vektorregning uke 11
vektorregning uke 11
vektorregning uke 11
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
VEKTORREGNING<br />
Per<br />
80<br />
UKE <strong>11</strong><br />
RETTLINJET BEVEGELSE<br />
2D VEKTORREGNING<br />
DEKOMPONERING<br />
KRUMLINJET BEVEGELSE<br />
KOLLISJONER<br />
Vi veier begge<br />
80 kg I alle oppgaver<br />
og eksempler<br />
Pål<br />
1
Fart og akselerasjon<br />
Per skal løpe 60-meter’n. Vi kan ta tiden<br />
og regne ut gjennomsnittsfarten.<br />
Per<br />
Vi definerer fart som veilengde delt på tid<br />
Formel:<br />
v <br />
s<br />
t<br />
Setter inn i formelen for å finne farten.<br />
s = 60 m<br />
t = 12 s<br />
Løpet har nok foregått omtrent slik:<br />
60 m<br />
Pål<br />
60<br />
v 5<br />
12<br />
Det ble 12<br />
sekunder<br />
Per startet med fart lik 0, så øket han farten de første sekundene, dvs<br />
han har hatt akselerasjon, til han kom opp i toppfart og så holdt han<br />
denne farten resten av løpet.<br />
Akselerasjon defineres som fartsendring delt på tid<br />
Hvis Per f eks har øket farten fra 0 til 6 m/s på 3 sekunder har<br />
han hatt en akselerasjon på 2 m/s 2<br />
Fart og akselerasjon er vektorstørrelser.<br />
Det er fordi det er av avgjørende betydning hvilken retning de har.<br />
I dette eksemplet har fart og akselerasjon samme retning, fra Per mot mål.<br />
m<br />
s<br />
MÅL<br />
2
Hva er forskjellen på tyngde og masse?<br />
Masse er et mål for stoffmengden.<br />
Du måler massen på en vekt.<br />
Måleenhet for masse er kg<br />
25 N<br />
På månen er gravitasjonen mye mindre enn på<br />
jorda. Du har samme masse, men tyngden er<br />
mye mindre.<br />
Per<br />
80<br />
Jeg trodde<br />
man ble<br />
mye lettere<br />
på månen?<br />
2.5 kg<br />
Tyngden er gravitasjonskraften fra jorda.<br />
Den har retning mot jordas sentrum..<br />
Måleenhet for kraft er Newton (N)<br />
Sammenhengen mellom masse og tyngde<br />
er G = mg der g = 9,8 m/s 2<br />
(Vi br<strong>uke</strong>r iblant g = 10 når vi bedriver kjapp<br />
hoderegning.)<br />
Månen<br />
Men musklene dine<br />
er like sterke, så du<br />
kan hoppe mye<br />
høyere.<br />
Pål<br />
3
Kraftmåler<br />
En skruefjær har den egenskap at den forlenges<br />
når den påvirkes av en kraft.<br />
Forlengelsen er proporsjonal med kraften. Dette<br />
betyr at hvis vi dobler kraften vil forlengelsen også<br />
dobles.<br />
Prinsippet br<strong>uke</strong>s i en kraftmåler/fjærvekt.<br />
G = mg<br />
En kraftmåler br<strong>uke</strong>s ofte til å<br />
måle masse. Da har den<br />
skala i kg eller gram.<br />
Forskjellige fjærvekter får forskjellig<br />
forlengelse med samme kraft. En tynn<br />
stålfjær vil strekkes mer enn en tykk.<br />
Vi kan derfor ha fjærvekter tilpasset<br />
forskjellige måleområder<br />
500 g<br />
Skala<br />
Tyngdekraft på steinen<br />
gjør at fjæra strekkes<br />
8 kg<br />
4
Bevegelsesligningene<br />
For objekter som har konstant<br />
akselerasjon gjelder disse ligningene:<br />
v v<br />
0<br />
s v t <br />
0<br />
Eksempel<br />
at<br />
1<br />
2<br />
at<br />
2<br />
Påls bil øker farten fra 0 til 100 km/h på <strong>11</strong>,5 sek<br />
Da kan vi regne ut akselerasjonen.<br />
Akselerasjon er definert som fartsendring pr tidsenhet<br />
Fartsendringen er v – v 0 = 100 km/h = 100 : 3,6 m/s<br />
Vi finner akselerasjonen ved å dele på tiden<br />
v 0 100:<br />
3,<br />
6<br />
a 2,<br />
4m<br />
/ s<br />
t <strong>11</strong>,<br />
5<br />
2<br />
v fart v 0 er startfart<br />
a akselerasjon<br />
s veilengde<br />
t tid<br />
Vi gjør om fra<br />
km/h til m/s ved å<br />
dele på 3,6<br />
Vi br<strong>uke</strong>r den andre bevegelsesligningen til å beregne hvor langt han har<br />
kjørt på denne tida:<br />
1 2 1<br />
2<br />
s v t at 2,<br />
4<br />
( <strong>11</strong>,<br />
5)<br />
159m<br />
0<br />
2<br />
2<br />
Per<br />
5
Skråplan<br />
Bevegelsesligningene<br />
v v<br />
0<br />
s v t <br />
0<br />
at<br />
1<br />
2<br />
at<br />
2<br />
Hvis vi lar en kule trille ned et skråplan, vil vi se<br />
at den akselererer. Vi har fartsmålere som<br />
måler farten på to ulike steder. Så tar vi tiden<br />
mellom de to posisjonene og kan da regne ut<br />
akselerasjonen.<br />
Akselerasjon er definert som fartsendring pr tidsenhet<br />
Fartsendringen er v 2 – v 1<br />
Da finner vi akselerasjonen ved å dele på tiden<br />
a<br />
Fartsmåler<br />
<br />
v<br />
Pål<br />
2 <br />
Akselerasjonen bestemmes av skråplanets hellingsvinkel . Et bratt<br />
skråplan gir større akselerasjon enn et slakt.<br />
Vi antar at kula starter i toppen av skråplanet med fart lik null: v 0 = 0<br />
Da ser ligningene slik ut:<br />
s<br />
<br />
at<br />
1 at<br />
Vi kan måle lengden av skråplanet og finne tiden av ligning 2.<br />
Deretter finner vi farten i enden av skråplanet ved å br<strong>uke</strong> ligning 1.<br />
v<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
t<br />
v<br />
1<br />
6
Regneeksempel<br />
Kule som triller på et skråplan.<br />
Kula starter med farten 0 på toppen.<br />
Skråplanet er 0,75 m langt. Kula br<strong>uke</strong>r 3,0 s<br />
på trille ned hele skråplanet.<br />
Finn kulas akselerasjon og farten idet den<br />
forlater skråplanet.<br />
Startfart: v 0 = 0<br />
