FUNÇÕES - Rumo ao ITA

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6.1.Uma função IA : A A definida por IA(x) = x, para todo x A, é chamada Função Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo <strong>ITA</strong>. 6.2.Def.: Seja f: A B; A, B INVERSA de f gof = I = fog. 6.2.1.Exemplos: R. Uma função g: B A é denominada FUNÇÃO 1) f: R R, f(x) = x 9 . Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9 x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x. 2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a 3) f: R R+, f(x) = x 2 não admite inversa pois, considerando g: R+ inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2 Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x 2 então g(x) = x é uma inversa de f. -2. R, g(x) = x como Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na verdade: 6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora. Demonstração: ( ) f possui inversa g: B A tal que fog = I = gof. (I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2 x1 = x2 ; (II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y f(g(y)) = y. ( ) f é bijetora Dado y A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) B, considere x = g(y) B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd) Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f -1 . Note que D(f) = CD(f -1 ) e vice-versa! A. Então f(x) = A tal que g(y) = x . Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): <strong>ao</strong> refletir o gráfico da função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa. Observe o exemplo a seguir: 7
Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função seja bijetora para que sua inversa exista: 6.4.Propriedades 1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente. 2) Sejam as funções f: A B e g: B C; se gof = IA, então g é sobrejetora e f é injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas). 7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-x) = f(x) b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-x) = -f(x) 7. PARIDADE Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que +x e x D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO. D(f) 8
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