Ekstraord. 2003 - Høgskolen i Narvik - hovedside

HØGSKOLEN I NARVIK
Institutt for Bygg- drifts- og konstruksjonsteknikk
Studieretning: Industriteknikk (Allmenn Maskin)
Studieretning: Allmenn Bygg
E K S T R A O R D I N Æ R
E K S A M E N
I
MEKANIKK
Fagkode: ILI 1439
Tid: 11.08.03, kl. 0900 - 1400
Tillatte hjelpemidler: Lærebøkene Irgens: Statikk og Irgens: Fasthetslære
Godkjent programmerbar kalkulator med tomt minne.
Eksamen består av to deler:
Alle kandidatene skal først regne mest mulig av del 1 med oppgavene 1, 2, 3, 4 og
5, som har vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for faget.
Del 2 består av oppgavene 6, 7, 8 og 9, og har høyere vanskelighetsgrad.
Vedleggene utgjør sidene 6 - 10
Faglærer: Roar Andreassen

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. 2003
Side 2 av 10
Oppgaver del 1. Oppgaver med vanskelighetsgrad på grunnleggende nivå for
faget
Oppgave 1
En konstruksjon ABCD er støpt fast i underlaget i punkt A. 3 meter til høyre for A virker en
vertikal last på 50 kN. Finn opplagerreaksjonene som virker i punkt A.
Oppgave 2
En kabel er opphengt i boltene A og B. Man skal regne med at kabelens tyngde er jevnt
fordelt i horisontal retning med q = 150 N/m . Den horisontale avstanden mellom A og B er
50 meter. B ligger 10 meter høyere enn A. Pilhøyden er f = 14 m.
a) Beregn det horisontale strekket i kabelen
b) Beregn så de vertikale opplagerreaksjonene y A og B y samt den maksimale
A
boltekraften.
D
B C
3 m
Figur oppgave 1
50 kN
A
q = 150 N/m
1
f
50 1m
Figur oppgave 2
Oppgave 3
En fast innspent bjelke med lengde 5 meter er belastet med en jevnt fordelt last over en
strekning på 3 meter, se figuren. Det oppgis at innspenningsmomentet i punkt A har
absoluttverdi 52,5 KNm.
a) Tegn skjærkraft- og momentdiagram. Karakteristiske verdier skal angis.
b) Benytt en passende formel og beregn maksimal nedbøyning. E-modulen er 210 GPa
−4
4
og annet arealmoment for bjelketverrsnittet er I = 510 ⋅ m .
Oppgave 4
En bjelke har tverrsnitt som vist på figuren.
a) Vis ved utregning at nøytralaksen ligger ca 25,4 mm fra bjelkens underkant.
b) Beregn annet arealmoment (treghetsmomentet) for bjelketverrsnittet.
Belastningen på bjelken fører til at det i et gitt snitt virker et bøyemoment på 0,6 kNm .
c) Beregn bøyespenningene i ytterste fiber, øverst og nederst på bjelken.
B
1
10 m

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. 2003
Side 3 av 10
A
q = 5 kN/m
2 3
Figur oppgave 3
Oppgave 5
En vannledning skal føre vann
fra et reservoar A til et
forbrukssted B, som ligger 50
meter lavere. Vannledningen er
200 meter lang og har diameter
30 mm. Motstandstallet for
rørfriksjon er λ= 0,025 .
Finn volumstrømmen Q når det
er fritt utløp ved B.
B
A
15
Figur oppgave 5
60
10 10
[mm]
Figur oppgave 4
l = 200 m
λ= 0,025
d = 30 mm
=================================================
40
B
50

