Taylorpolynomier Funktion af flere variable

Taylorpolynomier. 

Funktion af ‡ere 

variable 

Preben Alsholm 

Taylorpolynomier 

Funktion af ‡ere variable 


17. april 2008 


De…nition af 

Taylorpolynomium 

Udledning af formlen 

for Taylorpolynomiet 

Formlen for 

Taylorpolynomiet 

Eksempel 4.8.2 i 

Adams 

Funktion givet ved 

simpel forskrift 


di¤erentialligning 

Taylors formel med 

Lagrange’s restled 

Vurdering af fejlen 

ved Taylors formel I 


ved Taylors formel II 

Store O-notationen 


variable

De…nition af Taylorpolynomium 

I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0 . Find et 

polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme 

nulte, første, anden, tredie, . . . , n’te a‡edede i punktet 

x 0 . 










Formlen for 



Adams 


















x 0 . 

I P n skal så opfylde ligningerne 

P n (x 0 ) = f (x 0 ) 

Pn 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) 

Pn 00 (x 0 ) = f 00 (x 0 ) 

. 

P n (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) 










Formlen for 



Adams 


















x 0 . 

I P n skal så opfylde ligningerne 

I Skriver vi P n på formen 

P n (x 0 ) = f (x 0 ) 

Pn 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) 

Pn 00 (x 0 ) = f 00 (x 0 ) 

. 

P n (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) 

P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 

+a 4 (x x 0 ) 4 + . . . + a n (x x 0 ) n 

søger vi nu a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n . 










Formlen for 



Adams 














Udledning af formlen for Taylorpolynomiet 

I Vi ser med det samme, at a 0 = f (x 0 ). Da 

Pn 0 (x) = a 1 + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 

+4a 4 (x x 0 ) 3 + . . . + na n (x x 0 ) n 1 










Formlen for 



Adams 
















P 0 n (x) = a 1 + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 

I fås, at a 1 = f 0 (x 0 ). Da 

+4a 4 (x x 0 ) 3 + . . . + na n (x x 0 ) n 1 

P 00 

n (x) = 2a 2 + 3 2 a 3 (x x 0 ) + 4 3 a 4 (x x 0 ) 2 

+ . . . + n (n 1) a n (x x 0 ) n 2 










Formlen for 



Adams 
















P 0 n (x) = a 1 + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 

I fås, at a 1 = f 0 (x 0 ). Da 

+4a 4 (x x 0 ) 3 + . . . + na n (x x 0 ) n 1 

P 00 

n (x) = 2a 2 + 3 2 a 3 (x x 0 ) + 4 3 a 4 (x x 0 ) 2 

+ . . . + n (n 1) a n (x x 0 ) n 2 

I fås a 2 = 1 2 f 00 (x 0 ). Da 










Formlen for 



Adams 














P 000 

n (x) = 3 2 a 3 + 4 3 2 a 4 (x x 0 ) 

+ . . . + n (n 1) (n 2) a n (x x 0 ) n 3 

fås, at a 3 = 1 

23 f 000 (x 0 ).

Formlen for Taylorpolynomiet 

I Generelt fås altså 

således at 

a k = 1 k! f (k) (x 0 ) 

P n (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2 

+ 1 3! f 000 (x 0 ) (x x 0 ) 3 + . . . + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 










Formlen for 



Adams 














Formlen for Taylorpolynomiet 

I Generelt fås altså 

således at 

a k = 1 k! f (k) (x 0 ) 

P n (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2 

I Dette kan også skrives 

+ 1 3! f 000 (x 0 ) (x x 0 ) 3 + . . . + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 

P n (x) = 

n 

∑ 

k=0 

1 

k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k 

idet vi de…nerer 0! = 1 og f (0) = f . 










Formlen for 



Adams 














Eksempel 4.8.2 i Adams 

I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo 

f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) = . . . = f (n) (x) = e x . 










Formlen for 



Adams 
















f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) = . . . = f (n) (x) = e x . 

I Så f (k) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. 










Formlen for 



Adams 
















f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) = . . . = f (n) (x) = e x . 


I Hermed fås 

P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 2 f 00 (0) x 2 + 1 3! f 000 (0) x 3 

+ . . . + 1 n! f (n) (0) x n 










Formlen for 



Adams 
















f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) = . . . = f (n) (x) = e x . 


I Hermed fås 

P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 2 f 00 (0) x 2 + 1 3! f 000 (0) x 3 

I Altså 

+ . . . + 1 n! f (n) (0) x n 

P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n 










Formlen for 



Adams 
















f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) = . . . = f (n) (x) = e x . 


I Hermed fås 

P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 2 f 00 (0) x 2 + 1 3! f 000 (0) x 3 

I Altså 

+ . . . + 1 n! f (n) (0) x n 

P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n 










Formlen for 



Adams 














I Dette kan også skrives 

P n (x) = 

n 

∑ 

k=0 

1 

k! x k

Funktion givet ved simpel forskrift 

I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. 










