Likninger

MATEMATIKK: 2 Likninger2 Likninger2.1 Førstegradslikninger med én ukjentUlike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolenbrukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempelpå et problem der dette var aktuelt, var blanding av saft og vann. Blandervi 1 dl saft med 4 dl vann, får vi selvsagt 5 dl saftblanding. Vi sier atblandingsforholdet er 1 : 4 (leses: en til fire). Hvis vi skal lage 2 liter(20 dl) saftblanding, hvor mange dl av henholdsvis saft og vann måvi bruke?For å løse problemet brukte man deler. Én del saft og fire deler vanngir totalt fem deler. Man tok 20 dl og delte på fem for å finne hvormange dl én del var. I dette tilfellet er det 20 dl : 5 ¼ 4 dl. Det betyrat mengden ren saft er 4 dl, og at mengden vann er 4 dl 4 ¼ 16 dl.Dette problemet kan løses på en annen måte, en metode som er langtgunstigere å bruke i mange sammenhenger: likninger. Vi innfører enukjent størrelse vi kan kalle for x, og setter opp regnestykket meddenne størrelsen som om vi kjente den.Antall dl ren saft: xAntall dl vann: 4x (4 ganger mer vann enn saft)Mengden av saftblandingen kan vi skrive på to måter: x þ 4 x og 20.Disse to uttrykkene må være like, og da får vix þ 4 x ¼ 205 x ¼ 20 ðVi deler med 5 på begge sider.Þx ¼ 4Mengden ren saft er 4 dl, og mengden vann er 4 dl 4 ¼ 16 dl.Førsteinntrykket her er at «gammelmetoden» virker mye enklere, at det25

MATEMATIKK: 2 LikningerAlternativ 232 ðx 3Þþ1 3 ðx þ 2Þ ¼5 ðx61Þ j69ðx 3Þþ2ðx þ 2Þ ¼5ðx 1Þ9x 27 þ 2x þ 4 ¼ 5x 56x ¼ 18 j : 6x ¼ 3Her er det viktig å være oppmerksom på at vi multipliserer brøkene(tallene) foran parentesene med fellesnevneren og ikke brøkene (tallene)inni dem.Vi må se på 3 2 ðx 3Þ som ett ledd.Hvis vi multipliserer både utenfor og inni parentesen, har vi egentligmultiplisert hele leddet med 6 6 ¼ 36.Likning (3) hadde vært lettere å behandle hvis vi hadde skrevet denlitt om, f.eks. slik:3ðx 3Þ218ðx23Þ1ðx þ 2Þþ36ðx þ 2Þþ3¼ 5ðx 6Þ6¼ 30ðx69ðx 3Þþ2ðx þ 2Þ ¼5ðx 6Þosv:Vi har multiplisert tellerne med 6 og forkortet brøkene.1x 2 3 þ 5 13 1 2xð4Þ¼ 3 2 5 36ÞAlternativ 11x6 þ 5 2x6 þ 5 230x6 þ 1502132x15¼ 11313 þ 2x15 ¼ 113303 þ 60x15 ¼ 33035x þ 75 10 þ 4x ¼ 110j309x ¼ 45 j : 9x ¼ 529

www.ebok.noAlternativ 21x2 3 þ 515 x 3 þ 5 13 1 2x5 2x10 15¼ 3 2 3¼ 110Vi multipliserer med 30:ð5x þ 75Þ ð10 4xÞ ¼1105x þ 75 10 þ 4x ¼ 1109x ¼ 45 j : 9x ¼ 5Kommentarer til de to alternativeneAlternativ 1 er den tryggeste metoden. Her multipliserer vi brøkeneinn i parentesen og beholder parentesene. Minustegnet foran denandre parentesen venter vi med å bruke til vi løser opp parentesen.(Husk fortegnsskifte.)3 2 3er et blandet tall som vi med en gang gjør om til1133 3 þ 23Alternativ 2 krever kanskje mer trening i likninger og brøkregning, forher er det ikke så lett å se hva som er fellesnevneren.OBS!Husk at det bare er brøkene (tallene) foran parentesene som skalmultipliseres!Vi kan kontrollere svaret ved å sette prøve på likningen. Det sikreste erå regne hver side for seg selv. Vi setter inn det svaret vi fikk, i stedet forx på begge sider av den opprinnelige likningen.30

