Joaquim Gomes de Souza e as Controvérsias Sobre o Uso das

Carlos Fernandez, Cícero de Souza 

JOAQUIM GOMES DE SOUZA E AS 

CONTROVÉRSIAS SOBRE O USO DAS 

SÉRIES DIVERGENTES NO SÉCULO XIX 

Ideação,Feira de Santana, n.3, p.131-157, jan./jun. 1999. 

131 

Carlos Sanchez Fernandez 

Universidade de Havana ( Cuba ) 

Cícero Monteiro de Souza 

Universidade Federal Rural de Pernambuco 

Resumo: Joaquim Gomes de Souza (1829-1864) é um dos tantos 

exemplos de inteligência desaproveitada na História da Ciência no 

Brasil. Sendo o primeiro graduado a defender uma tese de Doutorado 

em Ciências Físicas e Matemáticas,s em nosso país, foi ousado e lutou 

com insistência, por seu reconhecimento científico na Europa. Este 

artigo trata das relações entre as suas obras matemáticas e as 

controvérsias em torno do uso legítimo de séries divergentes no século 

XIX. Começa com uma breve apresentação sobre sua vida, para em 

seguida descrever, concisamente, as características da polêmica sobre 

o uso de séries divergentes. Finalmente revela as considerações 

críticas dos autores sobre o uso destas séries em seus trabalhos. 

Abstract: Joaquim Gomes de Souza is one of the many 

exemples of unrecognised intelligence in the Brasil’s History 

of Sciences. Joaquim Gomes de Souza (1829-1864) was the 

first graduate to support a doctoral thesis on Physical and 

Mathematical Sciences in Brazil. He was audacious and fought 

with insistence for his scientific recognition in Europe. His 

effort was fruitless, though. This paper is concerned with the 

relations between the Gomes de Souza’s mathematical works 

and the controversy about the legitime use of divergent series 

in the nineteenth century. It brings a brief introduction of

132 Carlos Fernandez, Cícero de Souza 

Gomes de Souza. Then, it succintly describes the characteristics 

of the polemic about the use of divergent series. Finally, it 

reveals the critical considerations of these authors concerning 

Gomes de Souza’s Works. 

Palavras chaves: Análise Matemática, Brasil, Século XIX, 

Joaquim Gomes de Souza. 

1 Joaquim Gomes de Souza (A vida) 

Respeite os homens que dão prova de ousadia, 

mesmo que eles fracassem. 

O Jovem Sêneca [ 1-65, d.C. ] 

Quando em 1749 o Marquês de Pombal estabeleceu o livre 

comércio do Grão-Pará e Maranhão, se iniciava-se o desenvolvimento 

sócio-econômico e cultural da província do Maranhão. Não foram 

poucas as famílias portuguesas que migraram para lá, incentivadas 

pelos grandes latifúndios que recebiam para habitar e explorar a 

região. É de uma destas famílias que descende o ilustre Joaquim 

Gomes de Souza. Nascido no Maranhão, em 1829, filho do Major 

Ignacio José Gomes de Souza, possuidor de uma excelente posição 

social e uma razoável fortuna, que lhe permitiu educar os filhos nas 

melhores escolas do país [BARBOSA, 1984, p. 25-27]. 

Depois de alguns atropelos em seus primeiros anos escolares, 

em São Luís, capital do Maranhão e em Olinda, Pernambuco, onde 

deveria estudar Direito, seu pai resolveu enviá-lo para o Rio de 

Janeiro, com a pretensão de torná-lo militar de carreira, e para 

isso, a Escola Militar do Rio de Janeiro era o ambiente ideal. Esta 

escola, criada em 1810, por D. João VI, tinha como objetivo a 

formação de oficiais do exército, entretanto, passou a ter também 

o primeiro Curso de Ciências Físicas e Matemáticas do Brasil. Este 

é o início da matemática superior em nosso país, e para se ter uma 

idéia da sua qualidade o quadro de professores era composto por 

11 conferencistas e 5 substitutos, todos portugueses ou brasileiros 

Ideação,Feira de Santana, n.3, p.131-157, jan./jun. 1999.


graduados nas Universidades de Coimbra ou Lisboa. A Carta de 

Lei que criou a Academia Real Militar, também apontava quais os 

livros deviam ser adotados (por exemplo), Para o ensino da 

Álgebra e do Cálculo Diferencial e Integral se recomendava a 

famosa obra de LACROIX (1810), "Traité du Calcul Differentiel et 

du Calcul Intégral". Desde a sua fundação, a Academia já contava 

com traduções das obras mais populares de Euler, Bézout, Monge, 

Laplace e Legendre, entre outros e, algum tempo depois, já se 

escreviam textos didáticos para uso da própria escola 1 . 

