CPV – 82% de aprovação na ESPM

MATEMÁTICA
21. A produção total de uma fábrica de calçados no ano
passado foi de 180 mil pares, sendo que os modelos
infantis atingiram 20% da produção de todos os outros
modelos. O número de pares de calçados infantis
produzidos foi de:
a) 20 mil
b) 30 mil
c) 10 mil
d) 15 mil
e) 25 mil
Resolução:
Seja n o número de calçados infantis.
Temos:
n = 0,2 (180 – n)
n = 36 – 0,2 n
1,2 n = 36
n = 30 mil
CPV espm08NOV
CPV – 82% de aprovação na ESPM
Alternativa B
22. Num certo dia a cotação do ouro em dólar era de 1
para 25, isto é, 1 g de ouro custava 25 dólares, e a
cotação do dólar em relação ao real era de 1 para 1,6 ,
isto é, 1 dólar equivalia a R$ 1,60. A partir daí houve
um aumento de 10% na cotação do ouro em dólar e um
aumento de 20% na cotação do dólar em real. Dessa
forma, o grama de ouro passou a custar:
a) 28,5 dólares
b) 48,2 reais
c) 32,4 dólares
d) 52,8 reais
e) 46,4 reais
Resolução:
O custo inicial de 1 g de ouro em reais é:
C i = 25 . 1,6 = 40,00 reais
Após os aumentos, o custo passa a ser:
C f = (1,1 . 25) . (1,2 . 1,6) = 52,80 reais
Alternativa D
ESPM – NOVEMBRO/2008 – PROVA E
23. Num mesmo momento, cada um dos produtos A e B teve aumento
equivalente a 20% do preço do outro.
Podemos afirmar que a diferença de preços entre eles:
a) aumentou 20% b) aumentou 10%
c) diminuiu 20% d) diminuiu 10%
e) permaneceu a mesma
Resolução:
Chamemos os preços iniciais de: P Ainicial = a e P Binicial = b
Após o aumento:
PAfinal = a + 0,2 b
P Bfinal = b + 0,2 a
P Af – P Bf = 0,8 a – 0,8 b
A diferença de preços diminuiu em 20 %.
PAf – PBf = 0,8 (a – b)
PAf – PBf = 0,8 (PAi – PBi )
Alternativa C
24. Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. As funções f : A → R e g : A → R são
30
tais que f (x) = 5 – | x – 3 | e g (x) = .
2
x − 6x + 15
f(x) − g(x)
O número de soluções em A, da equação = 0 é:
x
a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
Resolução:
f (0) = 2 e g (0) = 2
f (1) = 3 e g (1) = 3
f (2) = 4 e g (2) = 30
7
f (3) = 5 e g (3) = 5
f (4) = 4 e g (4) = 30
7
f (5) = 3 e g (5) = 3
f (6) = 2 e g (6) = 2
f (x) − g(x)
Na equação = 0, temos que
x
x ≠ 0 e f (x) = g (x)
Portanto a equação admite apenas as 4 soluções abaixo:
S = {1, 3, 5, 6} Alternativa A
1

2
espm – 16/11/2008 cpv – especializado na espm
25. Os lados AB e AC de um triângulo eqüilátero de perímetro 18
são divididos em 3 partes iguais pelos pontos M, N, P e Q,
como mostra a figura abaixo. As retas PN e MQ
interceptam a reta suporte do lado BC nos pontos D e E,
respectivamente.
O comprimento do segmento DE é igual a:
a) 12 b) 10 c) 14 d) 8 e) 9
Resolução:
CPV espm08NOV
)
2
2
)
2 2
2
6
Na figura, notamos que os triângulos NMP e NBD são congruentes
(ALA) e portanto DB = 2. Da mesma forma, os triângulos QPM
e QEC também são congruentes, donde vem CE = 2.
