dimensies. Maar bovendien geldt, wegens (iv), dat alle vectoren
in H 1 ⊗ H 2 te verkrijgen zijn als lineaire combinaties van vectoren van de vorm |φ〉 1 ⊗ |ψ〉 2 , die op
hun beurt weer lineaire combinaties zijn van de vectoren |α j 〉 1 ⊗ |β k 〉 2 . Dus spannen deze vectoren
ook de gehele H 1 ⊗ H 2 op, zodat |α 1 〉 1 ⊗ |β 1 〉 2 , . . . , |α N1 〉 1 ⊗ |β N2 〉 2 ook een basis voor H 1 ⊗ H 2 .
Voor de dimensie van H 1 ⊗ H 2 geldt dus:
dim (H 1 ⊗ H 2 ) = dim H 1 · dim H 2 .
(II.90)

26 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Een willekeurige vector |Ψ〉 ∈ H 1 ⊗ H 2 kan dus in deze productbasis |α j 〉 1 ⊗ |β k 〉 2 worden
uitgeschreven:
|Ψ〉 =
∑N 1 N 2
∑
c jk |α j 〉 ⊗ |β k 〉 ,
j=1 k=1
(II.91)
waarin c jk = 〈α j ⊗ β k |Ψ〉 ∈ C.
Voor vectoren van de vorm |φ〉 1 ⊗ |φ〉 2 geldt,
∑N 1
∑N 2
a j α j ⊗ b k β k =
j=1 k=1
∑N 1 N 2
∑
a j b k α j ⊗ β k .
j=1 k=1
(II.92)
We zien dat (II.92) een bijzonder geval is van (II.91), namelijk het geval waarin a j b k = c jk . De
bijzondere vectoren die in de vorm (II.92) te schrijven zijn, dus in de vorm |φ〉 1 ⊗ |φ〉 2 , heten directproduct-vectoren,
of factoriseerbaar. In een directe somruimte H 1 ⊕ H 2 zijn alle vectoren in de
vorm |φ 1 〉 ⊕ |φ 2 〉 te schrijven, in een directe productruimte H 1 ⊗ H 2 zijn niet alle vectoren van
de vorm φ 1 ⊗ φ 2 . We zullen zien dat niet-factoriseerbare toestanden aanleiding geven tot typerend
quantum-mechanisch gedrag, zoals in het gedachtenexperiment van EPR.
Zijn A en B operatoren in H 1 resp. H 2 , dan is de directe-product-operator A ⊗ B de operator op
H 1 ⊗ H 2 gedefinieerd door:
(A ⊗ B)(|ψ〉 1 ⊗ |φ〉 2 ) := A|ψ〉 1 ⊗ B|φ〉 2 . (II.93)
Hieruit volgt dat
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD) . (II.94)
Net zoals dat bij vectoren het geval is, is een algemene operator op de direct-productruimte H 1 ⊗
H 2 niet altijd factoriseerbaar. De totale impulsoperator en de afstandsoperator van EPR (§1.2) zijn
voorbeelden van zulke niet-factoriseerbare direct-product-operatoren:
P 1 ⊗ 11 2 + 11 1 ⊗ P 2 en Q 1 ⊗ 11 2 − 11 1 ⊗ Q 2 . (II.95)
OPGAVE 11. Bereken de commutator van deze operatoren als gegeven is dat [P i , Q j ] = −iδ ij
Nog enkele eigenschappen van het directe product van operatoren waar we vaak gebruik van
zullen maken:
A ⊗ 0=0 ⊗ B = 0 , (A 1 + A 2 ) ⊗ B =(A 1 ⊗ B) + (A 2 ⊗ B) ,
11 ⊗ 11=11 , aA ⊗ bB =ab(A ⊗ B) ,
(A ⊗ B) −1 =A −1 ⊗ B −1 , (A ⊗ B) † =A † ⊗ B † ,
Tr(bA ⊗ cB)=bc TrA · TrB .
OPGAVE 12. Bewijs de eigenschappen van ⊗ in (II.96).
(II.96)

II.6. TOEGIFT: ONEINDIG-DIMENSIONALE HILBERTRUIMTEN 27
De matrix A ⊗ B van de operator A ⊗ B in H 1 ⊗ H 2 is van de vorm:
⎛
⎞
a 11 B . . . a 1N B
⎜
A ⊗ B = ⎝
.
. ..
⎟
. ⎠
a N1 B . . . a NN B
(II.97)
waarin a ij = 〈α j |A|α k 〉 en (B) kl = 〈β k |B|β l 〉. Deze matrix heet ook het Kronecker-product van de
matrices A en B.
II.6
TOEGIFT: ONEINDIG-DIMENSIONALE HILBERTRUIMTEN
Deze paragraaf is bedoeld als verdieping voor geïnteresseerden.
In fysische toepassingen van de quantummechanica hebben we vrijwel altijd een oneindig-dimensionale
Hilbertruimte nodig. Dit geldt al bij de beschouwing van een vrij deeltje in één ruimtelijke
dimensie Dat wil zeggen dat er bij ieder n-tal onafhankelijke vectoren, met n willekeurig groot, in H
altijd nog een andere vector in H gevonden kan worden die hiervan onafhankelijk is. De wiskundige
theorie hiervan is op een aantal punten moeilijker dan het eindig-dimensionale geval.
II.6.1
DE VECTORRUIMTESTRUCTUUR
In een groffe benadering kan men zeggen dat alle formules uit paragraaf II.1 geldig blijven als we
sommen ∑ N
i=1 door ∑ ∞
i=1
vervangen. Maar dan dient natuurlijk wel de nodige zorg besteed te
worden aan de convergentie van dergelijke sommen. Deze zorg wordt gedragen door twee extra
aannamen:
Separabiliteit. We spreken van een separabele Hilbertruimte H als H een aftelbare basis heeft;
dat wil zeggen dat er een aftelbare rij onafhankelijke vectoren |φ 1 〉, |φ 2 〉, . . . , |φ j 〉, . . . ∈ H bestaat
zodanig dat iedere vector |φ〉 ∈ H als
∞∑
|φ〉 = c j |φ j 〉
(II.98)
i=j
geschreven kan worden, met c j = 〈φ j |φ〉, analoog aan vgl. (II.12). Hierbij is vgl. (II.98) een verkorte
schrijfwijze voor:
∥ m∑ ∥
lim ∥φ − c j φ j = 0 ,
(II.99)
m→∞
j=1
We zullen steeds veronderstellen dat de Hilbertruimte separabel is.
Volledigheid. Men eist verder dat de ruimte volledig is; dit betekent dat iedere Cauchy-rij, d.w.z.
een rij |φ 1 〉, |φ 2 〉, . . . , |φ j 〉, . . . ∈ H vectoren waarvoor
lim ‖φ j − φ k ‖ = 0 ,
j,k→∞
een limiet-vector φ in H heeft, hetgeen wil zeggen dat
lim ‖φ j − φ‖ = 0 .
j→∞
(II.100)
(II.101)

28 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Zo is Q (de rationale getallen) onvolledig in deze zin, aangezien er talloze Cauchy-rijen van rationale
termen bestaan waarvan de limiet niet in Q ligt (denk aan reeksontwikkelingen van π en e). Voegt
men de limiet-punten van alle Cauchy-rijen toe aan Q, dan krijgt men precies R. We gaan dan van een
aftelbare verzameling naar een overaftelbare verzameling. Dit illustreert dat de eis van separabiliteit
niet vanzelfsprekend is.
OPGAVE 13. Bewijs dat iedere eindig-dimensionale complexe vectorruimte met een inwendig
product separabel en volledig is.
Dit maakt de eisen van separabiliteit en volledigheid in het eindig-dimensionale geval overbodig.
Twee bekende voorbeelden van een oneindig-dimensionale Hilbertruimte zijn de volgende.
(i) De ruimte van alle complexe, kwadratisch integreerbare functies
L 2 (R) :=
{
ψ : R → C ∣
∫
R
}
|ψ(q)| 2 dq < ∞ , (II.102)
met inwendig product:
∫
〈ψ|φ〉 := ψ ∗ (q)φ(q) dq ,
R
(II.103)
en analoog voor L 2 (R n ) voor willekeurige n ∈ N + .
(ii) De ruimte van kwadratisch sommeerbare rijen van complexe getallen, ook wel Schmidt-rijtjes
genoemd:
l 2 (N) :=
{
c : N → C ∣ en
∞∑
j=0
}
|c j | 2 < ∞ , (II.104)
met als definitie voor het inproduct:
〈
c
∣ ∣ d 〉 :=
∞∑
c ∗ jd j .
j=0
(II.105)
Het bewijs dat deze vectorruimten volledig zijn, is niet eenvoudig — het bewijs dat aan de overige
eisen voor een Hilbertruimte is voldaan, is dat wel.
De twee voorbeelden L 2 (R) en l 2 (N) corresponderen resp. met de golfmechanica van Schrödinger
(1926) en de matrixmechanica van Heisenberg, Born, en Jordan (1925) wanneer we de laatstgenoemde
nemen in de door Von Neumann verrijkte versie (de oorspronkelijke versie bevatte namelijk
geen ‘toestandsruimte’) Deze twee oorspronkelijke versies van de quantummechanica zijn dus
wiskundig equivalent (zie Muller 1997 voor historische details).

II.6. TOEGIFT: ONEINDIG-DIMENSIONALE HILBERTRUIMTEN 29
II.6.2
OPERATOREN
Grotere complicaties doen zich voor bij de beschouwing van operatoren op oneindig-dimensionale
Hilbertruimten. In de eerste plaats zullen we straks zien dat zulke operatoren in het algemeen ‘onbegrensd’
zijn, wat tot gevolg heeft dat ze niet op de hele Hilbertruimte gedefinieerd kunnen worden. Dit
heeft tot gevolg dat de invoering van som en product van operatoren, maar ook van de gadjungeerde
van een operator omslachtiger wordt, en dat de begrippen ‘zelf-geadjungeerd’ en ‘Hermitisch’ niet
langer samenvallen. Een tweede complicatie is dat operatoren nu soms geen eigenvectoren in H
bezitten. (Dit probleem is onafhankelijk van het eerdergenoemde, het kan zich ook voordoen voor
begrensde zelf-geadjungeerde operatoren). Het is daarom veel lastiger om een bruikbare versie van de
spectraalstelling te geven. In feite dienen beide complicaties zich tegelijk aan voor positie en impuls:
VOORBEELD:Beschouw de positie-operator
Q : ψ(q) ↦→ qψ(q) ,
(II.106)
en de impuls-operator
P : ψ(q) ↦→ −i dψ(q)
dq
, (II.107)
beide werkend op L 2 (R).
Probleem (i): deze operatoren beelden niet iedere vector in L 2 (R) af op een andere vector
in L 2 (R). Zo ligt iedere niet-differentieerbare functie in L 2 (R) buiten het domein van
P , en mutatis mutandis voor bijvoorbeeld φ(q) = (a + q) −3/2 (a ∈ R) en de operator Q.
Voor deze functie geldt dus: φ ∈ H maar Qφ ∉ H.
Probleem (ii): de eigenwaardenvergelijking voor impuls
d
ψ(q) = pψ(q)
idq (II.108)
heeft als oplosingen ψ(x) ∝ e ipq/ , voor p ∈ R, maar deze functies zijn niet kwadratisch
integreerbaar en liggen dus niet in H. Iets analoogs geldt voor de eigenwaardenvergelijking
Qψ(q) = q 0 ψ(q)
(II.109)
en de oplossingen ψ(q) = δ(q − q 0 ).
Onbegrensde operatoren We beginnen met een definitie: Een operator A op Hilbertruimte H heet
begrensd als de verzameling positieve getallen ‖Aχ‖ voor alle eenheidsvectoren |χ〉 van boven begrensd
is; de kleinste bovengrens heet de norm van A:
‖A‖ = sup { ‖Aχ‖ ∈ R | ‖χ‖ = 1 } .
(II.110)
De verzameling van alle begrensde operatoren op H noteert men als B(H)

30 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
In eindig-dimensionale Hilbertruimtenzijn alle operatoren begrensd, maar in oneindig-dimensionale
is dat niet langer waar. Omdat we willen vast houden aan de eis dat iedere vector A|ψ〉 een
eindige norm heeft, moeten we de verzameling vectoren |φ〉 waarvoor ‖Aχ‖/‖χ‖ → ∞ als |χ〉 →
|φ〉 uitsluiten van het domein van A.
Dus voortaan is een operator A een lineaire afbeelding van een deelverzameling van H naar H.
Die deelverzameling heet het domein van A, notatie: Dom A ⊂ H. Dus en operator is een lineaire
afbeelding:
ψ ∈ Dom A A : ψ ↦→ Aψ ∈ H .
(II.111)
We zullen wel steeds veronderstellen dat dit domein Dom A dicht ligt in H, dat wil zeggen dat dat
iedere vector φ in H willekeurig goed benaderd kan worden met vectoren in Dom A.
Het bovenstaande houdt in dat ook sommen en producten van operatoren in het algemeen slechts
op een beperkt domein gedefinieerd zijn:
Dom (A + B) = Dom A ∩ Dom B (II.112)
Dom (AB) = {ψ ∈ Dom B : Bψ ∈ Dom A} . (II.113)
Moeilijker wordt het de geadjungeerde A † van een operator A in te voeren. De operator heet weer
Hermitisch als
〈φ|A|ψ〉 = 〈ψ|A|φ〉 ∗ voor alle φ, ψ ∈ Dom A , (II.114)
maar deze definitie is nu niet langer goed genoeg om te krijgen wat we willen.
VOORBEELD: Beschouw de operator P uit vgl (II.107), maar nu werkend op L 2 ([0, ∞),
en kies als domein
{ ∫ ∞
∫
}
Dom P = ψ : |ψ(q)| 2 dq < ∞, |P ψ(q)| 2 dq < ∞ en ψ(0) = 0 .(II.115)
0
Deze operator is inderdaad hermitisch, wat is na te gaan met behulp van partiële integratie,
waarbij de ‘stokterm’ wegvalt dankzij de randvoorwaarde ψ(0) = 0. Maar hij is
niet zelfgeadjungeerd, zoals we nog zullen zien.
Om de geadjungeerde van een operator in te voeren proberen we eerst het domein af te bakenen.
Laat Dom (A † ) de verzameling van alle vectoren φ zodanig dat er een vector |η〉 bestaat met
〈φ|A|ψ〉 = 〈η | ψ〉 ∀|ψ〉 ∈ Dom A
(II.116)
Men kan laten zien dat als zo’n |η〉 bestaat hij ook uniek is (dank zij de veronderstelling dat Dom A
dicht ligt in H. De geadjungeerde A † van operator A is nu per definitie de afbeelding
A † : φ ∈ Dom A † ↦→ η =: A † φ (II.117)
en de operator heet zelfgedjungeerd als
Dom A = Dom A † (II.118)
A = A † (II.119)
Deze eis is sterker dan Hermiticiteit: men kan laten zien dat voor Hermitische operatoren in het
algemeen Dom A ⊂ Dom A † i.p.v. (II.118).

II.6. TOEGIFT: ONEINDIG-DIMENSIONALE HILBERTRUIMTEN 31
OPGAVE 14. Ga na dat het domein van P † , met P als in het bovenstaande voorbeeld inderdaad
groter is dan het domein van P .
Continue spectra. Een ander aspect waarin de oneindig-dimensionale Hilbertruimte afwijkt is de
mogelijkheid dat operatoren een continu spectrum hebben — een wiskundige onmogelijkheid in het
eindig-dimensionale geval. Voorbeelden zijn weer de positie-operator en de impuls-operator waarvan
het spectrum de gehele reële lijn R beslaat. Het begrip ‘spectrum’ dient dus opnieuw gedefinieerd te
worden (niet als de verzameling eigenwaarden). Het spectrum van operator A is de verzameling van
alle waarden λ ∈ C waarvoor de operator λ11 − A geen inverse operator heeft.
Voorbeeld: hoek en impulsmoment. Beschouw de Hilbertruimte L 2 ([0, 2π]) en de operator
Q : ψ(q) ↦→ qψ(q) , 0 ≤ q ≤ 2π
(II.120)
Deze operator heeft net zo min eigenfuncties als (II.106), en zijn spectrum is het interval
[0, 2π] maar hij is wel begrensd: ‖Q‖ = 2π.
De operator
L : ψ(q) ↦→ −i dψ(q)
dq
, (II.121)
met domein
Dom L = {ψ : ‖Lψ‖ < ∞ , ψ(0) = ψ(2π)} ,
(II.122)
heeft wel genormeerde eigenfuncties, nl.: ψ(q) = (2π) −1/2 e ilq , en een discreet spectrum
l ∈ Z. Omdat l willekeurig groot kan worden is hij echter onbegrensd.
Spectraalstelling. Belangrijk om te weten is dat Von Neumann erin is geslaagd de spectraalstelling
(in de versie van II.3.1)) te bewijzen voor oneindig dimensionale Hilbertruimten. Dit betekent het
volgende. Met iedere normale operator A — begrensd of onbegrensd —, correspondeert een unieke
afbeelding van deelverzamelingen van Spec A naar P(H), ∆ ↦→ P A (∆), die de volgende eigenschappen
heeft:
(i) P ∅ = 0
(ii) P C = 11
(iii) P (∪ i ∆ i ) = ∑ i P ∆ i
als alle ∆ i onderling disjunct
(II.123)
In het geval van de positie-operator Q beschikken we over een expliciete uitdrukking voor de
spectrale familie:
{
P Q ψ(q) als q ∈ ∆
(∆)ψ(q) =
, (II.124)
0 elders
dus in feite is P Q (∆) een vermenigvuldiging met de karakteristieke functie van ∆. De spectrale familie
van de impuls-operator krijgt men door op bovenstaande uitdrukking een Fourier-transformatie
toe te passen.

32 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
De kans om voor fysische grootheid A die correspondeert met normale operator A een waarde te
vinden in ∆ ⊂ R bij meting wanneer het fysisch systeem in (zuivere) toestand ψ ∈ H is, is dan
Prob ψ (A : ∆) = 〈ψ|P A (∆)|ψ〉 .
(II.125)
In het geval van de grootheid positie Q krijgen we dan, vanwege (II.124):
∫
Prob ψ (Q : ∆) = 〈ψ|P Q (∆)|ψ〉 = |ψ(q)| 2 dq .
∆
(II.126)
Alle empirische uitspraken van de quantummechanica zijn derhalve uit te drukken in termen van
projectoren; preciezer, alle empirische uitspraken van de quantummechanica betreffende fysische
grootheid A zijn uit te drukken in termen van de spectrale familie van A.
Dirac. Het zij ten slotte opgemerkt dat de quantummechanica à la Dirac willens en wetens de
postulaten van Von Neumann schendt door buiten de Hilbertruimte te treden. Dirac (1947, blz. 40):
“The bra and ket vectors that we now use form a more general space than a Hilbert space.” Om
Dirac toch wiskundig handen en voeten te geven, heeft de Franse wiskundige Laurent Schwarz de
theorie van distributies ontwikkeld, en de Russische mathematisch fysicus I.M. Gel’fand de theorie
van opgetuigde Hilbertruimten (Eng.: rigged Hilbert-space). In tegenstelling tot Schrödinger en
Von Neumann, zag Dirac de golfmechanica als een generalisering van de matrixmechanica, namelijk
van een discrete index naar een continue index, zodat men van een Schmidt-rijtje naar een golffunctie
gaat, en van oneindige matrices naar integraal-kernen.
Samenvatting. Een complexe Hilbertruimte is per definitie een volledige, separabele complexe
vectorruimte met een inproduct dat gerelateerd is aan de norm via ‖ψ‖ 2 = 〈ψ|ψ〉; de dimensie
is eindig of aftelbaar-oneindig; in het eindig-dimensionale geval zijn de eisen van separabiliteit en
compleetheid overbodig want afleidbaar uit de overige eigenschappen van een Hilbertruimte; in het
overgrote merendeel van fysische toepassingen zijn oneindig-dimensionale Hilbertruimten en onbegrensde
operatoren vereist.

III
DE POSTULATEN
Het lijkt er sterk op dat de quantummechanica uitsluitend gaat over meetuitkomsten en
niets te zeggen heeft over iets anders dan meetuitkomsten.
— J.S. Bell
In dit hoofdstuk formuleren en bespreken we de Von Neumann-postulaten. Voorts zullen we het
quantantummechanische toestandsbegrip uitbreiden van ‘zuivere’ naar ‘gemengde’ toestanden,
en uit de doeken doen hoe de quantummechanica toestanden ven deelsystemen van samengestelde
fysische systemen behandelt. Ten slotte passen we een en ander toe op spin- 1 2
deeltjes; we leiden
enkele formule’s af die we nodig zullen hebben in de volgende hoofdstukken.
III.1
DE POSTULATEN VAN VON NEUMANN
We kunnen nu (in enkele gevallen vereenvoudigde versies van) de Von Neumann-postulaten van de
quantummechanica geven, die verbanden leggen tussen de fysische begrippen uit de theorie en de
wiskundige begrippen uit haar formalisme.
1. Toestandpostulaat (zuivere toestanden). Met ieder fysisch systeem correspondeert een Hilbertruimte;
de toestanden van het systeem worden volledig beschreven door eenheidsvectoren in H.
Een samengesteld fysisch systeem corespondeert met het direct product van de Hilbertruimten
van de deelsystemen.
2. Groothedenpostulaat. Met iedere fysische grootheid A (Dirac: ‘observabele’) van het systeem
correspondeert een unieke zelf-geadjungeerde operator A in H.
3. Meetpostulaat. De enig mogelijke uitkomsten die men bij meting van de fysische grootheid A
die correspondeert met de operator A, kan vinden, zijn de waarden uit het spectrum van A. Als
het systeem in toestand |ψ〉 ∈ H is, dan is de kans om bij meting van A met discreet spectrum
Spec A de eigenwaarde a i te vinden, gelijk aan:
Prob |ψ〉 (a i ) = 〈ψ|P ai |ψ〉 ,
(III.1)
waarbij P ai de projector uit de spectrale onbinding (II.52) van A is.
4. Schrödinger-postulaat. Als er geen metingen verricht worden aan het systeem, wordt de ontwikkeling
van de toestand van het systeem in de tijd beschreven door een unitaire transformatie:
|ψ(t)〉 = U(t − t 0 )|ψ(t 0 ))〉 .
(III.2)

34 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
5. Projectiepostulaat (discreet geval). Als er een meting aan het fysisch systeem in toestand
|ψ〉 van fysische grootheid A wordt verricht, die correspondeert met een operator A met een
discreet sprectrum, en de meting levert eigenwaarde a i ∈ R op, dan is het systeem direct na de
meting in de onderstaande eigentoestand:
|ψ〉
P a i
|ψ〉
‖P ai |ψ〉‖ .
(III.3)
De eerste drie postulaten verbinden de (ongedefinieerde) begrippen ‘fysisch systeem’, ‘toestand’
en ‘grootheid’ met wiskundige begrippen. De laatste twee postulaten leggen vast hoe toestanden in
de loop der tijd veranderen
Ad 1 Het toestandpostulaat impliceert dat systemen met dezelfde |ψ〉 zich in dezelfde fysische
toestand bevinden. Langs welke methode die toestandsvector |ψ〉 geproduceerd is, is hierbij niet van
belang. Ook het feit dat twee systemen beschreven door dezelfde |ψ〉 vervolgens bij meting verschillende
uitkomsten kunnen geven (hetgeen volgens het meetpostulaat is toegestaan) is geen reden om
hun toestand als verschillend aan te merken. Het is echter omgekeerd niet zo dat ieder tweetal verschillende
eenheidsvectoren ook verschillende toestanden representeren. Men neemt gewoonlijk aan
dat vectoren die slechts een fasefactor e iθ (θ ∈ R) schelen, dezelfde fysische toestand voorstellen
(zulke vectoren vormen een eenheidsstraal, Eng.: unit ray), omdat ze dezelfde kansverdelingen op
meetuitkomsten vastleggen.
Ook de bewering dat alle eenheidsvectoren van H fysische toestanden beschrijven hoeft in het
algemeen niet waar te zijn. Merk op dat de verzameling van eenheidsvectoren buitengewoon groot
is. Zelfs voor een deeltje in één ruimtelijke dimensie is de Hilbertruimte oneindig-dimensionaal.
Daarnaast blijken bepaalde typen van superposities van toestanden in de natuur niet voor te komen,
bijvoorbeeld superposities van toestanden met verschillende lading (electrisch, baryonisch, etc.), of
van toestanden met geheel- en halftallige spin. Men kan deze superposities in de theorie verbieden
door zogeheten superselectieregels in te voeren. De eis dat voor identieke deeltjes alleen toestanden
zijn toegestaan die symmetrisch of antisymmetrisch zijn onder permutatie van de deeltjes is een voorbeeld
van zo’n superselectieregel. De klasse van toegelaten toestanden valt bij de aanwezigheid van
een superselectieregel uiteen in een directe som van de eigenruimten van de superselectie-operator:
H = ⊕ j=1
H j . (III.4)
Binnen één dergelijke deelruimte H j — een coherente sector genaamd — zijn superposities van
alle toestanden toegelaten. In afwezigheid van superselectieregels vormt de gehele Hilbertruimte één
coherente sector. Dan is het superpositiebeginsel algemeen geldig, dat zegt dat voor ieder tweetal
toestanden |ψ〉 en |φ〉 de lineaire combinatie a|ψ〉 + b|φ〉, met |a| 2 + |b| 2 = 1, ook een toestand
voorstelt. Omdat de natuur kennelijk superselectieregels oplegt (die soms afleidbaar zijn uit symmetrieën,
zoals eerst door Wick, Wightman en Wigner in 1955 afgeleid), geldt het superpositiebeginsel
slechts per coherente sector. Superposities van vectoren uit verschillende coherente sectoren corresponderen
niet met een fysische toestand en dit noopt tot een navenante herformulering van het
toestandpostulaat. Wat samengestelde fysische systemen betreft, zeggen we dat het systeem in een
verstrengelde toestand is d.e.s.d.a. de toestandsvector niet factoriseerbaar is. In het gedachtenexperiment
van EPR speelt zo’n verstrengelde toestand de hoofdrol. Schrödinger (1935b) liet als eerste

III.1. DE POSTULATEN VAN VON NEUMANN 35
zien dat het optreden van verstrengeling in de quantummechanica endemisch is en zag dit als het
kardinale onderscheid tussen de klassieke mechanica en de quantummechanica. We zullen later het
toestandsbegrip nog uitbreiden (paragraaf III.2).
Ad 2. Ook de vraag of iedere zelf-geadjungeerde operator een fysische grootheid voorstelt, heeft
volgens sommige auteurs een ontkennend antwoord (Wigner vroeg hoe men de grootheid meet die
met de zelf-geadjungeerde operator P + Q correspondeert.) Men denke ook aan projectoren die op
superposities van vectoren uit verschillende coherente sectoren projecteren.
Maar ook voor de omgekeerde vraag, dat wil zeggen of iedere fysisch zinvolle grootheid door
een zelf-geadjungeerde operator vertegenwoordig wordt is omstreden. Voor sommige fysische grootheden
die met experimenteel duidelijke meetprocedures corresponderen, zoals ‘tijdstip van verval’
bij een radioactief atoom, of de ‘fase’ van een harmonische oscillator kan geen bijbehorende zelfgeadjungeerde
operator gevonden worden. In recente generaliseringen van het formalisme van de
quantummechanica is dit probleem iets verlicht doordat ook algemenere wiskundige constructies
(‘positieve-operator-waardige maten’) in staat worden geacht fysische grootheden te vertegenwoordigen;
zie bijvoorbeeld (Holevo, 1982) of (Bush, Gabrowski & Lahti, 1995).
Een ander punt is de vraag welke operator nu precies bij welke grootheid hoort. Ook hier is geen
algemeen aanvaard recept voorhanden. Meestal eist men eerst dat met bepaalde klassieke grootheden
overeenkomende grootheden door speciale operatoren worden voorgesteld. Standaard is hiervoor
plaats en impuls te kiezen en te eisen dat de corresponderende operatoren voldoen aan de canonieke
commutatierelatie van Born & Jordan:
[P, Q] := P Q − QP = −i11 .
(III.5)
Vervolgens wordt een bepaald ‘quantisatievoorschrift’ gekozen waarmee voor algemenere fysische
grootheden een overeenkomstige operator geconstrueerd kan worden. Befaamd is het voorschrift
van Dirac om Poissonhaakjes te vervangen door commutatoren. Helaas is dit voorschrift inconsistent.
De alternatieve quantisatievoorschriften die voor dit doel zijn voorgesteld, zijn overigens niet
eensluidend. We gaan op dit probleem niet verder in.
Ad 3. De kans om a i te vinden bij meting van A is ook te schrijven als:
∑n i
〈ψ|P ai |ψ〉 = |〈a i , j|ψ〉| 2 = Tr P ψ P ai .
(III.6)
j=1
Hierin is P ψ := |ψ〉〈ψ|. De verwachtingswaarde van A is net zo
〈A〉 ψ :=
M∑ ∑n i
a i |〈a i , j|ψ〉| 2 =
i=1 j=1
M∑ ∑n i
〈ψ|a i , j〉 a i 〈a i , j|ψ〉
i=1 j=1
= 〈ψ|A|ψ〉 = Tr AP ψ . (III.7)
In het geval dat er geen ontaarding is, krijgt (III.6) de eenvoudiger vorm
〈ψ|P ai |ψ〉 = |〈a||ψ〉| 2 .
(III.8)
Als A een continu spectrum heeft krijgen we (vgl. (II.125
Prob ψ (A : ∆) = 〈ψ|P A (∆)|ψ〉 .
(III.9)

36 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Ad 4. In het geval dat het systeem invariant is onder verschuivingen in de tijd krijgen we U(t, t ′ ) =
U(t − t ′ ). De unitaire operatoren vormen dan een continue, Abelse Lie-groep (van verschuivingen
in de tijd) die voldoet aan: U(t)U(t ′ ) = U(t + t ′ ). Volgens de stelling van Stone en Von Neumann
bestaat er dan een unieke zelf-geadjungeerde operator H zodanig dat
U(t) = exp[−itH/] .
(III.10)
De operator H heet de Hamilton-operator en is de generator van de Lie-groep. In infinitesimale vorm
is (III.10) de Schrödinger-vergelijking:
i d |ψ〉 = H|ψ〉 .
dt (III.11)
Ad 5. Dit is het beruchte projectiepostulaat. Het introduceert een tweede soort dynamica in de
theorie: een projector is in het algemeen immers niet unitair en kan dus niet volgens het Schrödingerpostulaat
worden beschreven. Sommige auteurs rekenen het projectiepostulaat niet tot de quantummechanica.
Het probleem is dan om met behulp van de andere postulaten rekenschap te geven van
het meetproces (zie het laatste hoofdstuk).
De versie van het projectiepostulaat die we gegeven hebben is een versterking van Von Neumann’s
oorspronkelijke formulering en afkomstig van G. Lüders (1951). Von Neumann eisete alleen dat de
toestand onmiddellijk na een metingvan A die de uitkomst a i oplevert een (willekeurige) eigentoestand
bij de eigenwaarde a i is. In de versie van Lüders is de toestand vlak na de meting (III.3) de
genormeerde projectie van de oorspronkelijke toestand op de eigenruimte van a i . Hierbij is de verstoring
van de oorspronkelijk toestand dus zo klein mogelijk (in de zin dat de hoek tussen begin- en
eindtoestand zo klein mogelijk is).
Als de operator A maximaal is, dan vallen beide regels samen omdat in dat geval P ai een 1-
dimensionale projector is.
III.2
ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTANDEN
Een toestandsvector (eenheidsvector in H) geeft een zo volledig mogelijke beschrijving van het systeem
als de theorie toelaat. In de klassieke mechanica correspondeert zo’n beschrijving, voor een systeem
van puntdeeltjes, met het geven van alle plaats- en impulscoördinaten (q 1 , . . . , q n p 1 , . . . , p n )
=: (q, p), dat is een punt in de faseruimte Γ. In de praktijk beschikt men vaak niet over de precieze
waarde van deze coördinaten en introduceert men een kansverdeling ρ(q, p) over de faseruimte. De
integraal van ρ(q, p) over ∆ is de kans om het systeem aan te treffen in de deelverzameling ∆ ⊆ Γ.
De kansen moeten positief en genormeerd zijn:
∫
ρ(q, p) 0 en ρ(q, p) dq dp = 1 .
(III.12)
Γ
Het is ook wel gebruikelijk om het toestandsbegrip in de klassieke natuurkunde uit te breiden en
een kansverdeling ρ een (gegeneraliseerde) toestand van het systeem noemen. Een fysische grootheid
A correspondeert met een reële functie op de faseruimte: A : Γ → R. De verwachtingswaarde van A
in de toestand ρ is
∫
〈A〉 ρ := A(q, p)ρ(q, p) dq dp .
(III.13)
Γ

III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTANDEN 37
De toestanden ρ vormen een convexe verzameling; d.w.z. als ρ 1 , ρ 2 toestanden zijn op Γ en w 1 en w 2
zijn twee reële getallen die voldoen aan
dan voldoet
0 ≤ w i ≤ 1 en w 1 + w 2 = 1 , (III.14)
ρ := w 1 ρ 1 + w 2 ρ 2 .
(III.15)
ook aan de eisen (III.12) en is dus ook een toestand op Γ. We zullen deze convexe verzameling
toestanden noteren als S(Γ).
Een toestand die niet volgens (III.15) gesplitst kan worden heet een zuivere toestand; in het andere
geval heet de toestand gemengd. De zuivere toestanden zijn de ρ’s die geconcentreerd zijn op
een enkel punt van Γ (delta-‘functies’). In het algemeen noemt men de elementen van een convexe
verzameling die niet in de vorm (III.15) met w 1 , w 2 ≠ 0 geschreven kunnen worden, heten extreme
elementen van die verzameling (in ons geval zijn de extreme elementen dus de zuivere toestanden).
Ieder element van een convexe verzameling kan altijd geschreven worden als convexe som van extreme
elementen. Dit correspondeert hier met de ontwikkeling van ρ naar deltafuncties:
∫
ρ(p, q) = ρ(p ′ , q ′ )δ(p − p ′ )δ(q − q ′ ) dp ′ dq ′ .
(III.16)
Γ
De bewegingsvergelijking van een willekeurige toestand volgt uit de Hamiltonse bewegingsvergelijking
van de zuivere toestanden:
dq i
dt = ∂H
∂p i
en
dp i
dt = −∂H ∂q i
.
Dit levert dan de Liouville-vergelijking voor ρ:
∂ρ
∂t
= {H, ρ} ,
(III.18)
(III.17)
waarin de Poissonhaakjes optreden:
n∑
( ∂H ∂ρ
{H, ρ} :=
− ∂H )
∂ρ
. (III.19)
∂q i ∂p i ∂p i ∂q i
i=1
We willen nu in de quantummechanica in analogie met het klassieke geval een kansverdeling
over de toestandsvectoren in H beschouwen. Voor een geschikte formulering daarvan keren we nog
even terug naar het klassieke geval. Met behulp van de toestand ρ kunnen we een afbeelding µ op
deelverzamelingen van Γ naar R introduceren volgens
∫
µ(∆) := ρ(q, p) dp dq , ∆ ⊆ Γ . (III.20)
∆
Deze afbeelding µ is additief:
µ(∪ i ∆ i ) = ∑ i=1
µ(∆ i ) (III.21)

38 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
voor elke aftelbare reeks disjuncte ∆ i ⊂ Γ. Verder is
0 ≤ µ(∆) ≤ 1] , µ(∅) = 0 en µ(Γ) = 1 . (III.22)
Iedere afbeelding die een meetbare deelverzameling van Γ op een getal in het interval [0, 1] afbeeldt
en die aan vgl. (III.21) en (III.22) voldoet, heet een kansmaat.
Het is eenvoudig in te zien dat iedere kansverdeling ρ op eenduidige wijze correspondeert met een
kansmaat en vice versa (dit geldt zelfs voor δ-‘functies’). We kunnen we een toestand (in uitgebreide
zin) dus ook representeren met een kansmaat op Γ.
In analogie met het bovenstaande willen we nu in de quantummechanica de fysische toestanden
ook laten corresponderen met kansmaten op H. Omdat we de structuur van H willen behouden,
kijken we daarom niet naar willekeurige deelverzamelingen van H, maar naar deel-Hilbertruimten
van H, of, wat op hetzelfde neerkomt, naar de projectoren die erop projecteren. We zoeken dus een
kansmaat op P(H), oftewel een afbeelding
µ : P(H) → [0, 1] (III.23)
die additief is in de relevante zin, d.w.z. zij P 1 , P 2 , . . . , P n een rij paarsgewijs orthogonale projectoren
(P i ⊥ P j voor i ≠ j), dan:
( ∑ )
µ P j = ∑ µ(P j )
(III.24)
j
j
en die voldoet aan
µ(0 ) = 0 en µ(11) = 1 . (III.25)
In 1957 bewees A.M. Gleason de volgende stelling.
STELLING VAN GLEASON: Iedere kansmaat µ op P(H) kan, mits dim H > 2, geschreven
worden als
µ(P ) = Tr P W ,
(III.26)
voor een zekere zelf-geadjungeerde, positieve 1 operator W met spoor gelijk aan 1:
(i) W = W † ,
(ii) 〈ψ | W |ψ〉 0 voor alle |ψ〉 ∈ H ,
(iii) Tr W = 1 .
(III.27)
1 In de complexe Hilbertruimte waarvan het formalisme van de quantummechanica gebruikt maakt zijn de voorwaarden
(i) en (ii) in (III.27) niet onafhankelijk van elkaar. In feite is dan (i) overbodig want voor een complexe Hilbertruimte geldt
dat alle positieve operatoren automatisch zelf-geadjungeerd zijn. De stelling van Gleason is echter ook voor een reële
Hilbertruimte geldig; in dat geval zijn (i) en (ii) onafhankelijk van elkaar. (In een complexe ruimte wordt een operator A
immers eenduidig bepaald door alle matrix-elementen van de vorm 〈ψ|A|ψ〉. In een reële ruimte is dit niet het geval.

III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTANDEN 39
Het oorspronkelijke bewijs van de stelling van Gleason is buitengewoon ingewikkeld. In een Aanhangsel
van deze syllabus (blz. 153 e.v.) wordt voor de liefhebbers een vereenvoudigde versie van
deze stelling bewezen. Een belangrijk aspect van de stelling van Gleason is dat de maat (III.26) continu
is in P : Is P bijvoorbeeld 1-dimensionaal, dan verandert TrP W maar weinig bij verandering
van de richting van P . Dus voor dim H > 2 zijn alle kansmaten op H continu. Als dim H = 2,
dan zijn er ook discontinue kansmaten op P(H). Beschouw daartoe een reële H. De 1-dimensionale
deelruimten zijn lijnen door de oorsprong. Stel ze voor door middellijnen van een cirkel, d.w.z.
door de punten op de cirkel met identificatie van tegenoverliggende punten. Ken waarden toe als
in de figuur, en laat µ(0) = 0, µ(11) = 1, dan is voor twee willekeurige orthogonale projectoren:
P 1
µ(P 1 ) + µ(P 2 ) = 1 = µ(11)
= µ(P 1 + P 2 )
P 2
1 0
0
1
Deze maat is dus additief maar niet continu. Vandaar dat de stelling van Gleason niet geldt voor
dim H = 2.
De operator W staat bekend als de statistische operator, als de dichtheidmatrix, of ook wel als
de toestandsoperator. In analogie met het klassieke geval zullen we het begrip toestand uitbreiden en
W een toestand van het fysisch systeem noemen. Toestanden worden vanaf nu dus door operatoren
van een speciale soort voorgesteld.
We verifiëren nog even dat de uitdrukking (III.26) aan de eisen (III.23), (III.24) en (III.25) voldoet
van een kansmaat.
De verificatie van de eisen (III.24) en (III.25) is eenvoudig. Om te bewijzen dat 0 ≤ Tr P i W ≤ 1,
kiezen we een basis van eigenvectoren van P i : P i |v k 〉 = |v k 〉, P i |u l 〉 = 0. Dan is
Tr (P i W ) = ∑ k 〈v k|P i W |v k 〉 + ∑ l 〈u l|P i W |u l 〉
= ∑ k 〈v k|W |v k 〉 0 ,
(III.28)
wegens de positiviteit van toestandsoperatoren. Is P een projector, dan ook (11−P ); dus Tr ((11−
P )W ) 0, en
Tr (P W ) Tr ( P + (11 − P )W ) = Tr W = 1 .
(III.29)
De toestandsoperatoren vormen opnieuw een convexe verzameling, die we noteren met S(H): zijn
W 1 en W 2 toestandsoperatoren, dan is
w 1 W 1 + w 2 W 2 met 0 ≤ w i ≤ 1 en w 1 + w 2 = 1 , (III.30)
weer een toestandsoperator.
Het eenvoudigste voorbeeld van een toestandsoperator is een 1-dimensionale projector.
hoger-dimensionale projector is geen toestandsoperator.
Een

40 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
OPGAVE 15. waarom niet?
We zullen straks zien dat de 1-dimensionale projectoren de extreme elementen van de convexe verzameling
S(H) zijn. We noemen een fysische toestand die door 1-dimensionale projector wordt
weergegeven weer een zuivere toestand. Een toestand W die wel niet-triviaal gesplitst kan worden
noemen we een gemengde toestand, of een mengsel of een mengtoestand.
We gaan nu eerst na dat de zuivere toestanden corresponderen met de vectortoestanden van H.
Beschouw de 1-dimensionale projector P ψ op de vector |ψ〉. De door deze toestandsoperator via
(III.26) gedefinieerde toestand gedraagt zich precies als de vectortoestand |ψ〉: voor willekeurige |φ〉
is
µ(P φ ) = Tr P φ P ψ = 〈ψ|P φ |ψ〉 = |〈φ|ψ〉| 2 ,
(III.31)
d.w.z. de kans om de toestand |φ〉 aan te treffen 2 in de toestand |ψ〉 is precies gelijk aan de bekende
uitdrukking (III.6). In het bijzonder is µ(P ψ ) = 1; en als |χ〉⊥ |ψ〉, dan is µ(P |χ〉 ) = 0.
We zien dat de toestand P ψ aan een orthogonale verzameling van vectoren waarvan |ψ〉 deel uit
maakt, een kans toekent die geheel geconcentreerd is op de vector |ψ〉. Dus P ψ is het anologon van
een δ-distributie op de klassieke faseruimte. Het radicale verschil is echter dat de 1-dimensionale
projectoren onderling niet orthogonaal zijn. Dus de zuivere toestand P ψ kent ook een positieve kans
toe aan P φ als 〈φ|ψ〉 ≠ 0. Dit is in tegenstelling tot het klassiek geval, waar de zuivere toestand die
op (p 0 , q 0 ) geconcentreerd ligt, te weten δ(q − q 0 , p − p 0 ), altijd kans nul geeft aan iedere andere zuivere
toestand. Dit is typerend voor de quantummechanica en het maakt quantumtoestanden radicaal
verschillend van klassieke toestanden.
STELLING: De 1-dimensionale projectoren in P(H) zijn de extreme elementen van de
convexe verzameling S(H) van alle toestandsoperatoren op H.
Bewijs. Om dit te bewijzen moeten we in de eerste plaats aantonen dat P ψ niet geschreven kan
worden in de vorm
P ψ = wW 1 + (1 − w)W 2 , met 0 < w < 1) . (III.32)
Stel dat het wel kon. Dan is voor alle |φ〉 ⊥ |ψ〉:
〈φ|P ψ |φ〉 = 0 = w〈φ|W 1 |φ〉 + (1 − w)〈φ|W 2 |φ〉 ,
(III.33)
hetgeen impliceert dat
〈φ|W 1 |φ〉 = 〈φ|W 2 |φ〉 = 0 .
(III.34)
Een positieve operator kan altijd geschreven worden als het kwadraat van een zelf-geadjungeerde
operator, dus zeg: W 1 = A 2 1 Dan geldt: ‖A i |φ〉‖ = 0, dus A|φ〉 = 0 , en dus: W 1 |φ〉 = 0 ,
voor alle vectoren |φ〉 ⊥ |ψ〉. Evenzo vinden we W 2 |φ〉 = 0 . Dus W 1 en W 2 beelden af op
de 1-dimensionale ruimte opgespannen door |ψ〉 en zijn wegens (III.27) dus zelf projectoren, en
2 We spreken van de kans om de toestand |φ〉 aan te treffen als afkorting voor de kans om bij meting van de grootheid
die correspondeert met de projector |φ〉〈φ| de waarde 1 te vinden.

III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTANDEN 41
gelijk aan aan P ψ : W 1 = P ψ = W 2 . Dus P ψ kan niet in andere toestandsoperatoren gesplitst
worden.
We moeten ook nog laten zien dat de 1-dimensionale projectoren de enige extreme elementen zijn.
Een toestandsoperator is zelf-geadjungeerd en heeft dus volgens de spectraalstelling (blz. 19) een
volledige orthonormale verzameling eigentoestanden |w i , j〉, waarin j de ontaarding aangeeft:
j = 1, . . . , n i (M ∈ N + verschillende w i ). We kunnen een willekeurige W ∈ S(H) dan als
volgt schrijven:
M∑ ∑n i
W = w i W i,j ,
i=1 j=1
(III.35)
waarin
W i,j := |w i , j〉〈w i , j|
M∑
n i = dim H (III.36)
i=1
M∑
n i w i = 1 en 0 ≤ w i ≤ 1
i=1
omdat volgens (III.27.2) resp. (III.27.3):
M∑
w i = 〈w i , j|W |w i , j〉 0 en Tr W = n i w i = 1 ,
i=1
(III.37)
De som (III.35) is dus een convexe ontbinding van W . 1 Als W een extreem element is moet de
som reduceren tot één term. In dat geval is W dus een 1-dimensionale projector. Derhalve zijn
alle extreme elementen van S(H) projectoren. □
De conclusie van deze paragraaf luidt dat er een eenduidige correspondentie bestaat tussen (i)
de zuivere toestanden, (ii) de extreme elementen van de convexe verzameling S(H) van toestandsoperatoren,
(iii) de 1-dimensionale projectoren, en (iv) de eenheidsvectoren in H (op een fasefactor
na).
We eindigen deze paragraaf met de formulering van de uitgebreide versie van toestandpostulaat,
en aansluitend het gegeneraliseerde meetpostulaat.
1 ′ Toestandpostulaat (gemengde en zuivere toestanden). Met ieder fysisch systeem correspondeert
een Hilbertruimte; de gemengde fysische toestanden van het systeem corresponderen
eenduidig met de toestandsoperatoren binnenin S(H) en de zuivere fysisch toestanden corresponderen
eenduidig met de toestandsoperatoren op de rand ∂S(H). Toestanden van een
samengesteld fysisch systeem corresponderen bijectief met toestandsoperatoren op de directproduct-ruimte
van de toestandsruimten H 1 en H 2 van de deelsystemen, d.w.z. met elementen
van S(H 1 ⊗ H 1 ).
1 Een convexe ontbinding W = w 1 W 1 + w 2 W 2 kan altijd verder voortgezet worden door W 1 en W 2 te ontbinden. Dit
eindigt (althans voor een gesloten convexe verzameling) als je op extreme elementen stuit.

42 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
3 ′ Gegeneraliseerd Born-postulaat (discreet geval). Als het systeem in toestand W ∈ S(H) is,
dan is de kans om bij meting van grootheid A met discreet spectrum een eigenwaarde te vinden
in ∆ ⊆ Spec A, gelijk aan:
Prob W (A : ∆) = Tr P A (∆)W ,
waarin P A (∆) ∈ P(H) projecteert op de deelruimte opgespannen door de eigenvectoren waarvan
de eigenwaarden in ∆ liggen.
Merk op dat in het toestandpostulaat de vervelende fasefactor is verdwenen.
III.3
DE INTERPRETATIE VAN GEMENGDE TOESTANDEN
De spectrale ontbinding (III.35) suggereert een interpretatie van W . Een zuivere toestand W = P ψ
correspondeert, zoals we zagen, met een kansmaat die geconcentreerd is op de eigenvector |ψ〉. Op
dezelfde manier correspondeert een willekeurige W volgens (III.35) met een kansmaat op zijn eigen
eigenvectoren |w i , j〉 die een kans w i toekent aan de eigenvector |w i , j〉. Met def. (III.35) voor de
projector W i,j :
µ W (W i,j ) = Tr W i,j W = Tr w i W 2
i,j = w i Tr W i,j = w i . (III.38)
De verwachtingswaarde van een operator A in W is, met gebruikmaking van de spectrale ontbinding
van A in M ∈ N + eigenprojectoren:
M∑
M∑
( ∑
M )
〈A〉 W = a i µ W (P ai ) = a i Tr P ai W = Tr a i P ai W , (III.39)
dus
i=1
i=1
〈A〉 W = Tr AW . (III.40)
Met de spectrale ontbinding van W (III.35) vinden we
M∑ N∑
N∑ ∑
M
〈A〉 W = w i Tr AW i,j = w i 〈w i , j|A|w i , j〉 . (III.41)
i=1 j=1
i=1
j=1
Dit is precies de met w i gewogen som van verwachtingswaarden van A in de toestanden |w i , j〉.
Het bovenstaande suggereert dat W een ensemble van fysische systemen beschrijft die elk in één
van de zuivere toestanden |w i , j〉 zijn en dat w i de fractie is van systemen in |w i , j〉. Op deze manier
werden toestandsoperatoren oorspronkelijk door Von Neumann ingevoerd in analogie met ensembles
in de klassieke statistische mechanica (vandaar zijn terminologie van ‘statistische operator’). Deze
verleidelijke interpretatie, bekend als ‘de onwetendheidsinterpretatie van mengsels’, is echter niet
zonder problemen.
In de eerste plaats is de keus van de basisvectoren in (III.35) in geval van ontaarding niet uniek.
De projector P j in de deelruimte bij de eigenwaarde w j kan op willekeurig veel manieren worden
geschreven in termen van basistoestanden:
∑n i
∑n i
|w i , j〉〈w i , j| = |u i , k〉〈u i , k| , (III.42)
j=1
k=1
i=1

III.3. DE INTERPRETATIE VAN GEMENGDE TOESTANDEN 43
als |u i , j〉 een willekeurige andere orthonormale basis in deze deelruimte is. We kunnen bij gegeven
W dus niet zeggen uit welke vectortoestanden het ensemble is opgebouwd. Dit verschijnsel is echter
veel algemener. Beschouw daartoe de volgende operator:
W =
K∑
p k |u k 〉〈u k | .
k=1
(III.43)
Hierin is K ∈ N + willekeurig en de |u k 〉 ∈ H zijn willekeurige eenheidsvectoren (in het algemeen
niet-orthogonaal). Zolang de p i voldoen aan 0 ≤ p i ≤ 1 en ∑ p i = 1, dan is gemakkelijk in te
zien dat de operator W van (III.43) een toestandsoperator is (Vgl. (III.43) is ook een ontbinding
van W in extreme elementen; deze is in tegenstelling tot het klassieke geval dus niet uniek). W
gedraagt zich alsof het ensemble bestaat uit systemen waarvan een fractie p k in de toestand |u k 〉 is,
etc. Bijvoorbeeld:
K∑
〈A〉 W = Tr AW = p k 〈u k |A|u k 〉 .
k=1
De kans om het systeem in |u k 〉 te vinden is, met U k := |u k 〉〈u k |,
(III.44)
µ W (U k ) = Tr U k W =
M∑
p j |〈u k |u j 〉| 2
j=1
(III.45)
We zien dat in tegenstelling tot (III.38) de uitkomst, d.w.z. de kans om in (III.43) de toestand |u k 〉 te
vinden, in het algemeen niet p k is; dat is een gevolg van het niet orthogonaal zijn van de toestanden
|u k 〉. Het resultaat (III.44) en (III.45) is wel in overeenstemming met het gedrag van een ensemble
van systemen die met kans p k in toestand |u k 〉 zijn.
Aan de andere kant kan (III.43) ook altijd geschreven worden in de vorm (III.35) in termen van de
eigenvectoren van W . De conclusie luidt dat diverse ensembles die fysisch geheel verschillend worden
geinterpreteerd, door dezelfde operator W worden beschreven. Dit verschijnsel kan vergeleken
worden met het feit dat een zuivere toestand |ψ〉 op talloze manieren geschreven kan worden als een
superpositie van andere zuivere toestanden. Dit correspondeert met verschillende preparatiewijzen
van |ψ〉 door superpositie van andere toestanden, bijvoorbeeld in een gekanteld Stern-Gerlach apparaat.
Aan |ψ〉 is niet meer te zien of hij bijvoorbeeld een superpositie van |z ↑〉 en |z ↓〉 is, of van
|x↑〉 en |x↓〉. Voor zuivere toestanden vinden we dit doodgewoon. Het is een direct gevolg van het
toestandpostulaat, dat van toestanden een vectorruimte vormt.
Bij gemengde toestanden is de situatie minder duidelijk. Men kan volhouden dat een ensemble
waarvan elk systeem met kans p k in toestand |u k 〉 verkeert werkelijk verschilt van een ensemble van
systemen die met kans w i in toestand |w i , j〉 verkeren, ook al zijn de verwachtingswaarden van alle
fysische grootheden voor beide ensembles gelijk. In dat geval moet men uit de gelijkheid
W =
M∑ ∑n i
w i |w i , j〉〈w i , j| =
i=1 j=1
K∑
p k |u k 〉〈u k |
k=1
concluderen dat de toestandsoperator W een onvolledige karakterisering van deze ensembles geeft.
Er is geen postulaat in de quantummechanica dat dit verbiedt. Een andere opvatting is echter dat

44 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
de toestandsoperator een volledige beschrijving van een toestand is. De verschillende mogelijke
preparatiewijzen zijn niet uit de toestand W te achterhalen. De conclusie is dan dat W in (III.43)
niet een ensemble karakteriseert dat uit een mengsel van systemen in zuivere toestanden |u k 〉 bestaat,
maar alleen dat een ensemble gekarakteriseerd door W zich bij meting als een dergelijk ensemble
voordoet. Ook hier zie je weer dat je in de quantummechanica in problemen komt als je spreekt in
termen van wat bestaat. (Zie ook de discussie bij oneigenlijke gemengde toestanden in §III.5).
De dynamica van de gemengde toestanden volgt net als in het klassieke geval uit die van de
zuivere toestanden. Definieer met behulp van W i,j (III.35):
m∑ ∑n i
W (t) := w i W i,j (t) ,
(III.46)
i=1 j=1
waarin ∑ m
j
n i = dim H. Met
geeft dit
|w i , j, t〉 := U(t − t 0 )|w i , j, t 0 〉 (III.47)
W (t) = ∑ i,j
w i U(t − t 0 )W i,j (t)U † (t − t 0 ) ;
(III.48)
dus
W (t) = U(t − t 0 )W (t 0 )U † (t − t 0 ) .
Met (III.10) vinden we
(III.49)
dW (t)
i = [H, W (t)] , (III.50)
dt
het analogon van de Liouville-vergelijking (III.18), soms de ‘Liouville-Von Neumann-vergelijking’
genoemd. Vgl. (III.50) is de generalisering van de Schrödinger-vergelijking naar gemengde toestanden.
De uitbreiding van het Schrödinger-postulaat voor gemengde toestanden luidt dan als volgt.
5 ′ Gegeneraliseerd Schrödinger-postulaat. Als er geen metingen verricht worden aan het fysische
systeem , dan wordt de ontwikkeling van de toestand van het systeem in de tijd beschreven door
een unitaire transformatie:
W (t) = U(t − t ′ )W (t ′ )U † (t − t ′ ) .
De volgende stelling is van belang voor het meetprobleem.
STELLING (VON NEUMANN): De eigenschappen ‘zuiver’ en ‘gemengd’ zijn invariant
onder de unitaire tijdontwikkeling.
Bewijs. Beschouw W 2 = ∑ i,j w2 i |w i, j〉〈w i , j|. We zien dat W 2 = W d.e.s.d.a. w 2 i = w i voor
alle i. D.w.z. er is dan maar één term w i ongelijk aan nul, en die is gelijk 1, dus W is zuiver,
terwijl W 2 ≠ W als W gemengd is. Maar deze relaties blijven behouden onder (III.49) want
U † (t − t 0 ) = U −1 (t − t 0 ). □

III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 45
III.4
SAMENGESTELDE SYSTEMEN
Stel een systeem S bestaat uit twee deelsystemen S I en S II . Zijn H I en H II de met S I resp. S II
geassocieerde Hilbertruimten, dan is de met S geassocieerde Hilbertruimte het direct product: H =
H I ⊗ H II . Zijn |α 1 〉, . . . , |α n 〉 en |β 1 〉, . . . , |β m 〉 bases in H I resp. H II , dan vormen de vectoren
|α i 〉 ⊗ |β j 〉 een basis in H. Een willekeurige vector in H is een superpositie van zulke directe producten
van basisvectoren en is zelf in het algemeen dus niet van de vorm |ψ〉 ⊗ |φ〉. Er treedt een
typerende quantummechanische vervlechting van de deeltoestanden op die geen klassiek analogon
heeft. Deze vervlechting is een gevolg van de eis dat de toestandsruimte van het samengestelde systeem
weer een vectorruimte is. In een willekeurige toestand van H is het niet mogelijk te zeggen
dat de deelsystemen zich in een of andere zuivere toestand van H I resp. H II bevinden. We zullen
daar later nog op terugkomen. Iets analoogs geldt voor de operatoren op H. Deze eigenschap van de
quantummechanische beschrijving ligt ten grondslag aan de EPR-paradox en het meetprobleem.
De grootheden van S corresponderen met zelf-geadjungeerde operatoren op H. We onderstellen
dat grootheden van het deelsysteem S I corresponderen met operatoren van de vorm A ⊗ 11 op H,
waarin A een zelf-geadjungeerde operator op H I is. Analoog corresponderen operatoren van de vorm
11 ⊗ B met grootheden van S II . Een toestand van S wordt gegeven door een toestandsoperator W
op H. In het algemeen is W geen direct product van operatoren, maar als W dat wel is zijn de
deelsystemen onafhankelijk van elkaar in de zin dat de kans om voor A ⊗ 11 de waarde a i te vinden
en voor 11 ⊗ B de waarde b j , gelijk is aan het product van de afzonderlijke kansen, zoals we zullen
zien. Stel dus dat W = W 1 ⊗ W 2 waarin W 1 en W 2 toestandsoperatoren in H I respectievelijk H II
zijn.
OPGAVE 16. Bewijs de volgende beweringen.
(a) W = W 1 ⊗ W 2 is een toestandsoperator indien W 1 en W 2 toestandsoperatoren zijn. Het
omgekeerde geldt niet; verzin een tegenvoorbeeld.
(b) W = W 1 ⊗ W 2 is zuiver is d.e.s.d.a. W 1 en W 2 zuiver zijn.
Stel dat a i en b j niet-ontaarde eigenwaarden zijn van A resp. B. De projector op de gemeenschappelijke
eigentoestand |a i 〉 ⊗ |b j 〉 van A ⊗ B is P |ai 〉 ⊗ P |bj 〉.
OPGAVE 17. Bewijs dat voor alle vectoren |ψ〉, |ψ ′ 〉 ∈ H I en |φ〉, |φ ′ 〉 ∈ H II :
(
|ψ〉 ⊗ |φ〉
)(
〈ψ ′ | ⊗ 〈φ ′ | ) = |ψ〉〈ψ ′ | ⊗ |φ〉〈φ ′ | . (III.51)
Nu is
µ W (P |ai 〉 ⊗ P |bj 〉) = Tr ( (P |ai 〉 ⊗ P |bj 〉)(W 1 ⊗ W 2 ) )
= Tr ( )
P |ai 〉W 1 ⊗ P |bj 〉W 2
= Tr (P |ai 〉W 1 ) Tr (P |bj 〉W 2 )
= µ W1 (P |ai 〉) µ W2 (P |bj 〉)
= µ W (P |ai 〉 ⊗ 11) µ W (11 ⊗ P |bj 〉) .
(III.52)
Dus de kans om voor A ⊗ 11 de waarde a i te vinden en voor 11 ⊗ B de waarde b j is het product van
de afzonderlijke kansen.

