Ekstraord. 2001 - Høgskolen i Narvik - hovedside

HØGSKOLEN I NARVIK
Teknologisk Avdeling
Studieretning: Allmenn Maskin
Studieretning: Allmenn Bygg / Miljøteknikk
Ekstraordinær
EKSAMEN
I
MEKANIKK
Fagkode: ILI 1439
Tid: 07.08.01, kl. 0900 - 1400
Tillatte hjelpemidler: B2: Godkjent programmerbar kalkulator med tomt minne.
Jarle Johannesen: Tekniske tabeller.
Eksamen består av 6 oppgaver og er i alt på 9 sider inkl. forside og formelvedlegg.
Oppgavene gir følgende poeng. Oppgave 1 og 2: 3 poeng. Oppgave 3 og 6: 5 poeng.
Oppgave 4 og 5: 2 poeng. Sum 20 poeng.
Vedleggene utgjør sidene 5 - 9
Faglærer: Roar Andreassen og Kjell Karoliussen

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439
Side 2av9
Oppgave 1
En bjelke er fast innspent i A og hviler i C på
et forskyvelig boltelager. Den er belastet med
en skrå kraft i enden, D. I punkt B er det et
bolteledd.
a) Bestem boltekraften i B.
b) Finn opplagerreaksjonene.
Oppgave 2
Figuren viser en leddet konstruksjon som
består av delene AB, ACD og BCE. Bemerk
at bla. følgende trekanter er rettvinklede:
ABC, ABE og ABD.
a) Bestem opplagerraksjonene samt
leddkreftene i B og C.
b) DelABskalutføresistålbjelkerHE
100A eller HE 140A. Disse har følgende
annet arealmomenter:
I
I
x
y
HE 100A HE 140A
−6
= 3, 49⋅10 4
m I x
−
= 10,3 ⋅10
m
−6
= 1,34⋅10 4
m I
−
= 3,89⋅10 m
y
6 4
6 4
Kontroller hvilke(n) av disse som kan
benyttes for AB med hensyn til knekking.
Utregningene skal vises!
Stål har E-modul 210 GPa.
A B
Hvis du ikke har funnet den kraften som skal benyttes i kontrollen, vil det bli godtatt at du
antar en verdi, f.eks. 100 kN.
8
E
45°
C
F = 35 kN
1 2 1,5 [m]
D
A B
C
[m]
6
D
100 kN

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439
Side 3av9
Oppgave 3
En bjelke ABC er belastet med en
vertikal last F 1 = 10 kN 3 meter fra A
og en horisontal last F 2 = 5kNi
punkt D, som befinner seg på en stiv
utstikker, se figuren.
a) Tegn diagrammer for skjærkraft, bøyemoment og
normalkraft. Vis således at det maksimale bøyemomentet
er M b = 15 kNm
b) Den horisontale bjelken ABC er utført i I-profil med mål
som vist på figuren ved siden av. Vis at annet arealmoment
6
er 6,7 10 −
⋅ m 4 .
c) Beregn ekstremale spenninger i flensene.
d) Beregn den maksimale skjærspenningen i steget.
Oppgave 4
En kloss med høyde 2a og bredde a står på et
underlag med friksjonskoeffisient μ= 0,2 .
En kraft F angriper i punkt A med retning
45° oppover, se figuren. Denne kraften økes
til klossen enten velter eller glir med jevn
fart.
a) Avgjør om klossen velter. Svaret skal
begrunnes med beregninger.
b) Bestem den største friksjonskoeffisienten
som klossen kan ha mot underlaget uten
åvelte.
A
F1 2
B C
3 4 1
2a
1
100
D
100
[mm]
G
A
1a
μ
F
[m]
8
45°
10
10
F
1

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439
Side 4av9
Oppgave 5
Figuren viser en statisk ubestemt bjelke. Bestem
opplagerreaksjonene ved å kombinere passende
bøyeformler.
Oppgave 6
Kote 100
A
P
Kote 50
LAB =2000m B
Renne C
Vann skal ledes fra vannet A til bassenget B via ledningen AB. Herfra ledes vannet i en renne
BC. Ledningen og renna har friksjonskoeffisient λ = 0,02. Ledningen AB har lengden
LAB = 2000 m. Singulærtap ved innløp og ved pumpen settes lik null. Hastighetshøyden v 2 /2g
settes også lik null.
a) Hvilken diameter må ledningen AB ha for å levere 50 l/s.
b) Det blir montert en pumpe P på ledningen ved vannet A. Pumpen står 3m fra vannet.
Pumpen har en løftekapasitet på 25 m v s. Hvor mye vann kan nå leveres til bassenget
B. Benytt diameteren du beregnet under a. Dersom du ikke fant noen diameter under a,
kan du her benytte D = 180 mm .
c) Vannet ledes fra bassenget B til en renne. Rennen er utformet som en halvsirkel og har
et fall på 1:20. Hvor stor må diameteren i rennen minst være for at rennen skal kunne
lede 50 l/s.
A
F
L 2L
3 3
1 1
B