Da ser ligningene slik ut:<br />
Regner om ligning 2 og finner akselerasjonen:<br />
1 2 2s<br />
2<br />
0,<br />
75<br />
s 2 at a <br />
2 2<br />
t 3<br />
Setter inn i ligning 1 og finner sluttfarten.<br />
v = at = 0,167 3,0 = 0,5 m/s<br />
Denne gangen gir vi kula startfart 0,4 m/s.<br />
Hvor lang tid br<strong>uke</strong>r den nå og hva er sluttfarten?<br />
Br<strong>uke</strong>r disse ligningene:<br />
v v<br />
0<br />
s v t <br />
0<br />
at<br />
1<br />
2<br />
v<br />
s<br />
at<br />
2<br />
<br />
<br />
at<br />
1 at<br />
Akselerasjonen er den samme som før så vi kan finne tiden av ligning 2<br />
som er en 2. gradsligning.<br />
1 2<br />
2<br />
s v t at 0,<br />
08t<br />
0,<br />
4t<br />
0,<br />
75 0<br />
0<br />
2<br />
0,<br />
167<br />
Setter t inn i den første ligningen og finner sluttfarten.<br />
v <br />
v at 0,<br />
4 0,<br />
167t<br />
0,<br />
64m<br />
/ s<br />
0<br />
m<br />
2<br />
s<br />
2<br />
2<br />
Pål<br />
t = 1,44 s (negativ verdi forkastes)<br />
7
Vertikalt kast<br />
Per<br />
Eksempel:<br />
Per kaster en ball vertikalt oppover.<br />
Ballen har akselerasjon g som har retning<br />
nedover. Dermed blir ballen bremset på opptur,<br />
men får fartsøkning på nedtur.<br />
Bevegelsesbanen er vist med rød prikket linje.<br />
Per gir ballen en startfart. Det er denne som<br />
bestemmer hvor høyt ballen skal gå. (Får den<br />
startfart lik null faller den rett ned.)<br />
Ballen har startfart 30 m/s<br />
10 m/s<br />
Vi velger her å br<strong>uke</strong> g = 10 2s<br />
Når akselerasjonen har motsatt<br />
retning av farten, vil farten avta<br />
med 10 m/s per sekund på opptur.<br />
Tilslutt vil ballen snu og falle<br />
nedover.<br />
Da har fart og akselerasjon<br />
samme retning og farten vil øke.<br />
Figuren viser sammenhørende<br />
verdier av fart og tid.<br />
Vi merker oss at farten er lik i samme nivå,<br />
bare motsatt retning.<br />
20 m/s<br />
1s<br />
30 m/s<br />
0s<br />
3s<br />
0 m/s<br />
4s<br />
10 m/s<br />
5s<br />
20 m/s<br />
6s<br />
30 m/s<br />
8
Hva er krefter?<br />
En kraft er enten trekk eller dytt.<br />
Vi skiller mellom kontaktkrefter og fjernkrefter.<br />
Kontaktkrefter er krefter som oppstår når<br />
to legemer er i kontakt med hverandre.<br />
Jorda<br />
Jeg trekker<br />
F<br />
Kollisjonskrefter<br />
Gravitasjon<br />
Per<br />
+ +<br />
Elektriske krefter<br />
Lenekraft<br />
Fjernkrefter er krefter som virker mellom to legemer som ikke er i kontakt.<br />
N<br />
S<br />
Pål<br />
Jeg dytter<br />
Det er av vesentlig betydning for resultatet hvilken retning kraften har.<br />
F<br />
Magnetisme<br />
N<br />
S<br />
9
Tyngdekraft<br />
Tyngdekraften kalles også gravitasjon. Det er den kraften som jorda tiltrekker<br />
seg alle ting med. Det har f eks den fordelen at vi ikke faller ut i verdensrommet.<br />
Newton var en stor vitenskapsmann som levde på 1600-tallet.<br />
Han er kjent for mange lover i fysikken. En av dem er gravitasjonsloven.<br />
Se!! Et eple faller til<br />
jorden!! Nå skal jeg<br />
jammen finne opp<br />
gravitasjonsloven.<br />
Newton<br />
Gravitasjonen på jorda gjør at alle ting som ikke blir<br />
holdt oppe av noe, faller ned på jorda.<br />
Det er ikke bare jorda som har gravitasjon. Alle ting<br />
som har masse har også gravitasjon, men fra små<br />
masser er gravitasjonens tiltrekning ikke merkbar.<br />
Derfor er det at eplet faller ned på jorda og ikke<br />
omvendt.<br />
Hurra!! Det var<br />
på tide!<br />
Pål<br />
10
Newtons Gravitasjonslov<br />
Her br<strong>uke</strong>r vi jorda og månen som eksempel.<br />
Jord<br />
M og m er de to massene<br />
F<br />
r<br />
Mm<br />
<br />
r<br />
F = 2<br />
er en konstant som er veldig liten.<br />
Derfor er kraften ikke merkbar mellom<br />
små legemer<br />
F<br />
avstand mellom massesentrene<br />
Kraften er like stor på begge, men den som er minst, får mest bevegelse.<br />
Gravitasjonsloven er universell, dvs at den gjelder<br />
mellom alle legemer som har masse.<br />
Formelen ser slik ut<br />
måne<br />
Vi ser av formelen at kraften er stor for store masser og blir mindre<br />
når avstanden øker.<br />
= 6,67 10 -<strong>11</strong> Nm 2 /kg 2<br />
Newton<br />
<strong>11</strong>
Kraft og akselerasjon<br />
Når det virker en kraft på et objekt<br />
vil objektet få en akselerasjon i<br />
samme retning som kraften.<br />
Dette er Newtons 2. lov:<br />
F : Kraft<br />
m : masse<br />
a : akselerasjon<br />
Hvis flere krefter virker på legemet,<br />
står F i ligningen for summen av<br />
kreftene.<br />
Hvis denne summen er null, vil altså<br />
legemet ikke kunne endre sin<br />
bevegelsestilstand.<br />
Fartsvektor<br />
F = ma<br />
Motorkraft<br />
Alle brede fargede piler<br />
er kraftvektorer.<br />
Lengden angir størrelse<br />
og pilen angir retning<br />
Per<br />
Newton<br />
Akselerasjonsvektor 12
Hva skjer med et legeme når det<br />
blir påvirket av en kraft?<br />
Når et objekt utsettes for en kraft, får det akselerasjon.<br />
Her har vi utstyrt gutta med hver sin mini-jet.<br />
Røde piler er akselerasjon<br />
Vi slår av<br />
motoren..<br />
Lik masse lik<br />
akselerasjon<br />
Kjempeglatt is og nyslipte skøyter dvs minimal friksjon<br />
Kraft = 0 akselerasjon = 0<br />
