grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

40 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
OPGAVE 15. waarom niet?
We zullen straks zien dat de 1-dimensionale projectoren de extreme elementen van de convexe verzameling
S(H) zijn. We noemen een fysische toestand die door 1-dimensionale projector wordt
weergegeven weer een zuivere toestand. Een toestand W die wel niet-triviaal gesplitst kan worden
noemen we een gemengde toestand, of een mengsel of een mengtoestand.
We gaan nu eerst na dat de zuivere toestanden corresponderen met de vectortoestanden van H.
Beschouw de 1-dimensionale projector P ψ op de vector |ψ〉. De door deze toestandsoperator via
(III.26) gedefinieerde toestand gedraagt zich precies als de vectortoestand |ψ〉: voor willekeurige |φ〉
is
µ(P φ ) = Tr P φ P ψ = 〈ψ|P φ |ψ〉 = |〈φ|ψ〉| 2 ,
(III.31)
d.w.z. de kans om de toestand |φ〉 aan te treffen 2 in de toestand |ψ〉 is precies gelijk aan de bekende
uitdrukking (III.6). In het bijzonder is µ(P ψ ) = 1; en als |χ〉⊥ |ψ〉, dan is µ(P |χ〉 ) = 0.
We zien dat de toestand P ψ aan een orthogonale verzameling van vectoren waarvan |ψ〉 deel uit
maakt, een kans toekent die geheel geconcentreerd is op de vector |ψ〉. Dus P ψ is het anologon van
een δ-distributie op de klassieke faseruimte. Het radicale verschil is echter dat de 1-dimensionale
projectoren onderling niet orthogonaal zijn. Dus de zuivere toestand P ψ kent ook een positieve kans
toe aan P φ als 〈φ|ψ〉 ≠ 0. Dit is in tegenstelling tot het klassiek geval, waar de zuivere toestand die
op (p 0 , q 0 ) geconcentreerd ligt, te weten δ(q − q 0 , p − p 0 ), altijd kans nul geeft aan iedere andere zuivere
toestand. Dit is typerend voor de quantummechanica en het maakt quantumtoestanden radicaal
verschillend van klassieke toestanden.
STELLING: De 1-dimensionale projectoren in P(H) zijn de extreme elementen van de
convexe verzameling S(H) van alle toestandsoperatoren op H.
Bewijs. Om dit te bewijzen moeten we in de eerste plaats aantonen dat P ψ niet geschreven kan
worden in de vorm
P ψ = wW 1 + (1 − w)W 2 , met 0 < w < 1) . (III.32)
Stel dat het wel kon. Dan is voor alle |φ〉 ⊥ |ψ〉:
〈φ|P ψ |φ〉 = 0 = w〈φ|W 1 |φ〉 + (1 − w)〈φ|W 2 |φ〉 ,
(III.33)
hetgeen impliceert dat
〈φ|W 1 |φ〉 = 〈φ|W 2 |φ〉 = 0 .
(III.34)
Een positieve operator kan altijd geschreven worden als het kwadraat van een zelf-geadjungeerde
operator, dus zeg: W 1 = A 2 1 Dan geldt: ‖A i |φ〉‖ = 0, dus A|φ〉 = 0 , en dus: W 1 |φ〉 = 0 ,
voor alle vectoren |φ〉 ⊥ |ψ〉. Evenzo vinden we W 2 |φ〉 = 0 . Dus W 1 en W 2 beelden af op
de 1-dimensionale ruimte opgespannen door |ψ〉 en zijn wegens (III.27) dus zelf projectoren, en
2 We spreken van de kans om de toestand |φ〉 aan te treffen als afkorting voor de kans om bij meting van de grootheid
die correspondeert met de projector |φ〉〈φ| de waarde 1 te vinden.