grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

44 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN
de toestandsoperator een volledige beschrijving van een toestand is. De verschillende mogelijke
preparatiewijzen zijn niet uit de toestand W te achterhalen. De conclusie is dan dat W in (III.43)
niet een ensemble karakteriseert dat uit een mengsel van systemen in zuivere toestanden |u k 〉 bestaat,
maar alleen dat een ensemble gekarakteriseerd door W zich bij meting als een dergelijk ensemble
voordoet. Ook hier zie je weer dat je in de quantummechanica in problemen komt als je spreekt in
termen van wat bestaat. (Zie ook de discussie bij oneigenlijke gemengde toestanden in §III.5).
De dynamica van de gemengde toestanden volgt net als in het klassieke geval uit die van de
zuivere toestanden. Definieer met behulp van W i,j (III.35):
m∑ ∑n i
W (t) := w i W i,j (t) ,
(III.46)
i=1 j=1
waarin ∑ m
j
n i = dim H. Met
geeft dit
|w i , j, t〉 := U(t − t 0 )|w i , j, t 0 〉 (III.47)
W (t) = ∑ i,j
w i U(t − t 0 )W i,j (t)U † (t − t 0 ) ;
(III.48)
dus
W (t) = U(t − t 0 )W (t 0 )U † (t − t 0 ) .
Met (III.10) vinden we
(III.49)
dW (t)
i = [H, W (t)] , (III.50)
dt
het analogon van de Liouville-vergelijking (III.18), soms de ‘Liouville-Von Neumann-vergelijking’
genoemd. Vgl. (III.50) is de generalisering van de Schrödinger-vergelijking naar gemengde toestanden.
De uitbreiding van het Schrödinger-postulaat voor gemengde toestanden luidt dan als volgt.
5 ′ Gegeneraliseerd Schrödinger-postulaat. Als er geen metingen verricht worden aan het fysische
systeem , dan wordt de ontwikkeling van de toestand van het systeem in de tijd beschreven door
een unitaire transformatie:
W (t) = U(t − t ′ )W (t ′ )U † (t − t ′ ) .
De volgende stelling is van belang voor het meetprobleem.
STELLING (VON NEUMANN): De eigenschappen ‘zuiver’ en ‘gemengd’ zijn invariant
onder de unitaire tijdontwikkeling.
Bewijs. Beschouw W 2 = ∑ i,j w2 i |w i, j〉〈w i , j|. We zien dat W 2 = W d.e.s.d.a. w 2 i = w i voor
alle i. D.w.z. er is dan maar één term w i ongelijk aan nul, en die is gelijk 1, dus W is zuiver,
terwijl W 2 ≠ W als W gemengd is. Maar deze relaties blijven behouden onder (III.49) want
U † (t − t 0 ) = U −1 (t − t 0 ). □