vektorregning uke 11

VEKTORREGNING
Per
80
UKE 11
RETTLINJET BEVEGELSE
2D VEKTORREGNING
DEKOMPONERING
KRUMLINJET BEVEGELSE
KOLLISJONER
Vi veier begge
80 kg I alle oppgaver
og eksempler
Pål
1

Fart og akselerasjon
Per skal løpe 60-meter’n. Vi kan ta tiden
og regne ut gjennomsnittsfarten.
Per
Vi definerer fart som veilengde delt på tid
Formel:
v
s
t
Setter inn i formelen for å finne farten.
s = 60 m
t = 12 s
Løpet har nok foregått omtrent slik:
60 m
Pål
60
v 5
12
Det ble 12
sekunder
Per startet med fart lik 0, så øket han farten de første sekundene, dvs
han har hatt akselerasjon, til han kom opp i toppfart og så holdt han
denne farten resten av løpet.
Akselerasjon defineres som fartsendring delt på tid
Hvis Per f eks har øket farten fra 0 til 6 m/s på 3 sekunder har
han hatt en akselerasjon på 2 m/s 2
Fart og akselerasjon er vektorstørrelser.
Det er fordi det er av avgjørende betydning hvilken retning de har.
I dette eksemplet har fart og akselerasjon samme retning, fra Per mot mål.
m
s
MÅL
2

Hva er forskjellen på tyngde og masse?
Masse er et mål for stoffmengden.
Du måler massen på en vekt.
Måleenhet for masse er kg
25 N
På månen er gravitasjonen mye mindre enn på
jorda. Du har samme masse, men tyngden er
mye mindre.
Per
80
Jeg trodde
man ble
mye lettere
på månen?
2.5 kg
Tyngden er gravitasjonskraften fra jorda.
Den har retning mot jordas sentrum..
Måleenhet for kraft er Newton (N)
Sammenhengen mellom masse og tyngde
er G = mg der g = 9,8 m/s 2
(Vi bruker iblant g = 10 når vi bedriver kjapp
hoderegning.)
Månen
Men musklene dine
er like sterke, så du
kan hoppe mye
høyere.
Pål
3

Kraftmåler
En skruefjær har den egenskap at den forlenges
når den påvirkes av en kraft.
Forlengelsen er proporsjonal med kraften. Dette
betyr at hvis vi dobler kraften vil forlengelsen også
dobles.
Prinsippet brukes i en kraftmåler/fjærvekt.
G = mg
En kraftmåler brukes ofte til å
måle masse. Da har den
skala i kg eller gram.
Forskjellige fjærvekter får forskjellig
forlengelse med samme kraft. En tynn
stålfjær vil strekkes mer enn en tykk.
Vi kan derfor ha fjærvekter tilpasset
forskjellige måleområder
500 g
Skala
Tyngdekraft på steinen
gjør at fjæra strekkes
8 kg
4

Bevegelsesligningene
For objekter som har konstant
akselerasjon gjelder disse ligningene:
v v
0
s v t
0
Eksempel
at
1
2
at
2
Påls bil øker farten fra 0 til 100 km/h på 11,5 sek
Da kan vi regne ut akselerasjonen.
Akselerasjon er definert som fartsendring pr tidsenhet
Fartsendringen er v – v 0 = 100 km/h = 100 : 3,6 m/s
Vi finner akselerasjonen ved å dele på tiden
v 0 100:
3,
6
a 2,
4m
/ s
t 11,
5
2
v fart v 0 er startfart
a akselerasjon
s veilengde
t tid
Vi gjør om fra
km/h til m/s ved å
dele på 3,6
Vi bruker den andre bevegelsesligningen til å beregne hvor langt han har
kjørt på denne tida:
1 2 1
2
s v t at 2,
4
( 11,
5)
159m
0
2
2
Per
5

Skråplan
Bevegelsesligningene
v v
0
s v t
0
at
1
2
at
2
Hvis vi lar en kule trille ned et skråplan, vil vi se
at den akselererer. Vi har fartsmålere som
måler farten på to ulike steder. Så tar vi tiden
mellom de to posisjonene og kan da regne ut
akselerasjonen.
Akselerasjon er definert som fartsendring pr tidsenhet
Fartsendringen er v 2 – v 1
Da finner vi akselerasjonen ved å dele på tiden
a
Fartsmåler
v
Pål
2
Akselerasjonen bestemmes av skråplanets hellingsvinkel . Et bratt
skråplan gir større akselerasjon enn et slakt.
Vi antar at kula starter i toppen av skråplanet med fart lik null: v 0 = 0
Da ser ligningene slik ut:
s
at
1 at
Vi kan måle lengden av skråplanet og finne tiden av ligning 2.
Deretter finner vi farten i enden av skråplanet ved å bruke ligning 1.
v
2
2
t
v
1
6