MATEMATIKK: 2 LikningerPrøve på likning (3)Venstre side (VS)32 ð3 3Þþ1 3 ð3 þ 2Þ ¼3 2 0 þ 1 3 5¼ 0 þ 5 3¼ 5 3Høyre side (HS)56 ð3 1Þ ¼5 6 2¼ 106¼ 5 3KonklusjonVS ¼ HS, dvs. at x ¼ 3 er riktig løsning.OBS!Vi setter alltid inn x-verdien i den opprinnelige likningen når vi setterprøve på den.ð5ÞOmkretsen av et rektangel er 34 cm. Den lengste siden er 3 cmlengre enn den korteste siden. Finn sidene.LøsningsforslagHer er det naturlig å tegne et rektangel:xx + 3Vi setter den korte siden lik x. Da er den lengste siden lik ðx þ 3Þ.(x þ 3 betyr at den lengste siden er 3 cm lengre enn den korteste siden.3x ville ha betydd at den lengste siden var 3 ganger lengre enn denkorteste.)Omkretsen av rektanglet kan uttrykkes på to måter, og vi kan setteopp likningen:31

www.ebok.no2ðx þ 3Þþ2x ¼ 342x þ 6 þ 2x ¼ 344x ¼ 34 64x ¼ 28 j : 4x ¼ 7Den korteste siden er 7 cm, og den lengste siden erð7 þ 3Þ cm ¼ 10 cm.ð6ÞSummen av fire tall som følger etter hverandre, er 66. Finntallene ved bruk av likning.Løsningsforslag1. tall 2. tall 3. tall 4. tallx xþ 1 x þ 2 x þ 3Vi kan skrive summen av tallene på to måter og får likningenx þðx þ 1Þþðx þ 2Þþðx þ 3Þ ¼66x þ x þ 1 þ x þ 2 þ x þ 3 ¼ 664x ¼ 66 1 2 34x ¼ 60 j : 4x ¼ 15De fire tallene er 15, 15 þ 1, 15 þ 2, 15 þ 3, dvs. 15, 16, 17 og 18.2.2 Proporsjoner (et vanskelig ord, menenkelt å bruke)I mange problemstillinger vil vi kunne bruke proporsjoner. «Pro» betyr«per» eller «for», og porsjoner betyr «deler». Vi bruker denne typenregning i bakeoppskrifter, ved valutakursregning, i prosentregningosv. Proporsjonsregning er forholdsregning (forhold = brøk).Eksempel 3I en skoleklasse er forholdet mellom antall gutter og antall jenter 4 : 3(leses: 4 til 3). Det er 16 gutter i klassen. Hvor mange elever er det iklassen?32

MATEMATIKK: 2 LikningerLøsningsforslagVi må finne ut hvor mange jenter det er i klassen. Vi setter antall jenterlik x:ð1Þ4 3x343 ¼ 16x¼16 3xxVi multipliserer med 3x:Vi forkorter på begge sider:ð2Þ4 x ¼ 16 3 Vi deler på 4:x ¼ 12Det er 12 jenter i klassen. Antall elever i klassen er 16 þ 12 ¼ 28.KommentarEt forhold på 4 : 3 kan også skrives som 4 3. I eksemplet ovenfor betyrdet at det er 4 gutter per 3 jenter, eller 1,33 gutter per jente( 4 3¼ 1,33). På venstre side i (1) har vi satt opp det gitte forholdet,og på høyre side står antall gutter delt på antall jenter. Vi vet at detteskal være det samme som 4 delt på 3. Likning (1) kalles en proporsjon.Proporsjonen kan løses som en vanlig likning (multiplisere med 3xpå begge sider). Likning (2) ovenfor viser derimot at vi kan bruke«kryssmultiplisering». Telleren på venstre side multipliseres med nevnerenpå høyre side. Dette settes lik nevneren på venstre side multiplisertmed telleren på høyre side. Dette er en generell regel, som vikan bevise og bruke videre.ab ¼ c jbddellerabdb¼ cbdda d ¼ c ba d ¼ b cVi kan bytte om på leddene og få samme svar:ac ¼ b da d ¼ b cVi forkorter på begge sider:jcdBrøken i de to proporsjonene som vi satte opp, kan snus på hodet. Vivil likevel få samme svar. Vis dette!33