Quando Joaquim Gomes de Souza matriculou-se na Escola 

Militar, com apenas 14 anos de idade, seus conhecimentos matemáticos 

se reduziam a habilidades aritméticas elementares e um pouco de 

geometria plana. Depois de terminar o primeiro ano, com a saúde 

debilitada devido ao esforço físico exigido desisti do curso de 

Engenharia e matriculou-se na Faculdade de Medicina do Rio de 

Janeiro. As ciências naturais o atraiam, em especial a Física, a qual 

se incluía nos primeiros anos daquele curso. Seu interesse pela 

Matemática nasce, assim, indiretamente, na tentativa de conhecer 

as aplicações dessa matéria nas outras ciências. Os resultados dos 

seus esforços pessoais levam-no, em 1847, a solicitar da Congregação 

da escola, prestar exames referentes aos quatro anos do Curso de 

Ciências Físicas e Matemáticas. Depois de muita polêmica em 

torno deste fato, em 10 de junho de 1848, recebe o título de 

Bacharel em Ciências Físicas e Matemáticas e apenas cinco meses 

depois, em 14 de outubro do mesmo ano, com 19 anos de idade, 

defende sua tese de doutorado: dissertação sobre o modo de 

indagar novos astros sem o auxílio das observações diretas, cujos 

argumentos se baseavam no descobrimento, em 1846, do planeta 

Netuno e na Mecânica Celeste de Laplace. Esta foi a primeira tese 

de Matemática, defendida em uma instituição brasileira, para a 

obtenção do título de Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas. 

Em 1848, é nomeado professor substituto da Escola Militar, dando 

início, no ano seguinte, a fase de investigações científicas em sua curta 


133


existência. Sem um veículo especializado no qual pudesse divulgar os seus 

trabalhos, começa a publicá-los na revista literária chamada Guanabara, 

que, na época, circulava no Rio de Janeiro [SOUZA, 1850 e 1851]. 

Em 1854, sentindo-se preso às limitações científicas do Brasil, 

pede permissão ao governo para ir à Europa. Sua liberação foi 

justificada pelas duas missões para as quais fora designado: estudar 

o sistema penitenciário com o objetivo de melhorar os procedimentos 

usados na Casa de Correção da Corte (Rio de Janeiro), da qual 

era secretário; e obter informações sobre os observatórios astronômicos 

[LEAL, 1987, tomo II, p. 245-246]. Ao chegar em Paris, onde 

fixou residência, começa a assistir a diferentes cursos de Matemática 

na Sorbonne e estabelece contatos com os matemáticos franceses 

e ingleses. Durante os anos de 1855 e 1856 apresenta vários 

trabalhos na Academia de Ciências da França e na Royal Society 

of London 2 . 

Não recebendo a devida acolhida para a publicação de seus 

trabalhos na França e Inglaterra, decide, em 1856, viajar para a 

Alemanha e, por sugestão de amigos, entrega ao editor F. A. 

Brockhaus, em Leipzig, uma obra intitulada: "Recueil de mémoires 

d’Analyse e Physique Mathematiques", que além de reunir todos 

os seus trabalhos, continha a sua Filosofia Geral das Matemáticas. 

A unificação dos métodos analíticos que, segundo ele [BLAKE, 

1889], consistia em um método unificador de toda a Ciência e seria 

considerada a sua mais importante obra. 

No início de 1857, no auge de sua produção científica, recebe 

um comunicado do irmão dizendo que ele havia sido eleito para 

representar a província do Maranhão no Parlamento Brasileiro e 

que, portanto, devia regressar o mais rápido possível ao Brasil. 

A entrada de Gomes de Souza na política encerra sua fase de 

investigações científicas, mas este fato não o privou de continuar 

como professor, agora, catedrático da disciplina de Cálculo Diferencial 

e Integral. Mesmo assim, não encontramos nenhum registro de 

trabalhos científicos escritos por ele depois 



de 1857. Sabemos, entretanto, que, já como deputado, insiste, 

enviando ,à Paris, um extrato de sua primeira Memória, mas recebe 

a resposta de que por ser este muito extenso, não pode ser 

publicado nos Comptes Rendus da Academia 3 . 

Em 1859, aparece em Leipzig, Alemanha, uma "Anthologie 

Universelle: choix des meilleures poésies lyriques de diverses 

nations dans les langues originales", obra literária escrita durante 

sua permanência na Europa, e que mostra o grau de sua erudição 

[SOUZA, 1859]. 

Gomes de Souza foi eleito representante de sua província pelo 

Partido Liberal, em três legislaturas consecutivas (1857-1860, 

1861-1864, 1864-1867) [SOUZA, 1996]. 

No final de 1863, os problemas de saúde, que o perseguiam 

desde a infância, se agravaram. Deposita suas últimas esperanças 

na medicina inglesa, porém não obtém sucesso. E assim, com 

apenas 35 anos de idade, morre em Londres em junho de 1864. 

Em 1881, o ministro do Brasil em Berlin, é encarregado de 

financiar a publicação da obra entregue ao editor Brockhaus. O 

"Mélanges de Calcul Intégral" foi publicado em março de 1882. 

Haviam se passado quase 30 anos desde que ele o escrevera, e 

apenas uma insignificante indenização aprovada pelo Parlamento 

Brasileiro foi suficiente para que a editora os publicasse; entretanto, 

grande parte de seus escritos já haviam se perdido, em particular, 

"Filosofia Geral das Matemáticas", que poderia ter sido sua obra 

prima. 