Veeent!<br />
!<br />
Størst masse gir minst akselerasjon<br />
Min 2. lov:<br />
F = ma<br />
gjelder her<br />
..og forstetter<br />
med jevn fart<br />
Newton<br />
13
Hvorfor kan det skje at et legeme som<br />
påvirkes av en kraft ikke får akslerasjon?<br />
Newton<br />
Da er det flere krefter<br />
slik at summen blir lik 0<br />
Friksjon<br />
Noen krefter er ikke så åpenbare at vi<br />
”ser” dem med en gang.<br />
Friksjon er typisk eksempel på det.<br />
En bil i stor fart har betydelig<br />
luftmotstand.<br />
Hvis disse motstandskreftene er<br />
like stor som trekk- eller<br />
dyttekraft, blir netto kraft bli null<br />
og vi har jevn fart.<br />
Pål<br />
Friksjon<br />
Hvis summen av kreftene er lik null, er akselerasjonen lik null.<br />
Dette er Newtons 1. lov<br />
F<br />
Per<br />
Luftmotstand<br />
14
Vi kjører bil<br />
Når vi kjører bil er det alltid en<br />
viss motstand mot bevegelsen.<br />
Det har med flere forhold å<br />
gjøre bl a luftmotstand og<br />
friksjon i bilens roterende deler.<br />
Friksjonen mellom bakken og<br />
hjulene gir ikke motstand mot<br />
bevegelsen, men er derimot<br />
nødvendig for at hjulene skal få tak<br />
og ikke gli.<br />
Når vi bremser øker vi den<br />
samlede motstandskraft<br />
og/eller minsker motorkraften.<br />
Akselerasjon<br />
I figurene er motorkraften blå<br />
og motstandskraften grønn<br />
Det er kraft fra seteryggen som gir passasjeren akselerasjon.<br />
Vi føler det som at vi blir presset bakover mot setet.<br />
Ved kraftig bremsing trenger vi en kraft som<br />
trekker oss bakover, det er derfor vi har<br />
setebelte.<br />
Konstant fart<br />
Fartsøkning<br />
Brems<br />
Hvis akselerasjonen er liten,<br />
kan styrken i kroppen være<br />
tilstrekkelig så vi klarer oss<br />
uten seteryggen.<br />
15
Tyngdekraft og normalkraft<br />
Tyngdekraften kalles også gravitasjon. Det<br />
er den kraften som jorda tiltrekker seg alle<br />
ting med. Det har f eks den fordelen at vi<br />
ikke faller ut i verdensrommet.<br />
Gravitasjonen på jorda gjør at alle ting som ikke blir<br />
holdt oppe av noe, faller ned på jorda.<br />
Hvis jorda ikke hadde hatt fast overflate, ville<br />
vi sunket ned. Jorda gir oss dermed<br />
tilstrekkelig underlagskraft.<br />
Vi kaller underlagskraften for normalkraft<br />
fordi den alltid er vinkelrett på underlaget.<br />
Den har eget symbol N (sort på disse<br />
figurene).<br />
Hjelp! Jeg<br />
synker i myra!<br />
Per<br />
Myr<br />
Hvis normalkraften er stor nok, er den<br />
alltid like stor som tyngden.<br />
NB! G og N virker på samme legeme<br />
og er dermed ikke kraft og motkraft.<br />
En myr gir ikke alltid tilstrekkelig<br />
normalkraft. Her er N < G.<br />
G<br />
Pål<br />
Jorda<br />
N<br />
Pål står støtt: N = G<br />
16
Friksjon<br />
Når to ting glir mot hverandre oppstår friksjon (skrubbing).<br />
Friksjon er en kraft som alltid virker mot bevegelsesretningen.<br />
På alle figurene<br />
Friksjonen er avhengig av hva<br />
slags underlag det er.<br />
Trekkraft<br />
Friksjon<br />
Friksjonen øker med tyngden.<br />
Grus<br />
Man må br<strong>uke</strong> mye større kraft for å<br />
trekke en kjelke på grus enn på is.<br />
Is<br />
Is<br />
Best å ha<br />
ispigger<br />
Per<br />
Per<br />
Per<br />
17
Flere aspekter ved friksjon<br />
Pål dytter på en svær kasse. Før han får den til å gli er dyttekraften lik<br />
friksjonen. Friksjon kan altså hindre at bevegelse kommer i gang.<br />
Gravitasjon<br />
Normalkraft<br />
Dyttekraft<br />
Pål<br />
R<br />
Friksjonskraft<br />
N<br />
F<br />
G<br />
Pål<br />
R<br />
Kassa dyttes med jevn fart <br />
dyttekraft er lik friksjon.<br />
N<br />
Pål<br />
R<br />
F<br />
G<br />
N<br />
Friksjon er<br />
mikroskopiske<br />
ujevnheter i overflatene.<br />
Idet kassa settes i<br />
bevegelse, må<br />
dyttekraften være litt<br />
større enn friksjonen.<br />
F<br />
G<br />
18<br />
18
I heisen<br />
Kraften som gir akselerasjon er summen av disse to:<br />
Tyngde<br />
G<br />
Jevn fart Akselerasjon<br />
oppover<br />
Summen av<br />
kreftene som virker<br />
på Per er lik 0<br />
N = G<br />
Normalkraft fra heisgulvet<br />
Kraft oppover er<br />
større enn kraft<br />
nedover N > G<br />
Akselerasjon<br />
nedover<br />
N<br />
Kraft oppover er<br />
mindre enn kraft<br />
nedover N < G<br />
Heisvaieren<br />
ryker<br />
HEIS HEIS HEIS HEIS<br />
Per<br />
Per<br />
Per<br />
Akselererende kraft<br />
Per og heisen<br />
faller fritt <br />
N = 0<br />
Akselererende<br />
kraft<br />
Per<br />
19
Regneeksempler<br />
Pål dytter på en svær kasse med en kraft på 375 N. Kassa får<br />
akseleraskonen 0,7 m/s 2 . Hvor stor er friksjonen?<br />
Pål<br />
R<br />
F<br />
<strong>11</strong>0 kg<br />
Per<br />
F – R = ma R = F – ma = 375 - <strong>11</strong>00,7 = 298 N<br />
Pers kasse får akselerasjonen 0,4 m/s. De br<strong>uke</strong>r lik kraft og friksjonen på<br />
kassene er også lik. Hvor mye veier Pers kasse?<br />
F – R = ma ma = F - R = 375 - 298 N = 77N<br />
Kassa veier m = 77: 0,4 = 192.5 kg<br />
G<br />
HEIS<br />
Pål<br />
R<br />
Per og Pål står i hver sin heis.<br />
Begge heisene har akselerasjon på<br />
3,0 m/s2 , Påls heis går opp og Pers<br />
heis går ned.<br />
Per<br />
N<br />
