FUNÇÕES - Rumo ao ITA

FUNÇÕES
1.Definição e Conceitos Básicos
1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado
Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra que
permite associar, de modo bem determinado, a cada a A, um único elemento b = f(a) B.
Isto é, x A, ! f(x) B.
Observações:
1- Para esta apostila, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão
subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos;
2- IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor
que a função f assume no ponto x A.
1.2. Exemplos
a) f : R R; f(x) = l x l (função Módulo)
b) g : [10, + ) R; g(x) = x 10
c) h : R \ { 0 } R; h(x) = 1
x
d) i ; R+ R; i(x) = ln x
e) (Função de Dirichlet) f : R { 0; 1 }; f(x) =
0 , x
1, x
Q
R - Q
1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA FUNÇÃO
1.3.1. Quando x percorre
f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) = { f(x), x
(relativos a 1.2 ):
a) Im(f) = R+
b) Im(g) = R+
c) Im(h) = R \ { 0 }
d) Im(i) = R
e) Im(f) = { 0 ; 1 }
o Domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de
A }. Convém atentar que Im(f)
B. Exemplos
1.3.2. Entretanto, o conceito de Imagem não se restringe a isso. Consideremos, agora, os
subconjuntos X
A e Y
B. Denomina-se IMAGEM DIRETA de X através de f o conjunto

f(X) = {f(x), x
X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por
f -1 (Y) = { x A, f(x) Y }. Esclarecendo com exemplos:
a) f : R \ { 0 } R; f(x) = 1/x, com X = ( 2/3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ] f(X) = [1/5; 3/2) e f -1 (Y) = [ 1; + )
b) g: R R; g(x) = x 4 , X = Y = [ -1, 2]. Neste caso, g(X) = [ 0; 16 ] e g -1 (Y) = [ 0, 4 2 ]
1.3.3. PROPRIEDADES
1) f(X Y) = f(X) f(Y)
2) f(X Y) f(X) f(Y)
3) Se X Y f(X) f(Y)
4) f -1 (W Z) = f -1 (Z) f -1 (W)
5) f -1 (W Z) = f -1 (Z) f -1 (W)
6) Se Z W f -1 (Z) f -1 (W)
7) f -1 (Y C ) = (f -1 (Y)) C
8) f -1 (W
Z) = f -1 (W) f -1 (Z)
2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
2.1. Def.: O conjunto G(f) = { (x;f(x)); x
subconjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reais.
2.2. Exemplos
a) Função Módulo b) g(x) = x 10
c) h(x) = 1 d) i(x) = ln x
x
A } é denominado gráfico de f. É, portanto, um

e) ( Esboce! )
3.1. Sejam f, g : A B; A, B
a) f + g: A
b) f . g: A
c) f / g: A
3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
R. Define-se:
R por (f + g)(x) = f(x) + g(x);
R por (f . g)(x) = f(x) . g(x);
R por (f / g)(x) = f(x) / g(x).
A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO:
3.2. Def.: Sejam A, B, C
COMPOSTA gof : D A
R, com B
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!!:
1) O domínio de gof consiste nos x
obrigatório que B C !!
C, f : A
B e g: C
R por: gof(x) = g(f(x)), x D.
2) O contradomínio de gof é o contradomínio de g.
3.2.1.Exemplo: Sejam f: R
e fog.
R. Definimos FUNÇÃO
A tais que f(x) pertença ao domínio de g. Por isso é
R; f(x) = x + 3 e g: R \ { -2 }
a) Com relação a gof, temos que D(gof) = { x
R; f(x)
R \ { -5 }. Assim, gof : R \ { 5 } R; (gof) (x) = g(f(x)) = g(x+3) =
R; g(x)= 2/(x+2). Achemos gof
R \ { -2 } } = { x
( x
2
3)
2
R; x + 3
2
x 5
-2 } =

) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x
portanto, fog : R \ { -2 } R; (fog) (x) = f(g(x)) = f
2
x 2
=
2
x 2
R / g(x)
4.PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE
4.1.Def.: f é PERIÓDICA
t
+ 3
R } = R \ { -2 };
R, t 0, tal que x A x + t A e f(x + t)= f(x).
Observações: 1) O número t é chamado de UM período de f;
2) O menor período positivo T é denominado O PERÍODO
período T.
4.2.Def.: Uma função f: A
f(x1)
R
de f, e então f é periódica de
B é denominada crescente (não decrescente) se x1

Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à
sua imagem.
5.1.3. Dizemos que f é BIJETORA (BIJETIVA)
B, ! x A / f(x) = y.
5.2. Exemplos:
1) f: R R, f(x) = ax + b; a, b
R; a 0
a- Temos que f é injetora; senão, dados x1 e x2
+ b ax1 = ax2.Como a 0, então x1 = x2.
b- Além disso, f é sobrejetiva: dado y
1
ax + b = a. y b
a
2) g: R R; g(x) = x 2
+ b = y.
f é injetora e sobrejetora, isto é,
R com f(x1) = f(x2), temos ax1 + b = ax2
R, consideremos x = (y - b) / a
a- Nesse caso, g não é injetora, pois g(-1) = g(1) = 1, mas -1 1;
b- a função g também não é sobrejetora, pois -4
R e não existe x
y
R, então f(x) =
R / g(x) = -4.
Repare que, se construirmos h: R+ R+; h(x) = x 2 , teremos h uma função BIJETORA.
5.3. Algumas propriedades importantes (Prove!)
5.3.1. Sejam as funções f: A B e g: B C. Então são válidas as seguintes afirmações:
1) Se f e g são injetoras, então gof é injetiva de A em C.
2) Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva de A em C.
3) Se f e g são bijetivas, então gof é bijetiva de A em C.
5.3.2. Toda função estritamente crescente/decrescente é biunívoca. A recíproca é
verdadeira???
5.3.3. f(X
Y)
f(X)
f(Y) somente se f é injetora. O que se pode concluir a partir
dessa propriedade e da propriedade 2) do item 1.3.3.?
6. INVERSÃO DE UMA FUNÇÃO
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6.1.Uma função IA : A
A definida por IA(x) = x, para todo x
A, é chamada Função
Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a
compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA.
6.2.Def.: Seja f: A
B; A, B
INVERSA de f gof = I = fog.
6.2.1.Exemplos:
R. Uma função g: B
A é denominada FUNÇÃO
1) f: R R, f(x) = x 9 . Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9 x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x.
2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a
3) f: R
R+, f(x) = x 2 não admite inversa pois, considerando g: R+
inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2
Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x 2 então g(x) = x é uma inversa de f.
-2.
R, g(x) = x como
Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na
verdade:
6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora.
Demonstração:
( ) f possui inversa
g: B A tal que fog = I = gof.
(I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2
x1 = x2 ;
(II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y
f(g(y)) = y.
( ) f é bijetora
Dado y
A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2))
B, considere x = g(y)
B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B
Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd)
Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f -1 .
Note que D(f) = CD(f -1 ) e vice-versa!
A. Então f(x) =
A tal que g(y) = x .
Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da
função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa.
Observe o exemplo a seguir:
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Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função
seja bijetora para que sua inversa exista:
6.4.Propriedades
1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de
uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente.
2) Sejam as funções f: A
B e g: B
C; se gof = IA, então g é sobrejetora e f é
injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas).
7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-x) = f(x)
b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-x) = -f(x)
7. PARIDADE
Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que +x
e x D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO.
D(f)
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7.2.Exemplos: f: R R; f(x) = x 2 + 5 é uma função par;
g: R R; g(x) = x 3 + x é uma função ímpar.
Observações importantes!!!!!
1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas enquanto o
gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
2) Se f é uma função par, então gof é par(independentemente de g!). Por que??
3) Se f é ímpar e g é ímpar, então gof é ímpar.
8. FUNÇÕES ELEMENTARES
8.1. FUNÇÃO CONSTANTE: é a função f(x) = k, k
R, x D(f).
8.2. FUNÇÃO ALGÉBRICA: é toda função formada por um número finito de operações
sobre a função identidade e a função constante. Exemplos:
1) Função linear: f(x)= ax + b, x
R, com a 0
2) Função polinomial: f(x) = a0x n + a1x n-1 + ... + an-1x 1 + an, x
R, a0 0
3) Função racional: f(x) = p(x) / q(x), onde p e q são funções polinomiais e q não é o
polinômio identicamente nulo. Lembrar que D(f) = { x
8.3. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
R : q(x) 0 }
1) Funções exponenciais: a x , 0 < a 1; D(f) = R e Im(f) = R+ \ { 0 }
2) Funções logaritmicas: logax, 0 < a 1; D(f) = R+ \ { 0 } e Im(f) = R
Vejamos graficamente como as funções exponenciais e logaritmicas se comportam,
bem como a relação de inversão que existe entre elas:
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3) Funções trigonométricas: sen x, cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x. Analisar Domínio,
Imagem e paridade de cada uma delas (Exercício)
4) Funções trigonométricas inversas: arcsen x, arccos x, arctg x, arcsec x, arccossec x,
arccotg x. Analisar paridade, Domínio e Imagem de cada uma.
5) Funções hiperbólicas
a) senh x =
e
x
e
2
x
e
(negrito) e cosh x =
8.4. Outros Exemplos (esboce os gráficos!)
x
e
2
x
b) tghx =
senh x
cosh x
1) Função maior inteiro menor ou igual a x 2) f(x) = [ x ] - x ; D(f) = R, Im(f) = ( -1; 0 ]
[ x ] : R Z
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3) f: R *
{ -1; 1}; f(x) = x / I x I 4) f: R R; f(x) =
9.1.Def.: Seja f: A B
9. LIMITAÇÃO
a) Dizemos que f é limitada superiormente quando
L / f(x) L, x
1
, x
x
0, x
N
R - N
uma cota superior de f. A MENOR das cotas superiores é chamada SUPREMO.
b) Dizemos que f é limitada inferiormente quando M tal que f(x) M, x
A; neste caso, L é
A; assim, M
é denominada cota inferior de f. A MAIOR das cotas inferiores é denominada ÍNFIMO.
c) Dizemos que f é LIMITADA quando N : l f(x) l < N, x A.
9.2. Exemplos de funções limitadas:
1) seno, cosseno
2) [ x ] x
3) Função de Dirichlet
4) O exemplo 4) do item 8.4
5) A função f(x) = x 2 é ILIMITADA em R, mas é limitada em [ a; b ]; a, b
6) A função g(x) = 1/x é ilimitada em R, mas é limitada em [ a; b ]
ilimitada em ( 0, a ] [ a, 0 ), com a, b
R.
R
0
[ a; b ]; e é
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