grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

16 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
De geadjungeerde A † van een operator A is gedefinieerd door de volgende vergelijking:
〈ψ|A † |φ〉 = 〈φ|A|ψ〉 ∗ voor alle |φ〉, |ψ〉 ∈ H. (II.20)
OPGAVE 3. Laat zien dat voor de matrixvoorstelling in een orthonormale basis geldt: (A † ) ij =
A ∗ ji .
Iedere operator op een eindig-dimensionale vectorruimte heeft een unieke geadjungeerde, Er geldt
verder dat
(cA) † = c ∗ A † en (AB) † = B † A † (II.21)
(A + B) † = A † + B † en (A † ) † = A . (II.22)
Een operator B heet een inverse van A als
AB = BA = 11 ;
(II.23)
waarin 11 de eenheidsoperator is, d.w.z. de identieke afbeelding op H: 11|ψ〉 := |ψ〉 voor alle |ψ〉 ∈
H. We noteren voor B in dat geval A −1 , omdat de inverse, als hij bestaat, uniek is. Maar niet iedere
operator bezit een inverse. Voorbeeld (in de Hilbertruimte C 2 ):
( ) 0 1
. (II.24)
0 0
Het spoor van een operator A (Eng.: trace) is gedefinieerd als volgt:
TrA :=
N∑
〈γ i |A|γ i 〉 (II.25)
i=1
waarin |γ 1 〉, . . . , |γ N 〉 een willekeurige orthonormale basis is en N := dim H.
OPGAVE 4. Laat zien dat TrA onafhankelijk is van de keus van de orthonormale basis.
Het spoor heeft de volgende eigenschappen:
TrA † = (TrA) ∗ , en dus: A = A † =⇒ TrA ∈ R ,
Tr(bA + cB) = b Tr A + c Tr B .
Tr AB = Tr BA .
(II.26)
OPGAVE 5. Bewijs de drie beweringen in (II.26).
We zetten de voornaamste soorten operatoren op een rijtje. Een operator A heet normaal als hij
commuteert met zijn geadjungeerde:
[A, A † ] := AA † − A † A = 0
(II.27)
(waarin 0 eigenlijk de ‘nul-operator’ is: die beeldt alle vectoren af op de nulvector 0 ). Een operator
heet zelf-geadjungeerd (of Hermitisch) als hij identiek is aan zijn geadjungeerde:
A † = A .
(II.28)