Hvor stor er kraften fra heisgulvet på<br />
Per og Pål.<br />
G<br />
N<br />
Pål: N – G = ma N = ma + mg = 80 12,8 = 1024 N<br />
Per: G – N = ma N = mg - ma = 80 6,8 = 544 N<br />
F<br />
HEIS<br />
20
Newtons 3. lov<br />
+ +<br />
Hei!!<br />
Jeg har en lov til!<br />
Newtons 3. lov om kraft<br />
og motkraft!<br />
Krefter oppstår alltid fordi to legemer påvirker hverandre.<br />
For en hver kraft er det en like stor og motsatt rettet kraft<br />
som virker på det andre legemet.<br />
Eksempler:<br />
Pål<br />
Jorda<br />
Elektriske krefter mellom to<br />
ladde legemer er kraft og<br />
motkraft.<br />
Kraft fra Per på treet er<br />
motkraft til kraft fra treet på<br />
Per. (Og omvendt).<br />
Per<br />
Pål trekker på jorda med en like stor<br />
kraft som jorda trekker på Pål med.<br />
Pga jordas store masse får det ikke<br />
innvirkning på jordas bevegelse.<br />
Newton<br />
21
Eksempel på Newtons 3. lov<br />
Per og Pål er på skøytebanen. De dytter til hverandre.<br />
Kraft fra Per på Pål er like stor<br />
som kraft fra Pål på Per. (Kraft<br />
og motkraft)<br />
Kjempeglatt is<br />
De får like stor fart til hver<br />
sin side fordi de har<br />
samme masse.<br />
Per og Bulle dytter til hverandre.<br />
Kraft fra Per på Bulle er like stor<br />
som kraft fra Bulle på Per.<br />
Bulle får mindre fart<br />
fordi han er tyngre.<br />
Urettferdig!!<br />
Bulle<br />
Per Pål<br />
Per Pål<br />
Bulle<br />
Per<br />
Per<br />
Du kan jo<br />
slanke deg!<br />
22
Kraftparallellogram<br />
Tre vekter henger i hvert sitt tau som vist på figuren.<br />
Systemet vil innstille seg i en likevektposisjon.<br />
Siden A er i ro må<br />
strekket i tauet være<br />
lik tyngden.<br />
(Samme for B og C)<br />
A B<br />
Her er loddene A og B er like.<br />
Likevektposisjonen er da slik at rød kraft<br />
er vektorsummen av de to blå.<br />
Vektorsum???<br />
Nedoverpilene er<br />
tyngde<br />
Pål Per<br />
C<br />
Trinse<br />
Her er de tre tauene festet sammen.<br />
I hvert tau er det samme kraft overalt<br />
(ellers ville det jo røket).<br />
Det er lett! Du bare tegner<br />
et parallellogram av de to<br />
vektorene som skal<br />
summeres. Diagonalen er<br />
da vektorsummen.<br />
23
Pramdragerne<br />
En båt trekkes frem av to pramdragere, en på hver side av elva. De to<br />
pramdragerne drar med like stor kraft F (blå).<br />
Vinkelen mellom de to blå er 70.<br />
Vi skal beregne summen av kreftene på båten (rød).<br />
70<br />
Tegner kraftparallellogram.<br />
Summevektoren har lengde<br />
og retning som diagonalen<br />
35<br />
35<br />
ELV<br />
Vi ser av figuren at<br />
summevektoren er : 2Fcos 35<br />
24
Båt i strøm<br />
En båt starter fra A på den<br />
ene elvebredden og skal<br />
over til den andre siden.<br />
Båten har farten vb (rød).<br />
Strømmen i elva er vs (blå).<br />
Båt<br />
vs A<br />
Farten til båten er da v = vb + vs (lilla)<br />
Båten vil derfor ikke havne i B, men i C, et stykke lenger ned.<br />
Vektorskjema<br />
v b<br />
v<br />
<br />
v s<br />
v b<br />
B<br />
C<br />
Vi finner v størrelse og retning :<br />
BC = d tan <br />
Hvilken retning må vi styre båten for at den skal havne i B?<br />
Vektorskjema<br />
v s<br />
v b<br />
<br />
v<br />
v<br />
<br />
v<br />
2<br />
b<br />
v<br />
tan <br />
v<br />
v<br />
Vi finner v størrelse og retning :<br />
v<br />
<br />
v<br />
2<br />
b<br />
v<br />
sin <br />
v<br />
s<br />
b<br />
b<br />
s<br />
v<br />
2<br />
s<br />
2<br />
s<br />
ELV<br />
d = 52 m<br />
25
Mer om krefter<br />
Det er av vesentlig betydning for resultatet hvilken retning kraften har.<br />
Det er mest effektivt å la kreftene virke i bevegelsesretningen.<br />
Når vi trekker på skrå av bevegelsesretningen (som Per gjør her ), har vi<br />
vanligvis gode grunner til det.<br />
Per<br />
Vi dekomponerer kraften for å se hvordan den br<strong>uke</strong>s.<br />
Rød pil er komponent i x-retning, bevegelsesretningen.<br />
Blå pil er komponent vinkelrett på bevegelsesretningen..<br />
Fartsretning<br />
Rød pil er parallell med fartsretningen og er den del av kraften som br<strong>uke</strong>s til<br />
å trekke kjelken.<br />
Blå pil er vinkelrett på fartsretningen og br<strong>uke</strong>s til å løfte kjelken. Det har den<br />
virkning at friksjonen blir litt mindre.<br />
Kraften har alltid retning langs snøret. Vi ser av figuren at jo brattere snøret er ,<br />
jo mindre trekkeffekt får vi. Det lønner seg altså å ha et langt snøre for da blir<br />
vinkelen med fartsretningen mindre.<br />
26
Dekomponere en vektor i x- og y-retning<br />
Iblant har vi behov for å beregne komponentene til en vektor. Det gjøres slik:<br />
Her har vi tegnet dekomponering av en kraft F i et koordinatsystem.<br />
F danner vinkelen med x-retningen.<br />
y<br />
F y<br />
<br />
F x<br />
F<br />
Av figuren ser vi:<br />
Fy<br />
sin<br />
<br />
F<br />
Fx<br />
cos<br />
<br />
F<br />
Hvis vi kjenner lengden av vektoren og retningen gitt ved vinkel , kan<br />
vi altså beregne lengden av komponentene.<br />
Eksempel:<br />
x<br />
<br />
F<br />
F<br />
y<br />
x<br />
F sin<br />
F cos<br />
Vi har en kraft på 100 N som danner en vinkel på 35 med horisontalplanet.<br />
Vi skal finne horisontal og vertikal komponent<br />