2 O Uso das Séries Divergentes no Século XIX. 


135 

“Temos que admitir que muitas séries são tais 

que não podemos utilizá-las de imediato com 

segurança, exceto como método de descobrimento, 

cujos resultados tenham que ser comprovados


posteriormente, e sem dúvida alguma o inimigo 

mais ferrenho das séries divergentes faz uso 

delas em particular” [DE MORGAN, 1844]. 

No século XVIII, existia certo consenso em relação as so-mas 

infinitas e, em particular, com as séries de potências: 

1.-As séries são parte essencial e imprescindível do cálculo 

infinitesimal; 

2.- As séries constituem uma extensão da álgebra de polinômios; 

3.-Toda função pode ser representada em forma de série. 

Mas também existiam idéias que não eram aceitas por to-dos: 

1.- Toda série possui uma única função geratriz. 

2.- Uma série, mesmo sendo divergente, pode ser útil para 

aproximações numéricas. 

3.- Uma série pode representar uma função em operações 

analíticas, mesmo que ela seja divergente. 

É bem sabido que Euler foi um grande defensor de todas estas 

idéias e que era também consciente do risco de usar séries divergentes, 

mas preferia arriscar-se ao erro, a deixar um problema sem 

solução. 

O tratamento que Euler dá as somas infinitas representa o 

paradigma do século XVIII e se reflete, como ciência normal, nos 

melhores textos da época, como na primeira edição do famoso 

"Traité du Calcul differentiel et du Calcul intégral de Lacroix", que 

apareceu em 1797. Mas na segunda edição de 1810, mostrando 

a precaução exigida pela nova era, Lacroix vai chamar a atenção 

sobre o fato de que a série nem sempre tem o valor da função que 

representa. Mantendo, assim, a idéia defendida por Euler de que 

a série está associada a função, e em qualquer operação analítica, 

série e função entram com as mesmas considerações [LACROIX, 

1810, v.1, p. 4]. 



Esta mudança, refletida em um dos textos mais influentes da 

época, indica o começo de uma radicalização crítica que vai gerar 

a Idade das Revoluções, assim chamada pelo historiador inglês 

Hobsbawn: 

“No one could fail to observe that the 

world was transformed more radically 

than ever before in this era ... It is hardly 

surprising that patterns of though derived 

from the rapid social changes, the profound 

revolutions, the systematic replacements 

sof customary or traditional institutions 

by radical rationalist innovations, should 

become acceptable ...” [HOBSBAWN, 1962, 

p. 477]. 

Com relação à soma de séries, este radicalismo racionalista 

se observa em toda a geração formada nas primeiras décadas da 

Escola Politécnica de Paris, nos quais uma atitude crítica, revolucionária, 

ante a situação social, fazem aflorar todos os redutos em prol de 

uma conscientização social. 

Porém, mais importante do que a preocupação em legitimar 

a designação de um valor para a soma infinita, nesta primeira etapa, 

o que realmente ocupava a atenção dos analistas, era o problema 

da representação e aproximação. A possibilidade de representar 

analiticamente funções arbitrárias, por séries de funções elementares, 

se fazia cada vez mais importante. As técnicas eulianas, desenvolvidas 

em um contexto funcional restrito, se tornavam inseguras e pouco 

confiáveis, sobretudo para o racionalista radical. A representação 

por séries de Fourier serviu para mostrar o tipo de problema 

surgido na física matemática no início do século XIX e que exigia 

uma rigorização do método. Tal rigorização, para que fosse construtiva, 

devia negar dialeticamente a prática matemática anterior, procurando 

eliminar uma mínima parte das soluções dadas aos problemas 

priorizados do século XVIII. Era necessário um sacrifício no nível 

empírico, em benefício da elevação do nível racional teórico. 


137


É completamente natural que neste momento tendo ocorrido 

uma dis-criminação contra o uso das séries divergentes. Uns, 

porque compreendiam a necessidade de legislar sobre os direitos 

de cada classe para servir de representantes das funções mais 

rebeldes (como é o caso de Abel e Cauchy que, em seus estudos, 

eram cautelosos no trato com as séries divergentes, mas não 

proibiam categoricamente o seu uso); outros, porque sua mentalidade 

estreita não lhes permitia compreender o correto e necessário 

sentido dialético da negação e dogmatizavam mecanicamente o 

rigor dos mestres, proscrevendo o uso de tudo o era comprovadamente 

convergente, independentemente de qualquer outro valor heurístico 

ou prático. A maioria, porque o temor congênito de errar por 

incapacidade os levaria a autolimitar-se ao uso de um instrumento 

cuja potencialidade era misteriosa: convencer que uma série sendo 

divergente dá uma boa aproximação e serve de representante em 

operações analíticas, não é assunto fácil, mesmo hoje na era da 

informática. 

Aqueles que continuavam priorizando o lado prático, heurístico, 

do uso das séries divergentes, entraram na polêmica. Mas 

a diferença do que havia ocorrido no século XVIII é que agora, 

a maioria se agrupava em torno dos mais radicais. É interessante 

notar como as comunidades científicas européias assumiram posições 

diferentes diante desta polêmica. 

