Kombinatorikk/sannsynl. - Matematikk på nett

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreboka – lånes av skolen – vinkelmåler, 30-60-90 og 45-
45-90-trekanter, passer, blyant, viskelær, penn, A4-ark til innføring og A4 kladdebok. Og en god
A4-perm å samle stensiler og liknende i!
I tillegg trenger dere en del program på PCen: Word, Excel, GeoGebra og T-inspire.
Har dere tilgang på kalkulator, er det kanskje kjekt. Søker dere på nett – casio+9860+emulator –
vil der kunne få en 30-dagersversjon av en kalkulator.
Læreboka i R1 er laga av samme forlag som grunnkursboka: To sider teori og deretter oppgaver.
Innholdet i år er:
1. Kombinatorikk og statistikk: Dette er en rein fortsettelse av det dere lærte i fjor, og ikke
annerledes enn det de lærer i samfunnsfagsmatematikken S1.
2. Bevis og bevisføring: Her møter dere teoretisk matematikk. Hvordan kan en matematiker
logisk bevise at noe er sant – eller usant?
3. Vektorer: Et helt annerledes kapittel enn dere er vant til, og nyttig for fysikere og ingeniører.
4. Algebra: Mer om likninger og flerledda uttrykk, ulikheter, logaritmer og tallet e.
5. Grenseverdier og derivasjon: En fortsettelse av det dere lærte om derivasjon i fjor, dvs. at
dere skal lære å finne stigningstallet til nesten alle funksjoner. Grenser er et spennende og
abstrakt matematisk fenomen.
6. Funksjonsdrøfting: Bruk av derivasjon til å finne ut det meste om en graf.
7. Geometri: Om trekanter og sirkler og geometriske steder, et spennende emne som stammer
fra de gamle grekerne. Dere skal også konstruere litt igjen.
Litt fra grunnskolen:
1
Tommy & Tigern, bind 2, side 112 m
R1
1: Statistikk og sannsynlighetsregning:
20. august – 20. september 2010
Excel eller et hvilket som helst regneark, er det viktigste hjelpemiddelet i statistikk. En
trafikkundersøkelse av antall personer i en privatbil kan illustreres slik:
Antall Frekvens Totaltall
Relativ
frekvens
1 27 27 36,00
2 24 48 32,00
3 13 39 17,33
4 6 24 8,00
5 5 25 6,67
Sum 75 163 100,00
Her finner vi gjennomsnittlig antall personer i bilene:
Medianen, det midterste tallet, blir 3.
Typetallet, observasjonen som forekommer flest ganger, er 1.
Variasjonsbredden, forskjellen mellom største og minste observasjon, er 4.

Regnearket lager fine diagram: Dette er først ei kake som viser relativ frekvens, og deretter et
linjediagram, dvs. et vanlig koordinatsystem, som viser utvikling fra få til mange passasjerer.
Antall biler
30
25
20
15
10
5
0
Antall personer i biler:
3
17 %
4
8 %
5
7 %
2
32 %
1
36 %
Antall personer i biler:
1 2 3 4 5
Kanskje kan det være nyttig å repetere litt fra i fjor?
A)Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer lykkehjulet
og ser hvilken farge det stopper på.
a) Hvilke utfall har dette forsøket, og hva blir
utfallsrommet?
b) Skriv opp en
sannsynlighetsmo
dell for forsøket.
c) Hva er
sannsynligheten
for at lykkehjulet
stopper på gul,
rød eller oransje?
d) Hva er
sannsynligheten
for at lykkehjulet
ikke stopper på
blå eller grønn?
B) I lotteriet til idrettslaget Koll er det solgt 1250
lodd. Førstepremien er et videokamera. Eldrid
har kjøpt 15 lodd. Hva er sannsynligheten for at
hun:
a) Vinner videokameraet
b) Ikke vinner videokameraet
Andrepremien i lotteriet er et fotoapparat.
Vinneren av andrepremien trekkes ut etter
vinneren av førstepremien. Hva er
sannsynligheten for at Eldrid:
c) Vinner både videokameraet og fotoapparatet
d) Vinner videokameraet, men ikke fotoapparatet
C) En gruppe på 20 elever skal til utlandet. Ti
elever har tysk som fag, og ni har fransk. Tre
elever har både tysk og fransk. En elev trekkes ut
tilfeldig for å være reiseleder. Hva er
sannsynligheten for at reiselederen har:
a) Både tysk og fransk
b) Minst ett av fagene tysk og fransk
c) Ingen av fagene tysk og fransk
2

