grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

24 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
II.5
DIRECTE SOM EN DIRECT PRODUCT
Er zijn twee manieren om uit twee gegeven Hilbertruimtes H 1 en H 2 een nieuwe Hilbertruimte H te
construeren, of omgekeerd, een gegeven Hilbertruimte H in kleinere ruimten te ontbinden.
DE DIRECTE SOM
Laat H 1 en H 2 twee Hilbertruimten zijn. We noemen de ruimte H := H 1 ⊕ H 2 per definitie de
directe somruimte van H 1 en H 2 als het volgende geldt:
(i) H 1 ⊕ H 2 bevat als elementen alle geordende paren van vectoren, (genoteerd als |φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 )
met |φ〉 1 ∈ H 1 en |ψ〉 2 ∈ H 2 .
(ii) Er is een optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd op H 1 ⊕ H 2 , die voldoen aan
a(|φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 ) + b(|χ〉 1 ⊕ |ξ〉 2 ) = (a|φ〉 1 + b|χ〉 1 ) ⊕ (a|ψ〉 2 + b|ξ〉 2 ) ,
(II.77)
(iii) Het inproduct gedraagt zich additief:
( 1 〈φ| ⊕ 2 〈φ |)(ψ〉 1 ⊕ |ψ〉 2 ) = 1 〈φ|ψ〉 1 + 2 〈φ|ψ〉 2 . (II.78)
(iv) H 1 ⊕ H 2 is de kleinste Hilbertruimte opgespannen door de elementen van de vorm |φ〉 1 ⊕ |ψ〉 2
en hun lineaire combinaties.
Merk op dat relatie (II.77) als gevolg heeft dat alle elementen in H 1 ⊕H 2 van de vorm |φ〉 1 ⊕|ψ〉 2
zijn, voor zekere |φ〉 1 ∈ H 1 en |ψ〉 2 ∈ H 2 . Immers, een willekeurige lineaire combinatie van
elementen in H 1 ⊕ H 2 is wegens (II.77) van de vorm
( ) ( )
∑
∑ ∑
a i |φ i 〉 1 ⊕ |ψ i 〉 2 = a i |φ i 〉 1 ⊕ a i |ψ i 〉 2 . (II.79)
i
i
i
Dit betekent dat de eisen (i) en (ii) hierboven automatisch meebrengen dat H 1 ⊕ H 2 gesloten is onder
lineaire combinaties.
De deelruimte van H 1 ⊕ H 2 die bestaat uit alle vectoren van de gedaante 0 1 ⊕ |φ〉 2 , met 0 1 de
nulvector in H 1 en |φ〉 2 ∈ H 2 willekeurig, is isomorf met H 2 , en net zo voor |φ〉 1 ⊕ 0 2 en H 1 .
Bovendien zijn deze twee deelruimten van H 1 ⊕ H 2 onderling orthogonaal, want
1〈φ| ⊕ 0 2 | 0 1 ⊕ |ψ〉 2 = 1 〈φ | 0 〉 1 + 2 〈0 | φ〉 2 = 0
(II.80)
Iedere vector |φ〉 ∈ H 1 ⊕ H 2 kan dus uniek geschreven kan worden als de directe som van twee
orthogonale termen:
|φ〉 = |φ 1 〉 ⊕ |φ 2 〉 = |φ〉 1 ⊕ 0 2 + 0 1 ⊕ |φ〉 2 .
(II.81)
Stel, omgekeerd, dat H een willekeurige gegeven Hilbertruimte is en dat H 1 een deelruimte van
H is. Laat nu H 2 = H1
⊥ het orthocomplement van H 1 zijn. Dat wil zeggen, H 2 bevat alle vectoren
die loodrecht staan op alle vectoren uit H 1 . Er geldt dan H = H 1 ⊕ H 2 , met de identificatie
|φ〉 1 ⊕ 0 2 ←→ |φ〉 ∈ H 1
(II.82)
0 1 ⊕ |ψ〉 2 ←→ |ψ〉 ∈ H 2 (II.83)