grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

34 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
5. Projectiepostulaat (discreet geval). Als er een meting aan het fysisch systeem in toestand
|ψ〉 van fysische grootheid A wordt verricht, die correspondeert met een operator A met een
discreet sprectrum, en de meting levert eigenwaarde a i ∈ R op, dan is het systeem direct na de
meting in de onderstaande eigentoestand:
|ψ〉
P a i
|ψ〉
‖P ai |ψ〉‖ .
(III.3)
De eerste drie postulaten verbinden de (ongedefinieerde) begrippen ‘fysisch systeem’, ‘toestand’
en ‘grootheid’ met wiskundige begrippen. De laatste twee postulaten leggen vast hoe toestanden in
de loop der tijd veranderen
Ad 1 Het toestandpostulaat impliceert dat systemen met dezelfde |ψ〉 zich in dezelfde fysische
toestand bevinden. Langs welke methode die toestandsvector |ψ〉 geproduceerd is, is hierbij niet van
belang. Ook het feit dat twee systemen beschreven door dezelfde |ψ〉 vervolgens bij meting verschillende
uitkomsten kunnen geven (hetgeen volgens het meetpostulaat is toegestaan) is geen reden om
hun toestand als verschillend aan te merken. Het is echter omgekeerd niet zo dat ieder tweetal verschillende
eenheidsvectoren ook verschillende toestanden representeren. Men neemt gewoonlijk aan
dat vectoren die slechts een fasefactor e iθ (θ ∈ R) schelen, dezelfde fysische toestand voorstellen
(zulke vectoren vormen een eenheidsstraal, Eng.: unit ray), omdat ze dezelfde kansverdelingen op
meetuitkomsten vastleggen.
Ook de bewering dat alle eenheidsvectoren van H fysische toestanden beschrijven hoeft in het
algemeen niet waar te zijn. Merk op dat de verzameling van eenheidsvectoren buitengewoon groot
is. Zelfs voor een deeltje in één ruimtelijke dimensie is de Hilbertruimte oneindig-dimensionaal.
Daarnaast blijken bepaalde typen van superposities van toestanden in de natuur niet voor te komen,
bijvoorbeeld superposities van toestanden met verschillende lading (electrisch, baryonisch, etc.), of
van toestanden met geheel- en halftallige spin. Men kan deze superposities in de theorie verbieden
door zogeheten superselectieregels in te voeren. De eis dat voor identieke deeltjes alleen toestanden
zijn toegestaan die symmetrisch of antisymmetrisch zijn onder permutatie van de deeltjes is een voorbeeld
van zo’n superselectieregel. De klasse van toegelaten toestanden valt bij de aanwezigheid van
een superselectieregel uiteen in een directe som van de eigenruimten van de superselectie-operator:
H = ⊕ j=1
H j . (III.4)
Binnen één dergelijke deelruimte H j — een coherente sector genaamd — zijn superposities van
alle toestanden toegelaten. In afwezigheid van superselectieregels vormt de gehele Hilbertruimte één
coherente sector. Dan is het superpositiebeginsel algemeen geldig, dat zegt dat voor ieder tweetal
toestanden |ψ〉 en |φ〉 de lineaire combinatie a|ψ〉 + b|φ〉, met |a| 2 + |b| 2 = 1, ook een toestand
voorstelt. Omdat de natuur kennelijk superselectieregels oplegt (die soms afleidbaar zijn uit symmetrieën,
zoals eerst door Wick, Wightman en Wigner in 1955 afgeleid), geldt het superpositiebeginsel
slechts per coherente sector. Superposities van vectoren uit verschillende coherente sectoren corresponderen
niet met een fysische toestand en dit noopt tot een navenante herformulering van het
toestandpostulaat. Wat samengestelde fysische systemen betreft, zeggen we dat het systeem in een
verstrengelde toestand is d.e.s.d.a. de toestandsvector niet factoriseerbaar is. In het gedachtenexperiment
van EPR speelt zo’n verstrengelde toestand de hoofdrol. Schrödinger (1935b) liet als eerste