CPV – 82% de aprovação na ESPM

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espm – 16/11/2008 cpv – especializado na espm
32. A organização de uma exposição industrial estabeleceu que
as placas de publicidade nos estandes deveriam ser
retangulares, ter área igual a 2 m² e seus perímetros não
poderiam exceder 6 m. Se chamarmos o comprimento de
uma dessas placas de x, a expressão que melhor representa
a sua variação é:
a) 1 ≤ x ≤ 2
b) 2 ≤ x ≤ 2
c) 1 ≤ x ≤ 2
d) 0 < x ≤ 2
e) 0 < x ≤ 2
Resolução:
Admitindo-se que o comprimento x é maior ou igual a largura y de
um retângulo, temos que:
x . y = 2 y = 2
⎧
⎧
⎪
⎪ x
⎨ 2x + 2y ≤ 6 ⇒ ⎨ y ≤ 3 – x
⎪ x ≥ y ⎪ y ≤ x
⎩
⎩
Esse sistema determina a seguinte região do plano cartesiano:
y = 3 – x
Logo, 2 ≤ x ≤ 2
CPV espm08NOV
y
3
2
2
1
y = 2
x
y = x
1 2
2 3 x
Alternativa B
33. Uma conta de restaurante no valor de R$ 216,00 seria
dividida igualmente entre um grupo de amigos, dando para
cada um deles, uma importância igual a um número inteiro
de reais, formado por 2 algarismos. No momento do
pagamento, decidiu-se que essa conta seria dividida por
um número menor de pessoas, o que acabou resultando
para cada um, uma importância formada pelos mesmos 2
algarismos anteriores, mas em ordem inversa. O número de
pessoas que deixou de pagar a conta foi:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Resolução:
Sejam n, k e AB, o número de pessoas no grupo de amigos, o
número de amigos que deixam o grupo e a importância, em reais,
cabida a cada um deles inicialmente. Assim,
216
n
= AB
216
n − k
= BA
⇔
216
= n
AB
216
= n – k
BA
Como n e n – k são inteiros, temos que AB e BA pertencem ao
conjunto dos divisores positivos de 216: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216}. Logo, AB = 27 e BA = 72 e,
desta forma, n = 8 e n – k = 3 ⇔ k = 5.
Alternativa C
34. A figura abaixo representa parte da planta de uma cidade
bastante peculiar. Nela só existem 2 companhias de táxis
que operam em regiões exclusivas: a companhia “Oeste”
trabalha somente à esquerda da rua R e a companhia “Leste”
somente à direita dessa rua. Suas tarifas, em moeda local,
são calculadas pelas expressões y = 20 n e y = (n + 3) 2 ,
respectivamente, onde n é o número de quarteirões
percorridos. Um matemático deseja ir do ponto A ao ponto
B, utilizando-se dos serviços das duas companhias para
todo o percurso. Com alguns cálculos ele descobriu que o
menor custo possível para isso seria igual a:
a) 312
b) 316
c) 320
d) 324
e) 328
Resolução:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Sejam n1 e n2 o número de quarteirões percorridos pela companhia
“oeste” e “leste” respectivamente, partindo de A para B.
Logo o matemático, de qualquer forma, percorrerá 18 quarteirões
e, assim, n1 + n2 = 18.
Como queremos minimizar o custo, devemos minimizar a função
C = 20n1 + (n2 + 3) 2 ⇔ C(n2 ) = 20 . (18 – n2 ) + (n2 + 3) 2 ⇔
C(n2 ) = n2 – 14n2 + 369.
2
−− ( 14)
A função C(n2 ) será mínima para n2 = = 7 e, desta forma,
2 . 1
seu valor mínimo é C(7) = 320.
Alternativa C