Assim, DE = DB + BC + CE = 2 + 6 + 2 = 10
2
2
Alternativa B
26. Num cofrinho há somente moedas de 25 e 10 centavos que
perfazem exatamente R$ 2,35. A probabilidade de haver mais
moedas de 25 do que de 10 é igual a:
a) 10 % b) 20 % c) 25 %
d) 30 % e) 40 %
Resolução:
Considerando
x: número de moedas de 25 centavos
y: número de moedas de 10 centavos
Temos: 25x + 10y = 235 Þ y =
47 − 5x
; x, y ∈ IN
2
Os pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação são: (1; 21),
(3; 16), (5; 11), (7; 6) e (9; 1).
Então, a probabilidade de que x seja maior que y é:
P = 2
= 40 %
5
Alternativa E
27. Um terreno retangular foi dividido em 5 lotes quadrados,
A, B, C, D e E, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que o
valor de cada lote é diretamente proporcional à sua área e
que os lotes de esquina têm uma sobrevalorização de 20%.
Se o lote A vale R$ 230.400,00, o valor do lote B é:
a) R$ 108.000,00
b) R$ 124. 800,00
c) R$ 98.600,00
d) R$ 110.200,00
e) R$ 132.000,00
Resolução:
x x x
Se chamarmos o lado de cada um dos lotes C, D e E de x, concluímos
que o lado do lote B vale 3x e que o lado do lote A mede 4x.
Então, o valor da área x2 vale
( ) 2
230400
= 12000 reais
1, 2 . 4
O valor do lote B, onde a área é equivalente a 9x2 , é:
12000 x 9 = 108000 reais.
Alternativa A
28. Na figura abaixo, as medidas dos segmentos colineares PA
e PB são as raízes da equação 2x 2 – 20x + 5 = 0. Além disso,
sabe-se que OP = 1 e que os ângulos AÔD e BÔC são
retos.
A medida do segmento CD é igual a:
a) 5 b) 3 c) 6
d) 4 e) 7
Resolução:
Utilizando as relações métricas do triângulo retângulo, temos:
OP2 OP
2
1
= PD . PA ⇒ PD = =
PA PA
x
3x 4x
OP2 2
OP 1
= PC . PB ⇒ PC = =
PB PB
O segmento CD é igual a soma das medidas de PC e PD.
1 1 PA + PB
Assim, CD = + =
PA PB PA . PB
No entanto, PA e PB são raízes da equação 2x2 – 20x + 5 = 0,
donde calculamos a soma e o produto de suas raízes:
( −20)
PA + PB = – = 10 e PA . PB =
2
5
2
Portanto a medida do segmento CD é:
PA + PB 10
CD = = = 4
PA . PB 5
2
Alternativa D

1
29. Se =
3 2
x + 2x + 2x
a
x + bx + c
para qualquer x
2
x + 2x + 2
real não nulo, o valor da expressão (b – c) a é igual a:
a) 2
b) –1
c) 2
1
d) −
2
2
e)
2
Resolução:
Temos:
CPV espm08NOV
( 2
+ + ) + ( + )
1
3 2
x + 2x + 2x
=
a x 2x 2 bx
3 2
x + 2x + 2x
c x
1
3 2
x + 2x + 2x
=
ax
2
+ 2ax + 2a + bx
2
+ cx
3 2
x + 2x + 2x
1
3 2
x + 2x + 2x
=
2 ( a + b) x + ( 2a + c) x + 2a
3 2
x + 2x + 2x
Se a igualdade é válida para qualquer valor de x, temos uma
identidade e portanto:
⎧ 1
⎪a
=
⎧a + b = 0
2
⎪
⎪ ⎨ 1
⎨2a + c = 0 ⇒
⎪
b = −
⎪
2
⎩ 2a = 1 ⎪
⎩c
=−1
Portanto, (b – c) a 1
⎛ 1 ⎞2
= ⎜− + 1⎟
⎝ 2 ⎠
=
1
2
=
cpv – especializado na espm espm – 16/11/2008
2
2
Alternativa E
30. Dados dois números reais estritamente positivos x e y,
construímos um triângulo retângulo em que a medida da
hipotenusa é a média aritmética entre eles e a medida de um
dos catetos é a semi-diferença entre eles. A medida do outro
cateto é:
a) a média geométrica entre x e y.
b) a média harmônica entre x e y.
c) a média ponderada entre x e y, com pesos 1 e 2,
respectivamente.
d) a média aritmética entre 2x e y.
e) a média geométrica entre 2x e 2y.