www.ebok.noValutakursregning (fremmed mynt)Norge har en svært åpen økonomi, dvs. at landet har en relativt storutenrikshandel. Dette innebærer at endringer i valutakurser får storekonsekvenser for landets inntekter og utgifter. For den vanlige nordmannvil endringer i enkelte valutakurser vekke glede eller fortvilelseved turistreiser til utlandet.Valuta er per definisjon utenlandske betalingsmidler. For oss nordmennregnes ikke norske kroner som valuta, men alle andre land vilselvfølgelig definere dem som det.I Norge noteres vanligvis kursene per 100 enheter av valutaene, unntaketer dollar og pund, hvor kursen noteres per 1 enhet.De fleste dagsavisene oppgir valutakurser daglig (en midtkurs). Former spesifikke kurser bør vi kontakte en bank eller søke på Internett.Bankene opererer med både salgskurser og kjøpskurser på sedler ogsjekker osv.Av de mest brukte valutaene er kursene for tiden (cirka):100 SEK (svenske kroner) ¼ 95,00 NOK (norske kroner)100 DKK (danske kroner) ¼ 110,00 NOK100 DEM (tyske mark) ¼ 410,00 NOK1 GBP (britiske pund) ¼ 13,20 NOK1 USD (amerikanske dollar) ¼ 8,30 NOKNår vi skal regne med valutakurser, er det naturlig å starte med en proporsjon:kurs100¼norsk beløputenlandsk beløp100 byttes ut med 1 ved dollar og pund:Legg merke til at det er norske kroner som står over brøkstreken påbegge sider, og utenlandske enheter under brøkstreken!Eksempel 4Et ektepar dro til Sverige for å handle tradisjonelle husholdningsvarer.De kjøpte varer for til sammen 2588,76 svenske kroner. Hva kostet varenei norske kroner når kursen på svenske kroner var kr 95,80 inklusivegebyr?34

MATEMATIKK: 2 LikningerLøsningsforslagInnsatt i formelen:95,80100 ¼ x2588,76100 x ¼ 95,80 2588,76 j : 100x ¼Varene kostet kr 2480,03.2588,76 95,80100¼ 2480; 03Hvis vi ikke har formelen til disposisjon eller ikke husker den, er detlikevel ganske greit å regne med fremmed mynt (valuta). I vårt eksempelkunne vi ha tenkt slik:100 SEK 95,80 NOK2588,76 SEK x NOKhvor tegnet kan oversettes med tilsvarer.Proporsjonen kan settes opp slik:1002588,76 ¼ 95,80x100 x ¼ 95,80 2588,76 j : 100x ¼ 2480,03Vi bekrefter her at vi får samme svar ved å bytte om på rekkefølgen avtallene i en proporsjon. Det er altså opp til oss selv å velge framgangsmåteved proporsjoner.Eksempel 5Per skal på tur til England og Frankrike. Han har et budsjett på kr 6000som han veksler til pund og franske franc. I banken finner han ut atkursen på engelske pund (GBP) er kr 13,25, og han bestemmer segfor å kjøpe GBP 250. For restbeløpet får han FRF 2200. Hva er kursenpå franske franc (FRF)?Løsningsforslag (uten formel)250 GBP til NOK: kr 13,25 250 ¼ kr 3312,50NOK til FRF: kr 6000 kr 3312,50 ¼ kr 2687,5035

www.ebok.noKursen på FRF: x100 FRF x NOK2200 FRF 2687,50 NOKProporsjon:1002200 ¼ x2687; 50x ¼ 122,16Kursen på franske franc er kr 122,16, dvs. at 100 FRF koster122,16 NOK. Sagt på en annen måte: Man får kr 122,16 hvis man vekslerinn 100 franske franc.36