CPV – 82% de aprovação na ESPM

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espm – 16/11/2008 cpv – especializado na espm
25. Os lados AB e AC de um triângulo eqüilátero de perímetro 18
são divididos em 3 partes iguais pelos pontos M, N, P e Q,
como mostra a figura abaixo. As retas PN e MQ
interceptam a reta suporte do lado BC nos pontos D e E,
respectivamente.
O comprimento do segmento DE é igual a:
a) 12 b) 10 c) 14 d) 8 e) 9
Resolução:
CPV espm08NOV
)
2
2
)
2 2
2
6
Na figura, notamos que os triângulos NMP e NBD são congruentes
(ALA) e portanto DB = 2. Da mesma forma, os triângulos QPM
e QEC também são congruentes, donde vem CE = 2.
Assim, DE = DB + BC + CE = 2 + 6 + 2 = 10
2
2
Alternativa B
26. Num cofrinho há somente moedas de 25 e 10 centavos que
perfazem exatamente R$ 2,35. A probabilidade de haver mais
moedas de 25 do que de 10 é igual a:
a) 10 % b) 20 % c) 25 %
d) 30 % e) 40 %
Resolução:
Considerando
x: número de moedas de 25 centavos
y: número de moedas de 10 centavos
Temos: 25x + 10y = 235 Þ y =
47 − 5x
; x, y ∈ IN
2
Os pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação são: (1; 21),
(3; 16), (5; 11), (7; 6) e (9; 1).
Então, a probabilidade de que x seja maior que y é:
P = 2
= 40 %
5
Alternativa E
27. Um terreno retangular foi dividido em 5 lotes quadrados,
A, B, C, D e E, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que o
valor de cada lote é diretamente proporcional à sua área e
que os lotes de esquina têm uma sobrevalorização de 20%.
Se o lote A vale R$ 230.400,00, o valor do lote B é:
a) R$ 108.000,00
b) R$ 124. 800,00
c) R$ 98.600,00
d) R$ 110.200,00
e) R$ 132.000,00
Resolução:
x x x
Se chamarmos o lado de cada um dos lotes C, D e E de x, concluímos
que o lado do lote B vale 3x e que o lado do lote A mede 4x.
Então, o valor da área x2 vale
( ) 2
230400
= 12000 reais
1, 2 . 4
O valor do lote B, onde a área é equivalente a 9x2 , é:
12000 x 9 = 108000 reais.
Alternativa A
28. Na figura abaixo, as medidas dos segmentos colineares PA
e PB são as raízes da equação 2x 2 – 20x + 5 = 0. Além disso,
sabe-se que OP = 1 e que os ângulos AÔD e BÔC são
retos.
A medida do segmento CD é igual a:
a) 5 b) 3 c) 6
d) 4 e) 7
Resolução:
Utilizando as relações métricas do triângulo retângulo, temos:
OP2 OP
2
1
= PD . PA ⇒ PD = =
PA PA
x
3x 4x
OP2 2
OP 1
= PC . PB ⇒ PC = =
PB PB
O segmento CD é igual a soma das medidas de PC e PD.
1 1 PA + PB
Assim, CD = + =
PA PB PA . PB
No entanto, PA e PB são raízes da equação 2x2 – 20x + 5 = 0,
donde calculamos a soma e o produto de suas raízes:
( −20)
PA + PB = – = 10 e PA . PB =
2
5
2
Portanto a medida do segmento CD é:
PA + PB 10
CD = = = 4
PA . PB 5
2
Alternativa D