Prova comentada - Vestibular UFSC/2008

Questão 27
⎡0
⎢
Considere as matrizes: A = ⎢y
⎢
⎣1
no conjunto dos números reais.
x
−1
z
1⎤
⎥
0⎥
, B =
0⎥
⎦
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
⎡−1
⎢
⎢ y
⎢
⎣ 1
1⎤
⎡ 7
⎥ ⎢
0⎥
e C = ⎢−6
x⎥
⎢
⎦ ⎣ 2
2⎤
⎥
3⎥
, onde x, y e z variam
z⎥
⎦
⎡ 64 ⎤
⎢ ⎥
01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = ⎢-69⎥
.
⎢ ⎥
⎣ 20 ⎦
02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.
04. A matriz transposta de B é B t ⎡ 1 y −1⎤
= ⎢ ⎥ .
⎣x
0 1 ⎦
08. Se A.B = C, então x + y + z = 5.
Gabarito: 03 (01+02)
Número de acertos: 582 (8,54%)
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão trata do estudo de matrizes, seus tipos mais freqüentes, suas operações e a
aplicação das propriedades dessas operações. Somente 8,54% dos candidatos apontaram
como corretas apenas as proposições 01 e 02, que obtiveram 34,31% e 49,11% da preferência
dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar foi muito baixo o índice de acerto
nesta questão, tendo em vista que o tópico de matrizes além de ser bastante explorado no
Ensino Médio, é considerado muito fácil pelos alunos. Essa foi a questão da prova que teve o
menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil. Ao analisar o quadro de freqüência de
respostas observa-se, além da resposta correta, um espalhamento correlato, distribuído entre
várias respostas que são, em ordem decrescente de preferência: 02 – 17,74%; 04 – 15,25%;
08 – 9,14%; 01 – 8,88%; 10 (02+08) – 7,81%; 06 (02+04) – 7,50%; 09 (01+08) – 5,68%; 12
(04+08) – 4,65%; 05 (01+04) – 3,83% e 11 (01+02+08) – 3,01%. Novamente, percebe-se que,
na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s)
proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 01 e 02. A grande responsável
pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como
corretas, as quais obtiveram 37,82% e 35,29% da preferência dos candidatos,
respectivamente. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 04 como verdadeira
não tenham refletido a respeito do significado da palavra ordenadamente na definição da matriz
transposta de uma matriz dada: seja A uma matriz m × n . Denomina-se matriz transposta de A
t
(indica-se por A ) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A . No caso
da proposição 08, bastaria o candidato realizar o produto das matrizes A e B , a seguir igualar