Formlen for 



Adams 
















I Vi har 

f 0 (x) = arctan x + x 

1 + x 2 

f 00 2 2x 

(x) = 

2 

1 + x 2 (1 + x 2 ) 2 










Formlen for 



Adams 
















I Vi har 


1 + x 2 

f 00 2 2x 

(x) = 

2 

1 + x 2 (1 + x 2 ) 2 

I Så f (1) = π 4 , f 0 (1) = π 4 + 1 2 , f 00 (1) = 1 2 . 










Formlen for 



Adams 
















I Vi har 


1 + x 2 

f 00 2 2x 

(x) = 

2 

1 + x 2 (1 + x 2 ) 2 

I Så f (1) = π 4 , f 0 (1) = π 4 + 1 2 , f 00 (1) = 1 2 . 

I Hermed fås 

P 2 (x) = f (1) + f 0 (1) (x 1) + 1 2 f 00 (1) (x 1) 2 

= π π 

4 + 4 + 1 

(x 1) + 1 2 

2 1 (x 1)2 

2 

= π π 

4 + 4 + 1 

(x 1) + 1 (x 1)2 

2 

4 










Formlen for 



Adams 
















I Vi har 


1 + x 2 

f 00 2 2x 

(x) = 

2 

1 + x 2 (1 + x 2 ) 2 

I Så f (1) = π 4 , f 0 (1) = π 4 + 1 2 , f 00 (1) = 1 2 . 

I Hermed fås 

P 2 (x) = f (1) + f 0 (1) (x 1) + 1 2 f 00 (1) (x 1) 2 

= π π 

4 + 4 + 1 

(x 1) + 1 2 

2 1 (x 1)2 

2 

= π π 

4 + 4 + 1 

(x 1) + 1 (x 1)2 

2 

4 










Formlen for 



Adams 














I Maple

Funktion givet ved di¤erentialligning 

I Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt π 2 

for løsningen til di¤erentialligningen 

 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 

I Vi skal …nde 

P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 

 

π 2 

2 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 


P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 

I Ved indsættelse af t = π 2 

i di¤erentialligningen fås 

x 0 π 

2 = sin π 

2 + x π 2 

2 

= sin π 

2 = 1. 

 

π 2 

2 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 


P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 



x 0 π 

2 = sin π 

2 + x π 2 

2 

= sin π 

2 = 1. 

I Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås 

x 00 (t) = cos t + x (t) 2 (1 + 2x (t) x 0 (t)). 

 

π 2 

2 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 


P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 



x 0 π 

2 = sin π 

2 + x π 2 

2 

= sin π 

2 = 1. 


x 00 (t) = cos t + x (t) 2 (1 + 2x (t) x 0 (t)). 

 

π 2 

2 


heri fås 

x 00 π 

2 = cos π 

2 + x π 2 

2 

1 + 2x π 

2 x 

0 π 

2 = 0. 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 


P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 



x 0 π 

2 = sin π 

2 + x π 2 

2 

= sin π 

2 = 1. 


x 00 (t) = cos t + x (t) 2 (1 + 2x (t) x 0 (t)). 

 

π 2 

2 


heri fås 

x 00 π 

2 = cos π 

2 + x π 2 

2 

1 + 2x π 

2 x 

0 π 

2 = 0. 

I Altså fås 

 

π 

P 2 (t) = 0 + t 

2 + 

1 

2 0 t 

π 2 π 

2 

= t 

2 










Formlen for 



Adams 

















 

x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π 

 

med x = 0 

2 


P 2 (t) = x π 

2 + x 

0 π 

2 t 

π 

2 + 

1 

2 x 00 π 

2 t 



x 0 π 

2 = sin π 

2 + x π 2 

2 

= sin π 

2 = 1. 


x 00 (t) = cos t + x (t) 2 (1 + 2x (t) x 0 (t)). 

 

π 2 

2 


heri fås 

x 00 π 

2 = cos π 

2 + x π 2 

2 

1 + 2x π 

2 x 

0 π 

2 = 0. 

I Altså fås 

 

π 

P 2 (t) = 0 + t 

2 + 

1 

2 0 t 

π 2 π 

2 

= t 

2 

I som jo er det samme som det første Taylorpolynomium 

P 1 (t). Se Maple for P 3 (t). 










Formlen for 



Adams 














Taylors formel med Lagrange’s restled 

I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion 

f med dens Taylorpolynomium P n ? 










Formlen for 



Adams 




















I Taylors formel: For givet x …ndes et tal ξ mellem x 0 og 

x, så 

f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 

. . . + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 

+ 1 

(n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 







Formlen for 



Adams 





















x, så 

f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 

. . . + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 

+ 1 

(n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 

I Altså f (x) = P n (x) + 1 

(n+1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 = 

P n (x) + R n (x) . 







Formlen for 



Adams 





















x, så 

f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 

. . . + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 

+ 1 

(n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 

I Altså f (x) = P n (x) + 1 

(n+1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 = 

P n (x) + R n (x) . 

I Beviset bruger en udvidet udgave af 

middelværdisætningen. 