A geração da Analytical Society de Cambridge foi pioneira 

pela não aceitação do rigor europeu, pois estava formada no culto 

aos algoritmos e admitia, sem muita cautela, o uso das series 

divergentes: 

“... the attempt to exclude the use of 

divergent series in symbolical operations 

would necessarily impose a limit upon the 

universality of algebraic formulae and 

operations which is altogether contrary 

to the spirit of the science...” [PEACOKS, 

1833, p. 282]. 



Assim pensavam, ou atuavam, com base em tais convicções, 

dentre outros, De Morgan, J.R. Young, R. Moon, S. Earnshaw, 

T. Jarret. Alguns obtiveram importantes resultados, como é o caso 

de GREEN (1837) e STOKES (1857) os quais, resolveram com 

maestria problemas cuja resolução numérica, através das séries 

divergentes, era paradoxalmente muito mais precisa e rápida que 

utilizando as séries convergentes 4 . 

A sociedade alemã, mesmo dividida e sendo econômica e 

politicamente mais débil, apresentou, diante desta polêmica, uma 

gama de concepções pouco sistemáticas. M. Ohm, por exemplo, 

mantinha pontos de vista mais conservadores os quais, estavam em 

conflito com Schlomilch, Grunert e Dirksen. 

Por sua vez, Grunert e Schlomilch desprezavam o rigor dogmático 

que Dirksen defendia. Jacobi, não precisamente por honra ao 

espírito humano, e sim por seus interesses em investigações 

aplicadas, usa séries assintóticas. Dirichlet, por sua vez, vai procurar 

o rigor do estilo da escola francesa 5 . 

Na França, mais revolucionária e romântica, encontramos 

repetidos chamados ao papel heurístico das séries divergentes. O 

mesmo Cauchy, que tanto defendia o rigor, utilizaria séries divergentes 

em suas investigações aplicadas 6 , em diferentes problemas de 

ondas, ótica e astronomia; mais tarde, quando já era um profissional 

experiente, escreveu em um artigo ...para por em evidência as 

vantagens que podia oferecer o emprego da série de Stirling e 

muitas outras séries da mesma natureza, apesar de sua divergência 

[CAUCHY, 1843]. 

Poisson, Navier, Lamé, Liouville, dentre outros, aprovavam 

o uso cauteloso das séries d 

ivergentes nos problemas de integração de equações diferenciais 

e, com freqüência, as utilizaram sem 

a precaução requerida. Assim, por exemplo, Liouville 7 não se deu 


139


conta do erro que se cometia ao substituir a solução por termos 

de uma série assintótica, nem tampouco analisou as condições 

sobre as quais isso é factível. 

Devemos assinalar que esta polêmica se manteve até o final 

do século, quando a acumulação de casos anômalos e rebeldes 

impussam a necessidade de rever o que era negado e voltar as 

condições iniciais do modo de sistematização em um nível qualitativo 

superior, encerrando-se, assim, um ciclo dialético. Mas este salto 

qualitativo, que leva a síntese dialética aos princípios heurísticos 

eulianos e ao rigor crítico-teórico, não era possível sem um desenvolvimento 

interno da teoria das funções, em especial, de uma compreensão 

mais ampla do problema da representação analítica. Por outro 

lado, tinha-se que produzir mudanças externas nas comunidades 

científicas que são, afinal de contas, responsáveis pela elaboração, 

sistematização e aplicação do saber matemático. 

Todas estas mudanças vão se processando sincronicamente 

até produzir o salto qualitativo. Entretanto, as condições objetivas 

e subjetivas não amadureceram o suficiente para propiciarem a 

modificação racional da prática matemática 8 , ou seja, as contradições, 

que modelavam o seu desenvolvimento, levavam a situações paradoxais 

e, por conseguinte, justificavam as polêmicas, o que não quer dizer 

que se justifique a discriminação e a intolerância, como nos parece 

ocorrer com Gomes de Souza. 

3 Considerações Críticas Sobre o Uso das Séries 

Divergentes por Gomes de Souza 

Il doit donc y avoir quelque chose de réel et de 

légitime dans l’emploi et l’usage qu’on fait des 

suites divergentes, quelqu’on ne puisse pas 

tout-a-fait justifier leur emploi [SOUZA, 1882, 

p. 37]. 



Gomes de Souza resume suas idéias sobre séries divergentes 

em sua segunda Memória, que apresentou na Academia de Francesa 

Ciências. Ali está na segunda página, a confissão de seu pecado: 

Mais si les methodes dont j’ai fait usage 

dans la Mémoire cité 9 , sont tout-à-fait 

rigoureuses, on ne peut pas en dire de 

même de toutes celles dont nous allons 

faire usage ici, puisque je me sers de 

certains développements en séries, dont 

la convergence n’est pas démontrée, et 

dont l’emploi, par consequent, d’après 

quelques géomètres, n’est pas très legitime. 