Først tegner vi. Hvis vi tegner i målestokk, kan vi etterpå måle at vi har<br />
regnet riktig.<br />
y<br />
F y<br />
F<br />
35<br />
F x<br />
F x= F cos = 100 cos 35 = 81,9 N<br />
F y= F sin = 100 sin 35 = 57,4 N<br />
x<br />
27
Eksempler på dekomponering av krefter<br />
I et helikopter har løftekraften<br />
retning vinkelrett på rotoren.<br />
Rotoren kan bikkes forover for<br />
å få fremdrift.<br />
En hagerulle kan du både dytte og dra, men<br />
det får litt ulik effekt.<br />
Vi lar kraft på rulla<br />
være lik i begge tilfeller<br />
og dekomponerer<br />
Vertikal<br />
komponent<br />
balanserer<br />
tyngden<br />
Jeg foretrekker<br />
å dra hagerulla,<br />
det er mye<br />
lettere.<br />
Løft fra rotor<br />
Horisontal<br />
komponent gir<br />
fremdrift<br />
Men det er<br />
mer effektivt<br />
å dytte.<br />
Lilla vektor er den komponenten som gir fremdrift, mens blå komponent<br />
virker parallelt med tyngden.<br />
Når vi trekker rulla vil blå komponent motvirke tyngden slik at kraften på<br />
bakken blir mindre.<br />
Når vi dytter vil den vertikale komponent som gir en tyngdeforøkelse mot<br />
bakken slik at rullingen blir mer effektiv.<br />
28
Eksempel på dekomponering av krefter<br />
Krefter br<strong>uke</strong>s ikke bare til bevegelse, men også til å holde ting på<br />
plass. Dette er tilfelle i statiske strukturer og konstruksjoner.<br />
En bro er eksempel på dette. Kreftene i konstruksjonen må tåle de<br />
belastninger som den utsettes for. Det er ingeniørarbeid å regne ut<br />
dette og vi håper de regner riktig.<br />
Dette er prinsipptegning<br />
av en skråstagbro.<br />
Vi har tegnet bare et<br />
stag på hver side, men<br />
det er vanligvis flere.<br />
Kreftene som holder<br />
veibanen oppe går på<br />
skrå langs stagene.<br />
Skråstag<br />
Her har vi dekomponert kreftene langs brolegemet og vinkelrett på.<br />
Komponentene langs brobanen (grønne) gir press på langs av denne,<br />
mens komponentene vinkelrett på veibanen (røde) bærer vekten.<br />
Det er derfor viktig at stagene ikke er<br />
alt for skrå. Da blir løftekomponenten<br />
for hvert stag liten og vi må ha flere<br />
stag. Dessuten blir belastningen på<br />
brolegemet av de horisontale<br />
komponentene større.<br />
På denne broen har man likevel<br />
valgt å la stagene være ganske så<br />
skrå – det gir jo en viss eleganse.<br />
(En slik bro kan ses i Sevilla) 29
Kjelkeproblematikk<br />
Krefter som virker på kjelken:<br />
Gravitasjon<br />
Normalkraft<br />
Trekkraft<br />
Friksjonskraft<br />
Vi dekomponerer trekkraften:<br />
F y<br />
F x<br />
<br />
F x = F cos <br />
F y = F sin <br />
N<br />
R G<br />
Fartsretning<br />
Friksjonen R er proporsjonal med N.<br />
Vi skriver R = N, ( kalles friksjonsfaktor)<br />
Vi ser at jo større F y er jo mindre er friksjonen<br />
F<br />
<br />
Per<br />
Newtons lov for x-retning: F x – R = ma<br />
Newtons lov for y-retning: F y + N – G = 0<br />
N = G - F y<br />
30
Regneeksempel<br />
Kjelke med passasjer veier 29 kg<br />
Friksjonsfaktor = 0,23<br />
Trekkraft: 150 N, vinkel = 32<br />
Vi dekomponerer trekkraften:<br />
N<br />
R G<br />
y-retning: F y + N – G = 0 N = G – F y = mg – F sin <br />
N = 29 9,8 – 150 sin 32 = 205 N<br />
x-retning: F x – R = F cos - N = ma<br />
ma = 150 cos 32 – 0,23 205 = 80N a = 80 : 29 = 2,8 m/s 2<br />
F<br />
<br />
Per<br />
32<br />
F x = F cos 32<br />
F y = F sin 32<br />
Etter å ha akselerert i 2 sekunder holder han jevn fart videre. Hvilken fart<br />
har han fått da? Hvor stor kraft br<strong>uke</strong>r han til å holde jevn fart?<br />
v = v 0 + at = 2,8 2 = 5,6 m/s<br />
Jevn fart: F cos = R F = 55 N<br />
31
Skråplan<br />
Pål aker på et skråplan.. Tre krefter<br />
virke på Pål: tyngden (grønn),<br />
normalkraft (sort) og friksjon (rød).<br />
Vektorsummen av disse kreftene<br />
bestemmer akselerasjonen.<br />
Generelt : G + N + R = ma<br />
Akselerasjonen må ha retning langs skråplanet.<br />
Vi dekomponerer G i fartsretning og vinkelrett på.<br />
Fartsretning: G sin - R = ma<br />
Vinkelrett på skråplanet: G cos = N<br />
Friksjon kan skrives: R = N<br />
<br />
N<br />
G sin <br />
Pål<br />
G<br />
<br />
R<br />
G cos <br />
Vi finner igjen<br />
skråplanvinkelen her<br />
Da får vi G sin - G cos = ma G = mg da kan vi dividere med m<br />
a = sin - g cos <br />
Friksjonen blir mindre når vinkelen øker, men den er i alt vesentlig<br />
avhengig av skråplanets overflate og Påls buksebak.<br />
Den blå kraften er tyngdens komponent langs skråplanet og den blir<br />
større jo brattere skråplanet blir.<br />
32
Skråplan -- regneeksempel<br />
Vi skal finne akselerasjonen til<br />
en kloss med masse m = 0,7 kg<br />
som glir på et skråplan med<br />
vinkel = 38<br />
Setter inn i ligninga: a = g sin - g cos <br />
a = 9,8 sin 38 – tan 29 9,8 cos 38 = 1,75 m/s 2<br />
<br />
G sin <br />
Vi kan gjøre følgende forundersøkelse for å finne <br />
<br />
G cos <br />
Vi regulerer skråplanvinkelen slik at klossen glir med jevn fart. Vi måler denne<br />
vinkelen . Da vet vi at a = 0 og dermed G sin = R<br />
Dessuten er R = N og G cos = N G sin = G cos <br />
sin <br />
tan <br />
I denne oppgaven setter vi = 29<br />
cos<br />
Skråplanets lengde er 50 cm<br />
