grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

20 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Immers, voor alle |ψ〉 ∈ H geldt :
A|ψ〉 = A11|ψ〉 = A
N∑
|a i 〉〈a i | ψ〉 =
i=1
N∑
a i |a i 〉〈a i | ψ〉
i=1
(II.47)
zodat de operatoren in het linker- en rechterlid gelijk moeten zijn.
(ii) Als de operator ontaard is, dan zijn er slechts m < N verschillende eigenwaarden a 1 , . . . , a m .
Voor iedere eigenwaarde a i , bestaat er dan een aantal, zeg n i , onderling orthonomale eigenvectoren,
met ∑ m
i=1 n i = N. Deze eigenwaarde heet dan n i -voudig ontaard. De bijbehorende eigenvectoren
spannen dan een n i -dimensionale deelruimte op van eigenvectoren bij de waarde a i . Kies hierin een
orthonormale basis |α i , j〉, j = 1, . . . , n i . Dan wordt de eigenwaardevergelijking (II.45):
A|a i , j〉 = a i |a i , j〉 j = 1, . . . , n i . (II.48)
We vinden dan analoog aan (II.46):
m∑ ∑n i
A = |a i , j〉〈a i , j| , (II.49)
a i
i=1 j=1
wat ook geschreven kan worden als
m∑
A = a i P ai
i=1
(II.50)
in termen van de n i -dimensionale eigenprojectoren:
∑n i
P ai = |a i , j〉〈a i , j|) (II.51)
j=1
OPGAVE 9. Laat zien dat P ai in (II.51) onafhankelijk is van de keus van de orthonormale basis
|a i , 1〉, . . . , |a i , n i 〉.
We vatten de bovenstaande twee gevallen samen in de volgende (equivalente) formulering van de
spectraalstelling:
SPECTRAALSTELLING (PROJECTOR-FORMULERING): Voor iedere normale operator
bestaat er een uniek stelsel van onderling verschillende eigenwaarden a 1 , . . . a m , (m ≤
N), en een bijbehorend uniek volledig stelsel van onderling orthogonale projectoren
P a1 , . . . , P am , zodanig dat
A =
11 =
m∑
a i P ai ,
i=1
m∑
i=1
P i
(II.52)
(II.53)
Als de operator niet-ontaard is, zijn al deze projectoren eendimensionaal; als hij wel
ontaard is, geeft dim P i de ontaardingsgraad van eigenwaarde a i .
We noemen (II.52) de spectrale ontbinding van A, en (II.53) een ontbinding van de eenheid.