grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

32 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
De kans om voor fysische grootheid A die correspondeert met normale operator A een waarde te
vinden in ∆ ⊂ R bij meting wanneer het fysisch systeem in (zuivere) toestand ψ ∈ H is, is dan
Prob ψ (A : ∆) = 〈ψ|P A (∆)|ψ〉 .
(II.125)
In het geval van de grootheid positie Q krijgen we dan, vanwege (II.124):
∫
Prob ψ (Q : ∆) = 〈ψ|P Q (∆)|ψ〉 = |ψ(q)| 2 dq .
∆
(II.126)
Alle empirische uitspraken van de quantummechanica zijn derhalve uit te drukken in termen van
projectoren; preciezer, alle empirische uitspraken van de quantummechanica betreffende fysische
grootheid A zijn uit te drukken in termen van de spectrale familie van A.
Dirac. Het zij ten slotte opgemerkt dat de quantummechanica à la Dirac willens en wetens de
postulaten van Von Neumann schendt door buiten de Hilbertruimte te treden. Dirac (1947, blz. 40):
“The bra and ket vectors that we now use form a more general space than a Hilbert space.” Om
Dirac toch wiskundig handen en voeten te geven, heeft de Franse wiskundige Laurent Schwarz de
theorie van distributies ontwikkeld, en de Russische mathematisch fysicus I.M. Gel’fand de theorie
van opgetuigde Hilbertruimten (Eng.: rigged Hilbert-space). In tegenstelling tot Schrödinger en
Von Neumann, zag Dirac de golfmechanica als een generalisering van de matrixmechanica, namelijk
van een discrete index naar een continue index, zodat men van een Schmidt-rijtje naar een golffunctie
gaat, en van oneindige matrices naar integraal-kernen.
Samenvatting. Een complexe Hilbertruimte is per definitie een volledige, separabele complexe
vectorruimte met een inproduct dat gerelateerd is aan de norm via ‖ψ‖ 2 = 〈ψ|ψ〉; de dimensie
is eindig of aftelbaar-oneindig; in het eindig-dimensionale geval zijn de eisen van separabiliteit en
compleetheid overbodig want afleidbaar uit de overige eigenschappen van een Hilbertruimte; in het
overgrote merendeel van fysische toepassingen zijn oneindig-dimensionale Hilbertruimten en onbegrensde
operatoren vereist.