Flervariable funksjoner: Grenser og kontinuitet - Of the Clux

Flervariable funksjoner: Grenser og kontinuitet
Forelest: 27. Okt, 2004 ♠
Definisjon 1 En funksjon f = f(x, y) har en grense L i et punkt (x 0 , y 0 ) dersom f(x, y),
når du nærmer deg (x 0 , y 0 ) langs en hvilken som helst bane, går mot L.
En annen måte å si dette på, er å si at forskjellen mellom f(x, y) og f(x 0 , y 0 ) må
nærme seg 0 når (x, y) nærmer seg (x 0 , y 0 ). Vi skriver:
lim f(x, y) = L
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
♣ Se metodeark 2 for flervariable funksjoner.
Definisjon 2 En funksjon f er kontinuerlig i (x 0 , y 0 ) dersom
1. f er definert i (x 0 , y 0 ) (altså at (x 0 , y 0 ) ∈ D f )
2. lim f(x, y) eksisterer
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
3. lim f(x, y) = f(x 0 , y 0 )
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
Test av kontinuitet er det samme som test av grenser. En funksjon f er typisk diskontinuerlig
i punkter (x 0 , y 0 ) der forsøk på utregning av f innebærer deling med 0. Diskontinuiteter
er greiest å se om vi tegner opp grafen til funksjonen. Se ukeoppgavene for uke
45.
Eksempel: (11.2.28) I hvilke punkter i planet er f(x, y) = x+y kontinuerlig
x−y
Så lenge nevneren er forskjellig fra 0, altså så lenge x − y ≠ 0, fungerer grensereglene helt
greit, og funksjonen er kontinuerlig der. Men når x − y = 0, altså når x = y, finnes ikke
funksjonen, og vi har en diskontinuitet.
□
En annen ting som er greit å se på en graf, er hva som skjer når vi nærmer oss et
punkt langs forskjellig baner. Vi ser på f(x, y) =
xy på Mathematica. Der ser vi at
x 2 +y 2
både nivåkurven for z = −1 og nivåkurven for z = 1 går helt inn til (0, 0). Vi ser da at
f ikke er kontinuerlig i (0, 0). Vi skriver opp en generel regel:
♣ Se metodeark 3 for flervariable funksjoner.
1

Flervariable funksjoner: Metode 2, Grenseregler for
sammensatte funksjoner i 2 variable
I boka: Kapittel 11.2, Theorem 1 ♣.
Regel/Formel:
Hvis vi har funksjoner f og g vi kjenner grensene til,
lim f(x, y) = L
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
lim
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
g(x, y) = M
kan vi finne grensene til sammensetninger av funksjonene på den intuitivt innlysende
måten
1. lim [f(x, y) + g(x, y)] = L + M (Addisjonsregel)
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
2. lim [f(x, y) − g(x, y)] = L − M (Subtraksjonsregel)
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
3. lim [f(x, y) · g(x, y)] = L · M (Produktregel)
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
4. lim k · f(x, y) = k · L for k ∈ R (Skaleringsregel)
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
f(x, y)
5. lim [
(x,y)→(x 0 ,y 0 ) g(x, y) ] = L M
hvis M ≠ 0 (Divisjonsregel)
6. lim [f(x, y)] 1 n
1
= L n
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
7. lim
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
h(f(x, y)) = h(
er kontinuerlig i L =
for n ∈ N - for partallig n må L > 0. (Rotregel)
lim
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
lim f(x, y).
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
Eksempel:
( ) ( )
lim x + y = lim x + lim y
(x,y)→(4,5) (x,y)→(4,5) (x,y)→(4,5)
( ) ( )
= lim x + lim y
x→4 y→5
= 4 + 5 = 9
f(x, y)) hvis h er en funksjon i 1 variabel som
♦
□
2

Eksempel: (11.2.2)
lim
(x,y)→(0,4)
x
√ y
=
=
(
)
lim x
(x,y)→(0,4)
(
lim
(
(x,y)→(0,4)
lim
(x,y)→(0,4)
⎛
= 0
⎝√
lim
(x,y)→(0,4)
√
4
= 0
√ y
)
)
x
⎞
y⎠
(kvotientregel)
(rotregel)
Noen ganger ser det ut som om vi ikke kan ta grense, fordi nevneren går mot null.
Men noen av disse gangene kan vi forkorte litt ...
Eksempel: (11.2.15) Finn 1
xy − y − 2x + 2
lim
(x,y)→(1,1) x − 1
x≠1
Vi ser hva vi får til om vi tar polynomdivisjon 2 :
xy − y − 2x + 2 : x − 1 = y − 2
xy − y
−2x + 2
−2x + 2
0
Det betyr at
xy − y − 2x + 2
lim
(x,y)→(1,1) x − 1
x≠1
= lim
(x,y)→(1,1)
x≠1
(y − 2) = 1 − 2 = −1
□
Eksempel:
□
(
)
lim sin(x + y) = sin lim (x + y) = sin 0 = 0 □
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)
1 Merk unntaket i subskriptet til lim.
2 Eller vi kan simpelthen se direkte at xy − y − 2x + 2 = (x − 1)(y − 2).
3

Flervariable funksjoner: Metode 3, To-banestesten for
diskontinuitet
I boka: Kapittel 11.2, s. 886 Two-Path Test for Nonexistence of a Limit ♣.
Regel/Formel: (Dette er en forenklet versjon): Dersom grensene av f langs to rette
linjer gjennom (x 0 , y 0 ) er forskjellige, finnes ikke lim
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
f(x 0 , y 0 ).
♦
Metode:
måte:
Undersøk grensen til langs to eller flere linjer mot (x 0 , y 0 ) på følgende
1. Sett x = x 0 , og se på lim y→y0 f(x 0 , y). Det kan hende du må se på grensene fra
begge sider, altså lim − y→y 0
f(x 0 , y) og lim + y→y 0
f(x 0 , y). Er disse forskjellige, kan du
konkludere at f er diskontinuerlig.
2. Sett y = y(x) = y 0 +a(x−x 0 ) for forskjellige verdier av a, og se på lim x→x0 f(x, y(x)).
Det kan hende du må se på grensene fra begge sider, altså lim + x→x 0
f(x, y(x)) og
lim − x→x 0
f(x, y(x)). Er disse forskjellige, kan du konkludere at f er diskontinuerlig.
Er grensen fra punkt 1 forskjellig fra en grense fra punkt 2, eller er to grenser fra punkt
2 forskjellige fra hverandre, er f diskontinuerlig i f. ♦
Eksempel: Er f(x, y) = xy
x 2 +y 2 kontinuerlig i (0, 0)
1. x 0 = 0, så f(x 0 , y) = 0
y 2 = 0. lim y→0 0 = 0.
2. Vi prøver først a = 1. Da er y = y(x) = 1x = x, og f(x, y(x)) = x·x
x 2 +x 2
1
lim x→0 = 1, er grensen langs linja y = x lik 1.
2 2 2
Siden de to grensene er forskjellige, er f diskontinuerlig i (0, 0).
= 1 2 . Siden
□
4