grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

18 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
. Deze verzameling is gesloten onder lineaire combinaties en vormt dus zelf een deel-Hilbertruimte
(kortweg deelruimte genaamd) van H. Omgekeerd correspondeert iedere deelruimte van H eenduidig
met een projector. (In oneindig-dimensionale Hilbertruimten is dit alleen waar voor gesloten deelruimtes.)
We noemen de deelruimte die correspondeert met een projector ook wel zijn eigenruimte,
en zeggen dat een projector n-dimensionaal is, al naar gelang de dimensie van zijn eigenruimte.
Twee projectoren P 1 en P 2 heten onderling orthogonaal (notatie P 1 ⊥ P 2 ) als
P 1 P 2 = 0
(II.36)
In dat geval zijn hun beider eigenruimtes ook orthogonaal:
P 1 ⊥ P 2 d.e.s.d.a. ∀|ψ〉 ∈ H P1 , |φ〉 ∈ H P2 : 〈φ|ψ〉 = 0 . (II.37)
OPGAVE 8. Ga na dat voor projectoren geldt: P 1 P 2 = 0 =⇒ P 2 P 1 = 0.
Voor twee orthogonale projectoren P 1 ⊥ P 2 is de som P 1 + P 2 ook een projector, want die som is
zelf-geadjungeerd (wegens Vgl. (II.22)) en idempotent omdat:
(P 1 + P 2 ) 2 = P 2 1 + P 1 P 2 + P 2 P 1 + P 2 2 = P 2 1 + P 2 2 = P 1 + P 2 . (II.38)
De eigenruimte van de projector P 1 + P 2 is de lineaire ruimte opgespannen door de vectoren in H P1
en in H P2 .
Meer algemeen heet een stelsel projectoren P 1 , . . . P n onderling orthogonaal als
P i P j = δ ij P i voor i, j = 1, . . . , n . (II.39)
We noemen een stelsel onderling orthogonale projectoren volledig als
n∑
P i = 11
i=1
(II.40)
In het bijzonder geldt voor een orthonormale basis |α i 〉, . . . , |α N 〉 dat de bijbehorende eendimensionale
projectoren een volledig stelsel vormen:
N∑
|α i 〉〈α i | = 11 , (II.41)
i=1
II.3
EIGENWAARDENPROBLEEM EN SPECTRAALSTELLING
Is {|β 1 〉 . . . , |β N 〉} een willekeurige orthonormale basis, dan wordt de operator A hierin gerepresenteerd
als een een willekeurige N × N-matrix:
A ij = 〈β i |A|β j 〉 .
(II.42)