D) En familie har to barn som ikke er tvillinger.
a) Hva er sannsynligheten for at begge barna er
gutter?
b) Hva er sannsynligheten for at den eldste er en
jente og den yngste en gutt?
c) Hva er sannsynligheten for at det er en gutt og
en jente?
E) Du stokker en kortstokk godt og ser på de tre
øverste kortene. Hva er sannsynligheten for at:
a) Alle kortene er kløverkort
b) Ingen av kortene er kløverkort
c) Det øverste kortet er et kløverkort og de to
andre er sparkort
d) Det er ett kløverkort og to sparkort
(Fasit: A: a: rød, blå, svart, hvit, oransje, grønn og gul U={rød, blå, svart, hvit, oransje, grønn, gul} b: P(rød)=P(blå)=1/4=25%
P(svart)=P(hvit)=1/8=12,5% P(oransje)=P(grønn)=P(gul)=1/12=8,33% c: 5/12=4,17% d: 2/3=66,67% B: a: 0,012 b: 0,988 c:
0,00013 d: 0,0119 C: a: 3/20=6% b: 4/5=80% c: 1/5=20% D: a: 0,264 b: 0,250 c: 0,500 E: a: 0,013 b: 0,414 c: 0,015 d: 0,046)
Oppgaver Innhold http://matematikk.nordreisavgs.net/ Dato
1.1, 1.2,
1.3, 1.4
1.5 (U)
1.6 (P)
1.7, 1.8,
1.9, 1.10,
1.11, 1.12
1.13 (U)
1.14, 1.15,
1.16
1.17 (U)
1.1 – Multiplikasjonsprinsippet: Når det skal skje flere ting i samme forsøk, altså både…
og… , skal sannsynligheter multipliseres.
Fakultet: Ofte skal vi multiplisere mange tall som følger etter hverandre, for eksempel 1, 2,
3, 4, 5. Fakultet er snarveien, og kalkulatoren er en mester i fakultet! 1 23
4
5
5!
120
TI-nspire: Dere finner opplæringshefte til TI-nspire i Fronter: Under Dokumenter i rommet
for R1. Programmet er enkelt i bruk.
1) Klikk i hovedvinduet og velg Legg til kalkulator
2) Dere kan bruke tastaturet omtrent som i MathCad, men dere kan også slå på en egen
kalkulator som av og til er enklere å bruke.
3) Skriv regnestykket inn og trykk . Holder dere inne når dere trykker
vil utregninga bli i desimaltall, ellers eksakt.
4) Vårt eksempel: 5!
På Casio: 5 - OPTN – PROB – x! - EXE
1.2 – Permutasjoner: Hvor mange måter kan vi ordne en rekkefølge? Vi skal plukke uten
tilbakelegging – Ordna utvalg uten tilbakelegging: Av i alt n skal vi plukke ut r og finne antall
n!
kombinasjoner:
( n r)!
TI-nspire: n!/(n-r)! eller snarveien: npr(n,r). Legg merke til at skjermbildet endrer
seg slik at brøker ser ut som brøker og potenser som potenser når dere trykker .
Casio har en snarvei: n – OPTN – PROB – nPr – r – EXE
1.3 – Antall kombinasjoner: Denne gangen skal vi ikke ta hensyn til rekkefølgen, og ikke
legge tilbake – Uordna utvalg uten tilbakelegging: Av i alt n skal vi plukke ut r og finne
n!
antall kombinasjoner:
r!
(
n r)!
TI-nspire: n!/(r!*(n-r)!) eller snarveien: ncr(n,r).
Casio har en snarvei: n – OPTN – PROB – nCr – r – EXE
3
20/8
23/8
24/8
24/8
27/8