Klossen starter med fart lik 0 på toppen<br />
Hvor lang tid tar det å gli helt ned ?<br />
Hva er farten da?<br />
Br<strong>uke</strong>r s = ½ at 2 til å finne t :<br />
2 2s<br />
2<br />
0,<br />
5<br />
t t 0,<br />
76s<br />
a 1,<br />
75<br />
Setter t inn i denne ligninga v = at = 1,75 0,76 = 1,32 m/s<br />
33
Horisontalt kast<br />
Her ser vi to baller. Den ene slippes rett ned, den andre får startfart i<br />
horisontal retning. Vi ser bort ifra luftmotstand.<br />
Det er like stort tidsintervall mellom hver posisjon. Ballene er i samme<br />
høyde til enhver tid og lander samtidig.<br />
Vi kan betrakte vertikal og horisontal bevegelse hver for seg. Begge ballene har<br />
samme vertikale bevegelse fordi de har samme vertikale akselerasjon (g).<br />
Grå ball har i tillegg horisontal bevegelse med jevn fart.<br />
Total fart for denne ballen er vektorsummen av horisontal og vertikal fart.<br />
Vertikal fart er<br />
forskjellig i hvert<br />
tidspunkt, men<br />
likestor for begge<br />
ballene.<br />
Horisontal fart, endres ikke<br />
Total fart for grå ball.<br />
34
Horisontalt kast -- regneeksempel<br />
Ballene starter i en høyde 20 m over bakken.<br />
Det er tilbakelagt strekning i y-retning.<br />
Grå balls startfart er 12,0 m/s i horisontal retning. Denne endres ikke.<br />
Vi skal beregne farten idet de treffer bakken samt avstanden x som grå ball har<br />
tilbakelagt i horisontal retning.<br />
Bevegelsesligninger for<br />
akselerert bevegelse:<br />
v v at<br />
h<br />
I y-retning er v 0 = 0 ; da får vi<br />
Tid fra start til landing:<br />
I x-retning er det jevn fart: s = vt<br />
v<br />
Vertikal fart: v = at = 9,8 2 = 19,6m/s<br />
Dette er rød balls landingsfart.<br />
x<br />
s<br />
<br />
<br />
Grå balls landingsfart (blå pil) størrelse:<br />
at<br />
1 at<br />
2<br />
Retning:<br />
2<br />
<br />
0<br />
s v t <br />
1 2 2 2s<br />
2<br />
20<br />
s 2 at t 4,<br />
1<br />
t 2,<br />
02s<br />
a 9,<br />
8<br />
v <br />
12,<br />
0<br />
Grå ball har tilbakelagt strekningen x = 12 2 = 24 m i horisontal retning<br />
2<br />
0<br />
19,<br />
6<br />
19,<br />
6<br />
tan<br />
<br />
12<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
58,<br />
5<br />
at<br />
2<br />
Rettvinklet<br />
trekant! Da<br />
kan vi br<strong>uke</strong><br />
Pythagoras<br />
23,<br />
0<br />
Pål<br />
12 m/s<br />
<br />
<br />
m<br />
s<br />
19,6 m/s<br />
35
Skrått kast<br />
Hvis vi kaster en ball på skrå opp i lufta vil kastebanen blir en parabel. Det<br />
er fordi tyngden G, hele tiden virker på ballen og trekker den mot jorda<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G G<br />
Fartsvektoren forteller oss<br />
størrelse og retning på farten<br />
I samme nivå over bakken har fartsvektoren<br />
lik størrelse men ulik retning<br />
Fartsvektoren blir mindre og mindre så lenge ballen går<br />
oppover, i banens toppunkt er den horisontal, så begynner den<br />
å peke nedover og blir større og større igjen.<br />
Hvis et objekt kastes ut og lander i samme nivå, har startfart og<br />
landingsfart samme størrelse og kastets maksimale høyde er midt i<br />
svevet.<br />
G<br />
G<br />
36
Kastebaner<br />
Sammenligning mellom objekter med samme startfart , men<br />
forskjellig vinkel<br />
Vi ser at maksimal høyde og lengde er<br />
avhengig av kastevinkelen<br />
70<br />
60<br />
45<br />
30<br />
20<br />
Max høyde<br />
En kastevinkel på 45 gir maksimal lengde.<br />
Jo større vinkel jo større høyde.<br />
Per Pål<br />
Max lengde<br />
Når Per og Pål skal kaste om kapp, vil kastevinkelen være<br />
av vesentlig betydning.<br />
37
Skrått kast - regneeksempel<br />
Vi skal beregne høyde og lengde av et kast hvor kastefarten er v 0 =15 m/s og<br />
vinkelen er 57. Her br<strong>uke</strong>r vi a = g = -9.8 fordi g har motsatt retning av positiv<br />
y-akse.<br />
v 0y<br />
<br />
v 0x<br />
v 0<br />
v v<br />
I et skrått kast kan vi skille bevegelsen i x og y-retning.<br />
Vi har akselerasjon g i y-retning, men ingen akselerasjon i x-retning<br />
(vi ser bort fra luftmotstand).<br />
Det første vi gjør er å dekomponere fartsvektoren i x og y-retning<br />
v 0x = v cos = 15 cos 57 = 8,2 m/s<br />
v 0y = v sin = 15 sin 57 = 12,6 m/s<br />
x<br />
y<br />
Bevegelsesligninger for<br />
akselerert bevegelse:<br />
0<br />
s v t <br />
I toppunktet er fart i y-retning lik null. Setter inn i ligningen v = v 0 + at<br />
0 = 12,6 – 9,8 t t = 1,28 s<br />
Dette er tiden ballen br<strong>uke</strong>r til toppen av banen. Tiden for hele kastet<br />
er dobbelt så lang.<br />
Maksimal høyde:<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
y v yt at 12,<br />
61,<br />
28<br />
9,<br />
81,<br />
28 8,<br />
1m<br />
0<br />
2<br />
Kastets lengde: x = v 0x t = 8,2 1,28 2 = 21,0 m<br />
2<br />
0<br />
at<br />
1<br />
2<br />
at<br />
2<br />
38
Per i militæret<br />
Et skudd er i prinsippet et kast. Når kula<br />
kommer ut av løpet er det kun<br />
gravitasjonskraften som virker på den.<br />
Siden kula har så stor startfart blir<br />
parabelen ganske slak, og jo større<br />
startfart jo slakere parabelbane.<br />
Geværløpet er laget slik at kula skytes ut i en liten vinkel med<br />
siktelinja. (Ganske overdrevet på figuren)<br />