Mais si nous passons par dessus ces difficultés 

qui n’existaient pas il y a seulement quelques 

années, et qui n’existent pas même aujourd 

hui pour plusieurs géomètres, tous ou 

presque tous faisant usage de suites dont 

la convergence n’est pas prouvée ou ne 

peut pas être demontrée... on verra que 

nous avons résolu le fameux problème 

dont la solution a été inutilment cherchée 

depuis deux cents années... [SOUZA,1882, 

p. 2] 10 . 

Desde o início, este ousado jovem queria mostrar seu valor 

em meio a intolerância crítica, mas teve a má sorte de manejar 

armas proibidas. Porém insiste, procurando uma justificativa: 

Mais quel sens donner à la série quand 

ses termes au lieu de s’évanouir pour des 

valeurs croissantes de n, conservent toujours 

une grandeur finie ou croissent d une 

manière quelconque sans avoir même d 

autre espèce de limite que l’infini? Aucun; 

a moins qu’on n’en fasse pas une nouvelle 

convention... [SOUZA, 1882, p. 33]. 


141


Ou seja, seu entendimento é de que o problema reside nos 

convencionalismos de moda que freiam as possibilidades heurísticas, 

mesmo naquelas situações que ainda não se sabe como resolver 

- e aí estava o seu drama - Apresentava a solução que, somente 

30 anos depois, dariam Stieltjes, Poincaré e Borel: se deve fazer 

uma nova convenção. Esta afirmação se concretiza, mais tarde, 

quando se define de uma maneira mais ampla os conceitos de 

somabilidade e representação analítica. 

Na página seguinte, Gomes de Souza mostra que conhece 

perfeitamente a teoria euliana e que, para ele, o importante é o 

caráter representativo da série nas operações analíticas: 

... nous regarderons la série du second 

membre, quand elle est divergente, comme 

une espèce de symbole remplaçant la fonction 

f(x); et cela n’a pas le moindre inconvénient 

pourvu qu’à la fin des calculs nous remplacions 

toutes les sèries ou expressions symboliques, 

de ce genre qu’on rencontrera par leurs 

fonctions géneratrices [SOUZA, 1882, p. 

34]. 

Para uma justa análise crítica das concepções de Gomes de 

Souza, consideramos imprescindível, partir das seguintes premissas 

metodológicas: 

1°.- Não se pode julgar da mesma forma alguém que, como 

ele, se formou com tantas limitações e poucos estímulos científicos, 

e os que tiveram a oportunidade de crescer em uma atmosfera 

propícia e com condições revolucionárias para a investigação 

científica. 

2°.- Não era possível que ele, nem nenhum de seus ilustres 

contemporâneos mais atualizados nos avanços da Análise, pudesse 

conseguir compreender o alcance dos princípios de Euler, e os 

sintetizar dialeticamente com os ditames do rigor, sem uma ampla 



e profunda compreensão da analítica que ainda estava por vir. E 

isto somente se consegue depois dos trabalhos de Weierstrass, 

Poincaré, Hadamard e outros, que abrem as fontes das quais se 

nutre a obra contemporânea de Borel [SANCHEZ FERNANDEZ, 

1994], primeira formulação sistemática de uma teoria de séries 

divergentes. 

Por outro lado, podemos ainda dizer que a sua formação como 

engenheiro e como astrônomo, recebida na Academia Militar de 

Rio de Janeiro e em seus estudos autodidatas, o levou a compreender 

de maneira diferente o sentido da convergência e sua negação. 

Poincaré foi um dos primeiros a apresentar esta característica em 

seus "Méthodes nouvelles de la mécanique céleste". 

Il y a entre les géometres et les astronomes 

une sorte de malentendu au sujet de la 

signification du mot convergence. Les 

géomètres, préoccupés de la parfaite rigueur 

et souvent trop indifferénts à la longuer 

de calculs inextricables dont ils conçoivent 

la possibilité, sans songer à les entreprendre 

effectivement, disent qu’un série est 

convergente quand la somme des termes 

tend vers une limite determinée, quand 

même les premiers termes diminueraient 

très lentement. Les astronomes, au contraire, 

ont coutume de dire qu’une série converge 

quand les vingt premiers termes, par exemple, 

diminuent très rapidement, quand même 

les termes suivants devraient croître 

indéfiniment... 

Les deux règles sont légitimes: la première 

dans les recherches théoriques; la seconde 

dans les applications numériques... 

[POINCARÉ, 1893, v. 2, cap. 8]. 


143


Borel, em sua Memória premiada pela Academia de Ciências 

de Paris, deixou claro, através de seu estilo dialético, em que 

consiste o sentido, aparentemente paradoxal, dos resultados corretos 

que se obtém com o emprego de séries divergentes: 

Le paradoxe disparait si l’on songe à la 

différence profonde, sur laquelle nous 

avons insisté plus haut, entre les séries 

naturelles, auxquelles conduisent des 

problèmes simples, et les séries fabriquées 

artificiellement. Ces dernières, lorsqu’elles 

sont convergentes, ont sans doute une 

valeur numérique...; lorsqu’elles sont 

divergentes, on n’en peut absolutement 

rien dire. On conçoit qu il puisse en être 

tout autrement des séries naturelles [BOREL, 

1899, p. 51]. 

