grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

26 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Een willekeurige vector |Ψ〉 ∈ H 1 ⊗ H 2 kan dus in deze productbasis |α j 〉 1 ⊗ |β k 〉 2 worden
uitgeschreven:
|Ψ〉 =
∑N 1 N 2
∑
c jk |α j 〉 ⊗ |β k 〉 ,
j=1 k=1
(II.91)
waarin c jk = 〈α j ⊗ β k |Ψ〉 ∈ C.
Voor vectoren van de vorm |φ〉 1 ⊗ |φ〉 2 geldt,
∑N 1
∑N 2
a j α j ⊗ b k β k =
j=1 k=1
∑N 1 N 2
∑
a j b k α j ⊗ β k .
j=1 k=1
(II.92)
We zien dat (II.92) een bijzonder geval is van (II.91), namelijk het geval waarin a j b k = c jk . De
bijzondere vectoren die in de vorm (II.92) te schrijven zijn, dus in de vorm |φ〉 1 ⊗ |φ〉 2 , heten directproduct-vectoren,
of factoriseerbaar. In een directe somruimte H 1 ⊕ H 2 zijn alle vectoren in de
vorm |φ 1 〉 ⊕ |φ 2 〉 te schrijven, in een directe productruimte H 1 ⊗ H 2 zijn niet alle vectoren van
de vorm φ 1 ⊗ φ 2 . We zullen zien dat niet-factoriseerbare toestanden aanleiding geven tot typerend
quantum-mechanisch gedrag, zoals in het gedachtenexperiment van EPR.
Zijn A en B operatoren in H 1 resp. H 2 , dan is de directe-product-operator A ⊗ B de operator op
H 1 ⊗ H 2 gedefinieerd door:
(A ⊗ B)(|ψ〉 1 ⊗ |φ〉 2 ) := A|ψ〉 1 ⊗ B|φ〉 2 . (II.93)
Hieruit volgt dat
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD) . (II.94)
Net zoals dat bij vectoren het geval is, is een algemene operator op de direct-productruimte H 1 ⊗
H 2 niet altijd factoriseerbaar. De totale impulsoperator en de afstandsoperator van EPR (§1.2) zijn
voorbeelden van zulke niet-factoriseerbare direct-product-operatoren:
P 1 ⊗ 11 2 + 11 1 ⊗ P 2 en Q 1 ⊗ 11 2 − 11 1 ⊗ Q 2 . (II.95)
OPGAVE 11. Bereken de commutator van deze operatoren als gegeven is dat [P i , Q j ] = −iδ ij
Nog enkele eigenschappen van het directe product van operatoren waar we vaak gebruik van
zullen maken:
A ⊗ 0=0 ⊗ B = 0 , (A 1 + A 2 ) ⊗ B =(A 1 ⊗ B) + (A 2 ⊗ B) ,
11 ⊗ 11=11 , aA ⊗ bB =ab(A ⊗ B) ,
(A ⊗ B) −1 =A −1 ⊗ B −1 , (A ⊗ B) † =A † ⊗ B † ,
Tr(bA ⊗ cB)=bc TrA · TrB .
OPGAVE 12. Bewijs de eigenschappen van ⊗ in (II.96).
(II.96)