Han skal ”skyte inn” geværet. Dvs han skal justere siktet slik at han treffer blink<br />
på 200 m. Det er slik at parabelbanen skjærer horisontal siktelinje både på 30 m<br />
og på 200 m. Derfor kan det skytes inn på 30 m. Det er litt enklere.<br />
Siktelinje<br />
Sikte<br />
30 m<br />
Per<br />
Per har fått en AG3 som er beregnet til å treffe blink på 200 m.<br />
Siktelinje<br />
200 m<br />
39
Mekanisk arbeid<br />
Mekanisk arbeid utføres på noe som beveges mot en kraft.<br />
Jo større denne motstandskraften er, jo større blir arbeidet.<br />
Arbeid defineres som prikkprodukt av kraftvektor og forflytningsvektor<br />
Enhet for arbeid er joule (J)<br />
Per<br />
G<br />
W = F s = Fs cos (F,s)<br />
Definisjonen innebærer at forflytningen skjer med jevn fart.<br />
Når F og s er parallelle blir arbeidet W = Fs<br />
m<br />
Per heiser opp sementen vha en<br />
talje. Kraften ham br<strong>uke</strong>r er like stor<br />
som tyngden av lasten.<br />
Her har Per og Pål utført like stort arbeid. Arbeidet er utført mot<br />
tyngdekraften og resultatet er likt: lasten er hevet en høyde h<br />
h<br />
Gh = Fs<br />
F<br />
s<br />
m<br />
Det trengs mindre kraft til å dytte<br />
trillebåra oppover et skråplan.<br />
40
Muskelarbeid gir ikke nødvendigvis<br />
mekanisk arbeid<br />
Pål<br />
10<br />
kg<br />
10<br />
kg<br />
h = 1m<br />
Pål løfter et lodd opp en høyde h. Han<br />
må br<strong>uke</strong> en kraft som er motsatt like<br />
stor som tyngden av loddet.<br />
Bevegelsen er i motsatt retning av<br />
tyngdekraften og Pål utfører derfor et<br />
arbeid på loddet.<br />
Loddet har tyngde 100 N Arbeid på loddet er: W = 100 N 1m = 100 J<br />
Hvis du står og holder et lodd, er det krefter som virker,<br />
men ingen bevegelse. Du utfører da ikke arbeid på<br />
loddet ifølge definisjonen. (Det kan likevel hende at du<br />
blir sliten)<br />
Per<br />
10<br />
kg<br />
F<br />
W = F s = Fs cos (F,s)<br />
s<br />
Per<br />
10<br />
kg<br />
Hvis du går bortover og bærer loddet,<br />
utfører du heller ikke arbeid på loddet.<br />
Her er F s F s = 0<br />
Musklene dine kan altså ha utført et arbeid selv om dette ikke arbeid<br />
på loddet.<br />
41
Arbeid mot friksjon<br />
Når noe glir på underlaget blir det friksjon. Den virker alltid i<br />
retning mot bevegelsen.<br />
Hvis du dytter er tung kasse så den<br />
glir langs gulvet , utfører du arbeid<br />
på kassa. Motstandskraften her er<br />
friksjonen som virker i motsatt<br />
retning av bevegelsen.<br />
Pål<br />
Per trekker kjelken en lengde s.<br />
Her er F og s ikke parallelle.<br />
Arbeid utført er W = F s = Fs cos <br />
Per<br />
Tung kasse<br />
Fartsretning<br />
Her er motstandskraften for stor.<br />
Om du dytter så hardt du kan mot<br />
en mur, vil muren gi så stor<br />
motstand at det ikke blir noen<br />
bevegelse. Da blir det heller ikke<br />
utført arbeid på muren.<br />
F<br />
<br />
s<br />
Per<br />
42
Kollisjon<br />
Figuren viser et eksempel på kollisjon. Her har vi superglatt is og<br />
nyslipte skøyter for å kunne anta at friksjonen er lik null. Per og Pål har<br />
like stor fart mot hverandre.<br />
Per<br />
Per og Pål støter sammen Da påvirker de hverandre<br />
Per Pål<br />
med like store krefter<br />
(Newtons 3. lov)<br />
Per<br />
Pål<br />
Etter kollisjonen vil Per og Pål ha like stor fart fra hverandre.<br />
Per<br />
Bulle<br />
120 kg<br />
Pål<br />
En kollisjon med Bulle vil gi Per mer fart enn en kollisjon med<br />
Pål forutsatt at de har samme fart før kollisjonen.<br />
Bulle får mindre fart etter kollisjonen enn før og så blir han<br />
fornærmet igjen.<br />
43
Støtloven<br />
Når to objekt støter sammen vil samlet bevegelsesmengde før og etter<br />
støte være lik. Dette kalles støtloven.<br />
Bevegelsesmengde er definert som masse fart og har retning som farten.<br />
Eksempel<br />
3,5 m/s<br />
4,0 m/s<br />
2,0 kg 1,5 kg<br />
1,5 m/s v 2<br />
Bevegelsesmengde før støtet: 2,0 3,5 + 1,5 (- 4,0) = 1,0<br />
Bevegelsesmengde etter støtet: 2,0 (- 1,5 ) + 1,5 v 2 = 1,0<br />
Regner ut og finner v 2 = 2,7 m/s<br />
Generelt : m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2<br />
Indeks 1 refererer til kule 1, indeks 2 til kule 2<br />
Fart før støtet u 1 og u 2<br />
Fart etter støtet v 1 og v 2<br />
Fart gis med fortegn.<br />
Vi velger positiv<br />
retning<br />
I støtøyeblikket påvirkes<br />
kulene av like store og<br />
motsatt rettede krefter<br />
Hvis den ene kulas fart<br />
etter støtet er kjent, kan vi<br />
finne farten til den andre<br />
44
Eksempler på bruk av støtloven<br />
En lastebil kjører med fart 3 m/s. Idet den passerer Per , slipper han en pakke ned<br />
på lasteplanet. Pakken har dermed fart 0 i støtøyeblikket.<br />
Vi skal finne bilens fart etter støtet.<br />
50kg<br />
3m/s<br />
25kg<br />
Per<br />
Bevegelsesmengde før støtet: 50 kg 3 m/s + 25 kg 0 m/s<br />
Bevegelsesmengde etter støtet: (50 + 25) kg x m/s<br />
Disse skal være like, altså får vi x = 2 m/s<br />
Stearinlys<br />
Plate av<br />
balsatre<br />
Blykule 10g Sprettert<br />
50g<br />
glasskuler<br />
25kg<br />
50kg<br />
På en balsatreplate har vi rigget til en sprettert som skyter ut en kule når<br />
stearinlyset brenner av tråden.<br />
Platen hviler på glasskuler slik at friksjonen ikke vil bremse den.<br />
