Løsningsforslag øving 1, vers. 2

Forkurs Elektromagnetisme ­ Løsningsforslag øving 1
Sfæriske koordinater (kulekoordinater):
Før vi begynner med øvingen repeterer vi litt om sfæriske koordinater. Hvordan henger disse sammen
med kartesiske. Kartesiske koordinater er da et (x,y,z)‐system.
For sfæriske koordinater har vi også tre koordinater r,θ,. Enhetsvektorene til r, θ, er u ,u ,u
og stå normalt på hver andre, i likhet med u ,u ,u . Merk at θ og brukes om hverandre, dvs. de
bytter ofte plass. Det er viktig å vite hvilken konvensjon man bruker. I dette kurset skal vi prøve å holde
oss til følgende konvensjon. Φ er vinkelen ut fra x‐aksen mot klokka i x,y‐planet. θ er vinkelen ut fra z‐
aksen. Figuren under viser hvordan dette ser ut i et (x,y,z)‐system.
Anta nå at det eksisterer et vektorfelt . Feltet har tre komponenter. En r komponent, en θ komponent
og en komponent. Dette utrykker vi som følger:
I tilfellet nevnte konvensjon, vil curl og divergens til være gitt av:
1
1
1
1

Oppgave 1
a) Coulombs lov gir oss:
1
4
Vi lar q være en testladning som settes inn i feltet fra Q. E‐feltet som virker på q er da definert
som:
1
4
I et sfærisk koordinatsystem der Q er i origo, vil alltid peke ut fra origo ogbare avhenge av
avstanden vi befinner oss fra origo. Altså har vi ingen ‐ og ‐ komponent, bare en r ‐
komponent.
Det vil si at:
1
4 , 1
4

Vi skal ta curlen til . Vi har fra tidligere:
1
Vektor feltet er , dvs. . Dette setter vi inn i likning og får:
0
Vi setter inn for E‐feltet og får:
0
1
0
1
0
0
1
1 1
4
0
Dette viser at curl til feltet fra en punktladning er 0. Dette gjelder også for et vilkårlig E‐felt, da E‐
feltet alltid kan skrives som en sum av feltbidraget fra hver enkelt punktladning.
1
4
1
4
b) Anta at vi har to små biter med lednigner. I hver at de to bitene går det en strøm, henholdsvis I 1
og I 2 . Vi kaller disse bitene strømelementer. Det er vist eksperimentelt at kraften på element 2
forårsaket av element 1 er gitt av:
(Se figur 12.2 i læreboka Popovic side 185)
peker i retning mot element 2
4
I likhet med definisjonen av E‐felt, definerer vi nå et B‐felt som:
4
Dersom vi har mer enn ett element som yter en kraft på element 2, skriver vi vanligvis:

4 ,
Dette gjør vi, da brukes til å betegne det totale feltet, mens brukes til å betegne
feltbidraget fra element .
Hva er nå divergensen til B. Vi ser først på divergensen til feltet fra et enkelt element. Vi kaller
dette elementet dl 1 og feltbidraget fra elementet dB 1
4
4
Vi velger nå å legge elementet i z‐retning.
Det betyr at ikke har noen komponent i retning . La videre amplituden til være C. C er
en konstant. Deretter bruker vi figuren til å finne som funksjon av sfæriske koordinater. Det
blir som følger:
, 0, cos sin
cos sin

Vi er nå klare til å krysse vektor med , som inngår i utrykket
De to vektorene har som nevnt ingen ‐komponent.
cos sin 0
0 0 sin
Alternativt kan vi løse dette ved å løse likning | | sin sin
Absoluttverdien av dl 1 er C z , og derfor er sin
Dette setter vi inn i formelen for divergens ( ) og får:
4 sin
Vi vet at er konstant og er konstant i vakuum. Vi kan derfor trekke disse til venstre for :
For sfæriske koordinater har vi
4 sin
4 sin
1
1
1
Her er vektoren . For å gjøre ting litt ryddigere, kaller vi videre Dvs:
har tre komponenter
og komponenter er null. Dette gir oss følgende utrykk for :
,
4 sin

Så tar vi divergensen til . Vi bruker formelen:
Og setter inn
1
1
1
1 0
1
0 1
1
1
4 sin
0
Dette viser at divergensen til er null hvis dl 1 ligger langs z‐aksen. Orienterer vi elementet i
en annen retning vil vi fortsatt få null. Har vi en strøm sløyfe, har vi et helt sett med elementer
dl n . Det totale feltet B er da er summen av alle bidragene fra elementene langs sløyfa. Da
divergensen til feltet fra hvert enkelt element er null, vil divergensen til det totale feltet være
null. Dette ser vi også av.
0

Oppgave 2
a) N er antall ladninger per volum # , Q er ladning [C], er hastigheten til ladningene
.
, #
Det betyr at beskriver en arealtetthet av ladning som til en hver tid strømmer i retningen av .
Vi skal finne hvor mye ladning Q dS som strømmer gjennom flaten dS i løpet av tiden t. Vi kan
tenke oss en flate som begrenset av en ring. Når vi holder ringen i strømmen av ladning, vil
ladningen strømme igjennom ringen. Vi skal finne hvor mye.
J,v - retning
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
J,v - retning
dS - retning
Vektor - J,v vinkelrett
på vektor - dS
Vektor - J,v parallell
med vektor - dS
Av figuren under ser vi at det ikke går ladninger igjennom (bare over og under) dS når vektoren J
er vinkelrett på vektoren dS. Dersom de er parallelle får vi derimot maksimalt med ladningen
gjennom dS. Vi kan bruke vektorregning til å finne ut hvor mye ladning som strømmer gjennom
når vinkelen mellom dS og J avviker fra 0 eller 90 grader. Til det bruker vi prikkproduktet.
|||| cos ,
|||| cos

)
|||| cos
c) En vilkårlig flate kan beskrives som summen av mange mindre flater. Se figuren under.
Vi tenker oss at hver firkant er et element , der hele overflaten er summen
Fra oppgave 2b, vet vi at ladningen som strømmer igjennom et element i løpet av tiden
t, er gitt av:
Strømmen er da
Den totale strømmen blir summen av alle elementene :
Dersom vi nå deler opp overflaten S i uendelig mange små biter, blir summen et integral