grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

14 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
We schrijven overigens ook wel
a|ψ〉 ≡ |aψ〉 ≡ |ψ〉a .
(II.7)
OPGAVE 0. Bewijs dat (a) 0|φ〉 = 0 , en dat (b) de optel-inverse van |φ〉 gelijk is aan −1|φ〉.
Een inproduct op een vectorruimte is een afbeelding van H × H naar C (we noteren 〈φ|ψ〉 voor
het beeld in C van (|φ〉, |ψ〉) ∈ H × H) met de volgende eigenschappen:
(i) 〈φ |aψ + bχ〉 = a〈φ|ψ〉 + b〈φ|χ〉 ,
(ii) 〈φ |ψ〉 = 〈ψ|φ〉 ∗ ,
(iii) 〈φ |φ〉 0 ,
(iv) 〈φ |φ〉 = 0 dan en slechts dan als |φ〉 = 0 .
(II.8)
De waarde
‖ψ‖ := √ 〈ψ|ψ〉
(II.9)
heet de norm van |ψ〉 en voldoet aan de gebruikelijke eisen voor een norm: zijn waarde is positief,
behalve voor de nulvector (die krijgt 0 toegewezen), homogeniteit (in de zin dat ‖aψ‖ = |a| ‖ψ‖), en
eerbiediging van de driehoeksongelijkheid: ‖ψ+φ‖ ≤ ‖ψ‖+‖φ‖. Een vector heet een eenheidsvector
als de norm gelijk is aan 1.
Een belangrijke ongelijkheid is de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid:
|〈φ|ψ〉| 2 〈φ|φ〉 〈ψ|ψ〉 . (II.10)
OPGAVE 1. Bewijs (a) de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (II.10), en (b) dat de norm-definitie aan
de gestelde eisen voor een norm voldoet.
De n vectoren |α 1 〉, . . . , |α n 〉 heten (lineair) onafhankelijk als uit
n∑
c i |α i 〉 = 0
i=1
(II.11)
volgt dat alle coëfficiënten c i gelijk aan nul zijn; anders heten de vectoren afhankelijk. Een verzameling
vectoren |α 1 〉, . . . , |α N 〉 in H is volledig 1 als iedere vector |ψ〉 ∈ H geschreven kan worden
als lineaire combinatie ervan:
|ψ〉 =
N∑
c i |α i 〉 ,
i=1
Een volledige, onafhankelijke verzameling vectoren heet een basis.
OPGAVE 2. Bewijs dat onderling orthogonale vectoren lineair onafhankelijk zijn.
(II.12)
1 Het gebruik van de term ‘volledig’ voor een stelsel van vectoren dient uiteraard niet verward te worden met de gelijknamige
aanduiding in de context van de quantummechanica — als eigenschap van een fysische theorie.