46 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Op analoge manier bewijzen we de factorisering van de verwachtingswaarden:
〈A ⊗ B〉 W1 ⊗W 2
= 〈A〉 W1 〈B〉 W2 . (III.53)
In een willekeurige W is de verwachtingswaarde van A ⊗ 11 (we gebruiken (II.93), blz. 26):
〈A ⊗ 11〉 W = Tr (A ⊗ 11)W
=
N I
N II
∑ ∑ (
〈αi | ⊗ 〈β j | ) (A ⊗ 11)W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 )
i=1 j=1
=
N I
N I
∑ ∑ ∑ (
〈α i |A|α k 〉 〈αk | ⊗ 〈β j | ) W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 ) . (III.54)
i=1 k=1
N II
j=1
Definieer de operator W I op H I als
∑N II
W I := Tr II W := 〈β j |W |β j 〉 ∈ S(H I ) . (III.55)
j=1
Deze operator heet het deelspoor van W met betrekking tot H II (Eng.: partial trace). Er geldt
hiervoor:
∑N II
(
〈α k |W I |α i 〉 = 〈αk | ⊗ 〈β j | ) W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 ) ∈ R . (III.56)
j=1
Substitueer in de definitie van W I (III.55) en we krijgen voor de verwachtingswaarde van A ⊗ 11:
∑N I ∑N II
〈A ⊗ 11〉 W = 〈α i
(A ⊗ α k 〉〈α k
)W I |α i 〉 = Tr AW I = 〈A〉 WI . (III.57)
Evenzo is
i=1
k=1
〈11 ⊗ B〉 W = Tr BW II = 〈B〉 WII , (III.58)
waarin W II het deelspoor van W is met betrekking tot H I :
∑N I
W II := Tr I W := 〈α i |W |α i 〉 ∈ S(H II ) (III.59)
i=1
OPGAVE 18. Bewijs dat Tr II W en Tr I W toestandsoperatoren op H I resp. H II zijn.
Voor wat de verwachtingswaarden van de grootheden van S I alleen betreft kunnen we de toestand
W dus vervangen door de toestand Tr II W in H I , en analoog voor S II . Het is daarom gebruikelijk
om de toestand van de deelsystemen S I en S II te laten corresponderen met deze deelsporen Tr II W en
Tr I W .
Is W van de vorm W = W 1 ⊗ W 2 , waarin W 1 en W 2 toestandsoperatoren zijn, dan is Tr II W =
W 1 en Tr I W = W 2 . Ofwel
Tr II (W 1 ⊗ W 2 ) = W 1 en Tr I (W 1 ⊗ W 2 ) = W 2 . (III.60)

III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 47
Bewijs.
Tr II (W 1 ⊗ W 2 ) =
∑N II
〈β j |W 1 ⊗ W 2 |β j 〉
j=1
en evenzo voor Tr I (W 1 ⊗ W 2 ). □
∑N II
= W 1 〈β j |W 2 |β j 〉
j=1
= W 1 Tr W 2 = W 1 ; (III.61)
Een willekeurige toestandsoperator W van het samengestelde systeem kan echter niet gereconstrueerd
worden uit zijn deelsporen. In tegenstelling tot wat in de klassieke fysica het geval is, is in
de quantummechanica maximale kennis van de toestand van de deelsystemen in het algemeen niet
equivalent met maximale kennis van de toestand van het totale systeem. Dat betekent dat de toestand
van het totale systeem in het algemeen niet bepaald kan worden uit metingen aan de afzonderlijke
deelsystemen. 2
Om te laten zien dat Tr II W en Tr I W de toestand W van het samengestelde systeem in het algemeen
niet eenduidig bepalen, ontbinden we ze in orthogonale 1-dimensionale eigenprojectoren:
Tr II W =
N II
∑
u i |u i 〉〈u i | =:
i=1
N II
∑
u i U i
i=1
en
Tr I W =
N I
∑
v j |v j 〉〈v j | =:
j=1
N I
∑
v j V j ,
j=1
(III.62)
met u i , v j ∈ [0, 1] die beide resp. tot 1 optellen. Dan is
(Tr II W ) ⊗ (Tr I W ) =
N II
N I
∑ ∑
u i v j U i ⊗ V j .
i=1 j=1
(III.63)
Beschouw nu een W van de vorm
N II
N I
∑ ∑
W = z ij U i ⊗ V j .
i=1 j=1
(III.64)
OPGAVE 19. Bewijs dat U i ⊗ V j een 1-dimensionale projector in H is.
2 Dit aspect van de quantummechanische toestandsbeschrijving is natuurlijk wel in analogie met een klassieke toestandsbeschrijving
met een kansverdeling. De twee-deeltjes verdelingsfunctie ρ(p 1, q 1; p 2, q 2) is niet uniek bepaald door
de marginale verdelingsfuncties ρ 1 (p 1 , q 1 ) = ∫ ρ(p 1 , q 1 ; p 2 , q 2 )dp 2 dq 2 en ρ 2 (p 2 , q 2 ) = ∫ ρ(p 1 , q 1 ; p 2 , q 2 )dp 1 dq 1 . (De
marginalen zijn immers analoog aan de deelsporen.)

48 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Operator W (III.64) is een toestandsoperator indien
z ij ∈ [0, 1]
en
N II
N I
∑ ∑
z ij = 1 .
i=1 j=1
(III.65)
Verder is vanwege vergelijkingen (III.60):
Tr II W = ∑ ∑
z ij U i en Tr I W = ∑
i j
i
∑
z ij V j .
j
(III.66)
We zien dat W dezelfde deelsporen heeft als (Tr II W ) ⊗ (Tr I W ) indien
N II
∑
z ij = u i
j=1
en
N I
∑
z ij = v j .
i=1
(III.67)
Dit stelsel heeft oneindig veel oplossingen voor de onbekende z ij , tenzij Tr II W zuiver is, zeg Tr II W =
U 1 . Dan is ∑ j z ij = δ 1i . Wegens vgl. (III.65) moet dan z ij = 0 als i ≠ 1. Dan geeft (III.67):
z 1j = v j . Hiermee liggen alle z ij vast en W = U 1 ⊗ ∑ j v jV j = Tr II W ⊗ Tr I W . Dus slechts als
(minstens) één van de deelsporen zuiver is, is de W waarvan ze afkomstig zijn eenduidig bepaald.
Dan is W factoriseerbaar. Merk op dat vgl. (III.64) in het algemeen niet factoriseerbaar is; we zullen
later zien dat (III.64) nog niet de meest algemene vorm van een toestandsoperator is. We laten nu zien
dat het bovengevonden resultaat algemeen geldig is.
STELLING (VON NEUMANN): De deelsporen Tr II W en Tr I W bepalen W eenduidig
d.e.s.d.a. minstens een van de deelsporen zuiver is. In dat geval is W factoriseerbaar:
W = Tr II W ⊗ Tr I W .
Bewijs. We hoeven alleen nog te bewijzen het ‘dan’ gedeelte van ‘d.e.s.d.a.’. Laat |u i 〉 een basis
zijn van eigentoestanden van W I . We onderstellen dat de eigenwaarden u i ≠ 0 niet ontaard zijn.
Ontwikkel W en Tr II W naar hun eigenvectoren
N∑
∑N II
W = p n |ψ n 〉〈ψ n | , Tr II W = u i |u i 〉〈u i | ,
n=1
i=1
(III.68)
waarin
|ψ n 〉 ∈ H en |u i 〉 ∈ H I . (III.69)
We mogen p n ≠ 0 onderstellen. Merk op dat de eigenvectoren |u i 〉 bij eigenwaarde 0 in de
ontwikkeling van Tr II W niet optreden; maar ze horen wel bij de volledige basis |u i 〉. Stel |v j 〉 is
een basis in H II . Dan is |u i 〉 ⊗ |v j 〉 een basis in H en kun je |ψ n 〉 ontwikkelen als
|ψ n 〉 =
∑N II
∑N I
ψij n |u i 〉⊗|v j 〉 =
i=1 j=1
∑N II
∑N I
|u i 〉⊗|φ n i 〉 met |φ n i 〉 := ψij|v n j 〉 ∈ H II .(III.70)
i=1
j=1

III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 49
Deze |φ n i 〉 zijn in het algemeen niet orthogonaal. Substitueer in (III.68):
W =
N∑
∑ ∑N I
|u i 〉〈u j | ⊗ |φ n i 〉〈φ n j | (III.71)
p n
N II
n=1 i=1 j=1
en
Tr II W = ∑ n
= ∑ n
∑ ∑
p n |u i 〉〈u j | ∑ 〈v k |φ n i 〉〈φ n j |v k 〉
i j
k
} {{ }
= 〈φ n j |φn i
∑ ∑
〉
p n 〈φ n j |φ n i 〉|u i 〉〈u j |
i
j
(III.72)
Als {|u i 〉} een basis is, dan zijn de coëfficiënten in de ontwikkeling van een operator in de vorm
∑
i,j c ij|u i 〉〈u j | uniek; vergelijken van (III.72) met (III.68) geeft dus
N∑
p n 〈φ n j |φ n i 〉 = u i δ ij .
n=1
(III.73)
I.h.b. voor i = j volgt hieruit, wegens p n > 0, dat als u i = 0 voor zekere i, dat dan |φ n i 〉 = 0
voor alle n. Met andere woorden, in (III.70) komen slechts die termen voor waarvoor u i ≠ 0
is, d.w.z. in (III.70) komen dezelfde termen voor als in de ontwikkeling (III.68) van Tr II W . Is
Tr II W zuiver, dan is er maar één term:
Dan is dus
Tr II W = |u 1 〉〈u 1 | en |ψ n 〉 = |u 1 〉 ⊗ |φ n 1 〉 .
W =
N∑
N∑
p n |u 1 〉〈u 1 | ⊗ |φ n 1 〉〈φ n 1 | = |u 1 〉〈u 1 | ⊗ p n |φ n 1 〉〈φ n 1 |
n=1
n=1
(III.74)
en de toestand van S II :
N∑
Tr I W = p n |φ n 1 〉〈φ n 1 | .
n=1
(III.75)
Dus in dit geval wordt W van de vorm W = Tr II W ⊗ Tr I W en volledig bepaald door zijn
deelsporen. Samen met het eerdere resultaat bewijst dit de stelling. □
Zijn de deelsporen beide van W zuiver, dan is W uiteraard ook zuiver, en van de vorm |u〉〈u| ⊗
|v〉〈v|. Omgekeerd is een zuivere toestand in H in het algemeen niet factoriseerbaar. Immers een
willekeurige vector in H is van de vorm
∑
c ij |u i 〉 ⊗ |v j 〉
(III.76)
i,j

50 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
als |u i 〉 en |v j 〉 een basis in H I resp. H II opspannen. Een willekeurige zuivere toestand |ψ〉 ∈ H is
dus van de vorm
N II
N I
N II
N I
∑ ∑ ∑ ∑
|ψ〉〈ψ| =
c ∗ kl c ij |u i 〉 ⊗ |v j 〉 ⊗ 〈u k | ⊗ 〈v l | .
i=1 j=1 k=1 l=1
Beschouw als voorbeeld de volgende zuivere toestand in H:
(
|Φ〉 = √ 1 |u1 2
〉 ⊗ |v 1 〉 + |u 2 〉 ⊗ |v 2 〉 ) .
(III.77)
(III.78)
De bijbehorende W is de volgende 1-dimensionale projector:
W = |Φ〉〈Φ| = 1 2(
|u1 〉〈u 1 | ⊗ |v 1 〉〈v 1 | + |u 1 〉〈u 2 | ⊗ |v 1 〉〈v 2 |
+ |u 2 〉〈u 1 | ⊗ |v 2 〉〈v 1 | + |u 2 〉〈u 2 | ⊗ |v 2 〉〈v 2 | ) . (III.79)
Deze zuivere toestand W is niet factoriseerbaar, en kan ook niet geschreven worden in de vorm
(III.64). Zijn deelsporen zijn echter niet zuiver:
en
Tr II W = ∑ j 〈v j|Φ〉〈Φ|v j 〉 = 1 2 |u 1〉〈u 1 | + 1 2 |u 2〉〈u 2 |
Tr I W = ∑ i 〈u i|Φ〉〈Φ|u i 〉 = 1 2 |v 1〉〈v 1 | + 1 2 |v 2〉〈v 2 | ,
W I ⊗ W II = 1 4 |u 1〉〈u 1 | ⊗ |v 1 〉〈v 1 | + 1 4 |u 1〉〈u 1 | ⊗ |v 2 〉〈v 2 | +
(III.80)
+
1
4 |u 2〉〈u 2 | ⊗ |v 1 〉〈v 1 | + 1 4 |u 2〉〈u 2 | ⊗ |v 2 〉〈v 2 |
≠ W . (III.81)
Samenvatting.
1. W ∈ S(H) van een samengesteld systeem is in het algemeen niet factoriseerbaar.
2. Als W factoriseerbaar is, dan zijn de factoren gelijk aan de deelsporen van W :
W = W I ⊗ W II impliceert W I = Tr II W en W II = Tr I W . (III.82)
3. De deelsporen bepalen W eenduidig d.e.s.d.a. minstens een van de deelsporen zuiver is, in welk
geval W direct te factoriseren is: W = W I ⊗ W II .
4. De deelsporen van W zijn zuiver d.e.s.d.a. W zuiver is en van de vorm W = |u〉 ⊗ |v〉〈u| ⊗ 〈v|
is, met |u〉 ∈ H I en |v〉 ∈ H II .

III.5. EIGENLIJKE EN ONEIGENLIJKE MENGSELS 51
III.5
EIGENLIJKE EN ONEIGENLIJKE MENGSELS
De toestanden van samengestelde systemen werpen een nieuw licht op de interpretatie van mengsels.
Stel W I en W II zijn de deelsporen van een willekeurige gegeven toestandsoperator W , en stel
∑N II
∑N I
W I = u i |u i 〉〈u i | en W II = v j |v j 〉〈v j | ,
(III.83)
i=1
j=1
met u i , v j ∈ [0, 1]. W I en W II geven alle quantummechanische informatie over uitkomsten van
metingen aan de deelsystemen. Mogen we dit interpreteren door aan te nemen dat de individuele
deelsystemen zich in de zuivere toestanden |u i 〉 respectievelijk |v j 〉 bevinden met kansen u i resp. v j ?
Als dat zo was, dan zou het ensemble van samengestelde systemen te verdelen zijn in subensembles
van systemen die in de toestanden |u i 〉|v j 〉 zijn met kansen die afhangen van eventuele correlaties
tussen de waarden van i en j. De toestand zou dan van de vorm zijn:
W ′ = ∑ ∑
p ij |u i 〉|v j ⊗〉〈u i | ⊗ 〈v j |
i j
= ∑ ∑
p ij |u i 〉〈u i | ⊗ |v j 〉〈v j | .
(III.84)
i j
De coëfficiënten p ij moeten voldoen aan p ij ∈ [0, 1], ∑ j p ij = u i en ∑ i p ij = v j maar zijn verder
vrij. Voor zover het zich bevinden in een van de toestanden |u i 〉 resp. |v j 〉 als een eigenschap van de
deelsystemen mag worden opgevat die zij bezitten, kunnen alle correlaties tussen deze eigenschappen
in de totale toestand worden uitgedrukt door de p ij . Zijn er geen correlaties, dan is p ij = u i v j .
Echter, W ′ is van de speciale vorm (III.64) en is dus in het algemeen niet gelijk aan de W waarvan
we uitgingen. Men kan dus niet zeggen dat de individuele deelsystemen zich in de zuivere toestanden
|u i 〉, |v j 〉 bevinden. Hoewel W I , W II toestandsoperatoren zijn kan men ze dus in het algemeen
niet interpreteren als mengsels van zuivere toestanden. B. d’Espagnat (1989, blz. 61) heeft de mengtoestanden
W I en W II oneigenlijke mengsels genoemd. Eigenlijke gemengde toestanden kunnen in
beginsel wel worden opgevat als ensemble van systemen die zich in zuivere toestanden bevinden.
Het voorgaande laat zien dat het begrip gemengde toestand vanuit de theorie (nl. die van de
samengestelde systemen) aan ons wordt opgedrongen als een natuurlijke uitbreiding van het begrip
zuivere toestand (ook als het samengestelde systeem in een zuivere toestand is, zijn de deelsystemen
dit in het algemeen niet); en dat het in het algemeen niet juist is gemengde toestanden op te vatten
als eenvoudige mengsels van zuivere toestanden, zoals de bevolking een mengsel is van mannen en
vrouwen.
Ten slotte een opmerking over eendere, of identieke, deeltjes. Een systeem van eendere deeltjes
wordt in de quantummechanica beschreven met gesymmetriseerde toestanden. Beschouw de volgende
gesymmetriseerde twee-deeltjes-toestand:
|Ψ(1, 2)〉 = 1 √
2
(
|u〉 ⊗ |v〉 ± |v〉 ⊗ |u〉
)
,
(III.85)
waarbij steeds de eerste factor in een direct product op deeltje 1 slaat, en de andere op deeltje 2. De
twee deelruimten zijn in dit geval identiek en |u〉 en |v〉 kunnen zowel toestanden in de ene als in de
andere deelruimte voorstellen. De bijbehorende toestandsoperator is:
W = |Ψ(1, 2)〉〈Ψ(1, 2)| = 1 2(
|u〉〈u| ⊗ |v〉〈v| ± |u〉〈v| ⊗ |v〉〈u|+
± |v〉〈u| ⊗ |u〉〈v| + |v〉〈v| ⊗ |u〉〈u| ) ,
(III.86)

52 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
en de deelsporen zijn:
en
W I = Tr II W = 1 2
(
|u〉〈u| + |v〉〈v|
)
(III.87)
W II = Tr I W = 1 2(
|v〉〈v| + |u〉〈u|
)
. (III.88)
De deelsporen zijn identiek. We moeten dus zeggen dat beide deeltjes zich in dezelfde toestand
bevinden. We mogen zeker niet zeggen dat het ene zich in |u〉 en het andere in |v〉 bevindt. We
kunnen geen zuivere toestand aan de afzonderlijke deeltjes toekennen, ofschoon de toestand van het
samengestelde system wel zuiver is.
III.6 DEELTJES MET SPIN 1/2
Voor een systeem in de driedimensionale ruimte is het impulsmoment ⃗ L = ⃗ Q× ⃗ P . In tegenstelling tot
⃗Q en ⃗ P commuteren de componenten van deze vectorgrootheid niet. Als ⃗ L = L x ⃗e x + L y ⃗e y + L z ⃗e z
dan
[L x , L y ] = iL z (en cyclisch verwisseld) (III.89)
Bovendien zijn de eigenwaarden van de operator ⃗ L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z discreet, namelijk l(l +
1) 2 met l = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . . Ieder van deze eigenwaarden is (2l + 1)-voudig ontaard. Deze
ontaarding wordt opgeheven door te werken met een gezamenlijke eigenbasis van ⃗ L 2 en één van zijn
componenten (gewoonlijk L z ). De eigenwaarden zijn van L z zijn m = (−l, −l + 1, . . . , l − 1, l).
Noteer deze basistoestanden als |l, m〉:
⃗L 2 |l, m〉 = l(l + 1) 2 |l, m〉 (III.90)
L z |l, m〉 = m|l, m〉 (III.91)
Spin S ⃗ is een interne vrijheidsgraad van elementaire deeltjes, die niet gemakkelijk in klassieke
termen beschreven kan worden, maar die het meest lijkt op een impulsmoment L: ⃗ net zoals de
ruimtelijke impulsmoment-observabele L ⃗ heeft spin dus een richting ⃗n in de drie-dimensionale ruimte,
maar kan alleen discrete waarden aannemen. Het voornaamste verschil is dat het spectrum nu begrensd
is: voor spin- 1 deeltjes is ⃗ 2
S 2 = 3 4 2 en s z = ± 1; voor spin-1 deeltjes is ⃗ 2
S 2 = 2 en
s z ∈ {−1, 0, 1}, enzovoort. We beperken ons hier tot het eenvoudigste geval, spin- 1.
2
Voor spin- 1 2
deeltjes zijn er dus slechts twee orthonormale basistoestanden We representeren de
spinruimte daarom als een twee-dimensionale Hilbertruimte: H = C 2 en noteren |z ↑〉 := |l = 1, m = 1〉
2 2
en |z ↓〉 =: |l = 1, m = − 1〉.
2 2
Welke operatoren op C 2 komen als spin-observabele in aanmerking? Iedere hermitische operator
in C 2 kan in de bovengenoemde basis als een 2 × 2-matrix voorgesteld worden:
( ) ( )
a11 a
A =
12 a0 + a
=
z a x − ia y
= a
a 21 a 22 a x + ia y a 0 0 − a
0 11+a x σ x +a y σ y +a z σ z = a 0 11+⃗a·⃗σ(III.92)
z
met reële coëfficiënten a 0 ,⃗a, en waar ⃗σ gegeven is door de Paulimatrices:
( ) ( ) ( )
0 1
0 −i
1 0
σ x =
, σ
1 0 y =
, σ
i 0
z =
. (III.93)
0 −1

III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 53
OPGAVE 20. Bewijs bovenstaande bewering.
De Paulimatrices hebben de volgende eigenschappen:
σx 2 = σy 2 = σz 2 = 11 (III.94)
σ x σ y = iσ z (cyclisch) en dus [σ x , σ y ] + = 0 (cyclisch) (III.95)
Tr ⃗σ = 0 .
(III.96)
Ook geldt de volgende nuttige betrekking (⃗a, ⃗ b ∈ R 3 ):
(⃗a · ⃗σ)( ⃗ b · ⃗σ) = (⃗a ·⃗b)11 + i⃗σ · (⃗a × ⃗ b) .
(III.97)
Hieruit volgt dat (⃗a · ⃗σ) 2 = 11 als ‖⃗a‖ = 1.
We zien dat de enige operatoren van de vorm (III.92 met eigenwaarden ±1 precies van de vorm
⃗n · ⃗σ zijn. Het ligt dus voor de hand om de spin in richting ⃗n te laten corresponderen met de operator
⃗S = 1 2⃗n · ⃗σ. We zullen deze keus straks onderbouwen. Eerst bepalen we de eigenvectoren van deze
operatoren.
⎛ ⎞
cos φ sin θ
Als we de eenheidsvector ⃗n in poolcoördinaten uitschrijven: ⃗n = ⎝sin φ sin θ⎠ zijn de eigen-
cos θ
vectoren van ⃗n · ⃗σ
|⃗n, +〉 =
( )
cos
θ
2 e−iφ/2
sin θ 2 eiφ/2
OPGAVE 21. Ga dit na.
In het bijzonder geldt de betrekking:
|⃗n, −〉 =
( )
sin
θ
2 e−iφ/2
− cos θ 2 eiφ/2
(III.98)
|〈⃗m, + | ⃗n, +〉| = cos 1 2 θ ⃗m⃗n
(III.99)
.
Spin 1/2 en draaiingen Het ruimtelijk impulsmoment is de infinitesimale generator van de draaiingen.
Voor een draaiing R(⃗m, α) om de richting ⃗m ∈ R 3 over een hoek α ∈ [0, π):
U(⃗m, α) = exp [ − i(⃗m · ⃗J)α/ ] , ‖⃗n‖ = 1. (III.100)
We zullen nu laten zien dat de spin-eigenvectoren zich op de juiste wijze transformeren onder draaiingen.
Namelijk:
U(⃗m, θ)|⃗n, ±〉 = |R(⃗m, θ)⃗n, ±〉 .
(III.101)
Dus: de eigentoestanden van spin in de richting ⃗n gaan onder een draaiing over in de eigentoestanden
in de gedraaide richting R(⃗m, θ)⃗n.

54 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Met behulp van een Taylor-ontwikkeling en (III.97) vinden we voor (III.100):
U(⃗m, α) = exp [ − i(⃗m · ⃗σ)α/2 ] (III.102)
=
∞∑ (i⃗m · ⃗σ) m ( 1
2
m!
α) m
m=0
=
∞∑
m even
(−1) m/2 ( 1
2
m !
α) ∑
m ∞ + i(⃗m · ⃗σ)
m oneven
(−1) (m−1)/2
m!
( 1
2 α) m
= cos 1α 11 − i sin 1 2 2α (⃗m · ⃗σ) (III.103)
Dus de draaiing (III.102) die aanvankelijk een exponentionele afhankelijkheid van ⃗σ vertoonde, is in
feite lineair in ⃗σ.
Kies bijvoorbeeld ⃗n in het xz-vlak:
n x = sin θ , n y = 0 , n z = cos θ . (III.104)
Dan
⃗n · ⃗σ = n x σ x + n y σ y + n z σ z = (cos θ)σ z + (sin θ)σ x =
( )
cos θ sin θ
=
sin θ − cos θ
(III.105)
z
✻
✕
⃗n
θ
y
De eigenvectoren van ⃗n · ⃗σ zijn:
x
✲
cos 1θ |z ↑〉 + sin 1 2 2θ |z ↓〉 (eigenwaarde +1) (III.106)
− sin 1θ |z ↑〉 + cos 1 2 2θ |z ↓〉 (eigenwaarde −1)
In het bijzonder corresponderen de eigenvectoren van σ x met θ = π/2:
( )
( )
|x↑〉 = √ 1
2 |z ↑〉 + |z ↓〉 en |x↓〉 = √ 1 2 |z ↓〉 − |z ↑〉 . (III.107)
Bij een draaiing om de y-as over θ gaan de eigenvectoren van σ z dus over in:
U(⃗e y , θ)|z ↑〉 = ( cos 1 2 θ 11 − i sin 1 2 θ σ y)
|z ↑〉
= cos 1 2 θ |z ↑〉 + sin 1 2 θ |z ↓〉 (III.108)

III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 55
en
U(⃗n y , θ)|z ↓〉 = ( cos 1 2 θ 11 − i sin 1 2 θ σ y)
|z ↓〉
= − sin 1 2 θ |z ↑〉 + cos 1 2 θ |z ↓〉 (III.109)
Dit zijn weer precies de eigenvectoren (III.106) van ⃗n · ⃗σ, waarbij ⃗n de over θ om ⃗n y gedraaide z-as
is.
OPGAVE 22. Vorm op analoge wijze de toestanden |y ↑〉 en |y ↓〉 uit |z ↑〉 en |z ↓〉 door een
draaiing om de x-as.
We zien dat
〈z ↑|U(⃗n y , θ)|z ↑〉 = cos 1 2 θ . (III.110)
Omdat de keus van het assenstelsel willekeurig is, concluderen we hieruit dat
|〈⃗n↑|⃗n ′ ↑〉| = cos 1 2 θ ,
(III.111)
waarin θ de hoek is tussen ⃗n en ⃗n ′ , die beiden in het xz-vlak liggen. (Kiest men het assenstelsel zo
dat ⃗n langs de z-as omhoog wijst en ⃗n ′ in een willekeurige richting (θ, ϕ) wijst, dan komt er in het
rechterlid van vgl. (III.111) een factor exp[−iϕ/2] bij.)
Merk op dat een draaiing over 2π de toestand |φ〉 overvoert in −|φ〉, niet weer in |φ〉.
OPGAVE 23. Laat zien dat de operator 1 2
(11 + ⃗n · ⃗σ) de projector is op |⃗n↑〉:
1
2
(11 + ⃗n · ⃗σ) = |⃗n↑〉〈⃗n↑| .
Dit geldt in elke matrix-voorstelling.
Gemengde spin- 1 toestanden
2
worden als
We hebben gezien dat iedere hermitische 2×2-matrix geschreven kan
A = a 0 11 + a x σ x + a y σ y + a z σ z = a 0 11 + ⃗a · ⃗σ
(III.112)
met reële coëfficiënten.
Wanneer is bovenstaande A een toestandsoperator? Uit de eis Tr A = 1 volgt a 0 = 1/2. Verder
moet A positief zijn. Een positieve matrix is te schrijven als het kwadraat van een hermitische matrix
B.
Dus
B = b 0 11 + ⃗ b · ⃗σ en B 2 = (b 2 0
+ ⃗ b 2 )11 + 2b 0
⃗ b · ⃗σ . (III.113)
a 0 = 1 2 = b2 0
+ b 2 en ⃗a = 2b 0
⃗ b , (III.114)
waarbij b := ‖ ⃗ b‖. Bij keus van b 0 ligt ⃗ b vast: ⃗ b = ⃗a/2b 0 . De keus van b 0 is beperkt door (III.114):
b 2 0
≤ 1 2 : a 2 = 4b 2 0b 2 = 4b 2 0
( 1 − )
2 b2 0 . (III.115)

56 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Dus a 2 hangt alleen af van b 2 0
en neemt in het interval [0, 1/2] waarden aan tussen 0 en 1/4 (maximum
a 2 voor b 2 0
= 1/4). Met andere woorden, A is een toestandsoperator d.e.s.d.a. a 0 = 1/2 en a 2 1/4,
want dan bestaan er b 0 en ⃗ b die voldoen aan de eisen (III.114).
Een willekeurige toestandsoperator is dus
W = 1 2 (11 + ⃗w · ⃗σ) , ⃗w2 ≤ 1 . (III.116)
Een toestandsoperatoren wordt gekarakteriseerd door vectoren ⃗w, genaamd de polarisatievector,
met uiteinden in en op de eenheidsbol. De randpunten met ⃗w 2 = 1 zijn de zuivere toestanden (1-
dimensionale projectoren):
W 2 = 1 4( 11 + 2 ⃗w · ⃗σ + ⃗w
2 ) = 1 2( 11 + ⃗w · ⃗σ
)
= W . (III.117)
We zien hier dus de convexe structuur van de verzameling der toestandsoperatoren voor onze ogen.
Liggen ⃗w 1 en ⃗w 2 in of op de eenheidsbol, dan is α ⃗w 1 + β ⃗w 2 met 0 < α, β < 1 en α + β = 1, de
koorde die ⃗w 1 en ⃗w 2 verbindt; deze koorde ligt in de bol.
OPGAVE 24. Bewijs de volgende beweringen: (a) 〈⃗σ〉 W = ⃗w ; (b) det W = (1 − ⃗w 2 )/4 ; en (c)
de eigenwaarden van W zijn 1 2 ± 1 2 ‖ ⃗w‖ .
Voorbeelden.
⎛ ⎞
0
Als ⃗w = ⎝0⎠ ∈ R 3 , dan W = 1(11 + σ 2 z) =
1
( 1 0
0 0
)
, (III.118)
hetgeen een 1-dimensionale projector is. Dit is de matrix-voorstelling van W = |z ↑〉〈z ↑|. Evenzo:
( ) 0 0
⃗w = (0, 0, −1) =⇒ W = = |z ↓〉〈z ↓ | ,
0 1
)
⃗w = (1, 0, 0) =⇒ W = 1 2 (11 + σ x) =
(
1
2
1
2
⃗w = (0, 1, 0) =⇒ W = 1 2 (11 + σ y) =
(
1
2
− i 2
i
2
1
2
1
2
1
2
= |x↑〉〈x↑| ,
)
= |y ↑〉〈y ↑| .
Algemeen correspondeert W = 1 2
(11 + ⃗n · ⃗σ) met de zuivere toestand |⃗n↑〉.
Voor de kans om spin omhoog in de richting ⃗n ′ aan te treffen in de toestand |⃗n↑〉 vinden we
(III.119)
(III.120)
µ W⃗n (W ⃗n ′) = Tr (W ⃗n W ⃗n ′)
= Tr ( 1
1
2
(11 + ⃗n · ⃗σ) · 2 ⃗n′ · ⃗σ) )
(
= Tr 1 4 11 + ⃗n · ⃗σ + ⃗n′ · ⃗σ + ⃗n · ⃗n ′ + i⃗σ · (⃗n × ⃗n ′ ) )
= 1(1 + cos θ) , 2
= 1(1 + ⃗n · 2 ⃗n′ )
hetgeen in overeenstemming met vgl. (III.111) vanwege 1 + cos θ = 2 cos 2 (θ/2).

III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 57
Alle bovenstaande voorbeelden waren randpunten van de eenheidsbol en corresponderen dus met
zuivere toestanden. Beschouw nu ⃗w = ⃗0, het middelpunt van de bol.
( 1
)
⃗w = ⃗0 =⇒ W ⃗w =
2
0
1
. (III.121)
0
2
De eigenwaarden van deze gemengde toestand W zijn ontaard en er zijn verscheidene ontbindingen
mogelijk, bijvoorbeeld:
W = 1|z ↑〉〈z ↑| + 1 2 2
|z ↓〉〈z ↓|
= 1|x↑〉〈x↑| + 1 2 2
|x↓〉〈x↓| (III.122)
= 1|y ↑〉〈y ↑| + 1 2 2
|y ↓〉〈y ↓| .
Onder een draaiing R gedraagt ⃗w zich als een vector in R 3 :
U(R)( ⃗w · ⃗σ)U −1 (R) = (R ⃗w) · ⃗σ
(III.123)
waarin U(R) gegeven wordt door (III.103). De enige draai-invariante toestand voor een één-deeltjessysteem
is dus ⃗w = 0 (III.121).
Als ‖ ⃗w‖ = 1 noemt men het systeem volledig gepolariseerd; als ⃗w = 0, noemt men het ongepolariseerd;
en voor 0 < ‖ ⃗w‖ < 1 heet het gedeeltelijk gepolariseerd.
De overeenkomst tussen de verzameling van dichtheidsmatrices en de 3-dimensionale eenheidsbol
van polarisatievectoren is specifiek voor spin- 1 2
deeltjes. In dat geval is immers iedere zuivere
toestand ook de eigentoestand voor de spin-operator in een zekere spin-richting. Voor spin-1 bosonen
geldt dit al niet meer.
Twee deeltjes met spin 1/2 singlet-toestand en triplet-toestanden. We beschouwen een samengesteld
systeem van twee spin- 1 fermionen. Een basis in de direct-product-ruimte 2 C2 ⊗ C 2 = C 4 is
|z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 , |z ↑〉 ⊗ |z ↓〉 , |z ↓〉 ⊗ |z ↑〉 , |z ↓〉 ⊗ |z ↓〉 . (III.124)
Uit deze basistoestanden kun je eigentoestanden maken van ⃗ S 2 = ( ⃗ S 1 + ⃗ S 2 ) 2 en S z bij de eigenwaarden
S = 0 en S = 1. (De eigenwaarden van ⃗ S 2 zijn S(S + 1).) De singlet-toestand (S = 0), of
kortweg het singlet, is de verstrengelde toestand
|Ψ 0 〉 = 1 √
2
(
|z ↑〉 ⊗ |z ↓〉 − |z ↓〉 ⊗ |z ↑〉
)
, (III.125)
die er in termen van de eigentoestanden van S x en S y eender uitziet (bolsymmetrische toestand). De
triplet-toestanden (S = 1) zijn:
|z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 : s z = 1
1√
2
(
|z ↑〉 ⊗ |z ↓〉 + |z ↓〉 ⊗ |z ↑〉
)
: sz = 0
|z ↓〉 ⊗ |z ↓〉 : s z = −1
(III.126)
waarin s z de eigenwaarde is van S z = S 1z +S 2z . De toestand (III.125) is een eigentoestand van S x , S y
en S z bij eigenwaarde nul en is in feite bolsymmetrisch. Inderdaad, (III.125) is een eigentoestand van
⃗n · ⃗S bij eigenwaarde nul, dus een draaiing (III.100) voert (III.125) in zich zelf over.

58 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Correlaties. We zullen nodig hebben de spin-correlatie-functie van het singlet:
E QM (⃗a, ⃗ b) := 〈Ψ 0 |⃗σ 1· ⃗a ⊗ ⃗σ 2·⃗b|Ψ 0 〉
(III.127)
met ⃗a, ⃗ b ∈ R 3 eenheidsvectoren; dit is de verwachtingswaarde om zowel spin langs ⃗a aan deeltje 1 als
spin langs ⃗ b aan deeltje 2 omhoog te vinden. Kies de z-as langs ⃗a en de x-as zo dat ⃗ b in het xz-vlak
ligt (dat mag wegens de bolsymmetrie van de singlettoestand). Dan is
E QM (⃗a, ⃗ b) = 〈Ψ 0 |σ 1z ⊗ (σ 2z cos θ ⃗a, ⃗ b
+ σ 2x sin θ ⃗a, ⃗ b
)|Ψ 0 〉 .
(III.128)
Er geldt:
(σ 1z ⊗ σ 2z )|Ψ 0 〉 = −|Ψ 0 〉 en (σ 1z ⊗ σ 2x )|Ψ 0 〉 ⊥ |Ψ 0 〉 , (III.129)
want σ x |z ↑〉 = |z ↓〉 en σ x |z ↓〉 = |z ↑〉, zodat
(σ 1z ⊗ σ 2x )|Ψ S=0 〉 = 1 √
2
(
|z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 + |z ↓〉 ⊗ |z ↓〉
)
= 1 √
2
|Ψ S=1, Sz =1〉 + 1 √
2
|Ψ S=1, Sz =−1〉
(III.130)
Hiermee krijgen we:
E QM (⃗a, ⃗ b) = − cos θ ⃗a, ⃗ b
.
(III.131)
Voorwaardelijke kansen. We zullen ook nodig hebben de kans dat de spin van deeltje 2 in de
richting ⃗ b gevonden wordt, gegeven dat de spin van deeltje 1 in de richting ⃗a gevonden werd. Deze
voorwaardelijke kans is per definitie:
Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1| ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) = Prob( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ∧ ⃗σ 1 · ⃗a = 1 )
waarin de gezamelijke kans is:
Prob ( ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) , (III.132)
Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ∧ ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) = |〈⃗a↑| ⊗ 〈 ⃗ b↑|Ψ 0 〉| 2
(III.133)
met |⃗a↑〉 ⊗ | ⃗ b↑〉 het direct product van de eigentoestanden bij eigenwaarde +1 van ⃗σ 1 ·⃗a en van ⃗σ 2 ·⃗b.
Met (III.106) vinden we, als we ⃗a en ⃗ b weer kiezen als in de figuur,
|⃗a↑〉 ⊗ | ⃗ ( )
b↑〉 = |z ↑〉 ⊗ cos 1θ 2 ⃗a, ⃗ b |z ↑〉 + sin 1θ 2 ⃗a, ⃗ b |z ↓〉 . (III.134)
Met vgl. (III.125):
〈⃗a↑| ⊗ 〈 ⃗ b↑|Ψ 0 〉 = 1 √
2
sin 1 2 θ ⃗a, ⃗ b ,
(III.135)

III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 59
dus
Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ∧ ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) = 1 2 sin2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b .
(III.136)
Verder is
Prob(⃗σ 1 · ⃗a = 1) = Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ∧ ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) (III.137)
+ Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = −1 ∧ ⃗σ 1 · ⃗a = 1 )
Dus de voorwaardelijke kans (III.132) is:
= 1 2 sin2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b + 1 2 cos2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b = 1 2 . (III.138)
Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 | ⃗σ 1 · ⃗a = 1 ) = sin 2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b .
(III.139)
Opmerking. Er is per definitie geen correlatie tussen de twee spin-meetuitkomsten indien
Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ∣ ∣ ⃗σ1 · ⃗a = 1 ) = Prob ( ⃗σ 2 ·⃗b = 1 ) .
(III.140)
Dit is het geval als ⃗a en ⃗ b loodrecht op elkaar staan.
We kunnen de correlatie (III.127) nu ook direct uitrekenen via een bekende formule uit de kansleer:
E QM (⃗a, ⃗ b) =
∑+1
∑+1
a=−1 b=−1
ab Prob(a, b) ,
(III.141)
waarin a en b uit {±1} de uitkomsten van metingen van ⃗σ 1 · ⃗a resp. ⃗σ · ⃗b zijn, en Prob(a, b) de
gemeenschappelijke kans is om a en b te vinden bij meting van de respectieve spin-grootheden. Met
vgl. (III.136) vinden we:
E QM (⃗a, ⃗ b) = Prob(1, 1) + Prob(−1, −1) − Prob(1, −1) − Prob(−1, 1) (III.142)
= sin 2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b − sin2 1 2 (π − θ ⃗a, ⃗ b )
= − cos θ ⃗a, ⃗ b
.
Dit is dus inderdaad gelijk aan het eerder gevonden resultaat (III.131).
Voorbeeld van een gemengde toestand van twee spin 1/2 deeltjes. Beschouw de toestand W =
|φ〉〈φ| werkend op H I ⊗ H II ) met |φ〉 de zuivere toestand
|φ〉 = 1 √
2
(
|z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 + |z ↓〉 ⊗ |z ↓〉
)
.
(III.143)
W = 1 2(
|z ↑〉〈z ↑| ⊗ |z ↑〉〈z ↑| + |z ↑〉〈z ↓| ⊗ |z ↑〉〈z ↓| +
|z ↓〉〈z ↑| ⊗ |z ↓〉〈z ↑| + |z ↓〉〈z ↓| ⊗ |z ↓〉〈z ↓| ) , (III.144)

60 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
waarin de eerste factor in het direct product in H I werkt, en de tweede factor in H II . De deelsporen
zijn:
W I = 1 2 |z ↑〉〈z ↑| + 1 2 |z ↓〉〈z ↓| ∈ S(H I) ,
W II = 1 2 |z ↑〉〈z ↑| + 1 2 |z ↓〉〈z ↓| ∈ S(H II) .
(III.145)
De matrix-voorstelling hiervan in de z-basis is
( 1
)
(
W I =
2
0
1
1
en W
0 II =
2
0
1
2
0
2
)
; (III.146)
en de voorstelling van W in de corresponderende basis (III.124) in H = H I ⊗ H II is
⎛
⎞
1
1
2
0 0
2
W = ⎜ 0 0 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 ⎠ .
1
1
2
0 0
2
(III.147)
Dit is uiteraard een zuivere toestand want W is idempotent, hetgeen voor begrensde, zelf-geadjungeerde
operatoren voldoende en nodig is om een projector te wezen. Daarentegen is het directe product van
W I en W II (Kronecker-product van de matrices) geen zuivere toestand:
⎛
⎞
1
4
0 0 0
1
W I ⊗ W II = ⎜0 4
0 0
⎟
⎝ 1
0 0
4
0⎠ ≠ W .
(III.148)
1
0 0 0
4
Merk op dat alle hier optredende matrices inderdaad positief zijn en spoor 1 hebben.
OPGAVE 25. (a) Vul in (III.144) de matrix-voorstellingen van de daarin optredende projectoren in
H I en H II in, en controleer dat dit via het vormen van de Kronecker-producten (III.147) oplevert.
(b) Is de toestand (III.144) bolsymmetrisch?

