grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

46 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Op analoge manier bewijzen we de factorisering van de verwachtingswaarden:
〈A ⊗ B〉 W1 ⊗W 2
= 〈A〉 W1 〈B〉 W2 . (III.53)
In een willekeurige W is de verwachtingswaarde van A ⊗ 11 (we gebruiken (II.93), blz. 26):
〈A ⊗ 11〉 W = Tr (A ⊗ 11)W
=
N I
N II
∑ ∑ (
〈αi | ⊗ 〈β j | ) (A ⊗ 11)W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 )
i=1 j=1
=
N I
N I
∑ ∑ ∑ (
〈α i |A|α k 〉 〈αk | ⊗ 〈β j | ) W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 ) . (III.54)
i=1 k=1
N II
j=1
Definieer de operator W I op H I als
∑N II
W I := Tr II W := 〈β j |W |β j 〉 ∈ S(H I ) . (III.55)
j=1
Deze operator heet het deelspoor van W met betrekking tot H II (Eng.: partial trace). Er geldt
hiervoor:
∑N II
(
〈α k |W I |α i 〉 = 〈αk | ⊗ 〈β j | ) W ( |α i 〉 ⊗ |β j 〉 ) ∈ R . (III.56)
j=1
Substitueer in de definitie van W I (III.55) en we krijgen voor de verwachtingswaarde van A ⊗ 11:
∑N I ∑N II
〈A ⊗ 11〉 W = 〈α i
(A ⊗ α k 〉〈α k
)W I |α i 〉 = Tr AW I = 〈A〉 WI . (III.57)
Evenzo is
i=1
k=1
〈11 ⊗ B〉 W = Tr BW II = 〈B〉 WII , (III.58)
waarin W II het deelspoor van W is met betrekking tot H I :
∑N I
W II := Tr I W := 〈α i |W |α i 〉 ∈ S(H II ) (III.59)
i=1
OPGAVE 18. Bewijs dat Tr II W en Tr I W toestandsoperatoren op H I resp. H II zijn.
Voor wat de verwachtingswaarden van de grootheden van S I alleen betreft kunnen we de toestand
W dus vervangen door de toestand Tr II W in H I , en analoog voor S II . Het is daarom gebruikelijk
om de toestand van de deelsystemen S I en S II te laten corresponderen met deze deelsporen Tr II W en
Tr I W .
Is W van de vorm W = W 1 ⊗ W 2 , waarin W 1 en W 2 toestandsoperatoren zijn, dan is Tr II W =
W 1 en Tr I W = W 2 . Ofwel
Tr II (W 1 ⊗ W 2 ) = W 1 en Tr I (W 1 ⊗ W 2 ) = W 2 . (III.60)