Poincaré e Borel, autoridades indiscutíveis, nos permitem 

analisar corretamente o tratamento que Gomes de Souza dá ao uso 

das séries divergentes: 

1°.- As séries aparecem em seus trabalhos de forma natural, 

ligadas a solução de equações íntegro-diferenciais;. 

2°.- O seu interesse era obter uma representação analítica da 

solução, que servisse como aproximação nas manipulações operativas;. 

Se relembrarmos um critério bastante difundido à época, o 

qual encontramos refletido, por exemplo, em [DE MORGAN, 

1849, v.8, part II, p. 182-203], podemos agregar outro argumento 

a seu favor: 

3°.- Ele usa as séries divergentes como meio de descobrimento 

e não como meio de sistematização teórica. 



Isto está explícito desde a introdução de sua Memória : 

Je dois encore ajouter qu’après avoir 

déduit de l’equation (7) plusieurs solutions 

fondées sur des dévéloppements en séries, 

je suis venu à bout de la resoudre, en 

mettant tout-à-fait les suites de côté, ne 

m’appuyant que sur des intégrales définies, 

et par conséquent, donnant à la solution 

toute la rigueur désirable [SOUZA, 1882, 

p. 2]. 

E para os que não se convencem da legitimidade do uso que 

fez das séries assintóticas, na "Addition au Mémoire sur des 

méthodes générales d’intégration", afirma: 

... on peut toujours mettre de cotés les 

cas douteux, n’employant que des suites 

divergentes qui expriment des fonctions 

générales ... 

[SOUZA, 1882, p. 70]. 

É o mesmo emprego das séries divergentes naturais, como 

diria Borel. 

Então, perguntamos: Por que a Academia de Ciências de 

Paris não publicou os seus trabalhos? Por resultados incorretos? 

Por ter empregado o uso de séries divergentes? Por ele ser 

brasileiro? 

Não é fácil responder a essas interrogações. A verdade é que 

ele não recebeu, em momento algum, uma resposta oficial, embora 

tenha insistido em inúmeras ocasiões perante a Comissão designada 

para analisar sua obra. 

A "Mémoire sur les méthodes générales d’intégration" foi 

apresentada ao Instituto, em 18 de junho de 1855, e enviada a uma 


145


comissão constituída por M.M. Bienaymé, Lamé e Liouville, como 

relator. A mesma comissão, a qual posteriormente, se acrescentou 

Cauchy, teria que analisar também outra memória com o seguinte 

título: "Construccíon de algunas fórmulas sumatorias y reducción 

a sumas finitas de las diferentes series" que entran en la "Memoria", 

assim como um opúsculo sobre o som, que foram apresentadas em 

16 de julho do mesmo ano 11 . 

Em 9 de junho de 1856, volta apresentar, na mesma Academia, 

uma Adição à sua primeira Memória, na qual pretende provar 

que seus resultados são independentes do uso heurístico que fez 

das séries divergentes para obtê-los, uma vez que estava convencido 

de que a demora em obter um parecer da comissão, se devia a este 

uso polêmico. 

Porém toda insistência é em vão: 

M. Gomes de Souza prie l’Academie de 

vouloir bien hâter le travail de la commission 

qui a ètè chargèe de l’examen de ses 

diverses communications concernant des 

questions d’analyse mathèmatique. M. de 

Souza devant prochainement quitter la 

France et probablement pour n’y plus 

revenir, désire vivement obtenir sur ses 

travaux un jugement de l’Academie 12 . 

É incrível a persistência de Gomes de Souza, pois mesmo já 

estando no Rio de Janeiro, envia um extrato de sua primeira 

Memória 13 . Desta vez obtém a resposta de que o seu extrato é 

muito longo para encontrar lugar nos Comptes Rendus. Ao que 

tudo indica, isto esgota sua paciência, decidindo em não mais 

insistir (quem sabe também o tenha convencido, infelizmente, a 

deixar suas investigações científicas e dedicar-se a uma reconfortante 

carreira política em sua amada Pátria). 



A famosa comissão, se se reuniu, não elaborou parecer algum 

ou, se o elaborou, seu relator - M. Liouville - não se preocupou 

em redigi-lo. Desta forma, a Academia limitou a possibilidade de 

que outros contemporâneos lessem e criticassem a obra de tão 

competente brasileiro. Pelo menos uma crítica construtiva poderia 

tê-lo estimulado a continuar suas pesquisas. 

Em sua autobiografia, expressa, da seguinte forma, a respeito 

deste episódio: 

"Das questões escritas acima, assim como 

de outras mais gerais, dei grande número 

de soluções baseadas ou em séries 

convergentes, ou em métodos inteiramente 

independentes de séries, deduzindo sempre, 

como casos particulares das minhas fórmulas, 

as soluções de Liouville. Esta Memória, 

a menos importante talvez das que tenha 

escrito, foi apresentada ao Instituto de 

França, que até hoje não quis dar parecer, 

sendo Liouville o relator; o que tenho o 

direito, creio, de atribuir a “la petite 

jalousie”, tendo o célebre Lamé, um dos 

comissários a quem eu instigava para 

que a comissão desse parecer, escrito 

uma carta que dizia: -“J’ai lu votre mémoire, 

il pruve que vous êtes un bom analyste; 

je vous salue comme tel et pense que mes 

collègues ne seront pas d’un autre opinion”. 