IV
DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Het is verkeerd te denken dat het de taak van de natuurkunde is om uit te vinden hoe de
natuur is. De natuurkunde gaat uitsluitend over wat wij over de natuur kunnen zeggen.
— Niels Bohr
. . . De geruststellende filosofie (of religie?) van Heisenberg en Bohr is zo slim uitgebroed
dat het een zacht kussen verschaft voor de ware gelovige waar men hem niet gemakkelijk
van wegjaagt. Dus laat men hem liggen.
— Albert Einstein (Brief aan Schrödinger, 31 mei 1929 in: (Przibram, 1963,blz. 29).
Ik weet dat het niet de fout is van N. B. dat hij geen filosofie heeft gestudeerd. Maar ik
betreur het diep, dat door zijn gezag de hersens van een of twee of drie generaties van
streek zullen zijn en verhinderd om over de problemen te denken die ‘Hij’ pretendeert
opgelost te hebben.
— Erwin Schrödinger (brief aan L. Brillouin, 6 November 1959 (ongepubliceerd)
De standaard-interpretatie van de quantummechanica die de meeste leerboeken uiteenzetten,
wordt doorgaans aangeduid als de Kopenhaagse Interpretatie (het befaamde Instituut van Bohr
was aldaar gevestigd). Het is echter vermeldenswaard dat de opvattingen van de talrijke aanhangers
van de Kopenhaagse Interpretatie (Bohr, Heisenberg, Pauli, Peierls, Rosenfeld, Wheeler,
om er enkelen te noemen) onderling op tal van punten verschillen, en dat sommigen, waaronder
Bohr zelf, in de loop der tijd hun opvattingen hebben gewijzigd, zodat de naam ‘Kopenhaagse
Interpretatie’ eerder een verzamelnaam dan de naam van één duidelijk omgrensde visie is. Bovendien
zijn beduidende bijdragen tot de standaard-interpretatie van de theorie geleverd door Born en
Von Neumann, die onafhankelijk van de Kopenhaagse school werkten. We zullen in dit hoofdstuk
de opvattingen van Heisenberg en Bohr als voornaamste vertegenwoordigers van de Kopenhaagse
Interpretatie onder de loep nemen, en het debat tussen Einstein en Bohr nader beschouwen. Ten
slotte gaan we in op de exacte uitdrukking van het onzekerheidsprincipe.
IV.1
HEISENBERG EN HET ONZEKERHEIDSPRINCIPE
De geschiedenis van de moderne quantummechanica begint in 1925, wanneer Werner Heisenberg zijn
beroemde overgangsartikel ‘Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer
beziehungen’ publiceert. Zijn samenvatting luidt (Heisenberg 1925):
Dit artikel tracht een basis te leggen voor de theoretische quantummechanica die louter bestaat
uit betrekkingen tussen grootheden die in beginsel waarneembaar zijn.
Kennelijk mocht de theorie uitsluitend over waarneembare grootheden spreken; iedere poging om een
aanschouwelijk beeld van het inwendige van een atoom te vormen diende vermeden te worden. In
het bijzonder kon men niet over de baan van een elektron spreken. ‘Waarneembaar’ waren alleen de

62 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
overgangen tussen stationaire toestanden en deze overgangsgrootheden konden dus met twee discrete
indices gekarakteriseerd worden.
Deze ideeën werden door Heisenberg, Born en Jordan tot de zogeheten matrixmechanica uitgewerkt.
Zij representeerden alle fysische grootheden door Hermitische oneindige complexe matrices.
De fundamentele vergelijking (‘quantum-voorwaarde’) van deze theorie is de commutatierelatie
PQ − QP = −i1
(IV.1)
tussen de matrices P en Q (1 is de eenheidsmatrix), die bedoeld waren als de ‘quantum-tegenhangers’
van de canonieke dynamische grootheden uit de klassieke mechanica à la Hamilton.
De matrixmechanica kreeg in 1926 onverwacht concurrentie van de golfmechanica, opgesteld
door Erwin Schrödinger. Schrödinger stelde het elektron voor als een trillende ladingswolk, die
op continue wijze door de ruimte voortbeweegt. De stationaire toestanden waren in zijn opvatting
te begrijpen als resonanties — te vergelijken met de eigentrillingen van een vioolsnaar. Volgens
Schrödinger had golffmechanica de voorkeur boven de matrixmechanica, omdat de golffmechanica
ons een aanschouwelijk beeld biedt van wat zich afspeelt in de microfysische werkelijkheid. Deze
interpretatie leed echter schipbreuk op drie onoplosbare problemen: (i) het feit dat de golven voor
fysische systemen met meer deeltjes in de configuratieruimte (R 3N ) gedefinieerd waren, en niet in de
ons omringende 3-dimensionale ruimte (R 3 ); (ii) het feit dat de golfpakketjes (voor vrije deeltjes) op
den duur uiteenvallen, zodat het elektron geen gelokaliseerde entiteit kan blijven; en (iii) het feit dat
de golffunctie complexe waarden kan aannemen. Wel bleek uiteindelijk de empirische slagkracht van
de golfmechanica even sterk als die van de matrixmechanica.
Het feit dat een aanpak met zulke radicaal andere uitgangspunten ook mogelijk was gebleken,
noopte Heisenberg ertoe zijn uitgangspunten nader toe te lichten. Het resultaat van deze inspanning
is zijn ‘onzekerheidsprincipe’ — voor het eerst geformuleerd in zijn artikel ‘Ueber den anschaulichen
Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Dynamik’ (1927).
Heisenberg vraagt zich in dit artikel af wat in de quantummechanica onder de baan van een elektron
moet worden verstaan. Enerzijds verhindert de basisvergelijking (IV.1) het gelijktijdig toekennen
van numerieke waarden aan positie en impuls. Anderzijds lijkt de baan van een deeltje bijvoorbeeld
in een Wilsonvat direct waarneembaar te zijn. Om een uitweg uit dit dilemma te vinden, liet hij zich
inspireren door een uitspraak van Einstein: “De theorie beslist pas wat men waarnemen kan.” Was
het zo dat als een baan in de quantummechanica niet gedefinieerd kan worden, zij in feite ook niet
kan worden waargenomen? Deze gedachte leidde hem ertoe om te analyseren wat de theorie over
waarnemingen te zeggen heeft.
Heisenberg begint met een verband te leggen tussen meten en definiëren:
Als men duidelijk wil maken wat onder de term ‘plaats van een voorwerp’, bijvoorbeeld een
elektron, moet worden verstaan, dan moet men experimenten aangeven met behulp waarvan men
de ‘plaats van het elektron’ denkt te meten, anders heeft deze term geen betekenis.
We zullen dit het Meten=Definiëren-principe noemen. De plaats van het elektron zou men bijvoorbeeld
kunnen bepalen door het onder een microscoop te bekijken. Een microscoop heeft volgens
de klassieke optica een beperkt oplossingsvermogen. Het kriterium van Abbe geeft de kleinste te
onderscheiden details als
δq ∼
λ
sin ε ,
(IV.2)

IV.1. HEISENBERG EN HET ONZEKERHEIDSPRINCIPE 63
Figuur IV.1: De γ-microscoop van Heisenberg
waarbij λ de golflengte van het licht en ε de apertuur (openingshoek van de lens) is. Voor een
nauwkeurige meting moeten we dus een zeer korte golflengte gebruiken (γ-straling). Maar dan is
het Compton-effect niet te verwaarlozen. De straling gedraagt zich als een stroom deeltjes met impuls
p 0 = h/λ die tegen het elektron botsen, en daaraan een terugstoot geven. Voor de observatie
moet minstens één foton tegen het elektron botsen, en dit zal een impulsverandering teweegbrengen.
Omdat we echter van de richting van het foton na botsing niet meer weten dan dat het door de lens
is gegaan, kunnen we de grootte van de terugstoot niet exact aangeven. De impulsoverdacht blijft
onbekend tot een bedrag δp ∼ p 0 sin ε = (h/λ) sin ε (zie figuur), zodat
δq δp ∼ h .
(IV.3)
Des te nauwkeuriger de plaats wordt bepaald (δq klein) des te onnauwkeuriger is de impuls daarna
bekend (δp groot).
We citeren nogmaals Heisenberg (1927, blz. 174):
Op het ogenblik van de plaatsbepaling, d.w.z. het ogenblik waarop het lichtquantum door het
elektron wordt afgebogen, verandert het elektron plotseling van impuls. (. . . ) Op het ogenblik
waarop de plaats van het elektron bekend is, kan de impuls dus maar bekend zijn tot een orde
van grootte die met deze plotselinge verandering overeenkomt; dus hoe nauwkeuriger de plaats
bepaald is, des te onnauwkeuriger is de impuls bekend en omgekeerd; . . .
Deze conclusie is de eerste formulering van het onzekerheidspreincipe. De conclusie van Heisenberg
kan echter, volgens zijn eigen Meten=Definiëren-principe, nog niet getrokken worden omdat ook
aangegeven moet worden wat in deze context onder de impuls van het elektron verstaan moet worden.
In een latere bespreking preciseert Heisenberg de redenering (Heisenberg 1930) door ook in te gaan
op de definitie van de impuls van het elektron. De redenering verloopt als volgt.
Stel dat de impuls van het elektron van te voren is gemeten met een onnauwkeurigheid δp 1 .
Vervolgens wordt de plaats gemeten met een onnauwkeurigheid δq en daarna wordt weer de impuls
gemeten met onnauwkeurigheid δp 2 . We kunnen aannemen dat δp 1 ≪ p 1 en δp 2 ≪ p 2 zodat de
impuls voor en na de plaatsmeting zeer nauwkeurig bekend is. Het is nu dus zinvol om over de
impuls p 1 van het elektron vlak voor de plaatsmeting te spreken. Als nu vervolgens de plaats zeer

64 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
nauwkeurig gemeten wordt dan zijn de impuls en de plaats van het elektron in het verleden willekeurig
scherp bepaald. Heisenberg zegt:
Als de snelheid van het elektron bekend is, en dan de plaats precies wordt gemeten, dan kunnen
de posities van het elektron ook op tijdstippen voor de plaatsmeting uitgerekend worden. Voor
dit verleden is δp δq dan kleiner dan de gewone grenswaarde.
Blijkbaar geldt de onzekerheidsrelatie niet voor het verleden. In het voorbeeld slaat de onzekerheid
op de onvoorspelbaarheid van de waarde van p 2 na de plaatsmeting en dus ook niet op de
onnauwkeurigheid δp 2 waarmee p 2 gemeten kan worden. Deze onvoorspelbaarheid kan juist worden
vastgesteld door de impuls voor en na de plaatsbepaling nauwkeurig te meten, en de onvoorspelbaarheid
is groter naarmate de plaatsbepaling nauwkeuriger was. Men kan weliswaar op logisch
consistente wijze spreken over de plaats en de impuls van het elektron met betrekking tot het verleden,
maar deze treden op geen enkele manier op als beginvoorwaarde in een berekening over de
toekomst en ze komen in geen enkel experiment te voorschijn. Of men aan de genoemde berekening
over het verleden een of andere fysische realiteit moet toekennen is louter een kwestie van
smaak,
zegt Heisenberg. Voor Heisenberg beschrijft zo’n berekening geen werkelijkheid. Wat is dan wel
werkelijkheid voor Heisenberg? “De baan ontstaat pas doordat we haar waarnemen”, zegt hij. Blijkbaar
creëert de meting de werkelijkheid, in plaats van haar te onthullen. Dit noemen we het het
Meten=creëren-principe.
We krijgen dan de volgende voorstelling. Eerst meten we nauwkeurig de impuls van het elektron.
Hiermee is niet alleen het begrip ‘de impuls van het elektron’ gedefiniëerd, we mogen, blijkens het
Meten=creëren-principe nu ook zeggen dat de waarde van de impuls die in deze meting werd vastgesteld,
fysisch reëel is. Vervolgens meten we nauwkeurig de plaats. Bij deze meting verkrijgt het
elektron werkelijk een precieze plaats. Na deze meting is de impuls van het elektron echter op een
onvoorspelbare manier veranderd. Dit is verifieerbaar met de volgende nauwkeurige impulsmeting.
Verder blijkt deze onvoorspelbaarheid des te groter te zijn naarmate de plaatsmeting nauwkeuriger is.
De vraag rijst nu of het elektron zijn veranderde impuls al bezit voor de meting daarvan, d.w.z. of
deze waarde fysisch reëel is. Volgens Heisenberg is dit niet het geval. We kunnen de impuls immers
slechts voorspellen tot op de orde van de grootte van de verandering. (Direct na een impulsmeting
is het wel zinvol om te zeggen dat het elektron die impuls heeft, omdat in dat geval de uitkomst van
een volgende impulsmeting (binnen de meetnauwkeurigheid) met zekerheid voorspeld kan worden.)
Alvorens de tweede impulsmeting is uitgevoerd, heeft het elektron slechts een onscherpe, wazige impuls.
Pas als de impulsmeting is uitgevoerd herkrijgt het elektron een scherpe impuls. ‘Wazig’ wordt
bedoeld in ontologische zin, als de scherpte van een door het elektron bezeten eigenschap. Naarmate
de ene grootheid nauwkeuriger wordt gemeten wordt de geconjugeerde grootheid waziger.
In later werk gebruikt Heisenberg het Aristoteliaanse begrip potentie. Een verwant begrip is
de neiging van K.R. Popper (Eng.: propensity). Het elektron heeft een geneigdheid om bij meting
een bepaalde uitkomst te produceren. Deze geneigdheid is op te vatten als een reële eigenschap die
het elektron bezit, ook als we geen meting doen. De potentie- en neiging-interpretaties zijn dan dus
‘realistische’ interpretaties, of althans niet in strijd met wetenschappelijk realisme — grofweg de
these dat een wetenschappelijke theorie ons vertelt hoe (een deel van) de werkelijkheid in elkaar zit.
Opmerkingen.
(a) Heisenberg leidt de onzekerheidsrelatie (IV.3) voor het elektron af uit een quantummechanische
behandeling van het foton. Wat hij hiermee in feite aantoont is de consistentie van het onzeker-

IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 65
heidsprincipe.
(b) Hoewel je vaak leest dat de onzekerheidsrelatie een beperking legt op gelijktijdige metingen,
komen gelijktijdige metingen van plaats en impuls niet in deze bespreking voor.
(c) Het creëren van de scherpe waarde van een grootheid bij meting kan je in de terminologie
van het projectiepostulaat als volgt weergeven. Bij een meting van p gaat de toestand over in de
betreffende eigentoestand van p. In die toestand is q onvoorspelbaar. Meet je nu q dan gaat de toestand
over in de betreffende eigentoestand van q en wordt p onvoorspelbaar. Het onzekerheidsprincipe zegt
dat die onvoorspelbaarheid groter is naarmate de voorafgaande q-meting nauwkeuriger was.
(d) De baan van een elektron in een Wilsonvat wordt door Heisenberg (1930) als volgt beschreven.
Stel dat het inkomend elektron beschreven kan worden door een golfpakket met tamelijk scherpe
plaats en impuls. Bij de vrije ontwikkeling spreidt dit pakket zich uit in de loop van de tijd zodat
de plaats minder scherp wordt. Dan ioniseert het elektron een molecule in het Wilsonvat waardoor
een macroscopisch druppeltje wordt gevormd. Dit kan worden opgevat als een plaatsmeting. Het
golfpakket reduceert hierdoor tot een vrij scherp pakket in de plaats, zeg met de afmeting van een
molecule, dat zich vervolgens weer uitspreidt tot een volgende ionisatie plaatsvindt; etc. Men kan
laten zien dat de successieve spreiding en samentrekking in plaats en impuls volgens het onzekerheidprincipe
in overeenstemming is met de waarneming van een macroscopische baan. Over de baan van
een elektron in een atoom kunnen we echter, ook bij benadering, niet spreken. Een plaatswaarneming
van het elektron met een nauwkeurigheid groter dan de afmeting van het atoom vereist zo’n grote
terugstoot dat het elektron i.h.a. volledig uit het atoom weggestoten wordt. Van zo’n ‘baan’ is dus
niet meer dan één punt waarneembaar. Merk op dat de waarneming een cruciale rol speelt: de baan
ontstaat pas in het Wilsonvat doordat we haar waarnemen.
(e) Door Heisenbergs bespreking van het onzekerheidsprincipe werd het begrip meetstoring in
de quantummechanica geïntroduceerd. Aanvankelijk bestond de neiging deze als een min of meer
klassieke fysisch proces te beschouwen: het impuls van het elektron wordt door de botsing met een
foton verstoord. Ook het gebruik van het woord ‘fout’ voor δq door Heisenberg wijst hierop. Bohr
verzette zich vanaf het begin tegen deze uitleg van Heisenberg, en legde de nadruk op de noodzaak
om elkaar uitsluitende begrippen uit een golf- en deeltjesbeeld in één beschrijving te combineren.
Vooral door EPR werd later duidelijk dat de ‘meetstoring’ geen gewone storing kan zijn.
IV.2
COMPLEMENTARITEIT (BOHR)
De kern van de Kopenhaagse interpretatie is natuurlijk gelegen in het werk van Bohr. Zijn artikelen
kenmerken zich door een geheel eigen stijl. Opmerkelijk is dat Bohr vrijwel geen gebruik maakt van
het formalisme van de theorie. In plaats daarvan geeft hij meestal een kwalitatief betoog. Berucht
zijn zijn moeilijke — en soms obscuur geformuleerde— lange zinnen, vol bijzinnen en voorwaardelijke
bepalingen die zijn bedoelingen niet altijd helder maken. Een zorgvuldige reconstructie van het
standpunt van Bohr, en de ontwikkeling daarvan in de loop der tijd, is door E. Scheibe gegeven (1973,
hoofdstuk 1); een andere exegese is de monografie van H.J. Folse (1985).
Centraal in Bohrs beschouwing staat de taal die we gebruiken om natuurkunde te bedrijven.
Bohr benadrukt dat, hoe abstract en verfijnd de begrippen van de moderne fysica ook mogen zijn,
zij in essentie slechts een verlengstuk van de alledaagse taal vormen, en niets anders zijn dan een
communicatiemiddel dat wij gebruiken om waarnemingsresultaten aan onze medemensen mee te

66 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
delen. Zo’n waarnemingsresultaat, de uitkomst van een meting aan een fysisch systeem in bepaalde
experimentele omstandigheden, is dus het basiselement van de beschouwing. Bohr gebruikt hiervoor
de term fenomeen. Het is belangrijk dat ieder fenomeen de resultante is van een fysisch systeem S,
een preparatie-apparaat P en een meet-apparaat M en hun onderlinge wisselwerking in een concrete
experimentele situatie
De beschrijving van zo’n waarnemingsresultaat, de uitkomst van een meting, moet vanwege de
eis van communiceerbaarheid altijd in ondubbelzinnige termen geschieden. Een uitspraak als bijvoorbeeld:
“het object bevindt zich in een superpositie van twee verschillende plaatsen” is daarvoor dus
niet geschikt.
In de klassieke natuurkunde hebben we voor deze doeleinden een toereikend begrippenarsenaal
ontwikkeld. Kenmerk van de klassieke fysica is, volgens Bohr, in de eerste plaats dat de wisselwerking
tussen object en meetopstelling verwaarloosbaar klein aangenomen kan worden. Dit houdt in dat
in dit geval bij de beschrijving van een fenomeen de meetapparaten buiten de beschouwing kunnen
blijven. In plaats van de uitspraak: ‘Thermische wisselwerking tussen thermometer en een glas water
heeft in zekere omstandigheden als resultaat opgeleverd dat de kwikkolom bij een bepaalde lengte is
aangetroffen’, kunnen we dan ook zeggen: ‘de temperatuur van het water heeft een bepaalde waarde.’
Dat wil dus zeggen dat we in dit geval zonder bezwaar de beschrijving van het fenomeen kunnen
overdragen op het object zelf, en spreken in termen van zijn eigenschappen.
Het essentiële verschil tussen de klassieke fysica en met de quantumfysica is volgens Bohr dat
hier de wisselwerking gequantiseerd is. De wisselwerking tussen een object en een meetapparaat
kan alleen bestaan uit de uitwisseling van één of meer quanta, en kan niet willekeurig klein gemaakt
worden. Bohr noemt dit uitgangspunt ‘het quantum-postulaat’.
QUANTUMPOSTULAAT: “De essentie van de formulering van de quantummechanica
kan men uitdrukken door te zeggen dat in het zogenaamde ‘quantum-postulaat’, dat aan
ieder atomair proces een essentiële discontinuïteit of beter een individualiteit toeschrijft,
dat aan klassieke theorieën geheel vreemd is en gesymboliseerd wordt door Planck’s
quantum van werking.”
In een fenomeen vormen het object, de meetapparaten, en hun wisselwerking een ondeelbaar geheel,
waarbij de wisselwerking altijd minstens één quantum h bedraagt. Dit postulaat maakt dus dat de
procedure om de beschrijving van een fenomeen om te zetten in een beschrijving van het object zelf
op losse schroeven komt te staan. Er is echter een tweede element in het standpunt van Bohr, die deze
pessimistische conclusie tempert. Het is door E. Scheibe het ‘bufferpostulaat’ genoemd.
BUFFERPOSTULAAT: Een fenomeen moet altijd met de begrippen van de klassieke
natuurkunde beschreven worden; de constante van Planck kan in die beschrijving niet
voorkomen.
De achtergrond van deze eis is weer de communiceerbaarheid van onze experimentele bevindingen
met onze medemensen. De redenering luidt:
. . . met een experiment bedoelen we eenvoudigweg een gebeurtenis waarover we in staat zijn op
een ondubbelzinnige manier de voorwaarden te verwoorden die nodig zijn voor de reproductie
van de fenomenen. In de benoeming van deze voorwaarden kan er derhalve geen sprake van zijn
de Newtonse manier van beschrijven te verlaten, en in het bijzonder moet benadrukt worden dat
onder [een meetapparaat] . . . we eenvoudigweg een apparaat verstaan waarvan de werking geheel

IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 67
klassiek kunnen beschrijven en ten gevolge waarvan we alle quantum-verschijnselen moeten worden
genegeerd.
Bohr veronderstelt dat de taal en begrippen van de klassieke fysica als enige voor de beschrijving
van waarnemingsresultaten geschikt is. Hij schrijft:
De taal van Newton en Maxwell zal de taal van de natuurkundigen blijven voor alle tijden.
Dit is een bijzonder radicaal standpunt, en we komen op de motivatie ervan nog terug.
De combinatie van beide postulaten geeft nu de volgende redenering. In alle fenomenen is
er tussen systeem en meetapparaat een wisselwerking met minimale grootte-orde h > 0. De allergevoeligste
metingen berusten immers altijd op een quantumverschijnsel. Maar in onze beschrijving
van het fenomeen zijn we gedwongen klassieke begrippen te gebruiken en kan deze wisselwerking
(h) niet voorkomen. Dat houdt in dat de wisselwerking in onze beschrijving niet analyseerbaar
is.
Tegelijk is het zo dat het klassieke karakter van de beschrijving het weer mogelijk maakt om
in termen van eigenschappen van het object zelf te spreken. In plaats van de uitspraak ‘De wisselwerking
tussen een deeltje en een fotografische plaat heeft geresulteerd in een zwart stipje op een
bepaald gebied van de plaat’, mogen we dus ook zeggen: ‘het deeltje is met een plaats in dat gebied
aangetroffen’, waarbij dus niet langer aan het meetapparaat gerefereerd wordt.
Het grote verschil met de klassieke situatie is echter dat we hierbij door de wisselwerking buiten
beschouwing te laten in zekere zin een fout maken die weliswaar binnen dit fenomeen zonder gevolgen
blijft, maar die verhindert dat de beschrijving gecombineerd kan worden met de informatie die
onder andere experimentele voorwaarden verkregen wordt. Als het object aan een ander meetapparaat
gekoppeld wordt zal er een andere, maar evenmin analyseerbare wisselwerking zijn. Beschrijvingen
van het object die onder verschillende meetopstellingen zijn verkregen kunnen niet samengevoegd tot
één overkoepelend beeld. We lichten dit nu in een meer concreet geval toe.
Complementaire fenomenen Het belangrijkste voorbeeld van fenomenen die aanvullende, maar elkaar
uitsluitende informatie over een object geven zijn plaats en impulsmetingen. Bohr (1939, blz. 22)
schrijft:
Ieder fenomeen waarin we de verplaatsing . . . van een atomair object willen volgen . . . maakt de
vaststelling nodig van een aantal coïncidenties tussen het object en de stevig verbonden lichamen
. . . die . . . het assenstelsel definiëren waarin we naar het betrokken fenomeen verwijzen.
In dit geval heeft het object dus een wisselwerking met een apparaat dat stevig vastgeschoefd of
verankerd is, zodat diens positie zelf gewaarborgd blijft. Maar dit houdt in dat een eventuele impulsuitwisseling
tussen object en apparaat niet geanalyseerd kan worden. Zo’n impulsoverdracht wordt
immers door de vaste delen van het apparaat opgenomen zonder sporen na te laten. Binnen deze
opstelling zijn we dus afgesneden van de mogelijkheid iets over de impuls van het object te zeggen.
Omgekeerd geldt bij een impulsmeting (Bohr 1949, blz. 219):
Wanneer we in de beschrijving van een fenomeen de exacte impulsbalans willen opnemen, dan
moeten sommige delen van het meetapparaat natuurlijk vrij beweegbaar zijn ten opzichte van
andere delen.
Bohr neemt aan dat een impulsmeting gebeurt door de terugstoot bij een botsing (bijvoorbeeld met
een test-deeltje) te registreren. Door gebruik te maken van de behoudswetten kunnen we zo de impuls

68 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
van het object achterhalen. Echter, de voorwaarde dat het testdeeltje vrij beweegbaar is betekent dat
we niet kunnen waarborgen dat het een vaste positie behoudt. Het sluit uit dat het als deel van een
ruimtelijk coördinatenstelsel gebruikt kan worden, en we kunnen nu dus niets over de positie van het
object zeggen.
Bij een plaatsmeting moeten we het object dus in contact brengen met een deel van een meetapparaat
dat stevig is vastgeschroefd, en bij een impulsmeting moeten we de terugstoot van een vrij
beweegbaar deel van het meetapparaat waarnemen, en de behoudswet van impuls toepassen. Plaatsen
impuls-metingen sluiten elkaar dus uit, omdat een meetapparaat niet tegelijk vastgeschroefd en vrij
beweegbaar kan zijn. In de beschrijving van het object moeten we dus kiezen tussen het toekennen
van een plaats òf van een impuls. In de woorden van Philip Frank (1936, blz. 303):
De quantummechanica spreekt niet van deeltjes waarvan de plaats en impuls bestaan maar niet
gemeten kunnen worden, noch van deeltjes met een onbepaalde plaats en impuls. De quantummechanica
spreekt van meetopstellingen in de beschrijving waarvan de termen ‘plaats van een
deeltje’ en ‘impuls van een deeltje’ nooit tegelijk gebruikt mogen worden.
Bohr noemt deze karakteristieke eigenschap van de quantummechanica, dat twee grootheden
elkaar uitsluiten terwijl beide nodig zijn om alle fenomenen waarin het object deel kan hebben te
beschrijven, complementariteit. Positie en impuls zijn voorbeelden van complementaire grootheden.
(De complementariteit tussen grootheden als plaats en impuls of beschrijvingen met behulp van
ruimte-tijd-coördinatie of dynamische wetten komt in de plaats van (en verschilt van) de tegenstelling
die Bohr in zijn oudere werk centraal plaatste, nl. tussen ‘golf’ en deeltje’. Een klassiek deeltje heeft
immers zowel plaats als impuls, een klassieke golf heeft geen van beide.) Soortgelijke beschouwingen
gelden voor tijd en energie, zodat er voor een algemene complementariteit tussen enerzijds een
ruimte-tijd beschrijving van fenomenen, en anderzijds een dynamische beschrijving (door Bohr vaak
als ‘causaal’ aangeduid), waarin de behoudswetten voor energie-impuls toepasbaar zijn.
De rol van de onzekerheidsrelaties in Bohr’s visie is nu als volgt. Hij beschouwde ze in de eerste
plaats als een symbolische uitdrukking van de onmogelijkheid om plaats en impuls in de beschrijving
van een object tegelijk te definiëren. In een fenomeen waarin de plaats scherp bepaald is (δq = 0),
moet de impuls onbepaald zijn (δp = ∞), en omgekeerd. Maar de relatie δq δp ∼ h is natuurlijk
algemener. Bohr (1928, blz. 60) vat dit als volgt op:
Tegelijkertijd maakt het algemene karakter van de onzekerheidsrelaties het mogelijk om tot op
zekere hoogte een compromis te sluiten tussen de behoudswetten en de ruimte-tijd-coördinatie
van de fenomenen, als we het beeld van scherp gedefinieerde gebeurtenissen in een ruimte-tijd
punt vervangen door dat van onscherp gedefinieerde individuen in een eindig ruimte-tijd gebiedje.
De betekenis die Bohr aan de onzekerheidsrelaties hecht kan zo samengevat worden: hoe scherper
we in een fenomeen de plaats van het object kunnen definiëren, des te onscherper moet de impuls
gedefiniëerd zijn, en omgekeerd. De grootheden δq en δp in de relatie δqδp ∼ h stellen dus de
onscherpte in de definitie voor. Bohr legt meer nadruk op een kentheoretische dan op een ontologische
rol van deze grootheden.
Opmerkingen en Problemen Bohr’s onderstelling dat de klassieke taal een definitief en niet te verbeteren
uitdrukkingsmiddel voor natuurkundige waarnemingen is, is radicaal en op het eerste gezicht
zelfs tamelijk onaannemelijk. Taal ontwikkelt zich en de geschiedenis leert dat hierbij van tijd tot tijd
nieuwe begrippen nodig zijn. Aristoteles had bijvoorbeeld geen impulsbegrip, Newton wist niets van
energie, Coulomb kende geen velden etc. Ligt het niet voor de hand dat ook de quantummechanica
om nieuwe begrippen vraagt? Bohr zegt echter:

IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 69
Het zou van wanbegrip getuigen om te geloven dat de moeilijkheden van de atoomfysica ontweken
zouden kunnen worden door de begrippen van de klassieke fysica te vervangen door
nieuwe begrippen.
Bohr benadrukt dat hij met dit standpunt niet de introductie van nieuwe entiteiten (quarks, supersnaren,
zwarte gaten) afwijst. De aspecten van de klassieke taal die haar niet voor verbetering vatbaar
maken zijn volgens hem het gebruik van een beschrijving in termen van ruimte en tijd en in termen
van oorzaak en gevolg. Dit zijn de enige categorieën waarmee we waarnemingsresultaten kunnen
beschrijven.
Een ander probleem bij de onverbeterbaarheid van de klassieke begrippen is Bohrs onmiddellijke
conclusie dat het quantum van actie in de beschrijving van een fenomeen niet voor kan komen.
Een uitspraak als ‘h = 6.6 · 10 −34 Js’ is immers ook een ondubbelzinnige samenvatting van experimentele
evidentie (zij het niet van één fenomeen). Het idee dat h in de waarnemingstaal niet mag
optreden is een zwak, en eigenlijk onhoudbaar punt in zijn betoog. (Het verbod op het gebruik van
h in de waarnemingstaal bracht Bohr ook tot de onjuist gebleken conclusie dat de elektron-spin ( 1 2 )
principieel onwaarneembaar zou zijn.)
In sommige artikelen vind je dat Bohr een meer abstracte uitleg van het quantum-postulaat geeft
en de nadruk legt op de ‘symbolische’ rol van h. Ze verbeeldt niet zozeer de onvermijdelijke wisselwerking
(of meetstoring) tussen object en meetapparaat maar veel meer principiële onmogelijkheid
een scherp onderscheid tussen object en waarnemingapparaat te maken.
In ieder geval is duidelijk dat voor Bohr het formalisme van de quantummechanica, met zijn golffuncties
en operatoren, niet als zo’n uitbreiding of verbetering van de klassieke taal gezien wordt. Hij
benadrukt dat dit formalisme louter symbolisch is en niet als een beschrijving mag worden opgevat.
De quantumtoestand van een systeem wordt immers gegeven zonder verwijzing naar de meetopstelling.
Merk op dat Bohr bij zijn nadruk op de toepasbaarheid van begrippen meer dan alleen de ‘logische’
kwestie van ‘gedefineerdheid’ op het oog heeft. Voor Bohr is een begrip als ‘plaats van
een deeltje’ toepasbaar als we die plaats in feite kunnen beheersen en waarborgen (met stevig vastgeschroefde
apparaten). Bohrs gebruik van de term ‘bepaling’ (Eng.: determination) verwijst zowel
naar een meting als naar een toestandspreparatie.
Bohr ziet de onzekerheidsrelatie tussen plaats en impuls als de mogelijkheid een compromis te
sluiten in de complementariteit tussen plaats en impuls door over ‘gedeeltelijk gedefiniëerde posities
en impulsen’ te spreken. (We kunnen hierbij denken aan een meetcontext waarin het object in wisselwerking
komt met een deel van het apparaat dat door middel van een veer met eindige veerconstante
met de rest verbonden is, dus een tussenvorm tussen vrij beweegbaar en stevig verankerd.) Dit compromis
heeft hij echter niet uitgewerkt. In feite past deze visie niet bij de gebruikelijke wiskundige
afleiding van de onzekerheidrelaties voor plaats en impuls. Deze doen voor twee gegeven (scherpe)
grootheden p en q een uitspraak over de spreiding in alle quantumtoestanden, niet over de goedgedefineerdheid
van grootheden. In recent werk is gepoogd dit compromis wiskundig hard te maken, door
de introductie van ‘onscherpe grootheden’ (zie Bush, Gabrowski en Lahti, 1995).
Van fundamenteel belang in Bohr’s standpunt is dat in een fenomeen een object en een meetopstelling
betrokken zijn. De opstelling bepaalt welk begrippenkader op het object van toepassing
is. In veel gevallen zal de tegenstelling object/meetapparaat samenvallen met die van microscopisch/macroscopisch
systeem. Maar dat hoeft niet. Ook een macroscopisch systeem kan als object
worden beschouwd en eventueel kan een microscopisch systeem als meetapparaat dienst doen.

70 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Zo kunnen we bijvoorbeeld een macroscopisch meetapparaat als het object van een ander meting
beschouwen. Belangrijk is dat zodra we dit doen volgens Bohr het macroscopische systeem zijn
(definiërende) taak van meetapparaat niet langer kan uitoefenen. Het wordt dan zelf een object,
waarop het quantumformalisme moet worden toegepast. Deze functionele tegenstelling object/meetapparaat
is dus wezenlijker dan die tussen microscopisch/macroscopisch.
Voor een goed begrip van Bohrs (en Heisenbergs) positie is het van belang op te merken dat
metingen niet de aanwezigheid van een bewustzijn vereisen. Beslissend voor het toepasbaar zijn van
klassieke begrippen is het aanwezig zijn van een meetcontext. Het is dus niet zo dat een of andere
vorm van subjectiviteit een rol speelt; het maakt voor de toepasbaarheid van een begrip als ‘impuls’
niet uit of een bewuste waarnemer, een computer of een ander meetapparaat een impulsmeting uitvoert.
Ook mag uit de weigering van Bohr om een realistische betekenis aan de quantummechanische
beschrijving toe te kennen niet geconcludeerd worden dat hij een anti-realistische of ‘instrumentalistische’
visie op de natuurkunde aanhangt — instrumentalisme is grofweg de these dat een wetenschappelijke
theorie slechts een instrument is om berekeningen uit te voeren waarvan we de uitkomsten
vergelijken met wat meetapparaten aanwijzen, in het bijzonder is een theorie geen ‘kennis van de
wereld’, of geeft het een getrouw beeld van hoe de werkelijkheid in elkaar steekt. Een object zoals een
elektron heeft naast zijn quantummechanische toestand meer dan genoeg permanente eigenschappen
(zoals de supergeselecteerde grootheden massa en lading, die niet aan complementariteit onderhevig
zijn), om het als een reëel bestaand object op te kunnen vatten.
Overeenstemming en verschil tussen Heisenberg en Bohr Heisenberg en Bohr benadrukken allebei
dat de quantummechanica een volledige theorie is die niet is uit te breiden tot een meer gedetailleerde
beschrijving met verborgen variabelen. Bohr zegt (in Schilpp 1949, blz. 235):
. . . in de quantummechanica hebben we niet te maken met een willekeurige verwerping van een
meer gedetaileerde beschrijving van de atomaire verschijnselen, maar met de erkenning dat een
dergelijke analyse in beginsel is uitgesloten.
Ook Heisenberg laat zich in deze zin uit. Hij omschrijft de onzekerheidsrelaties als: “Zelfs in beginsel
kunnen we het heden niet kennen in ieder detail.” De opvatting dat achter de statistische
beschrijving van de quantummechanica nog een “echte wereld” ligt doet hij af als “vruchteloze en
zinledige speculatie”.
Volgens beiden is het zo dat de quantummechanische beschrijving niet op de gehele wereld
toegepast kan worden Er is immers altijd een meetcontext nodig die klassiek beschreven wordt. De
grens tussen dit klassieke en quantummechanische beschrijving kan naar willekeur verlegd worden
maar kan niet weggenomen worden. Quantummechanica is dus geen universele theorie in de zin dat
er zoiets als de ‘golffunctie van het universum’ zou bestaan.
Overeenstemming tussen Heisenberg en Bohr is er verder in het belang dat aan de meting wordt
gehecht. Het verschil is dat er volgens Heisenberg bij de meting iets verandert in het object: sommige
eigenschappen worden gecreëerd, andere verdwijnen of worden wazig. Volgens Bohr hoeft er niets
in het object te gebeuren. De meetopstelling maakt slechts een bepaalde beschrijving van het systeem
mogelijk die bij een andere meetopstelling ongeoorloofd zou zijn. Voor Bohr is de onzekerheidsrelatie
een symbolische (i.t.t. een beschrijvende) uitdrukking van de onmogelijkheid om in één fenomeen de
plaats en de impuls te definiëren. Verschil is ook dat Heisenberg meer neigt naar een realistische
interpretatie van het wiskundige quantumformalisme dan Bohr. (In een interview aan het eind van

IV.3. HET DEBAT TUSSEN EINSTEIN EN BOHR 71
zijn leven, heeft Heisenberg toegegeven dat hij het complementariteitsidee nooit echt heeft begrepen.)
IV.3
HET DEBAT TUSSEN EINSTEIN EN BOHR
Inleiding. Einstein, die zelf tot aan 1922 aan de ontwikkeling van de quantumtheorie heeft bijgedragen,
heeft de Kopenhaagse interpretatie nooit willen aanvaarden. Heisenberg vermeldt in zijn
herinneringen hoe hij bij een bezoek aan Berlijn zijn uitgangspunt dat de theorie uitsluitend over
waarneembare grootheden mocht gaan uitlegde, en — tot zijn verbazing — Einstein daar niets van
wou weten (“De theorie beslist pas wat men waarnemen kan.”) De voornaamste bron voor het verloop
van het debat is Bohrs eigen verslag hiervan is ‘Discussions with Einstein’ (in Schilpp 1949).
De allereerste keer dat Einstein zijn bezwaren in de openbaarheid bracht was bij de 5de Solvayconferentie
te Brussel in 1927. Einstein opperde daar dat er twee opvattingen mogelijk waren over de
quantummechanische golffunctie.
(i) De toestand ψ karakteriseert niet een individueel systeem maar een ensemble van gelijksoortig
geprepareerde systemen. Als beschrijving van het individuele systeem is ψ dus onvolledig; ψ
is een ‘statistische grootheid’.
(ii) De toestand geeft een zo volledig mogelijke beschrijving van het individuele systeem.
Opvatting (ii) werd door Heisenberg en Bohr verdedigd. Einstein bracht het volgende bezwaar
naar voren: als een deeltje door een nauwe spleet reist, zal de golffunctie door buiging zich over een
groot deel van de ruimte uitbreiden. Als dit een volledige beschrijving van het deeltje is, moeten we
concluderen dat het potentieel overal in dit gebied aanwezig is. Maar na detectie van het deeltje op
een fotografische plaat is het uitgesloten dat het nog elders wordt gevonden. De golffunctie moet daar
dus plotseling verdwijnen. Dit zou een merkwaardige werking op afstand inhouden. Dit bezwaar
geldt niet in optie (i), omdat de detectie daar eenvoudig correspondeert met de keus van een element
uit het ensemble.
Bohr benadrukte in zijn antwoord dat de buiging van de golffunctie door een spleet in een stevig
vastgeschroefd scherm zijn oorsprong vindt in de mogelijkheid van het deeltje om impuls met het
scherm uit te wisselen. Deze impuls uitwisseling is echter niet analyseerbaar binnen deze opstelling,
d.w.z. zonder het scherm los te schroeven.
De vraag of er een meer gedetailleerde beschrijving van het individuele geval mogelijk is vond
haar voorlopig hoogtepunt in de analyse van het gedachten-experiment met de dubbele spleet (zie
figuur). Als een monochromatische golf door een scherm met twee nauwe spleten reist is op een fotografische
plaat achter de spleet een interferentie-patroon zichtbaar. Dit is typerend voor golfgedrag,
waarbij de golven vanuit beide spleten samenwerken. Een individueel deeltje kan echter maar door
één spleet reizen. De golffunctie vertelt ons niet welke.
Einstein opperde nu dat het desondanks mogelijk was om informatie over door welke spleet het
deeltje reist te verkrijgen is, bijvoorbeeld door de impulsoverdracht aan het eerste scherm te meten.
Als dit scherm een stoot omlaag heeft gekregen zal het deeltje de bovenste spleet kiezen, en vice
versa.

72 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Figuur IV.2: Het interferentie-experiment met de dubbele spleet
Bohr geeft hierop het volgende antwoord. Als we de impulsoverdracht aan het scherm willen
meten met een nauwkeurigheid die groot genoeg is om de terugstoten behorende bij de paden door de
twee spleten te kunnen onderscheiden, moet de impuls van het scherm zelf zeer nauwkeurig bekend
zijn. Nu is, als d de afstand tussen de spleten voorstelt, en l de afstand tussen de schermen, de hoek
tussen de twee paden van de orde
α ≃ sin α = d l
(IV.4)
Het terugstootverschil is dan van de orde
p 0 sin α ≃ d
λl .
We moeten de impuls van het scherm dus met een onnauwkeurigheid
δp d
λl
(IV.5)
(IV.6)
kennen. Een dergelijk grote nauwkeurigheid is echter alleen als het te behalen als scherm beweegbaar
is. Het kan dan echter niet langer zijn functie vervullen als scherm dat een precieze plaats voor de
spleet vast legt. Het is dus niet langer deel van de oorspronkelijke meetcontext (zie figuur). In feite
moet, omdat we nu een meting aan het scherm gaan verrichten, het scherm zelf als een object worden
beschouwd. Dit houdt in dat de quantummechanica erop van toepassing is, en het scherm dus ook
aan een onzekerheidsrelatie onderworpen is. Er geldt dan dus
δq lλ d .
(IV.7)
Maar dit is een onbepaaldheid van dezelfde orde van grootte als de afstand tussen de interferentiebanden.
Bohr concludeert dat onder deze omstandigheden geen interferentie meer te zien is.
Hiermee kon hij de tegenwerping van Einstein tot een bevestiging van zijn complementariteitsidee
omvormen: zodra we proberen een nadere analyse van het fenomeen uit te voeren moeten we de
meetopstelling zo wijzigen dat het fenomeen onherkenbaar verandert. Een variant van dit gedachtenexperiment
kan tegenwoordig ook werkelijk in het laboratorium worden uitgevoerd, zoals we in een
volgende paragraaf zullen bespreken.

IV.3. HET DEBAT TUSSEN EINSTEIN EN BOHR 73
Figuur IV.3: Meetcontexten waarin de interferentie van de deeltjes zichtbaar is en die waarin de
terugstoot van het scherm waarneembaar is, sluiten elkaar uit.

74 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
De fotondoos. Bij de Zesde Solvay-Conferentie in 1930 te Brussel gaf Einstein een ander voorbeeld,
dat bekend is onder de naam ‘de fotondoos’. Hierbij gaat het om een geïsoleerde doos gevuld
met straling die uitgerust is met een klokmechanisme dat een sluiter gedurende een heel kort intervalletje
opent. We nemen aan dat de doos van te voren zeer goed gewogen is.
Nadat de sluiter geopend is geweest hebben we volgens Einstein nu een keus: ofwel we wegen de
doos opnieuw, en bepalen zo hoeveel massa er verdwenen is. Gebruikmakend van de relatie E = mc 2
kunnen we zo de energie van het ontsnapte foton achterhalen. Ofwel, we openen de doos en lezen
het klokmechanisme af om te bepalen wanneer de sluiter geopend is geweest. Hiermee kunnen we de
vertrektijd van het foton en dus zijn aankomsttijd bij een ver verwijderde detector voorspellen. We
kunnen tussen beide opties kiezen lang nadat het foton vertrokken is.
Bohrs antwoord is niet geheel helder. Aannemelijk is dat hij Einsteins intentie niet goed heeft
begrepen. 1 Hij legt het bezwaar van Einstein uit als een poging de onzekerheidsrelatie tussen energie
en tijd te ontkrachten; d.w.z. hij toont aan dat de twee bepalingen niet tegelijkertijd mogelijk zijn.
Bohrs antwoord luidt als volgt. Neem aan dat de doos aan een veer in een gravitatieveld in
evenwicht hangt. Wanneer er een massa δm ontsnapt in tijdsduur T , dan krijgt het een opwaartse
stoot (kracht maal tijdsduur dat de kracht werkt) ter grootte
g δm T .
(IV.8)
We kunnen T eindig houden door op een goed moment een gewichtje dat het massaverlies weer
compenseert aan de doos te hangen. Stel dat we de massa van het foton willen bepalen door deze
impulsoverdracht te meten dan moet, wederom, de beginimpuls van de doos precies bekend zijn.
δp g T δm .
(IV.9)
Maar nu treedt hetzelfde argument als bij de dubbele spleet in werking. Deze nauwkeurige impulsbepaling
is alleen mogelijk als de fixering van de positie van de doos wordt opgegeven. De doos moet
zelf als quantummechanisch object worden beschouwd, en dus is de onzekerheidsrelatie δp δq ≥ h
erop van toepassing. De plaats van de doos is dus onbekend met een onzekerheid ter grootte:
δq
gT δm .
Hieruit volgt dat ook de gravitatiepotentiaal φ g onzeker is waaraan de klok is blootgesteld
δφ g ≃ gδq
T δm .
(IV.10)
(IV.11)
Maar volgens de roodverschuivingsformule uit de algemene relativiteitstheorie (!) wordt de gang van
een klok beïnvloed door de gravitatiepotentiaal, volgens:
∆T
T
= δφ g
c 2 . (IV.12)
Dus ook de gang van de klok is onzeker, en dus is de openingstijd van de klok onbekend. Onder de
omstandigheden waarin we de energie van het foton kunnen bepalen, kunnen we dus zijn vertrektijd
niet precies achterhalen.
1 Dat Einstein inderdaad de bedoeling had om op de keuzevrijheid te wijzen blijkt uit een brief aan Bohr van Paul
Ehrenfest, die het argument eerder van Einstein hoorde.

IV.3. HET DEBAT TUSSEN EINSTEIN EN BOHR 75
Hoewel Bohr Einstein de oren lijkt te wassen met zijn eigen theorie, roept het antwoord van Bohr
o.a. de vraag op of het juist is dat de juistheid van quantummechanica berust op de juistheid van de
algemene relativiteitstheorie, die een klassieke theorie is, en er strict gesproken mee in tegenspraak
is.
OPGAVE 26. Probeer met de onzekerheidsrelatie voor tijd en energie (δt δE h) de redenering
van Einstein te ontkrachten zonder een beroep te doen op andere fysische theorieën.
Einstein, Podolsky en Rosen. Het gedachten-experiment van Einstein, Podolsky en Rosen (1935)
vormt het hoogtepunt van het debat. Hier komen de bezwaren van Einstein in hun meest zuivere
vorm naar voren. Er zijn twee systemen die ooit met elkaar in wisselwerking zijn geweest, maar nu
gescheiden zijn. We beschouwen twee niet-commuterende grootheden A en A ′ van het ene deeltje,
en B, B ′ van het andere deeltje. Meting van A laat ons een zekere voorspelling over B van het andere
deeltje doen. Meting van A ′ laat ons net zo een zekere voorspelling doen over B ′ van het andere
deeltje. Einstein geeft toe dat deze twee metingen niet tegelijk uitgevoerd kunnen worden. Maar
we kunnen kiezen welke meting we uitvoeren terwijl het andere deeltje heel ver weg is. Het is niet
redelijk, zo argumenteren EPR, dat dit andere deeltje beïnvloed wordt door deze keus. Dit betekent
dat hoewel we slecht één van beide zekere voorspellingen over het andere deeltje gedaan kan worden,
ze wel tegelijk allebei waar zijn, ofwel dat ze met eigenschappen van deeltje twee of ‘elementen van
de fysische wekelijkheid’ coresponderen.
Heisenberg, Bohr en Einstein, Podolsky en Rosen. Wanneer van één deeltje van een paar gecorreleerde,
ver van elkaar verwijderde, deeltjes de plaats wordt gemeten, hebben we te maken met een
fenomeen waarin het begrip positie toepasbaar is. Op grond van de correlatie tussen de deeltjes is
het begrip ‘positie’ dan ook op het tweede deeltje toepasbaar. Bij Heisenberg heeft de meting een essentiële
invloed. Sommige eigenschappen van het deeltje worden scherp, andere wazig. In dit geval
kan dit dus op afstand geschieden. Zou je dit effect van de meting opvatten als een fysische wisselwerking
dan zou dit leiden tot de volgende natuurlijke lokaliteitseis (Redhead 1987): een ‘wazige
waarde’ van een grootheid kan niet ogenblikkelijk overgaan in een scherpe waarde door metingen
die op een afstand van het object worden gedaan. De analyse van EPR toont aan dat aan deze eis niet
is voldaan. Dit maakt Heisenbergs interpretatie fysisch veel minder aanschouwelijk dan aanvankelijk
leek.
De lokaliteitseis met betrekking tot Bohrs interpretatie luidt (Redhead 1987): een aanvankelijk
ongedefinieerde waarde van een grootheid kan niet gedefinieerd worden door metingen ‘op een afstand’.
Ook deze eis is dus niet vervuld. Bohrs antwoord aan EPR, en zijn verwerping van de onvolledigheidsclaim,
komen er op neer dat bovenstaande lokaliteitseis geschonden kan worden zonder
dat dit het bestaan van superluminale fysische effecten impliceert. De definiërende werking van een
meetopstelling is niet een proces dat zich in ruimte en tijd voortplant en via een of andere wisselwerking
deeltje twee verstoort of een waarde van de positie in dat deeltje creëert. Het gaat om een
kentheoretische rol van de meetapparatuur. De meetapparatuur bij deeltje 1 definieert welke klassieke
begrippen van toepassing zijn, ook bij deeltje 2. Er wordt als het ware een ‘positie-perspectief’ op
de wereld geopend. Een impulsmeting aan deeltje 1 had op dezelfde wijze deeltje 2 toegankelijk
gemaakt voor een beschrijving met het begrip ‘impuls’. Weliswaar is er geen fysieke ingreep op
deeltje 2, maar toch is het niet toegestaan over deze eigenschappen van de deeltjes te spreken buiten
het verband van een fenomeen. De redenering van Einstein dat deeltje twee niet wordt verstoord door
de meting en daarom de eigenschappen ‘positie’ en ‘impuls’ ook onafhankelijk van de meting moet

76 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Figuur IV.4: De neutron-interferometer
bezitten, wordt daarom door Bohr van de hand gewezen.
In feite kan deze zelfde redenering ook met de dubbele spleet gevoerd worden (zoals Bohr in zijn
antwoord op EPR liet zien). Ook hier hebben we de keus ofwel een impulsmeting aan het scherm te
doen (en zo te bepalen welk pad het deeltje heeft genomen), danwel zijn positie te meten, waarmee
het interferentie-patroon weer teruggevonden kan worden. Ook deze keus kan gemaakt worden lang
nadat het deeltje het scherm heeft verlaten. Ook dit kan met uitgevoerde experimenten geïllustreerd
worden, zoals in de volgende paragraaf blijkt.
IV.4
NEUTRON-INTERFEROMETRIE
Een variant van het gedachten-experiment met de dubbele spleet kan tegenwoordig in het laboratorium
worden uitgevoerd met een neutron-interferometer. Een neutron-interferometer bestaat uit een
massief silicium-kristal met afmetingen van ca. 10 × 10 × 50 cm 3 . Hieruit zijn twee grote inkepingen
weggezaagd zodat een basis met drie opstaande tanden overblijft (zie figuur).
Een monochromatische bundel neutronen met een De Broglie-golflengte van ca. 1Å valt nu op
de eerste tand van dit kristal. Het kristalrooster werkt als een tralie en laat de bundel in zeer scherp
bepaalde richtingen door. Onder geschikte voorwaarden zijn er precies twee uittredende bundels, een
doorgaande (T) en een gereflecteerde (R). Bij de tweede tand herhaalt zich dit proces. Beide bundels
worden opnieuw gesplitst. Twee hiervan vallen nu buiten de interferometer en worden afgeschermd.
Zij doen verder niet meer mee. De overige twee worden naar elkaar toe gebogen en komen samen bij
de derde tand. Hier worden beide weer gesplitst, en de doorgaande bundel van het onderste pad wordt
gesuperponeerd op de gereflecteerde van het bovenste. In beide uitgaande bundels staan neutrondetectoren
opgesteld.