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. 2003
Side 4 av 10
Oppgaver del 2. Oppgaver med høyere vanskelighetsgrad
Oppgave 6
En konstruksjon består av bjelkene ABC
og DEF samt aksialstavene BE og CF.
Konstruksjonen er opplagret i boltelagrene
A og D. I leddet C virker det en vertikal
kraft på 10 kN.
Beregn kreftene i aksialstavene BE og CF.
A
1
B
F = 12 kN
2 4
Figur oppgave 7, bjelke med last.
2
q = 6 kN/m
D E F
A B
1 2 2
C
Figur oppgave 6
[m]
190
200
6,5
x x
[mm]
Figur oppgave 7
Tverrsnitt HE200A
10
C
10 kN
Oppgave 7
En bjelke AC er belastet med en horisontal kraft F = 12 kN som virker på en stiv utstikker
samt en jevnt fordelt last på 6 kN/m over en del av bjelken, se figuren. Bjelken er fritt
opplagret, det er forskyvelig boltelager i A
a) Finn opplagerreaksjonene og tegn diagrammer for skjærkraft, bøyemoment og
normalkraft.
Bjelken utføres i HE200A profil med mål som vist på figuren. Profilets tverrsnittskonstanter
3 2 6 4
er: Tverrsnittsareal A = 5,38⋅10 mm , annet arealmoment I = 36,9 ⋅10
mm og
3 3
arealmoment for det halve tverrsnittet S x = 215⋅10 mm .
b) Beregn maksimal strekkspenning og trykkspenning i bjelkens lengderetning samt
maksimal skjærspenning i steget.
x

HiN Ekstraordinær eksamen i Mekanikk ILI 1439 aug. 2003
Side 5 av 10
Oppgave 8
En fritt opplagt bjelke ABC med overheng er belastet av
to krefter som begge har størrelsen F. Den ene virker
midt mellom A og B, og den andre virker i enden, C.
Benytt passende formler og beregn forskyvningen av
punktet midt mellom A og B.
Oppgave 9
I et prosessanlegg skal væske sirkuleres ved
hjelp av pumpen P fra et reservoar A
gjennom en reaktor R og tilbake til A. En
strupeventil V, som befinner seg 8 meter
lavere enn vannoverflaten i reservoaret A,
reguleres slik at trykket ved utløpet av
reaktoren er p = 2 bar (relativt). Det er
ubetydelig avstand mellom reaktoren og
ventilen.
3
Væskens tetthet er ρ= 1000 kg/m .
5
1 bar = 10 Pa .
Rørlengdene er l1 = 20 m og l 2 = 25 m . Alle
rør har diameter 50 mm og
rørfriksjonsfaktoren er λ = 0,025.
Væskestrømmen skal være 8 liter pr sekund.
8 m
1
V
R
A B
F F
L L
12 12 L
1
Figur oppgave 8
A
p=2 bar
C = 3
l = 25 m
Figur oppgave 9
Beregn nødvendig pumpehøyde og nettoeffekt for pumpen. Rørledningen fra V til A er
tilstrekkelig kort til at det ikke virker inn på beregningen.
2
1
P
C
l = 20 m

HØGSKOLEN I NARVIK, side 6 av 10
Formler for mekanikk
1. Tverrsnittsstørrelser
Flatesenter, tyngdepunkt
Generelt, flatesenteravstand fra akse L
SL
r = , SL
= ∫ rdA
A
A
Den elastiske linje for en bjelke
dV
dx
= −q,
dM
dx
= V ,
2
d u M ( x)
=
2
dx EI
SL: arealmoment (statisk moment) om L Den enkle bjelketeori, små tøyninger
Bøyespenning
M
I0 y σ=
Flater som kan deles opp:
∑ xi
⋅ Ai
S x
x = = ,
A A
∑ yi
⋅ Ai
y =
A
S y
=
A
Normalspenninger
M N
σ = y +
A
Annet arealmoment (treghetsmoment)
Generelt I = dA ,
L
∫
A
r 2
der r er avstand til akse L
Annet arealmoment om akse gjennom flatesenteret:
Rektangel:
Sirkel:
Sirkulær ring:
B, H: Bredde, høyde
d: diameter
r: radius
t: tykkelse
y,i: (indeks) ytre, indre
3
BH
I 0 = , H ⊥ aksen
12
I
I
0
0
4
πd
=
64
4
π d y − d
=
64
4 ( )
i
I0
V
Akseparallell skjærkraft K = ⋅ S'
I
Skjærspenning (jevnt fordelt)
0
0
K
τ =
b
Tangentrotasjon
L
1
∆ϕ = M( x) dx
EI ∫ =
EI
AM
0 0
0
Tangentavsett
L
1
ν= ( L−x) M( x) dx
EI ∫
0 0
AM( L−x) =
EI0
M(x) er bøyemoment som funksjon av x
AM er arealet, regnet med fortegn, av krumningsflaten
(under momentkurven).
Steiners setning: x angir senteret i krumningsflaten.
I ' I b
2
= 0 + A, b: avstand til ny akse.
2. Fra plane kraftsystemer
Maksimal friksjon R = µ N
Pilhøyde, forenklet kabel
2
qL
f =
8S
µ: Friksjonskoeffisient N: Normalkraft
q: Horisontalt fordelt last L: Horisontal lengde
S Horisontalstrekk
0
3. Fasthetslære
∆l
Generelt: ε = , σ = E ⋅ ε
l
Spenninger i tynne vegger:
Sirkulærsylindrisk trykktank:
Tangensialt:
pr
pr
σ θ = , aksialt: σ z =
t
2t
T
τ=
2πrt
Skjærspenning i rør med torsjon: 2
0
Knekklast, Eulerteori
p: Trykk
T: Torsjonsmoment
r: Radius
t: Veggtykkelse
x: Bjelkens
lengdekoordinat
q: Lastintensitet
V: Skjærkraft
M: Bøyemoment
u: Nedbøyning
E: Elastisitetsmodul
σ: Normalspenning
P
E
π
=
EI
2
0
2
Lk
τ: Skjærspenning
y: Bjelkens
høydekoordinat
N: Normalkraft
A: Tverrsnittsareal
S’: Arealmoment av
betraktet delflate
b: Tverrsnittstykkelse
L: Lengde
LK: Knekklengde