É certo que nos trabalhos de Gomes de Souza existem freqüentes 

referências a métodos e resultados de Liouville [SOUZA, 1882, 

p. 75-84, 219], mas a reconhecida competência matemática deste 

ilustre cientista nos parece que foi o suficiente para que ele não 

desse a devida atenção as hipóteses levantadas pelo jovem estrangeiro. 


147


É bem verdade que havia razões óbvias que dificultavam a 

tomada de decisões pela comissão dirigida por Liouville: 

1°.- o seu objetivo pretensioso em criar um método geral de 

resoluções de equações íntegro-diferenciais, as quais só haviam 

sido tratadas em muitos poucos casos particulares; 

2°.- a utilização, como ferramenta principal, das aproximações 

e representações por séries divergentes, mesmo que somente fosse 

como meio de demonstração, abria um espaço para a dúvida e a 

desconfiança; 

3°.- o fato de ser ele um brasileirodesconhecido, aumenta as 

chances de possíveis erros em um ambiente social bastante presunçoso. 

Estas três razões consideradas em seu conjunto, bem poderiam 

haver incidido nas deliberações da comissão. O que não 

se justifica é a falta de sensibilidade humana em o privar de uma 

indicação do seu valor e de uma resposta de alento e estímulo. 

Liouville, com sua maturidade profissional e como relator da 

Comissão, estava em magníficas condições para cumprir esta 

missão honrosa, a qual possivelmente daria à história da matemática 

brasileira do século XIX, um nome glorioso. 

Ao finalizar sua Memória sobre os métodos gerais de integração, 

Gomes de Souza faz uma declaração que denota sua 

amargura e suas desesperanças: 

...Mais, si je suis forcé à m’arreter ici et 

s’il ne m’est pas permis de voir dèroulée 

devant mes yeux la scène où mon imagination 

s’était tant de fois jetée, j’aurai du moins 

le plaisir d’avoir ouvert le chemin pour 

les autres... [SOUZA, 1882, p. 69] 

Quase 30 anos se passaram até que se publicassem as suas 

memórias perdidas. Depois de serem publicadas, Gomes Teixeira, 



ex-Reitor da Universidade do Porto, Portugal, introduz um comentário 

sobre a obra de Gomes de Souza na Revista de Ciências Matemáticas 

e Astronômicas, .na qual, além de assinalar a beleza da Memória, 

afirma que os resultados são também de muita importância, que 

revelam, no ilustre analista brasileiro, uma inteligência elevada. 

Esta mesma revista, sque consta a opinião de Gomes Teixeira, 

publica um artigo de Otto de Alencar Silva (1875-1912), que sem 

dúvida é um pioneiro na pesquisa matemática no Brasil, na qual 

expressa que a obra de Gomes de Souza lhe serviu de inspiração 14 . 

Em 1918, Manoel do Amoroso Costa (1875-1928) publicou 

um artigo intitulado "Sobre um teorema de Cálculo Integral" fundamentado 

em um dos resultados de Gomes de Souza. Este artigo ele conclui 

com as seguintes palavras: 

Compreende-se que este corolário do 

teorema pode fornecer úteis indicações 

na integração de equações lineares, sem 

contudo conduzir a um método geral aplicável 

a tais equações, como pretendia Gomes 

de Souza. Como quer que seja, o teorema 

em si é interessante e merecia ser tirado 

do olvido, o que constitui o objeto desta 

nota... [COSTA, 1918]. 

Valeu a ousadia de Gomes de Souza. Não encontrou o respeito 

e a consideração desejada, como não encontraram nessa mesma 

época Abel e Galois, sendo europeus e com maiores condições. 

Mas abriu o caminho para outros como Otto de Alencar e Amoroso 

Costa. 


149


5 Anexo 

Comptesrendus 

Herdomadaires 

M. J. GOMEZ DE SOUZA soumet au jugement de l’Académie 

un travail ayant pour tire: Mémoires sur la détermination de 

fonctions inconnues qui rentrent sous le signe d’intégration définie. 

Ce travail, qui se compose de sept fascicules, est renvoyé à 

l’examen d’nne Commission composée de MM. Liouville, Lamé, 

Bienaymé. 

TOME QUARANTIÈME 

Janvier - juin 1855 

M. J. GOMEZ DE SOUZA soumet au jugement de l’Académie 

deux nouveaux Mémoires d’analyse mathématique et un Mémoire 

sur la théorie du son. 

Renvoi à l’examen des Commissaires nommés pour de précédentes 

communications de l’auteur, MM. Liouville, Lamé, Bienaymé. 