IV.4. NEUTRON-INTERFEROMETRIE 77
Figuur IV.5: Het interferentie-patroon in de neutron-interferometer wordt verkregen door de intensiteit
in de detectoren bij een variabel optisch weglengteverschil te meten. Een schets van de opstelling
en de experimentele resultaten. (Bron: Rauch 1983, blz. 277.)
Wanneer geen manipulaties met de bundels worden uitgevoerd blijkt dat alle neutronen in de
bovenste bundel komen. Er is daar positieve interferentie; de bundels in de onderste bundel doven
elkaar uit. Voor dit verschijnsel is het essentieel dat de de interferometer uit één kristal bestaat.
Daardoor blijven de golven coherent. Desondanks zijn ze onderweg over ‘macroscopische afstanden’
(±5 cm ≃ 10 9 λ) van elkaar gescheiden geweest.
Wanneer een neutron in een detector is aangeland kan het dus langs een van beide paden 1 of 2
hebben gereisd. Wanneer nu een faseverschil tussen de twee paden geintroduceerd wordt (door een
stukje aluminium van variabele dikte in een van de paden te schuiven), verschuift de intensiteit van de
bovenste naar de onderste detector. Deze intensiteit is een periodieke functie van de aluminiumdikte.
(Zie figuur.) Dit is het interferentie-patroon.
De vraag is nu natuurlijk of we op een of ander wijze kunnen achterhalen langs welk pad het
deeltje heeft gereisd. Dit zou, à la Bohr, mogelijk zijn door een van de tanden los te zagen en de
terugstoot die het van het neutron krijgt te meten. Dit experiment is echter niet met de vereiste
experimentele nauwkeurigheid uitvoerbaar. Een andere optie is gebruik te maken van het feit dat het
neutron een spin- 1 2
deeltje is en dus een interne vrijheidsgraad heeft.
We kunnen het experiment uitvoeren met een gepolariseerde bundel, waarbij alle neutronen bij
binnenkomst in de interferometer spin in de z-richting omhoog hebben. Bovendien plaatsen we de
hele opstelling in een homogeen magnetisch veld die zorgt dat spin omhoog en spin omlaag een
verschillende energie ω 0 heeft. In een van de paden plaatsen we een ‘spin-flipper’, dat is een spoeltje
waardoor een wisselstroom loopt die precies de resonantiefrequentie ω 0 heeft. Bij geschikte keus
van de lengte van de spoel zal de spin van ieder neutron dat hierdoor heen reist omgeklapt worden.
Bovendien plaatsen we spin-analysatoren voor de detectoren, opdat we niet alleen kunnen waarnemen
in welke uittredende bundel het neutron zich bevindt maar ook zijn spin in de z-richting.
In deze opstelling kunnen we dus precies achterhalen langs welk pad het deeltje is gereisd: spin
omhoog betekent immers het pad zonder spin-flipper; spin omlaag betekent dat het pad met spin-

78 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
flipper is gekozen. Maar in deze opstelling is geen interferentie meer te zien! De intensiteit is in
beide detectoren gelijk en onafhankelijk van het faseverschil.
We kunnen dit als volgt beschrijven. De baangolffunctie |φ 0 〉 ∈ L 2 (R 2 ) van een uittredend
neutron bestaat uit vier termen:
|φ 0 〉 = 1 2(
|φ1A 〉 + |φ 1B 〉 + e iχ |φ 2A 〉 + e iχ |φ 2B 〉 ) . (IV.13)
Hierbij stellen φ iA en φ iB de golffuncties voor die in de detectoren A en B belanden, en verwijzen
1 en 2 naar de twee mogelijk paden door de interferometer. De factor e iχ correspondeert met de
faseverschuiving door het aluminium. Als χ = 0, dan is er maximale positieve interferentie in A en
totale uitdoving in B; hieruit volgt algemeen:
|φ 1A 〉 = |φ 2A 〉 en |φ 1B 〉 = −|φ 2B 〉 . (IV.14)
De intensiteit in detector A wordt gegeven door de verwachtingswaarde van een projectie P A met
P A |φ iA 〉 = |φ iA 〉 en P A |φ iB 〉 = 0, en analoog voor P B . We vinden dus voor de intensiteit I A van
de neutronenbundel die detector A treft, quantummechaisch uitgedrukt als de kans om een neutron in
detector A aan te treffen (en mutatis mutandis voor I B ):
I A = 〈φ 0 |P A |φ 0 〉 = 1 (
4 〈φ1A | + 〈φ 2A |e −iχ)( |φ 1A 〉 + e iχ |φ 2A 〉 )
= 1 2
(1 + cos χ)
I B = 〈φ 0 |P B |φ 0 〉 = 1 (
4 〈φ1B | + 〈φ 2B |e −iχ)( 〈|φ 1B | + e iχ |φ 2B 〉 )
(IV.15)
= 1(1 − cos χ) 2
Als we nu met gepolariseerde neutronen werken kunnen we het spintoestand aan de baangolffunctie
toevoegen; zo krijgen we een Pauli-spinor:
( ( )
1 φ(⃗q)
|φ i,tot 〉 = |φ 0 〉 ⊗ |z ↑〉 = φ(⃗q) = ∈ L
0)
2 (R 3 ) ⊗ C 2 .
(IV.16)
0
De werking van de spin-flipper (die we voor honderd procent ideaal veronderstellen) is als volgt
weer te geven. De component van de toestand langs pad 1 ontmoet geen spin-flipper en blijft dus
ongewijzigd (we laten de karrewielen ⊗ weg):
|φ 1A 〉|z ↑〉 −→ |φ 1A 〉|z ↑〉 en |φ 1B 〉|z ↑〉 −→ |φ 1B 〉|z ↑〉 , (IV.17)
terwijl voor de componenten langs pad twee de spin-riching omkeert:
|φ 2A 〉|z ↑〉 −→ |φ 2A 〉|z ↓〉 en |φ 2B 〉|z ↑〉 −→ |φ 2B 〉|z ↓〉 . (IV.18)
De totale eindtoestand is nu dus
|φ f,tot 〉 = 1 2(
|φ1A 〉|z ↑〉 + |φ 1B 〉|z ↑〉 + e iχ |φ 2A 〉|z ↓〉 + e iχ |φ 2B 〉|z ↓〉 ) (IV.19)
en we krijgen voor de intensiteit
〈φ f,tot |P A ⊗ 11|φ f,tot 〉
(
〈φ1A |〈z ↑| + 〈φ 2A |〈z ↓|e −iχ)( |φ 1A 〉|z ↑〉 + e iχ |φ 2A 〉|z ↓〉 )
= 1 4
( )
(IV.20)
= 1 2 1 + cos χ Re〈z ↑|z ↓〉
= 1 . 2

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 79
We zien dat, vanwege de orthogonaliteit van de spin-toestanden |z ↑〉 en |z ↓〉, de interferentie-term
verdwijnt.
Het feit dat een keuzemogelijkheid altijd aanwezig is kan ook met de neutron-interferometer
geïllustreerd worden. We kunnen immers in plaats van de spin in de z-richting analysatoren voor spin
in de x-richting plaatsen. De eigenvectoren voor spin in de x-richting zijn superposities van die in de
z-richting:
( )
( )
|→〉 = √ 1 2 |z ↑〉 + |z ↓〉 en |←〉 = √ 1 2 |z ↑〉 − |z ↓〉 . (IV.21)
En de kans om bijvoorbeeld een neutron in detector A met spin in de negatieve x-richting te vinden, is
uit te rekenen als de verwachtingswaarde van de projector P A |←〉〈←| in de toestand |φ f,tot 〉 (IV.19):
〈φ f,tot |(P A ⊗ |←〉〈←|)|φ f,tot 〉
(
= 1 4
〈φ 1A |〈z ↑|P A |←〉〈←||φ 1A 〉|z ↑〉 + e iχ 〈φ 1A |〈z ↑|P A |←〉〈←||φ 2A 〉|z ↓〉
) (IV.22)
+ e −iχ 〈φ 2A |〈z ↓|P A |←〉〈←||φ 1A 〉|z ↑〉 + 〈φ 2A |〈z ↓|P A |←〉〈←||φ 2A 〉|z ↓〉
= 1 4 (1 − cos χ) .
OPGAVE 27. Verifieer de berekeningen (IV.20) en (IV.22).
In dit geval zien we dus de interferentie weer terug. Ook hier kunnen we kiezen of we spin in de
x-richting meten dan wel in de z-richting lang nadat het neutron de interferometer heeft verlaten.
Nogmaals, het lijkt alsof het neutron pas een keus maakt of het één bepaald pad door de interferometer
neemt dan wel interferentie tussen beide paden vertoont nadat het de interferometer heeft
verlaten. J.A. Wheeler noemde zulke experimenten delayed-choice experiments. Meetuitkomsten in
de toekomst lijken te bepalen wat in het verleden is gebeurd!
OPGAVE 28. Geef beknopt een Bohrse visie op zulke experimenten.
IV.5
DE ONZEKERHEIDSRELATIES
Inleiding Heisenberg’s oorspronkelijke redeneringen omtrent het onzekerheidsprincipe monden uit
in ‘ongeveer-ongelijkheden’ voor plaats (q) en impuls (p), en voor energie (E) en tijd (t) van de vorm:
δq δp ∼ h resp. δt δE ∼ h . (IV.23)
In deze paragraaf zullen we onze aandacht richten op de wiskundige betekenis van δq, δp, δE en δt
en hun interpretatie.
Heisenberg geeft in zijn eerste artikel als quantitatief voorbeeld alleen het Gaussisch golfpakket.
De Fourier-getransformeerde is dan eveneens Gaussisch en de breedtes van deze pakketten zijn omgekeerd
evenredig met elkaar — een algemeen resultaat uit de Fourier-analyse. Bij een geschikte definitie
van deze breedten heeft men dan q 1 p 1 = h, waarin q 1 en p 1 de bedoelde breedten voorstellen. Nog
in hetzelfde jaar leidde E.H. Kennard (1927) de volgende algemene ongelijkheid af:
∆ ψ Q ∆ ψ P 1 2
(IV.24)

80 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
af, waarin ∆ ψ Q en ∆ ψ P standaardafwijkingen van Q resp. P in ψ ∈ L 2 (R) zijn. In zijn Chicagolezingen,
gepubliceerd in 1930, beschouwt Heisenberg de Kennard-ongelijkheid (IV.24) als de wiskundige
uitdrukking van het onzekerheidsprincipe. We zullen deze opvatting, die nog steeds wijd
verbreid is, straks bekritiseren, maar we merken nu reeds op dat Bohr in zijn besprekingen van het
Onzekerheidsprincipe uitsluitend gebruik maakt van betrekkingen van het type (IV.23). We geven
een een afleiding van de ‘standaard-onzekerheisongelijkheden’, die een generalisering zijn van de
Kennard-ongelijkheid.
De standaard-onzekerheidsrelaties Zij ψ ∈ L 2 (R) de genormeerde golffunctie van een fysisch
systeem in de q-taal; dus ‖ψ‖ = 1. De golffunctie ˜ψ(p) in de p-taal is de Fourier-getransformeerde
van ψ:
∫
1
˜ψ(p) = √ e −ipq/ ψ(q) dq ,
(IV.25)
2π
met de inverse Fourier-transformatie:
∫
1
ψ(q) = √ e ipq/ ˜ψ(p) dp .
2π
R
R
De norm is invariant onder Fourier-transformaties; dus ‖ ˜ψ‖ = 1.
De standaardafwijking van de positie in een teostand |ψ〉 is gedefinieerd als
(IV.26)
(∆ ψ Q) 2 = 〈Q 2 〉 ψ − 〈Q〉 2 ψ
∫
= q 2 |ψ(q)| 2 dq −
en voor impuls geldt net zo:
R
( ∫ 2
q|ψ(q)| dq) 2 , (IV.27)
R
(∆ ψ P ) 2 = 〈P 2 〉 ψ − 〈P 〉 2 ψ
∫
= − 2 ψ ∗ (q) d2 ψ(q)
R dq 2 dq −
∫
= p 2 | ˜ψ(p)| 2 dp −
R
( ∫
− i ψ ∗ (q) dψ(q) ) 2
dq
R dq
( ∫ p| ˜ψ(p)|
2
dp) 2 , (IV.28)
R
We kunnen zonder verlies aan algemeenheid 〈P 〉 = 〈Q〉 = 0 stellen, zodat:
∫
∫
(∆ ψ P ) 2 = − 2 ψ ∗ (q) d2 ψ(q)
dq 2 dq = p 2 | ˜ψ(p)| 2 dp .
R
R
(IV.29)
Wanneer de golffunctie ψ(q) een Gaussisch golfpakket is, neemt het product de minimum-waarde
van /2 aan. Een voorbeeld is de grondtoestand van de harmonische oscillator met massa m (in 1
dimensie):
( mω0
) 1/4
φ 0 (q) =
e
−mωq 2 /2 , (IV.30)
π
met energie E 0 = 1 2 ω 0.

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 81
Voor we op de interpretatie van de Kennard-ongelijkheid (IV.24) ingaan, geven we eerst nog een
algemenere ongelijkheid, die is afgeleid door Schrödinger (1930).
Beschouw twee willekeurige zelf-geadjungeerde operatoren A en B die werken op Hilbertruimte
H. Definieer, voor een zuivere toestand |ψ〉 ∈ H, de volgende operatoren
A ψ := A − 〈A〉 ψ 11 en B ψ := B − 〈B〉 ψ 11 . (IV.31)
De verwachtingswaarden van deze operatoren zijn in toestand ψ gelijk aan 0:
〈A ψ 〉 ψ = 〈B ψ 〉 ψ = 0 . (IV.32)
De ongelijkheid van Cauchy & Schwarz (II.10, blz. 14) voor de vectoren A ψ |ψ〉 en B ψ |ψ〉 luidt:
〈A ψ ψ | A ψ ψ〉 〈B ψ ψ | B ψ ψ〉 ∣ ∣ 〈Aψ ψ | B ψ ψ〉 ∣ ∣ 2 . (IV.33)
Omdat A ψ en B ψ zelf-geadjungeerd zijn, kan men deze ongelijkheid ook als volgt schrijven:
〈A 2 ψ 〉 ψ 〈B 2 ψ 〉 ψ |〈A ψ B ψ 〉ψ| 2 . (IV.34)
Zij [·, ·] − de gebruikelijke commutator en [·, ·] + de anti-commutator (+teken in plaats van −teken),
dan wordt het rechterlid van vgl. (IV.34):
∣
∣〈A ψ B ψ 〉 ψ | 2 = | 1 2 〈[A ψ, B ψ ] − 〉 ψ + 1 2 〈[A ψ, B ψ ] + 〉 ψ
∣ ∣
2
omdat de kruisterm weg valt vanwege:
Verder is
= 1 4 |〈[A ψ, B ψ ] − 〉 ψ | 2 + 1 4 〈[A ψ, B ψ ] + 〉 2 ψ , (IV.35)
〈[A ψ , B ψ ] − 〉 ∗ ψ = −〈[A ψ, B ψ ] − 〉 ψ
〈[A ψ , B ψ ] + 〉 ∗ ψ = +〈[A ψ, B ψ ] + 〉 ψ .
[A ψ , B ψ ] − = [A , B] − ,
zodat we arriveren bij de ongelijkheid
〈A 2 ψ 〉 ψ 〈Bψ 2 〉 ∣
ψ 1 ∣
4 〈[A, B]− 〉 ψ 2 +
1
4〈
[Aψ , B ψ ] + 〉 2 ψ . (IV.36)
Een paar opmerkingen naar aanleiding van, en aanmerkingen op, de ongelijkheden (IV.24), (IV.37)
en (IV.36).
(i) Weglaten van de laatste term in het rechterlid van ongelijkheid (IV.36) geeft de bekendere,
maar zwakkere ongelijkheid eerst afgeleid door H.P. Robertson (1929):
〈A 2 ψ 〉 ψ 〈Bψ 2 〉 ∣ ∣
ψ 1 4
∣〈[A, B] − 〉 ψ 2 .
(IV.37)
(ii) Merk op dat 〈A 2 ψ 〉 ψ gelijk is aan het kwadraat van de standaardafwijking van de grootheid A
in de toestand ψ:
〈A 2 ψ 〉 ψ = 〈 (A − 〈A〉 ψ ) 2〉 = (∆ ψ A) 2 . (IV.38)

82 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
(iii) Voor het speciale geval A = Q en B = P gaat gaat de Robertson-ongelijkheid (IV.37) over
in de Kennard-ongelijkheid (IV.24). De uitdrukkingen (IV.27) en (IV.29) corresponderen met 〈Q 2 ψ 〉 ψ
in de q-taal resp. 〈P 2 ψ 〉 ψ in de p-taal.
(iv) Merk op dat bij de afleidingen van al deze onzekerheidsrelatie de interpretatie van de onzekerheden
geen rol speelt.
(v) Een bezwaar van de Robertson-ongelijkheid (IV.37) en de Schrödinger-ongelijkheid (IV.36)
is dat het rechterlid van de toestand afhangt en dus geen absolute ondergrens is voor alle toestanden.
Is ψ een eigentoestand van A, dan is het rechterlid van de Robertson-ongelijkheid (IV.37) nul en de
relatie geeft dan geen enkele restrictie op ∆B. Dus ook als A en B in geen enkele toestand tegelijk
scherp zijn (geen gemeenschappelijke eigentoestanden), volgt dit toch niet uit de ongelijkheid (IV.37).
Alleen indien het rechterlid van ongelijkheid (IV.37) voor alle toestanden ongelijk nul is, drukt
de Robertson-ongelijkheid het Onzekerheidsprincipe uit. Dat is het geval als de commutator een
veelvoud van de eenheid is, zoals bij P en Q. Men bewijst echter dat de canonieke commutatierelatie
[P, Q] − = −i11 alleen kan gelden voor onbegrensde operatoren die geen eigentoestanden
hebben in de, noodzakelijkerwijs oneindig-dimensionale, Hilbertruimte waarin ze werken.
(vi) Reeds in 1929 wees E.U. Condon op de volgende feiten (zie Jammer 1974, blz. 71). Nietcommuterende
operatoren kunnen in bepaalde toestanden beide scherp zijn. Men neme de grondtoestand
van het H-atoom, of iedere stationaire toestand met totaal baanimpulsmoment l = 0. Dit is
ook een eigentoestand van L x , L y L z met eigenwaarde 0. Dus ∆L x ∆L y = 0, en evenzo voor L x en
L z , en voor L y en L z , hoewel deze operatoren niet onderling commuteren. Dus het niet-commuteren
van operatoren garandeert geen onzekerheidsrelatie. Ook is het zo dat er soms een ongelijkheid geldt
voor commuterende operatoren. Neem weer een stationaire toestand van het H-atoom, met l = 1 en
m = 0. In die toestand is 〈[L x , L y ]〉 = 0, terwijl ∆L x ≠ 0 en ∆L y ≠ 0.
Concluderend, er zijn principiële bezwaren tegen het aanvaarden van de Schödinger-ongelijkheid,
en per implicatie de zwakkere ongelijkheden die eruit volgen, als de wiskundige uitdrukking van
Heisenberg’s Onzekerheidsprincipe.
En dit is nog niet alles.
Enkele-spleet-experiment Betrekkingen (IV.24) en (IV.37) worden in het overgrote deel van de
quantummechanica-boeken als de wiskundige uitdrukking van het Onzekerheidsprincipe beschouwd.
Afgezien van de zojuist geventileerde kritiek, is dit merkwaardig genoeg niet in overeenstemming
met de experimenten die als illustraties van dit beginsel ten tonele worden gevoerd (zie ook: Uffink
& Hilgevoord (1985,1988); zie verder Hilgevoord & Uffink (1988,1990)).
Beschouw de buiging van licht, of van elektronen, door een enkele spleet in een absorberend
scherm — een voorbeeld dat ook Heisenberg geeft. Neem voor de golffunctie op het scherm met de
spleet een eenvoudige blokfunctie:
ψ s (q) =
{
1/
√
2a als |q| ≤ a]
0 elders
, (IV.39)
waarin is 2a ∈ R + de spleetbreedte is, en q de Cartesische coördinaat evenwijdig aan het scherm en
loodrecht op de spleet. De Fourier-getransformeerde van ψ is
˜ψ s (p) =
√ a sin(ap/)
. (IV.40)
π ap/

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 83
2a |ψ(q)| 2
Figuur IV.6: The probability distribution in position for a slit of width 2a.
2π
a
|φ(p)| 2
Figuur IV.7: The diffraction pattern from a narrow slit
De golffunctie | ˜ψ s (p)| 2 heeft dezelfde vorm als het buigingspatroon van de spleet dat gevormd wordt
op een ververwijderde fotografische plaat (zie figuur).
Voor de standaardafwijking van plaats en impuls in toestand ψ s vinden we
∫
(∆ ψs Q) 2 = q 2 |ψ s (q)| 2 dq = 1 ∫ +a
q 2 dq = 1 3
2a
a2
respectievelijk
(∆ ψs P ) 2 =
Dus we krijgen
∫
R
R
−a
(IV.41)
p 2 | ˜ψ s (p)| 2 dp = 1 ∫
| sin(ap)| 2 dp = ∞ , (IV.42)
πa R
∆ ψs Q∆ ψs P = a √
3
∞ . (IV.43)

84 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Dit voldoet inderdaad aan de Kennard-ongelijkheid (IV.24), maar op een weinig interessante manier.
Hoewel ∆ ψs P = ∞, heeft de functie | ˜ψ| 2 in feite een zeer geprononceerde centrale piek, met
een breedte van de orde a −1 , waarin zich 95% van de totale waarschijnlijkheid bevindt. Het is de
omgekeerde evenredigheid van de breedte van deze centrale piek en de breedte van de spleet, die
volgens Heisenberg het Onzekerheidsprincipe illustreert: het is onmogelijk de waarschijnlijkheidsdichtheden
|ψ s (q)| 2 en | ˜ψ s (p)| 2 tegelijk willekeurig nauw te maken. Deze juiste conclusie kan echter
niet worden afgeleid uit de Kennard-ongelijkheid (IV.24). Als a → ∞, nadert | ˜ψ s (p)| 2 naar de deltafunctie
δ(p). De standaardafwijking ∆ ψ P blijft echter divergent. Met andere woorden: 95% van een
kansverdeling kan op een willekeurig klein interval worden geconcentreerd terwijl de standaardafwijking
van de verdeling willekeurig groot blijft. (Het wiskundige feit dat de standaardafwijking een
kwadratisch toenemend gewicht aan de staarten van een verdeling geeft, is verantwoordelijk voor dit
verschijnsel. Bij een Gaussische verdeling gaan deze staarten snel genoeg naar nul (een e-macht gaat
sneller naar 0 dan ieder polynoom naar ∞ gaat), maar voor veel golffuncties die in de natuurkunde
optreden divergeert de standaardafwijking.) Indien over de verdelingen |ψ s (q)| 2 en | ˜ψ s (p)| 2 niets
anders gegeven was dan de Kennard-ongelijkheid (IV.24), dan zouden deze verdelingen beide zeer
nauw kunnen zijn, zodat Heisenbergs conclusie niet uit de Kennard-ongelijkheid kan worden afgeleid
— in tegenstelling tot wat algemeen wordt beweerd. Niettemin is deze conclusie wel juist voor het
beschouwde voorbeeld.
Dit roept de vraag op Heisenbergs uitspraak algemeen geldig is. Waar we in feite in geïnteresseerd
zijn is in een maat voor de breedte van een kansverdeling die uitdrukt hoe breed de ongewogen
verdeling is.
De meest natuurlijke definitie van een dergelijke maat is het kleinste interval waarop een fractie
α ∈ [0, 1] van de totale kans ligt, waarbij men dan α = 0.95 of daaromtrent neme. Zij ρ een
kansdichtheid, dan luidt de definitie:
{
W α (ρ) := min [a, b] ⊂ R ∣
∫ b
Voor plaats en impuls in de quantummechanica definiëren we dan:
{
W α (Q, ψ) := min [a, b] ⊂ R ∣
{
W α (P, ψ) := min [a, b] ⊂ R
a
∣
}
ρ(x) dx = α . (IV.44)
∫ b
a
∫ b
a
}
|ψ(q)| 2 dq = α , (IV.45)
| ˜ψ(p)|
}
2 dp = α . (IV.46)
In 1961 is voor het eerst aangetoond dat ook het product van deze maten aan een onzekerheidsrelatie
voldoet, door H.J. Landau en H.O. Pollak (1961), nota bene in een industrieel ingenieurstijdschrift
van de Amerikaanse Bell Telephone Company:
W α (P, ψ) W α (Q, ψ) c α ,
(IV.47)
waarin α ∈ ( 1, 1] en c 2 α > 0 een constante is die alleen van α afhangt, en niet van ψ. Uit de
ongelijkheid van Landau & Pollak (IV.47) volgt wel dat de plaats- en impuls-kansdichtheden niet
tegelijk willekeurig nauw gemaakt kunnen worden, in de zin dat een fractie α op een willekeurig
klein interval is geconcentreerd. Hiermee is dan toch bewezen, zij het 34 jaar na de geboorte van

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 85
het Onzekerheidsprincipe, datgene waarvan iedereen dacht dat uit de standaard-onzekerheidsrelaties
volgt.
Voor de blokgolffunctie ψ s (IV.39) en haar Fourier-getransformeerde (IV.40) vinden we
W α (Q, ψ s ) ≃ a en W α (P, ψ s ) ≃ /a , (IV.48)
zodat het product in de orde van grootte van is.
IV.5.1
TIJD EN ENERGIE
In hetzelfde artikel waarin Heisenberg de onzekerheidsrelatie voor plaats en impuls introduceert, bespreekt
hij ook de onzekerheidsrelatie tussen tijd en energie, uitgaande van de ‘bekende’ vergelijking
Et − tE = ih. Deze vergelijking heeft voor veel problemen gezorgd. Als men t opvat als de universele
tijdparameter, dan moet het spectrum van de operator t de reële as zijn. Maar dan kan aan de
commutatie-relatie slechts voldaan worden door een energie-operator waarvan het spectrum eveneens
de reële as is. Aan de andere kant weten we dat het energiespectrum van quantummechanische systemen
meestal van onderen begrensd is en zelfs geheel of gedeeltelijk discreet kan zijn. Hieruit werd
al snel de conclusie getrokken dat er in de quantummechanica geen tijd-operator is (von Neumann
1932, Pauli 1933). In het licht van het wèl bestaan van een plaats-operator en met de relativiteitstheorie
in het achterhoofd leidde dit tot het gevoel dat er met ‘tijd’ iets vreemds aan de hand is in
de quantummechanica. Vrijwel alle leerboeken en artikelen over dit onderwerp getuigen hiervan.
Toch is hier sprake van een conceptuele verwarring die merkwaardig lang niet is opgemerkt. De
vergelijking tussen q en t gaat namelijk mank indien men t als universele tijdparameter opvat. Immers,
q is een dynamische variabele van een specifiek fysisch systeem, bijvoorbeeld van een deeltje,
en in een meer-deeltjessysteem zijn er dus vele q’s. Er is echter maar één tijdparameter. Deze behoort
niet tot een bepaald fysisch systeem maar moet op één lijn worden gesteld met de universele
plaatscoördinaten x, y, z, waarmee hij in de relativiteitstheorie wordt verbonden. Evenmin als de
plaatscoördinaten x, y, z, is de tijdcoördinaat t een operator in de quantummechanica. Slechts de dynamische
variabelen van fysische systemen worden operatoren. Het hierboven geschetste probleem
is dus een schijnprobleem.
Niettemin kan men zich afvragen of er dynamische variabelen bestaan die net zo ‘tijdachtig’
zijn (in de letterlijke zin) als q ‘plaatsachtig’ is. Het antwoord is bevestigend. Zulke variabelen
bestaan in systemen die we ‘klokken’ noemen. Denk bijvoorbeeld aan de positie of de orintatie van
de wijzer van een klok. (Maar ook heel simpele, microscopische systemen kunnen zulke variabelen
hebben.) Deze dynamische tijdvariabelen worden in de quantummechanica operatoren. Ze treden op
in specifieke systemen en zijn dus niet universeel. En net als bij andere dynamische variabelen is
het spectrum van zulke tijd-operatoren in de quantummechanica meestal niet de gehele reële as. (Zie
verder J. Hilgevoord, Am.J.Phys. te verschijnen.)
Dubbele-spleet-experiment Nog interessanter is het beroemde interferentie-experiment met de dubbele
spleet. De golffunctie op het scherm met de spleten is, in analogie met (IV.39):
{ √
1/ 2a q ∈ [−A − a, −A + a] ∪ [A − a, A + a]
ψ ds (q) =
0 elders
, (IV.49)

86 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
2A
2a
|ψ(q)| 2
Figuur IV.8: The double slit wave function
2π
a
2π
A
|φ(p)| 2
Figuur IV.9: The interference pattern from a double slit
waarin 2a weer de spleetbreedte en 2A de afstand tussen de spleten is, en A ≫ a. De Fouriergetransformeerde
van deze dubbele-blok-golffunctie ψ ds (IV.49) is:
√
2a
sin(ap/)
˜ψ ds (p) = cos(Ap/) . (IV.50)
π ap/
De functie | ˜ψ ds | 2 heeft weer dezelfde vorm als het interferentie-patroon van de spleten op een ver
verwijderde fotografische plaat. Er zijn nu echter twee parameters in het spel.
De spleet-afstand A is een maat voor de totale breedte van |ψ ds (q)| 2 , de ‘omhullende’ cosinusfactor
in (IV.50), terwijl de spleet-breedte a een maat is voor de ‘fijnstructuur’ van deze kansdichtheid.
Voor | ˜ψ ds (p)| 2 zijn de rollen omgekeerd; A −1 is een maat voor de breedte van de interferentie-lijnen,
terwijl a −1 een maat is voor de totale breedte van het interferentie-patroon. Dit toont het bekende feit
dat de breedte van de interferentie-lijnen en de afstand tussen de spleten omgekeerd evenredig met
elkaar zijn. We zullen direct zien dat Bohrs bespreking van het dubbele-spleet-experiment precies
hierop berust. Eerst merken we echter op dat
∆ ψds Q ≃ A en ∆ ψds P = ∞ ,
W α (Q, ψ ds ) ≃ A en W α (P, ψ ds ) ≃ /a .
(IV.51)

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 87
Figuur IV.10: Interferentie-patroon van elektronen die door een dubbele spleet gaan en de Fouriergetransformeerde.
OPGAVE 29. Verifieer de berekeningen (IV.51).
Geen van deze maten geeft de fijnstructuur. Derhalve kan Bohrs Kopenhaagse redenering (zie beneden)
op de Kennard-ongelijkheid (IV.24) noch op de ongelijkheid van Landau & Pollak (IV.47)
gebaseerd worden.
Een nieuwe onzekerheidsmaat De redenering van Bohr gaat als volgt. Een manier om te bepalen
door welke spleet het deeltje is gegaan is het meten van de terugstoot (in de q-richting) die het
scherm bij de passage van dit deeltje ondervindt. Het scherm moet daartoe kunnen bewegen in de
q-richting. In plaats van een vast scherm nemen we dus een scherm dat is opgehangen aan een veer.
De inkomende impuls p is loodrecht op het scherm. We onderstellen behoud van kinetische energie
(zwaar scherm) zodat alleen de richting van de impuls verandert. Een deeltje dat op de plaats x
van de fotografische plaat aankomt, heeft aan het scherm dus een terugstoot (x ± A/r)p gegeven,
al naar de spleet waardoor het is gegaan. Om het verschil in terugstoot te kunnen meten moet voor
de onnauwkeurigheid δP waarmee de impuls van het scherm van te voren bekend was, gelden dat
δP < (2Ap/r). Wegens de ongelijkheid δP δQ , geldt dan voor de onnauwkeurigheid waarmee
de positie Q van het scherm bekend was δQ > (r/2Ap). Maar de breedte van de interferentielijnen
op de fotografische plaat is juist (λr/2A) = (r/2Ap), waarin λ = /p de De Broglie-golflengte
is van het elektron. De onzekerheid in de positie van het scherm zal dus tot gevolg hebben dat het

88 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE
Figuur IV.11: Bewegend scherm.
interferentie-patroon wordt uitgewist.
Tot zover Bohr. We plaatsen enkele opmerkingen. In de eerste plaats zien we dat Bohr het
Onzekerheidsprincipe op het scherm toepast; hij behandelt dit macroscopische lichaam dus quantummechanisch.
In de tweede plaats gebruikt hij het Onzekerheidsprincipe op een kwalitatieve manier;
in het bijzonder geeft hij geen definitie van de onzekerheden δP en δQ. In de derde plaats is de
relevante onzekerheid in Q van de orde van grootte van de breedte (a −1 ) van de interferentielijnen.
Bohr heeft dus niets aan de Kennard-ongelijkheid (IV.24) of de ongelijkheid van Landau & Pollak
(IV.47), die deze breedte immers niet bevatten. Ten slotte laat Bohr niet zien hoe het uitwissen van
het interferentie-patroon precies in zijn werk gaat; hij vindt het kennelijk intuïtief duidelijk.
Uit het voorgaande moge duidelijk zijn dat er aan de wiskundige formulering van het Onzekerheidsprincipe
nog het een en ander ontbreekt. Men zou een relatie wensen die het verband uitdrukt
tussen de totale breedte van een verdeling in de q-taal (p-taal) en de fijnstructuur van de verdeling
in de p-taal (q-taal), zoals dit wordt vertoond door de golffunctie van de dubbele spleet, onderstellende
dat dit verband algemene geldigheid heeft. Tamelijk recent is het gelukt een dergelijke relatie
te vinden:
w α (Q, ψ) W α (P, ψ) C α en w α (P, ψ) W α (Q, ψ) C α , (IV.52)
waarin w α (·, ψ) ∈ R + een maat voor de breedte van de fijnstructuur van ψ, W α (·, ψ) ∈ R + is de
eerder ingevoerde maat voor de totale breedte van ψ, en C α > 0 is een constante die van α ∈ (0, 1]
afhangt en niet van de toestand ψ. Deze opgelijkheden drukken o.a. het in de optica bekende feit
uit dat het scheidend vermogen van een apparaat beter (slechter) wordt naarmate het apparaat groter
(kleiner) is. Zo is het scheidend vermogen van de microscoop beter naarmate het objectief groter is.
Evenzo kan men met een lange rij radiotelescopen beter de richting bepalen waaruit de straling komt
dan met een korte; etc.
De ongelijkheid (IV.52) lijken het probleem voor Bohr op te lossen. Een nadere beschouwing
leert echter wel dat W α (P, ψ) niet de geschikte maat is om mee uit te drukken dat het terugstootverschil
wel of niet kan worden waargenomen. Preciezer: W α (P, ψ) > (2Ap/r) garandeert niet dat

IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 89
dit terugstootverschil niet kan worden waargenomen. Anders gezegd, W α (P, ψ) mag in dit experiment
groot zijn, en dat maakt de ongelijkheid (IV.52) onwerkzaam. Het is in feite de vraag of
Bohrs argument überhaupt wel op een onzekerheidsrelatie gebaseerd kan worden. Niettemin is zijn
conclusie juist! Een directe berekening (van D. Hauschildt, ongepubliceerd) van het dubbele-spleetexperiment
leert namelijk dat de intensiteit van de interferentie, in het geval dat het scherm kan
bewegen, evenredig is met de factor
∣
∣〈χ| exp[i2ApQ sch /r]|χ〉 ∣ .
(IV.53)
Hierin is |χ〉 de toestand van het scherm en Q sch is de positie-operator van het scherm. De toestand
[ ]
|χ ′ 2iApQsch
〉 := exp
|χ〉
(IV.54)
r
is de toestand waarvan het impulsspectrum ten opzichte van dat van de toestand |χ〉 over 2Ap/r is
verschoven:
〈
〈p|χ ′ 〉 = p − 2Ap
〉
∣ χ . (IV.55)
r
De factor (IV.53) is dus precies de quantummechanische uitdrukking voor de mate waarin de toestand
van het scherm na de terugstoot onderscheiden kan worden van die voor de terugstoot. Is het
impulsspectrum van |χ〉 breed ten opzichte van 2Ap/r dan zal de overlapping (IV.53) groot zijn, te
weten bijna 1. Dan zijn |χ〉 en |χ ′ 〉 slecht van elkaar te onderscheiden en de interferentie is dan groot.
Bevat het impulsspectrum van |χ〉 alleen maar pieken die smal zijn ten opzichte van 2Ap/r, dan is
(IV.53) klein. De toestanden |χ〉 en |χ ′ 〉 zijn dan goed te onderscheiden en de interferentie is klein. De
essentie van Bohrs redenering is dus juist: naar de mate waarin het scherm als een meetapparaat voor
het bepalen van de spleet waardoor een deeltje gaat kan dienen, verdwijnt de interferentie. Of deze
redenering op een onzekerheidsrelatie kan worden gebaseerd, is tot op de dag van vandaag onbekend.
Interpretatie De statistische interpretatie van de onzekerheid W α (A, ψ) is dat het een maat is voor
de voorspelbaarheid van een meetuitkomst gegeven een kansverdeling, en is niets anders dan de gangbare
statistische interpretatie van de standaardafwijking. Hoe of we deze onzekerheid fysisch moeten
begrijpen hangt direct af van hoe we quantummechanische kansen fysisch moeten begrijpen. Daar
zullen we het nog uitvoerig over hebben. Het getal w α (A, ψ) gaat over hoe de toestand ψ (kansverdeling)
te onderscheiden is van een andere toestand (andere kansverdeling) wanneer men grootheid A
meet die met operator A correspondeert; ook dit is niets anders dan de gangbare statistische interpretatie
van deze maat.

90 HOOFDSTUK IV. DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE

V
VERBORGEN VARIABELEN
Ofschoon we aangetoond hebben dat de golffunctie geen volledige beschrijving geeft van
de fysische werkelijkheid, hebben we de vraag open gelaten of een volledige beschrijving
bestaat. Wij geloven echter dat een dergelijke theorie mogelijk is.
— Einstein, Podolsky en Rosen
Toch zult u begrepen hebben dat ik nog steeds in de verborgen variabelen geloof.
— Gerard ’t Hooft
We maken kennis met zogeheten ‘verborgen-variabelen-theorieën’ en de motivatie zulke theorieën
te beschouwen. We onderzoeken of het mogelijk is zo’n ‘verborgen-variabelen-theorie’
onder de quantummechanika te schuiven, ongeveer zoals men de klassieke mechanica onder
de klassieke statistische mechanica kan schuiven. We behandelen de beroemde onmogelijkheidsstellingen
van Von Neumann en van Kochen & Specker.
V.1 VERBORGEN WERKELIJKHEID
De quantummechanica is grosso modo een theorie over meetuitkomsten: over welke waarden wij
zullen aantreffen bij meting en wat de kans op welke waarde is. Volgens de Kopenhaagse visie is
deze beschrijving bovendien volledig: er is niet meer over een fysisch systeem te zeggen. De quantummechanica
gaat zodoende uitsluitend en alleen over het waarneembare gedrag van meetapparaten.
Dit is bizar. In de gehele geschiedenis van de natuurkunde zien we dat het doel van een theorie
is ons iets te vertellen over hoe de werkelijkheid in elkaar zit, hoe te verklaren wat wij om ons heen
waarnemen. Meten is de wetenschappelijk manier bij uitstek om te toetsen of een gegeven theorie of
hypothese aan dit doel beantwoordt, of om gegevens te vergaren die ons helpen theorieën te selecteren.
Meten is niet het doel, meten is een middel. De quantummechanica lijkt meer op een middel dan op de
beantwoording aan dit doel. Het onderwerp van fysische theorieën, de fysische werkelijkheid, komt
in het quantummechanische verhaal niet voor — in tegenstelling tot vrijwel alle andere theorieën in
de klassieke fysica.
Het is, vanuit dit licht, aannemelijk dat de quantummechanica een soort van jas is, die moet
worden gedragen door een onderliggende theorie over de fysische werkelijkheid, ten einde op de
juiste manier contact te maken met wat in het laboratorium plaatsgrijpt. Omdat die theorie onder de
quantummechanische jas verborgen zit, zullen we spreken van een ‘verborgen-variabelen-theorie’.
Laten we zaak vervolgens eens niet vanuit de quantummechanica bekijken, maar vanuit ‘de fysische
werkelijkheid’ — we nemen als werkhypothese dat er zoiets bestaat als ‘de fysische werkelijkheid’.
Het gedrag van radio-actieve atoomkernen (zoals besproken in de Inleiding blz. 3) suggereert
dat individuele kernen van elkaar verschillen: ze vertonen immers een verschillende levensduur en
zenden α-deeltjes uit met verschillende impuls. De gedachte ligt voor de hand dat dit verschil in
gedrag een oorzaak heeft, die gevonden kan worden in onderling verschillende eigenschappen van

92 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
de individuele kernen, in hun fysische toestand. De quantummechanica geeft ons deze verschillen
niet, maar misschien is er een toestandsbeschrijving die uitgaat boven wat de quantummechanica
ons vertelt. In die aanvullende beschrijving zouden we wensen dat de verschijnselen die men aan
een individuele kern waarneemt, eenduidig volgen uit de toestand van die kern. Een dergelijke beschrijving
vereist extra variabelen ten opzichte van de quantummechanische beschrijving. Het is
denkbaar dat deze variabelen niet alle toegankelijk zijn voor onze huidige (en eventueel toekomstige)
waarnemingsmogelijkheden. Ze zijn dus voor ons ‘verborgen’; maar ze moeten er zijn om de
waargenomen verschillen te verklaren. De quantummechanische toestanden zouden dan corresponderen
met kansverdelingen over de door deze variabelen beschreven toestanden. Deze kansverdelingen
zouden slechts onze onwetendheid met betrekking tot de precieze fysische toestand uitdrukken.
De situatie zou in dit opzicht geheel analoog zijn aan die in de klassieke statistische mechanica. EPR
geloofden dat het in beginsel mogelijk moet zijn een dergelijke theorie te construeren.
Een dergelijke poging om de quantummechanica op te vatten als een klassiek-achtige statistische
theorie noemt men een verborgen-variabelen-theorie (VVT ) — het lichaam onder de quantummechanische
laboratoriumjas. Men gaat dan uit van de quantummechanica als zijnde empirisch toereikend
en onderzoekt of het in beginsel mogelijk is deze beschrijving te baseren op een VVT.
Een belangrijk onderscheid tussen verschillende typen van deze fysische theorieën betreft de
vraag of de verborgen variabelen die de fysische toestand van het systeem beschrijven af mogen
hangen van welke grootheid aan het systeem gemeten wordt. Theorieën waarin dat is toegestaan noemen
we contextueel (§V.4), de overigen autonoom (§V.2). Een andere belangrijke tweedeling heeft
met determinisme te maken. Hoewel het de doelstelling van een VVT is de quantummechanische beschrijving
van een fysisch systeem aan te vullen, volledig te maken, is daarmee nog niet gezegd dat
met deze aanvulling het precieze toekomstige gedrag van dit systeem geheel kan worden voorspeld;
het is denkbaar dat ook de VVT slechts kansen op mogelijke gebeurtenissen vastlegt. We spreken
in dat laatste geval van een indeterministische, of stochastische, VVT. We zullen in dit hoofdstuk
slechts deterministische verborgen-variabele-theorieën bespreken; op stochastische komen we terug
in Hoofdstuk VII.
V.2 AUTONOME VERBORGEN VARIABELEN
We proberen de quantummechanica te reconstrueren analoog aan de statistische mechanica. We gaan
uit van een ruimte Λ analoog aan de faseruimte Γ. Een willekeurig ‘punt’ in die ruimte Λ geven
we aan met λ. We leggen van te voren geen enkele beperking op aan de wiskundige gedaante van
λ. De variabele λ mag van alles voorstellen, bijvoorbeeld een enkele reële variabele, een oneindigdimensionaal
vectorveld, complexe functionalen, etc. De mogelijkheden zijn onbeperkt — het enige
wat nodig zal blijken is dat men er een ‘maat’ op kan leggen. Eventueel kan ook de quantummechanische
toestand als onderdeel in de specificatie van λ zijn opgenomen. Dat we hier over een ‘klassiek’
statistisch model spreken wil dus niet zeggen dat de VVT hoeft te lijken op klassieke mechanica,
laat staan dat λ de positie en impuls van de deeltjes specificeert — al nemen we die mogelijkheid
natuurlijk wel mee.
Een zuivere fysische toestand correspondeert met een enkele ‘punt’ in Λ, met een waarde van de
variabele λ. We onderstellen dat het systeem altijd in één van de toestanden λ ∈ Λ is, ook al weten
we niet welke. Een algemene, ‘gemengde’ toestand is een kansverdeling over Λ. Bij gegeven λ heeft

V.2. AUTONOME VERBORGEN VARIABELEN 93
iedere fysische grootheid A een precieze waarde, genoteerd door A[λ], die bij meting van A wordt
onthuld; een fysische grootheid A kan dus voorgesteld worden als een reële functie op de ruimte:
A : Λ → R. Verder dient minstens iedere door de quantummechanica gerepresenteerde grootheid
een tegenhanger te hebben in de VVT. We gaan er vanuit dat de waarden die A[λ] aanneemt, ook de
waarden zijn die men vindt bij een meting van A; correspondeert functie A : Λ → R met de grootheid
A, dan zijn de waarden die A[λ] kan aannemen dus de spectrumwaarden van de zelf-geadjungeerde
operator A : H → H die volgens de quantummechanica met grootheid A correspondeert.
Ook moet iedere quantummechanische toestand in de VVT gerepresenteerd kunnen worden: voor
iedere toestandsoperator W is er een kansverdeling ρ W over Λ. Het is echter niet nodig dat zuivere
quantumtoestanden corresponderen met zuivere verborgen-variabelen-toestanden. Het idee immers
is dat de VVT een meer gedetailleerde, een volledige beschrijving van het systeem toelaat. Evenmin
is het nodig dat iedere kansverdeling op Λ met een toestandsoperator correspondeert — de VVT mag
gerust een rijkere theorie zijn dan de quantummechanica.
De eis dat de VVT de empirische uitspraken van de quantummechanica reproduceert, luidt nu dat
de verwachtingswaarden van de grootheid A die hoort bij een fysisch systeem in een fysische toestand
die in de VVT met ρ W correspondeert, en in de quantummechanica met W , samenvallen:
∫
A ρW := A[λ]ρ W (λ) dλ = Tr AW ,
(V.1)
Λ
waarin ρ W : Λ → [0 ∞) een kansdichtheid is, d.w.z.
∫
ρ W (λ) dλ = 1 .
Λ
Voor een zuivere toestand |ψ〉 reduceert (V.1) tot
∫
A[λ]ρ ψ (λ)dλ = 〈ψ|A|ψ〉 .
Λ
In het discrete geval veranderen de integralen in sommen.
Samengevat: een autonome VVT is iedere theorie die aan de volgende eisen voldoet.
(V.2)
(V.3)
(i) Iedere fysische toestand van een fysisch systeem correspondeert met een kansverdeling ρ over
Λ.
(ii) Iedere fysische grootheid A correspondeert met een functie A : Λ → R, λ ↦→ A[λ].
(iii) Het bereik van A : Λ → R uit het Grootheden-postulaat valt samen met het spectrum van
de zelf-geadjungeerde operator A die volgens de quantummechanica met grootheid A correspondeert.
En de verwachtingswaarde van A wanneer het fysische systeem in de fysische toestand
ρ W is uit het Toestand-postulaat, die volgens de quantummechanica met toestandsoperator
W correspondeert, is gelijk aan de quantummechanische uitdrukking voor de verwachtingswaarde
(V.1):
∫
A ρW := A[λ]ρ W (λ) dλ = Tr AW .
Λ

94 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
Aangezien alle kansen in de quantummechanica te schrijven zijn als Tr P W , met P ∈ P(H), volgt
uit V.2 dat ook alle kansverdelingen in quantummechanica samenvallen met de corresponderende
kansverdelingen in de VVT.
Dit leidt tot een scherpere formulering van het volledigheidsprobleem: is een VVT mogelijk die
aan de bovenstaande eisen voldoet? Dit is inderdaad mogelijk, en wel op triviale wijze door Λ groot
genoeg te kiezen. We illustreren dit aan de hand van een eenvoudig voorbeeld.
Stel dat er slechts drie grootheden A, B, C zijn, met mogelijke waarden {a 1 }, {b 1 , b 2 }, {c 1 , c 2 } en
voorgesteld door functies A, B, C : Λ → R. De mogelijke waardencombinaties zijn dus (a 1 , b 1 , c 1 ),
(a 1 , b 1 , c 2 ), (a 1 , b 2 , c 1 ) en (a 1 , b 2 , c 2 ). We construeren nu een ruimte Λ door iedere waardencombinatie
te identificeren met met een punt van Λ. Als we deze punten aangeven met λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 , dan is
A[λ 1 ] = a 1 , B[λ 3 ] = b 2 , C[λ 4 ] = c 2 , etc. Zijn er meer grootheden, dan breiden we Λ navenant uit.
We moeten nu een kansmaat µ : F(Λ) → [0, 1] introduceren, met ∑ j µ(λ j) = 1, zodanig dat aan
vgl. (V.3) is voldaan, want dat schrijft het Quantum-criterium voor. (Λ ⊂ R is in dit geval discreet en
bestaat slechts uit vier punten; de integraal in (V.1) wordt daardoor een som.) Er moet bijvoorbeeld
gelden voor grootheid B:
Tr BW =
4∑
B[λ j ]µ W (λ j )
j=1
(V.4)
= b 1
(
µW (λ 1 ) + µ W (λ 2 ) ) + b 2
(
µW (λ 3 ) + µ W (λ 4 ) ) . (V.5)
Hieraan voldoet
µ W (a i , b j , c k ) = Tr(P ai W ) Tr(P bj W ) Tr(P ck W ) , (V.6)
waarin P ai de projector op de deelruimte bij de eigenwaarde a i van A is, etc. Want inderdaad, volgens
de quantummechanica is B = b 1 P b1 + b 2 P b2 , dus:
TrBW = b 1 Tr(P b1 W ) + b 2 Tr(P b2 W ) ,
(V.7)
terwijl
µ W (λ 1 ) + µ W (λ 2 ) = µ W (a 1 , b 1 , c 1 ) + µ W (a 1 , b 1 , c 2 ) (V.8)
= Tr(P a1 W ) Tr(P b1 W ) ( Tr(P c1 W ) + Tr(P c2 W ) ) (V.9)
= TrP b1 W , (V.10)
want
P a1 = 11 , P b1 + P b2 = 11 , P c1 + P c2 = 11 . (V.11)
Evenzo vinden we
µ W (λ 3 ) + µ W (λ 4 ) = Tr(P b2 W ) . (V.12)
Dus aan (V.4) is voldaan. Hetzelfde geldt voor de verwachtingswaarden van A en C.
Hebben we algemeen grootheden A, B, C, . . . , F , met waarden a i , b j , c k , . . . f l waar i = 1, . . . , n A ;
j = 1, . . . , n B , etc.), dan voldoet de maat
µ W (a i , b j , c k , . . . , f l ) = Tr(P ai W ) Tr(P bj W ) Tr(P ck W ) · · · Tr(P fl W ) , (V.13)

V.2. AUTONOME VERBORGEN VARIABELEN 95
aan de eis (V.3) voor alle grootheden. Bijvoorbeeld, de kans om voor grootheid A de waarde a i te
vinden is
Prob µ W
(A : a i ) =
∑
µ W (a i , b j , c k , . . . , f l ) = Tr(P ai W ) (V.14)
j,k... ,l
want alle anderen sommeren tot 1. Dit geeft dus het vereiste quantummechanische resultaat. Voor de
formulering van dit idee in het continue geval, zie Kochen & Specker (1967).
De hierboven gegeven oplossing van het volledigheidsprobleem is echter fysisch niet erg interessant.
Uit de factoriserende kansen in de formule (V.6) blijkt dat alle grootheden hier als statistisch
onafhankelijk worden behandeld. Dat is niet in overeenstemming met de fysische praktijk. Sommige
grootheden zijn een functie van andere grootheden, zoals kinetische energie van de impuls:
E kin = p 2 /2m; andere grootheden leggen een verband met twee of meer andere grootheden, zoals de
totale, de kinetische en de potentiële energie (E = E kin +E pot ). In de zojuist geschetste VVT hebben
we zulke verbanden genegeerd.
Om dit te zien nemen we aan dat in ons voorbeeld C = A + B. Dan is c 1 = a 1 + b 1 en
c 2 = a 1 + b 2 . De waardentoevoegingen in de VVT zijn dan:
(a 1 , b 1 , a 1 + b 1 ) , (a 1 , b 1 , a 1 + b 2 ) , (a 1 , b 2 , a 1 + b 1 ) , (a 1 , b 2 , a 1 + b 2 ) . (V.15)
Dus (A + B)[λ] is niet voor alle λ gelijk aan A[λ] + B[λ]. Niettemin reproduceert de VVT (per constructie)
alle quantummechanische verwachtingswaarden. Met andere woorden, de VVT reproduceert
de relatie
〈ψ|(A + B)|ψ〉 = 〈ψ|A|ψ〉 + 〈ψ|B|ψ〉 ,
(V.16)
zonder dat hoeft te gelden dat
(A + B)[λ] = A[λ] + B[λ] . (V.17)
Zou je dit laatste wel eisen, dan zou Λ slechts uit de punten (a 1 , b 1 , a 1 + b 1 ) en (a 1 , b 2 , a 1 + b 2 )
bestaan, wat uiteraard een sterke beperking is.
In het allereerste bewijs van de onmogelijkheid van een VVT, dus van de onoplosbaarheid van
het volledigheidsprobleem, afkomstig van Von Neumann (1932), is de eis (V.17) wel opgelegd aan de
VVT. Von Neumann eist (V.17) echter voor iedere verborgen-variabelen-toestand, in het bijzonder
ook voor de zuivere verborgen-variabelen-toestanden; dat wil zeggen, er moet gelden voor alle λ ∈ Λ:
(A + B)[λ] = A[λ] + B[λ] . (V.18)
Daar de waarden van A[λ], etc. de eigenwaarden van de corresponderende operatoren moeten zijn, is
onmiddellijk te zien dat hieraan in het algemeen niet kan worden voldaan.
Beschouw bijvoorbeeld de spin-operatoren in C 2 (de Pauli-matrices):
σ x =
( 0 1
1 0
)
, σ y =
( 0 −i
i 0
)
en σ x + σ y =
( 0 1 − i
1 + i 0
)
. (V.19)
De eigenwaarden van σ x en σ y zijn ±1, die van (σ x +σ y ) zijn ± √ 2. Aan (V.18) kan dus niet voldaan
worden.

96 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
J.S. Bell (1966) heeft opgemerkt dat de eis (V.18) fysisch onredelijk is. Immers, de meting van σ x ,
σ y en σ x + σ y vereist drie verschillende meetapparaten, bijvoorbeeld Stern-Gerlach-magneten in drie
verschillende oriëntaties. Er is geen enkele reden om te veronderstellen dat er tussen de individuele
uitkomsten van deze metingen een algebraïsch verband zou bestaan. Dat in de quantummechanica
de relatie (V.16) bestaat voor zuivere toestanden, ook als A en B niet commuteren, moet als een
bijzondere eigenschap van de quantummechanica worden gezien.
Aangezien de eis (V.18) van Von Neumann onredelijk sterk is, kan men zich afvragen of er geen
andere, redelijke, eisen zijn die aan een VVT kunnen worden opgelegd om een aanvaardbare oplossing
van het volledigheidsprobleem te vinden. Dit voert ons de volgende paragraaf in.
V.3 DE STELLING VAN KOCHEN & SPECKER
Beschouw de fysische grootheden A en ‘A 2 ’ correspnderend met operatoren A en A 2 . In de speelgoed-
VVT (V.13) uit §V.2 worden deze als onafhankelijk beschouwd. Dat wil zeggen, als a 1 , a 2 ∈ R
de eigenwaarden van A zijn, dan laat deze VVT een waardetoekenning λ toe, bijvoorbeeld A =
a 1 , A 2 = a 2 2 , waarbij A2 [λ] ≠ (A[λ]) 2 . In termen van meetprocedures is dit onredelijk. Immers,
een algemeen erkende meetprocedure voor A 2 is: meet A en kwadrateer het resultaat. In de quantummechanica
geldt de volgende stelling: als de operatoren A, B, C, . . . commuteren, dan is er een
maximale operator O waarvan ze een functie zijn:
A = f(O) , B = g(O), etc. (V.20)
Een meetprocedure voor A, B, C, . . . is dan: meet O en pas het functieverband op het resultaat toe
om de waarden voor A, B, C, . . . te vinden. Kochen & Specker noemen de grootheden die corresponderen
met A, B, C, . . . gezamenlijk meetbaar (Eng.: commeasurable). Het lijkt nu redelijk te eisen,
zoals Von Neumann deed in zijn functie-regel uit zijn Structuur-postulaat, dat de VVT eveneens deze
structuur heeft, dat wil zeggen als B = f(A), dan is B[λ] = f(A[λ]), ofwel:
(fA)[λ] = f ( A[λ] ) .
(V.21)
Uit de functie-regel (V.21) volgt de zogenaamde som-regel voor commuterende operatoren:
[A, B] = 0 =⇒ (A + B)[λ] = A[λ] + B[λ] . (V.22)
Bewijs. Laat [A, B] = 0 . Dan is er een operator O zo dat A = f(O) en
impliceert dat (A + B) = h(O) met h = f + g. Uit (V.21) volgt dan in de VVT
(A + B)[λ] = h(O)[λ] = h ( O[λ] )
= f ( O[λ] ) + g ( O[λ] )
= (fO)[λ] + (gO)[λ]
= A[λ] + B[λ] . □
B = g(O). Dit
(V.23)
OPGAVE 30. Bewijs uit (V.21) tevens de product-regel voor commuterende operatoren:
[A, B] = 0 =⇒ (AB)[λ] = A[λ] B[λ] .