Regneeksempel
Kule som triller på et skråplan.
Kula starter med farten 0 på toppen.
Skråplanet er 0,75 m langt. Kula bruker 3,0 s
på trille ned hele skråplanet.
Finn kulas akselerasjon og farten idet den
forlater skråplanet.
Startfart: v 0 = 0
Da ser ligningene slik ut:
Regner om ligning 2 og finner akselerasjonen:
1 2 2s
2
0,
75
s 2 at a
2 2
t 3
Setter inn i ligning 1 og finner sluttfarten.
v = at = 0,167 3,0 = 0,5 m/s
Denne gangen gir vi kula startfart 0,4 m/s.
Hvor lang tid bruker den nå og hva er sluttfarten?
Bruker disse ligningene:
v v
0
s v t
0
at
1
2
v
s
at
2
at
1 at
Akselerasjonen er den samme som før så vi kan finne tiden av ligning 2
som er en 2. gradsligning.
1 2
2
s v t at 0,
08t
0,
4t
0,
75 0
0
2
0,
167
Setter t inn i den første ligningen og finner sluttfarten.
v
v at 0,
4 0,
167t
0,
64m
/ s
0
m
2
s
2
2
Pål
t = 1,44 s (negativ verdi forkastes)
7

Vertikalt kast
Per
Eksempel:
Per kaster en ball vertikalt oppover.
Ballen har akselerasjon g som har retning
nedover. Dermed blir ballen bremset på opptur,
men får fartsøkning på nedtur.
Bevegelsesbanen er vist med rød prikket linje.
Per gir ballen en startfart. Det er denne som
bestemmer hvor høyt ballen skal gå. (Får den
startfart lik null faller den rett ned.)
Ballen har startfart 30 m/s
10 m/s
Vi velger her å bruke g = 10 2s
Når akselerasjonen har motsatt
retning av farten, vil farten avta
med 10 m/s per sekund på opptur.
Tilslutt vil ballen snu og falle
nedover.
Da har fart og akselerasjon
samme retning og farten vil øke.
Figuren viser sammenhørende
verdier av fart og tid.
Vi merker oss at farten er lik i samme nivå,
bare motsatt retning.
20 m/s
1s
30 m/s
0s
3s
0 m/s
4s
10 m/s
5s
20 m/s
6s
30 m/s
8

Hva er krefter?
En kraft er enten trekk eller dytt.
Vi skiller mellom kontaktkrefter og fjernkrefter.
Kontaktkrefter er krefter som oppstår når
to legemer er i kontakt med hverandre.
Jorda
Jeg trekker
F
Kollisjonskrefter
Gravitasjon
Per
+ +
Elektriske krefter
Lenekraft
Fjernkrefter er krefter som virker mellom to legemer som ikke er i kontakt.
N
S
Pål
Jeg dytter
Det er av vesentlig betydning for resultatet hvilken retning kraften har.
F
Magnetisme
N
S
9

Tyngdekraft
Tyngdekraften kalles også gravitasjon. Det er den kraften som jorda tiltrekker
seg alle ting med. Det har f eks den fordelen at vi ikke faller ut i verdensrommet.
Newton var en stor vitenskapsmann som levde på 1600-tallet.
Han er kjent for mange lover i fysikken. En av dem er gravitasjonsloven.
Se!! Et eple faller til
jorden!! Nå skal jeg
jammen finne opp
gravitasjonsloven.
Newton
Gravitasjonen på jorda gjør at alle ting som ikke blir
holdt oppe av noe, faller ned på jorda.
Det er ikke bare jorda som har gravitasjon. Alle ting
som har masse har også gravitasjon, men fra små
masser er gravitasjonens tiltrekning ikke merkbar.
Derfor er det at eplet faller ned på jorda og ikke
omvendt.
Hurra!! Det var
på tide!
Pål
10

Newtons Gravitasjonslov
Her bruker vi jorda og månen som eksempel.
Jord
M og m er de to massene
F
r
Mm
r
F = 2
er en konstant som er veldig liten.
Derfor er kraften ikke merkbar mellom
små legemer
F
avstand mellom massesentrene
Kraften er like stor på begge, men den som er minst, får mest bevegelse.
Gravitasjonsloven er universell, dvs at den gjelder
mellom alle legemer som har masse.
Formelen ser slik ut
måne
Vi ser av formelen at kraften er stor for store masser og blir mindre
når avstanden øker.
= 6,67 10 -11 Nm 2 /kg 2
Newton
11

Kraft og akselerasjon
Når det virker en kraft på et objekt
vil objektet få en akselerasjon i
samme retning som kraften.
Dette er Newtons 2. lov:
F : Kraft
m : masse
a : akselerasjon
Hvis flere krefter virker på legemet,
står F i ligningen for summen av
kreftene.
Hvis denne summen er null, vil altså
legemet ikke kunne endre sin
bevegelsestilstand.
Fartsvektor
F = ma
Motorkraft
Alle brede fargede piler
er kraftvektorer.
Lengden angir størrelse
og pilen angir retning
Per
Newton
Akselerasjonsvektor 12

Hva skjer med et legeme når det
blir påvirket av en kraft?
Når et objekt utsettes for en kraft, får det akselerasjon.
Her har vi utstyrt gutta med hver sin mini-jet.
Røde piler er akselerasjon
Vi slår av
motoren..
Lik masse lik
akselerasjon
Kjempeglatt is og nyslipte skøyter dvs minimal friksjon
Kraft = 0 akselerasjon = 0
Veeent!
!
Størst masse gir minst akselerasjon
Min 2. lov:
F = ma
gjelder her
..og forstetter
med jevn fart
Newton
13

