COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D - Faculteit der ...

4.1 Recursief gedefinieerde rijen
4.1 Recursief gedefinieerde rijen
Veel verschijnselen in de werkelijkheid kunnen gemodelleerd worden door een
rij reële getallen
x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , . . .
die aan bepaalde wetmatigheden voldoet. Stel bijvoorbeeld dat je de groei van
een bacteriënpopulatie wilt modelleren. In zo’n model zou je onder x k de populatieomvang
kunnen verstaan k uur na een zeker aanvangstijdstip. Een heel
eenvoudig model wordt beschreven door
x k+1 = g x k voor k = 0, 1, 2, . . .
Hierbij neem je dus aan dat de populatie elk uur met een vaste groeifactor g
toeneemt. Omdat x 1 = g x 0 , x 2 = g x 1 = g 2 x 0 , x 3 = g x 2 = g 3 x 0 , enzovoort, geldt
voor alle k dat
x k = g k x 0
Dit heet een discreet exponentieel groeimodel. De wetmatigheid x k+1 = g x k heet
een recursieve definitie omdat elk element van de rij (behalve de startwaarde x 0 ) in
zijn voorganger wordt uitgedrukt. In het algemeen heet een wetmatigheid van
de vorm
x k+1 = f (x k ) voor k = 0, 1, 2, . . .
waarbij f (x) een gegeven functie is, een recurrente betrekking van de eerste orde. Een
voorbeeld hiervan is
(
x k+1 = x k + c x k 1 − x )
k
voor k = 0, 1, 2, . . .
M
die het zogenaamde discrete logistische groeimodel beschrijft. Dit is een model voor
begrensde groeiprocessen.
Het kan ook zijn dat elke x k+1 van zijn twee voorganger x k en x k−1 afhangt. Dan
spreekt men van een recurrente betrekking van de tweede orde. Een bekend voorbeeld
is de rij van Fibonacci, die gegeven wordt door
x k+1 = x k + x k−1 voor k = 1, 2, 3, . . .
en de twee startwaarden x 0 = x 1 = 1. Het is niet moeilijk om die rij voort te zetten:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
Elke term is immers de som van zijn twee voorgangers. Maar lastiger is het om
een formule te geven die x k geeft als functie van k.
We hoeven ons niet te beperken tot recurrente betrekkingen van orde 1 of 2.
Hangt x k+1 af van zijn n voorgangers x k , x k−1 , . . ., x k−n+1 dan spreekt men van
een recurrente betrekking van de n-de orde. Er zijn dan nog n startwaarden nodig
om de rij te helemaal vast te leggen.
35
Complexe getallen voor wiskunde D