EKSAMEN I MEKANIKK Fagkode - Høgskolen i Narvik - hovedside

HØGSKOLEN I NARVIK
Institutt for Bygg- drifts- og konstruksjonsteknikk
Studieretning: Allmenn Maskin
Studieretning: Allmenn Bygg
EKSAMEN
I
MEKANIKK
Fagkode: ILI 1439
Tid: 06.06.02, kl. 0900 - 1400
Tillatte hjelpemidler: B2: Godkjent programmerbar kalkulator med tomt minne.
Jarle Johannesen: Tekniske tabeller.
Eksamen består av 7 oppgaver og er i alt på 9 sider inkl. forside og formelvedlegg.
Oppgavene gir følgende poeng. Oppgave 3: 4 poeng. Alle øvrige oppgaver: 2 poeng.
Vedleggene utgjør sidene 5 - 9
Faglærer: Roar Andreassen

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2002
Side 2av9
Oppgave 1
a) To staver AB og BC danner en vinkel på 60°, sefiguren.Alle
ledd er friksjonsfrie. En vertikal kraft på 300 kN angriper i B.
Beregn stavkreftene.
A
F=20 kN q= 4kN/m
Figur oppgave 1b)
30°
B C
2 2 2
b) En bjelke er fast innspent i A og hviler på et forskyvelig boltelager i C. I B er det et ledd.
Bjelken er belastet med en kraft F = 20 kN og en jevnt fordelt last q = 4 kN/m, se figuren.
Beregn kraften i leddet samt alle opplagerreaksjonene.
Oppgave 2
En kabel spennes opp mellom en
betongblokk A og en trinse B med
strammekraften S. Kabelen strammes til
pilhøyden f = 8 m. Kabelens tyngde er
q = 160 N/m regnet horisontalt. Avstanden
mellom A og B er 70 m horisontalt og 50
mvertikalt.
a) Beregn maksimalt kabelstrekk.
b) Beregn nødvendig tyngde av
betongblokken A for at den ikke skal
gli, når friksjonskoeffisienten mot
underlaget er μ= 0,4 .
[m]
μ= 0,4
A
Figur oppgave 2
1f
70
A
C
60°
Figur oppgave 1a)
B
50
[m]
B
S

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2002
Side 3av9
Oppgave 3
En fritt opplagt bjelke AB er belastet med
en jevnt fordelt last q =12kN/mogen
punktlast F = 30 2 kN/m (≈ 42,4 kN).
Lastene er plassert som vist på figuren.
Opplagerreaksjonene i y-retningen oppgis:
A = 20 kN og B = 46 kN
y
a) Tegn diagrammer for skjærkraft (V),
bøyemoment (M)ognormalkraft(N), og
vis således at det maksimale
bøyemomentet er 56,7 kNm.
Bjelken er bygget opp av 2 stk trelekter,
68 x 68 mm som er limt til en plate med
høyde 300 mm og tykkelse 23 mm. Se
figuren.
b) Beregn annet arealmoment og de
ekstremale spenningene i bjelkens
lengderetning.
c) Beregn maksimal akseparallell
skjærkraft i limskjøten.
Oppgave 4
En fritt opplagt stålbjelke belastes med to
punktlaster som vist på figuren. Bestem nødvendig
annet arealmoment for at nedbøyningen på midten
ikke skal overskride 15 mm. E-modulen for stål er
210 GPa.
q=12 kN/m
Oppgave 5
Et tynnvegget rør utsettes for et indre overtrykk på 5 MPa, kombinert med et torsjonsmoment
på 1 kNm. Anta at det er plan spenningstilstand. Betrakt et materialelement i røret og beregn
hovedspenningene. Røret har følgende dimensjoner: Veggtykkelse t =2mm,radiusr =50
mm.
A
F = 30 2 kN
45°
2 3 1 [m]
Lim
Figurer oppgave 3
23
300
Figur oppgave 4
68 x 68
68 x 68
100 kN 100 kN
5 7 10
B
[m]

