Prova comentada - Vestibular UFSC/2008

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Questão 27 ⎡0 ⎢ Considere as matrizes: A = ⎢y ⎢ ⎣1 no conjunto dos números reais. x −1 z 1⎤ ⎥ 0⎥ , B = 0⎥ ⎦ Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). ⎡−1 ⎢ ⎢ y ⎢ ⎣ 1 1⎤ ⎡ 7 ⎥ ⎢ 0⎥ e C = ⎢−6 x⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 2 2⎤ ⎥ 3⎥ , onde x, y e z variam z⎥ ⎦ ⎡ 64 ⎤ ⎢ ⎥ 01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = ⎢-69⎥ . ⎢ ⎥ ⎣ 20 ⎦ 02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1. 04. A matriz transposta de B é B t ⎡ 1 y −1⎤ = ⎢ ⎥ . ⎣x 0 1 ⎦ 08. Se A.B = C, então x + y + z = 5. Gabarito: 03 (01+02) Número de acertos: 582 (8,54%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil A questão trata do estudo de matrizes, seus tipos mais freqüentes, suas operações e a aplicação das propriedades dessas operações. Somente 8,54% dos candidatos apontaram como corretas apenas as proposições 01 e 02, que obtiveram 34,31% e 49,11% da preferência dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar foi muito baixo o índice de acerto nesta questão, tendo em vista que o tópico de matrizes além de ser bastante explorado no Ensino Médio, é considerado muito fácil pelos alunos. Essa foi a questão da prova que teve o menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil. Ao analisar o quadro de freqüência de respostas observa-se, além da resposta correta, um espalhamento correlato, distribuído entre várias respostas que são, em ordem decrescente de preferência: 02 – 17,74%; 04 – 15,25%; 08 – 9,14%; 01 – 8,88%; 10 (02+08) – 7,81%; 06 (02+04) – 7,50%; 09 (01+08) – 5,68%; 12 (04+08) – 4,65%; 05 (01+04) – 3,83% e 11 (01+02+08) – 3,01%. Novamente, percebe-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 01 e 02. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como corretas, as quais obtiveram 37,82% e 35,29% da preferência dos candidatos, respectivamente. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 04 como verdadeira não tenham refletido a respeito do significado da palavra ordenadamente na definição da matriz transposta de uma matriz dada: seja A uma matriz m × n . Denomina-se matriz transposta de A t (indica-se por A ) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A . No caso da proposição 08, bastaria o candidato realizar o produto das matrizes A e B , a seguir igualar
a matriz C para obter diretamente os valores de x, y e z e, finalmente, verificar que x + y + z ≠ 5.
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