Resolução:
Do enunciado, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
2
⎛ x + y⎞
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ =
2
⎛ x − y⎞
⎜
2
⎟ + m2
⎝ ⎠
2 2 2 2
x + 2xy + y x − 2xy + y
⇒
–
= m
4
4
2
⇒ 4xy
4 = m2 ⇒ m = xy
Portanto, m é a média geométrica entre x e y.
1
1
Y
X
3
Alternativa A
31. Na figura abaixo estão representados um retângulo, um
círculo de centro O e raio 1 e um semi-círculo de centro B e
raio 2. Dois móveis partem de A e B num mesmo instante e,
com velocidades constantes, percorrem as trajetórias
circulares indicadas pelas setas. Se após 2 segundos eles
se encontram no ponto D, a distância entre eles 1 segundo
após esse encontro será de:
a) 2 – 1
b) 2
c) 2 – 2
d) 2
e) 2 2
Resolução:
m
x −
y
2
x+y
2
Em 2 segundos, o móvel que parte de A percorre 1
do semi-
4
círculo de raio 2, ou seja, 1
. 2π . 2 = π; e o móvel que parte de B
4
percorre 1
1
do círculo de raio 1, ou seja, . 2π . 1 = π.
2 2
Em 1 segundo, os móveis estarão nas seguintes posições indicadas
na figura:
Assim, d XY = d BX – d BY = 2 – 2 Alternativa C

4
espm – 16/11/2008 cpv – especializado na espm
32. A organização de uma exposição industrial estabeleceu que
as placas de publicidade nos estandes deveriam ser
retangulares, ter área igual a 2 m² e seus perímetros não
poderiam exceder 6 m. Se chamarmos o comprimento de
uma dessas placas de x, a expressão que melhor representa
a sua variação é:
a) 1 ≤ x ≤ 2
b) 2 ≤ x ≤ 2
c) 1 ≤ x ≤ 2
d) 0 < x ≤ 2
e) 0 < x ≤ 2
Resolução:
Admitindo-se que o comprimento x é maior ou igual a largura y de
um retângulo, temos que:
x . y = 2 y = 2
⎧
⎧
⎪
⎪ x
⎨ 2x + 2y ≤ 6 ⇒ ⎨ y ≤ 3 – x
⎪ x ≥ y ⎪ y ≤ x
⎩
⎩
Esse sistema determina a seguinte região do plano cartesiano:
y = 3 – x
Logo, 2 ≤ x ≤ 2
CPV espm08NOV
y
3
2
2
1
y = 2
x
y = x
1 2
2 3 x
Alternativa B
33. Uma conta de restaurante no valor de R$ 216,00 seria
dividida igualmente entre um grupo de amigos, dando para
cada um deles, uma importância igual a um número inteiro
de reais, formado por 2 algarismos. No momento do
pagamento, decidiu-se que essa conta seria dividida por
um número menor de pessoas, o que acabou resultando
para cada um, uma importância formada pelos mesmos 2
algarismos anteriores, mas em ordem inversa. O número de
pessoas que deixou de pagar a conta foi:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Resolução:
Sejam n, k e AB, o número de pessoas no grupo de amigos, o
número de amigos que deixam o grupo e a importância, em reais,
cabida a cada um deles inicialmente. Assim,
216
n
= AB
216
n − k
= BA
⇔
216
= n
AB
216
= n – k
BA
Como n e n – k são inteiros, temos que AB e BA pertencem ao
conjunto dos divisores positivos de 216: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216}. Logo, AB = 27 e BA = 72 e,
desta forma, n = 8 e n – k = 3 ⇔ k = 5.