HiN Eksamen i Mekanikk ILI 1439 6. juni 2002
Side 4av9
Oppgave 6
En damluke med bredde 2 meter og høyde 5 meter er
hengslet i en aksel gjennom punkt P.
a) Vannet står slik at neddykket areal er 2 x 2 m.
Beregn resultantkraftens moment om akselen
gjennom punkt P.
b) Vannet stiger og luken skal utløses når vannet når
et visst nivå. I denne sammenhengen er det
ønskelig å finne momentet som funksjon av
vanndyp. Finn et regneuttrykk for momentet av
resultantkraften om akselen gjennom P som
funksjon av vanndypet h.
Oppgave 7
A
P
Figur oppgave 7
l = 100 m
λ=0,03
d =50 mm
d =100mm
F
En pumpe P skal løfte vann fra reservoar A til reservoar B. Pumpen har en løftehøyde på 50 m
vannsøyle. Ledningen inn til pumpen har diameter 100 mm, Ledningen fra P til B er 100 m
lang, har diameter 50 mm og en friksjonskoeffisient på 0,03. Det ses bort fra friksjonstapet i
ledningen fra A til P.
a) Beregn hvor mange liter vann per sekund pumpen kan levere til B.
b) Det skal monteres et filter F, på inntaksledningen til pumpen. Det finnes filtre av
mange typer med sterkt varierende tapskoeffisienter og med tilkobling for 100 mm rør.
Beregn tillatt tapskoeffisient for F, når det kreves at pumpeledningen leverer 4,5 liter
vann pr. sekund til B.
B
5
M
[m]
2
P
Figur oppgave 6
30
b =2m
h
1

HØGSKOLEN I NARVIK, side 5av9
Formler for mekanikk
1. Tverrsnittsstørrelser
Flatesenter, tyngdepunkt
Generelt, flatesenteravstand fra akse L
SL
r = , SL
= rdA
A
∫
A
SL: arealmoment (statisk moment) om L
Flater som kan deles opp:
∑ ,
x =
xi
⋅ Ai
A
S x
=
A
y =
∑
Annet arealmoment (treghetsmoment)
∫
Generelt I = r dA ,
L
A
2
der r er avstand til akse L
yi
⋅ Ai
S y
=
A A
Annet arealmoment om akse gjennom flatesenteret:
Rektangel:
3
BH
I 0 = , H ⊥ aksen
12
Sirkel:
Sirkulær ring:
4
πd
I 0 =
64
4 4
π(
d y − d i )
I 0 =
64
B, H: Bredde, høyde
d: diameter
r: radius
t: tykkelse
y,i: (indeks) ytre, indre
Steiners setning:
2
I'= I + b A,
b: avstand til ny akse.
0
2. Fra plane kraftsystemer
Maksimal friksjon R = μN
Pilhøyde, forenklet kabel
2
qL
f =
8S0
μ: Friksjonskoeffisient N: Normalkraft
q: Horisontalt fordelt last L: Horisontal lengde
S Horisontalstrekk
0
3. Fasthetslære
Δl
Generelt: ε = , σ = E ⋅ ε
l
Spenninger i tynne vegger:
Sirkulærsylindrisk trykktank:
pr
pr
Tangensialt: σ θ = , aksialt: σ z =
t
2t
T
Skjærspenning i rør med torsjon: τ= 2
2πrt
Den elastiske linje
dV
dx
= −q,
dM
dx
= V ,
2
d u M ( x)
=
2
dx EI
Den enkle bjelketeori, små tøyninger
M N
σ = y +
A
I0
V
Akseparallell skjærkraft K = ⋅ S'
I
Skjærspenning (jevnt fordelt)
0
0
K
τ =
b
Tangentrotasjon
L
1
Δϕ = M( x) dx=
EI EI
AM
0 0
0
Tangentavsett
L
1
ν= ( L−x) M( x) dx ∫ EI0
0
AM( L−x) =
EI0
M(x) er bøyemoment som funksjon av x
AM er arealet av krumningsflaten (under momentkurven).
x angir senteret i krumningsflaten.
Knekklast, Eulerteori
p: Trykk
T: Torsjonsmoment
r: Radius
t: Veggtykkelse
x: Bjelkens
lengdekoordinat
q: Lastintensitet
V: Skjærkraft
M: Bøyemoment
u: Nedbøyning
E: Elastisitetsmodul
σ: Normalspenning
∫
P
E
π
=
EI
2
0
2
Lk
τ: Skjærspenning
y: Bjelkens
høydekoordinat
N: Normalkraft
A: Tverrsnittsareal
S’: Arealmoment av
betraktet delflate
b: Tverrsnittstykkelse
L: Lengde
LK: Knekklengde

