FUNÇÕES - Rumo ao ITA

6.1.Uma função IA : A
A definida por IA(x) = x, para todo x
A, é chamada Função
Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a
compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA.
6.2.Def.: Seja f: A
B; A, B
INVERSA de f gof = I = fog.
6.2.1.Exemplos:
R. Uma função g: B
A é denominada FUNÇÃO
1) f: R R, f(x) = x 9 . Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9 x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x.
2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a
3) f: R
R+, f(x) = x 2 não admite inversa pois, considerando g: R+
inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2
Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x 2 então g(x) = x é uma inversa de f.
-2.
R, g(x) = x como
Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na
verdade:
6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora.
Demonstração:
( ) f possui inversa
g: B A tal que fog = I = gof.
(I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2
x1 = x2 ;
(II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y
f(g(y)) = y.
( ) f é bijetora
Dado y
A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2))
B, considere x = g(y)
B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B
Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd)
Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f -1 .
Note que D(f) = CD(f -1 ) e vice-versa!
A. Então f(x) =
A tal que g(y) = x .
Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da
função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa.
Observe o exemplo a seguir:
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