grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

More documents

Recommendations

Info

III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTANDEN 37 De toestanden ρ vormen een convexe verzameling; d.w.z. als ρ 1 , ρ 2 toestanden zijn op Γ en w 1 en w 2 zijn twee reële getallen die voldoen aan dan voldoet 0 ≤ w i ≤ 1 en w 1 + w 2 = 1 , (III.14) ρ := w 1 ρ 1 + w 2 ρ 2 . (III.15) ook aan de eisen (III.12) en is dus ook een toestand op Γ. We zullen deze convexe verzameling toestanden noteren als S(Γ). Een toestand die niet volgens (III.15) gesplitst kan worden heet een zuivere toestand; in het andere geval heet de toestand gemengd. De zuivere toestanden zijn de ρ’s die geconcentreerd zijn op een enkel punt van Γ (delta-‘functies’). In het algemeen noemt men de elementen van een convexe verzameling die niet in de vorm (III.15) met w 1 , w 2 ≠ 0 geschreven kunnen worden, heten extreme elementen van die verzameling (in ons geval zijn de extreme elementen dus de zuivere toestanden). Ieder element van een convexe verzameling kan altijd geschreven worden als convexe som van extreme elementen. Dit correspondeert hier met de ontwikkeling van ρ naar deltafuncties: ∫ ρ(p, q) = ρ(p ′ , q ′ )δ(p − p ′ )δ(q − q ′ ) dp ′ dq ′ . (III.16) Γ De bewegingsvergelijking van een willekeurige toestand volgt uit de Hamiltonse bewegingsvergelijking van de zuivere toestanden: dq i dt = ∂H ∂p i en dp i dt = −∂H ∂q i . Dit levert dan de Liouville-vergelijking voor ρ: ∂ρ ∂t = {H, ρ} , (III.18) (III.17) waarin de Poissonhaakjes optreden: n∑ ( ∂H ∂ρ {H, ρ} := − ∂H ) ∂ρ . (III.19) ∂q i ∂p i ∂p i ∂q i i=1 We willen nu in de quantummechanica in analogie met het klassieke geval een kansverdeling over de toestandsvectoren in H beschouwen. Voor een geschikte formulering daarvan keren we nog even terug naar het klassieke geval. Met behulp van de toestand ρ kunnen we een afbeelding µ op deelverzamelingen van Γ naar R introduceren volgens ∫ µ(∆) := ρ(q, p) dp dq , ∆ ⊆ Γ . (III.20) ∆ Deze afbeelding µ is additief: µ(∪ i ∆ i ) = ∑ i=1 µ(∆ i ) (III.21)
38 HOOFDSTUK III. DE POSTULATEN voor elke aftelbare reeks disjuncte ∆ i ⊂ Γ. Verder is 0 ≤ µ(∆) ≤ 1] , µ(∅) = 0 en µ(Γ) = 1 . (III.22) Iedere afbeelding die een meetbare deelverzameling van Γ op een getal in het interval [0, 1] afbeeldt en die aan vgl. (III.21) en (III.22) voldoet, heet een kansmaat. Het is eenvoudig in te zien dat iedere kansverdeling ρ op eenduidige wijze correspondeert met een kansmaat en vice versa (dit geldt zelfs voor δ-‘functies’). We kunnen we een toestand (in uitgebreide zin) dus ook representeren met een kansmaat op Γ. In analogie met het bovenstaande willen we nu in de quantummechanica de fysische toestanden ook laten corresponderen met kansmaten op H. Omdat we de structuur van H willen behouden, kijken we daarom niet naar willekeurige deelverzamelingen van H, maar naar deel-Hilbertruimten van H, of, wat op hetzelfde neerkomt, naar de projectoren die erop projecteren. We zoeken dus een kansmaat op P(H), oftewel een afbeelding µ : P(H) → [0, 1] (III.23) die additief is in de relevante zin, d.w.z. zij P 1 , P 2 , . . . , P n een rij paarsgewijs orthogonale projectoren (P i ⊥ P j voor i ≠ j), dan: ( ∑ ) µ P j = ∑ µ(P j ) (III.24) j j en die voldoet aan µ(0 ) = 0 en µ(11) = 1 . (III.25) In 1957 bewees A.M. Gleason de volgende stelling. STELLING VAN GLEASON: Iedere kansmaat µ op P(H) kan, mits dim H > 2, geschreven worden als µ(P ) = Tr P W , (III.26) voor een zekere zelf-geadjungeerde, positieve 1 operator W met spoor gelijk aan 1: (i) W = W † , (ii) 〈ψ | W |ψ〉 0 voor alle |ψ〉 ∈ H , (iii) Tr W = 1 . (III.27) 1 In de complexe Hilbertruimte waarvan het formalisme van de quantummechanica gebruikt maakt zijn de voorwaarden (i) en (ii) in (III.27) niet onafhankelijk van elkaar. In feite is dan (i) overbodig want voor een complexe Hilbertruimte geldt dat alle positieve operatoren automatisch zelf-geadjungeerd zijn. De stelling van Gleason is echter ook voor een reële Hilbertruimte geldig; in dat geval zijn (i) en (ii) onafhankelijk van elkaar. (In een complexe ruimte wordt een operator A immers eenduidig bepaald door alle matrix-elementen van de vorm 〈ψ|A|ψ〉. In een reële ruimte is dit niet het geval.
