grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

22 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Dat wil zeggen, f(A) heeft altijd dezelfde eigenvectoren en eigenprojecties als A, en verschilt alleen
van A in de toekenning van de eigenwaarden, namelijk f(a i ) in plaats van a i . Beschouw als voorbeeld
de karakteristieke functie χ a van a ∈ C:
{ 1 als x = a
χ a : C → {0, 1} , x ↦→ χ a (x) :=
0 elders
. (II.61)
Dan is
χ ak (A) :=
m∑
χ ak (a i )P ai = P ak .
i=1
(II.62)
De projectoren uit de spectrale ontbinding van A (II.52) zijn dus functies van A. We gebruiken de
spectrale ontbindingen in het bewijs van de volgende stelling.
STELLING: Als zelf-geadjungeerde operatoren A en B commuteren, dan is er een maximale,
zelf-geadjungeerde operator C waar A en B beide een functie van zijn.
Bewijs. We formuleren eerst een nuttig
LEMMA: Als [A, B] = 0, dan is er een basis |γ i 〉 waarop A en B tegelijk diagonaal zijn.
Bewijs.
Laat {|a i , j〉} een orthonormale eigenbasis van operator A zijn, waarbij j = 1, . . . , n i de ontaardingsgraad
van eigenwaarde a i aangeeft. We hebben dus:
〈a p , q|a i , j〉 = δ pi δ qj . (II.63)
Laat analoog {|b k , l〉} een orthonormale basis voor grootheid B zijn. Uit [A, B] = 0 volgt
A ( B|a i , j〉 ) = BA|a i , j〉 = a i B|a i , j〉 ,
(II.64)
zodat B|a i , j〉 blijkbaar een eigenvector van A is bij de eigenwaarde a i . D.w.z. B|a i , j〉 ligt in de
eigenruimte opgespannen door |a i , 1〉, . . . , |a i , n i 〉. Ofwel:
∑n i
B|a i , j〉 = Λ [i]
j,k |a i, k〉 ,
k=1
(II.65)
voor zekere getallen Λ [i]
j,k ∈ C. Omdat B zelf-geadjungeerd is, moet de matrix Λ[i] hermitisch
zijn; immers:
dus
〈a k , l|B |a i , j〉 = Λ [i]
l,j δ ki ,
〈a k , l|B |a i , j〉 ∗ = 〈a i , j|B † |a k , l〉 = Λ [i]
i,k δ il ,
( ) ∗
Λ [i]
[i]
k,i = Λ
i,k .
(II.66)
(II.67)
(II.68)