Formlen for 



Adams 














Vurdering af fejlen ved Taylors formel I 

I Eksempel. f (x) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 

P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n . 










Formlen for 



Adams 
















P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n . 

I f (n+1) (x) = e x . Så 

 

je x P n (x)j = 

1 

(n + 1)! eξ x n+1 = 

e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 










Formlen for 



Adams 
















P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n . 

I f (n+1) (x) = e x . Så 

 


1 

(n + 1)! eξ x n+1 = 

I Bestem n, så je x 

x 2 [ 0.1, 0.1]. 

P n (x)j 10 5 for alle 

e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 










Formlen for 



Adams 
















P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n . 

I f (n+1) (x) = e x . Så 

 


1 

(n + 1)! eξ x n+1 = 


x 2 [ 0.1, 0.1]. 


e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 

I I Taylors formel gælder så jξj 0.1 og dermed 


 

e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 e0.1 

(n + 1)! (0.1)n+1 

2 

(n + 1)! (0.1)n+1 










Formlen for 



Adams 
















P n (x) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3! x 3 + . . . + 1 n! x n . 

I f (n+1) (x) = e x . Så 

 


1 

(n + 1)! eξ x n+1 = 


x 2 [ 0.1, 0.1]. 


e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 

I I Taylors formel gælder så jξj 0.1 og dermed 


 

e ξ 

(n + 1)! jxjn+1 e0.1 

(n + 1)! (0.1)n+1 

2 

(n + 1)! (0.1)n+1 










Formlen for 



Adams 














I Vi vælger nu n, så 

2 

(n+1)! (0.1)n+1 10 5 . n = 3 er 

nok, idet 2 4! 10 4 = 1 

12 10 4 < 10 5 .

Vurdering af fejlen ved Taylors formel II 

I Lad f (x) for alle x være givet ved 

f (x) = 

Z x 

0 

(1 + t) cos t 3 dt 










Formlen for 



Adams 
















f (x) = 

Z x 

0 

(1 + t) cos t 3 dt 

I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med 

dets 2. Taylorpolynomium P 2 (x) med udviklingspunkt 

0, når x 2 1 

2 , 1 2 

 

. 










Formlen for 



Adams 
















f (x) = 

Z x 

0 

(1 + t) cos t 3 dt 



0, når x 2 1 

2 , 1 

2 . 

I Vi …nder 

f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 

f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x 2 sin x 3 

f 000 (x) = 6x (1 + 2x) sin x 3 9x 4 (1 + x) cos x 3 










Formlen for 



Adams 
















f (x) = 

Z x 

0 

(1 + t) cos t 3 dt 



0, når x 2 1 

2 , 1 

2 . 

I Vi …nder 

f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 

f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x 2 sin x 3 


I Heraf …ndes P 2 (x) = x + 1 2 x 2 . 










Formlen for 



Adams 














Den faktiske maksimale fejl kan …ndes gra…sk til 0.0008. 



f (x) = 

Z x 

0 

(1 + t) cos t 3 dt 



0, når x 2 1 

2 , 1 

2 . 

I Vi …nder 

f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 

f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x 2 sin x 3 


I Heraf …ndes P 2 (x) = x + 1 2 x 2 . 

I Vha. Maple …ndes, at jf 000 (x)j 1.59 for x 2 1 

2 , 1 

2 . 

Altså fås 

1 3 

' 0.03 3 

2 










Formlen for 



Adams 














jf (x) P 2 (x)j 1.59 1 6 jxj3 1.59 1 6


I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som 

resultat giver x 

1 

6 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: 










Formlen for 



Adams 
















1 



I Der …ndes en konstant K, så 

 

x sin x 1 

6 x 3 Kx 4 

for alle x i et interval med 0 som indre punkt. 










Formlen for 



Adams 
















1 




 

x sin x 1 

6 x 3 Kx 4 


I Generelt betyder f (x) = O (u (x)) for x ! a, at der 

…ndes en konstant K, så 

jf (x)j K ju (x)j 

for alle x i et interval med a som indre punkt. 










Formlen for 



Adams 
















1 




 

x sin x 1 

6 x 3 Kx 4 






I Vi har eksempelvis: sin x = O (x) , sin x = x + O x 2 , 

men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste. 










Formlen for 



Adams 
















1 




 

x sin x 1 

6 x 3 Kx 4 






I Vi har eksempelvis: sin x = O (x) , sin x = x + O x 2 , 

men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste. 

I I Taylor-sammenhæng kan O ((x x 0 ) n ) tolkes som led 

af orden n og højere. 










Formlen for 



Adams 



















I Hvad er en reel funktion af ‡ere variable? 






Formlen for 



Adams 




















I Hvad er grafen for en reel funktion af 2 variable? 






Formlen for 



Adams 





















I Hvad er en niveaukurve for en reel funktion af 2 

variable? 






Formlen for 



Adams 





















I Hvad er en niveaukurve for en reel funktion af 2 

variable? 

I Se Maple-worksheet. 






Formlen for 



Adams

Taylorpolynomier Funktion af flere variable

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?