V.3. DE STELLING VAN KOCHEN & SPECKER 97
We zullen nu laten ziem hoe de alleszins redelijke eis (V.21) een VVT van de quantummechanica
toch onmogelijk maakt.
STELLING (KOCHEN & SPECKER: Een VVT die voldoet aan (i)-(iii), en de functieregel
(V.21) bestaat niet als dim H > 2.
Bewijs. Voor ieder stel onderling loodrechte projectoren P 1 , . . . , P N geldt dat ze onderling commuteren:
[P i , P j ] = 0 Bovendien is e3en willekeurige som van dergelijke projectoren weer een
projector:
∑
P i = P ∈ P(H) .
i
(V.24)
Volgens de som-regel (V.22) moet dus gelden
∑
P i [λ] = P [λ] .
i
(V.25)
Maar de waarden P i [λ] zijn de eigenwaarden van de operatoren P i , dus 0 en 1; evenzo voor
P [λ]. (Deze waarden volgen ook uit (V.21).) Maar dan voldoet de waardetoevoeging P i [λ] aan
de projectoren aan de eisen voor een kansmaat op P(H), d.w.z.
µ λ (P i ) := P i [λ] ∈ {0, 1} . (V.26)
is een genormeerde, additieve afbeelding op de deelruimten van H. Volgens de Stelling van
Gleason (III.26, blz. 38) is deze kansmaat altijd te schrijven als
µ λ (P i ) = Tr(P i W λ ) , (V.27)
voor zekere toestandsoperator W λ , mits dim H > 2. Er is echter een tegenspraak tussen (V.27)
en (V.26): De maat (V.27) is continu: een kleine verandering van de richting van P i geeft een
kleine verandering van µ(P i ). De maat (V.26) is echter noodzakelijk discontinu omdat µ(P i )
geen andere waarden dan 0 en 1 aanneemt. De conclusie luidt dat een toekenning van waarden
aan grootheden die voldoet aan (V.21), en dus aan (V.25), is onmogelijk. Een VVT van dit type is
dus niet mogelijk. □
Bij het bewijs maakten we gebruik van de moeilijk bewijsbare en niet erg inzichtelijke stelling
van Gleason. Er zijn ook directe bewijzen gegeven voor de onmogelijkheid van de gevraagde waardentoekenning:
Bell (1966) geeft een illustratie, Kochen & Specker (1967) bewijzen het als eeste
algemeen (dus voor dim H > 2 en voor alle toestanden); zie ook Belinfante (1973). We zullen op
deze bewijzen niet in detail ingaan maar ons beperken tot een aantal opmerkingen. Eerst de exacte
formulering.
STELLING VAN KOCHEN & SPECKER: Het is niet mogelijk om aan alle fysische grootheden
van een willekeurig fysisch systeem met een Hilbert-ruimte van dimensie > 2
waarden toe te kennen in overeenstemming met de functie-regel (V.21).

98 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
Schets van het directe bewijs. We kunnen het probleem als volgt formuleren. Beschouw als
bijzonder geval van (V.24) een ontbinding van de eenheid in 1-dimensionale projectoren:
P 1 + P 2 + · · · P n = 11 .
Er moet dus gelden
P 1 [λ] + P 2 [λ] + · · · P n [λ] = 11[λ] = 1
(V.28)
(V.29)
voor iedere ontbinding van de eenheid. Bezie de 1-dimensionale projectoren als lijnen in alle mogelijke
richtingen door de oorsprong van H. Gevraagd wordt om aan alle lijnen de waarde 0 of 1
te geven, zo dat de som van de waarden van elke volledige verzameling van orthogonale van lijnen
1 is. Je kunt ook denken aan de snijpunten van deze lijnen met de eenheidsbol in H. Elk punt van
de bol krijgt de waarde 0 of 1, antipodale punten krijgen dezelfde waarde, de som van de waarden
van de punten op de uiteinden van een basis is 1. Kochen & Specker beschouwen in hun bewijs een
boson met S 2 x + S 2 y + S 2 z = 211 en dus ‘orthogonale driepoten’ in een 3-dimensionale Hilbert-ruimte:
twee poten hebben waarde 1 en de derde heeft waarde 0. Voor deze beperkende voorwaarde is het
voldoende het Toestand- en het Grootheden-postulaat van de quantummechanica te onderstellen —
de andere postulaten spelen geen rol.
In de eerste plaats kan men inzien dat als dit probleem oplosbaar is in een complexe H, het ook
oplosbaar is in een reële H met dezelfde dimensie. (Kies een basis in H en genereer een met een reële
H isomorfe structuur door toepassing van reële orthogonale transformaties). We kunnen ons derhalve
beperken tot het bewijs van de onmogelijkheid van de gevraagde waardetoekenning in een reële H.
Evenzo impliceert de onmogelijkheid in H N de onmogelijkheid in H N+1 . (Beschouw namelijk de N-
dimensionale onderruimte die orthogonaal is op een lijn met waarde 0. Elke orthogonale (N +1)-poot
waarvan deze lijn deel uitmaakt gaat dan over in een N-poot met een correcte waardetoekenning. Met
andere woorden, als het in een (N + 1)-dimensionale H kan, dan kan het ook in een N-dimensionale
H).) We kunnen ons dus beperken tot een reële H met zo laag mogelijke dimensie.
Merk nu op dat het probleem voor 2-dimensionale Hilbert-ruimte (H 2 ) wel een oplossing heeft,
bijvoorbeeld
Alle bewijzen richten zich dus op het geval van een reële, 3-dimensionale Hilbert-ruimte (H 3 ). Het
lijkt nu onmiddellijk plausibel dat de gevraagde waardetoekenning in H 3 niet mogelijk is. Bij elk
punt van de eenheidsbol in R 3 met waarde 1 horen oneindig veel punten met waarde 0 (namelijk de
equator waarvan dat punt een pool is). Aan de andere kant hebben van elk orthogonaal drietal punten
slechts twee de waarde 0. Maar dit is natuurlijk geen bewijs.
Kochen & Specker construeren expliciet een verzameling van 117 spin-grootheden in evenzoveel
ruimtelijke richtingen waarvoor geen consistente waarden-toekenning bestaat in geen enkele toestand.
(Deze constructie staat afgebeeld op de kaft van Redhead (1987)). Zij laten zien dat iedere waardentoekenning
in overeenstemming met de functie-regel (in ??) tot tegenspraken leidt. Het record ligt

V.4. CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 99
inmiddels by Kochen & Conway, die slechts met 31 punten toe kunnen in de zogeheten Peres-kubus
van 33 punten (zie Peres 1993, blz. 197). Bell laat zien dat punten met verschillende waarden niet
willekeurig dicht bij elkaar kunnen liggen. Dit is een onafhankelijk bewijs van de continuïteit van
de maat, en dus in strijd met de noodzakelijke discontinuïteit van de verdeling. Hiermede eindigt de
Schets van het directe bewijs.
Het is interessant om te zien hoe de maat (V.27), volgens Von Neumann de kansmaat van de
quantummechanica, eruit ziet in dit geval. Voor een zuivere toestand W = |ψ〉〈ψ| is (V.27)
µ(P i ) = Tr P i W = |〈φ|ψ〉| 2 , als P i = |φ〉〈φ| . (V.30)
In een reële ruimte is |〈φ|ψ〉| 2 = cos 2 θ, met θ de hoek tussen |ψ〉 en |φ〉.
In het Aanhangsel (blz. 153) bewijzen we de volgende stelling. Stel dat we aan elk punt van de bol
een niet-negatief reëel getal toekennen zo dat aan de noordpool 1 wordt toegekend en zo dat de som
van de waarden van elk orthogonaal drietal 1 is. Dan is er slechts één mogelijke waardetoekenning
en dat is de quantummechanische, d.w.z. volgens cos 2 θ.
Nog twee slotopmerkingen. Ten eerste, illustraties van de Stelling van Kochen & Specker zijn
gemakkelijk te geven voor Hilbert-ruimten met dimensie groter dan 3, bijvoorbeeld 8, dan volstaat een
hand vol grootheden; zie Mermin (1993). Ten tweede, wanneer men zich beperkt tot rationale hoeken
tussen de spin-vectoren, dan kan geen tegenspraak met de quantummechanica afgeleid worden, zoals
onlangs door D.A. Meyer is bewezen (Los Alamos archief, quant.ph/99.05.080).
Samenvatting. Volgens de Stelling van Kochen & Specker is een VVT die voldoet aan het Toestandpostulaat,
het Grootheden-postulaat en de functie-regel (V.21) in tegenspraak met het Toestandpostulaat
en het Grootheden-postulaat uit de quantummechanica (mits dim H > 2). (Voor Hilbertruimten
met een kleinere dimensie is het wel mogelijk.) Deze conclusie laat zien hoe dwingend
de vectorruimte-structuur van de quantummechanica is, in het bijzonder vormt het feit dat er veel
verschillende ontbindingen van de eenheid zijn, een zware barrière voor een VVT.
V.4 CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN
Essentieel voor het bewijs van Kochen & Specker is het feit dat een 1-dimensionale projector deel
kan uitmaken van verschillende ontbindingen van de eenheid. Dit is mogelijk zolang de projectoren
geen maximale operatoren zijn, dus als dim H > 2. Het bestaan van ontaarde projectoren (buiten

100 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
de eenheid) is wezenlijk voor het bewijs van Kochen & Specker (daarom gaat het niet op in een
2-dimensionale H: daar zijn alle projectoren, behalve 11, maximaal). Via ontaarde projectoren worden
ook niet-commuterende operatoren met elkaar verbonden. De eis (V.21) draagt dit over op de
grootheden van de VVT, zodat we via een omweg toch weer een eis voor niet-gezamenlijk meetbare
grootheden aan de VVT opleggen. We zullen dit nu in detail beschouwen.
Stel dat de operator A commuteert met de maximale operatoren C 1 en C 2 , terwijl [C 1 , C 2 ] ≠ 0.
We hebben dan
A = f(C 1 ) en A = g(C 2 ) , (V.31)
hetgeen impliceert:
f(C 1 ) = g(C 2 ) .
(V.32)
(Dus A is ontaard.) De functie-regel (V.21) leidt tot dezelfde relatie tussen de grootheden van de
VVT :
dus
A[λ] = f ( C 1 [λ] ) en A[λ] = g ( C 2 [λ] ) , (V.33)
f ( C 1 [λ] ) = g ( C 2 [λ] ) .
(V.34)
Dit is weer een verband tussen de waardetoekenningen aan grootheden die in de quantummechanica
niet commuteren — maar het verband is niet 1-1-duidig; de functies f en g zijn geen bijecties. Men
kan menen dat een dergelijke eis onredelijk is omdat dergelijke grootheden niet gezamenlijk meetbaar
zijn. Met andere woorden, de structuur van de quantummechanica, en met name de stelling dat een
operator een functie van twee niet-commuterende maximale operatoren kan zijn, leidt tot relaties
tussen grootheden die niet in één experiment gemeten kunnen worden.
Dit is wat zich voordoet bij de verschillende ontbindingen van de eenheid. Beschouw twee bases
|α j 〉 en |β j 〉 in een Hilbert-ruimte H van dimensie N > 2 en stel dat |α 1 〉 = |β 1 〉, terwijl alle andere
basisvectoren verschillend zijn. Dan is
N∑
P |αj 〉 = 11 =
j=1
N∑
P |βj 〉 en P |α1 〉 = P |β1 〉 . (V.35)
j=1
Definieer twee maximale operatoren als volgt:
N∑
N∑
C := c j P |αj 〉 en D := d j P |βj 〉 ,
j=1
j=1
(V.36)
waarin alle coëfficiënten c j en d j verschillend zijn. Dan is
P |α1 〉 = f(C) = g(D) .
(V.37)
Dit legt een verband tussen de niet-commuterende operatoren C en D, en bij gebruik van (V.21)
geeft dit een verband tussen de corresponderende representanten C[λ] en D[λ] in de VVT. Het
zijn deze soort van verbanden waaraan de VVT niet kan voldoen. Merk op dat het optreden van

V.4. CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 101
niet-maximale operatoren (P |αi 〉) essentieel is; zou P |αi 〉 maximaal zijn, dan commuteren C en D
(zie blz. 23). M.J. Maczynski (1971) heeft bewezen dat als we uitsluitend maximale grootheden
beschouwen (en dus ook alleen (V.21) voor maximale grootheden), de stelling van Kochen & Specker
niet langer geldig is. Een VVT is dan wel mogelijk.
Een voor de hand liggende uitweg is om de eis (V.21) strikt te beperken tot grootheden die binnen
één context meetbaar zijn. In ons voorbeeld is de projector P |α1 〉 zowel gezamenlijk meetbaar met
C als met D, terwijl C en D onderling niet gezamenlijk meetbaar zijn. We moeten dus onderscheid
maken tussen een waardetoekenning P |αi 〉[λ] in de context van een meting van C, en een in de context
van een meting van D. We kunnen bijvoorbeeld denken aan een meting van C en toepassing
van het functieverband P |α1 〉 = f(C), respectievelijk aan een meting van D en toepassing van het
functieverband P |α1 〉 = g(D). Meer algemeen, stel
A = f(C) = g(D) , met [C, D] ≠ 0 . (V.38)
Dan onderscheiden we de verborgen-variabelen-grootheden A C [λ] en A D [λ], waarin de index de
meetcontext aangeeft. Als C en D niet commuteren is er volgens een contextuele VVT geen reden om
te onderstellen dat voor alle λ ∈ Λ:
A C [λ] = A D [λ] ,
(V.39)
zoals in iedere VVT die we tot nu toe hebben beschouwd wel het geval is. Kochen & Specker onderstellen
dit wel aan en vinden een tegenspraak met de quantummchanica.
De remedie is dus om alle ontaarde grootheden te ‘splitsen’ door toevoeging van de context waarin
ze worden gemeten, zoals eerst door B.C. van Fraassen voorgesteld in 1973. We nemen hier voor het
gemak aan dat een meting van een ontaarde grootheid altijd via de meting van een maximale grootheid
verloopt. De laatste hoeft niet gesplitst te worden. We hebben dan per definitie
A C [λ] = f ( C[λ] ) en A D [λ] = g ( D[λ] ) . (V.40)
Hieruit volgt een zwakkere vorm van (V.21). Stel A = f(C), B = g(C) en A = h(B) = h(g(C)),
dan is met behulp van (V.40):
A C [λ] = h ( B C [λ] ) .
(V.41)
Samengevat leidt deze beschouwing tot een nieuw postulaat voor een VVT, die we contextueel noemen
wanneer de VVT dit postulaat herbergt.
CONTEXTEEL GROOTHEDEN-POSTULAAT: Zij A een fysische grootheid die opgevat
kan worden als een functie van minstens twee andere fysische grootheden, zeg ‘A =
f(C)’ en ‘A = g(D)’. Dan correspondeert met A in de VVT een functie A C : Λ → R
d.e.s.d.a. men grootheid C meet en een functie A D : Λ → R d.e.s.d.a. men grootheid D
meet. Zij A, f(C) en g(D) de corresponderende quantummechanische operatoren. Dan
geldt:
∀ λ ∈ Λ : A C [λ] = A D [λ] ⇐⇒ [C, D] = 0 . (V.42)

102 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN
Hoewel het splitsen van grootheden een natuurlijk gevolg is van het idee van gezamenlijke meetbaarheid,
betekent dit het opgeven van een 1-1 verband tussen de grootheden van de quantummechanica
en die van de VVT, en dat op een zeer drastische manier: doordat de operator P |α1 〉 deel uitmaakt
van oneindig veel ontbindingen van de eenheid, zijn er oneindig veel contexten waarin P |α1 〉 gemeten
kan worden. Het idee dat de context van de meting mede in de beschouwing moet worden betrokken
is al te vinden in Bell (1966). In hetzelfde artikel, dat eerder werd geschreven dan zijn beroemde
artikel met de Bell-ongelijkheid, maakt Bell enige opmerkingen over de eisen die men aan een contextuele
VVT zou kunnen stellen. Ze moeten een ruimtelijke betekenis hebben en ze moeten ons in
staat stellen een (liefst causaal) ruimte-tijd beeld te interpoleren tussen de preparatie van en de meting
aan toestanden. Hij beschouwt dan Bohm’s theorie van de quantum-potentiaal (zie hoofdstuk VI) en
laat zien dat deze theorie niet locaal is. Hij vraagt zich af of iedere VVT van de quantummechanica
dit niet-locale karakter moet hebben. Hij zegt dat het interessant zou zijn verdere onmogelijkheidsbewijzen
te onderzoeken waarin de eisen van Von Neumann en van Kochen & Specker vervangen
zijn door een localiteitseis of een eis van scheidbaarheid van ver van elkaar verwijderde systemen in
de ruimte. Voor de (verlate) publicatie van zijn artikel had Bell (1964) inmiddels zelf een dergelijk
bewijs gegeven.
We zullen nu laten zien hoe het idee van localiteit in een contextuele VVT met ‘gesplitste’ grootheden
tot uitdrukking gebracht kan worden.
Beschouw een samengesteld systeem met Hilbert-ruimte
H = H I ⊗ H II .
(V.43)
Beschouw een operator van de vorm A ⊗ 11 waarin A maximaal is in H I . De operator A ⊗ 11 is
dan niet maximaal in H, en A ⊗ 11 = f(X), waarin X een of andere maximale operator op H is.
Beschouw speciaal een X van de vorm X = X I ⊗ X II . Stel dat er tussen de systemen I en II geen
wisselwerking (meer) is. We kunnen dan de vraag stellen of X II tot de context van A ⊗ 11 gerekend
moet worden. Beschouw een tweede maximale operator Y = X I ⊗ Y II die alleen in de laatste factor
van X verschilt. We hebben dan
A ⊗ 11 = f(X) = g(Y ) .
(V.44)
Een localiteitseis is nu dat
(A ⊗ 11) XI ⊗X II
[λ] = (A ⊗ 11) XI ⊗Y II
[λ] ; (V.45)
met andere woorden, een verandering van wat je meet aan systeem II, heeft geen splitsing van de
grootheden van systeem I tot gevolg. Een contextuele VVT die aan vgl. (V.45) voldoet noemt men
locaal. De hamvraag luidt: is een locale contextuele VVT verenigbaar met de quantummechanica?
Als voorbeeld beschouwen we de bekende versie van Bohm van het gedachtenexperiment van
EPR (Cooke en Hilgevoord 1979): twee deeltjes met spin- 1 2
bevinden zich in een singlettoestand. Een
meting van de spin van ieder van de deeltjes correspondeert met operatoren van de vorm σ i ⊗ τ j .
Hierin is σ i de operator van de component van de spin van het eerste deeltje in de richting i en τ j
analoog voor het tweede deeltje. 1 Stel we beschouwen drie richtingen: i, j = 1, 2, 3. Dan zijn
er negen van deze metingen. Het resultaat van een spin-meting is omhoog of omlaag, dus iedere
1 In tegenstelling tot de eerder beschouwde operatoren van de vorm X I ⊗ X II zijn de operatoren σ i ⊗ τ j echter niet
maximiaal.

V.4. CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 103
meting heeft vier mogelijke uitkomsten. Als we voor ieder van de negen grootheden een grootheid
in de VVT invoeren, dan kunnen we zoals we gezien hebben, de quantummechanische voorspellingen
reproduceren. Tussen de operatoren geldt het verband
(σ i ⊗ τ j ) = (σ i ⊗ 11)(11 ⊗ τ j ) , waarin i, j ∈ {1, 2, 3} . (V.46)
We moeten ook grootheden invoeren in de VVT voor de zes operatoren σ i ⊗ 11 en 11 ⊗ τ j .
In een autonome VVT moeten de grootheden ook aan (V.46) voldoen, omdat de factoren in het
rechterlid van (V.46) commuteren. Dit betekent dat er maar zes onafhankelijke grootheden in de
VVT zijn en men kan laten zien dat hiermee de experimentele voorspellingen van de quantummechanica
niet kunnen worden gereproduceerd (zie de afleiding van Wigner in §VII.2).
In een contextuele VVT beschouwen we de grootheden σ i ⊗ 11 en 11 ⊗ τ j echter afhankelijk van de
context van de operatoren waarvan ze functies zijn. Laat χ(τ j ) een functie zijn die de uitkomst van
iedere spinmeting τ j de waarde 1 geeft: χ(τ j ) = 11, waarin j = 1, 2, 3. We hebben dan
(σ i ⊗ 11) σi ⊗τ j
[λ] = ( σ i ⊗ χ(τ j ) ) [λ] . (V.47)
Deze grootheid stelt de spin van deeltje 1 voor in de context van een meting van (σ i ⊗τ j ). (Een meting
van (σ i ⊗ τ j ) is een meting van beide spins gevolgd door het vermenigvuldigen van de resultaten.)
Aangezien j = 1, 2, 3, geeft dit een 3-voudige splitsing van de grootheid (σ i ⊗ 11). De productregel
geldt nu alleen maar tussen grootheden in dezelfde context (en de geldigheid is dan triviaal). Er
zijn nu weer voldoende onafhankelijke grootheden in de VVT om de quantummechanica te kunnen
reproduceren. Het splitsen heeft geholpen. Maar tegelijk zien we de prijs die we daarvoor moeten
betalen: de splitsing voldoet niet aan de zwakke localiteitseis (V.45). We maken immers onderscheid
tussen de grootheden
(σ i ⊗ 11) σi ⊗τ j
[λ] en (σ i ⊗ 11) σi ⊗τ j ′ [λ] , als j ≠ j ′ . (V.48)
Dit betekent dat eigenschappen (grootheden die waarden hebben) van het ene deeltje niet langer
onafhankelijk van die van het andere deeltje gespecificeerd kunnen worden, ook al is er geen wisselwerking
tussen deze deeltjes en bevinden ze zich in verschillende melkwegstelsels. Redhead (1987,
blz. 135) spreekt van een ontologische contextualiteit. De moraal is dat een contextuele VVT nietlocaal
moet zijn om verenigbaar te zijn met de quantummechanica.
Merk op dat we niet hebben gesproken van een meting van de grootheid σ i ⊗ 11. We hebben deze
steeds gezien als afgeleid van de meting van een operator waarvan het een functie is. Uiteindelijk
krijgen de maximale operatoren zo een bijzondere status: ze worden niet gesplitst en zij zijn de enige
die rechtstreeks gemeten kunnen worden. Theoretisch kun je dit onderstellen, maar de relatie met de
experimentele praktijk in het laboratorium, waar men vrijwel uitsluitend ontaarde grootheden meet,
is minder duidelijk.

104 HOOFDSTUK V. VERBORGEN VARIABELEN

VI
DE BOHM-MECHANICA
De gangbare interpretatie van de quantummechanica impliceert dat we moeten afzien
van de mogelijkheid een enkel individueel fysisch systeem te beschrijven met een exact
gedefinieerd model. Wij stellen echter een alternatieve interpretatie voor, die niet
impliceert dat wij daarvan af moeten zien, maar die ons juist er toe brengt een quantummechanisch
systeem te zien als synthese van een exact gedefinieerd deeltje en een exact
gedefinieerd ψ-veld, dat een kracht uitoefent op het deeltje.
— D.J. Bohm
Waarom negeren leerboeken de theorie van De Broglie & Bohm? Behoort ze niet onderwezen
te worden, niet als de enig juiste weg, maar als tegengif tegen de heersende
zelfvoldaanheid? Om te laten zien dat vaagheid, subjectiviteit en indeterminisme niet
aan ons opgedrongen worden door de experimentele feiten, maar het resultaat zijn van
een overwogen theoretische keus?
— J.S. Bell
We beschrijven kort de verborgen-variabelen-theorie van David Bohm uit 1952, die we de Bohmmechanica
zullen dopen. De Bohm-mechanica lijkt dezelfde empirische slagkracht te hebben als
de quantummechanica, maar slaagt erin ons een beeld in ruimte en tijd te geven van wat er zich
precies afspeelt in de micro-fysische werkelijkheid.
VI.1
INLEIDING
Het debat tussen Bohr en Einstein over de interpretatie van de quantummechanica bereikte zijn
hoogtepunt in het EPR-artikel van 1935. Hoewel beide auteurs nog vaak op de problemen zijn
teruggekomen heeft geen van beiden nadien nieuwe elementen in zijn standpunt aangebracht. Voor de
meeste fysici van de jaren dertig en later was het niet moeilijk een winnaar van het debat aan te wijzen;
de zienswijze van Bohr werd vrijwel unaniem aanvaard. De vraag of achter het quantummechanica
een fysische werkelijkheid schuilgaat bestaande uit objecten die eigenschappen hebben en waarvan
we ons een beeld kunnen vormen in ruimte en tijd, werd terzijde geschoven. Men meende ook dat
het bewijs van Von Neumann een verborgen-variabelen-reconstructie van de quantummechanica zo’n
opvatting onhoudbaar maakte.
Het is de verdienste van David Bohm geweest als eerste een bres in de Kopenhaagse Interpretatie
te schieten, door precies dat te doen wat volgens de Kopenhagers onmogelijk of zinloos was. In 1952
publiceerde hij twee artikelen in de Physical Review waarin hij een VVT van de quantummechanica
voorstelde. Zijn theorie is sterk verwant aan ideeën die Louis de Broglie al in 1927 naar voren
bracht. Kritiek uit het Kopenhaagse kamp (vooral geuit door Pauli op de Solvay-Conferentie in 1927)
deed De Broglie echter afzien van zijn theorie (die inderdaad nog niet geheel consistent doordacht

106 HOOFDSTUK VI. DE BOHM-MECHANICA
was). Bohm ontwierp, onafhankelijk van De Broglie, een geheel uitgewerkte versie – hetgeen een
herbekering van De Broglie teweegbracht. Wij bestuderen de Bohm-mechanica hier om twee redenen.
Ten eerste is het een voorbeeld van een concrete verborgen-variabelen-theorie, in tegenstelling tot
de abstracte karakterisering van dergelijke theorieën die in het vorige hoofdstuk besproken zijn. We
zullen zien dat de Bohm-mechanica merkwaardige aspecten vertoont die diepgaand van de klassieke
fysica verschillen.
Ten tweede is er de laatste jaren een groeiend aantal natuurkundigen en wijsgeren dat de Bohmmechanica
als de meest veelbelovende manier ziet om de fysische werkelijkheid te begrijpen.
VI.2
DE QUANTUMPOTENTIAAL
Bohm’s theorie, die we de Bohm-mechanica zullen noemen, gaat in eerste instantie uit van de golfmechanica,
d.w.z. quantummechanica met L 2 (R n ) als Hilbertruimte, maar zonder het projectiepostulaat.
2 Dat wil zeggen dat Bohm onderstelt dat er een golffunctie ψ(⃗q, t) is, die altijd aan de
Schrödinger-vergelijking voldoet (we beschouwen hier eerst het 1-deeltjesgeval; als er meer deeltjes
zijn komen er meer argumenten voor in ψ). Het centrale idee is nu deze golffunctie te interpreteren
als een statistische beschrijving van een deeltje dat altijd een bepaalde positie en impuls bezit. We
zullen zien dat dit deeltje dan onderworpen moet zijn aan een dynamica die afwijkt van de klassieke
door te onderstellen dat de krachten die op het deeltje werken, niet uitsluitend de krachten zijn die uit
de klassieke fysica bekend zijn.
Uitgangspunt is de Schrödinger-vergelijking voor een deeltje met massa m in een tijd-onafhankelijke
potentiaal V (⃗q):
∂ψ(⃗q, t)
i
∂t
= − 2
2m ∇2 ψ(⃗q, t) + V (⃗q)ψ(⃗q, t) .
(VI.1)
We interpreteren echter de golffunctie anders dan de quantumechanica doet. Daartoe wordt ψ herschreven,
met behulp van twee functies R, S : R 4 → R, die moeten voldoen aan de volgende vergelijking:
ψ(⃗q, t) = R(⃗q, t) exp[iS(⃗q, t)/] .
(VI.2)
Het altijd mogelijk zulke functies R en S te vinden. Eist men dat R(⃗q, t) 0, dan liggen R en
S uniek vast bij gegeven ψ, behalve op gebieden waar ψ = 0. Substitutie van (VI.2) in (VI.1), en
scheiden van het reële en imaginaire deel van de resulterende vergelijking, levert twee vergelijkingen
op:
∂R(⃗q, t)
∂t
∂S(⃗q, t)
∂t
= − 1 (
R(⃗q, t)∇ 2 S(⃗q, t) + 2∇R(⃗q, t) · ∇S(⃗q, t) ) , (VI.3)
2m
( (∇S(⃗q, t))
2
= −
+ V (⃗q) − 2 ∇ 2 )
R(⃗q, t)
. (VI.4)
2m
2m R(⃗q, t)
2 Onder Bohmian mechanics verstaat men in de vakliteratuur een gestroomlijnde versie van Bohm’s oorspronkelijke
theorie, zonder quantumpotentiaal.

VI.2. DE QUANTUMPOTENTIAAL 107
Beschouw eerst de vergelijking (VI.3). Met de afkorting ρ = R 2 (hetgeen gelijk is aan |ψ| 2 , de
quantummechanische kansdichtheid voor het aantreffen van een deeltje op een bepaalde plaats), wordt
deze vergelijking:
∂ρ(⃗q, t)
∂t
+ ∇ ·
(
ρ(⃗q, t)
)
∇S(⃗q, t)
= 0 . (VI.5)
m
We interpreteren ρ(⃗q, t) dus als de kansdichtheid om het deeltje op tijdstip t op plaats ⃗q ∈ R 3 aan
te treffen. Als we nu ∇S als de impuls van het deeltje te interpreteren krijgt (VI.5) een duidelijke
betekenis: het is de continuïteitsvergelijking voor een kansdichtheid ρ, die dus uitdrukt dat de totale
kans, gegeven door de integraal van ρ(⃗q, t) over R, in de loop der tijd behouden blijft.
Beschouw nu de vergelijking (VI.4). De laatste term in deze vergelijking is de enige term van
(VI.3) en (VI.4) waarin de constante van Planck expliciet optreedt. We definiëren voor deze term de
zogeheten quantumpotentiaal:
U(⃗q, t) := − 2 ∇ 2 R(⃗q, t)
. (VI.6)
2m R(⃗q, t)
In het geval dat de quantumpotentiaal U identiek nul zou zijn, wordt vergelijking (VI.4):
( ) 2
∂S(⃗q, t) ∇S(⃗q, t)
= −
− V (⃗q) .
∂t
2m
(VI.7)
Dit is precies de Hamilton-Jacobi-vergelijking van de klassieke mechanica voor één deeltje, waarin S
de werking, of actie, is, en ∇S(⃗q, t) de impuls van het deeltje: ⃗p = m⃗v = ∇S(⃗q, t) (zie Aanhangsel,
vgl. (VI.35), blz. 114). Met andere woorden, als U = 0, dan kunnen we de vergelijkingen (VI.3) en
(VI.4), en dus ook de daarmee equivalente Schrödinger-vergelijking (VI.1), opvatten als de statistische
beschrijving van een deeltje, dat beweegt in het potentiaal V volgens de wetten van de klassieke
mechanica.
Beschouw nu het geval waarin U ≠ 0. De zojuist besproken interpretatie kan nog steeds worden
gegeven als we onderstellen dat naast de klassieke potentiaal V de quantumpotentiaal U als
correctie in de bewegingsvergelijking wordt toegevoegd. Vergelijking (VI.5) blijft dan gelden als
continuïteitsvergelijking, en de impuls wordt nog steeds gegeven door ⃗p = ∇S. De vgl. (VI.7) wordt
echter vervangen door (VI.4), de Hamilton-Jacobi-vergelijking voor een deeltje in het potentiaalveld
V + U. We hebben dus nu een extra kracht aangenomen die op het deeltje werkt, naast de bekende
−∇V . Er geldt:
⃗F = d⃗p
dt = −∇( V (⃗q) + U(⃗q) ) .
(VI.8)
Neemt men de limiet → 0 in de Schrödinger-vergelijking (VI.1), dan komt er onzin. Neemt
men → 0 in de definitie (VI.6) van de quantumpotentiaal, U, dan is U(⃗q, t) = 0, en reduceert (VI.8)
tot de bewegingswet van Newton.
Beschouw een eenvoudig voorbeeld om het verschil tussen de Bohmmechanica en de quantummechanica
te illustreren. Een deeltje zit in een (1-dimensionale) ‘doos’ ter lengte L, met wanden
gevormd door oneindig hoge potentiaal-barrières. De quantummechanica geeft hiervoor als stationaire
oplossingen
ψ n (q, t) = ψ n (q)e −iEnt/ ,
(VI.9)

108 HOOFDSTUK VI. DE BOHM-MECHANICA
met
ψ n (q) =
met energie-waarden:
E n =
√
2
( nπq
)
L sin L
, q ∈ [0, L] , (VI.10)
2 ( nπ
) 2
. (VI.11)
2m L
In de Bohm-mechanica krijgen we dus voor een stationaire toestand R n (q, t) = ψ n (q) en S n (q, t) =
−E n t. Verrassend is nu dat
p = ∂S n
∂x = ∂(−E nt)
= 0 , (VI.12)
∂x
d.w.z., volgens de Bohm-mechanica ligt het deeltje stil.
Dit geldt ook in andere gevallen van stationaire toestanden, bijvoorbeeld in de grondtoestand van
het waterstofatoom. Het is in lijnrechte tegenspraak met de uitspraken van de quantummechanica. In
het geval van de doos geeft deze immers in toestand ψ n een grote kans om de impuls p met waarden
rondom ±nπ/L aan te treffen, in welk geval het elektron beweegt met snelheid p/m > 0.
Dit voorbeeld leert dat de uitspraken van de quantummechanica en de Bohm-mechanica niet
voor alle grootheden samenvallen. Ze stemmen uitsluitend overeen in kansverdelingen voor positiemetingen.
De Bohm-mechanica is dus geen verborgen-variabelentheorie in de zin van het vorige
hoofdstuk, waar ondersteld werd dat zo’n theorie voor alle grootheden dezelfde uitspraken deed als
de quantummechanica. Het onmogelijkheidsbewijs van Von Neumann is daarom niet van toepassing
op de Bohm-mechanica.
De verklaring van de discrepantie tussen de Bohm-mechanica en de quantummechanica zit natuurlijk
in de quantumpotentiaal. De energie van het deeltje in de doos is volgens Bohm geheel
opgeslagen in de vorm van potentiële energie t.g.v. de quantumpotentiaal. Er is dan geen kinetische
energie meer over. Dit verandert echter zodra we doos open doen (een of beide barrières wegnemen).
De quantumpotentiële energie komt dan weer vrij; het deeltje zal in beweging komen. Het golfpakketje
ρ(x, t) spreidt dan uit in de ruimte, precies zoals de Schrödinger-vergelijking voorschrijft,
en er is geen verschil meer tussen wat beide theorieën over de beweging van het deeltje te zeggen
hebben.
De zojuist gesignaleerde discrepantie heeft dus geen waarneembare gevolgen als we argumenteren
dat alle metingen in laatste instantie geschieden door middel van een positie-waarneming. Iedere
fysische grootheid wordt uiteindelijk door een ‘wijzer’ met bepaalde positie afgelezen. Ook een impulsmeting
moet uiteindelijk via de verplaatsing van een of ander voorwerp geregistreerd worden.
(Merk op dat dit standpunt van Bohm afwijkt van Bohrs standpunt dat positie- en impulsmetingen
elkaar in beginsel uitsluiten maar dat beide nodig zijn voor een uitputtende beschrijving van het systeem.)
Ten slotte beschouwen we nog een bijzonder geval. Stel dat golffunctie van de volgende vorm is:
ψ(⃗q) = aψ A (⃗q) + bψ B (⃗q)φ D (⃗q 2 ) , a, b ∈ R , (VI.13)
waarbij A, B ⊂ R 3 disjuncte gebiedjes in de ruimte zijn, dat wil zeggen A ∩ B = ∅, en ψ A ,ψ B ,
golffuncties zijn die buiten deze gebiedjes nul zijn. Dus ψ A en ψ B hebben geen overlap: voor alle

VI.2. DE QUANTUMPOTENTIAAL 109
Figuur VI.1: Een simulatie van het dubbele-spleet-experiment in de Bohm-mechanica. Ieder deeltje
volgt een bepaald pad tussen de spleten en de fotografische plaat. Alle deeltjes uit de onderste (bovenste)
spleet komen op de onderste (bovenste) helft van de plaat terecht. De kronkels in de paden worden
veroorzaakt door de quantumpotentiaal U. Bron: Holland (1993, blz. 184).
⃗q ∈ R 3 geldt: ψ A (⃗q)ψ B (⃗q) = 0 In dit gedraagt het ensemble deeltjes beschreven door de dichtheid
|ψ(⃗q)| zich effectief als een mengsel. Immers, de kansdichtheid behorend bij (VI.21) is
ρ(⃗q) = |aψ A (⃗q)| 2 + |bψ B (⃗q)| 2 ,
(VI.14)
zonder kruisterm. Verder geldt:
ψ(⃗q) = (|a|R A (⃗q) + bR B (⃗q)) exp[i(S(⃗q))/]
waarbij
⎧
S(⃗q) voor ⃗q ∈ A
⎪⎨
S(⃗q) = S B (⃗q) voor ⃗q ∈ B
⎪⎩
0 elders
(VI.15)
Dus ook de quantumpotentiaal kan nu als een som van termen behorende bij de afzonderlijke gebiedjes
worden opgevat. Het subensemble van deeltjes in gebiedje A merken dus niets van de golffunctie
in gebied B.

110 HOOFDSTUK VI. DE BOHM-MECHANICA
VI.3
SAMENGESTELDE SYSTEMEN
De eerder gebruikte techniek om de Schrödinger-vergelijking om te schrijven naar vergelijkingen die
een ensemble van deeltjes met bepaalde plaats en impuls beschrijven, in een niet-klassiek potentiaalveld,
kan gemakkelijk worden gegeneraliseerd. Voor een systeem van twee deeltjes bijvoorbeeld
vatten we het kwadraat van de golffunctie ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) op als de kansdichtheid dat deeltje 1 zich op
positie ⃗q 1 bevindt en tegelijk deeltje 2 op positie ⃗q 2 . We schrijven
ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = R(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) exp[iS(⃗q 1 , ⃗q 2 , t)/] .
(VI.16)
en de quantumpotentiaal wordt nu gegeven door
2 ( ∇
2
U(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = −
1 R(⃗q 1 , ⃗q 2 , t)
+ ∇2 2 R(⃗q )
1, ⃗q 2 , t)
, (VI.17)
R(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) 2m 1 2m 2
waarbij ∇ i := ∂/∂⃗q i de gradiënt naar de coordinaten van deeltje i voorstelt. In deze uitdrukking
komen de coördinaten van beide deeltjes voor. De kracht op deeltje 1 ⃗ F 1 = −∇(V + U) hangt dus,
via de quantumpotentiaal, ook van de positie van deeltje 2 af, en omgekeerd. Dit is te vergelijken met
de situatie in de gravitatie-theorie van Newton, waar zo’n afhankelijkheid in de klassieke potentiaal
V ook voorkomt: er is een ogenblikkelijke wisselwerking (Latijn: actio in distans) tussen de deeltjes:
keus van een andere beginpositie van het ene deeltje beïnvloedt ogenblikkelijk de beweging van het
andere. Merk echter op dat deze beïnvloeding hier niet met de afstand tussen de deeltjes hoeft af te
nemen. Zelfs als R(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) naar nul gaat voor ‖⃗q 1 −⃗q 2 ‖ → ∞, hoeft de quantumpotentiaal U(⃗q 1 , ⃗q 2 )
dat niet te doen; die hangt af van de tweede afgeleide (dus van de vraag hoe sterk R oscilleert), en
niet van de amplitude R.
Merk ook op dat de wederzijdse afhankelijkheid tussen de deeltjes niet alleen via de quantumpotentiaal
optreedt. Ook de impuls van deeltje 1, gegeven door ∇ 1 (⃗q 1 , ⃗q 2 , , t) is niet onafhankelijk van
de positie van deeltje 2 te kiezen, en omgekeerd. Dit wordt zelfs in een klassieke theorie met actio in
distans niet vertoond, en geeft de Bohm-mechanica een diepdoordringend ‘holistisch’ karakter.
Alleen als de totale golffunctie een product is verdwijnt deze wederzijdse afhankelijkheid. Dan
geldt namelijk
en dan
ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = ψ 1 (⃗q 1 , t)ψ 2 (⃗q 2 , t) ,
R(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = R 1 (⃗q 1 , t)R 2 (⃗q 2 , t) (VI.18)
S(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = S 1 (⃗q 1 , t) + S 2 (⃗q 2 , t) , (VI.19)
en (VI.17) neemt de gedaante
U(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) = U 1 (⃗q 1 , t) + U 2 (⃗q 2 , t)
(VI.20)
aan, zodat de deeltjes elk alleen hun eigen potentiaalveld voelen, en de impuls van elk deeltje niet
afhangt van de plaats van het andere deeltje. Als de klassieke potentiaal V nu ook een som van 1-
deeltjespotentialen is, blijft deze factoriseerbaarheid behouden in de loop der tijd. We weten echter dat
de golffunctie ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 , t) in het algemeen geen product-toestand hoeft te zijn, en dat zelfs als dat op

VI.3. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 111
een moment wel zo was, het in het algemeen niet zo zal blijven. Dan representeert de quantumpotentiaal
U dus een niet-locale verbinding tussen de deeltjes. (Deze constatering was voor Bell aanleiding
om te onderzoeken of verborgen-variabelen-theorieën van de quantummechanica überhaupt locaal
kunnen zijn.) Bohm’s bekende popularisering van de quantummechanica en van zijn eigen theorie
heet Wholeness and Implicate Order.
Een tussenvorm treedt op wanneer, in analogie met (VI.13), de golffunctie op een tijdstip van de
vorm
ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 ) = aψ A (⃗q 1 )φ B (⃗q 2 ) + bψ C (⃗q 1 )φ D (⃗q 2 ) , a, b ∈ R , (VI.21)
is, waarbij A, B, C, D ⊂ R 3 zekere gebiedjes in de ruimte zijn, zodanig dat A∩C = ∅ of B∩D = ∅,
en ψ A ,ψ C , φ B , φ D golffuncties zijn die buiten deze gebiedjes nul zijn. Dus het paar ψ A en ψ C , of
het paar φ B en φ D , of beide, hebben geen overlap: voor alle ⃗q 1 , ⃗q 2 ∈ R 3 :
ψ A (⃗q 1 )ψ C (⃗q 1 ) = 0 of φ B (⃗q 2 )φ D (⃗q 2 ) = 0 . (VI.22)
In dit geval noemen we de golffunctie ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 ) effectief factoriseerbaar. De reden hiervoor is dat het
ensemble zich nu als een mengsel gedraagt. Immers, de kansdichtheid behorend bij (VI.21) is
ρ(⃗q 1 , ⃗q 2 ) = R 2 (⃗q 1 , ⃗q 2 ) = |aψ A (⃗q 1 )φ B (⃗q 2 )| 2 + |bψ C (⃗q 1 )φ D (⃗q 2 )| 2 ,
(VI.23)
zonder kruisterm. Verder geldt, dankzij (VI.22):
ψ(⃗q 1 , ⃗q 2 ) = |a|R A (⃗q 1 )R B (⃗q 2 ) exp[i(S A (x) + S B (⃗q 2 ))/]
+ |b|R C (⃗q 1 )R D (⃗q 2 ) exp[i(S C (⃗q 1 ) + S D (⃗q 2 ))/]
= ( R A (⃗q 1 )R B (⃗q 2 ) + R C (⃗q 1 )R D (⃗q 2 ) ) exp[i(S tot (⃗q 1 , ⃗q 2 )/] ,
waarbij ψ A = R A exp[iS A ] etc., en
⎧
S ⎪⎨ A (⃗q 1 ) + S B (⃗q 2 ) voor ⃗q 1 ∈ A, ⃗q 2 ∈ B
S tot (⃗q 1 , ⃗q 2 ) = S C (⃗q 1 ) + S D (⃗q 2 ) voor ⃗q 1 ∈ C, ⃗q 2 ∈ D
⎪⎩
0 elders
(VI.24)
Dus ook de quantumpotentiaal kan nu als een som van termen behorende bij de afzonderlijke deeltjes
worden opgevat, en de impuls van een deeltje hangt niet van het andere deeltje af.
Dit houdt in dat we het systeem kunnen interpreteren als een paar dat samengesteld is uit deeltjes
die ofwel in de gebiedjes A resp. B danwel in de gebiedjes C resp. D verkeren. Het deeltjespaar wordt
niet beïnvloed door de golffuncties of quantumpotentiaal in het andere gebied. Deze loodsgolven
worden daarom ook lege golven genoemd. Ze hebben geen dynamische invloed op de deeltjes, maar
bevatten wel energie. Als in de loop van de tijd de golffuncties weer tot overlap worden gebracht
zullen ze uiteraard hun invloed weer doen gelden.

112 HOOFDSTUK VI. DE BOHM-MECHANICA
VI.4
OPMERKINGEN EN PROBLEMEN
De dubbele rol van ψ. In de Bohm-mechanica speelt de golffunctie een dubbelrol. Aan de ene kant
is ρ(⃗q, t 0 ) = R 2 = |ψ(⃗q, t 0 )| 2 gelijk aan de kansdichtheid om een deeltje op tijdstip t 0 een bepaalde
plaats aan te treffen. Hiermee karakteriseren we het ensemble op t 0 . Aan de andere kant bepaalt ψ de
waarde van R, en daarmee via formule (VI.6) of (VI.17) de quantumpotentiaal. Deze heeft dezelfde
status als de klassieke potentiaal V . Dat wil zeggen, ψ hangt ook samen met de dynamische evolutie
van de deeltjes. Dit is een vanuit klassiek perspectief vreemd. In de klassieke statistische mechanica
kan een beginvorm van de kansdichtheid altijd onafhankelijk van de dynamica worden gespecificeerd.
Omgekeerd is de kracht die op een deeltje werkt in een klassieke theorie niet afhankelijk van de kansen
dat het op een andere plaats zou zijn dan het daadwerkelijk is. Dat is dus hier niet het geval. We
moeten dus in Bohms interpretatie onderstellen dat als op een begintijdstip t 0 de ensembledichtheid
ψ(⃗q, t 0 ) 2 is, de deeltjes zich vervolgens bewegen onder krachten die eveneens door ψ(⃗q, t 0 ) worden
bepaald. Men kan overigens wel bewijzen dat als deze Leibniziaanse pre-established harmony op één
tijdstip geldig is hij voor alle latere tijdstippen geldig blijft.
Bohm speculeerde in later werk dat deze harmonie tussen quantumpotentiaal en kansdichtheid
wellicht als een evenwichtvoorwaarde van een onderliggende ‘sub-quantum-ether’ kon worden begrepen.
Hieruit vloeit de verwachting voort dat indien dit evenwicht verstoord kan worden het zich
pas na een tijdje herstelt, zodat afwijkingen van de quantummechanische voorspellingen bij zeer
snelle metingen kunnen optreden. Zulke afwijkingen zijn tot op heden niet gevonden.
De Bohm-mechanica geeft, op basis van de these dat alle metingen uiteindelijk positiemetingen
zijn, dezelfde empirisch toetsbare voorspellingen als de standaardquantummechanica. Daarnaast verschaft
zij een beeld waarin deeltjes en plaats en impuls hebben en hoe zij door de ruimte heenvliegen,
ook als er niet gemeten wordt. Bovendien is de Bohm-mechanica deterministisch: immers de evolutie
is bepaald door de klassieke mechanica uitgebreid met de quantumpotentiaal. Dit lijken grote
voordelen. Desondanks heeft zijn voorstel in de jaren ’50 geen enthousiasme losgemaakt.
Van de kant van de Kopenhagers was natuurlijk weinig steun te verwachten. Men deed het voorstel
af als ‘metafysische speculatie’, een terugkeer naar het verloren paradijs van de klassieke fysica.
Bohm pareerde dit argument door de claim op ‘volledigheid’ van de Kopenhagers eveneens ontestbaar
en ‘metafysisch’ te noemen. Maar ook Einstein vond het idee “te goedkoop”, omdat het te
veel leunde op het quantummechanisch formalisme plus het klassieke deeltjesidee. Einstein zelf
meende dat een volkomen nieuwe theorie nodig was met een geheel andere invalshoek, zoals zijn
geünificeerde veldentheorie. Ook had Einstein waarschijnlijk bezwaar vanwege de vergaande nietlocaliteit
van de Bohm-mechanica. Ook anderen vielen erover dat de Bohm-mechanica alleen op het
herschrijven van de Schrödinger-vergelijking berust, en niets nieuws bevat. Bohm had deze kritiek
voorzien en probeerde te argumenteren dat zijn theorie nieuwe ideeën aanreikt voor experimenten en
dat op afstands- en energie-schalen die binnen Heisenberg’s onbepaalheidsbeginsel vallen, de Bohmmechanica
nodig zal blijken. Het was Bohm echter boven alles te doen om de mogelijkheid van een
verborgen-variabelen-theorie aan te tonen en de noodzakelijkheid van de Kopenhaagse Interpretatie
te bestrijden.
Tot nieuwe toetsbare uitspraken heeft de Bohm-mechanica, al is er een lopend debat over ‘tunneltijden’,
waar de quantummechanica over zwijgt, maar de Bohm-mechanica niet. Wel is het zo dat,
door de frisse kijk die de Bohm-mechanica oplevert, nieuwe uitbreidingen van de theorie gesuggereerd
worden, zoals de suggestie van een onderliggende subquantum-ether vanwege de onver-

VI.5. DE HAMILTON-JACOBI-VERGELIJKING 113
wachte dubbelrol van de golffunctie.
In de laatste jaren is er een groeiende groep natuurkundigen die de Bohm-mechanica wel als
een serieus alternatief voor de Kopenhaagse interpretatie ziet. Zie bijvoorbeeld Holland (1993) en
Cushing (1994).
VI.5
DE HAMILTON-JACOBI-VERGELIJKING
In de klassieke mechanica nemen we aan dat voor een systeem van n puntdeeltjes, met canonieke
posities ⃗q = (q 1 , . . . , q n ) ∈ R 3n en snelheden ˙⃗q = ( ˙q 1 , . . . , ˙q n ) ∈ R 3n , een Lagrangeaan L(⃗q, ˙⃗q, t)
gevonden kan worden. Definieer de volgende functionaal, genaamd de actie
∫
S γ (⃗q, t; ⃗q 0 , t 0 ) := L(⃗q, ˙⃗q, t) dt ,
(VI.25)
γ
waarbij de integraal genomen wordt over een continu pad γ in de configuratie-ruimte R 3n (bij n deeltjes
in 3 dimensies) tussen een begin-configuratie ⃗q 0 op t 0 en ⃗q op tijdstip t. Wanneer de Lagrangiaan
niet expliciet van t afhangt, mogen we ook S(⃗q, ⃗q 0 , t−t 0 ) schrijven. De bewegingsvergelijkingen worden
gevonden door het Hamilton’s beginsel van de kleinste werking: voor het gevolgde pad γ 0 bereikt
de actie een extremum in vergelijking met alle mogelijke continue paden. Deze eis, symbolisch:
δS γ = 0 ,
levert n bewegingsvergelijkingen van Euler & Lagrange:
d ∂L
− ∂L = 0 .
dt ∂ ˙q j ∂q j
Men definieert de Hamiltoniaan als de Legendre-getransformeerde van de Lagrangiaan:
waarbij
H(⃗p, ⃗q, t) :=
p j := ∂L
∂ ˙q j
3n∑
j=1
p j ˙q j − L(⃗q, ˙⃗q, t)
de canonieke impuls is. Substitueren in (VI.25) levert
⎛
⎞
∫ 3n∑
3n∑
∫
S γ = ⎝ p j ˙q j − H(q, p, t) ⎠ dt =
γ
j=1
j=1
γ
∫
p j dq j − H dt .
γ
(VI.26)
(VI.27)
(VI.28)
(VI.29)
(VI.30)
Variatie van S γ in deze gedaante levert de 2n bewegingsvergelijkingen van Hamilton:
˙q j = ∂H
∂p i
, ṗ j = − ∂H
∂q i
.
(VI.31)

114 HOOFDSTUK VI. DE BOHM-MECHANICA
Beschouw nu de actie S γ (VI.25) over een werkelijk pad γ 0 (d.w.z. een pad dat aan de bewegingsvergelijkingen
voldoet) en vorm zijn differentiaal:
⎛
⎞
3n∑
dS = ⎝ p j dq j − p 0j dq 0j
⎠ − H dt .
(VI.32)
j=1
En vergelijking met
dS(q, q 0 , t − t 0 ) =
3n∑
j=1
( ∂S
∂q j
dq j + ∂S
∂q 0j
dq 0j
)
+ ∂S
∂t dt
(VI.33)
leert dat
zodat
p j = ∂S
∂q j
,
H = − ∂S
∂t ,
∂S
(
∂t + H q, ∂S )
∂q , t
p 0j = ∂S
∂q 0j
,
(VI.34)
= 0 . (VI.35)
Dit is de Hamilton-Jacobi-vergelijking.
De techniek om mechanische bewegingsvergelijkingen m.b.v. deze vergelijking op te lossen is
vooral aan Jacobi te danken. Zonder in detail op deze techniek in te gaan, vermelden we het volgende.
Voor vaste q 0 en t 0 kun je de actie S als een functie op de configuratieruimte beschouwen.
Men kan aantonen dat de paden die aan de bewegingsvergelijkingen voldoen altijd loodrecht op de
hypervlakken S = constant staan. (Vandaar de vaak aangehaalde analogie met de optica: de paden
zijn te vergelijken met lichtstralen, het vlak S = constant met een golffront.) Als nu de waarden S
over de hele configuratie-ruimte op één tijdstip gegeven zijn, bepaalt de Hamilton-Jacobi-vergelijking
hoe ze zich in de loop der tijd ontwikkelen. Het probleem om de deeltjespaden te vinden is dan gereduceerd
tot het construeren van de normaalcurven op de vlakken van constante S.
Aardig om op te merken is dat Schrödinger oorspronkelijk zijn afleiding van de golfmechanica
baseerde op het idee dat de golfmechanica zich tot de klassieke mechanica verhoudt als de golfoptica
tot de stralen-optica. Met de zopas genoemde golffronten en de Hamilton-Jacobi-vergelijking
geraakte Schrödinger aldus tot zijn golfmechanica.