Page 1: GRONDSLAGEN VAN DE QUANTUMMECHANICA
Page 4 and 5: INHOUDSOPGAVE I CONCEPTUELE PROBLEM
Page 6 and 7: I CONCEPTUELE PROBLEMEN Wie de quan
Page 8 and 9: I.1. INLEIDING 5 quantummechanica.
Page 10 and 11: I.2. ONVOLLEDIGHEID EN LOCALITEIT 7
Page 16 and 17: II HET FORMALISME De gebruikelijke
Page 18 and 19: II.2. OPERATOREN 15 Een basis heet
Page 20 and 21: II.2. OPERATOREN 17 Zelf-geadjungee
Page 22 and 23: II.3. EIGENWAARDENPROBLEEM EN SPECT
Page 24 and 25: II.4. FUNCTIES VAN OPERATOREN 21 II
Page 26 and 27: II.4. FUNCTIES VAN OPERATOREN 23 Om
Page 28 and 29: II.5. DIRECTE SOM EN DIRECT PRODUCT
Page 30 and 31: II.6. TOEGIFT: ONEINDIG-DIMENSIONAL
Page 36 and 37: III DE POSTULATEN Het lijkt er ster
Page 38 and 39: III.1. DE POSTULATEN VAN VON NEUMAN
Page 42 and 43: III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTAND
Page 44 and 45: III.2. ZUIVERE EN GEMENGDE TOESTAND
Page 46 and 47: III.3. DE INTERPRETATIE VAN GEMENGD
Page 48 and 49: III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 45 II
Page 50 and 51: III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 47 Be
Page 52 and 53: III.4. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 49 De
Page 54 and 55: III.5. EIGENLIJKE EN ONEIGENLIJKE M
Page 56 and 57: III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 53 OPG
Page 58 and 59: III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 55 en
Page 60 and 61: III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 57 All
Page 62 and 63: III.6. DEELTJES MET SPIN 1/2 59 dus
Page 64 and 65: IV DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE Het
Page 66 and 67: IV.1. HEISENBERG EN HET ONZEKERHEID
Page 68 and 69: IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 65 h
Page 70 and 71: IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 67 k
Page 72 and 73: IV.2. COMPLEMENTARITEIT (BOHR) 69 H
Page 74 and 75: IV.3. HET DEBAT TUSSEN EINSTEIN EN
Page 80 and 81: IV.4. NEUTRON-INTERFEROMETRIE 77 Fi
Page 82 and 83: IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 79 We
Page 84 and 85: IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 81 Vo
Page 86 and 87: IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 83 2a
Page 88 and 89: IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 85 he
Page 90 and 91:
IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 87 Fi
Page 92 and 93:
IV.5. DE ONZEKERHEIDSRELATIES 89 di
Page 94 and 95:
V VERBORGEN VARIABELEN Ofschoon we
Page 96 and 97:
V.2. AUTONOME VERBORGEN VARIABELEN
Page 98 and 99:
V.2. AUTONOME VERBORGEN VARIABELEN
Page 100 and 101:
V.3. DE STELLING VAN KOCHEN & SPECK
Page 102 and 103:
V.4. CONTEXTUELE VERBORGEN VARIABEL
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
VI DE BOHM-MECHANICA De gangbare in
Page 110 and 111:
VI.2. DE QUANTUMPOTENTIAAL 107 Besc
Page 112 and 113:
VI.2. DE QUANTUMPOTENTIAAL 109 Figu
Page 114 and 115:
VI.3. SAMENGESTELDE SYSTEMEN 111 ee
Page 116 and 117:
VI.5. DE HAMILTON-JACOBI-VERGELIJKI
Page 118 and 119:
VII DE ONGELIJKHEDEN VAN BELL Er is
Page 120 and 121:
Neem van beide kanten de absolute w
Page 122 and 123:
Laat a n het teken zijn van ⃗ J
Page 124 and 125:
VII.2. LOCALE DETERMINISTISCHE CONT
Page 126 and 127:
en uit (VII.38) volgt VII.2. LOCALE
Page 128 and 129:
VII.2. LOCALE DETERMINISTISCHE CONT
Page 130 and 131:
VII.5. STOCHASTISCHE VERBORGEN VARI
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
VIII HET MEETPROBLEEM Zo zien we da
Page 140 and 141:
VIII.3. METEN VOLGENS DE QUANTUMMEC
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
VIII.4. HET MEETPROBLEEM IN ENGERE
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
A EEN BEWIJS VAN DE STELLING VAN GL
Page 158 and 159:
A.3. FORMULERING VAN HET PROBLEEM O
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
A.4. EEN ANALYTISCH LEMMA 161 Het i
Page 166 and 167:
B GERAADPLEEGDE WERKEN De meeste on
Page 168 and 169:
BIBLIOGRAFIE Araki, H.A. & Yanase,
Page 170 and 171:
BIBLIOGRAFIE 167 Dirac, P.A.M. (194
Page 172 and 173:
BIBLIOGRAFIE 169 Muller, F.A. (1997
show all

grondslagen van de quantummechanica - Universiteit Utrecht

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?