Total bevegelsesmengde før støtet er null<br />
Total bevegelsesmengde etter støtet er også lik null da får vi:<br />
10 g 10 m/s = 50 x m/s Balsatreplaten får farten 2 m/s i motsatt retning.<br />
50g<br />
10 m/s<br />
45
Støtloven på vektorform<br />
Støtloven gjelder også når kulene støter sammen på skrå.<br />
Bevegelsesmengden må da betraktes som en vektor.<br />
Generelt : m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2<br />
Bevegelsesmengdevektoren har samme retning som farten.<br />
For å finne summevektoren må vi konstruere.<br />
Blå vektor refererer til kule 1, rød vektor til kule 2<br />
m 1<br />
Når vi konstruerer vektorsummen (grønn) må vi tegne<br />
i målestokk. m 1u 1 skal være 2 blå fartsvektor mens<br />
m 2u 2 skal være 1,5 rød fartsvektor.<br />
v1 <br />
u1 <br />
Før støtet<br />
Etter støtet<br />
u2 <br />
m 2<br />
v2 <br />
Når fart etter støtet til den ene kula er kjent, kan vi<br />
konstruere bevegelsesmengdevektoren til den<br />
andre og dermed finne farten.<br />
Vektordiagram<br />
m 2u 2<br />
m 1u 1<br />
Vektorsummen er lik etter<br />
støtet ifølge støtloven<br />
m 1v 1<br />
p<br />
p<br />
m 2v 2<br />
46
Støtloven - regneeksempel<br />
2,0 kg<br />
2,5 m/s<br />
Før støtet<br />
40 25<br />
Etter støtet<br />
1,5 kg<br />
3,5 m/s 4,0 m/s<br />
m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v 1 + m 2v 2 = p<br />
Vinkel mellom rød og blå vektor er 180 – 25 – 40 = <strong>11</strong>5<br />
Den andre vinkelen i parallellogrammet er da 65<br />
Vi kan regne ut p ved å br<strong>uke</strong><br />
cosinussetningen på denne trekanten.<br />
p 2 = 7,0 2 + 6,0 2 – 2 7,0 6,0 cos 65 p = 7,0<br />
Vi br<strong>uke</strong>r sinussetningen til å finne <br />
sin sin65<br />
<br />
6,<br />
0 7,<br />
0<br />
m 1u 1 = 2,0 3,5 = 7,0<br />
m 2u 2 = 1,5 4,0 = 6,0<br />
25 40<br />
m2u2 p<br />
m1u1 Vi får oppgitt farten til den ene kula etter støtet og skal finne den andre.<br />
55<br />
= 51<br />
v2 <br />
m 1u 1<br />
m 1v 1 = 2,0 2,5 = 5,0<br />
Når fart etter støtet til den ene kula er kjent, kan vi konstruere m2v2 –vektoren (rød),<br />
Vi får en tilsvarende trekant som over og kan regne ut den ukjente vektoren. Farten 47<br />
finner vi ved å dele på massen.<br />
p<br />
<br />
34<br />
p<br />
65<br />
m 2u 2<br />
55 91<br />
34<br />
m 1v 1<br />
m 2v 2
Fullstendig uelastisk kollisjon<br />
Vi kaller kollisjonen fullstendig uelastisk<br />
hvis de kolliderende har samme fart<br />
(størrelse og retning) etter kollisjonen.<br />
To like biler som kolliderer kan være et<br />
eksempel på fullstendig uelastisk<br />
kollisjon.<br />
Her har bilene samme fart før kollisjonen og står stille etterpå.<br />
Det er altså null kinetisk energi etter støtet. All energien er brukt til<br />
deformering av bilene pluss varme til omgivelsene.<br />
En kollisjon i et kryss kan se slik ut:<br />
Bil<br />
u1 <br />
u2 <br />
Siden farten etter kollisjonen<br />
er felles ser ligningen slik ut:<br />
Vektordiagram<br />
m 2u 2<br />
m 1u 1<br />
(m 1 + m 2) v<br />
Bil<br />
m 1u 1 + m 2u 2 = m 1v + m 2v = (m 1 + m 2) v<br />
Når vi kjenner bilenes masse og<br />
fart før støtet, kan vi regne ut v.<br />
Retningen finner vi av<br />
vektordiagrammet.<br />
v<br />
48
Impuls<br />
I støtteorien br<strong>uke</strong>r vi begrepet impuls som er definert<br />
som kraft x den tiden kraften virker:<br />
I = Ft<br />
Impuls er en vektor med samme retning som kraften<br />
I baseball er det slik at ballen blir<br />
kastet mot spilleren som skal slå den<br />
med et balltre (bat). Hvis vi kjenner<br />
ballens endring av fart kan vi finne<br />
kraften i slaget.<br />
Impulsen gir endringen i ballens bevegelsesmengde.<br />
Bevegelsesmengde kan skrives p = mv<br />
Vektorskjema<br />
<br />
I<br />
180-<br />
p 1 = mv 1<br />
<br />
p 2 = mv 2<br />
<br />
m<br />
I = p 2 – p 1<br />
Etter slaget<br />
Før slaget<br />
Br<strong>uke</strong>r cosinussetningen til å finne<br />
impulsens størrelse:<br />
I 2 = p 2 2 + p1 2 – 2p1p 2cos(180 - )<br />
Br<strong>uke</strong>r sinussetningen til å<br />
finne retningen gitt ved vinkel <br />
sin sin( 180<br />
)<br />
<br />
p I<br />
Da kan vi finne kraften i slaget ved å dele impuls på tid: F = I : t<br />
2<br />
49
Superball<br />
Dette eksperimentet kalles superball.<br />
Vi har to kuler med hull igjennom til en tynn stang. De skal kunne falle<br />
tilnærmet fritt. Vi slipper dem fra en viss høyde og når de spretter opp<br />
igjen vil den øverste sprette høyere enn den startet.<br />
Per<br />
Dette skulle<br />
ikke gå an<br />
ifølge<br />
energiloven!!<br />
Hvor høyt den spretter er avhengig<br />
av kulenes elastisitet og forholdet<br />
mellom massene.<br />
Hvis vi prøver med forskjellige<br />
masser av de blå, finner vi at de<br />
letteste spretter høyest.<br />
Dette kan vi regne på. Det interessante resultatet<br />
vi får, er at den blå kan sprette nærmest til<br />
himmels, hvis masseforskjellen er stor nok.<br />
Det gjelder nok bare teoretisk, men gode forsøk<br />
kan få den temmelig høyt over utgangspunktet.<br />
h<br />
Når den røde treffer<br />
gulvet får vi et støt<br />
mellom den blå og<br />
den rød som<br />
overfører energi fra<br />
rød til blå.<br />
Pål<br />
50