grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

8 HOOFDSTUK I. CONCEPTUELE PROBLEMEN
moeten vervangen door een mengsel van dergelijke eigentoestanden. In dat geval gaat de redenering
niet langer op.
Het EPR-artikel zelf geeft een genuanceerdere redenering die deze tekortkoming niet kent. Het
artikel wijkt op twee punten van het bovenstaande af. In de eerste plaats wordt niet alleen de impuls,
maar ook de plaats van de twee deeltjes in de beschouwing betrokken. Verder formuleren EPR een
precieze voldoende voorwaarde voor ‘onvolledigheid’. Dat gaat via de introductie van het begrip
‘element van de fysische werkelijkheid’. In de woorden van EPR:
EPR: “Als we, zonder een fysisch systeem op enigerlei wijze te storen, de waarde van
een fysische grootheid met zekerheid kunnen voorspellen, dan is er een element in de
fysische werkelijkheid dat met deze grootheid correspondeert.”
Hoe anders te verklaren dat we meetuitkomsten met zekerheid kunnen voorspellen? Een nodige (en
zeker een voldoende, zo zou men kunnen toevoegen) voorwaarde voor volledige fysische theorie is
nu dat elk element van de fysische werkelijkheid een tegenhanger in de theorie heeft.
VOL(T): Als een fysische theorie T volledig is, dan correspondeert er met ieder element
in de fysische werkelijkheid een element in de theorie T .
Het is mogelijk voor |ψ〉 een toestand te kiezen die zowel een eigentoestand is van P 1 + P 2 als
van Q 1 − Q 2 . (Merk op dat deze operatoren met elkaar commuteren.) Een dergelijke toestand is in
Dirac-notatie in de ‘p-taal’ en in de ‘q-taal’:
∫
∫
|ψ〉 = |p 1 = p〉 ⊗ |p 2 = −p〉e −ilp/ dp = |q 1 = q〉 ⊗ |q 2 = q − l〉 dq , (I.2)
R
waarin de l de eigenwaarde is van de onderlinge afstand Q 1 − Q 2 en willekeurig groot gekozen kan
worden. (We beschouwen hier slechts één ruimtelijke dimensie; de eerste factor in het direct product
slaat op deeltje 1, de tweede op deeltje 2.) De ‘p-taal’ en de ‘q-taal’ zijn in elkaar te ‘vertalen’
middels een Fourier-transformatie. 1 Er geldt voor deze toestand |ψ〉 dat ze een eigenstoestand is,
met eigenwaarden 0 respectievelijk l, van de totale impuls P 1 + P 2 van de twee twee deeltjes en hun
onderlinge afstand Q 1 − Q 2 :
(P 1 + P 2 )|ψ〉 = 0|ψ〉 en (Q 1 − Q 2 )|ψ〉 = l|ψ〉 . (I.5)
Toch is |ψ〉 geen eigentoestand van een der 1-deeltjesoperatoren P 1 , Q 1 , P 2 en Q 2 (eigenlijk P 1 ⊗ 11,
etc.). Met de uitkomst van een meting van P 1 , zeg a, kunnen we echter wel met zekerheid voorspellen
welk resultaat een meting van P 2 zou opleveren, namelijk −a. Net zo volgt uit een meting van Q 1 ,
x zeg, met zekerheid het resultaat van een meting van Q 2 , te weten x − l. (Kanttekening: hoewel
de vectoren |p〉, |q〉, e.d. wiskundig problematisch zijn in de Hilbert-ruimte, heeft David Bohm in
1 Zonder Dirac-notatie maar wel in termen van Dirac’s delta-‘functies’ ziet de golffunctie er in de ‘p-taal’ en de ‘q-taal’
resp. als volgt uit:
ψ(p 1 , p 2 ) = e −ilp 1/ δ(p 1 + p 2 ) en (I.3)
˜ψ(q 1, q 2) = δ(q 1 − q 2 + l) . (I.4)
R