Taylorpolynomier Funktion af flere variable

Funktion givet ved di¤erentialligning
I Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt π 2
for løsningen til di¤erentialligningen
x 0 (t) = sin t + x (t) 2 π
med x = 0
2
I Vi skal …nde
P 2 (t) = x π
2 + x
0 π
2 t
π
2 +
1
2 x 00 π
2 t
I Ved indsættelse af t = π 2
i di¤erentialligningen fås
x 0 π
2 = sin π
2 + x π 2
2
= sin π
2 = 1.
I Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås
x 00 (t) = cos t + x (t) 2 (1 + 2x (t) x 0 (t)).
π 2
2
I Ved indsættelse af t = π 2
heri fås
x 00 π
2 = cos π
2 + x π 2
2
1 + 2x π
2 x
0 π
2 = 0.
I Altså fås
π
P 2 (t) = 0 + t
2 +
1
2 0 t
π 2 π
2
= t
2
I som jo er det samme som det første Taylorpolynomium
P 1 (t). Se Maple for P 3 (t).
Taylorpolynomier.
Funktion af ‡ere
variable
Preben Alsholm
Taylorpolynomier
De…nition af
Taylorpolynomium
Udledning af formlen
for Taylorpolynomiet
Formlen for
Taylorpolynomiet
Eksempel 4.8.2 i
Adams
Funktion givet ved
simpel forskrift
Funktion givet ved
di¤erentialligning
Taylors formel med
Lagrange’s restled
Vurdering af fejlen
ved Taylors formel I
Vurdering af fejlen
ved Taylors formel II
Store O-notationen
Funktion af ‡ere
variable