Alternativa C
34. A figura abaixo representa parte da planta de uma cidade
bastante peculiar. Nela só existem 2 companhias de táxis
que operam em regiões exclusivas: a companhia “Oeste”
trabalha somente à esquerda da rua R e a companhia “Leste”
somente à direita dessa rua. Suas tarifas, em moeda local,
são calculadas pelas expressões y = 20 n e y = (n + 3) 2 ,
respectivamente, onde n é o número de quarteirões
percorridos. Um matemático deseja ir do ponto A ao ponto
B, utilizando-se dos serviços das duas companhias para
todo o percurso. Com alguns cálculos ele descobriu que o
menor custo possível para isso seria igual a:
a) 312
b) 316
c) 320
d) 324
e) 328
Resolução:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Sejam n1 e n2 o número de quarteirões percorridos pela companhia
“oeste” e “leste” respectivamente, partindo de A para B.
Logo o matemático, de qualquer forma, percorrerá 18 quarteirões
e, assim, n1 + n2 = 18.
Como queremos minimizar o custo, devemos minimizar a função
C = 20n1 + (n2 + 3) 2 ⇔ C(n2 ) = 20 . (18 – n2 ) + (n2 + 3) 2 ⇔
C(n2 ) = n2 – 14n2 + 369.
2
−− ( 14)
A função C(n2 ) será mínima para n2 = = 7 e, desta forma,
2 . 1
seu valor mínimo é C(7) = 320.
Alternativa C

35. Uma seqüência numérica (an ) é tal que a1 = 1 e an = n + an–1 .
O centésimo termo dessa seqüência vale:
a) 5050 b) 5500 c) 6500
d) 4950 e) 4650
Resolução:
Como an = 1 a = 1
, temos:
an = n + an−1 a1 = 1
a2 = 2 + a1 a3 = 3 + a2 a4 = 4 + a3
+ a100 = 100 + a99 ___________________________
a100 = 1 + 2 + 3 + ... + 100
(1 + 100) . 100
a100 = = 5050 Alternativa A
2
36. No plano cartesiano, o simétrico do ponto (0, 8) em relação
à reta de equação y = kx + 3 é um ponto do semi-eixo positivo
das abscissas. O valor de k é:
a) 1 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/2 e) 2
Resolução:
Seja B (a, 0) simétrico do ponto A (0, 8).
Temos que M é o ponto médio de AB ∴ M a ⎛ ⎞
⎜ ,4
2 ⎟
⎝ ⎠ .
A reta de equação y = kx + 3 passa pelo ponto C (0, 3).
Como AB e CM são perpendiculares, temos:
8−0 8
mAB = =
−a − 0 − a
e m 4 − 3
CM = =
a
− 0
2
2
= k
a
⇒ mAB . mCM = – 1 ⇒ 8 2
. = – 1
− a a
⇒∴ a2 a = 4
= 16
a = – 4 (NC)
∴ k = 2 1
⇒ k =
4 2
Alternativa D
CPV espm08NOV
8
3
A
C
M
B
0 a
cpv – especializado na espm espm – 16/11/2008
37. Os gráficos abaixo mostram
o consumo de energia
elétrica de uma máquina
usada para a produção de
um determinado artigo
conforme o tempo de
funcionamento e conforme
o número de unidades
produzidas.
Com base nesses gráficos,
podemos afirmar que o
número de unidades
produzidas em 2h45min de
funcionamento dessa
máquina é:
a) 120 b) 100 c) 130 d) 90 e) 110
Resolução:
A relação entre tempo (t) e consumo (c) é dada por c = 80t (I)
A relação entre número de unidades (n) e consumo (c) é dada por
c = 2n (II).