VII
DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
Er is nauwelijks een artikel — noch was er een artikel in de afgelopen twee-en-een-halve
decennia — over de grondslagen van de quantummechanica zonder verwijzing naar het
werk van J.S. Bell
— Max Jammer
De ongelijkheid van Bell is de meest diepzinnige ontdekking van de wetenschap.
— H.P. Stapp
De ‘Bell-ongelijkheden’ is een verzamelnaam voor ongelijkheden in termen van meetbare fysische
grootheden waar verborgen-variabelen-theorieën aan voldoen, maar die de quantummechanica
schendt. We zullen diverse Bell-ongelijkheden afleiden, behorend tot verschillende typen
van verborgen-variabelen-theorieën, inclusief stochastische, die buiten het bestek van Hoofdstuk
V vielen.
LOCAAL-DETERMINISTISCHE VERBORGEN VARIABELEN
Afleiding van de eerste Bell-ongelijkheid. We keren terug naar onze verborgen-variabelen-theorieën
(VVT) en richten onze aandacht op een specifiek experiment. J.S. Bell (1964) beschouwt het EPRexperiment
(uit §I.2) in de versie van Bohm; men noemt dit ook wel het EPRB-experiment). Twee
deeltjes met spin 1 2
worden geprepareerd in de singlettoestand en vliegen uiteen. De spin van ieder
van de deeltjes wordt gemeten in een vrij te kiezen richting. Aan deeltje 1 meten we spin in de richting
⃗a; aan het ver verwijderde deeltje 2 in richting ⃗ b (zie figuur). Omdat het resultaat van zo’n meting
aan het ene deeltje (met zekerheid) voorspeld kan worden door een geschikte meting aan het andere
deeltje te verrichten, terwijl de deeltjes niet wisselwerken en zich ver van elkaar bevinden, volgt volgens
EPR dat het resultaat van een meting van iedere spin-component al van te voren vastligt. Dit
Figuur VII.1: Het gedachten-experiment van Einstein, Podolsky en Rosen met het singlet.

116 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
suggereert dat er een meer volledige beschrijving van de toestand van de deeltjes dan de quantummechanische
bestaat bestaat met verborgen variabelen. Specificeer die beschrijving van het deeltjespaar
met variabelen die we gezamenlijk noteren met λ ∈ Λ, zoals we in het vorige hoofdstuk hebben
afgesproken. We noteren de grootheden die corresponderen met (⃗σ 1 ·⃗a) ⊗ (⃗σ 2 ·⃗b) als het paar (A, B),
met waarden a, b = ±1. In een contextuele verborgen-variabelen-theorie (VVT) zijn deze waarden
afhankelijk van de verborgen variabele λ tezamen met de totale meetcontext, die hier door middel
van de meetrichtingen ⃗a en ⃗ b gespecificeerd kan worden. Dus:
A = A(⃗a, ⃗ b, λ) en B = B(⃗a, ⃗ b, λ) . (VII.1)
De essentiële onderstelling is nu de localiteitseis dat grootheid A niet afhangt van de spin-meterstand
op afstand ( ⃗ b), en B niet van ⃗a. Deze grootheden hangen dus alleen van de locale context af.
A(⃗a, ⃗ b, λ) = A(⃗a, λ) en B(⃗a, ⃗ b, λ) = B( ⃗ b, λ) . (VII.2)
De bron die de deeltjes-paren uitzendt prepareert wellicht niet steeds het paar in dezelfde toestand
λ. We nemen aan dat de deeltjes-bron met een kansdichtheid ρ gekarakteriseerd kan worden:
∫
ρ(λ) dλ = 1 .
(VII.3)
Λ
We nemen aan dat deze kansdichtheid niet van de gekozen meetrichtingen ⃗a, ⃗ b afhangt, die we immers
kunnen instellen lang nadat de deeltjes de bron hebben verlaten. Dan is de verwachtingswaarde van
het produkt van A en B in deze VVT
∫
E(⃗a, ⃗ b) = ρ(λ) A(⃗a, λ) B( ⃗ b, λ) dλ .
(VII.4)
Λ
De quantummechanica geeft hiervoor (met het deeltjespaar in de singlettoestand, vlg. III.131, blz. 58):
E QM (⃗a, ⃗ b) = 〈⃗σ 1 · ⃗a ⊗ ⃗σ 2 ·⃗b〉 = −⃗a ·⃗b = − cos θ ⃗a, ⃗ b
.
(VII.5)
Maar de uitdrukkingen (VII.4) en (VII.5) kunnen niet voor alle richtingen ⃗a, ⃗ b samenvallen.
Bewijs Beschouw eerst het geval dat ⃗a = ⃗n en ⃗ b = ⃗n; d.w.z. we meten de spin van beide deeltjes
in dezelfde richting. Om in dit geval gelijkheid tussen (VII.4) en (VII.5) te krijgen, is het wegens
(VII.2) nodig dat voor alle eenheidsvectoren ⃗n:
A(⃗n, λ) = −B(⃗n, λ) .
Hiermee krijgen we
∫
E(⃗a, ⃗ b) = −
Λ
A(⃗a, λ) A( ⃗ b, λ) ρ(λ) dλ .
Dan volgt wegens A(⃗n, λ) 2 = 1 dat
∫
E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ ) = −
=
∫
Λ
Λ
(
A(⃗a, λ) A( ⃗ b, λ) − A(⃗a, λ) A( ⃗ b ′ , λ) ) ρ(λ) dλ
A(⃗a, λ) A( ⃗ b, λ) ( A( ⃗ b, λ) A( ⃗ b ′ , λ) − 1 ) ρ(λ) dλ .
(VII.6)
(VII.7)
(VII.8)

Neem van beide kanten de absolute waarde en bedenk ook dat |A(⃗a, λ)A( ⃗ b, λ)| = 1; dan volgt:
∫
|E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ (
)| 1 − A( ⃗ b, λ) A( ⃗ b ′ , λ) ) ρ(λ) dλ , (VII.9)
ofwel,
Λ
1 + E( ⃗ b, ⃗ b ′ ) |E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ )| (VII.10)
Dit is de oorspronkelijke ongelijkheid van Bell.
De Bell-ongelijkheid van Clauser, Horne, Shimony en Holt. We zullen eerst een andere ongelijkheid
afleiden. Vervang in (VII.8) ⃗a door ⃗a ′ en het –teken door het +teken. We leiden dan in plaats van
(VII.10) op dezelfde wijze af:
1 − E( ⃗ b, ⃗ b ′ ) |E(⃗a ′ , ⃗ b) + E(⃗a ′ , ⃗ b ′ )| . (VII.11)
Samen met (VII.10) geeft dit
117
|E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ )| + |E(⃗a ′ , ⃗ b) + E(⃗a ′ , ⃗ b ′ )| 2 .
(VII.12)
Deze versie van de Bell-ongelijkheid (VII.12) is het eerst (maar onder zwakkere onderstellingen dan
hier gebruikt, zie §VII.2) afgeleid door Clauser, Horne, Shimony en Holt (Clauser et al. 1969) en
wordt daarom wel de CHSH-ongelijkheid genoemd.
Strijdigheid van de Bell-ongelijkheden met de quantummechanica. We zullen nu de volgende
stelling bewijzen:
EERSTE STELLING VAN BELL: Een locale deterministische verborgen-variabelen-theorie
is empirisch strijdig met de quantummechanica.
Bewijs. Met empirisch strijdig bedoelen we dat de twee theorieën strijdige uitspraken doen in
termen van meetbare fysische grootheden. We zullen laten zien dat er spin-grootheden zijn die de
Bell-ongelijkheid (VII.12) schenden.
Beschouw de getekende configuratie
Met uitdrukking (VII.5) luidt ongelijkheid (VII.12):
F (ϕ) := | − cos ϕ + cos 2ϕ| + | − cos ϕ − 1| 2 .
(VII.13)

118 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
We zien dat (VII.13) geschonden wordt voor iedere scherpe hoek.
De maximale schending is
F (60 ◦ ) = 5/2 .
Grotere schendingen zijn mogelijk in andere configuraties. De allergrootste schending geeft hier
de volgende configuratie:
E QM (⃗a, ⃗ b) = − cos 45 ◦ = − 1 2√
2
E QM (⃗a, ⃗ b ′ ) = − cos 135 ◦ = 1 2√
2
E QM (⃗a ′ , ⃗ b) = − cos 135 ◦ = 2√ 1 2
E QM (⃗a ′ , ⃗ √
b ′ ) = − cos 135 ◦ = 1 2 2
(alle vectoren in één vlak)
|E QM (⃗a, ⃗ b) − E QM (⃗a, ⃗ b ′ )| + |E QM (⃗a ′ , ⃗ b) + E QM (⃗a ′ , ⃗ b ′ )| = 2 √ 2 . (VII.14)
Dit is een schending van 40%. □
Geldigheid van de Bell-ongelijkheid in een locaal-deterministisch model van het singlet. Ter
illustratie van het voorafgaande beschouwen we een locale-deterministische autonome VVT toegepast
op het singlet. Neem aan dat de beide deeltjes gekenmerkt worden met een ‘klassieke’ spin-vector ⃗ J
en − ⃗ J om een gemeenschappelijke as. (Dit is de verborgen variabele.) Laat de deeltjes van elkaar
wegvliegen. We nemen in dit model aan dat de uitkomst van een spin-meting in de richting ⃗n bepaald
wordt door het teken van de component van de spinvector in de richting ⃗n. Dus als van het eerste
deeltje in de richting ⃗a gemeten wordt is de uitkomst: ⃗ J · ⃗a/‖ ⃗ J · ⃗a‖ ∈ {−1, 1}, en voor het tweede
deeltje in een richting ⃗ b is de uitkomst − ⃗ J · ⃗b/‖ ⃗ J · ⃗b‖. Het resultaat van de meting aan het eerste
deeltje is onafhankelijk van de richting ⃗ b en omgekeerd; het model is dus locaal. Beschouw nu een
ensemble van zulke twee-deeltjes-systemen met ⃗ J isotroop verdeeld.

Laat a n het teken zijn van ⃗ J ·⃗a in het n-de paar, en evenzo b n het teken van − ⃗ J ·⃗a. Als ⃗ J door het
gearceerde gebied prikt, dan is a n b n = +1. In het andere geval is a n b n = −1. Het oppervlak van het
gearceerde gebied is 4θ ⃗a, ⃗ b
en de rest is 4(π − θ ⃗a, ⃗ b
). Voor een isotrope verdeling is dus
a n b n = 1 (
4θ⃗a, ⃗
4π b
− 4(π − θ ⃗a, ⃗ b
) ) = −1 + 2 π θ ⃗a, ⃗ b , (VII.15)
hetgeen een stijgende lijn is door (0, −1) met richtingscoëfficiënt 2/π. Dit loopt van volmaakte correlatie
voor θ = π naar volmaakte anti-correlatie voor θ = 0.
119
de stippellijn is − cos θ ⃗a, ⃗ b
Vgl. (VII.15) moet voldoen aan de Bell-ongelijkheid (VII.12) met E(⃗a, ⃗ b) = a n b n . In het voorbeeld
waarin ⃗a = ⃗ b de hoek tussen ⃗a en ⃗ b ′ door midden deelt, geeft vgl. (VII.15) in ongelijkheid (VII.12)
precies het gelijkteken: = 2. In het andere voorbeeld op blz. 117 is
θ ⃗a, ⃗ b
= π 4
en θ ⃗a, ⃗ b ′ = θ ⃗a ′ , ⃗ b = θ ⃗a ′ , ⃗ b ′ = 3π 4 . (VII.16)
Dan geeft vgl. (VII.15) in ong. (VII.12):
∣
∣(−1 + 1 2 ) − (−1 + 3/2)∣ ∣ + ∣ ∣(−1 + 3/2) + (−1 + 3/2) ∣ ∣ = 1 + 1 = 2 .
(VII.17)
Dus in dit geval is aan ongelijkheid (VII.12) voldaan.
Ten slotte merken we op dat
E QM (⃗a, ⃗ b) = − cos θ ⃗a, ⃗ b
≈ −1 + 1 2 θ2 ⃗a, ⃗ b − · · · (VII.18)
Vergeleken met vgl. (VII.15) zien we dat de quantummechanica zich langzamer van volmaakte anticorrelatie
verwijdert dan de VVT. Dit feit werd in het artikel van Bell van 1964 gebruikt om de
afwijking van de quantummechanica en een willekeurige locale, deterministische autonome VVT aan
te tonen.

120 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
VII.2
LOCALE DETERMINISTISCHE CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN
We hebben gezien dat tussen de empirisch toetsbare uitspraken van de quantummechanica en die
van een locaal-deterministische, autonome VVT voor een singlettoestand en geschikt gekozen spinrichtingen
een aanmerkelijk verschil bestaat. Dit opent de weg naar een experimentele toetsing van
deze uitspraken, en dus van de juistheid van hun beider filosofische uitgangspunten. Het is om deze
reden dat A. Shimony over de experimentele toetsing van de Bell-ongelijkheden sprak als ‘experimentele
metafysica’.
De kwestie van experimentele toetsing stelt de afleiding van de Bell-ongelijkheden echter in een
ander licht. We willen nu immers niet langer een VVT met de quantummechanica vergelijken, maar
met experimentele resultaten. In dit verband is vgl. (VII.6), die volmaakte anti-correlatie impliceert
wanneer ⃗a = ⃗ b, een te sterke idealisering. In een werkelijk experiment zijn de deeltjes-detectoren niet
100% efficiënt, in de zin dat niet alle deeltjes geregistreerd worden. Je kunt denken aan een detector
die als A(⃗a, λ) = 1 is, toch soms 0 geeft (niet gemeten) of zelfs −1 (verkeerd gemeten). Bovendien
zouden in een contextuele VVT de uitkomsten mede-afhankelijk kunnen zijn van de meetcontext,
d.w.z. van (eventueel verborgen) variabelen van de detectoren. Het is echter mogelijk ook in deze
gegeneraliseerde situatie de ongelijkheid (VII.12) af te leiden uit een localiteitsonderstelling We laten
dat nu zien; we gaan dus de volgende stelling bewijzen.
TWEEDE STELLING VAN BELL: Een locaal-deterministische contextuele verborgenvariabelen-theorie
is empirisch strijdig met de quantummechanica.
Bewijs. Neem aan dat de grootheden A en B functies van drie argumenten zijn:
A = A(⃗a, λ, µ) , B = B( ⃗ b, λ, ν) waarin A, B ∈ {−1, 1} . (VII.19)
Dit drukt het locaal-deterministische karakter van de VVT uit: de meetuitkomst bij het meetapparaat
dat ⃗a · ⃗σ meet wordt bepaald door λ ∈ Λ, door de locale verborgen variabelen van dat meetapparaat,
symbolisch uitgedrukt door µ ∈ Λ a , en door de stand ⃗a van de meter. De localiteitseis is dus nog
steeds dat A niet van ⃗ b en ν, en B niet van ⃗a en µ afhangt. We onderstellen de verborgen apparaatvariabelen
onafhankelijk van elkaar en van λ:
ρ(λ, µ, ν) = ρ(λ) ρ 1 (µ) ρ 2 (ν) .
(VII.20)
Definieer
A(⃗a, λ) :=
∫
ρ 1 (µ) A(⃗a, λ, µ) dµ
Λ a
en (VII.21)
B( ⃗ b, λ) :=
∫
ρ 2 (ν) B( ⃗ b, λ, ν) dν ,
Λ b
(VII.22)
dan hebben we i.p.v. onderstelling (VII.2) de veel zwakkere eisen:
|A(⃗a, λ)| 1 en |B( ⃗ b, λ)| 1 . (VII.23)

VII.2. LOCALE DETERMINISTISCHE CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 121
Opnieuw kan Bell-ongelijkheid (VII.12) hieruit worden afgeleid, en wel als volgt. De verwachtingswaarde
in deze VVT is:
∫
E(⃗a, ⃗ b) = dλ
Λ
∫
dµ A(⃗a, λ, µ)
Λ a
∫
dν B( ⃗ b, λ, ν) ρ(λ, µ, ν)
Λ b
∫
= ρ(λ)A(⃗a, λ)B( ⃗ b, λ) dλ .
(VII.24)
Λ
Dit is vgl. (VII.4) ‘met streepjes’. Dus
∫
|E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ )| = dλ ρ(λ) A(⃗a, λ) ( B( ⃗ b, λ) − B( ⃗ b ′ , λ) )
∫
dλ ρ(λ) |B( ⃗ b, λ) − B( ⃗ b ′ , λ)| .
Λ
Evenzo:
∫
|E(⃗a ′ , ⃗ b) + E(⃗a ′ , ⃗ b ′ )| dλ ρ(λ) |B( ⃗ b, λ) + B( ⃗ b ′ , λ)| .
Λ
Zodat
Λ
(VII.25)
(VII.26)
|E(⃗a, ⃗ b) − E(⃗a, ⃗ b ′ )| + |E(⃗a ′ , ⃗ b) + E(⃗a ′ , ⃗ b ′ )| 2
(VII.27)
want |x + y| + |x − y| 2 indien |x| 1 en |y| 1. Dit is weer Bell-ongelijkheid (VII.12). Uit
(VII.12) volgt (VII.10) voor ⃗a ′ = ⃗ b ′ en de onderstelling van volmaakte (anti-)correlatie E( ⃗ b ′ , ⃗ b ′ ) =
−1; maar (VII.12) blijft geldig, zoals we zagen, onder de zwakkere voorwaarde (VII.23). □
Ten slotte merken we op dat het niet nodig is µ en λ resp. ν en λ onafhankelijk van elkaar te
onderstellen, zoals in (VII.20); het resultaat (VII.23) volgt ook wanneer we de zwakkere onderstelling
maken dat de voorwaardelijke kansverdelingen van de apparaten de gezamenlijke kansverdeling ρ
doen factoriseren:
ρ(λ, µ, ν) = ρ(λ) ρ 1 (µ|λ) ρ 2 (ν|λ) .
(VII.28)
DE AFLEIDING VAN WIGNER
E.P. Wigner (1970) gaf als eerste een elegante afleiding van een Bell-ongelijkheid in termen van
waarschijnlijkheden. We beschouwen weer het EPRB-experiment uit §VII. Beschouw drie richtingen
⃗n 1 , ⃗n 2 , ⃗n 3 ∈ R 3 , en definieer
σ i := ⃗n i · ⃗σ en τ i := ⃗n i · ⃗τ , waarin i ∈ {1, 2, 3} . (VII.29)
Hierin zijn ⃗σ en τ de spin-operatoren van deeltje 1 resp. deeltje 2. We onderstellen de grootheden
van deeltje 1 onafhankelijk van die van deeltje 2:
(σ i ⊗ 11) σi ⊗τ j
[λ] = (σ i ⊗ 11) σi ⊗τ j ′ [λ] , (VII.30)
(11 ⊗ τ j ) σi ⊗τ j
[λ] = (11 ⊗ τ j ) σi ′⊗τ j
[λ] . (VII.31)

122 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
Dit is de localiteitsvoorwaarde. Zonder deze voorwaarde zouden we negen onafhankelijke grootheden
in de VVT hebben, nl. de paren (σ i , τ j ), dus evenveel grootheden als meet-contexten; nu hebben we
er maar zes: (σ 1 , σ 2 , σ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ). De meetuitkomst van iedere spin-grootheid is ±1 (in eenheden
van /2). Een VVT moet een kans toekennen aan iedere uitkomstencombinatie:
0 p(σ 1 , σ 2 , σ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ) 1 , (VII.32)
met de gebruikelijke marginale verdelingen, dus bijvoorbeeld:
p(σ 1 , τ 1 ) =
∑+1
∑+1
∑+1
∑+1
σ 2 =−1 σ 3 =−1 τ 2 =−1 τ 3 =−1
p(σ 1 , σ 2 , σ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ) ,
(VII.33)
etc. Merk op dat in de quantummechanica dergelijke gezamenlijke kansverdelingen niet kent, omdat
deze zes grootheden niet allemaal paarsgewijs commuteren met elkaar (de spin-grootheden zijn niet
gezamenlijk meetbaar — maar hun waarden worden volgens de VVT wel allemaal vastgelegd). Noem
de hoeken tussen ⃗n 1 , ⃗n 2 , ⃗n 3 : θ 12 , θ 23 , θ 31 . Dan is in het singlet (zie (III.136))
Prob(σ i = 1 ∧ τ j = 1) = 1 2 sin2 1 2 θ ij ,
Prob(σ i = 1 ∧ τ j = −1) = 1 2 cos2 1 2 θ ij .
(VII.34)
Dit zijn de quantummechanische waarschijnlijkheden. We zullen zien dat de VVT die aan eis (VII.32)
voldoet, dit niet kan reproduceren.
Uit (VII.34) volgt de eis
p(σ 1 , σ 2 , σ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ) = 0 tenzij σ 1 = −τ 1 , σ 2 = −τ 2 , σ 3 = −τ 3 . (VII.35)
De kans dat σ 1 en τ 3 beide +1 zijn, is in het licht van vgl. (VII.34):
∑
σ 2 ,σ 3
∑
τ 1 ,τ 2
p(+, σ 2 , σ 3 , τ 1 , τ 2 , +) = p(+, +, −, −, −, +) + p(+, −, −, −, +, +)
= θ 1 2 sin2 31
2 . (VII.36)
Evenzo berekenen we de volgende kansen:
∑ ∑
p(σ 1 , +, σ 3 , τ 1 , τ 2 , +)
σ 1 ,σ 3 τ 1 ,τ 2
= p(+, +, −, −, −, +) + p(−, +, −, +, −, +)
en
= 1 2 sin2 θ 23
2 , (VII.37)
∑ ∑
p(+, σ 2 , σ 3 , τ 1 , +, τ 3 ) = p(+, −, +, −, +, −) + p(+, −, −, −, +, +)
σ 2 ,σ 3 τ 1 ,τ 3
Uit (VII.37) volgt
= 1 2 sin2 θ 12
2 . (VII.38)
p(+, +, −, −, −, +) 1 2 sin2 θ 23
2 , (VII.39)

en uit (VII.38) volgt
VII.2. LOCALE DETERMINISTISCHE CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 123
p(+, −, −, −, +, +) 1 2 sin2 θ 12
2 . (VII.40)
Dus aan (VII.36) kan alleen voldaan zijn indien
θ 1
2 sin2 23
2 + θ 1 2 sin2 12
2
hetgeen met sin 2 (θ/2) = (1 − cos θ)/2 wordt (VII.41):
1 2 sin2 θ 31
2 , (VII.41)
(1 − cos θ 23 ) + (1 − cos θ 12 ) 1 − cos θ 31 . (VII.42)
Hier staat in essentie hetzelfde als in ongelijkheid (VII.10).
Kies deze configuratie: θ 23 = θ 12 = 1 2 θ 31 = ϕ.
Dan wordt (VII.42):
1 − 2 cos ϕ + cos 2ϕ 0 . (VII.43)
Met cos 2ϕ = 2 cos 2 ϕ − 1 wordt dit
2 cos ϕ(cos ϕ − 1) 0 . (VII.44)
Deze ongelijkheid is geschonden voor iedere scherpe hoek, i.e. voor een willeurige ϕ ∈ (0, π/2) .
OPGAVE 31. Wat voor type VVT sluit deze redenering van Wigner precies uit?
Wigner merkt op dat de VVT wel mogelijk geweest zou zijn als er in (VII.41) sin θ 2 i.p.v. sin2 θ 2
had gestaan — ons wereldbeeld hangt af zulke ‘minieme’ wiskundige verschillen.
ZONDER VERBORGEN VARIABELEN?
In de voorgaande afleidingen van de Bell-ongelijkheden werd uitgegaan van verborgen variabelen, die
eigenschappen van het deeltjespaar voorstellen en die de meetuitkomsten van alle fysische grootheden
bepalen. Als gevolg hiervan is in de VVT ook een gezamenlijke waarschijnlijkheid voor de waarden
van niet-commuterende grootheden gedefiniëerd, zoals we hebben gezien bij de afleiding van Wigner.
Dit volgt uit het feit dat bij gegeven λ zowel A(⃗a, λ) als A(⃗a ′ , λ) bepaald is; dan is bijvoorbeeld
p ( A(⃗a) = 1 ∧ A(⃗a ′ ) = 1 ) ∫
= ρ(λ) dλ ,
(VII.45)
∆
waarin ∆ ⊂ Λ het gebied is waarin zowel A(⃗a, λ) = 1 als A(⃗a ′ , λ) = 1. Aangezien de quantummechanica
dergelijke ‘gezamenlijke kansen’ voor niet-commuterende grootheden niet erkent (de

124 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
grootheden zijn immers niet gezamenlijk meetbaar), zou men kunnen denken dat het deze eigenschap
van de VVT is die de afwijking van de quantummechanica veroorzaakt en niet zozeer de localiteit of
het determinisme.
In de volgende afleiding van de Bell-ongelijkheid, afkomstig van P. Eberhard en H. Stapp, wordt
het bestaan van verborgen variabelen niet ondersteld. Zij claimen dat de Bell-ongelijkheid volgt uit
slechts een onderstelling van localiteit. Wat in deze afleiding wel noodzakelijk blijkt te zijn, zoals we
zullen zien, is de aanname dat we zinvol kunnen spreken over de uitkomsten van metingen die niet
gedaan zijn.
STELLING VAN EBERHARD & STAPP: De quantummechanica is een niet-locale theorie.
Bewijs. Beschouw weer het EPRB-experiment. Laten ⃗a en ⃗a ′ twee standen zijn van de spin-meter
bij A, en ⃗ b en ⃗ b ′ idem bij B. We kunnen vier experimenten doen:
I : ⃗a, ⃗ b II : ⃗a, ⃗ b ′ III : ⃗a ′ , ⃗ b IV : ⃗a ′ , ⃗ b ′ .
Definieer, voor het n-de deeltjespaar, a n (I) als de uitkomst van een spin-meting in de richting ⃗a van
het deeltje dat naar A vliegt als de meter bij A in de richting ⃗a staat en men aan het andere deeltje,
dat naar B vliegt, spin in de richting ⃗ b meet (experiment I, a n (I) = ±1). En mutatis mutandis voor
a n (II), a ′ n(III), a ′ n(IV), b n (I), b n (III), b ′ n(II) en b ′ n(IV). Deze waarden stellen meet-uitkomsten voor
van feitelijke of mogelijke metingen, en niet bezeten eigenschappen van de deeltjes, die ook bestaan
als ze niet worden gemeten.
De localiteitsonderstelling zegt dat een spin-meetuitkomst aan deeltje 1, zeg in richting ⃗a, niet
afhangt van welke spin-richting aan het andere, ver verwijderde deeltje 2 wordt gemeten ( ⃗ b of ⃗ b ′ ). Dit
is de localiteitspremisse uit de stelling van Stapp & Eberhard en zij leidt tot wat we de overeenkomstvoorwaarde
zullen noemen (Eng.: matching condition):
a n (I) = a n (II) , a ′ n(III) = a n (IV) , b n (I) = b n (III) , b ′ n(II) = b ′ n(IV) , (VII.46)
voor alle N deeltjes-paren in de singlettoestand |Ψ 0 〉.
Beschouw nu de uitdrukking
γ n := a n (I)b n (I) + a n (II)b ′ n(II) + a ′ n(III)b n (III) − a ′ n(IV)b ′ n(IV) . (VII.47)
De eerste term correspondeert met experiment I, de tweede met experiment II, etc., maar we mogen
dit weglaten in de notatie vanwege de overeenkomst-voorwaarde (VII.46): a n := a n (I) = a n (II),
etc. Schrijf nu
γ n = a n (b n + b ′ n) + a ′ n(b n − b ′ n) . (VII.48)
Wegens de waardetoekenning ±1 is hetzij de eerste hetzij de tweede term gelijk aan 0 en we zien dat
voor alle n:
γ n = ±2 . (VII.49)
We middelen nu over N herhalingen van het experiment
∣ 1 N
N∑ ∣ ∣∣ 1
N∑
γ n = ∣ a n b n +
N
1
n=1
N∑
a n b ′ n +
n=1
N∑
a ′ nb n −
n=1
N∑
a ′ nb ′ n∣ 2 ,
n=1
(VII.50)

VII.2. LOCALE DETERMINISTISCHE CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABELEN 125
Definieer de correlatie-coëfficiënten
c N (⃗a, ⃗ b) :=
Dan concluderen we
1 N
N∑
a n b n , etc. (VII.51)
n=1
|c N (⃗a, ⃗ b) + c N (⃗a, ⃗ b ′ ) + c N (⃗a ′ , ⃗ b) − c N (⃗a ′ , ⃗ b ′ )| 2 . (VII.52)
Dit is weer een Bell-ongelijkheid, equivalent aan ongelijkheid (VII.12) wanneer we de limiet N → ∞
nemen.
De verwachtingswaarde van c(⃗a, ⃗ b) = a n b n volgens de quantummechanica wordt gegeven door
(VII.5) en de strijdigheid met (VII.52) volgt als in §VII.2. Merk op dat deze afleiding direct uitgaat
van de uitdrukking (VII.47) en daardoor niet het bestaan hoeft te onderstellen van verborgen variabelen.
We lijken, sensationeel genoeg, bewezen te hebben dat de quantummechanica empirisch strijdig
is met de localiteitseis. □
De experimentele schending van de Bell-ongelijkheden voert ons dan tot de conclusie dat de
fysische werkelijkheid niet locaal is. De werkelijkheid zit kennelijk zo in elkaar dat de uitkomst hic
et nunc ogenblikkelijk afhangt van in welke stand een meetapparaat in de Andromeda-nevel wordt
gezet.
Wat we echter wel hebben voorondersteld in de overeenkomst-voorwaarde (VII.46) is dat dat we
tegelijk waarden kunnen toekennen aan a n en a ′ n, die echter niet tegelijk gemeten worden omdat je
de spin-meter nu eenmaal niet tegelijk in stand ⃗a en stand ⃗a ′ ≠ ⃗a kunt zetten. In feite is van het
viertal termen in (VII.47) er hoogstens één experimenteel te realiseren. Toch hebben we gesproken
over de uitkomsten van niet-gedane metingen. De afleiding van de Bell-ongelijkheid (VII.52)
uit de overeenkomst-voorwaarde (VII.46) is wiskundig onberispelijk. Maar volgt de overeenkomstvoorwaarde
(VII.46) uit de localiteitseis? Op deze vraag we thans dieper in.
Tegenfeitelijk voorwaardelijke beweringen en indeterminisme. Laat nu a n de uitkomst zijn die
we in experiment I registreren. Eberhard en Stapp claimen met hun overeenkomst-voorwaarde dat
deze waarde van a n ongewijzigd zou zijn als we in plaats van experiment I experiment II zouden
hebben uitgevoerd. Deze experimenten verschillen immers alleen in de stand van de ver verwijderde
B-meter. Dus a n is de uitkomst die de spin-meter A bij het n de paar had gegeven indien experiment I
of experiment II zou worden uitgevoerd. Redhead (1987, blz. 92) formuleert deze eis als volgt:
BEGINSEL VAN DE LOCALE TEGENFEITELIJKE BEPAALDHEID (LOCTB): De meetuitkomst
van een experiment dat aan een fysisch systeem zou kunnen worden gedaan heeft
een bepaalde waarde die niet afhangt van de stand van een ver verwijderd meetapparaat.
Dat wil zeggen, als die stand anders zou zijn geweest dan hij is, zou de uitkomst van het
experiment niet anders zijn geweest.
Met dezelfde wiskunde als in het voorgaande volgt dan
LOCTB =⇒ Bell-ongelijkheid . (VII.53)
Aangezien LOCTB een localiteitsonderstelling over meetuitkomsten is, lijkt (VII.53) onafhankelijk
van het bestaan van verborgen variabelen. Maar schijn bedriegt.

126 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
In feite is LOCTB alleen redelijk in een deterministische context en niet in het geval van indeterminisme.
Beschouw de volgende voorbeelden (Redhead, ibid.). Stel ik hef op t 1 , vlak voordat de
klok twaalf slaat, mijn hand op. Ik stel nu de vraag of de klok ook geslagen zou hebben als ik op t 1
mijn hand niet had opgeheven. Het intuïtief juiste antwoord is ‘Ja’, in overeenstemming met LOCTB.
Vervang nu de klok door een radioactief atoom dat op t 2 vervalt. Stel dat ik op t 1 < t 2 mijn hand heb
opgeheven. Zou het atoom ook op t 2 vervallen zijn als ik dit niet had gedaan? Het antwoord is nu
verre van duidelijk. Als het verval zuiver indeterministisch is, hoeft een herhaling van het experiment,
zelfs alleen in gedachten, niet dezelfde uitkomst te geven. De onderstelling dat het atoom niet zou
zijn vervallen als ik mijn hand niet had opgeheven, is niet in strijd met localiteit. De onderstelling
dat meetuitkomsten dezelfde waarde houden, ook als je ze niet meet is alleen redelijk in een deterministische
context, en hetzelfde geldt voor de onderstelling dat metingen die je niet doet van tevoren
bepaalde uitkomsten hebben. Maar in een deterministische context verschillen deze onderstellingen
niet van elkaar, en is een meetuitkomst eenduidig verbonden met de vlak daarvoor bezeten waarde
van de grootheid, dus met een verborgen variabele.
De conclusie luidt dat de Stapp-Eberhard onderstelling LOCTB niet algemener is dan de onderstelling
dat de waarde a n een van te voren bepaalde eigenschap van de deeltjes is die onafhankelijk
is van de meterstand bij B. Dat wil zeggen, de afleiding is niet algemener dan die voor een locaaldeterministische
VVT.
VII.5
STOCHASTISCHE VERBORGEN VARIABELEN
We laten nu determinisme vallen in de VVT : de λ bepalen nu slechts de kans dat een grootheid een
zekere waarde heeft, die vervolgens door het meetapparaat wordt onthuld zoals een weegschaal ons
gewicht onthuld. Een stochastische VVT sluit nauwer aan bij de quantummechanica en dit maakt een
scherpere vergelijking mogelijk van de onderstellingen die tot de Bell-ongelijkheden leiden enerzijds,
met de quantummechanica anderzijds.
We onderstellen in onze stochastische VVT het bestaan van een kansverdeling bij gegeven richtingen
⃗a, ⃗ b ∈ R 3 van de spin-meters in het EPRB-experiment:
p ⃗a, ⃗ b
(a, b, λ) ;
(VII.54)
dit is de kans dat voor de grootheden ⃗σ 1 ·⃗a en ⃗σ 2 ·⃗b de waarden A resp. B gevonden worden (A, B =
±1). Weer is λ ∈ Λ de verborgen variabele die de bron beschrijft. Zo’n kansverdeling kan altijd in
termen van voorwaardelijke kansen geschreven worden als:
p ⃗a, ⃗ b
(a, b, λ) = p ⃗a, ⃗ b
(a| b ∧ λ) p ⃗a, ⃗ b
(b| λ) ρ ⃗a, ⃗ b
(λ) .
(VII.55)
Om de Bell-ongelijkheden te kunnen afleiden, maken we de volgende drie onderstellingen.
1. Uitkomst-onafhankelijkheid De kans op een waarde van A voor ⃗a · ⃗σ(1) wordt ‘volledig’
bepaald door de instellingen van de spin-meters en door λ; in het bijzonder is het niet nodig om ook
uitkomst B te geven:
p ⃗a, ⃗ b
(a | b ∧ λ) = p ⃗a, ⃗ b
(a | λ) en p ⃗a, ⃗ b
(B | a ∧ λ) = p ⃗a, ⃗ b
(b | λ) . (VII.56)

VII.5. STOCHASTISCHE VERBORGEN VARIABELEN 127
2. Parameter-onafhankelijkheid De kans op meetuitkomst A (of B) is onafhankelijk van de stand
van de spin-meter op afstand:
p ⃗a, ⃗ b
(a | λ) = p ⃗a (a | λ) en p ⃗a, ⃗ b
(a | λ) = p ⃗b (b | λ) . (VII.57)
3. Onafhankelijkheid van de bron. De verdeling van λ in de bron hangt niet af van in welke
standen de spin-meters komen te staan:
ρ ⃗a, ⃗ b
(λ) = ρ(λ) .
(VII.58)
In beginsel kunnen we de spin-meters ‘op het laatste ogenblik’ instellen, lang nadat de deeltjes hebben
de bron hebben verlaten. Het is redelijk ervan uit te gaan dat de bron zich niet laat beïnvloeden door
wat in de toekomst met de meetapparaten gebeurt.
We gaan nu de volgende stelling bewijzen.
DERDE STELLING VAN BELL: Een stochastische VVT die voldoet aan parameteronafhankelijkheid,
uitkomst-onafhankelijkheid en autonomie van de bron is empirisch
strijdig met de quantummechanica.
Bewijs. In iedere locaal-stochastische VVT wordt dankzij bovenstaande eigenschappen (VII.55):
p ⃗a, ⃗ b
(a, b, λ) = p ⃗a (A | λ) p ⃗b (b | λ) ρ(λ) ,
(VII.59)
ofwel:
p(a, b | λ) ⃗a, ⃗ b
= p ⃗a (a | λ) p ⃗b (b | λ) . (VII.60)
Hier staat dat de grootheden A en B, gegeven λ, statistisch onafhankelijk van elkaar zijn. Deze
bewering wordt vaak factoriseerbaarheid genoemd of voorwaardelijke onafhankelijkheid.
Met behulp van (VII.59) kan men weer een Bell-ongelijkheid afleiden voor E(⃗a, ⃗ b) via de relatie
∫
E(⃗a, ⃗ b) = dλ ( p ⃗a, ⃗ b
(1, 1, λ) − p ⃗a, ⃗ b
(1, −1, λ) − p ⃗a, ⃗ b
(−1, 1, λ)
=
waarin (VII.59) is gebruikt. Definieer:
dan is
∫
Λ
Λ
+ p ⃗a, ⃗ b
(−1, −1, λ) ) (VII.61)
dλ ρ(λ) ( p ⃗a (1 | λ) − p ⃗a (−1 | λ) )( p ⃗b (1 | λ) − p ⃗b (−1 | λ) ) ,
p ⃗a (1 | λ) − p ⃗a (−1 | λ) =: f(⃗a, λ) en p ⃗b (1 | λ) − p ⃗b (−1 | λ) =: g( ⃗ b, λ) , (VII.62)
|f(⃗a, λ)| 1 en |g( ⃗ b, λ)| 1 . (VII.63)
We zijn dan weer terug bij de formules (VII.23) en de daaropvolgende; de Bell-ongelijkheid (VII.12)
volgt weer. Schending van deze Bell-ongelijkheid betekent dat (VII.59) niet kan gelden en dus kan
geen VVT zowel uitkomst-onafhankelijkheid (VII.56) als parameter-onafhankelijkheid (VII.57) waarborgen.
□

128 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
Het belang van het onderscheid tussen uitkomst- en parameter-onafhankelijkheid werd het eerst
onder de aandacht gebracht door J. Jarrett (1984). Uitkomst-onafhankelijkheid zegt dat de kans op
uitkomst B, wanneer λ gegeven is, niet afhangt van de uitkomst A. De motivatie hiervoor is het
idee dat λ een volledige toestandsbeschrijving van het deeltjespaar geeft: de variabele λ herbergt een
uitputtende opsomming van alle factoren die voor het bepalen van de meetuitkomsten relevant zijn.
Het specificeren van de extra informatie dat de uitkomst A is opgetreden kan daarom, als λ reeds
bekend, niet tot nieuwe informatie over B leiden.
De bedoeling van de eis is te illustreren met een voorbeeld waarin er niet aan voldaan is: stel
twee mensen trekken ieder zonder te kijken een balletje uit een doos met twee balletjes, waarvan er
één zwart en één wit is. Hierna gaan ze uiteen, en reizen naar New York en Tokio. Beschouw een
‘stochastische verborgen variabele’ die kans 1 2
geeft dat elk van beide balletjes zwart resp. wit is.
Als nu de reiziger naar Tokio zijn hand opent en ziet dat zijn balletje zwart is, kan hij instantaan een
betere voorspelling over de kleur van het balletje in New York doen: dat moet immers wel wit zijn.
Hier geeft de meetuitkomst aan het ene balletje dus wel relevante informatie over de uitkomst van
een meting aan het andere balletje. Het idee achter de eis van uitkomstonafhankelijkheid luidt nu dat
zo’n situatie alleen op kon treden omdat de VVT onvolledig was: in een volledige specificatie van de
toestand die bij de aanvang van de reis bestond moet ook de (voor de reizigers onbekende) kleur van
de balletjes opgenomen worden. Maar dan volgt bij gegeven λ vanzelf dat het balletje in New York
wit is en geeft de waarneming in Tokio geen nieuwe informatie.
Parameter-onafhankelijkheid zegt dat de kansverdeling van A onafhankelijk is van externe veranderingen
bij B, zoals het richten van de spin-meter. De motivatie hiervan wordt meestal met de
mogelijkheid van seinen in verband gebracht. Als er bijvoorbeeld instellingen ⃗ b, ⃗ b ′ bestonden zodanig
dat
p ⃗a, ⃗ b
(a | λ) ≠ p ⃗a, ⃗ b ′(a | λ) ,
(VII.64)
dan is het in beginsel mogelijk om instantaan signalen tussen experimentatoren in de gebieden A en
B uit te wisselen. Immers, de experimentator bij B kan kiezen of hij zijn spin-meter in de richting
⃗ b of ⃗ b ′ zet. Een experimentator bij A is, als de bron deeltjes-paren in een zuivere verborgenvariabelen-toestand
λ uitzendt, in staat de relatieve frequentie van uitkomst van A te registreren
en daarmee te achterhalen welke stand door experimentator bij B heeft gekozen. Schending van
parameter-onafhankelijkheid betekent dus dat de VVT het uitwisselen van een sein (over willekeurig
grote afstand) mogelijk maakt.
De onderstelling van de onafhankelijkheid van de bron (VII.58) betekent dat de kansverdeling
over de verborgen variabele die het deeltjes-paar beschrijft niet af mag hangen van de door de experimentatoren
gekozen meetrichtingen. De motivatie hiervoor wordt ook vaak in temen van de ‘vrije
wil’ van de experimentatoren gegeven. De experimentatoren worden geacht geheel ‘vrij’ te zijn in
hun beslissing in welke stand de spin-meters te zetten, en zelfs om hun keus pas op het laatste ogenblik
te maken, wanneer de deeltjes de bron al lang en breed hebben verlaten. De kansverdeling ρ(λ)
die de bron van de deeltjes-paren karakteriseert, mag daar dus niet van afhangen.
Ook hier geldt natuurlijk dat schending van de eis logisch denkbaar is. Het kan zijn dat deze vrijheid
niet bestaat, en dat al bij het uitzenden van de deeltjes is vastgelegd in welke richtingen de experimentatoren
zullen meten; of dat een correlatie tussen λ en de richtingen ⃗a, ⃗ b door een andere oorzaak,
die beide beïnvloedt, aanwezig is. Men spreekt in het eerste geval (waarin alle relevante factoren van
het EPR-experiment dus al van te voren vastliggen en de experimentatoren geen vrije wil hebben)

VII.5. STOCHASTISCHE VERBORGEN VARIABELEN 129
over super-determinisme. In een super-deterministische theorie kunnen de Bell-ongelijkheden dus
ook geschonden worden.
De quantummechanica als stochastische, verborgen-variabelen-theorie. Een stochastische VVT
staat, door uitsluitend kansuitspraken over meetkomsten te geven, conceptueel minder ver van de
quantummechanica af dan andere VVT ën. In feite kunnen we de quantummechanica zelf zonder
bezwaar als een voorbeeld van een stochastische VVT opvatten, door λ te vereenzelvigen met de
quantummechanische toestand en Λ met de relevante Hilbert-ruimte. Aangezien de quantummechanica
niet aan de Bell-ongelijkheiden voldoet, is het interessant om na te gaan welke van de drie
bovengenoemde eisen door de quantummechanica noodzakelijkerwijs geschonden wordt.
We beschrijven de deeltjes-paren in de singlettoestand |Ψ 0 〉 (III.125) met een zuivere verborgenvariabelen-toestand,
dus de kansverdeling is dan een delta-verdeling:
ρ Ψ0 (λ) = δ λ0 (λ) := δ(λ − λ 0 ) .
(VII.65)
De kansen op de meetuitkomsten worden gegeven door (III.136):
p ⃗a, ⃗ b,λ0
(a = 1 ∧ b = 1) = 1 2 sin2 θ ⃗a, ⃗ b
2 . (VII.66)
OPGAVE 32. Bereken ook de andere drie gezamenlijke kansen, dus voor ‘a = 1 en b = −1’, etc.
Voorts hebben we de volgende
NIET-SEINEN-STELLING: De quantummechanica voldoet aan parameter-onafhankelijkheid,
d.w.z. als de deelsystemen van een samengesteld fysisch systeem niet langer
wisselwerken, dan is de kans op meetuitkomsten voor een willekeurige grootheid aan
deelsysteem 1 onafhankelijk van welke grootheid aan deeltje 2 word verricht, en omgekeerd.
OPGAVE 33. Bewijs dat het EPRB-experiment een voorbeeld is van de Niet-Seinen-Stelling. Facultatief:
bewijs de Niet-Seinen-Stelling algemeen met toestandsoperatoren — wie er niet uitkomt,
raadplege Ghirardi, Rimini en Weber (1980).
De marginale kansen p ⃗a, ⃗ b
(a | λ) en p ⃗a, ⃗ b
(b | λ) zijn beide 1 2
, en dus niet afhankelijk van de stand
van een ver verwijderde instelling. D.w.z. ook de quantummechanische correlaties in het singlet
kunnen niet aangewend worden om te seinen, er is geen actio in distans.
In de quantummechanica is echter niet aan de eis van uitkomst-onafhankelijkheid voldaan. Immers:
p(A = ±1 | Ψ 0 ) = 1 2 ,
(VII.67)
en
p(A = 1 | Ψ 0 ∧ B = 1) = sin 2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b
p(A = −1 | Ψ 0 ∧ B = 1) = cos 2 1 2 θ ⃗a, ⃗ b . (VII.68)
Men zegt dat volgens de quantummechanica fysische systemen onscheidbaar zijn. Deze afhankelijkheid
tussen de uitkomsten kunnen we echter niet gebruiken om signalen uit te wisselen; we hebben

130 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
de uitkomsten van spin-metingen immers niet in de hand en kunnen de de kansverdeling op de meetuitkomst
op afstand dus niet actief te beïnvloeden. Shimony noemt dit passiviteit op afstand (Eng.:
passion at a distance). De experimentator bij B kan, op grond van zijn waarneming weliswaar een
betere voorspelling doen over de uitkomst bij A dan op grond van de kennis van de singlet-toestand
alleen mogelijk is, maar hij kan de waarnemer bij A niet waarschuwen, hij kan slechts lijdzaam
toezien.
Het singlet |Ψ 0 〉 ∈ C 4 schendt de Bell-ongelijkheden voor geschikt gekozen spin-grootheden.
Het singlet is niet factoriseerbaar, d.i. niet te schrijven als direct product van twee toestanden in C 2 .
Men kan zich afvragen of er soorten van quantummechanische toestanden bestaan die voor geen
enkele keus van vier spin-grootheden een Bell-ongelijkheid schendt. Capasso, Fortunato en Selleri
hebben in 1973 bewezen dat de CSCH-ongelijkheid (VII.12) wordt eerbiedigd voor iedere keus van
vier spin-grootheden door alle factoriseerbare toestanden en door alle mengsels daarvan. Schendingen
zijn derhalve alleen mogelijk door verstrengelde toestanden. Omgekeerd hebben Home & Selleri
(1991, blz. 22-26, ibidem voor het bewijs van Capaso, Fortunato en Selleri) bewezen dat voor iedere
verstrengelde zuivere toestand, dus een toestand die niet te schrijven is als een direct product, er altijd
spin-grootheden te kiezen zijn die de CSCH-ongelijkheid schenden.
ZONDER ONGELIJKHEDEN?
De tegenspraak tussen een locaal-deterministische (autonome dan wel contextuele) VVT of een locaalstochastische
(autonome dan we contextuele) enerzijds, en de quantummechanica anderzijds, is statistisch
van aard want een ongelijkheid in termen van verwachtingswaarden of waarschijnlijkheden (zie
alle stellingen van Bell). Bij de stelling van Kochen & Specker is geen sprake van ongelijkheden
Het gebruik om in het laatste geval van een algebraïsch bewijs spreken is ingeburgerd geraakt. Dit
roept de vraag op of ook een algebraïsch bewijs mogelijk is van de stellingen van Bell, dus zonder
een beroep te doen op het meetpostulaat. Het antwoord luidt bevestigend. D.M. Greenburger, M.A.
Horn en A. Zeilinger lieten in 1989 aan de hand van een spin-toestand van een samengesteld systeem
van vier deeltjes zien dat het wiskundig onmogelijk is aan alle spin-grootheden locaal en scheidbaar
waarden toe te kennen. We geven een vereenvoudigde versie afkomstig van N.D. Mermin (1990).
We beschouwen een samengesteld systeem van drie spin- 1 2
fermionen, met zuivere toestanden in
de direct-product-Hilbert-ruimte C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 2 = C 8 . We beschouwen 10 fysische grootheden die
met de volgende spin-operatoren corresponderen, weergegevin het Mermin-pentagon:

VII.5. STOCHASTISCHE VERBORGEN VARIABELEN 131
σ 1 y
σ 1 xσ 2 xσ 3 x
σ 1 yσ 2 yσ 3 x σ 1 yσ 2 xσ 3 y σ 1 xσ 2 yσ 3 y
σ 3 x
σ 3 y
σ 1 x
σ 2 y
σ 2 x
Hierin is σ 1 yσ 2 yσ 3 x een afkorting voor σ y (1) ⊗ σ y (2) ⊗ σ x (3), etc.; en σ 1 y is een afkorting van σ y (1) ⊗
11(2) ⊗ 11(3), etc. Op ieder rechte lijn door het Mermin-pentagon liggen vier commuterende operatoren.
Al deze operatoren zijn producten van commuterende operatoren met eigenwaarden ±1
en hebben dus ook eigenwaarden ±1. Met de eigenschappen van de Pauli-matrices (III.93, blz. 52)
bewijst men dat
(
σx (1) ⊗ σ y (2) ⊗ σ y (3) )( σ y (1) ⊗ σ x (2) ⊗ σ y (3) )( σ y (1) ⊗ σ y (2) ⊗ σ x (3) )
= −σ x (1) ⊗ σ x (2) ⊗ σ x (3) ,
(VII.69)
waarbij zij opgemerkt dat de vier operatoren werkend in C 8 commuteren. Dan hebben ze een gemeenschappelijke
eigenstoestand in C 8 , met eigenwaarde +1 voor de drie operatoren ter linkerzijde van
het =-teken in vgl. (VII.69), en eigenwaarde −1 voor de operator ter rechterzijde. Een dergelijke
toestand is
|GHZ〉 := 1 √
2
(
|z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 ⊗ |z ↑〉 − |z ↓〉 ⊗ |z ↓〉 ⊗ |z ↓〉
)
∈ C 8 . (VII.70)
We onderstellen dat de drie deeltjes uit elkaar bewegen en zich ver van elkaar bevinden en dat de
toestand van het samengestelde systeem voor wat de spin betreft in de toestand |GHZ〉 verkeert.
Een meting aan twee deeltjes, waarvan we veronderstellen dat die het derde deeltje niet op enigerlei
wijze beïnvloedt, legt de waarde van het derde deeltje vast omdat het product van de meetuitkomsten
vast ligt volgens de quantummechanica. Op het ogenblik van een evnentuele meting onthult
de meting de waarden die de spin-grootheden hebben. Noem deze waarden even w x (1) voor de
spin-grootheid in de x-richting van deeltje 1, etc. Omdat |GHZ〉 (VII.70) een gemeenschappelijke
eigentoestand is voor de vier grootheden in (VII.69) werkend in C 8 , moet gelden:
w x (1)w y (2)w y (3) = w y (1)w x (2)w y (3) = w y (1)w y (2)w y (3) = +1 ,
(VII.71)
en
w x (1)w x (2)w x (3) = −1 .
(VII.72)

132 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL
Het product van de 12 waarden van deze spin-grootheden is:
w x (1)w y (2)w y (3) w y (1)w x (2)w y (3) w y (1)w y (2)w y (3) w x (1)w x (2)w x (3)
= w x (1) 2 w y (1) 2 w x (2) 2 w y (2) 2 w x (3) 2 w y (3) 2
= 6 · 1 = +1 ,
(VII.73)
maar het linkerlid is, gezien als product van vier factoren, waarvan de waarde door vgl. (VII.71) en
(VII.72) is gegeven, ook gelijk aan (+1)(+1)(+1)(−1) = −1. Dus +1 = −1, een ‘algebraïsche’
absurditeit. Kansen noch ongelijkheden komen in het verhaal voor.
OPGAVE 34. Wat voor soort van VVT sluit bovenstaande redenering uit? Welke postulaten van
de quantummechanica zijn nodig om de tegenspraak te bereiken?
VARIA
De literatuur rondom de Bell-ongelijkheden heeft sinds de 70er jaren van de XXste eeuw een buitengewoon
grote omvang bereikt, die evenwel de laatste jaren minder groeit. We noemen ter afsluiting van
dit hoofdstuk kort enkele thema’s.
Localiteit en Relativiteit Hoewel we ons hier tot niet-relativistische quantummechanica beperken,
en de lichtsnelheid dus in onze beschouwing geen rol heeft gespeeld, is het natuurlijk vooral de speciale
relativiteitstheorie die de inspiratiebron levert om de (on)mogelijkheid van seinen te bestuderen.
Het is daarom interessant het EPRB-experiment schematisch in een Minkowski-diagram te
beschouwen.
Een natuurlijke localiteitseis voor een relativistische stochastische VVT is dan dat de kans op een
uitkomst A uitsluitend afhangt van de de variabelen die de toestand in de verleden lichtkegel van de
meetgebeurtenis bij A specificeren, en mutatis mutandis voor B. Bell noemt dit locale causaliteit.
We hebben gezien dat de quantummechanica geen locaal causale theorie is. Weliswaar is de
kans op een uitkomst bij A niet te beïnvloeden door de keuze van de meetrichting ⃗ b bij B, maar de
uitkomst B die daar geregistreerd kan worden is een voorspelling over het deeltje bij A te doen die
een waarnemer bij A, zelfs indien hij over kennis van de volledige toestand in de verleden lichtkegel
van A beschikt niet kan doen.
Localiteit versus voorwaardelijke onafhankelijkheid Een probleem dat in sommige publicaties (Fine
1982, De Muynck 19) wordt aangesneden is in hoeverre localiteit nodig is om de Bell-ongelijkheden
af te kunnen leiden. In feite, zo betogen genoemde auteurs, wordt in ‘localiteitseisen’ slechts een
speciale vorm van statistische onafhankelijkheid uitgedrukt. De onderlinge afstand tussen de meetapparaten
komt op geen enkele wijze in de eis naar voren. Ofschoon ‘localiteit’ een begrip is waarvan
de betekenis een ruimte-tijd vooronderstelt, schitteren zulke ruimte en tijd door afwezigheid in de
relevante localiteitsonderstellingen, die alle kansuitspraken zijn zonder verwijzing naar ruimte of tijd.
Inderdaad kan men strikt genomen niet zeggen dat deze onderstellingen een localiteitseis uitdrukken.
Men zou bijvoorbeeld voor een hypothetisch paar deeltjes, die op geen enkele manier met

VII.5. STOCHASTISCHE VERBORGEN VARIABELEN 133
Figuur VII.2: Een Minkowski-diagram van het EPRB-experiment (λ zit in de overlap).
elkaar kunnen wisselwerken, zeg een foton en een gluon, maar zich in elkaars onmiddelijke nabijheid
bevinden, een analoge onafhankelijkheid verwachten. Het punt is dat in een locale theorie de grote
afstand tussen de deeltjes als voldoende, maar niet als nodige voorwaarde voor de afwezigheid van
wisselwerkingen kan worden opgevat. De eis van uitkomst-onafhankelijkheid in de VVT is geen weergave
van, maar slechts gemotiveerd door de eis van localiteit. De hieruit door sommigen getrokken
conclusie dat localiteit zelf blijkbaar irrelevant is voor de Bell-ongelijkheid, is echter onjuist. Immers,
de feitelijke schending van de Bell-ongelijheid betekent dat iedere stochastische VVT die aan de in
§VII.5 geformuleerde factoriseerbaarheid voldoet, is uitgesloten, dus in het bijzonder ook de locale
versies.
Determinisme Een andere wijdverbreide opvatting is dat de afleiding van de Bell-ongelijkheden
altijd op een onderstellling van determinisme in de VVT berust, zodat het opgeven van determinisme
een mogelijke uitweg zou zijn om van de schending van deze ongelijkheid rekenschap te geven.
Bell zelf heeft de onjuistheid van deze visie benadrukt. Determinisme (de mogelijkheid om met
zekerheid voorspellingen te doen over een ver verwijderd object voordat hieraan gemeten wordt),
speelt inderdaad in de oorspronkelijke versie een rol van betekenis. Maar dit is een gevolg van de
volmaakte correlatie in de quantummechanische uitdrukking (VII.5), d.w.z. dit determinisme volgt
uit de singlettoestand zelf, en is geen bijzondere onderstelling van de VVT (cf. Suppes & Zanotti
1970, Dieks 1983).
Ook hebben we gezien dat een stochastische, of indeterministische, VVT de Bell-ongelijkheid ook
afleidbaar zijn, zodat het opgeven van determinisme niet helpt. Daarenboven is het tegendeel is waar:
juist superdeterminisme, dat wil zeggen, de onderstelling dat ook de keus van de meetrichting door de
experimentator vantevoren vastligt, biedt een mogelijkheid onder de Bell-ongelijkheid uit komen.

