Flervariable funksjoner: Grenser og kontinuitet - Of the Clux

Flervariable funksjoner: Metode 3, To-banestesten for
diskontinuitet
I boka: Kapittel 11.2, s. 886 Two-Path Test for Nonexistence of a Limit ♣.
Regel/Formel: (Dette er en forenklet versjon): Dersom grensene av f langs to rette
linjer gjennom (x 0 , y 0 ) er forskjellige, finnes ikke lim
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
f(x 0 , y 0 ).
♦
Metode:
måte:
Undersøk grensen til langs to eller flere linjer mot (x 0 , y 0 ) på følgende
1. Sett x = x 0 , og se på lim y→y0 f(x 0 , y). Det kan hende du må se på grensene fra
begge sider, altså lim − y→y 0
f(x 0 , y) og lim + y→y 0
f(x 0 , y). Er disse forskjellige, kan du
konkludere at f er diskontinuerlig.
2. Sett y = y(x) = y 0 +a(x−x 0 ) for forskjellige verdier av a, og se på lim x→x0 f(x, y(x)).
Det kan hende du må se på grensene fra begge sider, altså lim + x→x 0
f(x, y(x)) og
lim − x→x 0
f(x, y(x)). Er disse forskjellige, kan du konkludere at f er diskontinuerlig.
Er grensen fra punkt 1 forskjellig fra en grense fra punkt 2, eller er to grenser fra punkt
2 forskjellige fra hverandre, er f diskontinuerlig i f. ♦
Eksempel: Er f(x, y) = xy
x 2 +y 2 kontinuerlig i (0, 0)
1. x 0 = 0, så f(x 0 , y) = 0
y 2 = 0. lim y→0 0 = 0.
2. Vi prøver først a = 1. Da er y = y(x) = 1x = x, og f(x, y(x)) = x·x
x 2 +x 2
1
lim x→0 = 1, er grensen langs linja y = x lik 1.
2 2 2
Siden de to grensene er forskjellige, er f diskontinuerlig i (0, 0).
= 1 2 . Siden
□
4