HØGSKOLEN I NARVIK, side 5av9
Formler for mekanikk
1. Tverrsnittsstørrelser
Flatesenter, tyngdepunkt
Generelt, flatesenteravstand fra akse L
SL
r = , SL
= rdA
A
∫
A
SL: arealmoment (statisk moment) om L
Flater som kan deles opp:
∑ ,
x =
xi
⋅ Ai
A
S x
=
A
y =
∑
Annet arealmoment (treghetsmoment)
∫
Generelt I = r dA ,
L
A
2
der r er avstand til akse L
yi
⋅ Ai
S y
=
A A
Annet arealmoment om akse gjennom flatesenteret:
Rektangel:
3
BH
I 0 = , H ⊥ aksen
12
Sirkel:
Sirkulær ring:
4
πd
I 0 =
64
4 4
π(
d y − d i )
I 0 =
64
B, H: Bredde, høyde
d: diameter
r: radius
t: tykkelse
y,i: (indeks) ytre, indre
2. Friksjonskraft
Maksimal friksjon R = μN
μ: friksjonskoeffisient N: normalkraft
3. Fasthetslære
Den elastiske linje
dV
=− q, dx
dM
= V,
dx
2
d u M ( x)
=− 2
dx EI0
Den enkle bjelketeori, små tøyninger
Δl
ε = ,
l
σ = E ⋅ ε
M N
σ = y +
A
I0
V
Akseparallell skjærkraft K = ⋅ S'
I
Skjærspenning, tynne tverrsnitt
0
K
τ =
b
Tangentrotasjon
L
1
Δϕ = M( x) dx=
EI EI
AM
0 0
0
Tangentavsett
L
1
ν= ( L−x) M( x) dx ∫ EI0
0
AM( L−x) =
EI0
M(x) er bøyemoment som funksjon av x
AM er arealet av krumningsflaten (under momentkurven).
x angir senteret i krumningsflaten.
Knekklast, Eulerteori
∫
P
E
π
=
EI
2
0
2
Lk
4. Spenningsanalyse
Hovedspenninger.
Et snitt i en materialpartikkel roteres slik at
skjærspenningene i snittplanet får verdien null. Da vil
normalspenningene på snittplanet oppnå
ekstremalverdier. Disse kalles hovedspenninger.
Plan spenningstilstand
har vi når det finnes ett spenningsfritt plan. Ved plan
spenningstilstand finnes det to hovedspenninger.
Normalspenning som funksjon av snittvinkel
σ x + σ y σ x − σ y
σ( φ)
= + cos 2φ
+ τ xy sin 2φ
2 2
Skjærspenning
σ x − σ y
τ( φ)
= sin 2φ
− τ xy cos 2φ
2
Hovedspenningsretningene
2τxy
π
tanφ1, 2 = , φ2
= φ1
+
σ − σ
2
Hovedspenningene
σ
1,
2
σ
=
x
+ σ
2
x
y
±
y
⎜
⎝
x: bjelkens
lengdekoordinat
q: lastintensitet
V: skjærkraft
M: bøyemoment
u: nedbøyning
E: elastisitetsmodul
σ: normalspenning
τ: skjærspenning
y: bjelkens
høydekoordinat
N: normalkraft
σ − σ ⎛
x
2
y
⎞
⎟
⎠
2
+ τ
2
xy
A: tverrsnittsareal
S’: arealmoment av
betraktet delflate
b: tverrsnittstykkelse
L: lengde
LK: knekklengde
x,y: koordinater
φ: snittets dreiningsvinkel
1,2: indeks, for hhv. 1. og
andre hovedspenning

HØGSKOLEN I NARVIK, side 6av9
Formler for mekanikk
5. Inkompressible fluider
Hydrostatikk
Trykk som følge av væskesøyle
p = ρgh
Trykkresultantens angrepspunkt på neddykket flate
J x J 0
a = , e =
S x S x
h: dyp
Jx: annet arealmoment om akse i overflaten
Sx: arealmoment om akse i overflaten
a: avstand fra overflaten
e: avstand fra flatesenter
Væskestrømning
Bernoullis ligning på høydeform med friksjonsledd. Fra
sted 1 til sted 2
2
v1
z 1 + h1
+ + h p
2g
2
v2
= z2
+ h2
+ + hm
2g
Volumstrøm Q = vA
Tap i rør h f
2
l v
= λ ⋅
d 2g
Ved vilkårlig tverrsnittsform
erstattes
l
med
d
U
l ;R=A/U
4A
Singulærtap
2
v
hs = C
2g
Strømning i åpen renne, helningsvinkel α
λ U v
sin α = ⋅ ⋅
4 A 2g
Effektbehov pumper
Qp ⋅ hp
P = [kW]
102η
Reaksjonskraft
R =ρ Qv R =ρQ v − v
z: stedshøyde
h: trykkhøyde
v: hastighet
g: tyngdens
akselerasjon
hm: tapshøyde
λ: motstandstall
2
( )
1 2
A: tverrsnittsareal
l: rørlengde
d: diameter
U: fuktet omkrets
C: tapskoeffisient
p: (indeks) verdi i
pumpe

HØGSKOLEN I NARVIK, side 7av9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 8av9
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 9av9
Formler for mekanikk