Hvorfor kan det skje at et legeme som
påvirkes av en kraft ikke får akslerasjon?
Newton
Da er det flere krefter
slik at summen blir lik 0
Friksjon
Noen krefter er ikke så åpenbare at vi
”ser” dem med en gang.
Friksjon er typisk eksempel på det.
En bil i stor fart har betydelig
luftmotstand.
Hvis disse motstandskreftene er
like stor som trekk- eller
dyttekraft, blir netto kraft bli null
og vi har jevn fart.
Pål
Friksjon
Hvis summen av kreftene er lik null, er akselerasjonen lik null.
Dette er Newtons 1. lov
F
Per
Luftmotstand
14

Vi kjører bil
Når vi kjører bil er det alltid en
viss motstand mot bevegelsen.
Det har med flere forhold å
gjøre bl a luftmotstand og
friksjon i bilens roterende deler.
Friksjonen mellom bakken og
hjulene gir ikke motstand mot
bevegelsen, men er derimot
nødvendig for at hjulene skal få tak
og ikke gli.
Når vi bremser øker vi den
samlede motstandskraft
og/eller minsker motorkraften.
Akselerasjon
I figurene er motorkraften blå
og motstandskraften grønn
Det er kraft fra seteryggen som gir passasjeren akselerasjon.
Vi føler det som at vi blir presset bakover mot setet.
Ved kraftig bremsing trenger vi en kraft som
trekker oss bakover, det er derfor vi har
setebelte.
Konstant fart
Fartsøkning
Brems
Hvis akselerasjonen er liten,
kan styrken i kroppen være
tilstrekkelig så vi klarer oss
uten seteryggen.
15

Tyngdekraft og normalkraft
Tyngdekraften kalles også gravitasjon. Det
er den kraften som jorda tiltrekker seg alle
ting med. Det har f eks den fordelen at vi
ikke faller ut i verdensrommet.
Gravitasjonen på jorda gjør at alle ting som ikke blir
holdt oppe av noe, faller ned på jorda.
Hvis jorda ikke hadde hatt fast overflate, ville
vi sunket ned. Jorda gir oss dermed
tilstrekkelig underlagskraft.
Vi kaller underlagskraften for normalkraft
fordi den alltid er vinkelrett på underlaget.
Den har eget symbol N (sort på disse
figurene).
Hjelp! Jeg
synker i myra!
Per
Myr
Hvis normalkraften er stor nok, er den
alltid like stor som tyngden.
NB! G og N virker på samme legeme
og er dermed ikke kraft og motkraft.
En myr gir ikke alltid tilstrekkelig
normalkraft. Her er N < G.
G
Pål
Jorda
N
Pål står støtt: N = G
16

Friksjon
Når to ting glir mot hverandre oppstår friksjon (skrubbing).
Friksjon er en kraft som alltid virker mot bevegelsesretningen.
På alle figurene
Friksjonen er avhengig av hva
slags underlag det er.
Trekkraft
Friksjon
Friksjonen øker med tyngden.
Grus
Man må bruke mye større kraft for å
trekke en kjelke på grus enn på is.
Is
Is
Best å ha
ispigger
Per
Per
Per
17

Flere aspekter ved friksjon
Pål dytter på en svær kasse. Før han får den til å gli er dyttekraften lik
friksjonen. Friksjon kan altså hindre at bevegelse kommer i gang.
Gravitasjon
Normalkraft
Dyttekraft
Pål
R
Friksjonskraft
N
F
G
Pål
R
Kassa dyttes med jevn fart
dyttekraft er lik friksjon.
N
Pål
R
F
G
N
Friksjon er
mikroskopiske
ujevnheter i overflatene.
Idet kassa settes i
bevegelse, må
dyttekraften være litt
større enn friksjonen.
F
G
18
18

I heisen
Kraften som gir akselerasjon er summen av disse to:
Tyngde
G
Jevn fart Akselerasjon
oppover
Summen av
kreftene som virker
på Per er lik 0
N = G
Normalkraft fra heisgulvet
Kraft oppover er
større enn kraft
nedover N > G
Akselerasjon
nedover
N
Kraft oppover er
mindre enn kraft
nedover N < G
Heisvaieren
ryker
HEIS HEIS HEIS HEIS
Per
Per
Per
Akselererende kraft
Per og heisen
faller fritt
N = 0
Akselererende
kraft
Per
19

Regneeksempler
Pål dytter på en svær kasse med en kraft på 375 N. Kassa får
akseleraskonen 0,7 m/s 2 . Hvor stor er friksjonen?
Pål
R
F
110 kg
Per
F – R = ma R = F – ma = 375 - 1100,7 = 298 N
Pers kasse får akselerasjonen 0,4 m/s. De bruker lik kraft og friksjonen på
kassene er også lik. Hvor mye veier Pers kasse?
F – R = ma ma = F - R = 375 - 298 N = 77N
Kassa veier m = 77: 0,4 = 192.5 kg
G
HEIS
Pål
R
Per og Pål står i hver sin heis.
Begge heisene har akselerasjon på
3,0 m/s2 , Påls heis går opp og Pers
heis går ned.
Per
N
Hvor stor er kraften fra heisgulvet på
Per og Pål.
G
N
Pål: N – G = ma N = ma + mg = 80 12,8 = 1024 N
Per: G – N = ma N = mg - ma = 80 6,8 = 544 N
F
HEIS
20