HØGSKOLEN I NARVIK, side 6av9
Formler for mekanikk
4. Spenningsanalyse
Hovedspenninger.
Et snitt i en materialpartikkel roteres slik at
skjærspenningene i snittplanet får verdien null. Da vil
normalspenningene på snittplanet oppnå
ekstremalverdier. Disse kalles hovedspenninger.
Plan spenningstilstand
har vi når det finnes ett spenningsfritt plan. Ved plan
spenningstilstand finnes det to hovedspenninger.
Normalspenning som funksjon av snittvinkel
σ x + σ y σ x − σ y
σ( φ)
= + cos 2φ
+ τ xy sin 2φ
2 2
Skjærspenning
σ x − σ y
τ( φ)
= sin 2φ
− τ xy cos 2φ
2
Hovedspenningsretningene
2τxy
π
tanφ1, 2 = , φ2
= φ1
+
σ − σ
2
Hovedspenningene
σ
1,
2
σ
=
x
+ σ
2
x
y
±
y
σ − σ ⎛
⎜
⎝
x,y: Koordinater
φ: Snittets dreiningsvinkel
5. Inkompressible fluider
x
2
y
⎞
⎟
⎠
2
+ τ
2
xy
1,2: Indeks, for hhv. 1. og
andre hovedspenning
Hydrostatikk
Trykk som følge av væskesøyle
p = ρgh
Trykkresultantens angrepspunkt på neddykket flate
I 0
p =ρ gh, e =
Ay
h: Dyp h : Flatesenterets dyp.
A: Flatens areal
y : Avstand fra overflaten til flatesenter i flatens
retning
e: Avstand fra flatesenter til trykksenter
Væskestrømning
Bernoullis ligning på høydeform med pumpe- og
friksjonsledd. Fra sted 1 til sted 2
2
2
v1
v2
z 1 + h1
+ + h p = z2
+ h2
+ +
2g
2g
Volumstrøm Q = vA
Tap i rør h f
l v
= λ ⋅
d 2g
Ved vilkårlig tverrsnittsform
2
h
m
Singulærtap
l l
erstattes med
d 4R
,der
h s
2
v
= C
2g
h = h + h
Samlet tap m f s
Strømning i åpen renne, helningsvinkel α
λ U v
sin α = ⋅ ⋅
4 A 2g
∑ ∑
2
A
R =
U
Effektbehov pumper
γ ⋅Q⋅hp Q ⋅ h p p
P = , evt. P = [kW]
η
102
Reaksjonskraft
R =ρ Qv R =ρQ v − v
z: stedshøyde
h: trykkhøyde
v: hastighet
g: tyngdens
akselerasjon
hm: tapshøyde
λ: motstandstall
A: tverrsnittsareal
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ η
( )
1 2
l: rørlengde
d: diameter
U: fuktet omkrets
C: tapskoeffisient
p: (indeks) verdi i
pumpe
1,2: (Indeks) for hhv. sted
og sted 1.

HØGSKOLEN I NARVIK, side 7av9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 8av9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 9av9
Formler for mekanikk
L
b ≤
2