TOME QUARANTE ET UNIÈME 

Juillet - Décembre 1855 

M. GOMEZ DE SOUZA commence la lecture d’une Mémoire 

intitulé: Addition à un Mémoire sur la détermination des fonctions 

inconnues qui rentrent sous le signe d’intégration définie. 

(Commissaires précédemment nommés:MM.sLiouville, Lamé, 

Bienaymé.) 

ANALYSE MATHÉMATIQUE.- Seconde addition au Mémoire 

sur la détermination des fonctions inconnues qui entrent sous 

le signe d’intégration défine; par M. GOMEZ DE SOUZ 



(Commissaires précédemment nommés:MM.Cauchy,Liouville, 

Lamé, Bienaymé.) 

Dans la Letre qui accompagne cet envoi, l’auteur demande 

l’autorisation de reprendre trois Notes présentées par lui le 16 

juillet 1855. Ces Mémoires n’ayant pas été l’objet d’un Rapport, 

l’auteur est autorisé à les reprendre. 

TOME QUARANTE-DEUXIÈME 

Janvier - Juin 1856 

M. GOMEZ DE SOUZA, professeur à la Faculté de Mathématiques 

de Rio-Janeiro, soumet au jugement de l’Académie un 

travail portant pour titre: “Mémoire sur la détermination des fonctions 

inconnues qui rentrent sous le signe d’intégration définie”. 

Ce travail trè-étendu, et qui est acompagné d’un extrait luimème 

trop long pour trouver place dans le Compte rendu, est 

renvoyé à l’examen de la Commission déjà désignée pour d’autres 

communications du mème auteur, Commission qui se compose de 

MM. Liouville, Lamé et Bienaymé. 

TOME QUARANTE-QUATRIEME 

Janvier - Juin 1857 


151


6 Notas 

1 - Mais detalhes sobre o desenvolvimento da matemática superior, no 

Brasil, encontram-se, por exemplo, em [CASTRO, 1955] e em [SILVA, 

1992]. 

2 - No prefácio do Mélanges de Calcul Intégral [SOUZA, 1882], Charles 

Henry, bibliotecário da Sorbonne, faz um detalhado relato sobre a 

cronologia da apresentação destes trabalhos. Na última seção deste artigo, 

retornaremos a este tema. Ver, também, anexo. 

3 - Comptes Rendus XLIV, p. 477 (ver anexo). 

4 - Numa recente monografia [RAMIS, 1993, p. 15], se pode encontrar 

uma valoração atualizada do chamado fenômeno de Stokes. É importante 

assinalar que, precisamente, foi Stokes quem apresentou a Royal Society of 

London as Memórias de Gomes de Souza. Veja prefácio dos Mélanges de 

Calcul Intégral [SOUZA, 1882, p. v], onde Charles Henry escreve: Le 

professeur Stokes présentait de sa part à la Société Royale de Londres, dans 

la séance du 12 de juin 1856, une courte note... C’est le resumé rapide d’un 

mémoire que avait été soumis le 18 de juin 1855 à la Académie des Sciences 

de Paris.... Os autores não conseguiram este documento da Royal Society of 

London. 

5 - Maiores detalhes podem ser encontrados no clássico artigo de 

Burkhardt. [BURKHARDT, 1911]. 

6 - Por exemplo, em suas investigações sobre difração da luz, veja 

Comptes Rendus 15, 1842, 554-556, 573-578 = Oeuvres (1) 7, 149-157. 

7 - Este artigo de Liouville é interessante, porque nele Liouville dá uma 

aplicação diferente, assemelhando-se ao tratamento que, alguns anos mais 

tarde, daria Gomes de Souza ao resolver uma equação íntegro-diferencial. 

Liouville foi o relator da comissão encarregada de revisar os trabalhos de 

Gomes de Souza. Nestes trabalhos, encontramos, em repetidas ocasiões, 

críticas à falta de generalidade dos resultados de Liouville; esta é uma das 

hipóteses sobre o porquê da Comissão não ter emitido parecer. No próximo 

parágrafo tratamos com mais detalhes este assunto. [LIOUVILLE, 1837, 

Journal de Math. 2, 16-35]. 

8 - Ver [KITCHER,1984], no qual se define que sentido rigoroso dase 

a esta terminologia. Para o leitor que entende russo, recomendamos a 

monografia de Barabachev [BARABACHEV, 1983], que se inteirará 



melhor das concepções dos autores. 

9 - Gomes de Souza se refere a primeira Memória apresentada a 

Academia Francesa de Ciências e que nunca foi publicada. 

10 - Chamamos à atenção do leitor, sobre a data da publicação, que é 

quase 30 anos depois de ser concebida a idéia. 

11 - Para maior comodidade do leitor colocamos em anexo as referências 

dos Comptes Rendus, que testemunham as apresentações destes trabalhos. 

13 - Comptes Rendus, XLIV, p. 477. 

14 - SILVA, C. P. da,. Otto de Alencar Silva: Um pioneiro da pesquisa 

matemática no Brasil, Dpto. de Matemática UFPR, Relatório interno, serie 

A, n°09 

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157

Joaquim Gomes de Souza e as Controvérsias Sobre o Uso das

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