Newtons 3. lov
+ +
Hei!!
Jeg har en lov til!
Newtons 3. lov om kraft
og motkraft!
Krefter oppstår alltid fordi to legemer påvirker hverandre.
For en hver kraft er det en like stor og motsatt rettet kraft
som virker på det andre legemet.
Eksempler:
Pål
Jorda
Elektriske krefter mellom to
ladde legemer er kraft og
motkraft.
Kraft fra Per på treet er
motkraft til kraft fra treet på
Per. (Og omvendt).
Per
Pål trekker på jorda med en like stor
kraft som jorda trekker på Pål med.
Pga jordas store masse får det ikke
innvirkning på jordas bevegelse.
Newton
21

Eksempel på Newtons 3. lov
Per og Pål er på skøytebanen. De dytter til hverandre.
Kraft fra Per på Pål er like stor
som kraft fra Pål på Per. (Kraft
og motkraft)
Kjempeglatt is
De får like stor fart til hver
sin side fordi de har
samme masse.
Per og Bulle dytter til hverandre.
Kraft fra Per på Bulle er like stor
som kraft fra Bulle på Per.
Bulle får mindre fart
fordi han er tyngre.
Urettferdig!!
Bulle
Per Pål
Per Pål
Bulle
Per
Per
Du kan jo
slanke deg!
22

Kraftparallellogram
Tre vekter henger i hvert sitt tau som vist på figuren.
Systemet vil innstille seg i en likevektposisjon.
Siden A er i ro må
strekket i tauet være
lik tyngden.
(Samme for B og C)
A B
Her er loddene A og B er like.
Likevektposisjonen er da slik at rød kraft
er vektorsummen av de to blå.
Vektorsum???
Nedoverpilene er
tyngde
Pål Per
C
Trinse
Her er de tre tauene festet sammen.
I hvert tau er det samme kraft overalt
(ellers ville det jo røket).
Det er lett! Du bare tegner
et parallellogram av de to
vektorene som skal
summeres. Diagonalen er
da vektorsummen.
23

Pramdragerne
En båt trekkes frem av to pramdragere, en på hver side av elva. De to
pramdragerne drar med like stor kraft F (blå).
Vinkelen mellom de to blå er 70.
Vi skal beregne summen av kreftene på båten (rød).
70
Tegner kraftparallellogram.
Summevektoren har lengde
og retning som diagonalen
35
35
ELV
Vi ser av figuren at
summevektoren er : 2Fcos 35
24

Båt i strøm
En båt starter fra A på den
ene elvebredden og skal
over til den andre siden.
Båten har farten vb (rød).
Strømmen i elva er vs (blå).
Båt
vs A
Farten til båten er da v = vb + vs (lilla)
Båten vil derfor ikke havne i B, men i C, et stykke lenger ned.
Vektorskjema
v b
v
v s
v b
B
C
Vi finner v størrelse og retning :
BC = d tan
Hvilken retning må vi styre båten for at den skal havne i B?
Vektorskjema
v s
v b
v
v
v
2
b
v
tan
v
v
Vi finner v størrelse og retning :
v
v
2
b
v
sin
v
s
b
b
s
v
2
s
2
s
ELV
d = 52 m
25

Mer om krefter
Det er av vesentlig betydning for resultatet hvilken retning kraften har.
Det er mest effektivt å la kreftene virke i bevegelsesretningen.
Når vi trekker på skrå av bevegelsesretningen (som Per gjør her ), har vi
vanligvis gode grunner til det.
Per
Vi dekomponerer kraften for å se hvordan den brukes.
Rød pil er komponent i x-retning, bevegelsesretningen.
Blå pil er komponent vinkelrett på bevegelsesretningen..
Fartsretning
Rød pil er parallell med fartsretningen og er den del av kraften som brukes til
å trekke kjelken.
Blå pil er vinkelrett på fartsretningen og brukes til å løfte kjelken. Det har den
virkning at friksjonen blir litt mindre.
Kraften har alltid retning langs snøret. Vi ser av figuren at jo brattere snøret er ,
jo mindre trekkeffekt får vi. Det lønner seg altså å ha et langt snøre for da blir
vinkelen med fartsretningen mindre.
26

Dekomponere en vektor i x- og y-retning
Iblant har vi behov for å beregne komponentene til en vektor. Det gjøres slik:
Her har vi tegnet dekomponering av en kraft F i et koordinatsystem.
F danner vinkelen med x-retningen.
y
F y
F x
F
Av figuren ser vi:
Fy
sin
F
Fx
cos
F
Hvis vi kjenner lengden av vektoren og retningen gitt ved vinkel , kan
vi altså beregne lengden av komponentene.
Eksempel:
x
F
F
y
x
F sin
F cos
Vi har en kraft på 100 N som danner en vinkel på 35 med horisontalplanet.
Vi skal finne horisontal og vertikal komponent
Først tegner vi. Hvis vi tegner i målestokk, kan vi etterpå måle at vi har
regnet riktig.
y
F y
F
35
F x
F x= F cos = 100 cos 35 = 81,9 N
F y= F sin = 100 sin 35 = 57,4 N
x
27

