grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

48 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
Operator W (III.64) is een toestandsoperator indien
z ij ∈ [0, 1]
en
N II
N I
∑ ∑
z ij = 1 .
i=1 j=1
(III.65)
Verder is vanwege vergelijkingen (III.60):
Tr II W = ∑ ∑
z ij U i en Tr I W = ∑
i j
i
∑
z ij V j .
j
(III.66)
We zien dat W dezelfde deelsporen heeft als (Tr II W ) ⊗ (Tr I W ) indien
N II
∑
z ij = u i
j=1
en
N I
∑
z ij = v j .
i=1
(III.67)
Dit stelsel heeft oneindig veel oplossingen voor de onbekende z ij , tenzij Tr II W zuiver is, zeg Tr II W =
U 1 . Dan is ∑ j z ij = δ 1i . Wegens vgl. (III.65) moet dan z ij = 0 als i ≠ 1. Dan geeft (III.67):
z 1j = v j . Hiermee liggen alle z ij vast en W = U 1 ⊗ ∑ j v jV j = Tr II W ⊗ Tr I W . Dus slechts als
(minstens) één van de deelsporen zuiver is, is de W waarvan ze afkomstig zijn eenduidig bepaald.
Dan is W factoriseerbaar. Merk op dat vgl. (III.64) in het algemeen niet factoriseerbaar is; we zullen
later zien dat (III.64) nog niet de meest algemene vorm van een toestandsoperator is. We laten nu zien
dat het bovengevonden resultaat algemeen geldig is.
STELLING (VON NEUMANN): De deelsporen Tr II W en Tr I W bepalen W eenduidig
d.e.s.d.a. minstens een van de deelsporen zuiver is. In dat geval is W factoriseerbaar:
W = Tr II W ⊗ Tr I W .
Bewijs. We hoeven alleen nog te bewijzen het ‘dan’ gedeelte van ‘d.e.s.d.a.’. Laat |u i 〉 een basis
zijn van eigentoestanden van W I . We onderstellen dat de eigenwaarden u i ≠ 0 niet ontaard zijn.
Ontwikkel W en Tr II W naar hun eigenvectoren
N∑
∑N II
W = p n |ψ n 〉〈ψ n | , Tr II W = u i |u i 〉〈u i | ,
n=1
i=1
(III.68)
waarin
|ψ n 〉 ∈ H en |u i 〉 ∈ H I . (III.69)
We mogen p n ≠ 0 onderstellen. Merk op dat de eigenvectoren |u i 〉 bij eigenwaarde 0 in de
ontwikkeling van Tr II W niet optreden; maar ze horen wel bij de volledige basis |u i 〉. Stel |v j 〉 is
een basis in H II . Dan is |u i 〉 ⊗ |v j 〉 een basis in H en kun je |ψ n 〉 ontwikkelen als
|ψ n 〉 =
∑N II
∑N I
ψij n |u i 〉⊗|v j 〉 =
i=1 j=1
∑N II
∑N I
|u i 〉⊗|φ n i 〉 met |φ n i 〉 := ψij|v n j 〉 ∈ H II .(III.70)
i=1
j=1