grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

42 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
3 ′ Gegeneraliseerd Born-postulaat (discreet geval). Als het systeem in toestand W ∈ S(H) is,
dan is de kans om bij meting van grootheid A met discreet spectrum een eigenwaarde te vinden
in ∆ ⊆ Spec A, gelijk aan:
Prob W (A : ∆) = Tr P A (∆)W ,
waarin P A (∆) ∈ P(H) projecteert op de deelruimte opgespannen door de eigenvectoren waarvan
de eigenwaarden in ∆ liggen.
Merk op dat in het toestandpostulaat de vervelende fasefactor is verdwenen.
III.3
DE INTERPRETATIE VAN GEMENGDE TOESTANDEN
De spectrale ontbinding (III.35) suggereert een interpretatie van W . Een zuivere toestand W = P ψ
correspondeert, zoals we zagen, met een kansmaat die geconcentreerd is op de eigenvector |ψ〉. Op
dezelfde manier correspondeert een willekeurige W volgens (III.35) met een kansmaat op zijn eigen
eigenvectoren |w i , j〉 die een kans w i toekent aan de eigenvector |w i , j〉. Met def. (III.35) voor de
projector W i,j :
µ W (W i,j ) = Tr W i,j W = Tr w i W 2
i,j = w i Tr W i,j = w i . (III.38)
De verwachtingswaarde van een operator A in W is, met gebruikmaking van de spectrale ontbinding
van A in M ∈ N + eigenprojectoren:
M∑
M∑
( ∑
M )
〈A〉 W = a i µ W (P ai ) = a i Tr P ai W = Tr a i P ai W , (III.39)
dus
i=1
i=1
〈A〉 W = Tr AW . (III.40)
Met de spectrale ontbinding van W (III.35) vinden we
M∑ N∑
N∑ ∑
M
〈A〉 W = w i Tr AW i,j = w i 〈w i , j|A|w i , j〉 . (III.41)
i=1 j=1
i=1
j=1
Dit is precies de met w i gewogen som van verwachtingswaarden van A in de toestanden |w i , j〉.
Het bovenstaande suggereert dat W een ensemble van fysische systemen beschrijft die elk in één
van de zuivere toestanden |w i , j〉 zijn en dat w i de fractie is van systemen in |w i , j〉. Op deze manier
werden toestandsoperatoren oorspronkelijk door Von Neumann ingevoerd in analogie met ensembles
in de klassieke statistische mechanica (vandaar zijn terminologie van ‘statistische operator’). Deze
verleidelijke interpretatie, bekend als ‘de onwetendheidsinterpretatie van mengsels’, is echter niet
zonder problemen.
In de eerste plaats is de keus van de basisvectoren in (III.35) in geval van ontaarding niet uniek.
De projector P j in de deelruimte bij de eigenwaarde w j kan op willekeurig veel manieren worden
geschreven in termen van basistoestanden:
∑n i
∑n i
|w i , j〉〈w i , j| = |u i , k〉〈u i , k| , (III.42)
j=1
k=1
i=1