Eksempler på dekomponering av krefter
I et helikopter har løftekraften
retning vinkelrett på rotoren.
Rotoren kan bikkes forover for
å få fremdrift.
En hagerulle kan du både dytte og dra, men
det får litt ulik effekt.
Vi lar kraft på rulla
være lik i begge tilfeller
og dekomponerer
Vertikal
komponent
balanserer
tyngden
Jeg foretrekker
å dra hagerulla,
det er mye
lettere.
Løft fra rotor
Horisontal
komponent gir
fremdrift
Men det er
mer effektivt
å dytte.
Lilla vektor er den komponenten som gir fremdrift, mens blå komponent
virker parallelt med tyngden.
Når vi trekker rulla vil blå komponent motvirke tyngden slik at kraften på
bakken blir mindre.
Når vi dytter vil den vertikale komponent som gir en tyngdeforøkelse mot
bakken slik at rullingen blir mer effektiv.
28

Eksempel på dekomponering av krefter
Krefter brukes ikke bare til bevegelse, men også til å holde ting på
plass. Dette er tilfelle i statiske strukturer og konstruksjoner.
En bro er eksempel på dette. Kreftene i konstruksjonen må tåle de
belastninger som den utsettes for. Det er ingeniørarbeid å regne ut
dette og vi håper de regner riktig.
Dette er prinsipptegning
av en skråstagbro.
Vi har tegnet bare et
stag på hver side, men
det er vanligvis flere.
Kreftene som holder
veibanen oppe går på
skrå langs stagene.
Skråstag
Her har vi dekomponert kreftene langs brolegemet og vinkelrett på.
Komponentene langs brobanen (grønne) gir press på langs av denne,
mens komponentene vinkelrett på veibanen (røde) bærer vekten.
Det er derfor viktig at stagene ikke er
alt for skrå. Da blir løftekomponenten
for hvert stag liten og vi må ha flere
stag. Dessuten blir belastningen på
brolegemet av de horisontale
komponentene større.
På denne broen har man likevel
valgt å la stagene være ganske så
skrå – det gir jo en viss eleganse.
(En slik bro kan ses i Sevilla) 29

Kjelkeproblematikk
Krefter som virker på kjelken:
Gravitasjon
Normalkraft
Trekkraft
Friksjonskraft
Vi dekomponerer trekkraften:
F y
F x
F x = F cos
F y = F sin
N
R G
Fartsretning
Friksjonen R er proporsjonal med N.
Vi skriver R = N, ( kalles friksjonsfaktor)
Vi ser at jo større F y er jo mindre er friksjonen
F
Per
Newtons lov for x-retning: F x – R = ma
Newtons lov for y-retning: F y + N – G = 0
N = G - F y
30

Regneeksempel
Kjelke med passasjer veier 29 kg
Friksjonsfaktor = 0,23
Trekkraft: 150 N, vinkel = 32
Vi dekomponerer trekkraften:
N
R G
y-retning: F y + N – G = 0 N = G – F y = mg – F sin
N = 29 9,8 – 150 sin 32 = 205 N
x-retning: F x – R = F cos - N = ma
ma = 150 cos 32 – 0,23 205 = 80N a = 80 : 29 = 2,8 m/s 2
F
Per
32
F x = F cos 32
F y = F sin 32
Etter å ha akselerert i 2 sekunder holder han jevn fart videre. Hvilken fart
har han fått da? Hvor stor kraft bruker han til å holde jevn fart?
v = v 0 + at = 2,8 2 = 5,6 m/s
Jevn fart: F cos = R F = 55 N
31

Skråplan
Pål aker på et skråplan.. Tre krefter
virke på Pål: tyngden (grønn),
normalkraft (sort) og friksjon (rød).
Vektorsummen av disse kreftene
bestemmer akselerasjonen.
Generelt : G + N + R = ma
Akselerasjonen må ha retning langs skråplanet.
Vi dekomponerer G i fartsretning og vinkelrett på.
Fartsretning: G sin - R = ma
Vinkelrett på skråplanet: G cos = N
Friksjon kan skrives: R = N
N
G sin
Pål
G
R
G cos
Vi finner igjen
skråplanvinkelen her
Da får vi G sin - G cos = ma G = mg da kan vi dividere med m
a = sin - g cos
Friksjonen blir mindre når vinkelen øker, men den er i alt vesentlig
avhengig av skråplanets overflate og Påls buksebak.
Den blå kraften er tyngdens komponent langs skråplanet og den blir
større jo brattere skråplanet blir.
32

Skråplan -- regneeksempel
Vi skal finne akselerasjonen til
en kloss med masse m = 0,7 kg
som glir på et skråplan med
vinkel = 38
Setter inn i ligninga: a = g sin - g cos
a = 9,8 sin 38 – tan 29 9,8 cos 38 = 1,75 m/s 2
G sin
Vi kan gjøre følgende forundersøkelse for å finne
G cos
Vi regulerer skråplanvinkelen slik at klossen glir med jevn fart. Vi måler denne
vinkelen . Da vet vi at a = 0 og dermed G sin = R
Dessuten er R = N og G cos = N G sin = G cos
sin
tan
I denne oppgaven setter vi = 29
cos
Skråplanets lengde er 50 cm
Klossen starter med fart lik 0 på toppen
Hvor lang tid tar det å gli helt ned ?
Hva er farten da?
Bruker s = ½ at 2 til å finne t :
2 2s
2
0,
5
t t 0,
76s
a 1,
75
Setter t inn i denne ligninga v = at = 1,75 0,76 = 1,32 m/s
33