HØGSKOLEN I NARVIK, side 7 av 10
Formler for mekanikk
4. Spenningsanalyse
Hovedspenninger.
Et snitt i en materialpartikkel roteres slik at
skjærspenningene i snittplanet får verdien null. Da vil
normalspenningene på snittplanet oppnå
ekstremalverdier. Disse kalles hovedspenninger.
Plan spenningstilstand
har vi når det finnes ett spenningsfritt plan. Ved plan
spenningstilstand beregnes to hovedspenninger.
Tap i rør h f
l v
= λ ⋅
d 2g
Ved vilkårlig tverrsnittsform
l
erstattes
d
l A
med , der R =
4R
U
Singulærtap
h s
2
v
= C
2g
h = h + s h
Samlet tap m f
2
∑ ∑
Normalspenning som funksjon av snittvinkel Strømning i åpen renne, helningsvinkel α
σ x + σ y σ x − σ y
σ( φ)
= + cos 2φ
+ τ xy sin 2φ
2 2
Skjærspenning
2
λ U v
sin α = ⋅ ⋅
4 A 2g
σ x − σ y
τ( φ)
= sin 2φ
− τ xy cos 2φ
2
Hovedspenningsretningene
2τxy
π
tan φ1,
2 = , φ2
= φ1
+
σx
− σ y
2
Hovedspenningene
Effektbehov pumper
γ⋅Q⋅hp P = γ⋅Q⋅ hp,
Pbrutto
=
η
ρ: densitet
λ: motstandstall
γ: spesifikk tyngde A: tverrsnittsareal
σx
+ σ y
σ 1,
2 = ±
2
2
⎛ σx
− σ y ⎞ 2
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
+ τxy
⎝ ⎠
z:
h:
v:
stedshøyde
trykkhøyde
hastighet
l: rørlengde
d: diameter
U: fuktet omkrets
g: tyngdens
C: tapskoeffisient
x,y: Koordinater 1,2: Indeks, for hhv. 1. og
akselerasjon 1,2: (Indeks) for hhv. sted
φ: Snittets dreiningsvinkel
andre hovedspenning hm:
hp:
tapshøyde
pumpehøyde
og sted 1.
5. Inkompressible fluider
Hydrostatikk
Trykk som følge av væskesøyle
p =ρ gh =γ h
Trykkresultantens angrepspunkt på neddykket flate
I 0
p =ρ gh, e =
Ay
h: Dyp h : Flatesenterets dyp.
A: Flatens areal
y : Avstand fra overflaten til flatesenter i flatens
retning
e: Avstand fra flatesenter til trykksenter
Væskestrømning i rør
Bernoullis ligning på høydeform med pumpe- og
friksjonsledd. Fra sted 1 til sted 2
2
2
v1
v2
z 1 + h1
+ + hp
= z2
+ h2
+ +
2g
2g
Volumstrøm
Q =
vA
h
m

HØGSKOLEN I NARVIK, side 8 av 10
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 9 av 10
Formler for mekanikk

HØGSKOLEN I NARVIK, side 10 av 10
Formler for mekanikk
L
b ≤
2