Oppgaver Innhold Dato
1.18, 1.19,
1.20, 1.21
1.22 (U)
1.23 (P)
1.24, 1.25,
1.26, 1.27
1.28 (U)
1.29, 1.30,
1.31, 1.32,
1.33
1.34 (U)
1.35 (P)
1.36, 1.37,
1.38
1.39 (U)
1.40 (P)
1.41, 1.42,
1.43
1.44 (U)
g
1.4 – Sannsynlighet ved opptelling: Stort sett bruker vi formelen , gunstige på mulige,
m
og teller opp antall gunstige og antall mulige. Deretter forkorter vi brøken så langt det lar
seg gjøre, eller gjør den om til desimaltall eller prosent.
1.5 – Betinga sannsynlighet: P ( A|
B)
er sannsynligheten for at A vil inntreffe, men bare
under forutsetning av at B har inntruffet. | lese som ”gitt”.
Uavhengige hendinger: Dersom A og B er uavhengige, vil P( A|
B)
P(
A)
Derved følger
det at P ( A|
B)
P(
A)
A og B er avhengige! Dette er en viktig test.
Mengdelæra. igjen: eller snittet leses ”og”, eller unionen leses ”eller”.
P(
A
B)
Betinga sannsynlighet: P(
A | B)
P(
B)
Betinga sannsynlighet: Vi har satt en betingelse som fører til at antall mulige bare er en del
av alle de mulige vi egentlig har. Men stadig gjelder !
Hvis vi setter opp en tabell, ser vi dette:
Sum
Sum 1
Hvis vi skal finne betinga sannsynligheter fra skjemaet, blir det slik fra tabellen:
1.6 – Produktsetninga:
Når hendingene er avhengige: P( A
B)
P(
A)
P(
B | A)
Når hendingene er uavhengige: P( A
B)
P(
A)
P(
B)
Når A og B er disjunkte, ikke kan opptre samtidig: P( A
B)
P(
A)
P(
B)
Total sannsynlighet: Husk at den alltid er 1 og at den motsatte hendelsen ofte er lettere å
finne enn den vi er på jakt etter!
1.7 – Bayes’ setning: Dette er ikke verdens viktigste setning, men den fungerer greit for å
regne ut betinga sannsynlighet.
P(
A
B)
P(
A | B)
og P( A
B)
P(
A)
P(
B | A)
gir Bayes’ setning:
P(
B)
P(
A)
P(
B | A)
P(
A | B)
P(
B)
P(
B | A)
P ( A|
B)
!
NB: Bayes setning er svært viktig når dere kjenner og skal finne
1.8 – Sannsynlighetsfordeling: Ei sannsynlighetsfordeling er en totalbeskrivelse av en
situasjon, der summen alltid vil være 1 eller 100 %.
4
27/8
30/8
3/9
3/9
6/9

Oppgaver Innhold Dato
1.45, 1.46 1.9 – Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling: Denne fordelinga gjelder når vi ikke har
tilbakelegging! Vi skal for eksempel velge ut elementer fra to delmengder av en mengde.
Utvalget er uordna. Altså:
En mengde med n elementer består av ei gruppe med a og en med b elementer: a b n
5
.
Vi skal i alt velge ut r elementer, x av dem skal være av de a og resten, r – x fra de b
elementene. Sannsynligheten for at x skal være fra a – og resten fra b – er hypergeometrisk:
a
b
x
r
x
. Utfra denne skal du kunne sette opp sannsynligheten for å få 7 rette i Lotto:
n
r
Prøv!
Formelen gjelder også dersom du har flere enn to delmengder!
TI-nspire har ingen egen hypergeometrisk fordeling. Men det er jo enkelt å skrive inn hele
formelen: ncr(a,x)*ncr(b,r-x)/ncr(n,r). Og det er jo ingen ting i veien for å føye til flere
faktorer i teller.
Og TI-nspire kan summere opp ei fordeling. Finn summetegnet fra og bruk det slik:
.
Forts.: Excel kan hypergeometrisk fordeling! Og det fine med Excel er at du enkelt og greit kan sette
opp mange tilsvarende utregninger, for eksempel en full oversikt over ei fordeling, i en
tabell: Formler – Sett inn funksjon – Statistisk – Hypgeom.fordeling: Utvalg_s – Så mange du
skal plukke ut av den ene delmengden, for eksempel 5 rette i lotto. Utvalgsstørrelse – så
mange du totalt skal plukke ut, 7 tall i lotto. Suksesser – så mange det fins i alt i denne
delmengden, 7 tall i lotto. Populasjonsstørrelse – den totale populasjonen, 34 i lotto. Det
går an å skrive inn formelen direkte i Excel: =HYPGEOM.FORDELING(5;7;7;34). Uttrykket
ovafor blir slik i Excel: =HYPGEOM.FORDELING(x;r;a;n).
1.47, 1.48 1.10 – Binomisk sannsynlighetsfordeling: Denne fordelinga gjelder også uordna utvalg, men
med tilbakelegging. Bi- betyr 2, og en binomisk fordeling gjelder når det bare fins to mulige
utfall. Forsøkene skal være uavhengige (tilbakelegging), og sannsynligheten for utfallet er p.
Den andre sannsynligheten blir dermed 1 – p. Binomisk sannsynlighet for x av de n er da:
n
x
nx
P(
X x)
p p
x
( 1 ) . Med denne kan dere lett sette opp sannsynligheten for å få
12, 11 eller 10 rette i fotballtipping – dersom alle utfall er like sannsynlige. (Slik er det ikke
alltid i fotball, sjøl om det av og til kan virke sånn…)
TI-nspire er flink med binomisk fordeling – og en del andre som vi ikke skal møte. -
Fordelinger – Binomisk Pdf: I vinduer får du beskjed om å taste inn Ant. tester, n, Suksesssanns.,
p og X-verdi. Men det går an å skrive direkte: binompdf(n,p,x).
Legg også merke til - Fordelinger – Binomisk Cdf: Her kan du summere deler av ei
fordeling, der x går fra en nedre grense til en øvre: binomcdf(n,p,x1,x2).
Statistikkverktøy finner du ellers fra i TI-nspire.
Legg også merke til at du sjøl kan summere ved hjelp av summetegnet som du finner fra
:
Skal du summere formelen ovafor fra x1 til x2, blir det slik:
Excel har også verktøyet: =BINOM.FORDELING(1;5;1/6;USANN) sannsynligheten for å få 1
1 4
5
1 5
sekser i 5 kast med terning, altså
1
. USANN betyr at den ikke skal summeres.
6 6
=BINOM.FORDELING(1;5;1/6;SANN) er summert, dvs. sannsynligheten for 0 eller 1 sekser!
6/9
7/9
10/9

