grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

30 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
In eindig-dimensionale Hilbertruimtenzijn alle operatoren begrensd, maar in oneindig-dimensionale
is dat niet langer waar. Omdat we willen vast houden aan de eis dat iedere vector A|ψ〉 een
eindige norm heeft, moeten we de verzameling vectoren |φ〉 waarvoor ‖Aχ‖/‖χ‖ → ∞ als |χ〉 →
|φ〉 uitsluiten van het domein van A.
Dus voortaan is een operator A een lineaire afbeelding van een deelverzameling van H naar H.
Die deelverzameling heet het domein van A, notatie: Dom A ⊂ H. Dus en operator is een lineaire
afbeelding:
ψ ∈ Dom A A : ψ ↦→ Aψ ∈ H .
(II.111)
We zullen wel steeds veronderstellen dat dit domein Dom A dicht ligt in H, dat wil zeggen dat dat
iedere vector φ in H willekeurig goed benaderd kan worden met vectoren in Dom A.
Het bovenstaande houdt in dat ook sommen en producten van operatoren in het algemeen slechts
op een beperkt domein gedefinieerd zijn:
Dom (A + B) = Dom A ∩ Dom B (II.112)
Dom (AB) = {ψ ∈ Dom B : Bψ ∈ Dom A} . (II.113)
Moeilijker wordt het de geadjungeerde A † van een operator A in te voeren. De operator heet weer
Hermitisch als
〈φ|A|ψ〉 = 〈ψ|A|φ〉 ∗ voor alle φ, ψ ∈ Dom A , (II.114)
maar deze definitie is nu niet langer goed genoeg om te krijgen wat we willen.
VOORBEELD: Beschouw de operator P uit vgl (II.107), maar nu werkend op L 2 ([0, ∞),
en kies als domein
{ ∫ ∞
∫
}
Dom P = ψ : |ψ(q)| 2 dq < ∞, |P ψ(q)| 2 dq < ∞ en ψ(0) = 0 .(II.115)
0
Deze operator is inderdaad hermitisch, wat is na te gaan met behulp van partiële integratie,
waarbij de ‘stokterm’ wegvalt dankzij de randvoorwaarde ψ(0) = 0. Maar hij is
niet zelfgeadjungeerd, zoals we nog zullen zien.
Om de geadjungeerde van een operator in te voeren proberen we eerst het domein af te bakenen.
Laat Dom (A † ) de verzameling van alle vectoren φ zodanig dat er een vector |η〉 bestaat met
〈φ|A|ψ〉 = 〈η | ψ〉 ∀|ψ〉 ∈ Dom A
(II.116)
Men kan laten zien dat als zo’n |η〉 bestaat hij ook uniek is (dank zij de veronderstelling dat Dom A
dicht ligt in H. De geadjungeerde A † van operator A is nu per definitie de afbeelding
A † : φ ∈ Dom A † ↦→ η =: A † φ (II.117)
en de operator heet zelfgedjungeerd als
Dom A = Dom A † (II.118)
A = A † (II.119)
Deze eis is sterker dan Hermiticiteit: men kan laten zien dat voor Hermitische operatoren in het
algemeen Dom A ⊂ Dom A † i.p.v. (II.118).