134 HOOFDSTUK VII. DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL

VIII
HET MEETPROBLEEM
Zo zien we dat een meting het systeem altijd naar een eigentoestand doet springen van de
dynamische grootheid die gemeten wordt; de eigenwaarde waar die eigentoestand mee
correspondeert is gelijk aan het meetresultaat.
— P.A.M. Dirac
Als we opgezadeld blijven met die verdomde quantum-sprongen, dan heb ik er spijt van
dat ik me er ooit mee heb ingelaten.
— Erwin Schrödinger
In dit slothoofdstuk gaan we in op het interpretatie-probleem bij uitstek, het meetprobleem, dat
aanleiding heeft gegeven tot een nog immer voortstromende reeks van publicaties. We zullen een
aanzet geven tot de quantummechanische meettheorie van Von Neumann en enige kritiek erop
behandelen, en we zullen het meetprobleem formuleren en een aantal pogingen tot oplossing de
revue laten passeren.
VIII.1
INLEIDING
Het begrip ‘meting’ speelt een heel speciale rol in de quantummechanica (lees nog maar eens de
eerste alinea’s van Hoofstuk V, blz. 91). In de eerste plaats is het opmerkelijk dat de term voorkomt
in de Von Neumann-postulaten (blz. 33 e.v.). Zowel in het meetpostulaat, dat zegt welke meetuikomsten
mogelijk zijn, en een fysische betekenis geeft aan de kansmaat die door de toestandsvector (of
-operator) wordt vastgelegd in termen van meetuitkomsten, als het projectiepostulaat, dat de ontwikkeling
in de tijd van de toestand bij meting vastlegt, treedt de term ‘meting’ naar voren. Ook in de debatten
over de interpretatie van de theorie komt die speciale rol tot uiting. Men zegt vaak dat de meting
‘de waarde van een grootheid creëert’, of zoals in het bovenstaande citaat van Dirac, een plotselinge
toestandsverandering veroorzaakt.
Dit alles is vanuit het perspectief van de klasssieke natuurkunde uiterst ongewoon. Bij de opbouw
van de gravitatietheorie van Newton of de elektrodynamica van Faraday en Maxwell wordt misschien
wel eens over metingen gesproken, als leveranciers van experimenteel feitenmateriaal, maar nooit als
een speciaal soort ingreep op fysische systemen die om een aparte behandeling in de theorie vraagt.
Het punt is hier niet alleen dat metingen in de klassieke natuurkunde, zoals men vaak zegt, steeds
een verwaarloosbare of compenseerbare verstoring van het systeem teweegbrengen en daarom buiten
beschouwing kunnen blijven. Veel belangrijker nog is dat in de klassieke natuurkunde in beginsel
geen onderscheid aanwezig is tussen processen die als metingen dienen en zij die dat niet doen.
Ieder fysisch proces, iedere wederzijdse beïnvloeding van fysische systemen kan onder geschikte
omstandigheden als een meting worden aangemerkt. Aangezien het de fysische theorie is die aangeeft
welke fysische processen in de natuur mogelijk zijn, levert ook de theorie zelf het criterium welke
metingen er mogelijk zijn.

136 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
In de quantummechanica is dit, volgens de postulaten van Von Neumann, precies andersom. We
moeten blijkens bovengenoemde postulaten eerst over een criterium beschikken om te weten wanneer
een proces een meting is voordat we kunnen aangeven wat de theorie over het proces te zeggen heeft,
voordat we de posulaten kunnen toepassen. Dat het begrip meting zo een fundamentelere status
krijgt dan de natuurkundige theorie, wordt ook uitgedrukt door de woorden van Pauli (geciteerd in
hoofdstuk I) dat een meting “buiten de natuurwetten” staat.
Desalniettemin is de intuïtie dat metingen uiteindelijk een ‘gewoon soort’ van fysische wisselwerkingen
zijn, niet zo maar uit te vlakken. Beschouw een foton dat door een spleet is gegaan en
onderweg is naar een fotografische plaat. Als we stellen dat de wisselwerking met deze fotografische
plaat een meting is, dan moet volgens het projectiepostulaat de golffunctie van het foton bij het
bereiken van de plaat ineenstorten. Maar we weten ook dat de fotografische plaat een microscopische
structuur bezit. De plaat bevat zilveratomen in een emulsie die door het foton kunnen worden
aangeslagen en uiteindelijk een chemisch proces in gang zetten, zodat we iets te zien krijgen als de
plaat is ontwikkeld. Is het niet aannemelijk dat de quantummechanica zo’n proces met behulp van een
Schrödinger-vergelijking kan beschrijven? In alles lijkt het immers op een fysische wisselwerking is
die volkomen binnen de bekende natuurwetten valt, niet er buiten. En als men dit ontkent, hoe zullen
we überhaupt in het algemeen besluiten wanneer de microscopische wisselwerking tussen een foton
en een atoom wel en wanneer niet als meting betiteld kan worden?
Deze frontale botsing tussen enerzijds het feit dat metingen in de quantummechanica een speciale
status krijgen toebedeeld door ze niet tot de fysische wisselwerkingen te rekenen, en anderzijds de
opvatting dat metingen niet van andere fysische wisselwerkingen verschillen, is het meetprobleem in
ruimere zin van de quantummechanica.
VIII.2
METEN VOLGENS DE KLASSIEKE NATUURKUNDE
Hoewel er in de klassieke natuurkunde gewoonlijk geen speciale aandacht aan metingen wordt geschonken,
is het geen probleem om een algemene, schematische beschrijving te geven van hoe een
meting klassiek in het werk gaat.
Een meting bewerkstelligt een correlatie tussen de grootheid A van een fysisch systeem S — in
de context van een meting vaak object-systeem genoemd —, en een grootheid R (van het Engelse
Reading) die karakteristiek is voor het meetapparaat M, dat natuurlijk ook een fysisch systeem is. In
de klassieke natuurkunde onderstellen we dat A een zekere waarde a ∈ R heeft uit een verzameling
van mogelijke waarden, zeg {a 1 , . . . , a n } ⊂ R, en dat na afloop van het meetproces R een waarde
r j = m(a j ) heeft, waarbij m een bijectie is van de mogelijke waarden van A (voor de meting) naar
de mogelijke waarden van R, de wijzerstanden (na de meting). Neem bijvoorbeeld voor S jezelf
en voor M een weegschaal; dan heb je een voor het oog onwaarneembare massawaarde (a) die de
weegschaal op een voor het oog waarneembare wijze aangeeft door naar ‘m(a) = 83 kg’ te wijzen (R
is dan de wijzerpositie). De functie van het meten is een pragmatische: de waarde van een fysische
grootheid van het objectsysteem die niet direct of niet gemakkelijk waarneembaar is (i.e. massa),
wordt gecorreleerd met een grootheid die wel direct waarneembaar is (i.e. een wijzerpositie). Voor
het ontstaan van een correlatie tussen A en R moet er een wisselwerking zijn tussen S en M. Deze
kan eventueel de waarde van A beïnvloeden, zodat de waarde voor de meting verandert in een andere
waarde na de meting. Meting is een proces dat naar het verleden kijkt, het beoogt de waarde te geven

VIII.3. METEN VOLGENS DE QUANTUMMECHANICA 137
die A bezat vlak voor de wisselwerking met M.
Als het mogelijk is om uit de waarde a en de wisselwerking tussen S en M de waarde a ′ die
A heeft na de meting, te voorspellen, dan kijkt de meting ook naar de toekomst en functioneert als
een apparaat dat een toestand van S prepareert waarin A de waarde a ′ heeft. Denk bijvoorbeeld aan
een ampère-meter in een stroomkring met een spanningsbron van V volt: als de stroom door een
weerstand R gelijk is aan I = V/R zonder de ampère-meter, dan is de stroom I ′ nadat de ampèremeter
in serie is geschakeld met de weerstand, gelijk aan I ′ = V/(R + R s ), waarin R s de interne
weerstand is van de ampère-meter.) Eventueel kan a ′ = a zijn; we noemen de meting dan nietverstorend
of ideaal. Het meetproces heeft dus twee aspecten: wat er gebeurt met M (meten), en wat
er gebeurt met S (toestandspreparatie).
In de klassieke natuurkunde mag de meetwisselwerking willekeurig klein gedacht worden zodat
de waarde van A niet wordt verstoord. De overgang die in zo’n ideaal meetproces wordt verkregen is
dus
(a j , r 0 ) (a j , r j ) = ( a j , m(a j ) ) . (VIII.1)
Tot zover een schematische voorstelling van het meetproces in de klassieke natuurkunde.
Merk op dat de bijzonderheden van de manier van meten buiten beschouwing zijn gelaten. De
meetmethode hoeft niets te maken te hebben met datgene waarover men informatie wil krijgen. De
loop van de planeten wordt bestudeerd door er naar te kijken, d.w.z. door gebruik te maken van het
feit dat ze het zonlicht reflecteren. De gebruikte optische instrumenten, fotografische platen, filters,
etc. hebben niets te maken met het probleem dat men wil onderzoeken, namelijk de beweging van de
planeten in het zwaarteveld van de zon.
Merk ook op dat in deze beschouwing de vraag naar het meten van A slechts getransformeerd is
in de vraag naar het vinden van de waarde van R. Als we de waarde van R op zijn beurt ook weer
zouden moeten meten, zou dit kunnen leiden tot een oneindige keten van meetapparaten. Dit wordt
vermeden door te aan te nemen dat de grootheid R direct waarneembaar is, vandaar de term wijzerpositie
voor R — waarbij we ‘wijzer’ zeer algemeen dienen op te vatten, ook LED- en LCD-vensters
en direct getoonde meetresultaten op een computerscherm of direct afdgedrukte meetresulaten op
papier vallen hieronder. We doen in ons schema dus een beroep op een onderscheid tussen twee
verschillende soorten grootheden: direct, d.w.z. met het blote oog, waarneembare versus niet direct
waarneembare of onwaarneembare grootheden. Maar dit is geen onderscheid dat correspondeert met
een fundamenteel onderscheid van die grootheden; alle grootheden worden in de klassieke theorie als
eigenschappen van objecten behandeld. Dat we stoppen bij een direct waarneembare grootheid R is
slechts een beslissing gebaseerd op louter contingente factoren, met name de fysiologie en de fysica
van de menselijke zintuigen.
VIII.3
METEN VOLGENS DE QUANTUMMECHANICA
Hoe ziet een schematische voorstelling van het meetproces in de quantummechanica er uit? Het
volgende schema is afkomstig van Von Neumann.
Stel A is een fysische grootheid van het objectsysteem S, door de quantummechanica voorgesteld
door maximale operator A op Hilbertruimte H S met discreet spectrum {a 1 , . . . , a n }. Laat
S zich aanvankelijk in een eigentoestand |a j 〉 van A bevinden. We brengen S in wisselwerking

138 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
met een meetapparaat M. Beschrijf M ook quantummechanisch. Het meetapparaat M bezit om te
kunnen functioneren als meetapparaat een wijzergrootheid R, voorgesteld door operator R op Hilbertruimte
H M , met orthonormale eigentoestanden {|r 0 〉, , . . . , |r n 〉}, die corresponderen met door
het menselijk oog te onderscheiden wijzerstanden. We nemen even aan dat dim H M = dim H S + 1.
De Hilbertruimte van dit samengestelde systeem SM is H = H S ⊗ H M . Stel dat meetapparaat M
voor de meting in de eigentoestand |r 0 〉 is, waarin de wijzer geen uitslag vertoont. We willen dat
deze toestand ten gevolge van de meetwisselwerking overgaat in de eigentoestand |r j 〉 die indicatief
is voor de waarde a j van A. We willen bovendien dat de meting ideaal is, zodat de toestand |a j 〉 van
S niet verandert. De vraag is dus of we voor het samengestelde systeem SM een unitaire evolutie U
kunnen vinden die de volgende evolutie teweegbrengt:
U|a j 〉|r 0 〉 = |a j 〉|r j 〉 .
(VIII.2)
Von Neumann heeft laten zien dat deze overgang inderdaad door een unitaire transformatie bewerkstelligd
kan worden.
OPGAVE 35. Laat zien dat de operator
U = ∑ j,k
|a k 〉 ⊗ |r j+k 〉 〈a k | ⊗ 〈r j | (VIII.3)
(a) unitair is, en (b) de verlangde overgang (VIII.2) teweegbrengt.
De formule (VIII.2) lijkt sterk op de overgang (VIII.1). Blijkbaar zijn al onze wensen omtrent het
ideale meetproces in de quantummechanica te vervullen, inclusief het niet storen van de waarde van
A, en wel met behulp van een unitaire operator. Op het eerste gezicht lijkt er dus geen enkel probleem
te zijn met een volledig quantummechanische behandeling van de meetwisselwerking, opgevat
als een gewoon fysisch proces dat gehoorzaamt aan het Schrödinger-vergelijking. Evenals in het
klassieke geval wordt op de methode van meten niet ingegaan. Merk ook op dat we geen beroep op
het meetpostulaat of projectiepostulaat hebben gedaan.
Op het tweede gezicht heeft de overgang (VIII.2) echter merkwaardige consequenties. De formule
(VIII.2) geeft vooralsnog alleen het resultaat wanneer het objectsysteem S voor de meting in een
eigentoestand van A was. Maar wat als S voor de meting in een willekeurige toestand |ψ〉 ∈ H S was?
We kunnen die toestand |ψ〉 ontbinden in de eigentoestanden van A met coëfficiënten c j = 〈a j |ψ〉.
Dan volgt uit de lineariteit van de evolutie-operator:
U ( |ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ) ( ∑N S )
= U c j |a j 〉 ⊗ |r 0 〉
j=1
=
N S
∑
c j U(τ)|a j 〉 ⊗ |r 0 〉 .
j=1
(VIII.4)
We zien dat het samengestelde systeem van object S en meetapparaat M na de meting nu niet meer
in een producttoestand is. Dit houdt in dat we S noch A met een zuivere toestand kunnen beschrijven;
de deelsporen van S en A leveren gemengde toestanden (§ III.4). Dit aspect heeft geen klassiek
analogon. We komen hier uiteraard nog op terug; eerst beschouwen we een andere vraag: is deze

VIII.3. METEN VOLGENS DE QUANTUMMECHANICA 139
quantummechanische beschrijving van het meetproces wel verenigbaar met het meetpostulaat? Preciezer,
levert toepassing van het meetpostulaat op A hetzelfde resultaat als de directe toepassing ervan
op S? En is, ten einde van een meetproces te kunnen spreken, de gewenste correlatie tussen de waarden
van A en van R tot stand gebracht?
Dit is inderdaad het geval. Volgens (VIII.4) is de eindtoestand van SM gelijk aan
N S
∑
|Φ〉 = c j |a j 〉 ⊗ |r j 〉 .
j=1
(VIII.5)
De grootheid R van meetapparaat M wordt op de Hilbertruimte H S ⊗ H M van het samengestelde
systeem SM gerepresenteerd als 11 ⊗ R. De kans om voor deze grootheid de waarde r k te vinden is
volgens het meetpostulaat:
Prob |Φ〉 (R : r k ) = 〈Φ(τ)| ( 11 ⊗ |r k 〉〈r k | ) |Φ(τ)〉 .
(VIII.6)
Er komt met (VIII.5)
Prob |Φ〉 (R : r k ) = |c k | 2 ,
(VIII.7)
waarbij we gebruik hebben gemaakt van de orthonormaliteit van de |r k 〉 ∈ H M en van U † U = 11.
Dit is hetzelfde resultaat dat directe toepassing van het meetpostulaat op |ψ〉 uit (VIII.4) oplevert.
Blijkbaar is de kans op een uitkomst r k bij meting van R aan M altijd gelijk aan die op de uitkomst
van 11⊗R aan SM. Deze laatste meting kan dus als substituut voor de eerste dienen. (Deze conclusie
blijft recht overeind voor niet-ideale metingen, waarbij de toestand van het objectsysteem S wel
verstoord wordt: |a j 〉 ⊗ |r 0 〉 −→ |χ〉 ⊗ |r j 〉; het berust op de orthogonaliteit van de toestanden |r j 〉.)
Natuurlijk is met de geldigheid van (VIII.7) nog niet aangetoond dat er inderdaad een correlatie
tussen de waarde van A en R is aangebracht. Daarvoor moeten we in de toestand (VIII.4) naar de kans
op een bepaald uitkomstenpaar (a j , r k ) voor A ⊗ 11 en voor 11 ⊗ R vragen. Deze twee grootheden
commuteren, dus kunnen we gezamenlijke kans op het uitkomstenpaar opschrijven:
Prob |Φ〉 (A : a j ∧ R : r k ) = 〈Φ| ( |a j 〉〈a j | ⊗ |r k 〉〈a k | ) |Φ〉
= ∣ ∣ ( 〈a j | ⊗ 〈r j | ) |Φ〉 ∣ ∣ 2
= |c j | 2 δ ij .
(VIII.8)
De voorwaardelijke kans om voor A de waarde a j te vinden, gegeven dat voor R de waarde r k is
gevonden, is dus
Prob |Φ〉 (A : a j | R : r k ) = Prob(A : a j ∧ R : r j )
Prob(R : r j )
= |c j| 2 δ ij
|c j | 2 = δ ij . (VIII.9)
Met andere woorden, er is in de toestand |Φ〉 (VIII.4) inderdaad een strikte correlatie tussen de grootheden
A en R aanwezig, quantummechanisch voorgesteld door de operatoren A en R.
OPGAVE 36. Geldt de laatstgenoemde conclusie ook voor niet-ideale metingen?

140 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
De schematische voorstelling van het ideale meetproces is, zoals we gezien hebben consistent
met het meetpostulaat in de zin dat een meting aan M als substituut voor een meting aan S kan dienen.
Merk op dat we bij het beantwoorden van deze vraag wel een beroep op het meetpostulaat
hebben gedaan. Dat is in dit verband onontkoombaar. Immers, de eindtoestand na het meetproces,
dus (VIII.2) of (VIII.4) is een superpositie, en we kunnen slechts aangeven wat de empirische consequenties
ervan zijn door een beroep te doen op de betekenis die de quantummechanica aan zulke
superposities geeft. In de postulaten van Von Neumann wordt die betekenis door middel van het meetpostulaat
gelegd. Het vervelende is nu echter, dat we daarbij dus toch weer over een meting moeten
spreken, en wel nu over een meting aan het meetapparaat M, door de wijzerstand af te lezen. Kan
deze tweede meting ook als een normale wisselwerking worden voorgesteld?
Stel dat we een tweede meetapparaat M ′ invoeren waarmee we het resultaat van M aflezen via
een nieuwe wijzergrootheid R ′ , voorgesteld door operator R ′ werkend in H M ′ — denk aan een
quantummechanische beschrijving van ons oog. Schematisch hebben we dan het proces |r j 〉|r 0〉 ′ −→
|r j 〉|r j ′ 〉, waarin |r′ j 〉 de eigentoestanden van R′ van M ′ zijn, die indicatief zijn voor de toestand |r j 〉
van M. Zij U ′ (τ ′ ) de unitaire operator die de meting van M ′ aan M beschrijft en τ ′ tijdseenheden
duurt. In totaal, voor het samengestelde systeem SMM ′ in Hilbertruimte H S ⊗ H M ⊗ H M ′:
|a j 〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |r ′ 0〉
U(τ)
|a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |r ′ 0〉
U ′ (τ ′ )
|a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |r ′ j〉 , (VIII.10)
en dus
U ′ (τ ′ )U(τ)|ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |r ′ 0〉 =
N S
∑
d j |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |r j〉 ′ .
j=1
(VIII.11)
Opnieuw vinden we door gebruik van het meetpostulaat dat de kans om bij meting van R ′ de waarde
r ′ k te vinden gelijk is aan |c k| 2 , etc.
We kunnen de redenering naar believen uitbreiden door steeds meer systemen in de keten van
meetapparaten op te nemen, eventueel ook nog een lichtdeeltje dat door de wijzer wordt verstrooid
en in het oog van de waarnemer komt, diens netvlies, de zenuwbanen van zijn hersenen, etc. Dit alles
is consistent met het meetpostulaat, en je kunt, als je wilt, hiermee tevreden zijn.
De redenering laat echter niet zien dat we metingen geheel op voet van gelijkheid met andere
fysische wisselwerkingen kunnen opvatten. Hoe ver we de keten ook voortzetten, het resultaat blijft
altijd een superpositie waarvan we de betekenis geven door te zeggen wat we bij meting kunnen
aantreffen. De overgang naar de constatering dat een zekere situatie feitelijk is aangetroffen, valt
binnen het formalisme niet te maken. Rudolf Haag, heeft deze situatie als volgt uitgedrukt: “De
quantummechanica kan geen feiten verklaren.”
We kunnen de plaats waar we deze overgang willen maken naar wens verplaatsen, door meer en
meer systemen in de quantummechanische beschrijving op te nemen. Maar de overgang zelf, die de
quantummechanische beschrijving inruilt voor een beschrijving in termen van geconstateerde feiten,
moet van buiten de quantummechanica komen. Men noemt die overgang soms de ‘Heisenbergsnede’.
Men kan natuurlijk, in analogie met het klassieke schema voor het meetproces, eenvoudig postuleren
dat onze quantummechanische beschrijving van het meetproces eindigt zodra we het systeem
S kunnen koppelen, eventueel via een aantal tussenstappen, aan een meetapparaat M waarvan de
macroscopische wijzergrootheid R direct waarneembaar is. Maar in dit geval gaat het om de fundamentele
opbouw van de theorie en kunnen we niet met een pragmatisch standpunt tevreden zijn. De

VIII.3. METEN VOLGENS DE QUANTUMMECHANICA 141
Figuur VIII.1: De katparadox van Schrödinger
vraag rijst dan welke grootheden de speciale status van ‘wijzerpositie’ verdienen Bovendien is er het
probleem dat de eindtoestand van (VIII.4) of (VIII.11) ons een superpositie van toestanden levert met
verschillende wijzerposities. Dit heeft geen klassiek analogon. Het is zonder verdere analyse moeilijk
voorstelbaar wat een directe waarneming hierbij zal opleveren.
Een voorbeeld waarin deze zaken scherp aan het licht treden is de beroemde katparadox van
Schrödinger (1935b), die we in de Inleiding reeds ten tonele voerden. Schrödinger stelde zich voor
dat een levende kat tezamen met een radioactief atoom wordt opgesloten in een hermetisch gesloten
doos. De doos is verder voorzien van een Geiger-Müller-teller, die het verval van het atoom kan
registreren, en vervolgens een installatie activeert die een dodelijk gas laat ontsnappen.
Neem aan dat de quantummechanische toestand van dit totale systeem op het aanvangstijdstip
een producttoetand is met zeer veel factoren. De toestand van het radioactieve atoom ontwikkelt zich
naar een superpostie van een aangeslagen toestand en de grondtoestand. De ontwikkeling van de
totale toestand dan krijgt dezelfde vorm als in (VIII.11), d.w.z. de toestand wordt zoiets als
c 1 (t) |A : 1〉 ⊗ |ν : 0〉 ⊗ · · · ⊗ |kat: ⌣〉 +
c 2 (t) |A : 2〉 ⊗ |ν : 1〉 ⊗ · · · ⊗ |kat:†〉 ,
(VIII.12)
waar |A : 1〉 en |A : 0〉 de aangeslagen toestand resp. grondtoestand van het Atoom voorstellen, |ν : 0〉
en |ν : 1〉 toestanden van het elektromagnetische veld zonder en met foton, etc. Het samengestelde
systeem is dus in een gigantische superpositie van toestanden waarin de kat levend en waarin zij dood
is. Wanneer we de orthodoxe interpretatie van de quantummechanica tot het bittere einde volhouden,
moeten we zeggen dat ook in deze toestand de kat levend noch dood is, maar alleen dat dat er bij
meting, zeg bij het optillen van de deksel van de doos, een zekere kans is, te weten |c 1 | 2 versus |c 2 | 2 ,
om de kat levend dan wel dood aan te treffen. Het is de waarnemer, de doosopener, die het lot van de
kat bezegelt.

142 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
VIII.4
HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN
We hebben gezien dat het meetproces (VIII.4) het samengestelde systeem in een superpositie brengt
van macroscopisch verschillende toestanden, e.g. wijzerposities. Het ontstaan van zulke superposities
is een consequentie van de lineariteit van de evolutie-operator. (Vergelijk de in de inleiding besproken
discussie tussen Einstein en Pauli over het zwaartepunt van een macroscopisch lichaam.) Een
superpositie is vreemd, want we vooronderstellen stilzwijgend dat de macroscopische wijzerstanden
niet alleen als mogelijke uitkomsten bij een meting fungeren maar als bezeten eigenschappen van de
wijzer mogen worden opgevat. We denken dat wijzers van meetapparaten iets aanwijzen, ook als wij
ze niet staan af te lezen. Als de quantumtoestand een volledige beschrijving van het systeem geeft,
als de quantummechanica een tegenhanger zou hebben van ieder element in de fysische werkelijkheid,
dan zouden die macroscopische eigenschappen erdoor moeten worden weergegeven (we gaan
er gemakshalve vanuit dat iets waarnemen voldoende is om te besluiten dat er een element van de fysische
werkelijk is dat verantwoordelijk is voor de waarneming.) Dat is in de toestand (VIII.4) echter
niet het geval.
De gedachte die hierbij op de achtergrond meespeelt is het volgende postulaat, dat zowel door
Dirac (1930, blz. 30-31) als Von Neumann (1932, blz. 253) expliciet werd onderschreven maar dat
wij tot nu toe stiekum hebben achtergehouden.
EIGENSCHAPSPOSTULAAT (ZUIVERE TOESTANDEN): Een fysisch systeem S heeft de
eigenschap dat grootheid A een bepaalde waarde heeft d.e.s.d.a. zijn toestand een eigenstoestand
van de operator A is die volgens het Groothedenpostulaat met A correspondeert.
Men kan zich ook voorstellen dat een systeem een bepaalde maar onbekende waarde voor een
grootheid bezit. Als we de onwetendheidsinterpretatie voor mengsels gebruiken (vgl. Hoofdstuk III)
komen we tot de variant.
EIGENSCHAPSPOSTULAAT (GEMENGDE TOESTANDEN): Een fysisch systeem S heeft
de eigenschap dat grootheid A een bepaalde, zij het onbekende, waarde heeft d.e.s.d.a.
de toestand in een mengsel van eigenstoestanden van de operator A verkeert die volgens
het Groothedenpostulaat met A correspondeert.
Deze postulaten spreken over het aanwezig zijn van eigenschappen, over fysische grootheden die
waarden bezitten, onafhankelijk van een meting of meetcontext.
OPGAVE 37. Bespreek het verband tussen de Eigenschapspostulaten en de voldoende voorwaarde
(EPR) van Einstein, Podolsky en Rosen voor een element uit de fysische werkelijkheid (blz. 7 e.v.).
Wat men vanuit deze gedachte zou wensen is een quantummechanische beschrijving van het meetproces
waarin (in ieder geval) het meetapparaat na afloop van de meting een bepaalde eigenschap
heeft. D.w.z., in plaats van de superpositie (VIII.4) verlangt men als eindtoestand het mengsel
W ′ =
N∑
|c j | 2 |a j 〉 ⊗ |r j 〉 〈a j | ⊗ 〈r j | . (VIII.13)
j=1
Sommigen, waaronder Landau & Lifshitz, gaan nog verder en eisen als eindtoestand een eigentoestand
|r k 〉 van de wijzergrootheid R, corresponderend met de gevonden wijzerstand. Volgens hen

VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN 143
eindigt de meetwisselwerking met een indeterministische sprong (met kans |c j | 2 ) naar één van de
toestanden |a j 〉 ⊗ |r j 〉.
Recapitulerend hebben we de volgende opties voor de beschrijving van het meetproces. Voor de
begintoestand is er geen keus:
|ψ〉 ⊗ |r 0 〉 =
( N S
∑
j=1
)
c j |a j 〉 ⊗ |r 0 〉 .
Voor de eindtoestand zijn er drie mogelijkheden:
(VIII.14)
1.
N S
∑
c j |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ;
j=1
(VIII.15)
2. W ′ = ∑ j
|c j | 2 |a j 〉 ⊗ |r j 〉 〈a j | ⊗ 〈r j | ; (VIII.16)
3. |a j 〉 ⊗ |r j 〉 met kans |c j | 2 . (VIII.17)
Volgens de beschouwde gedachtengang willen we aan het eind van een meetwisselwerking dat de
wijzer van het meetapparaat, dat immers macroscopisch is, iets aanwijst. De toestand (VIII.15) voldoet
hier niet aan; integendeel, de quantummechanische superpositie |ψ〉 van eigentoestanden |a j 〉 van
te meten grootheid die voor de meting ons verbood om aan het objectsysteem S een bepaalde waarde
voor A toe te kennen, blijkt besmettelijk te zijn: na de wisselwerking heeft ook de wijzergrootheid
van het meetapparaat geen bepaalde waarde meer; en koppelt men het samengestelde systeem SM
aan een ander meetapparaat M ′ , dan raakt ook M ′ geïnfecteerd met ‘eigenschapsuitval’. Daarom
verdienen (VIII.16) en (VIII.17) als eindtoestand de voorkeur boven (VIII.15).
Het probleem om een behandeling van het meetproces te geven die een van deze twee eindtoestanden
oplevert, en die dus de bepaalde waarden door middel van de meetwisselwerking ‘doet
ontstaan’, is het meetprobleem in engere zin. Merk op dat (VIII.16) en (VIII.17) niet via een unitaire
transformatie uit de begintoestand verkregen kunnen worden. Men moet dus de eerste vier
Von Neumann-postulaten amenderen of uitbreiden. We bespreken een paar mogelijke oplossingen.
A. Het projectiepostulaat — en het bewustzijn De standaard-oplossing van het meetprobleem in
enger zin is gegeven door Von Neumann door het projectiepostulaat toe te voegen aan de eerste vier
postulaten (blz. 33). Hij onderscheidt twee manieren waarop een toestand kan veranderen in de tijd:
1. Proces 1. De discontinue, niet-unitaire, indeterministische projectie bij een meting (projectiepostulaat).
2. Proces 2. De continue, unitaire, deterministische evolutie volgens de Schrödinger-vergelijking
(of de generalisering daarvan voor gemengde toestanden) zolang aan het systeem niet wordt
gemeten (Schrödinger-postulaat).
Bij een meting gaat de toestand over in de eigentoestand behorende bij de gevonden meetuitkomst.
Dit bewerkstelligt dus eindtoestand (VIII.17), en geeft, in overeenstemming met het Eigenschapspostulaat,
bepaalde eigenschappen aan zowel het objectsysteem als de wijzer van het meetapparaat.

144 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
OPGAVE 38. Stel men neme de eerste vijf postulaten en voege het Eigenschapspostulaat (blz. 142)
eraan toe, maar niet het Projectiepostulaat. Waarom is de resulterende theorie empirisch ontoereikend?
Hoewel men met deze twee soorten van evolutie dus het meetprobleem in engere zin oplost, treedt
het meetprobleem in de ruimere meer dan ooit op de voorgrond. We zouden graag een verklaring voor
de bijzondere aard van een meting zien, of althans een criterium waarmee ze van andere processen
kan worden onderscheiden.
Een dergelijk criterium wordt door Von Neumann e.a., onder wie Wigner, W. Heitler en F. London
& E. Bauer (1939), geplaatst in het bewustzijn van een waarnemer. London & Bauer zeggen het
volgende. Beschouw een objectsysteem S, een meetapparaat M en een bewuste waarnemer B. De
toestand van het samengestelde systeem is na afloop van de meting volgens (VIII.11):
|Φ〉 = ∑ j
c j |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |b j 〉 .
(VIII.18)
Dit, zeggen London & Bauer, is de beschrijving van de toestand voor ons. Maar voor de bewuste
waarnemer B is het anders. Deze beschikt over het karakteristieke vermogen van introspectie. Hij
weet door introspectie in welke eigentoestand hij is; hij wordt één bepaalde wijzerstand gewaar. Dit
doorbreekt de quantummechanische keten. Als hij weet dat hij in de toestand |b k 〉 is en ziet de meter
dan iets aanwijzen dat met wijzertoestand |r k 〉 correspondeert, dan is de toestand vanaf dat ogenblik
onmiddellijk |a k 〉 ⊗ |r k 〉 ⊗ |b k 〉 geworden. Bewuste introspectie van de waarnemer veroorzaakt dus
de ineenstorting van het golfpakket. (Deze eigenaardige situatie komt tot uitdrukking in de paradox
genaamd ‘de vriend van Wigner’.)
Bovengenoemde auteurs benadrukken de rol van het bewustzijn bij de interpretatie van de quantummechanica.
Het behoeft geen betoog dat voor veel natuurkundigen zoiets onaanvaardbaar is. Zij
menen dat een meting is afgelopen zodra het resultaat ergens in de apparatuur is geregistreerd. Het is
niet nodig dat een bewustzijn daar vervolgens kennis van neemt. De vraag blijft dan natuurlijk weer
welk criterium men voor deze permanente registratie kan geven.
B. De Bohm-mechanica Een belangrijk punt in de theorie van hoofdstuk VI is dat het projectiepostulaat
er niet in voorkomt. Dat heeft gevolgen voor de behandeling van metingen. ‘Meting’ is
geen primitief begrip bij Bohm: metingen worden behandeld op voet van gelijkheid met alle andere
fysische wisselwerkingen. Het meetapparaat wordt op dezelfde wijze behandeld als het objectsysteem
waaraan wordt gemeten, namelijk met de uit de Schrödinger-vergelijking afgeleide Bohmvergelijkingen.
Dit brengt met zich mee dat de wisselwerking tussen een objectsysteem en een meetapparaat
volgens het schema van (VIII.4) gegeven kan worden. Deze is (als we ons voor het gemak
tot twee termen beperken) van de vorm (VI.21, blz. 111), waarbij φ B en φ D de eigen-golffuncties zijn
van de wijzerpositie en die corresponderen met de verschillende wijzerstanden. Het is plausibel om
aan te nemen dat φ B en φ D elkaar niet overlappen. Dan volgt dat de golffunctie van het objectsysteem
en het meetappparaat effectief factoriseerbaar is en dat we de superpositie effectief als een mengsel
mogen zien. Er is geen meetprobleem in de Bohm-mechanica.
Merk wel op dat de eis dat φ B en φ D in (VI.21) elkaar niet overlappen sterker is dan wat in het
schema van Von Neumann wordt geëist. Daar is het voldoende dat de golffuncties orthogonaal zijn,
dus dat 〈φ B |φ D 〉 = 0 in plaats van φ B (⃗q)φ D (⃗q) = 0 voor alle ⃗q ∈ R 3 .

VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN 145
C. Spontane ineenstorting Een andere optie is in recente jaren door G.C. Ghirardi, A. Rimini, en T.
Weber (1986) ontwikkeld; een verwant voorstel van F. Bopp dateert uit 1947. In deze zienswijze dient
de evolutie-vergelijking uit het Schrödinger-postulaat vervangen te worden door een indeterministische
evolutie. Men voegt een stochastische term toe die de Schrödinger-vergelijking niet-lineair maakt.
Dit heeft tot gevolg dat ieder fysisch systeem altijd af en toe spontaan een sprongetje maakt, zodanig
dat de golffunctie ineenstort tot bijna een plaatseigentoestand. De nieuwe natuurconstante die de relevante
tijdschaal karakteriseert is zodanig dat de kans op een spontane ineenstorting van de golffunctie
voor een enkel elementair deeltje uiterst klein is — in de orde van grootte van eens in de 10 10 jaar
—, zodat voor een dergelijk fysisch systeem de continue Schrödinger-vergelijking een uitstekende benadering
blijft. Men kan in deze theorie laten zien dat voor samengestelde systemen een ineenstorting
bij een deelsysteem ook een ineenstorting van de toestand van het samengestelde systeem met zich
meebrengt. De consequentie is dat de gemiddelde frequentie van deze spontane sprongen per tijdseenheid
toeneemt met het aantal vrijheidsgraden, en voor een macroscopisch systeem met circa 10 25
deeltjes zal de gemiddelde tijd in ons gedachtenvoorbeeld nog maar 10 −5 milliseconde bedragen.
Vandaar dat macroscopische systemen dus in goede benadering steeds een bepaalde positie hebben
en microscopische systemen niet.
Het verschil tussen deze aanpak en die van Von Neumann is dat in de eerste plaats er geen fundamenteel
verschil is tussen de metingen en andere wisselwerkingen — het bewustzijn is van het
toneel verdwenen. Bovendien leidt deze theorie, doordat ze de evolutie-vergelijking aanpast, tot
voorspellingen die verschillen van de quantummechanica. De theorie is dus toetsbaar. Door middel
van experimenten is het mogelijk onder- en bovengrenzen voor de ineenstort-frequentie te verkrijgen.
Ghirardi, Rimini en Weber menen dat de huidige experimentele gegevens nog met een eindig interval
voor hun nieuwe natuurconstante verenigbaar zijn.
D. Veel werelden Een andere optie is de veel-werelden-interpretatie van H. Everett, J.A. Wheeler
en (in het bijzonder) B. DeWitt; zie DeWitt & Graham (1973). In deze zienswijze wordt geponeerd
dat de quantummechanica van de eerste vijf postulaten een universeel geldige beschrijving van de
werkelijkheid geeft. In beginsel kan dus de golffunctie van het universum worden opgeschreven. Er
is geen deel van de wereld (de meetcontext) dat klassiek beschreven wordt. Bovendien is er geen
projectiepostulaat. De golffunctie ontwikkelt zich volgens de unitaire evolutie, en blijft dus ten alle
tijde een zuivere toestand.
Everett modelleert een meetproces door aan te nemen dat een zeker systeem een volledige verzameling
van orthonormale eigentoestanden heeft, die de interpretatie krijgen dat een bepaalde uitkomst
is opgetreden en permanent geregistreerd is in een geheugen. Deze zijn analoog aan de wijzerstanden
|r j 〉 hierboven. De toestand |Ψ〉 van het samengestelde systeem van objectsysteem S en meetapparaat
M blijft ten alle tijde in de superpositie-vorm (VIII.15). Voor iedere wijzertoestand |r j 〉 is er een
relatieve toestand van het systeem:
|ψ〉 rel
Ψ,r j
:= ∑ j
(
〈φj | ⊗ 〈r j | )( |Ψ〉 ⊗ |φ j 〉 ) = 〈r i | ⊗ 11|Ψ〉 , (VIII.19)
waarbij |φ j 〉 een willekeurige basis van de Hilbertruimte H S van het objectsysteem voorstelt. (Men
kan eenvoudig aantonen dat deze definitie onafhankelijk van de keus van deze basis is, zodat de
relatieve toestand uniek bepaald is door |Ψ〉 en |r j 〉.)

146 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
In het geval van een ideale meting is natuurlijk
|ψ〉 rel
Ψ,r j
= |a j 〉 .
(VIII.20)
Everett toont aan dat als we conditionaliseren op de wijzerstand |r j 〉, alle voorspellingen voor grootheden
die alleen op het objectsysteem S betrekking hebben met behulp van de relatieve toestand
bepaald kunnen worden. We kunnen dus net doen alsof er een projectie naar die toestand heeft plaatsgevonden.
In werkelijkheid blijft echter de superpositie (VIII.15) aanwezig.
De vraag is nu natuurlijk hoe deze superpositie geïnterpreteerd moet worden. Met name DeWitt
heeft een radicale visie gepropageerd: alle termen in deze superpositie vertegenwoordigen werkelijk
bestaande werelden. De overgang tijdens het meetproces is een splitsing van de wereld in ontelbaar
veel kopieën, in ieder waarvan een ander resultaat geregistreerd is. Al deze werelden bestaan en
ontwikkelen zich verder naast elkaar, zonder met elkaar in contact te kunnen treden. Het probleem
om uit de superpositie één werkelijk gerealiseerde term uit te kiezen, zoals bij het projectiepostulaat,
wordt dus vermeden doordat ze allemaal gerealiseerd zijn.
Het postuleren van het bestaan van zo’n veelheid van werelden, waarmee we overigens op geen
enkele wijze in contact kunnen treden, is voor weinigen aanvaardbaar. Nog erger, wellicht, is het idee
dat ieder vervalsproces in een ster in een ververwijderde uithoek van het heelal onze locale wereld
in miljoenen kopieën van zichzelf kan laten splitsen. Bovendien is een moeilijk punt in deze theorie
hoe de ‘splitsing’ precies moet worden begrepen. Bij DeWitt lijkt het alsof hiermee ook een speciaal
soort fysisch proces wordt bedoeld dat bij registratie optreedt. Hiermee zou er dan dus toch weer
een tweede soort van proces naast de Schrödingerevolutie zijn aangenomen, in tegenspraak met de
doelstelling van de interpretatie — het meetprobleem in ruimere zin is dan niet opgelost. Daarnaast
is er het probleem welk proces we bij de omgekeerde evolutie moeten voorstellen: ‘versmelting’
van werelden? In het oorspronkelijke werk van Everett zelf komt het idee van een splitsing van het
universum niet voor. Er is daar alleen sprake van een ‘boekhoudkundige’ overgang naar een relatief
standpunt.
Ten slotte is er de onderstelling dat er aan een verzameling toestanden |r j 〉 van het meetapparaat
de interpretatie gegeven kan worden, dat hierbij een uitkomst permanent geregistreerd is. Deze onderstelling
is niet zonder probleem met de quantummechanica in overeenstemming te bengen omdat
het hier immers nog steeds om superposities gaat.
E. Superselectieregels Nog een andere optie is het invoeren van superselectieregels. Bepaalde superposities
van microscopische toestanden schijnen in de natuur niet voor te komen, bijvoorbeeld superposities
van toestanden met verschillende lading (elektrisch, baryonisch, etc.), of van toestanden met
geheel- en halftallige spin. Men zou zo kunnen veronderstellen dat superposities van macroscopisch
verschillende toestanden ook niet optreden. De dynamica van de quantummechanica moet hieraan
worden aangepast. In een dergelijke opzet van de quantummechanica, waarin het superpositiebeginsel
niet algemeen geldig is, is het mogelijk W ′ als de eindtoestand van het meetproces te krijgen (Beltrametti
& Cassinelli, §6.4.). Preciezer gezegd: in de aanwezigheid van superselectieregels zijn het
mengsel (VIII.16) en de zuivere toestand (VIII.15) equivalent geworden. (Ze leveren voor alle door
de superselectie-operatoren toegelaten fysische grootheden dezelfde verwachtingswaarden.) Een recent
voorbeeld van deze aanpak is de suggestie van R. Penrose dat in een toekomstige geünificeerde
theorie voor quantumgravitatie een superselectieregel zou gelden voor de metriek van de ruimte-tijd.

VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN 147
Omdat het gravitatieveld in de metriek is opgenomen, en deze afhankelijk is van de posities van massarijke
macroscopische lichamen, zijn daarmee ook de posities van zware lichamen zoals wijzers van
meetapparaten supergeselecteerd.
F. Onomkeerbaarheid van de meting Een weer andere optie is het om een beroep te doen op de
speciale karakteristieke eigenschappen van meetapparaten, en op de theorie van onomkeerbare processen,
zoals in het werk van A. Daneri, A. Loinger en G.M. Prosperi (1962). Kenmerkend voor
meetapparaten is volgens deze auteurs dat ze zich in een metastabiele toestand bevinden. Een wisselwerking
met een microscopisch systeem veroorzaakt dan via een lawine-effect een onomkeerbare
respons van het meetapparaat.
De beschrijving van een derglijk onomkeerbaar proces binnen de quantummechnica is echter niet
eenvoudig. De unitaire evolutie is immers altijd omkeerbaar. Nodig zijn bijzondere onderstellingen
over de structuur van het macroscopisch meetapparaat en de waarneembare grootheden daaraan. (Ze
moeten allemaal bijna diagonaal zijn in de energie-representatie.) Men kan dan aantonen dat wat de
empirische uitspraken voor deze waarneembare grootheden betreft, de eindtoestand (VIII.15) door
die van (VIII.16) vervangen kan worden.
Fraai aan deze aanpak is natuurlijk dat hier op de details en constructie van het meetapparaat
wordt ingegaan. De aanwezigheid van een metastabiele toestand lijkt hierbij inderdaad een wezenlijk
aspect, zoals bijvoorbeeld bij het bellenvat of de nevelkamer die resp. van oververhitte vloeistof en van
onderkoelde dampen gebruik maken, of de Geiger-Müller-teller. Maar de introductie van onomkeerbare
processen vraagt om een wijziging van de unitaire evolutie en dus van het Schrödinger-postulaat.
Evenals de quantum-theorie van Ghirardi, Rimini en Weber, is men de quantummechanica hier op een
fundamentele manier aan het wijzigen.
G. Modale interpretaties Een andere oplossing van het meetprobleem wordt geleverd door de modale
interpretatie, geïntroduceerd door B.C. van Fraassen (1972), en uitgewerkt door S. Kochen,
D. Dieks (1989) en R. Healey; overzichtswerken zijn (Vermaas 1999, en Dieks & Vermaas (1999).
In de modale interpretatie verdwijnt het projectiepostulaat, de ‘helft’ van het Eigenschapspostulaat,
en vervangt men het meetpostulaat door een postulaat dat zegt dat iedere vector van de vorm
|ψ〉 = ∑ j
c j |a j 〉 ⊗ |r j 〉
(VIII.21)
de situatie beschrijft dat systeem I de waarde a j voor de grootheid A bezit (als eigenschap), die correspondeert
met de operator bepaald door de basis {|a j (t)〉}, en mutatis mutandis systeem II de waarde
r j . Ieder van deze situaties heeft hierbij een kans |c j | 2 om gerealiseerd te zijn. Dit is niet anders dan
de gebuikelijke ‘onwetendheids-interpretatie’ van kansen. Ten slotte wordt het Schrödinger-postulaat
wordt universeel geldig verklaard, en is derhalve ook van kracht tijdens het meetproces.
Een belangrijke stelling, de zogeheten (bi-orthogonale) Decompositie-stelling van E. Schmidt,
zegt dat voor ieder samengesteld systeem de ontwikkeling van een toestand |ψ〉 in de vorm (VIII.21)
uniek is zolang |c j | ̸= |c k | voor j ≠ k. Men kan van iedere toestand |ψ〉 waarvoor dit geldt dus precies
de corresponderende mogelijke eigenschappen aangeven. Een generalisering tot gemengde toestanden
is mogelijk door de spectrale ontbinding van W van het samengestelde systeem als voorkeursontbinding
te nemen; men vindt dan de Schmidt-decompositie (VIII.21) terug voor het bijzondere geval
van zuivere toestanden.