Horisontalt kast
Her ser vi to baller. Den ene slippes rett ned, den andre får startfart i
horisontal retning. Vi ser bort ifra luftmotstand.
Det er like stort tidsintervall mellom hver posisjon. Ballene er i samme
høyde til enhver tid og lander samtidig.
Vi kan betrakte vertikal og horisontal bevegelse hver for seg. Begge ballene har
samme vertikale bevegelse fordi de har samme vertikale akselerasjon (g).
Grå ball har i tillegg horisontal bevegelse med jevn fart.
Total fart for denne ballen er vektorsummen av horisontal og vertikal fart.
Vertikal fart er
forskjellig i hvert
tidspunkt, men
likestor for begge
ballene.
Horisontal fart, endres ikke
Total fart for grå ball.
34

Horisontalt kast -- regneeksempel
Ballene starter i en høyde 20 m over bakken.
Det er tilbakelagt strekning i y-retning.
Grå balls startfart er 12,0 m/s i horisontal retning. Denne endres ikke.
Vi skal beregne farten idet de treffer bakken samt avstanden x som grå ball har
tilbakelagt i horisontal retning.
Bevegelsesligninger for
akselerert bevegelse:
v v at
h
I y-retning er v 0 = 0 ; da får vi
Tid fra start til landing:
I x-retning er det jevn fart: s = vt
v
Vertikal fart: v = at = 9,8 2 = 19,6m/s
Dette er rød balls landingsfart.
x
s
Grå balls landingsfart (blå pil) størrelse:
at
1 at
2
Retning:
2
0
s v t
1 2 2 2s
2
20
s 2 at t 4,
1
t 2,
02s
a 9,
8
v
12,
0
Grå ball har tilbakelagt strekningen x = 12 2 = 24 m i horisontal retning
2
0
19,
6
19,
6
tan
12
2
1
2
58,
5
at
2
Rettvinklet
trekant! Da
kan vi bruke
Pythagoras
23,
0
Pål
12 m/s
m
s
19,6 m/s
35

Skrått kast
Hvis vi kaster en ball på skrå opp i lufta vil kastebanen blir en parabel. Det
er fordi tyngden G, hele tiden virker på ballen og trekker den mot jorda
G
G
G
G G
Fartsvektoren forteller oss
størrelse og retning på farten
I samme nivå over bakken har fartsvektoren
lik størrelse men ulik retning
Fartsvektoren blir mindre og mindre så lenge ballen går
oppover, i banens toppunkt er den horisontal, så begynner den
å peke nedover og blir større og større igjen.
Hvis et objekt kastes ut og lander i samme nivå, har startfart og
landingsfart samme størrelse og kastets maksimale høyde er midt i
svevet.
G
G
36

Kastebaner
Sammenligning mellom objekter med samme startfart , men
forskjellig vinkel
Vi ser at maksimal høyde og lengde er
avhengig av kastevinkelen
70
60
45
30
20
Max høyde
En kastevinkel på 45 gir maksimal lengde.
Jo større vinkel jo større høyde.
Per Pål
Max lengde
Når Per og Pål skal kaste om kapp, vil kastevinkelen være
av vesentlig betydning.
37

Skrått kast - regneeksempel
Vi skal beregne høyde og lengde av et kast hvor kastefarten er v 0 =15 m/s og
vinkelen er 57. Her bruker vi a = g = -9.8 fordi g har motsatt retning av positiv
y-akse.
v 0y
v 0x
v 0
v v
I et skrått kast kan vi skille bevegelsen i x og y-retning.
Vi har akselerasjon g i y-retning, men ingen akselerasjon i x-retning
(vi ser bort fra luftmotstand).
Det første vi gjør er å dekomponere fartsvektoren i x og y-retning
v 0x = v cos = 15 cos 57 = 8,2 m/s
v 0y = v sin = 15 sin 57 = 12,6 m/s
x
y
Bevegelsesligninger for
akselerert bevegelse:
0
s v t
I toppunktet er fart i y-retning lik null. Setter inn i ligningen v = v 0 + at
0 = 12,6 – 9,8 t t = 1,28 s
Dette er tiden ballen bruker til toppen av banen. Tiden for hele kastet
er dobbelt så lang.
Maksimal høyde:
1 2
1
2
y v yt at 12,
61,
28
9,
81,
28 8,
1m
0
2
Kastets lengde: x = v 0x t = 8,2 1,28 2 = 21,0 m
2
0
at
1
2
at
2
38

Per i militæret
Et skudd er i prinsippet et kast. Når kula
kommer ut av løpet er det kun
gravitasjonskraften som virker på den.
Siden kula har så stor startfart blir
parabelen ganske slak, og jo større
startfart jo slakere parabelbane.
Geværløpet er laget slik at kula skytes ut i en liten vinkel med
siktelinja. (Ganske overdrevet på figuren)
Han skal ”skyte inn” geværet. Dvs han skal justere siktet slik at han treffer blink
på 200 m. Det er slik at parabelbanen skjærer horisontal siktelinje både på 30 m
og på 200 m. Derfor kan det skytes inn på 30 m. Det er litt enklere.
Siktelinje
Sikte
30 m
Per
Per har fått en AG3 som er beregnet til å treffe blink på 200 m.
Siktelinje
200 m
39

