grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

28 HOOFDSTUK II. HET FORMALISME
Zo is Q (de rationale getallen) onvolledig in deze zin, aangezien er talloze Cauchy-rijen van rationale
termen bestaan waarvan de limiet niet in Q ligt (denk aan reeksontwikkelingen van π en e). Voegt
men de limiet-punten van alle Cauchy-rijen toe aan Q, dan krijgt men precies R. We gaan dan van een
aftelbare verzameling naar een overaftelbare verzameling. Dit illustreert dat de eis van separabiliteit
niet vanzelfsprekend is.
OPGAVE 13. Bewijs dat iedere eindig-dimensionale complexe vectorruimte met een inwendig
product separabel en volledig is.
Dit maakt de eisen van separabiliteit en volledigheid in het eindig-dimensionale geval overbodig.
Twee bekende voorbeelden van een oneindig-dimensionale Hilbertruimte zijn de volgende.
(i) De ruimte van alle complexe, kwadratisch integreerbare functies
L 2 (R) :=
{
ψ : R → C ∣
∫
R
}
|ψ(q)| 2 dq < ∞ , (II.102)
met inwendig product:
∫
〈ψ|φ〉 := ψ ∗ (q)φ(q) dq ,
R
(II.103)
en analoog voor L 2 (R n ) voor willekeurige n ∈ N + .
(ii) De ruimte van kwadratisch sommeerbare rijen van complexe getallen, ook wel Schmidt-rijtjes
genoemd:
l 2 (N) :=
{
c : N → C ∣ en
∞∑
j=0
}
|c j | 2 < ∞ , (II.104)
met als definitie voor het inproduct:
〈
c
∣ ∣ d 〉 :=
∞∑
c ∗ jd j .
j=0
(II.105)
Het bewijs dat deze vectorruimten volledig zijn, is niet eenvoudig — het bewijs dat aan de overige
eisen voor een Hilbertruimte is voldaan, is dat wel.
De twee voorbeelden L 2 (R) en l 2 (N) corresponderen resp. met de golfmechanica van Schrödinger
(1926) en de matrixmechanica van Heisenberg, Born, en Jordan (1925) wanneer we de laatstgenoemde
nemen in de door Von Neumann verrijkte versie (de oorspronkelijke versie bevatte namelijk
geen ‘toestandsruimte’) Deze twee oorspronkelijke versies van de quantummechanica zijn dus
wiskundig equivalent (zie Muller 1997 voor historische details).