Igualando (I) e (II), temos 80t = 2n e
conforme enunciado t = 2h 45min = 11
4 h.
Assim, 80 . 11
= 2n ⇒ n = 110 Alternativa E
4
38. Um cubo de 2 cm de aresta tem duas faces adjacentes
pintadas de azul e as demais são pintadas de branco.
Esse cubo é, então, dividido em 8 cubinhos de 1 cm de
aresta, como mostra a figura abaixo. Se um desses cubinhos
for escolhido ao acaso e lançado sobre uma mesa, a
probabilidade de que a face voltada para cima esteja pintada
de azul é:
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/12
d) 1/4 e) 1/6
Resolução:
Fazendo a análise da figura, temos a seguinte distribuição:
2 cubinhos com duas faces azuis.
4 cubinhos com uma face azul.
2 cubinhos com nenhuma face azul.
Assim a probabilidade de cair face azul voltada pra cima é:
2 2 4 1 8
P(A) = + = =
8 6 8 6 48
1
. .
Alternativa E
6
Prob. de
cair um dado
com duas faces
azuis.
Prob. de
cair um dado
com duas faces
azuis.
5

6
espm – 16/11/2008 cpv – especializado na espm
39. A soma das medidas de todas as arestas de um
paralelepípedo reto-retângulo é 84 cm e o seu volume vale
64 cm 3 . Além disso, sabe-se que as áreas (em cm 2 ) de suas
3 faces distintas formam uma PG. A menor aresta desse
paralelepípedo mede:
a) 4 cm b) 2,4 cm c) 2 cm
d) 1 cm e) 0,5 cm
Resolução:
Sendo a, b e c as medidas das arestas desse paralelepípedo, do
enunciado, temos:
PG (ab; bc; ac) ⇒
CPV espm08NOV
bc ac
= ⇒ a
ab bc
2 = bc
Como a . b . c = 64 e a 2 = b . c vem:
a . a 2 = 64 ⇒ a = 4
temos ainda: ⎧ a + b + c = 21 ⎧ b + c = 17 ⎧ b = 1
⎪
a . b . c = 64 ⇒
⎪
b . c = 16 ⇒
⎪
⎨
⎨
⎨ c = 16
⎪ a = 4 ⎪ a = 4 ⎪ a = 4
⎩
⎩
⎩
∴ a menor aresta desse paralelepípedo é 1cm.
Alternativa D
40. Os pontos A (x, x + 1) , B (0, x) e C (x – 1, 1) são vértices de
um triângulo de área 4 situado no primeiro quadrante do
plano cartesiano. A medida do lado AB é igual a:
a) 5 b) 10 c) 17
d) 2 e) 3
Resolução:
D =
x x+1 1
0 x 1
x–1 1 1
Sendo A a área do triângulo ABC, vem:
⇒ D = x 2 + x 2 – 1 – x 2 + x – x = x 2 – 1
A = 1
1
. | D | ⇒ 4 =
2 2 . | x2 – 1 | ⇒ | x2 – 1 | = 8
∴ x2 – 1 = 8 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = 3 ou x = –3 (∉ I Q)
ou x2 – 1 = – 8 ⇒ x2 = –7 (x ∉ IR)
logo: A(3, 4) e B(0, 3)
AB = ( 3–0) ( 4–3)
2 2
+ ⇒ AB = 10
Alternativa B
COMENTÁRIO
Embora a prova de Matemática da ESPM-2009 1 o semestre tenha
mantido o tradicional nível de dificuldade dos últimos anos, neste
ano, ela se mostrou mais adequada ao propósito de seleção dos
candidatos mais bem preparados.
Algumas questões, tais como 27, 28, 31 e 34 se destacaram pela
criatividade e pela originalidade. Já na 32, observamos um pequeno
detalhe que poderia ter confundido o vestibulando. Quando o
enunciado se refere ao comprimento, o candidato deve pressupor
que este é sempre maior ou igual a largura.