Mekanisk arbeid
Mekanisk arbeid utføres på noe som beveges mot en kraft.
Jo større denne motstandskraften er, jo større blir arbeidet.
Arbeid defineres som prikkprodukt av kraftvektor og forflytningsvektor
Enhet for arbeid er joule (J)
Per
G
W = F s = Fs cos (F,s)
Definisjonen innebærer at forflytningen skjer med jevn fart.
Når F og s er parallelle blir arbeidet W = Fs
m
Per heiser opp sementen vha en
talje. Kraften ham bruker er like stor
som tyngden av lasten.
Her har Per og Pål utført like stort arbeid. Arbeidet er utført mot
tyngdekraften og resultatet er likt: lasten er hevet en høyde h
h
Gh = Fs
F
s
m
Det trengs mindre kraft til å dytte
trillebåra oppover et skråplan.
40

Muskelarbeid gir ikke nødvendigvis
mekanisk arbeid
Pål
10
kg
10
kg
h = 1m
Pål løfter et lodd opp en høyde h. Han
må bruke en kraft som er motsatt like
stor som tyngden av loddet.
Bevegelsen er i motsatt retning av
tyngdekraften og Pål utfører derfor et
arbeid på loddet.
Loddet har tyngde 100 N Arbeid på loddet er: W = 100 N 1m = 100 J
Hvis du står og holder et lodd, er det krefter som virker,
men ingen bevegelse. Du utfører da ikke arbeid på
loddet ifølge definisjonen. (Det kan likevel hende at du
blir sliten)
Per
10
kg
F
W = F s = Fs cos (F,s)
s
Per
10
kg
Hvis du går bortover og bærer loddet,
utfører du heller ikke arbeid på loddet.
Her er F s F s = 0
Musklene dine kan altså ha utført et arbeid selv om dette ikke arbeid
på loddet.
41

Arbeid mot friksjon
Når noe glir på underlaget blir det friksjon. Den virker alltid i
retning mot bevegelsen.
Hvis du dytter er tung kasse så den
glir langs gulvet , utfører du arbeid
på kassa. Motstandskraften her er
friksjonen som virker i motsatt
retning av bevegelsen.
Pål
Per trekker kjelken en lengde s.
Her er F og s ikke parallelle.
Arbeid utført er W = F s = Fs cos
Per
Tung kasse
Fartsretning
Her er motstandskraften for stor.
Om du dytter så hardt du kan mot
en mur, vil muren gi så stor
motstand at det ikke blir noen
bevegelse. Da blir det heller ikke
utført arbeid på muren.
F
s
Per
42

Kollisjon
Figuren viser et eksempel på kollisjon. Her har vi superglatt is og
nyslipte skøyter for å kunne anta at friksjonen er lik null. Per og Pål har
like stor fart mot hverandre.
Per
Per og Pål støter sammen Da påvirker de hverandre
Per Pål
med like store krefter
(Newtons 3. lov)
Per
Pål
Etter kollisjonen vil Per og Pål ha like stor fart fra hverandre.
Per
Bulle
120 kg
Pål
En kollisjon med Bulle vil gi Per mer fart enn en kollisjon med
Pål forutsatt at de har samme fart før kollisjonen.
Bulle får mindre fart etter kollisjonen enn før og så blir han
fornærmet igjen.
43

Støtloven
Når to objekt støter sammen vil samlet bevegelsesmengde før og etter
støte være lik. Dette kalles støtloven.
Bevegelsesmengde er definert som masse fart og har retning som farten.
Eksempel
3,5 m/s
4,0 m/s
2,0 kg 1,5 kg
1,5 m/s v 2
Bevegelsesmengde før støtet: 2,0 3,5 + 1,5 (- 4,0) = 1,0
Bevegelsesmengde etter støtet: 2,0 (- 1,5 ) + 1,5 v 2 = 1,0
Regner ut og finner v 2 = 2,7 m/s
Generelt : m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2
Indeks 1 refererer til kule 1, indeks 2 til kule 2
Fart før støtet u 1 og u 2
Fart etter støtet v 1 og v 2
Fart gis med fortegn.
Vi velger positiv
retning
I støtøyeblikket påvirkes
kulene av like store og
motsatt rettede krefter
Hvis den ene kulas fart
etter støtet er kjent, kan vi
finne farten til den andre
44

Eksempler på bruk av støtloven
En lastebil kjører med fart 3 m/s. Idet den passerer Per , slipper han en pakke ned
på lasteplanet. Pakken har dermed fart 0 i støtøyeblikket.
Vi skal finne bilens fart etter støtet.
50kg
3m/s
25kg
Per
Bevegelsesmengde før støtet: 50 kg 3 m/s + 25 kg 0 m/s
Bevegelsesmengde etter støtet: (50 + 25) kg x m/s
Disse skal være like, altså får vi x = 2 m/s
Stearinlys
Plate av
balsatre
Blykule 10g Sprettert
50g
glasskuler
25kg
50kg
På en balsatreplate har vi rigget til en sprettert som skyter ut en kule når
stearinlyset brenner av tråden.
Platen hviler på glasskuler slik at friksjonen ikke vil bremse den.
Total bevegelsesmengde før støtet er null
Total bevegelsesmengde etter støtet er også lik null da får vi:
10 g 10 m/s = 50 x m/s Balsatreplaten får farten 2 m/s i motsatt retning.
50g
10 m/s
45