Oppgaver Innhold Dato
1.49, 1.50,
1.51, 1.52,
1.53, 1.54,
1.55
1.56,1.57
(U)
1.58, 1.59
(P)
1.11 – Pascals talltrekant: Pascals talltrekant stammer egentlig fra kvadratsetningene og
tilsvarende kubikksetninger og høgere grad. Men det fins mange andre sammenhenger den
kan brukes i. begynnelsen ser slik ut, prøv å fortsette den sjøl!
1
Brukt på femtepotenssetninga:
Forts.: Dette er også koeffisientene i binomialformelen:
0
0
1
0
2
0
2
1
3
0
3
1
4
0
4
1
4
2
5
0
5
1
5
2
6
0
6
1
6
2
6
3
7
0
7
1
7
2
7
3
1.60, 1.61,
1.62
1
1
7
1
6
1
5
21
1
4
15
1
3
10
35
6
1
2
6
20
1
3
10
35
1
4
15
1
5
21
5 5 4 3 2 2 3 4 5
( a b)
a 5a
b 10a
b 10a
b 5ab
b
1.12 – Sammensatte eksempler: Her møter dere ei større oppgave som tar for seg mange av
teknikkene dere har lært i kapitlet. Det er viktig å se sammenhenger når dere lærer noe,
kanskje spesielt i matematikk der alt bygger på noe dere har lært tidligere! Prøv dere på
oppgavene!
Sammendrag av kapitlet - side 34 (Bok R1): Dette er stoff som passer på en huskelapp for kapittel 1.
Test deg selv - side 35 (Bok R1): Utfør testen på egen hand en stille ettermiddag. Deretter retter du
utfra løsningene på side 253 - 264. Klarer du halvparten, har du såvidt klart en 3er! En tredel gir deg
ståkarakter og fire femdeler er en 5er!
Øvingsoppgavene til kapitlet - side 36 - 49 (Bok R1): Fasit side 285 - 290.
Innføring til kapitlet: 1.139, 1.140 og 1.147 Kan dere prøve å levere digitalt i Fronter? 20/9
Prøve i kapitlet:
1
1
3
2
5
3
7
4
2
2
4
3
6
4
3
3
5
4
7
5
4
4
6
5
1
6
5
5
7
6
1
7
1
6
6
1
7
7
13/9
13/9

7
Tommy & Tigern, bind 2, side 112, nederst
23. september 2010 Thor & Hans