148 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
Men verwerpt het idee dat de betekenis van de toestandsvector uitsluitend in termen van metingen
geformuleerd kan worden: de toestandsvector beschrijft feitelijk aanwezige eigenschappen. De
beschrijving door de golffunctie is echter onvolledig: |ψ〉 legt vast welke mogelijkheden er zijn en
wat de kansen op de mogelijkheden zijn, maar de werkelijke fysische situatie wordt opengelaten.
De quantummechanica is fundamenteel indeterministisch omdat nu eens de ene mogelijkheid dan
weer de andere optreedt. Bovendien wordt in deze interpretatie het (‘slechts-dan’ gedeelte van) het
Eigenschapspostulaat verworpen: als een systeem in een eigentoestand is, dan bezit het de corresponderende
eigenwaarde, maar het omgekeerde geldt niet, e.g. een systeem dat de superpositie (VIII.21)
verkeert van eigentoestanden, heeft toch één van de eigenschappen lekker. In het eerste geval bezit
een samengesteld fysisch systeem de eigenschap noodzakelijk, in het tweede geval contingent — de
gecursiveerde woorden heten in de logica ‘modaliteiten’, vandaar de naam modale interpretatie. Het
Projectie-postulaat is nu overbodig.
Merk op dat de metastabiliteit of eventuele permanente aard van de grootheden van het systeem I
geen rol spelen om tot het toekennen van eigenschappen te komen. Een ander punt van deze interpretatie
is dat er naast de Schrödinger-dynamica voor de toestand, een dynamica lijkt te moeten komen
voor de eigenschappen, hoe die veranderen in de tijd. Er zijn verschillende pogingen daartoe gedaan.
Beschouwt men echter de singlettoestand in de modale interpretatie, dat ook een toestand is van
een samengesteld systeem, dan zegt deze interpretatie minder dan de quantummechanica met het
Eigenschapspostulaat, blz. 142.
OPGAVE 39. Wat zegt de quantummechanica met het Eigenschapspostulaat over het EPRBexperiment
wel (blz. 115), wat de modale interpretatie niet zegt, en waarom? Helpt het om een
meetapparaat aan het samengestelde systeem van de twee spin-deeltjes te koppelen?
H. Decoherentie Een andere optie, die wellicht door de meerderheid van de natuurkundigen wordt
aangehangen (zie H.J. Groenewold, K. Gottfried, N.G. van Kampen, W.H. Zurek (1981; 1982) is
door Bell de For All Practical Purposes-oplossing gedoopt, kortweg FAPP. Het idee is hier om aan
te tonen dat het verschil tussen de zuivere toestand (VIII.15) en de gemengde toestand (VIII.16)
in de praktijk nauwelijks aantoonbaar is. Een meetapparaat is immers een macroscopisch systeem
dat in voortdurende wisselwerking is met de omgeving. Een meer realistische voorstelling van het
meetproces zal dus van de vorm (VIII.11) zijn, maar dan met een zeer groot aantal termen en factoren,
zeg:
|ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |s 0 〉 ⊗ · · · ⊗ |t 0 〉 ∑ j
c j |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |s j 〉 ⊗ · · · ⊗ |t j 〉 .
(VIII.22)
De coherentie tussen de verschillende termen van de superpositie zal nu in de praktijk al gauw verloren
gaan. Deze coherentie kan immers slechts tot uiting komen in de aanwezigheid van kruistermen
in de verwachtingwaarden van grootheden.
Beschouw een grootheid die een product van grootheden van de verschillende deelsystemen S,
M, M ′ , . . . , M ′′ is, zeg van de vorm à ⊗ ˜R ⊗ ˜S ⊗ · · · ⊗ ˜T (of een som daarvan), die van nul
verschillende matrix-elementen heeft tussen ongelijke termen. Dat wil zeggen, we veronderstellen
dat
(
〈ai ′| ⊗ 〈r j ′| ⊗ · · · ⊗ 〈t k ′| ) Ã ⊗ ˜R ⊗ ˜S ⊗ · · · ⊗ ˜T ( |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ · · · ⊗ |t k 〉 )
= 〈a i ′|A|a j 〉 〈r j ′|R|r j 〉 · · · 〈t k ′|T |t k 〉
(VIII.23)

VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN 149
niet uitsluitend diagonaaltermen bevat. Zulke grootheden kunnen echter in de praktijk niet gemeten
worden. Zodra we slechts aan één van de deelsystemen niet meten is de coherentie al verbroken. De
verwachtingswaarde van bijvoorbeeld de grootheid ˜Q ⊗ ˜R ⊗ 11 ⊗ · · · ⊗ ˜T in de toestand (VIII.22) is
gelijk aan die in de gemengde toestand
W ′′
= ∑ i
|c j | 2 ( |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |s j 〉 ⊗ · · · ⊗ |t j 〉 )( 〈a j | ⊗ 〈r j | ⊗ 〈s j | ⊗ · · · ⊗ 〈t j | ) (VIII.24)
wegens de orthogonaliteit van de toestanden |s j 〉. De stap van de zuivere toestand (VIII.22) naar
het mengsel (VIII.24) wordt dus gerechtvaardigd door ons tot praktisch realiseerbare situaties te
beperken.
Deze redenering is op het eerste gezicht alleszins redelijk. Natuurlijk heeft de redenering slechts
betrekking op een bijzondere klasse van grootheden — in het algemeen is een fysische grootheid
voor het samengestelde systeem lang niet altijd een direct product of een som daarvan. Maar men kan
volhouden dat grootheden die geen direct product zijn in de praktijk nog moeilijker te meten zijn. Het
leidt echter geen twijfel dat het experimenteel onderscheiden van de zuivere toestand (VIII.22) en de
gemengde (VIII.24) met behulp van macroscopische grootheden uiterst moeilijk zal zijn.
Deze FAPP-oplossing wordt door Bell als een valkuil aangemerkt (hij spreekt van de FAPP-trap).
Bell benadrukt dat het meetprobleem geen praktisch maar een principiëel probleem is. De kern
van het probleem is immers of er in het meetapparaat na afloop van het meetproces bepaalde eigenschappen
aanwezig zijn. De FAPP-redenering laat zien dat in de praktijk het systeem zich meestal
gedraagt alsof het die eigenschappen had; maar het laat onverlet dat ‘in werkelijkheid’ het systeem
die eigenschappen niet heeft, en dat, als onze experimentele mogelijkheden ruimer zouden zijn, dit
ook experimenteel aantoonbaar is.
OPGAVE 40. Laat zien dat met behulp van de fysische grootheid die correspondeert met de
operator |Ψ〉〈Ψ|, waarin |Ψ〉 het rechterlid is van (VIII.22), experimenteel onderscheid tussen de
zuivere toestand (VIII.22) en de gemengde toestand (VIII.24) gemaakt kan worden.
ONVERENIGBARE GROOTHEDEN
Tot nu toe beschouwden we het meten van een enkele, respectievelijk van twee verenigbare, of gezamenlijk
meetbare, fysische grootheden van het objectsysteem, dat zijn grootheden die corresponderen
met commuterende operatoren. De eenvoudige meettheorie (VIII.2) stelt ons echter in staat ook het
meten van onverenigbare grootheden te behandelen. Stel A en B zijn twee willekeurige grootheden
van het objectsysteem S die corresponderen met maximale operatoren A en B. Stel het eerste
meetapparaat, M 1 , meet A en het tweede meetapparaat, M 2 , meet B. De betreffende wijzerposities
van de apparaten zijn R en T , die corresponderen met operatoren R en T . De eigentoestanden zijn
respectievelijk |a j 〉, |b j 〉, |r j 〉, |t j 〉. De begintoestand is |ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |t 0 〉 in H S ⊗ H 1 ⊗ H 2 , met
|ψ〉 =
N∑
〈a j |ψ〉 |a j 〉 =
j=1
N∑
〈b k |ψ〉 |b k 〉 , (VIII.25)
k=1

150 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
met weer N := dim H S . We meten eerst A en daarna B. Het meetschema (VIII.4) geeft
|ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |t 0 〉
A
N∑
〈a j |ψ〉 |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |t 0 〉
j=1
B
N∑
j=1 k=1
Meten we eerst B en daarna A, dan komt er
N∑
〈a j |ψ〉 〈b k |a j 〉 |b j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |t j 〉 . (VIII.26)
|ψ〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |t 0 〉
B
N∑
〈b k |ψ〉 |b k 〉 ⊗ |r 0 〉 ⊗ |t k 〉
k=1
A
N∑
k=1 j=1
N∑
〈b k |ψ〉 〈b k |a j 〉 ∗ |a j 〉 ⊗ |r j 〉 ⊗ |t k 〉 . (VIII.27)
We zien dat de eindtoestanden (VIII.26) en (VIII.27) verschillen. Voor de kans om voor A de uitkomst
a j gevonden te hebben en voor B de uitkomst b k vinden we respectievelijk
Prob A,B (R : r j ∧ T : t k ) = |〈a j |ψ〉| 2 |〈b k |a j 〉| 2 en (VIII.28)
Prob B,A (T : t k ∧ B : r j ) = |〈b k |ψ〉| 2 |〈a j |b k 〉| 2 . (VIII.29)
Het aardige is dat de meettheorie ons in staat stelt een uitspraak te doen over het na elkaar meten
van de onverenigbare grootheden A en B, op grond van het (eventueel gelijktijdig) meten van de
verenigbare grootheden R en T — waarom zijn die verenigbaar? Tevens vinden we dat de volgorde
waarin we A en B meten van belang is. Het gevolg van de ‘meetstoring’ verloopt hier binnen het
kader van de unitaire tijdsontwikkeling van de toestand.
Voor de voorwaardelijke kans om b k te vinden als we a j gevonden hebben, en omgekeerd, vinden
we uit (VIII.28) resp. (VIII.29): |〈b k |a j 〉| 2 resp. |〈a j |b k 〉| 2 . Ze zijn gelijk.
Het bovenstaande kan makkelijk gegeneraliseerd worden. Stel we meten achtereenvolgens de
discrete grootheden A, A ′ , A ′′ , . . . , met eigenwaarden a i , a ′ j , a′′ k
, . . . . De kans om, gegeven dat de
meting van A de uitkomst a i opleverde, voor A ′ de uitkomst a ′ j te vinden en voor A′′ de uitkomst a ′′
k
te vinden en etc. is gelijk aan:
Prob ( . . . A ′′ : a ′′
k ∧ A′ : a ′ j
∣ A : a j
)
= . . . |〈a ′′
k |a′ j 〉|2 |〈a ′ j |a j〉| 2
= 〈a j |a ′ j 〉 〈a′ j |a′′ k 〉 . . . 〈a′′ k |a′ j 〉 〈a′ j |a i〉
= 〈a j |P ′ j P ′′
k . . . P ′′
k P ′ j |a j〉
= Tr (P j P ′ j P ′′
k . . . P ′′
k P ′ j ) .
(VIII.30)
Dit resultaat geldt voor niet ontaarde eigenwaarden. We kunnen (VIII.30) beschouwen als de meest algemene
uitspraak van de quantummechanica voor maximale, discrete grootheden: een kansuitspraak
over het optreden van correlaties tussen de uitkomsten van achtereenvolgende metingen. Empirisch

VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE ZIN 151
gesproken draait de gehele natuurkunde om zulke uitspraken, ook de klassieke natuurkunde. Alleen
veroorlooft de klassieke natuurkunde ons om hiermee een beeld te associëren van fysische systemen
als brokken en brokjes materie met eigenschappen die door de ruimte bewegen. In de quantummechanica
is een dergelijk beeld niet voor handen.
We merken nog op dat als we aan S een aantal maal dezelfde grootheid meten (zoals in (VIII.2)),
we steeds dezelfde uitkomst zullen vinden. De projecties in (VIII.30) zijn dan orthogonaal en
Tr (P j P j P k . . . P k P j P j ) = δ ij δ ik . . . .
KRITIEK OP DE MEETTHEORIE
Het meetschema (VIII.2) is minder vrijblijvend dan het lijkt. Om dat te laten zien leiden we er eerst
een gewenste consequentie uit af: alleen fysische grootheden die met normale operatoren corresponderen
zijn meetbaar. We onderstelden dat de wijzertoestanden van het meetapparaat orthonormaal
zijn: 〈r j |r k 〉 = δ jk voor de eigentoestanden |r j 〉 van operator R die correspondeert met de waarneembare
wijzerpositie R van het meetapparaat. Daar de meetwisselwerking unitair is, geldt dat:
ofwel
〈a i | ⊗ 〈r 0 |a j 〉 ⊗ |r 0 〉 = 〈a i | ⊗ 〈r i |a j 〉 ⊗ |r j 〉 , (VIII.31)
〈a i |a j 〉 〈r 0 |r 0 〉 = 〈a i |a j 〉 〈r i |r j 〉 = δ ij , (VIII.32)
dus 〈a i |a j 〉 = 0 als i ≠ j. De |a j 〉 waren de eigenvectoren van A. We hebben bewezen dat de |a j 〉
orthogonaal zijn. Normeren we deze toestanden, dan hebben we een basis. Iedere basis genereert, via
de projectoren die op de basis-elementen projecteren, een normale operator (Spectraalstelling). Als
we nu verder de eigenwaarden van A reëel zijn, dan is A (op eindig-dimensionale Hilbertruimten)
zelf-geadjungeerd.
Nu volgt enige kritiek. Het schema (VIII.2) is sterk geïdealiseerd. Het zegt niets over de fysische
aard van de meting — die vrijwel altijd elektro-magnetisch is. Bij een concrete beschrijving zal men
voor U(t) iets moeten invullen, d.w.z de Hamiltoniaan H opschrijven die deze evolutie genereert via
U(t) = exp[−iHt/]. In het algemeen zullen A en U niet commuteren, in welk geval |a j 〉 niet in
zichzelf overgaat, tenzij de duur van de meting ‘voldoende kort’ is. Maar de vraag wat in dit verband
voldoende kort is, kan niet beantwoord worden zonder op de bijzonderheden van U (en H) in te gaan.
Evenzo leidt het in acht nemen van de behoudswetten tot problemen. Een stelling van Wigner
(1952) en Araki & Yanase (1960) laat zien dat het schema (VIII.2) strikt genomen slechts kan gelden
voor het meten van grootheden die commuteren met alle additieve behouden grootheden — vide infra.
Het meetschema blijft echter bij benadering geldig als de waarde van de behouden grootheid groot
is, wat bij een macroscopisch apparaat al gauw het geval zal zijn. We zien dus dat terwijl de U(t) in
(VIII.2) bestaat, een meer concrete invulling ervan op problemen kan stuiten.
De tekortkomingen van het conventionele formalisme van de quantummechanica voor wat betreft
het geven van een getrouwe beschrijving van het meetproces, hebben in recente jaren geleid tot
interessante uitbreidingen van het formalisme (zie Bush, Lahti en Mittelstaedt (1996)

152 HOOFDSTUK VIII. HET MEETPROBLEEM
STELLING VAN WIGNER, ARAKI EN YANASE: De evolutie U(τ) die de meetovergang
(VIII.4) bij meting van fysische grootheid A teweegbrengt is alleen mogelijk als A
commuteert met alle additieve behouden grootheden van het samengestelde systeem van
objectsysteem en meetapparaat; anders gezegd, behouden fysische grootheden die niet
additief zijn, additieve fysische grootheden die niet behouden zijn, en fysische grootheden
die behouden noch additief zijn, kunnen niet exact gemeten worden.
Bewijs. Laat B een additieve grootheid van het samengestelde systeem SM zijn, d.w.z. B is per
definitie van de vorm:
B = B 1 ⊗ 11 + 11 ⊗ B 2 ,
(VIII.33)
die behouden is, d.w.z. B commuteert met de Hamiltoniaan H van het samengestelde systeem:
[B, H] = 0 .
(VIII.34)
Dan commuteert B ook met iedere functie van H en dus met U(τ) = exp[−iHτ/]. Dan volgt
[B, U(τ)] = 0 =⇒ B = U † (τ)BU(τ) . (VIII.35)
Beschouw het matrixelement
B jk := 〈a j | ⊗ 〈r 0 |B|a k 〉 ⊗ |r 0 〉 .
(VIII.36)
We krijgen enerzijds vanwege de additiviteit van B (VIII.33)
B jk = 〈a j | ⊗ 〈r 0 |(B 1 ⊗ 11 + 11 ⊗ B 2 )|a k 〉 ⊗ |r 0 〉
= 〈a j |B 1 |a k 〉 + δ jk 〈r 0 |B 2 |r 0 〉 .
(VIII.37)
Anderszijds, met vgl. (VIII.35):
B jk = 〈a j | ⊗ 〈r 0 |U † (τ)BU(τ)|a j 〉 ⊗ |r 0 〉
= 〈a j | ⊗ 〈r j |B|a k 〉 ⊗ |r k 〉
= δ jk 〈a j |B 1 |a k 〉 + δ jk 〈r j |B 2 |r k 〉 .
(VIII.38)
Vergelijking van deze twee resultaten leert dat
〈a j |B 1 |a j 〉 = 0 voor i ≠ j . (VIII.39)
Dit betekent dat B 1 in de basis {|a j 〉} van H S op diagonaalvorm staat en dus commuteert met A. □

A
EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN
A.1 INLEIDING
Stel H is een Hilbert-ruimte met dim H > 2. Laat P(H) de verzameling van alle projectoren op H
voorstellen. Stel µ is een afbeelding µ : P(H) → [0, 1]. We noemen µ een maat op H als µadditief
is, d.w.z. voor alle P i , P j ∈ P(H):
P i ⊥ P j =⇒ µ(P i + P j ) = µ(P i ) + µ(P j ) , (A.1)
en µ(11) = 1. De laatste eis impliceert dat µ de waarde 1 toekent aan alle orthogonale ontbindingen
van de eenheid 11. Noem µextreem als er een 1-dimensionale projector P bestaat zodanig dat µ(P ) =
1. We zeggen dan ook wel dat µ op die projector P geconcentreerd ligt.
STELLING VAN GLEASON (ZUIVER GEVAL): Als de maat µ : P(H) → [0, 1] extreem
is, dan bestaat er 1-dimensionale projector P 0 ∈ P(H) zodanig dat voor iedere projectoren:
∀ P ∈ P(H) : µ(P ) = Tr P 0 P .
(A.2)
Het oorspronkelijke bewijs van A.M. Gleason maakt gebruik van geavanceerde wiskundige methoden
en is tamelijk ondoorzichtig. Verschillende auteurs hebben pogingen ondernomen een eenvoudiger
bewijs te leveren, met name C. Piron (1976), J. Dorling (ongepubliceerd) en R. Cooke, M. Keane
en B. Moran (1985). Het hier volgende bewijs is een cocktail van al dit werk. De toelichting achterin
in het boek van R.I.G. Hughes (1989) op het ‘elementaire bewijs’ van Cooke, Keane en Moran, dat
in Hughes’ boek staat afgedrukt, is waardevol. Het bewijs bestaat uit vier Stappen (die overigens niet
samenvallen met de paragrafen).
A.2 HERLEIDING TOT EEN REËEL 3-DIMENSIONAAL PROBLEEM
STAP 1: Als de Stelling van Gleason (zuiver geval) waar is voor een reële Hilbert-ruimte
van dimensie 3, dan ook voor een complexe Hilbert-ruimte van willekeurige dimensie.
We beginnen met een aantal eenvoudige opmerkingen. In de eerste plaats is duidelijk dat iedere
maat volledig bepaald is door zijn waarden op de 1-dimensionale projectoren te geven. Immers,
iedere multidimensionale projector P is de som van orthogonale eendimensionale projectoren P i ,
zodat we via (i) µ(P ) met de waarden van µ(P i ) kunnen bepalen. Ook is eenvoudig in te zien dat
voor elke Hilbert-ruimte de uitdrukking (A.2) inderdaad een extreme maat op H definieert, die op P 0
geconcentreerd ligt, vanwege de idempotentie van P 0 . We duiden deze maat voortaan als µ 0 aan. Dus:
µ 0 (P ) := TrP 0 P . (A.3)

154 BIJLAGE A. EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN
Bewijs van Stap 1. We bewijzen Stap 1 nu uit het ongerijmde. Laat H een complexe Hilbertruimte
met dimH 3 zijn waarvoor de bovenstaande stelling van Gleason niet waar is. D.w.z. er
bestaat een maat µ voor die ruimte, zodanig dat voor zekere projector P 0 ∈ P(H) geldt µ(P 0 ) = 1;
maar die verschilt van de maat µ 0 die door vergelijking (A.3) wordt gedefinieerd. Dan is er dus een
1-dimensionale projector P 1 te vinden zodanig dat
µ(P 1 ) ≠ µ 0 (P 1 ) .
Met het tweetal P 0 en P 1 kunnen we een drietal orthogonale
1-dimensionale projectoren (P 0 , ˜P 1 , P 2 ) construeren
als volgt: schrijf P 0 = |e 0 〉〈e 0 | en P 1 =
|e 1 〉〈e 1 | en construeer een eenheidsvector |ẽ 1 〉 in het
vlak dat door |e 0 〉 en |e 1 〉 wordt opgespannen die loodrecht
op |e 0 〉 staat. D.w.z. |ẽ 1 〉 ∝ (11 − P 0 )|e 1 〉. De projector
˜P 1 := |ẽ 1 〉〈ẽ 1 | staat dan loodrecht op P 1 . 1 Laat
verder P 2 een (willekeurige) 1-dimensionale projector
zijn die loodrecht op zowel P 0 als ˜P 1 staat. (Het is mogelijk
om zo’n projector te kiezen wegens dim H 3.)
Schrijf evenzo P 2 = |e 2 〉〈e 2 |, dan spannen de drie orthonormale
vectoren |e 0 〉, |ẽ 1 〉, |e 2 〉 samen weer een
Hilbert-ruimte van dimensie 3 op, zeg E, die een deelruimte
vormt van H: E ⊑ E.
Je kunt nu eenvoudig laten zien:
(a) P(E) ⊆ P(H) .
(b) De restrictie van µ 0 tot P(E) is een maat op P(E).
(c) De restrictie van µ tot P(E) is een maat op P(E).
(d) De maten µ 0 en µ verschillen op P(E) .
(A.4)
Bewering (a) volgt onmiddellijk uit E ⊆ H. De eigenschappen (b) en (c) zijn te danken aan het feit
dat zowel µ 0 als µ waarde 1 toekent aan een deelruimte van E (en dus 0 aan alle deelruimten van H
loodrecht op E. Eigenschap (d) volgt uit (A.4) en het feit dat P 1 ∈ P(E).
M.a.w., als de stelling niet waar was voor H met dimensie 3, dan kan een Hilbert-ruimte
gevonden worden waarop hij ook niet waar is met dimensie gelijk aan 3. We laten ook nog zien dat
de Hilbert-ruimte E als reëel gekozen kan worden.
Een Hilbert-ruimte is reëel als (1) de scalaire vermenigvuldiging en lineaire combinaties van
vectoren alleen met reële coëfficiënten uitgevoerd wordt en (2) de inprodukten reëel zijn. Bij onze
keus van de vectoren |e 0 〉, |ẽ 1 〉 |e 2 〉 hebben we nog de vrijheid een willekeurige fasefactor op te nemen.
We buiten die vrijheid uit om te bewerkstelligen dat de vector |e 1 〉 die in het vlak opgespannen door
|e 0 〉 en |ẽ 1 〉 ligt, een lineaire combinatie met reële coëfficienten wordt. D.w.z. |e 1 〉 = a|e 0 〉+b|ẽ 1 〉 met
a, b ∈ R. Alle inprodukten tussen de vier vectoren |e 0 〉, |ẽ 1 〉, |e 2 〉 en |e 1 〉 onderling hebben dan een
reële waarde. De gevraagde reële Hilbert-ruimte krijgen we dan door alle lineaire combinaties van
|e 0 〉, |ẽ 1 〉 |e 2 〉 te nemen met reële coëfficienten. Omdat |e 1 〉 ook in deze Hilbert-ruimte ligt, blijven
(a) t/m (d) geldig. □
1 Om precies te zijn, ˜P 1 = (1 − Tr(P 0P 1)) −1 (P 1 + P 0P 1P 0 − P 1P 0 − P 0P 1).

A.3. FORMULERING VAN HET PROBLEEM OP EEN BOLOPPERVLAK 155
A.3 FORMULERING VAN HET PROBLEEM OP EEN BOLOPPERVLAK
De herleiding van willekeurige Hilbert-ruimte tot een 3-dimensionale reële Hilbert-ruimte is in feite
erg plezierig omdat die ruimte isomorf is met de gewone 3-dimensionale Euklidische ruimte (R 3 ).
1-dimensionale projectoren corresponderen hier met lijnen door de oorsprong, en we kunnen ze identificeren
met punten op het oppervlak van de eenheidsbol 2 We zullen die punten of richtingen in het
vervolg als p, q, r, s, t, . . . aanduiden, of door middel van hun bolcoördinaten (θ, φ) karakteriseren;
dus p, q, r, s, t, . . . ∈ S 2 , waarin S 2 de standaard-notatie voor het oppervlak van van de eenheidsbol
B(0; 1) is (de index 2 verwijst ernaar dat het een 2-dimensionale figuur is).
Het punt dat correspondeert met de projector P 0 waarop de maat µ geconcentreerd ligt noemen
we (per conventie) de noordpool p 0 . We kunnen andere 1-dimensionale projectoren dan representeren
als punten van het noordelijk halfrond. De projectoren P loodrecht op p 0 noemen we de evenaar, en
de verzameling van alle 1-dimensionale projectoren loodrecht op een gegeven richting t noemen we
een grote cirkel met as t.
De bijzondere maat µ 0 (P ) = Tr P 0 P = |〈ψ|e 0 〉| 2 kunnen we nu ook als
µ 0 (s) = cos 2 θ s
schrijven, met θ de hoek tussen s en de noordpool. De opgave is nu om van iedere maat µ met de
eigenschap
µ(p 0 ) = 1
(A.5)
en zodanig dat voor iedere drietal onderling loodrechte assen door r, s, t ∈ S 2 geldt dat
µ(r) + µ(s) + µ(t) = 1 ,
(A.6)
te bewijzen dat ook geldt
µ = µ 0 .
Een stap in de goede richting is
STAP 2: Als de functie µ(s) = µ(θ s , φ s ) aan (A.5) en (A.6) voldoet, dan is µ monotoon
in θ s .
Het bewijs volgt met behulp van twee Lemma’s hieronder. Merk eerst op dat uit (A.5) en (A.6) en
0 µ 1 ogenblikkelijk volgt dat µ(s) = 0 voor alle punten op de evenaar. We bewijzen hiermee
het volgende
LEMMA 1: Laat {s ∈ S 2 | s ⊥ r} de grote cirkel zijn met de as r (r ≠ p 0 ). Laat s 0
het meest noordelijke punt van deze cirkel voorstellen. Dan geldt voor alle punten s van
deze grote cirkel:
µ(s 0 ) µ(s) .
M.a.w., als we s langs een grote cirkel laten reizen, neemt µ(s) haar maximale waarde in
het meest noordelijke punt aan.
2 In feite met de helft van de eenheidsbol B(1; 0). omdat |e〉 en −|e〉 dezelfde toestand representeren.

156 BIJLAGE A. EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN
Bewijs van Lemma 1. Zij s ∈ S 2 een willekeurig punt op de beschouwde grote cirkel zijn; kies
een orthogonaal drietal (r, s, t). We weten dus dat:
µ(r) + µ(s) + µ(t) = 1 .
(A.7)
Voer nu een draaiing uit op het orthogonale paar s en t rondom de as r uit totdat s op het meest
noordelijke punt s 0 van de grote cirkel is gekomen. Onder deze rotatie is t in een punt t ′ de evenaar
beland (zie figuur A.3). Het drietal (r, s 0 , t ′ ) is nog steeds orthogonaal, dus geldt:
µ(r) + µ(s 0 ) + µ(t ′ ) = 1 ;
(A.8)
gecombineerd met (A.7) levert dit:
µ(s) + µ(t) = µ(s 0 ) + µ(t ′ ) .
Maar t ′ ligt op de evenaar, zodat µ(t ′ ) = 0, en dus
µ(s) = µ(s 0 ) − µ(t) µ(s 0 ) .
Dus op de grote cirkel neemt µ(s) zijn grootste waarde aan in het noordelijkste punt. □
Ons volgende hulpmiddel is meetkundig.
GEOMETRISCH LEMMA VAN PIRON: Als s, t een tweetal punten op het noordelijk
halfrond is, en s ligt noordelijker dan t, dan is er een curve te vinden van s naar t die
geheel uit grote cirkelsegmenten bestaat, steeds beginnend in hun meest noordelijke punt.
Concreter gezegd, kies s=Utrecht en t=Tokio. Het is het mogelijk om een reis over de aardbol van
Utrecht naar Tokio te maken langs een reeks van grotel cirkelsegmenten, iedere keer startend in het
meest noordelijke punt van die cirkel. Maar volgens Lemma 1 kan µ langs een grote cirkel startend
vanuit zijn hoogste punt alleen maar dalen of constant blijven. Dus het Lemma van Piron houdt in dat
we een reeks punten vinden s, s ′ , s ′′ , . . . , t met
En dus:
µ(s) µ(s ′ ) . . . ≥ µ(t) .
µ(s) µ(t) .
(A.9)

A.3. FORMULERING VAN HET PROBLEEM OP EEN BOLOPPERVLAK 157
Een eenvoudig bewijs van het geometrisch Lemma van Piron is door Cooke, Keane en Moran gegeven.
Het maakt gebruik van projectieve meetkunde. Ieder punt op het noordelijk halfrond kan
bijectief vanuit de oorsprong op een punt in het horizontale vlak door de noordpool worden geprojecteerd
(zie figuur). We kunnen ons probleem dus ook in dit vlak formuleren. Het is eenvoudig in
te zien dat alle grote cirkels (behalve de evenaar) in dit vlak als rechte lijnen worden afgebeeld. Het
meest noordelijke punt van zo’n grote cirkel wordt geprojecteerd op het punt van deze lijn dat het
dichtstbij de de noordpool ligt. De verbindingslijn tussen de afbeelding van de noordpool, Im(p 0 )
naar het beeld van s 0 , zeg Im(s 0 ), snijdt de lijn dus onder een rechte hoek.
Een continue reis langs een reeks van grote cirkelsegmenten, steeds beginnend in het noordelijkste
punt, wordt in het projectieve vlak dus voorgesteld als een uit rechte stukken bestaande spiraal
zoals hieronder afgebeeld. Het is nu ogenblikkelijk duidelijk dat, door het aantal segmenten te laten
toenemen, we met deze spiraal steeds beter een cirkel met de noordpool als middelpunt kunnen benaderen.
Op het noordelijk halfrond zelf betekent dit dat we, door vaak genoeg over te stappen op een
andere grote cirkel, iedere gewenste afstand in westerlengte kunnen afleggen, terwijl we willekeurig
weinig in noorderbreedte zijn gedaald.
Kies nu een willekeurig vertrekpunt s = (θ s , φ s ), (0 < θ s < π/2), en reisdoel t = (θ t , φ t ) met
θ t < θ s . We hebben net gezien dat we vanuit s altijd een punt u kunnen bereiken met φ u = φ t en
θ s > θ u > θ t . (Dus een punt op dezelfde meridiaan als t maar iets noordelijker. We hoeven dan
alleen nog te laten zien dat er ook een reis van u naar t bestaat langs grote cirkels. Dat kan altijd in
twee stappen, volgens de hieronder getekende constructie. □

158 BIJLAGE A. EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN
Resultaat van Lemma 1 en Lemma 2. Als s noordelijker is dan t, dan is µ(s) niet kleiner dan µ(t):
θ s < θ t =⇒ µ(s) µ(t) . (A.10)
We moeten nog een stap maken om de stelling van Gleason te kunnen bewijzen.
STAP 3: De functie µ is constant op een breedtegraad, d.w.z.:
θ s = θ t =⇒ µ(θ s , φ s ) = µ(θ t , φ t ) . (A.11)
Bewijs van Stap 3. We bewijzen deze stelling wederom uit het ongerijmde. Stel dat er een
breedtegraad, d.w.z. een horizontale cirkel
H(θ 0 ) = {s ∈ S 2 | θ s = θ 0 }
(A.12)
bestaat waarop µ niet constant is. We veronderstellen 0 < θ 0 < π/2, m.a.w. H(θ 0 ) is niet de noordpool
of de evenaar (in die gevallen is de stelling immers vanzelfsprekend). Laat
M(θ 0 ) := sup{µ(s) ∈ [0, 1] | s ∈ H(θ 0 )} en
m(θ 0 ) := inf{µ(s) ∈ [0, 1] | s ∈ H(θ 0 )} .
(A.13)
de kleinste bovengrens resp. de grootste ondergrens van alle µ-waarden over H(θ 0 ) voorstellen. Als
µ niet constant blijft, dan geldt, voor een zekere ε > 0:
M(θ 0 ) − m(θ 0 ) = ε .
(A.14)
Laat nu C een willekeurige continue curve zijn die iedere horizontale cirkel hoogstens één keer snijdt;
we noemen C monotoon noordwaards stijgend. Laat p het punt zijn waarin deze curve de breedtegraad
(A.12) doorsnijdt: p := C ∩ H(θ 0 ) zeg in het punt p (zie figuur).
Voor alle punten s 1 op deze curve ten zuiden van p geldt θ s1
µ(t) voor ieder punt t ∈ H(θ 0 ). Dus ook:
µ(s 1 ) m(θ 0 ) .
< θ 0 en dus wegens (A.10) is µ(s 1 )

A.3. FORMULERING VAN HET PROBLEEM OP EEN BOLOPPERVLAK 159
Net zo geldt voor alle punten s 2 van C ten noorden van H(θ 0 ) dat
µ(s 2 ) M(θ 0 ) .
Dit geldt hoe dicht de punten s 1 , s 2 ook bij H(θ 0 ) gekozen worden. Vanwege (A.14) concluderen we
dat de µ-waarden langs de curve C een discontinue sprong maken bij het passeren van H(θ 0 ).
Deze conclusie geldt voor iedere continue monotoon noordwaarts stijgende curve die H(θ 0 ) in
p doorsnijdt. Kies bijvoorbeeld een meridiaan, d.w.z. C = {s : φ s = φ 0 }. Dit is een grote cirkel
met as t op de evenaar. Laat q ∈ C orthogonaal op het snijpunt p van C met H(θ 0 ) staan. Het drietal
t, p, q vormt dus een orthogonaal drietal. Laat nu het orthogonaal paar s, s ⊥ ∈ C een star verbonden
assenkruis zijn dat we door het punt p heen bewegen. We weten dat
µ(s) + µ(s ⊥ ) = 1 ,
en dat µ(s) bij het passeren van p een sprong maakt met minimumgrootte ε. We concluderen dat
µ(s ⊥ ) een ook discontinue sprong maakt bij het passeren van de breedtegraad van q. Zij θ q de
breedtegraad van q.
Kies nu een andere curve voor C, namelijk een grote cirkel C ′ die H(θ 0 ) in p snijdt onder een
hoek die een klein beetje uit het lood staat. Voor deze grote cirkel kunnen we hetzelfde argument
herhalen, en concluderen dat voor s ∈ C ′ µ(s) bij het passeren van de breedtegraad H(θ 0 ) een sprong
ter grootte minimaal ε maakt, en dat een gelijke sprong in een punt q ′ ∈ C ′ loodrecht op p gemaakt
wordt. Omdat C ′ ten opzichte van C een hoek maakt ligt q ′ op een andere breedtegraad dan q.
Dit argument kan in feite net zo vaak herhaald worden als we willen, met grote cirkels C ′′ , C ′′′ , . . .
door p die H(θ 0 ) steeds onder een iets andere hoek doorsnijden. We vinden dan dus een reeks van
punten q, q ′ , q ′′ , . . . , q (N) , ieder op een andere breedtegraad, waarin µ als ook een sprong maakt.
Pauze bewijs van Stap 3.
Nu gebruiken we een eenvoudig hulpemma:
HULPLEMMA: Laat C 1 en C 2 twee continue curven zijn op S 2 die elkaar snijden in
p ∈ S 2 , waarbij p niet het meest noordelijke punt van een van beide curven is. Stel dat
µ(s) voor s ∈ C 1 een discontinue sprong ter grootte ε > 0 in p maakt. D.w.z. voor alle
s ∈ C 1 :
θ s < θ p =⇒ µ(s) a ,
θ s > θ p =⇒ µ(s) a + ε .
Dan maakt µ(s) ook voor s ∈ C 2 een discontinue sprong in p ter grootte van (minstens)
ε.

160 BIJLAGE A. EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN
Bewijs van Hulplemma. Voor ieder tweetal punten s 1 , s 2 op C 2 met θ s1 < θ p , θ s2 > θ p kunnen
we we twee punten t 1 , t 2 ∈ C 1 vinden zo dat θ s1 < θ t1 < θ p , en θ s2 > θ t2 > θ p . Met behulp van
(A.10) concluderen we dat voor t ∈ C 2 :
dus
θ t < θ p =⇒ µ(t) a ,
θ t > θ p =⇒ µ(s)W a + ε . □
Vervolg bewijs Stap 3. Merk nu op dat de punt q ′ , q ′′ , q ′′′ , . . . , q (N) allemaal op één curve liggen.
We hebben we ze immers loodrecht op p gekozen zodat ze in feite allemaal op de grote cirkel met as
p liggen. Volgens het juist bewezen Hulplemma moet, als we langs deze grote cirkel naar het noorden
reizen in ieder van de punten q ′ , q ′′ , q ′′′ , . . . , q (N) een sprong met minimumwaarde ε gemaakt worden.
Maar omdat we N willekeurig groot kunnen kiezen, kunnen we N > 1/ε kiezen, en dat levert een
tegenspraak met de aanname dat µ begrensd is, d.w.z. dat 0 µ(s) 1. De conclusie moet dus zijn
dat ε = 0, en dus dat µ constant over iedere breedtegraad is. □
A.4 EEN ANALYTISCH LEMMA
We hebben nu gezien dat de waarde van µ(s) = µ(θ, φ) alleen van θ afhangt. Beschouw nu een willekeurig
orthogonaal drietal r, s, t. Zo’n algemeen orthogonaal drietal richtingen heeft de Cartesische
coördinaten
⃗r =
⃗s =
⃗t =
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ
sin ψ cos φ − cos θ cos ψ sin φ
sin φ sin θ
⎞
⎠ ,
− sin φ cos ψ − cos θ cos φ sin ψ
− sin φ sin ψ − cos θ cos φ cos ψ
cos φ sin θ
sin ψ sin θ
− cos ψ sin θ
cos θ
⎞
⎠ .
De breedtegraden zijn functies van de z-componenten, en uit de bovenstaande formule zien we dat
ofwel
⎞
⎠ ,
z 2 r + z 2 s + z 2 t = sin 2 φ sin 2 θ + cos 2 φ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ,
cos 2 θ r + cos 2 θ s + cos 2 θ t = 1.
(A.15)
Aangezien µ alleen van θ afhangt, kunen we (A.6) formuleren als:
∀ θ r , θ s , θ t gehoorzamend aan (A.15) geldt: µ(θ r ) + µ(θ s ) + µ(θ t ) = 1 .

A.4. EEN ANALYTISCH LEMMA 161
Het is nu nog fraaier om via de continue monotoon dalende transformatie χ(cos θ) := cos 2 (θ), de
maat µ als functie van z 2 op te vatten. Dan is de eis te schrijven als:
µ(χ r ) + µ(χ t ) + µ(χ t ) = 1 als χ r + χ s + χ t = 1 .
Voor de speciale maat µ 0 geldt
µ 0 (χ s ) = χ s .
Dat dit de enige vorm van µ is die aan (A.10) voldoet, blijkt uit het volgende
ANALYTISCH LEMMA (COOKE, KEANE EN MORAN):
[0, 1] de volgende eigenschappen heeft:
Als een functie f : [0, 1] →
(1) f(0) = 0 ;
(2) als x < y, dan f(x) f(y) (f niet monotoon dalen); en
(3) als x, y, z ∈ [0, 1] en x + y + z = 1, dan f(x) + f(y) + fz) = 1 ,
dan is f de identieke functie: f(x) = x voor alle x ∈ [0, 1].
Bewijs van Analytisch Lemma. Kies eerst z = 0, y = 1 − x. We krijgen
f(x) = 1 − f(1 − x)
voor alle waarden van x ∈ [0, 1]. Kies nu vervolgens z = 1 − (x + y). We krijgen dan
f(x) + f(y) = 1 − f(1 − (x + y)) = 1 − (1 − f(x + y)) = f(x + y)
(A.16)
voor alle x, y, x + y ∈ [0, 1]. Iteratie hiervan geeft voor n ∈ N + :
nf(x) = f(nx)
zolang nx 1. Hieruit volgt als we x = 1/n stellen
( 1
f =
n)
f(1)
n = 1 n ,
en, opnieuw met iteratie van (A.16),
( m
)
f = m n n
voor m, n ∈ N, m < n, ofwel f(x) = x voor rationale x ∈ Q. M.b.v. (2) concluderen we dat
lim x→0 f(x) = sup x→0 f(x) = 0, en dan, opnieuw met (A.16),
lim f(x + y) = f(y)
x→0
voor alle 0 y 1. Dus f is continu, en
∀ x ∈ [0, 1] : f(x) = x .
□

162 BIJLAGE A. EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GLEASON VOOR ZUIVERE TOESTANDEN

B
GERAADPLEEGDE WERKEN
De meeste onderwerpen in deze syllabus vindt men ook in D’Espagnat (1989), Krips (1987), Redhead
(1987), Hughes (1989) en Bub (1997) Een andere toegankelijke monografie waarin recente resultaten
zijn verwerkt is Dickson (1998). Jammer (1974) is een overzichtswerk van het grondslagenonderzoek
in historisch perspectief, dat loopt vanaf de geboorte van de quantummechanica tot 1974.
oerwoud; Jammer (1974) blijft echter onmisbaar voor iedere serieuze grondslagen-student. Bell
(1987) bevat zijn artikelen over de quantummechanica Von Neumann’s Grundlagen (1932) is een
meesterwerk, dat de moeite van het bestuderen nog steeds ten volle waard is; Prugovecki (1981)
is een gemoderniseerde en meer systematische versie, maar schuwt interpretatie-onderwerpen en is
hoofdzakelijk een wiskundig naslagwerk. Bush, Lahti & Mittelstaedt (1996) is de meest recente
monografie over quantummechanische meettheorie. Hooker (1975) is een bundel belangrijke artikelen
van algebraïsche en logische signatuur. Wheeler & Zurek (1983) is een dikke verzameling fotocopieën
van belangrijke artikelen (EPR, Bohr, Bohm, Everett, etc.). Fine (1986) is de ongeëvenaarde
monografie over Einstein en de quantummechanica.
Bijdragen aan het grondslagen-onderzoek van de quantummechanica uit Utrecht zijn het werk
van Hilgevoord & Uffink (en andersom) en Uffink’s proefschrift (1990) over de onbepaaldheidsongelijkheden,
en van Dieks en Vermaas over de modale interpretatie van de quantummechanica.

164 163 Geraadpleegde Werken

BIBLIOGRAFIE
Araki, H.A. & Yanase, M.M. (1960), ‘Measurement of Quantum-Mechanical Operators’, herdrukt in
Wheeler & Zurek (1983) blz. 707-711
Aspect, A. Dalibard, J. en Roger, G. (1982), ‘Experimental Tests of Bell’s Inequalities using Time-
Varying Analyzers’, Physical Review Letters 49 blz. 1804-1807
Belinfante, F.J. (1973), A Survey of Hidden-Variable Theories (Oxford: Pergamon Press)
Bell, J.S. (1964), ‘On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox’, herdrukt in Bell (1987), blz. 14-21, en
in Wheeler & Zurek (1983) blz. 403-408
Bell, J.S. (1966), ‘On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics’, herdrukt in Bell
(1987), blz. 1-13, en in Wheeler & Zurek (1983) blz. 379-402
Bell, J.S. (1971) ‘Introduction to the hidden-variables question’, herdrukt in Bell (1987), blz. 29-39
Bell, J.S. (1975), ‘The Theory of Local Beables’, herdrukt in Bell (1987), blz. 52-62
Bell, J.S. (1987), Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge: Cambridge University
Press)
Bell, J.S. (1987), ‘Against Measurement!’, in Miller (1990), blz. 17-31
Beltrametti, E. & Cassinelli, G. (1981) The Logic of Quantum Mechanics, (Reading, Mass.: Addison-
Wesley)
Birkhoff, G. & Von Neumann, J. (1936), ‘The Logic of Quantum Mechanics’, herdrukt in Hooker
(1975), blz. 1-26
Bohm, D.J. (1952) ‘A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in terms of Hidden Variables’,
I en II, Physical Review 85 blz. 166-193; herdrukt in Wheeler & Zurek (1983) blz. 369-396
Bohr, N. (1928) ‘The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory’, Nature
121) blz. 580-590; in Wheeler & Zurek (1983) blz. 87-126
Bohr, N. (1935a), ‘Quantum Mechanics and Physical Reality’, Nature 136 65
Bohr, N. (1935b), ‘Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?’,
Physical Review 48 (1935) blz. 696-702; herdrukt in Wheeler & Zurek (1983) blz. 145-
151
Bohr, N. (1939), ‘The causality problem in atomic physics’, In: New Theories in Physics, Parijs:
International Institute of Intellectual Co-operation,
Bohr, N. (1949), ‘Discussion with Einstein on Epistemological Problems in Physics’, in: Schilpp
blz. 201-241; ook in Wheeler & Zurek (1983) blz. 9-49

166 BIBLIOGRAFIE
Born, M. (1971), The Born-Einstein Letters, (New York: Walker & Company)
Bopp, F. (1947) in Zeitschrift für Naturforschung: 2a (1947) 202; 7a (1952) 82; 8a (1953) blz. 6
THe Born-Einstein Letters, (London: MacMillan Press)
Bub, J.& Clifton, R.K. (1996), ‘A Uniqueness Theorem for Interpretations of Quantum Mechanics’,
Studies in the History and Philosophy of Modern Physics 27 ⃗ B blz. 181-219; vereenvoudiging
van het bewijs in hetzelfde tijdschrift 31 (2000) blz. 95-98
Bub, J. (1997), Interpreting the Quantum World (Cambridge: Cambridge University Press)
Bush, P. Gabrowski, M. & Lahti, P.J. (1995), Operational Quantum Physics (Berlijn: Springer Verlag)
Bush, P. Lahti, P.J. en Mittelstaedt, P. (1996), The Quantum Theory of Measurement (2nd Ed.),
Berlijn: Springer Verlag, 1996
Clauser et al. (1969), J.F., ‘Proposed Experiment to test Local Hidden-Variable Theories’, herdrukt
in Wheeler & Zurek (1983), blz. 409-413
Clifton, R.K., Butterfield, J. & Redhead, M.L.G. (1990), ‘Nonlocal Influences and Possible Worlds
— A stapp in the wrong direction’, British Journal for the Philosophy of Science 41 blz. 5-58
Condon E.U. (1929), ‘Remarks on uncertainty principles’, Science 69 blz. 573-574
Cooke R.M & Hilgevoord J.(1979), Epistomological Letters, March 1979
Cooke, R.M, Keane, M. & Moran (1984), in Hughes (1989) blz. 321-346
Cushing, J.T. (1994), Quantum Mechanics, Historical Contingency and the Copenhagen Interpretation,
Chicago: University of Chicago Press, 1994
Daneri, A,, Loinger, A. & Prosperi, G.M. (1962), ‘Quantum Theory of Measurement and Ergodicity
Conditions’, Nuclear Physics 33 (1962) blz. 297-319; ook in Wheeler & Zurek (1983) blz. 657-
679
DeWitt, B.S. & Graham N. (1973), (eds) The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics,
(Princeton: Princeton University Press)
Dickson W.M. (1998), Quantum change and non-locality. Probability and non-locality in the interpretations
of quantum mechanics, (Cambridge: Cambridge University Press)
Dieks, D. (1983) Lettere al Nuovo Cimento 38 blz. 443
Dieks, D. (1989), ‘Resolution of the Measurement Problem through Decoherence of the Quantum
State’, Physics Letters A 142 blz. 439-446
Dieks, D. & Vermaas, P.E. (1998), (eds.), The Modal Interpretation of Quantum Mechanics (Dordrecht:
Kluwer)
Dirac, P.A.M. (1930), The Principles of Quantum Mechanics (Oxford: Clarendon Press)

BIBLIOGRAFIE 167
Dirac, P.A.M. (1947), The Principles of Quantum Mechanics (Revised Edition), Oxford: Clarendon
Press)
Eberhard, P.H. (1977), ‘Bell’s Theorem without Hidden Variables’, Il Nuovo Cimento B 38 blz. 75-80
Einstein, A. Podolsky, B. & Rosen, N. (1935), ‘Can Quantum-Mechanical Description of Physical
Reality be Considered Complete?’, Physical Review 47 blz. 777-780; herdrukt in Wheeler &
Zurek (1983) blz. 137-141
Einstein, A. (1954) Ideas and Opinions, (New York: Bonanza Books)
d’Espagnat, B. (1989) Conceptual Foundations of Quantum Mechanics (2nd Ed.), (Redwood City:
Addison-Wesly)
Fine, A.I. (1982), ‘Hidden Variables, Joint Probability and the Bell Inequalities’, Physical Review
Letters 48 blz. 1306-1310
Fine A.I. (1986), The Shaky Game. Einstein, Realism and the Quantum Theory (Chicago: University
of Chicago Press)
Folse H.J. (1985), The Philosophy of Niels Bohr (Amsterdam: North-Holland)
Fraassen B.C. van,(1971),‘Hidden Variables and the Modal Interpretation of Quantum Mechanics’,
Synthese 42 blz. 155-165
Ghirardi, G. Rimini, A. & Weber (1986), ‘Unified Dynamics for Microscopic and Macroscopic Systems’,
Physical Review D 34 blz. 470-491
Gleason A.M. (1957), ‘Measures on the closed Sub-spaces of Hilbert-Spaces’, herdrukt in Hooker
(1975)
Heisenberg, W. (1925), ‘Über quantentheoretischen Umdeutung kinematischen und mechanischen
Beziehungen’ Zeitschrift für Physik 33 blz. 879-893
Heisenberg, W. (1927), ‘Über den anschauliche Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und
Mechanik’, Zeitschrift für Physik 43 blz. 172-198; vertaald in Wheeler & Zurek (1983) blz. 62-
84
Heisenberg, W. (1930), Die Physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, Leipzig: Hirzel Verlag,
1930; vertaald als The Physical Principles of Quantum Theory, Dover
Hilgevoord, J. & Uffink, J. (1988), ‘The mathematical expression of the uncertainty principle’, In: Microphysical
Reality and Quantum Formalism, Van der Merwe et al. (eds) (Dordrecht: Kluwer)
blz. 91-114
Hilgevoord, J. & Uffink, J.(1990), ‘A new look on the uncertainty principle’, in: Miller (1990)
Home, D. & Selleri, F. (1991) ‘Bell’s Theorem and the EPR Paradox’, La Rivista del Nuovo Cimento
14 N. 9 blz. 1-95

168 BIBLIOGRAFIE
Holevo, A.S.(1982)
Holland)
Probabilistic and statistical aspects of quantum theory (Amsterdam: North-
Holland, P. (1993) The quantum theory of Motion. An Account of the de Broglie-Bohm Causal Interpretation
of Quantum Mechanics, (Cambridge: Cambridge University Press)
Hooker, C.A. (1975) (ed.), The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics (Vol. I), (Dordrecht:
Reidel)
Hughes, R.I.G. (1989), the Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, (Cambridge, Mass.:
Harvard University Press)
Isham, C. J. (1995) Lectures on quantum theory (River Edge, NJ: Imperial College Press)
Jammer, M. (1974), The Philosophy of Quantum Mechanics. The Interpretations of Quantum Mechanics
in Historical Perspective, )(New York: Wiley)
Jarrett, J. (1984), ‘On the Physical Significance of Locality Conditions in the Bell Arguments’, Noûs
18 blz. 569-589
Jauch, J.M. (1968), Foundations of Quantum Mechanics, (Reading, Mass.: Addison-Wesley)
Kennard, E.H. (1927), ‘Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen’, Zeitschrift für Physik 44
blz. 326-352
Krips, H. (1987), The Metaphysics of Quantum Theory, (Cambridge: Cambridge University Press)
Kochen, S. & Specker, E.(1967), ‘The Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics’, herdrukt
in Hooker (1975)
Kochen, S.(1985),‘A New Interpretation of Quantum Mechanics’, in: Symposium on the Foundations
of Modern Physics, P.J. Lahti & P. Mittelstaedt (eds.), (Singapore: World Scientific) blz. 151-
170
Landau, H.J. & Pollak H.O. (1961), ‘Prolate spheroidal wave functions — Fourier analysis and uncertainty
II’, The Bell System Technical Journal 40 blz. 63-84
London, F.W. & Bauer, B. (1939), ‘The Theory of Observation in Quantum Mechanics’, in: Wheeler
& Zurek (1983) blz. 217-
Maczynski M.J. (1971), ‘Boolean Properties of Observables in Axiomatic Quantum Mechanics’, Reports
on Mathematical Physics 2 blz. 135-150
Mermin, N.D. (1993), ‘Hidden Variables and the Two Theorems of John Bell’, Reviews of Modern
Physics 65 blz. 803-815
Miller, A.I. (1990), (ed.) Sixty-two Years of Uncertainty. Historical, Philosophical and Physical Inquiries
into the Foundations of Quantum Mechanics, (New York: Plenum)

BIBLIOGRAFIE 169
Muller, F.A. (1997), ‘The Equivalence Myth of Quantum Mechanics’, Studies in the History and
Philosophy of Modern Physics 28 blz. 35-61, 219-247; zelfde tijdschrift voor Addendum, 30
(1999) blz. 543-545
Neumann J. von., (1932), Mathematische Grundlagen der Quantummechanik, Berlijn: Springer Verlag,
1932; vertaald door R.T. Beyer als The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,
Princeton: Princeton University Press, 1955
Peres, A. (1993), Quantum Theory: Concepts and Methods (Dordrecht: Kluwer)
Petersen, A. 1968, Quantum Theory and the Philosophical Tradition, (Cambridge, Mass.: M.I.T.
Press)
Prugovecki, E. (1981), Quantum Mechanics in Hilbert-Space (New York: Academic Press)
Przibram, K. (ed.) (1963), Schrödinger, Planck, Einstein, Lorentz. Briefe zur Wellenmechanik (Wien:
Springer)
Redhead, M.L.G. (1987), Incompleteness, Nonlocality and Realism. A Prolegomenon to the Philosophy
of Quantum Mechanics, (Oxford: Clarendon Press)
Robertson, H.P. (1929), ‘The Uncertainty Principle’, Physical Review 34 blz. 163-164; in Wheeler &
Zurek (1983) blz. 127-128
Scheibe, E. (1973), The Logical Analysis of Quantum Mechanics, (Oxford: Pergamon Press)
Schiff, L.I., (1955), Quantum Mechanics (2nd Ed.), (New York: McGraw-Hill)
Schilpp, P.A.(1949), (ed.), Albert Einstein. Philosopher-Scientist (La Salle, Ill.: Open Court)
Schrödinger,E. (1930), ‘Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip’, Berliner Berichte blz. 296-303
Schrödinger, E. (1935a), ‘Discussion of Probability Relations between Separated Systems’, Proceedings
of the Cambridge Philosophical Society 31blz. 553-563
Schrödinger, E. (1935b), ‘Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik’, Naturwissenschaften
23 blz. 807-812, 824-828, 844-849; vertaald in het Engels in Wheeler & Zurek (1983), blz. 152-
167
Shimony, A. (1995), ‘’ in Fundamental Problems of Quantum Theory D.M. Greenberger & A.
Zeilinger (eds.), Annals of the New York Academy of Sciences 755 blz. 675-
Stapp, H.P. (1977) ‘Are Superluminal Connections Necessary?’ Il Nuovo Cimento B 40 blz. 191-205
Suppes, P. & Zanotti, M. (1976), ‘On the Determinism of Hidden Variable Theories with Strict Correlation
and and Conditional Statistical Independence of Observables’, in: Logic and Probability
in Quantum Mechanics, P. Suppes (ed.) (Dordrecht: Reidel) blz. 445-455
Svetlichny, G. et al. (1988), ‘Do the Bell Inequalities Require the Existence of Joint Probability
Distributions?’, Philosophy of Science 55 blz. 387-401

170 BIBLIOGRAFIE
Uffink, J. (1990), Measures of Uncertainty and the Uncertainty Principle, Utrecht: Proefschrift,
Uffink, J. & Hilgevoord, J. (1985), ‘Uncertainty Principle and Uncertainty Relations’, Foundations of
Physics 15 blz. 925-950
Uffink, J. & Hilgevoord, J. (1988), ‘Interference and Distinguishability in Quantum Mechanics’,
Physica B 151 blz. 309-313
Vermaas, P.E. (1999), A Philosopher looks at Quantum Mechanics. Possiblities and Impossibilities of
Modal Interpretations, (Cambridge: Cambridge University Press)
Vermaas, P.E. & Dieks, D. (1995), ‘The Modal Interpretation of Quantum Mechanics and its Generalisation
to Density Operators’, Foundations of Physics 25 blz. 145-158
Wheeler, J.A. & Zurek, W.H. (1983), (eds.), Quantum Theory and Measurement (Princeton: Princeton
University Press)
Wigner, E.P. (1952), ‘Die Messung quantummechanischer Operatoren’, Zeitschrift für Physik 133
blz. 101-108
Wigner, E.P. (1970), ‘On Hidden Variables and Quantum Mechanical Probabilities’, American Journal
of Physics 38 blz. 1005-1009
Wigner, E.P. (1983), ‘Interpretation of Quantum Mechanics’, in: Wheeler & Zurek (1983) blz. 260-
314
Zurek, W.H. (1981), ‘Pointer Basis of Quantum Apparatus: Into What Mixture Does the Wave Packet
Collapse?’, Physical Review D 24 blz. 1516-1525
Zurek, W.H. (1982), ‘Environment Induced Superselection-Rules’, Physical Review D 26 blz. 1862-
1880