Støtloven på vektorform
Støtloven gjelder også når kulene støter sammen på skrå.
Bevegelsesmengden må da betraktes som en vektor.
Generelt : m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2
Bevegelsesmengdevektoren har samme retning som farten.
For å finne summevektoren må vi konstruere.
Blå vektor refererer til kule 1, rød vektor til kule 2
m 1
Når vi konstruerer vektorsummen (grønn) må vi tegne
i målestokk. m 1u 1 skal være 2 blå fartsvektor mens
m 2u 2 skal være 1,5 rød fartsvektor.
v1
u1
Før støtet
Etter støtet
u2
m 2
v2
Når fart etter støtet til den ene kula er kjent, kan vi
konstruere bevegelsesmengdevektoren til den
andre og dermed finne farten.
Vektordiagram
m 2u 2
m 1u 1
Vektorsummen er lik etter
støtet ifølge støtloven
m 1v 1
p
p
m 2v 2
46

Støtloven - regneeksempel
2,0 kg
2,5 m/s
Før støtet
40 25
Etter støtet
1,5 kg
3,5 m/s 4,0 m/s
m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2 = p
Vinkel mellom rød og blå vektor er 180 – 25 – 40 = 115
Den andre vinkelen i parallellogrammet er da 65
Vi kan regne ut p ved å bruke
cosinussetningen på denne trekanten.
p 2 = 7,0 2 + 6,0 2 – 2 7,0 6,0 cos 65 p = 7,0
Vi bruker sinussetningen til å finne
sin sin65
6,
0 7,
0
m 1u 1 = 2,0 3,5 = 7,0
m 2u 2 = 1,5 4,0 = 6,0
25 40
m2u2 p
m1u1 Vi får oppgitt farten til den ene kula etter støtet og skal finne den andre.
55
= 51
v2
m 1u 1
m 1v 1 = 2,0 2,5 = 5,0
Når fart etter støtet til den ene kula er kjent, kan vi konstruere m2v2 –vektoren (rød),
Vi får en tilsvarende trekant som over og kan regne ut den ukjente vektoren. Farten 47
finner vi ved å dele på massen.
p
34
p
65
m 2u 2
55 91
34
m 1v 1
m 2v 2

Fullstendig uelastisk kollisjon
Vi kaller kollisjonen fullstendig uelastisk
hvis de kolliderende har samme fart
(størrelse og retning) etter kollisjonen.
To like biler som kolliderer kan være et
eksempel på fullstendig uelastisk
kollisjon.
Her har bilene samme fart før kollisjonen og står stille etterpå.
Det er altså null kinetisk energi etter støtet. All energien er brukt til
deformering av bilene pluss varme til omgivelsene.
En kollisjon i et kryss kan se slik ut:
Bil
u1
u2
Siden farten etter kollisjonen
er felles ser ligningen slik ut:
Vektordiagram
m 2u 2
m 1u 1
(m 1 + m 2) v
Bil
m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v + m 2v = (m 1 + m 2) v
Når vi kjenner bilenes masse og
fart før støtet, kan vi regne ut v.
Retningen finner vi av
vektordiagrammet.
v
48

Impuls
I støtteorien bruker vi begrepet impuls som er definert
som kraft x den tiden kraften virker:
I = Ft
Impuls er en vektor med samme retning som kraften
I baseball er det slik at ballen blir
kastet mot spilleren som skal slå den
med et balltre (bat). Hvis vi kjenner
ballens endring av fart kan vi finne
kraften i slaget.
Impulsen gir endringen i ballens bevegelsesmengde.
Bevegelsesmengde kan skrives p = mv
Vektorskjema
I
180-
p 1 = mv 1
p 2 = mv 2
m
I = p 2 – p 1
Etter slaget
Før slaget
Bruker cosinussetningen til å finne
impulsens størrelse:
I 2 = p 2 2 + p1 2 – 2p1p 2cos(180 - )
Bruker sinussetningen til å
finne retningen gitt ved vinkel
sin sin( 180
)
p I
Da kan vi finne kraften i slaget ved å dele impuls på tid: F = I : t
2
49

Superball
Dette eksperimentet kalles superball.
Vi har to kuler med hull igjennom til en tynn stang. De skal kunne falle
tilnærmet fritt. Vi slipper dem fra en viss høyde og når de spretter opp
igjen vil den øverste sprette høyere enn den startet.
Per
Dette skulle
ikke gå an
ifølge
energiloven!!
Hvor høyt den spretter er avhengig
av kulenes elastisitet og forholdet
mellom massene.
Hvis vi prøver med forskjellige
masser av de blå, finner vi at de
letteste spretter høyest.
Dette kan vi regne på. Det interessante resultatet
vi får, er at den blå kan sprette nærmest til
himmels, hvis masseforskjellen er stor nok.
Det gjelder nok bare teoretisk, men gode forsøk
kan få den temmelig høyt over utgangspunktet.
h
Når den røde treffer
gulvet får vi et støt
mellom den blå og
den rød som
overfører energi fra
rød til blå.
Pål
50